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Introducción al análisis funcional y a la geometría de espacios de Banach / H. Fetter Nathansky, B. Gamboa de Buen. Article Source: OAI

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Introducci´ on al An´ alisis Funcional y a la Geometr´ıa de Espacios de Banach

Helga Fetter Nathansky Berta Gamboa de Buen Centro de Investigaci´on en Matem´aticas

Introducci´on al An´alisis Funcional y a la Geometr´ıa de Espacios de Banach QA320 F488 Fetter Nathansky, Helga Introducci´on al An´alisis Funcional y a la Geometr´ıa de Espacios de Banach /Helga Fetter Nathansky y Berta Gamboa de Buen. M´exico: Centro de Investigaci´on en Matem´aticas, 2008. x, 309 p. ; 23 cm. ISBN 978-968-5733-09-0. MSC: 32A70. 1. An´alisis Funcional 2. Espacios de Banach I. Gamboa de Buen, Berta ISBN 978-968-5733-09-0 c D.R. Centro de Investigaci´on en Matem´aticas, A.C. Jalisco s/n, Mineral de Valenciana, 36240 Guanajuato, Gto., M´exico Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente, por ning´ un medio electr´onico o de otro tipo, sin autorizaci´on escrita del editor. This book may not be reproduced, whole or in part, by any means, without written permission from the publisher. Cuidado de edici´ on: Jos´e Luis Alonzo Vel´ azquez Dise˜ no de portada: Odalmira Soto Alvarado Impreso por: S y G Editores. S.A. de C.V. Cuapinol 52, Santo Domingo de los Reyes, Coyoac´an 04369 - M´exico, D.F.

90010

9 789685 733090

Contenido 1 Una Ojeada a la Historia

1

2 Preliminares 2.1 Introducci´on . . . . . . . . 2.2 Conjuntos y funciones . . 2.2.1 Conjuntos . . . . . 2.2.2 Funciones . . . . . 2.2.3 Orden . . . . . . . 2.3 Algebra lineal . . . . . . . 2.3.1 Espacios vectoriales 2.3.2 Funciones lineales . 2.4 Espacios Topol´ogicos . . . 2.4.1 Espacios m´etricos . 2.4.2 Convergencia . . .

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7 7 7 7 8 9 10 10 13 14 17 18

3 Espacios de Hilbert 3.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Definici´on y propiedades elementales . . . . 3.3 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Conjuntos ortonormales . . . . . . . . . . . 3.4.1 Los espacios L2 y l2 . . . . . . . . . . 3.5 Operadores en espacios de Hilbert . . . . . . 3.5.1 Funcionales lineales . . . . . . . . . . 3.5.2 El dual de un espacio de Hilbert . . . 3.5.3 Operadores entre espacios de Hilbert 3.6 Operadores positivos . . . . . . . . . . . . . 3.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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21 21 22 29 34 44 51 51 53 59 66 71

iii

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CONTENIDO

iv

4 Espacios normados y de Banach 75 4.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 Definici´on y propiedades elementales . . . . . . . . . . . 75 4.3 Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4 Cocientes y sumas directas . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.5 Subespacios de dimensi´on finita . . . . . . . . . . . . . . 91 4.6 Teoremas de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.7 Teorema de Baire y operadores continuos . . . . . . . . . 102 4.8 Dualidad y topolog´ıas d´ebiles . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.8.1 Topolog´ıas d´ebil y d´ebil estrella . . . . . . . . . . 113 4.8.2 Espacios duales de subespacios y espacios cociente 129 4.8.3 Reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.9 Continuidad d´ebil y operadores adjuntos . . . . . . . . . 136 4.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5 Espacios Vectoriales Topol´ ogicos 5.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . 5.2 Espacios vectoriales topol´ogicos . 5.3 Operadores lineales . . . . . . . . 5.4 Subespacios de dimensi´on finita . 5.5 Espacios localmente convexos . . 5.6 Espacios metrizables y normables 5.7 Teoremas de Hahn-Banach . . . . 5.8 Puntos extremos . . . . . . . . . 5.9 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Espacios cociente . . . . . . . . . 5.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . .

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6 Geometr´ıa de espacios de Banach 6.1 Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Bases reductoras y acotadamente completas 6.1.3 Bases incondicionales . . . . . . . . . . . . . 6.2 Subespacios complementados . . . . . . . . . . . . . 6.3 Los espacios lp y c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Caracter´ısticas especiales de c0 , l1 y l∞ . . . 6.4 El espacio C [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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145 145 145 157 160 164 177 186 194 200 211 214

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217 . 217 . 218 . 241 . 250 . 261 . 270 . 276 . 285

CONTENIDO 6.5 6.6

v

El espacio J de James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Prefacio a la 3a edici´on En los catorce a˜ nos transcurridos desde la aparici´on de la primera edici´on, nuestro libro ha sido utilizado, como texto o referencia, en m´ ultiples cursos de an´alisis funcional, tanto impartidos por nosotras en el posgrado del CIMAT y en la licenciatura en matem´aticas de la Facultad de Matem´aticas de la Universidad de Guanajuato, como por diversos colegas en otras instituciones, y es un motivo de gran satisfacci´on para nosotras el que el libro est´e ya en su tercera edici´on. Al elaborar esta nueva edici´on, hemos aprovechado la oportunidad para ampliar algunos temas, a˜ nadir ejercicios y corregir los errores que hemos detectado. En particular, queremos destacar la inclusi´on de una secci´on sobre las ra´ıces de operadores positivos, un tema que nos parece importante por sus numerosas aplicaciones. Por otro lado, a la par que deseamos agradecer el inter´es de los alumnos y profesores de otras universidades que nos han preguntado c´omo obtener el libro, y como la editorial original ya no existe, tenemos el placer de reconocer tambi´en la excelente oportunidad que se nos brinda de incluir nuestro libro en la colecci´on que edita el CIMAT. Helga Fetter Nathansky Berta Gamboa de Buen CIMAT, junio 2008.

vii

Introducci´on ¿Por qu´e escribir un libro de an´alisis funcional? ¿Qu´e ´este no es un tema tan especializado que s´olo le interesa a tres calenturientos?, nos preguntaban recientemente. Tal vez la respuesta no la deber´ıamos dar nosotras sino un f´ısico o un economista, que son algunos de los beneficiados con esta rama de las matem´aticas aparte, por supuesto, de los matem´aticos mismos. As´ı, hoy en d´ıa no podr´ıamos concebir la mec´anica cu´antica sin los espacios de Hilbert, la teor´ıa de distribuciones y la econom´ıa sin la teor´ıa de la dualidad, ni la teor´ıa de optimizaci´on y mejor aproximaci´on sin la herramienta de los teoremas de Hahn-Banach, Krein-Milman y Alaoglu. Creemos que esto basta para convencer al m´as esc´eptico de que hay mucho m´as que tres despistados interesados en esta ´area de las matem´aticas. Por otra parte hay pocos libros en espa˜ nol sobre an´alisis funcional y hasta donde sabemos ninguno sobre geometr´ıa de espacios de Banach, nuestro tema favorito. La elecci´on de los temas a tratar no fue f´acil, pues el campo es muy vasto; al final, como siempre sucede, el camino seguido dependi´o de nuestros gustos y preferencias. Dado que no era nuestro prop´osito escribir una obra enciclop´edica, tuvimos que omitir temas tan importantes como la teor´ıa de operadores o el an´alisis espectral y en cambio a˜ nadimos el cap´ıtulo sobre geometr´ıa de espacios de Banach, pues uno de nuestros objetivos es precisamente el engrosar las filas de sus adeptos.

ix

x

Al concebir la idea de este libro pens´abamos seguir el orden tradicional, empezando por los espacios vectoriales topol´ogicos, continuando con los de Banach, para terminar con los de Hilbert. Pero al escribirlo nos convencimos de que es m´as natural y did´actico ir de lo particular a lo general. Claro que esto tiene como consecuencia que algunos resultados se repitan en los diferentes contextos, lo que en nuestra opini´on, lejos de ser perjudicial, conduce a una comprensi´on m´as profunda del tema. Para hacer m´as amena la lectura y ambientar al lector, empezamos presentando un peque˜ no panorama hist´orico; el resto del contenido viene suficientemente desglosado en la tabla de materias y no lo comentamos m´as aqu´ı. Pensamos que este texto ser´a de utilidad para un curso introductorio de an´alisis funcional para estudiantes del u ´ltimo a˜ no de una licenciatura en matem´aticas y cualquiera que quiera iniciarse en el tema y tenga familiaridad con la topolog´ıa de conjuntos, el a´lgebra lineal y principalmente el an´alisis matem´atico; de todas maneras en el segundo cap´ıtulo presentamos un resumen de la mayor´ıa de los resultados y nociones requeridos para la lectura de esta obra. Agradecemos especialmente al M. en C. Francisco S´anchez S´anchez quien acudi´o en nuestra ayuda m´as de una vez cuando ten´ıamos dificultades con el TEX. Igualmente importante fue la asistencia que nos prest´o el Dr. Fausto Ongay ayud´andonos a corregir nuestro estilo habitualmente demasiado parco. Finalmente queremos dar las gracias a la estudiante Maite Fern´andez por leer el u ´ltimo cap´ıtulo, ayud´andonos a espulgarlo. Este libro fue escrito bajo los auspicios de una c´atedra patrimonial nivel tres del CONACyT. Helga Fetter Nathansky Berta Gamboa de Buen CIMAT, octubre 1994.

Cap´ıtulo 1 Una Ojeada a la Historia Si el an´alisis cl´asico lo podemos ver como el estudio de variables que son “magnitudes” y “n´ umeros”, el an´alisis funcional consiste en tratar como variables a las funciones, estudiando no a las funciones aisladas, sino a las funciones como conjuntos. Este tema se empez´o a tocar en el siglo XVIII, al considerar conjuntos de soluciones de algunas ecuaciones diferenciales, y durante el siglo XIX cobr´o tal importancia, que Volterra en 1900 lo declar´o el “siglo de la teor´ıa de las funciones.” Sin embargo podemos decir que el an´alisis funcional como entidad propia naci´o en este siglo y su nombre apareci´o por vez primera en 1922 en el libro de P. L´evy “Le¸cons d’analyse fonctionnelle”. Pensamos que son tres los antecedentes m´as importantes de esta rama de las matem´aticas. Primero quisi´eramos enfatizar el impacto que caus´o el paso de lo finito a lo infinito. En efecto, varios de los cient´ıficos m´as renombrados del siglo XVIII, como D. Bernoulli y D’Alambert al estudiar ciertos fen´omenos f´ısicos continuos, tuvieron la idea de discretizarlos y luego pasar formalmente al l´ımite. Esta idea tuvo una influencia decisiva sobre Fourier, quien al trabajar en la teor´ıa del calor, tuvo que enfrentarse con el problema de resolver un sistema infinito de ecuaciones. Su m´etodo de soluci´on consisti´o en reducir este sistema a un sistema truncado, que s´ı pod´ıa resolver, y proponer como soluci´on del sistema original al l´ımite de 1

2

1. Una Ojeada a la Historia

las soluciones del sistema truncado. La dificultad fue que Fourier no dispon´ıa de criterios para asegurar la convergencia de las soluciones y esto dio lugar a la teor´ıa de la convergencia de funciones trigonom´etricas que fue una de las mayores preocupaciones de los analistas del siglo XIX, originando resultados tan importantes como el ahora llamado “criterio de Cauchy” para la convergencia de sucesiones. La segunda motivaci´on del desarrollo del an´alisis funcional fue el c´alculo de variaciones. Con este nombre se conoce una serie de problemas en los que se trata de maximizar una “funcional”, es decir una funci´on cuyo dominio es un conjunto de funciones llamadas “admisibles”. Las funcionales fueron introducidas formalmente por Volterra en 1887 con el nombre de “funciones de l´ıneas” y Hadamard en 1903 las rebautiz´o con el nombre que conocemos actualmente. Las ideas b´asicas del c´alculo de variaciones fueron desarrolladas fundamentalmente por Euler y Lagrange, pero Weierstrass y su escuela fueron quienes en el siglo pasado consiguieron fundamentar rigurosamente la mayor parte de los resultados del c´alculo de variaciones, salvo el principio general de la existencia de extremos, dando lugar a la noci´on de convergencia uniforme. Trabajando sobre el mismo problema, pero bajo el enfoque diferente de dar condiciones sobre el conjunto de funciones con el que se est´a trabajando, en lugar de sobre el tipo de convergencia, Ascoli y Arzel´a, entre otros, definieron el concepto de equicontinuidad, y podr´ıamos decir que el teorema de Ascoli-Arzel´a es uno de los primeros en el an´alisis funcional. El tercer ingrediente fundamental en el establecimiento del an´alisis funcional es el estudio de las ecuaciones integrales y dentro de ´este, el libro “Grundz¨ uge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen” de David Hilbert (1932), es uno de los puntos culminantes. En esta obra Hilbert, resume sus trabajos comprendidos entre el periodo de 1904 y 1910, cuya base radica en el establecimiento de una equivalencia entre las ecuaciones integrales y un sistema infinito de ecuaciones algebraicas con una infinidad de inc´ognitas. El trabajo de Hilbert est´a fuertemente relacionado con el de I. Fredholm y los resultados de las investigaciones de ambos influyeron decisivamente en el

3 an´alisis funcional, ya que en particular emergieron de ellos los espacios de Hilbert y la teor´ıa espectral. Sin embargo, si hemos de se˜ nalar una fecha como el nacimiento del an´alisis funcional, elegir´ıamos el a˜ no 1906. En este a˜ no Hilbert public´o su cuarto art´ıculo sobre el tema, que seg´ un Dieudonn´e [10] “por la profundidad y novedad de sus ideas es un punto crucial en la historia del an´alisis funcional y de hecho merece ser considerado como el primer trabajo publicado en el a´rea.” En ´el, Hilbert abandona el marco de las ecuaciones integrales y trata de crear una teor´ıa general de formas bilineales y cuadr´aticas, introduciendo la noci´on de “sistema ortogonal completo de funciones”, inspirado en la analog´ıa con los espacios Rn , aunque sin usar a´ un el lenguaje geom´etrico que introdujo posteriormente E. Schmidt. Desde el punto de vista del an´alisis funcional, su contribuci´on m´as importante es, que al darse cuenta que en l2 no se satisface el teorema de Bolzano Weierstrass, introdujo el concepto actualmente conocido como “topolog´ıa d´ebil” que m´as adelante condujo a la generalizaci´on de esta noci´on a espacios m´as generales y, sobre todo a la teor´ıa de la dualidad. En 1906 tambi´en apareci´o la tesis de M. Fr´echet “Sur quelques points du calcul fonctionnel”, que tuvo una influencia notable, tanto en el an´alisis funcional como en la topolog´ıa, ya que en ella aparece por primera vez el concepto abstracto de distancia en un conjunto, as´ı como las nociones de compacidad, completitud y separabilidad. Un contempor´aneo de Fr´echet que puede ser considerado uno de los mayores responsables del desarrollo del an´alisis funcional, es el matem´atico h´ ungaro Friedrich Riesz (1880-1956). En el a˜ no 1907, simult´aneamente con E. Fischer, descubri´o una inesperada relaci´on de l2 con ciertos aspectos de la teor´ıa de la integraci´on de Lebesgue, al demostrar que L2 [a, b] y l2 son isomorfos, iniciando as´ı lo que en el futuro ser´ıa una fruct´ıfera relaci´on entre el an´alisis funcional y la teor´ıa de la probabilidad, relaci´on que prevalece hasta nuestros d´ıas. En el mismo a˜ no, a la par con Fr´echet, Riesz da la representaci´on

4

1. Una Ojeada a la Historia

del espacio dual de L2 , y dos a˜ nos m´as tarde prueba el famoso teorema de representaci´on que ahora lleva su nombre y que caracteriza el espacio dual de C ([a, b]) . Entre otras de sus muchas contribuciones, se cuentan la introducci´on de los espacios Lp y lp y la caracterizaci´on de sus espacios duales, temas sin los cuales hoy en d´ıa no podr´ıamos concebir el an´alisis funcional. Debemos mencionar a otro matem´atico cuyo trabajo dio un gran impulso al desarrollo del an´alisis funcional, el austriaco E. Helly, quien en 1921 fue el primero en trabajar con “espacios normados de sucesiones” en lugar de considerar u ´nicamente espacios concretos, lo cual motiv´o posteriormente a Hahn y a Banach a definir el concepto de normas en espacios vectoriales generales. Banach fue la figura m´as importante en el desarrollo del an´alisis funcional de este periodo, lo que nos conduce a otro punto culminante en la historia que estamos tratando, la aparici´on en 1932 de su libro “Th´eorie des op´erations lin´eaires”, donde recopil´o sus propios trabajos y todos los resultados sobre espacios normados conocidos en su ´epoca, varios de los cuales siguen siendo hoy en d´ıa parte de las herramientas m´as poderosas en el ´area, como por ejemplo el teorema de Banach Steinhaus, el de la gr´afica cerrada y el de Hahn Banach. Uno de los aspectos m´as interesantes de esta obra, es que Banach plantea en ella varias preguntas que fueron y son una fuente de inspiraci´on para muchos trabajos importantes en el a´rea. El desarrollo posterior del an´alisis funcional pronto rebas´o el marco de los espacios de Hilbert y de Banach para abarcar los espacios vectoriales localmente convexos y los topol´ogicos en general. Un sinn´ umero de matem´aticos han contribuido al campo, pero no podemos mencionarlos a todos ellos, pues esto constituir´ıa material para uno o m´as libros completos. S´olo quisi´eramos citar a algunos que son los protagonistas del material que presentamos aqu´ı: H. Minkowski, A. Kolmogoroff, S. Mazur , M. Krein, D. Milman, von Neumann y m´as recientemente J. Lindenstrauss, L. Tzafriri y R. James. Pero la historia a´ un no se acaba de escribir y prueba de ello es el trabajo de 1992 de W. Gowers y B. Maurey, en el cual respondieron a

5 una pregunta esencial en la teor´ıa de bases, que llevaba por lo menos 30 a˜ nos sin respuesta. Esto signific´o otro avance esencial en el an´alisis funcional, mostr´andonos que esta rama de las matem´aticas est´a a´ un muy viva y que hay todav´ıa mucho qu´e hacer dentro de ella.

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1. Una Ojeada a la Historia

Cap´ıtulo 2 Preliminares 2.1

Introducci´ on

Como el an´alisis funcional es el estudio de ciertas estructuras topol´ogicoalgebraicas y de los m´etodos que nos permiten aplicar el conocimiento de dichas estructuras a problemas anal´ıticos, entre los requisitos para la lectura de este libro se encuentran cierta familiaridad con el a´lgebra lineal y con la topolog´ıa general, adem´as de conocimientos b´asicos de la teor´ıa de conjuntos. En este cap´ıtulo recordaremos las nociones y resultados necesarios para el desarrollo ulterior del libro y nos pondremos de acuerdo en la notaci´on que usaremos.

2.2 2.2.1

Conjuntos y funciones Conjuntos

Como es bastante usual, denotaremos por N a los naturales, por Q a los racionales, por R a los reales y por C a los complejos. Usaremos las palabras conjunto, familia y colecci´on como sin´onimos y supondremos que el lector conoce s´ımbolos tales como ⊂, ∩, ∪, ×, ∈, ∞, ∅, etc. El conjunto vac´ıo ∅ ser´a considerado como un conjunto finito. 7

8

2. Preliminares

Si A y B son conjuntos, el complemento de B con respecto a A, que denotaremos A \ B, es el conjunto {x ∈ A : x ∈ / B} . Si I es un conjunto y {Aα : α ∈ I} es una familia de subconjuntos de un conjunto dado S, entonces definimos la intersecci´on por  α∈I

Aα = {x ∈ S : x ∈ Aα para toda α ∈ I} ,

la uni´on por  α∈I

Aα = {x ∈ S : x ∈ Aα para alguna α ∈ I}

y el producto (producto cartesiano) por  α∈I





Aα = (xα )α∈I : para toda α ∈ I, xα ∈ Aα .

Diremos que dos conjuntos A y B son ajenos si A ∩ B = ∅. Al producto de dos conjuntos A, B, lo denotaremos A × B y es simplemente {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} .

2.2.2

Funciones

Si A y B son conjuntos, f : A → B denotar´a una funci´on f con dominio A y contradominio B. Si C ⊂ A y D ⊂ B, la imagen de C bajo f es el conjunto f (C) = {y ∈ B : existe x ∈ C con f (x) = y} y la imagen inversa de D bajo f es el conjunto f −1 (D) = {x ∈ A : existe y ∈ D con f (x) = y} . Si D = {d} escribiremos f −1 (d) en vez de f −1 ({d}). Llamaremos rango de f a la imagen de A bajo f y lo denotaremos por R (f ) . La gr´afica de f es el subconjunto de A × B, gra f = {(x, f (x)) ∈ A × B : x ∈ A} .

2.2. Conjuntos y funciones

9

Si A, B y C son conjuntos y f : A → B y g : B → C son funciones, la funci´on composici´on se denotar´a g ◦ f y est´a dada por (g ◦ f )(x) = g(f (x)) para toda x ∈ A. Una funci´on f : A → B es invertible si existe g : B → A tal que para toda x ∈ A y y ∈ B, g ◦ f (x) = x y f ◦ g (y) = y. Diremos que una funci´on f : A → B es inyectiva si f (a1 ) = f (a2 ) implica que a1 = a2 , es suprayectiva si para toda y ∈ B existe x ∈ A tal que f (x) = y y es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva a la vez. Si f : A → B es una funci´on y C ⊂ A, llamaremos a la funci´on g : C → B, definida por g(x) = f (x) para toda x ∈ C, la restricci´on de f a C y la denotaremos por f |C . Por otro lado diremos que f es una extensi´on de g. Una sucesi´on en un conjunto A ser´a una funci´on s : N → A y en general la denotaremos por {an }∞ n=1 , donde an = s(n). Si R es una relaci´on de equivalencia (reflexiva, sim´etrica y transitiva) en un conjunto A, denotaremos por a a la clase de equivalencia de a : b ∈ a si y s´olo si bRa y por A/R = {a : a ∈ A} al conjunto de todas las clases de equivalencia, que llamaremos conjunto cociente. La funci´on q : A → A/R dada por q(a) = a ser´a llamada funci´on cociente.

2.2.3

Orden

Un orden (parcial) en un conjunto X es una relaci´on binaria, usualmente denotada por ≤, reflexiva, transitiva y antisim´etrica. A la pareja (X, ≤) la llamaremos conjunto ordenado. Escribiremos x ≥ y ´o y ≤ x indistintamente y x < y ´o y > x significar´a x ≤ y pero x = y. Si (X, ≤) es un conjunto ordenado, diremos que un subconjunto A ⊂ X est´a acotado superiormente si existe x ∈ X tal que a ≤ x para toda a ∈ A , en este caso a x la llamaremos cota superior; diremos que

10

2. Preliminares

A ⊂ X est´a acotado inferiormente si existe y ∈ X tal que y ≤ a para toda a ∈ A y a y la llamaremos cota inferior; finalmente diremos que A est´a acotado si lo est´a superior e inferiormente. Si A ⊂ X est´a acotado superiormente y a0 es una cota superior tal que a0 ≤ x para toda cota superior x de A, llamaremos supremo de A a a0 y lo denotaremos por sup A; an´alogamente inf A denotar´a al ´ınfimo de A, es decir a la m´axima cota inferior de A; es f´acil ver que cuando el supremo y el ´ınfimo existen son u ´nicos. Un elemento x de X es maximal si x ≤ y implica que x = y y es minimal si y ≤ x implica que x = y. (X, ≤) est´a totalmente ordenado si para todo par de elementos x, y de X se tiene que x ≤ y o que y ≤ x. El siguiente resultado, que es equivalente al axioma de elecci´on, ser´a utilizado varias veces en el texto. Lema 2.1 (de Zorn) Todo conjunto ordenado no vac´ıo en el que todo subconjunto totalmente ordenado posee una cota superior, tiene un elemento maximal.

2.3

Algebra lineal

2.3.1

Espacios vectoriales

Denotaremos por K a los reales o a los complejos y a sus elementos los llamaremos escalares. Un espacio vectorial sobre el campo K es un conjunto X con dos operaciones, la adici´on +:X ×X →X dada por (x, y) → x + y y la multiplicaci´on por escalares de K ×X en X dada por (λ, x) → λx, que satisfacen las siguientes propiedades: Si x, y, z ∈ X y λ, μ ∈ K

2.3.

Algebra lineal

11

(1) (x + y) + z = x + (y + z) . (2) x + y = y + x. (3) Existe un elemento 0 ∈ X tal que x + 0 = x para toda x ∈ X. (4) Para toda x ∈ X existe z ∈ X, que denotaremos −x, tal que x + z = 0. (5) λ (x + y) = λx + λy. (6) (λ + μ) x = λx + μx. (7) λ (μx) = (λμ) x. (8) 1x = x. Se puede demostrar que los elementos postulados en (3) y (4) son u ´nicos. Si A, B ⊂ X, x ∈ X y λ ∈ K usaremos la siguiente notaci´on: x + A = {x + a : a ∈ A} ,

x − A = {x − a : a ∈ A} ,

A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} ,

λA = {λa : a ∈ A} .

Diremos que C ⊂ X es un conjunto convexo si tC + (1 − t)C ⊂ C para toda 0 ≤ t ≤ 1. Es f´acil ver que si A ⊂ X, el conjunto convA =

 n i=1

λi xi : λi ∈ R, λi ≥ 0,

n i=1



λi = 1, xi ∈ A, i = 1, ..., n

es un conjunto convexo que contiene a A, al cual llamaremos la envolvente convexa de A. Un conjunto Y ⊂ X ser´a llamado subespacio vectorial de X si con las operaciones restringidas a Y es un espacio vectorial. Es f´acil ver que esto sucede si y s´olo si αY + μY ⊂ Y para toda α, μ ∈ K. Si Y es un subespacio de X , la relaci´on x ∼ y si y s´olo si x − y ∈ Y es de equivalencia y entonces el conjunto de las clases de equivalencia

12

2. Preliminares

{x : x ∈ X} , donde x = x + Y, junto con las operaciones x + y = x +y  y λx = λx, es a su vez un espacio vectorial sobre K, que llamaremos espacio cociente y denotaremos por X/Y. Si X y Y son espacios vectoriales sobre K, su suma directa algebraica, que denotaremos X ⊕a Y, es el espacio vectorial X × Y con las operaciones dadas por (x1, y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) λ (x, y) = (λx, λy) donde x, x1 , x2 ∈ X, y, y1 , y2 ∈ Y y λ ∈ K. Si Y y Z son subespacios de un espacio vectorial X con Y ∩ Z = {0} y toda x ∈ X se puede escribir como x = y + z con y ∈ Y y z ∈ Z, entonces escribiremos tambi´en X = Y ⊕a Z , ya que X se puede identificar con la suma directa algebraica de Y y Z mediante la funci´on x → (y, z) . Bases de Hamel Sea X un espacio vectorial sobre K. Se dice que {xi ∈ X : i ∈ I} genera a X, si todo elemento y de X se puede representar de la forma y = λ1 xi1 + λ2 xi2 + ... + λn xin , con λi ∈ K e im ∈ I. Si {yj : j ∈ J} ⊂ X, el conjunto 

Y = u∈X:u=

k i=1



λi yji con λi ∈ K, ji ∈ J, i = 1, ..., k, k ∈ N

es un espacio vectorial, al que llamaremos espacio vectorial generado por {yj : j ∈ J} y denotaremos por sp {yj }j∈J . Una base (de Hamel) de un espacio vectorial X es un subconjunto B de X tal que todo elemento y de X tiene una representaci´on u ´nica de la forma y = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λn xn , con xi ∈ B para i = 1, ..., n y alguna n ∈ N.

2.3.

Algebra lineal

13

La existencia de las bases de Hamel est´a asegurada por el lema de Zorn y cualesquiera dos bases de un espacio dado tienen la misma cardinalidad, que es la dimensi´on del espacio. Un espacio vectorial tiene entonces dimensi´on n si tiene una base finita de cardinalidad n; diremos que el espacio {0} tiene dimensi´on 0. Si Y es un subespacio de X, entonces X se puede identificar con la suma directa algebraica Y ⊕a (X/Y ) . Para ver esto, consideramos una base de Hamel {yi : i ∈ I} de Y y la completamos de manera que {yi : i ∈ I} ∪ {xj : j ∈ J} sea una base de Hamel de X. Si x ∈ X, entonces existe una manera u ´nica de representarla como x = λ1 yi1 + λ2 yi2 + ... + λn yin + μ1 xj1 + μ2 xj2 + ... + μr xjr con λi , μj ∈ K. Sea q : X → X/Y la funci´on que a cada elemento de X le asocia su clase de equivalencia. La identificaci´on buscada est´a dada por x ←→ (λ1 yi1 + λ2 yi2 + ... + λn yin , q (x)) .

2.3.2

Funciones lineales

Si X y Y son dos espacios vectoriales sobre K, una funci´on T : X → Y es lineal si para toda x, y ∈ X y α, β ∈ K, T (αx + βy) = αT x + βT y. Claramente se tiene entonces que T (0) = 0. Si T : X → Y es lineal, llamaremos espacio nulo de T a la imagen inversa del 0 y lo denotaremos por ker T = T −1 (0). Si Z ⊂ X y W ⊂ Y son subespacios entonces T −1 (W ) es un subespacio de X y T Z es un subespacio de Y, en particular ker T es un subespacio de X y T X es un subespacio de Y. Si T : X → Y es biyectiva, lineal y con inversa lineal, diremos que es un isomorfismo algebraico y que los espacios vectoriales X y Y son algebraicamente isomorfos.

14

2. Preliminares

Si X es un espacio vectorial sobre K, una funci´on lineal Π : X → X es una proyecci´on si Π2 = Π. En este caso diremos que Π es una proyecci´on sobre su imagen Y = ΠX, es decir Π : X → Y es suprayectiva, y se tiene que Π |Y es IY , la funci´on identidad en Y. Es f´acil ver que si X ⊕a Y es la suma directa de X y Y , las funciones ΠX : X × Y → X y ΠY : X × Y → Y definidas por ΠX (x, y) = x y ΠY (x, y) = y, son proyecciones. Sea {xj : j ∈ J} es una base del espacio vectorial X sobre K. Para cada j ∈ J podemos definir una funci´on γj : X → K que llamaremos funci´on coordenada, tal que γj (x) = λ si x se expresa en t´erminos de la base como x = λxj + λ1 xj1 + ... + λk xjk + ... + λn xjn . Se puede ver que γj es una funci´on lineal y claramente para cada x ∈ X s´olo hay un n´ umero finito de j ∈ J tales que γj (x) = 0. Si X es un espacio vectorial real, una funci´on f : X → R (a) es sublineal si para toda x, y ∈ X y toda λ ≥ 0, f (x + y) ≤ f (x) + f (y) y f (λx) = λf (x), (b) es convexa si para toda x, y ∈ X y toda 0 ≤ λ ≤ 1, f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).

2.4

Espacios Topol´ ogicos

Un espacio topol´ogico es un conjunto S con una colecci´on τ de subconjuntos, llamados abiertos, con las siguientes propiedades: (i) S ∈ τ , ∅ ∈ τ (ii) Si A, B ∈ τ, entonces A ∩ B ∈ τ (iii) Si Ai ∈ τ para i ∈ I, entonces

i∈I

Ai ∈ τ.

2.4. Espacios Topol´ogicos

15

Si τ satisface dichas condiciones es una topolog´ıa en S y (S, τ ) es un espacio topol´ogico, que denotaremos simplemente por S cuando no sea necesario aclarar cu´al es la topolog´ıa. Un conjunto F ⊂ S es cerrado si y s´olo si su complemento es un conjunto abierto, la cerradura E de un conjunto E ⊂ S es la intersecci´on de todos los conjuntos cerrados que contienen a E y por lo tanto un conjunto es cerrado si y s´olo si es igual a su cerradura. El interior intE de E es la uni´on de todos los conjuntos abiertos contenidos en E y entonces un conjunto es abierto si y s´olo si es igual a su interior. U es una vecindad de un punto x ∈ S si es un conjunto abierto tal que x ∈ U. Un punto x ∈ S es un punto de acumulaci´on de B ⊂ S si y s´olo si toda vecindad de x contiene puntos de B distintos de x. La frontera de B, denotada por ∂B, es el conjunto de los puntos tales que son puntos de acumulaci´on tanto de B como de S \ B, es decir ∂B = B ∩ S \ B. Un conjunto K ⊂ S es compacto si toda cubierta abierta de K tiene una subcubierta finita. Equivalentemente, K es compacto si y s´olo si tiene la propiedad de la intersecci´on finita, es decir siempre que {Cα }α∈A es una familia de conjuntos cerrados en K tal que para toda n ∈ N y para toda α1 , α2 , ..., αn n  i=1

entonces

Cαi = ∅,

 α∈A

Cα = ∅.

Un conjunto A ⊂ S es denso en S si A = S. Un espacio topol´ogico S es separable si contiene un subconjunto denso numerable. Un espacio topol´ogico S es de Hausdorff si y s´olo si para cualesquiera x, y ∈ S, x = y, x y y tienen vecindades ajenas. Un subconjunto τ  ⊂ τ es una base de la topolog´ıa τ si todo abierto es una uni´on de elementos de τ  .

16

2. Preliminares

Un subconjunto β ⊂ τ es subbase de τ si el conjunto de las intersecciones finitas de los elementos de β es base de τ. Una colecci´on V de vecindades de un punto x ∈ S es una base local de x si toda vecindad de x contiene un elemento de V. Un espacio topol´ogico de Hausdorff es localmente compacto si todo punto tiene una vecindad cuya cerradura es compacta. Sean (S1 , τ1 ) y (S2 , τ2 ) dos espacios topol´ogicos. Una funci´on f : S1 → S2 es (a) continua si para todo A ∈ τ2 , f −1 (A) ∈ τ1 , (b) abierta si f (B) ∈ τ2 para todo B ∈ τ1 . Si f : S1 → S2 es biyectiva y bicontinua (continua y con inversa continua) diremos que f es un homeomorfismo y que los espacios (S1 , τ1 ) y (S2 , τ2 ) son homeomorfos. Los espacios homeomorfos son entonces aqu´ellos que tienen la misma estructura topol´ogica, por ejemplo si uno es localmente compacto el otro tambi´en lo es. Si E ⊂ S, la topolog´ıa inducida por τ en E, σ, es la colecci´on {E ∩ A : A ∈ τ } ; claramente σ es una topolog´ıa en E y diremos que (E, σ) es un subespacio topol´ogico de (S, τ ) . Sea {(Sα , τα )}a∈A una familia de espacios topol´ogicos y sea π α : Πα∈A Sa → Sα la proyecci´on dada por π a x = xα para x = {xα }α∈A. Definimos en Πα∈A Sa la topolog´ıa con menos abiertos que hace continuas a todas las proyecciones para α ∈ A. Dicha topolog´ıa, llamada topolog´ıa producto, est´a dada como sigue: U ∈ Πα∈A τa si U es la uni´on arbitraria de conjuntos que son intersecciones finitas de conjuntos de la forma πα−1 Uα con Uα ∈ τα . Al espacio topol´ogico (Πα∈A Sa , Πα∈A τa ) se le llama espacio producto. Si (S, τ ) es un espacio topol´ogico y R una relaci´on de equivalencia en S, S/R denota al conjunto de las clases de equivalencia en S y q : S → S/R es la funci´on cociente que manda cada elemento a su clase de equivalencia, entonces la topolog´ıa cociente es la topolog´ıa con

2.4. Espacios Topol´ogicos

17

m´as abiertos tal que la funci´on q sea continua. Se puede ver que esta topolog´ıa est´a dada por la colecci´on 



τq = A ⊂ S/R : q −1 (A) ∈ τ . El espacio topol´ogico (S/R, τq ) se llama el espacio cociente, y resulta que la funci´on q es una funci´on continua. El siguiente teorema es de suma importancia en topolog´ıa: Teorema 2.2 (de Tychonoff ) El producto arbitrario de conjuntos compactos es un conjunto compacto.

2.4.1

Espacios m´ etricos

Sea S un conjunto, una m´etrica en S es una funci´on d : S × S → R+ tal que, dadas x, y, z ∈ S, (a) d(x, y) = 0 si y s´olo si x = y (b) d(x, y) = d(y, x) (c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) A la pareja (S, d) se le llama espacio m´etrico. on de Cauchy, si dada Una sucesi´on {xn }∞ n=1 ⊂ S se llama sucesi´

> 0, existe N ∈ N, tal que si n, m > N, d (xn , xm ) < . Un espacio m´etrico S se llama completo, si toda sucesi´on de Cauchy en S converge. Para toda x ∈ S y r ∈ R, r > 0, la bola abierta con centro en x y radio r se define como Br (x) = {y ∈ S : d(x, y) < r} . Si (S, d) es un espacio m´etrico, tambi´en es un espacio topol´ogico con la topolog´ıa que tiene como base a la colecci´on de bolas abiertas {Br (x) : x ∈ S, r ∈ R, r > 0} . Dicha topolog´ıa se llama la topolog´ıa inducida en S por la m´etrica d. Una espacio topol´ogico (S, τ ) es metrizable, si existe una m´etrica d tal que τ es la topolog´ıa inducida en S por d.

18

2.4.2

2. Preliminares

Convergencia

Diremos que D es un conjunto dirigido si tiene un orden (parcial), ≤, tal que dados α, β ∈ D existe γ ∈ D con α ≤ γ y β≤ γ. Un ejemplo de conjunto dirigido es la colecci´on P (S) de subconjuntos de un conjunto S con E ≤ F si y s´olo si E ⊂ F. Una red en un conjunto S es una funci´on σ : D → S, donde D es un conjunto dirigido; en general la denotaremos por {xα }α∈D , donde para cada α ∈ D, xα = σ(α). Claramente toda sucesi´on en S es una red en S. Una red {yβ }β∈B es una subred de una red {xα }α∈D si y s´olo si existe una funci´on ϕ : B → D tal que: (a) yβ = xϕ(β) para toda β ∈ B (b) para toda α ∈ D existe βα ∈ B tal que si β ∈ B y β ≥ βα entonces ϕ(β) ≥ α. Sea (S, τ ) un espacio topol´ogico. Diremos que una red {xα }α∈D en S converge a y ∈ S si para toda vecindad U de y existe α0 ∈ D tal que xα ∈ U para todo α ≥ α0 . En este caso escribiremos limα∈D xα = y ´o xα → y. Si S es un espacio vectorial topol´ogico (ver Cap´ıtulo 5), diremos que una red {xα }α∈D en S es de Cauchy si para toda vecindad U de cero existe α0 ∈ D tal que xα − xβ ∈ U para todo α, β ≥ α0 . Varios de los aspectos topol´ogicos de S se pueden describir en t´erminos de convergencia de redes, por ejemplo: s es un punto de acumulaci´on de C ⊂ S si y s´olo si existe una red en C \ {s} que converge a s. s pertenece a la cerradura de C ⊂ S si y s´olo si existe una red en C que converge a s. Un espacio topol´ogico es de Hausdorff si y s´olo si toda red en el espacio converge a lo m´as a un punto. Un espacio topol´ogico S es compacto si y s´olo si toda red en S tiene un punto de acumulaci´on, o equivalentemente, S es compacto si y s´olo si toda red en S tiene una subred que converge a alg´ un punto de S.

2.4. Espacios Topol´ogicos

19

Como toda sucesi´on es una red, en particular el resultado anterior nos dice que toda sucesi´on en un compacto tiene una subred convergente. ¡Cuidado! esto no significa que tenga una subsucesi´on convergente, pues una subred de una sucesi´on no tiene porque ser una subsucesi´on. Se recomienda al lector que construya un ejemplo. Por esta raz´on la siguiente definici´on no es equivalente a la de compacto. Un espacio topol´ogico S es secuencialmente compacto si y s´olo si toda sucesi´on en S tiene una subsucesi´on convergente a alg´ un punto de S. Como las sucesiones son m´as simples de manejar que las redes, es importante saber cu´ando una topolog´ıa puede ser descrita en t´erminos de sucesiones solamente. Este es el caso para las topolog´ıas metrizables, es decir en los espacios m´etricos es suficiente tratar con sucesiones; por ejemplo: un conjunto en un espacio m´etrico es compacto si y s´olo si es secuencialmente compacto.

20

2. Preliminares

Cap´ıtulo 3 Espacios de Hilbert 3.1

Introducci´ on

Los espacios de Hilbert tienen su origen en los trabajos de David Hilbert (1862-1943) sobre la equivalencia de ecuaciones integrales y sistemas infinitos de ecuaciones algebraicas con una infinidad de inc´ognitas. Esta obra, motivada por los trabajos de I. Fredholm, apareci´o en el libro Grundz¨ uge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen en 1912. En ella para obtener la equivalencia, Hilbert usa el espacio de funciones de cuadrado integrable L2 y el espacio de las sucesiones de cuadrado sumable l2 . Sin embargo Hilbert nunca consider´o a dichos espacios bajo su aspecto geom´etrico; esto lo hizo por primera vez en el caso de l2 Erhard Schmidt en 1908. Por otra parte F. Riesz y E. Fischer en 1907 hab´ıan probado que L2 est´a en correspondencia uno a uno con alg´ un espacio l2 . Estos fueron los primeros dos ejemplos de espacios de Hilbert, como los conocemos actualmente. Posteriormente los espacios de Hilbert fueron usados en la teor´ıa de la mec´anica cu´antica y para dar una presentaci´on rigurosa de esta rama de la f´ısica, J. von Neumann en 1927 present´o una axiomatizaci´on de los espacios de Hilbert separables.

21

22

3.2

3. Espacios de Hilbert

Definici´ on y propiedades elementales

Definici´ on 3.1 Un espacio vectorial complejo H se llama espacio prehilbertiano o espacio con producto interior o espacio con producto escalar, si existe una funci´on (·, ·) : H × H → C tal que si λ ∈ C y x, y, z ∈ H, (i) (x, y) = (y, x) donde la barra indica conjugaci´on en C. (ii) (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 si y s´olo si x = 0. (iii) (λx, y) = λ(x, y). (iv) (x + y, z) = (x, z) + (y, z). Una funci´on (·, ·) : H × H → C que satisface de (i) a (iv) se llama producto interior en H. Las propiedades (iii) y (iv) tambi´en pueden formularse como sigue: si z ∈ H fija, entonces la funci´on x → (x, z) es una funci´on lineal. Teorema 3.2 En un espacio prehilbertiano H para todo x, y, z ∈ H y λ ∈ C, (1) (x, λy) = λ(x, y). (2) (0, z) = 0 = (z, 0). (3) (x, y + z) = (x, y) + (x, z). (4) (x, y − z) = (x, y) − (x, z), (x − y, z) = (x, z) − (y, z). (5) Si (x, z) = (y, z) para toda z ∈ H, entonces x = y.

3.2. Definici´on y propiedades elementales

23

Demostraci´ on: (1) Se sigue de la definici´on 3.1 (i) y (iii) pues (x, λy) = (λy, x) = λ(x, y) = λ(x, y). (2) Se obtiene tomando x = y = 0 en la definici´on 3.1 (iv) y luego aplicando (1). (3) Se sigue de (i) y (iv) de la definici´on 3.1, pues (x, y + z) = (y + z, x) = (y, x) + (z, x) = (x, y) + (x, z). (4) Usando (3) y (1) obtenemos (x, y − z) = (x, y + (−z)) = (x, y) + (x, (−z)) = (x, y) − (x, z). La otra igualdad se deduce de manera similar. (5) Si (x, z) = (y, z) para toda z ∈ H, entonces por (4) (x − y, z) = 0 para toda z ∈ H. En particular tomando z = x − y obtenemos (x − y, x − y) = 0 y esto por (ii) de la definici´on 3.1 implica que x = y. Observaci´on: Los espacios prehilbertianos reales se definen de manera semejante a los espacios complejos, con la u ´nica diferencia de que el campo que se considera en este caso es el de los n´ umeros reales en lugar de C. Ejemplos Todos los espacios definidos a continuaci´on son prehilbertianos: 1. Sea H1 = Cn . Si x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) con  xi , yi ∈ C para i = 1, ..., n, definimos (x, y) = ni=1 xi yi .

24

3. Espacios de Hilbert 2. Sea H2 = {{an }∞ n=1 ⊂ R : existe N ∈ N tal que an = 0 si n > N } ∞ Si a, b ∈ H2 , a = {an }∞ n=1 , b = {bn }n=1 , (a, b) =

∞

n=1

an b n .

3. Sea H3 = {f : [a, b] → C donde f es una funci´on continua}. Si f, g ∈ H3 , (f, g) =

b a



f (x)g(x)dx. 

4. Sea H4 = f ∈ C0∞ (Ω) : Ω es un conjunto abierto en R3 . Aqu´ı C0∞ (Ω) representa al conjunto de las funciones infinitamente diferenciables de soporte compacto en Ω con valores complejos. Si f, g ∈ H4 , definimos  

(f, g) =

Ω



∂f ∂g ∂f ∂g ∂f ∂g fg + + + dx1 dx2 dx3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3

Los espacios prehilbertianos, gracias a su estructura resultan ser espacios normados, donde esto quiere decir lo siguiente: Definici´ on 3.3 Un espacio vectorial V sobre un campo K (donde K es ya sea R o C) es un espacio normado si existe una funci´ on · : V → R, llamada norma, tal que para todo v, w ∈ V y c ∈ K se satisfacen: 1. v ≥ 0 y v = 0 si y s´olo si v = 0. 2. cv = |c| v . 3. v + w ≤ v + w . Veremos que en un espacio prehilbertiano se puede definir una norma usando las propiedades del producto interior. Definici´ on 3.4 Sea H un espacio prehilbertiano. Definimos la funci´on · : H → R como 1

 x = (x, x) 2 para toda x ∈ H.

3.2. Definici´on y propiedades elementales

25

Para ver que la funci´on · efectivamente define una norma en H, necesitamos la siguiente desigualdad que es una herramienta muy u ´til en el manejo de los espacios de Hilbert. Teorema 3.5 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) En un espacio prehilbertiano se tiene que |(x, y)| ≤ x y para todo x, y ∈ H. Demostraci´ on: Si (x, y) = 0, la conclusi´on es directa. Si (x, y) = 0, entonces para toda λ ∈ C 0 ≤ x − λy2 = (x − λy, x − λy) = (x, x) − λ(y, x) − λ(x, y) + λλ(y, y). | (y, x) | | (x, y) | = . Claramente | λ0 |= 1 y si en la (y, x) (y, x) desigualdad anterior tomamos λ = λ0 r, donde r ∈ R, obtenemos Sea λ0 =

0 ≤ x2 −r | (x, y) | −r | (y, x) | +r2 y2 = x2 −2r | (x, y) | +r2 y2 . Si llamamos a la expresi´on de la derecha f (r), ´esta alcanza su | (x, y) | m´ınimo cuando r = y entonces y2 0 ≤ x2 − 2

| (x, y) |2 | (x, y) |2 | (x, y) |2 2 + = x − , y2 y2 y2

y de aqu´ı | (x, y) |≤ x y.

Teorema 3.6 La funci´ on  ·  : H → R es una norma en H. Demostraci´ on: Sea x ∈ H. Claramente por (ii) de la definici´on 3.1, x ≥ 0, y x = 0 si y s´olo si x = 0. Adem´as si λ ∈ C, por (i) y (iii) de la definici´on 3.1, λx2 = (λx, λx) = |λ|2 x2

26

3. Espacios de Hilbert

y de aqu´ı λx =| λ | x. Por u ´ltimo, usando el teorema 3.5, x + y2 = (x + y, x + y) = x2 + (y, x) + (x, y) + y2 ≤ ≤ x2 + 2x y + y2 = (x + y)2 , o sea que x + y ≤ x + y; es decir  ·  satisface la desigualdad del tri´angulo. Ejemplos Sean H1 , H2 , H3 y H4 como antes. n

1. En H1 tenemos que x = ( Cauchy-Schwarz nos dice que

i=1

1

| xi |2 ) 2 y la desigualdad de

 n   n 1  n 1   2 2   2 2 xi yi  ≤ | xi | | yi | .    i=1

i=1



i=1

1

2 2 2. En H2 , a = ( ∞ n=1 an ) y la desigualdad de Cauchy-Schwarz en este caso nos da:

∞  1 ∞ 1  ∞   2 2   2 2 an b n  ≤ bn . an    n=1

3. En H3 , f  =



b a

n=1

n=1

1

|f (x)|2 dx

2

y obtenemos que

    1  1  b  2 2 b b   2 2 f (x)g(x) dx ≤ |f (x)| dx |g(x)| dx .   a  a a  



1

4. En H4 , f  = Ω |f (x)|2 + |∇f |2 dx1 dx2 dx3 2 donde ∇f representa al laplaciano de f. En este caso la desigualdad de Cauchy-Schwarz nos dice que       ∂f ∂g ∂f ∂g ∂f ∂g  fg + + + dx1 dx2 dx3  ≤   Ω  ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3

3.2. Definici´on y propiedades elementales

  Ω

2

2

|f (x)| + |∇f |



dx1 dx2 dx3

 1   2 Ω

2

|g(x)| + |∇g|

2



27

1 2

dx1 dx2 dx3

Finalmente estamos listos para dar la definici´on de un espacio de Hilbert. Definici´ on 3.7 Sea H un espacio vectorial con producto interior y sea   la norma inducida por este producto. Si H es completo respecto a  , es decir, si toda sucesi´on de Cauchy en H converge a un elemento de H, entonces H se llama un espacio de Hilbert. Como todo espacio normado es m´etrico, los espacios de Hilbert tienen una topolog´ıa inducida por esta m´etrica. De las definiciones anteriores resulta entonces que todo subespacio de un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano y si el subespacio adem´as es cerrado respecto a la norma, ser´a a su vez un espacio de Hilbert. Ejemplos Sean H1 , H2 , H3 y H4 como antes. 1. H1 es un espacio de Hilbert. Esto es claro a partir de la completitud de C. 2. H2 no es un espacio de Hilbert, ya que no es completo. Para ver  esto ∞ observemos primero que si a ∈ H2, a = ∞{a1 , a2 , ...} y a(n) ⊂ H2 converge a a donde a(n) = a(n) m m=1 , entonces n=1 para cada m ⎛ ⎞1 ∞    2 2 (n)     ⎝ am − a(n) aj − aj  ⎠ = a − a(n)  m  ≤ j=1

y esto implica que limn→∞ a(n) m = am . 

Sea ahora la sucesi´on a(n)

∞

n=1



⊂ H2 donde a(n) = a(n) m

∞ m=1

y

.

28

3. Espacios de Hilbert

a(n) m

⎧ ⎨ 1

si 1 ≤ m ≤ n =⎩ m 0 si n < m

Entonces si n < k, a(n) − a(k)  = 

∞

k m=n+1

(1/m)2

1/2

y con-

es una sucesi´on de Cauchy. Por otro 1 , pero la sucesi´on lado es claro que para cada m lim n→∞ a(n) m = m ∞ {1/n}n=1 no pertenece a H2 .

secuentemente

a

(n)



n=1

La completaci´on de este espacio es el espacio de Hilbert l2 de las ∞ 2 sucesiones reales {an }∞ n=1 an < ∞. n=1 tales que 3. H3 no es un espacio de Hilbert ya que no es completo. (Ver ejercicio 1). 4. Se puede ver que H4 tampoco es un espacio completo. La completaci´on de este espacio se suele llamar espacio de Sobolev y denotarse por H01 (Ω). La siguiente propiedad de la norma en un espacio de Hilbert, se deduce de inmediato de las propiedades del producto escalar y se puede interpretar geom´etricamente como que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los lados. Teorema 3.8 (Ley del paralelogramo) En un espacio con producto interior H, para toda x, y ∈ H se satisface x + y2 + x − y2 = 2x2 + 2y2 . El inverso de este teorema tambi´en es cierto, es decir, si en un espacio normado la norma satisface la ley del paralelogramo, entonces la norma est´a inducida por un producto interior, y, si el espacio adem´as es completo, es un espacio de Hilbert. ( Ejercicio 3). Dada la definici´on de norma en un espacio de Hilbert, resultan ser continuas las funciones dadas por el producto escalar y la norma.

3.3. Ortogonalidad

29

Teorema 3.9 Sea y un elemento fijo en un espacio de Hilbert H. Entonces las funciones x → (x, y),

x → (y, x),

x → x

son funciones continuas en H. Demostraci´ on: Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, si x, z ∈ H obtenemos |(x, y) − (z, y)| = |(x − z, y)| ≤ x − zy y |(y, x) − (y, z)| ≤ x − zy lo cual prueba que tanto x → (x, y) como x → (y, x) son de hecho uniformemente continuas. Ahora, usando la desigualdad del tri´angulo, se tiene que |x − z| ≤ x − z y esto demuestra que la funci´on x → x tambi´en es uniformemente continua.

3.3

Ortogonalidad

La estructura de producto interior en un espacio de Hilbert nos permite introducir una generalizaci´on del concepto de ortogonalidad conocido en Rn . Aunque varios de los resultados a continuaci´on son v´alidos para espacios prehilbertianos, de aqu´ı en adelante trabajaremos s´olo con espacios de Hilbert. El teorema que sigue es una de las piedras fundamentales que distinguen a los espacios de Hilbert de otros espacios de Banach. Teorema 3.10 Todo subconjunto E no vac´ıo, convexo y cerrado de un espacio de Hilbert H contiene un elemento u ´nico de norma m´ınima, es decir existe un elemento x0 ∈ E u ´nico tal que x0  ≤ x para toda x ∈ E.

30

3. Espacios de Hilbert

Demostraci´ on: Sea δ = inf {x : x ∈ E} y sean x, y ∈ E. Aplicando la ley del paralelogramo a 12 x y 12 y obtenemos 



 x + y 2 1 1 1  = x2 + y2 . x − y2 +   4 2 2 2

Como E es convexo,

x+y ∈ E. Por lo tanto 2

   x + y 2   ≤ 2 x2 + 2 y2 − 4δ 2 . (3.1) x − y = 2 x + 2 y − 4   2

2

2

2

Por la definici´on de δ existe una sucesi´on {yn }∞ n=1 ⊂ E tal que limn→∞ yn  = δ. Tomando x = yn , y = ym en (3.1), obtenemos yn − ym 2 ≤ 2 yn 2 + 2 ym 2 − 4δ 2 , y pasando al l´ımite cuando n → ∞ y m → ∞, tenemos que el lado derecho de esta desigualdad tiende a cero y consecuentemente {yn }∞ n=1 es una sucesi´on de Cauchy. Como E es cerrado, existe x0 ∈ E tal que limn→∞ yn = x0 y aplicando el teorema 3.9, δ = lim yn  = x0  . n→∞

Si y ∈ E es tal que y = δ, por (3.1) tenemos x0 − y2 ≤ 0, es decir x0 = y y el teorema queda probado. Definici´ on 3.11 Sea H un espacio de Hilbert. Decimos que dos vectores x y y son ortogonales si (x, y) = 0. A veces escribimos esto como x ⊥ y, y como (x, y) = 0 implica (y, x) = 0, la relaci´on ⊥ resulta ser sim´etrica. Si x ⊥ y, la ley del paralelogramo se reduce a x + y2 = x2 + y2 .

3.3. Ortogonalidad

31

Definici´ on 3.12 Sea H un espacio de Hilbert, sea x ∈ H y sea M un subconjunto de H. Definimos x⊥ = {y ∈ H : (x, y) = 0}, M ⊥ = {y ∈ H : (x, y) = 0 para toda x ∈ M } . En caso de que M es un subespacio de H, a M ⊥ se le llama el espacio ortogonal a M. Teorema 3.13 Sea H un espacio de Hilbert, sea x ∈ H, y sea M un subconjunto de H. Entonces x⊥ y M ⊥ son subespacios cerrados de H. Demostraci´ on: Sean y, z ∈ x⊥ , λ ∈ C. Entonces (x, y + λz) = (x, y) + λ(x, z) = 0 y consecuentemente y + λz ∈ x⊥ , es decir x⊥ es un subespacio de ⊥ H. Sea {yn }∞ on convergente y sea y = limn→∞ yn . n=1 ⊂ x una sucesi´ Entonces, como la funci´on y → (x, y) es continua (ver teorema 3.9), 0 = limn→∞ (x, yn ) = (x, y) y por lo tanto y ∈ x⊥ , lo cual demuestra que x⊥ es un espacio cerrado de H. Ahora bien, claramente si M es un subconjunto de H, ⊥ M = x∈M x⊥ y consecuentemente es un subespacio cerrado de H. Veremos que si M es un subespacio cualquiera de H, y si M indica la cerradura de M, entonces H se puede descomponer como sigue: H = M ⊕ M ⊥, o sea todo elemento x ∈ H se puede expresar de manera u ´nica como x = x1 + x2 con x1 ∈ M y x2 ∈ M ⊥ . Esta propiedad de hecho caracteriza a los espacios de Hilbert: si un espacio normado completo X, tambi´en llamado espacio de Banach, es

32

3. Espacios de Hilbert

tal que para todo subespacio cerrado M existe un subespacio cerrado N con X = M ⊕ N, entonces X es isomorfo a un espacio de Hilbert. Este resultado, cuya demostraci´on es muy complicada, se debe a J. Lindenstrauss y L. Tzafriri y se puede encontrar en M. Day [7]. Teorema 3.14 Sea M un subespacio cerrado de H. Entonces existen proyecciones P de H sobre M y Q de H sobre M ⊥ tales que para toda x ∈ H, x = P x + Qx, x2 = P x2 + Qx2 , x − P x = inf {x − y : y ∈ M } . Adem´ as si x = x1 + x2 con x1 ∈ M y x2 ∈ M ⊥ , entonces x1 = P x y x2 = Qx. P y Q se llaman las proyecciones ortogonales de H sobre M y sobre M ⊥ respectivamente. Es claro de lo anterior que estas funciones son continuas. Demostraci´ on: Sea x ∈ H, entonces x + M = {x + y : y ∈ M } es un subconjunto cerrado, convexo de H. Aplicando el teorema 3.10, sea z = Qx el u ´nico elemento de norma m´ınima en este conjunto y definamos P x = x − Qx = x − z. Como Qx ∈ x + M , es claro que Px ∈ M y por definici´on z = Qx = x − P x = inf {x − y : y ∈ M } .

3.3. Ortogonalidad

33

Sea y ∈ M con y = 1 y α ∈ C. Entonces z − αy = x − (P x + αy) ∈ x + M y por esto (z, z) = z2 ≤ z − αy2 = (z − αy, z − αy). Por lo tanto

0 ≤ −α(y, z) − α(z, y) + |α|2 .

Si tomamos ahora α = (z, y) obtenemos 0 ≤ − |(z, y)|2 − |(z, y)|2 + |(z, y)|2 = − |(z, y)|2 . En consecuencia (z, y) = 0. Sea ahora y cualquier elemento de M diferente de cero. Entonces 

y 0 = z, y



=

1 (z, y) y

y por lo tanto (z, y) = 0 y Qx = z ∈ M ⊥ . Como P x ⊥ Qx, es claro que x2 = P x2 + Qx2 . Supongamos ahora que x = x1 + x2 con x1 ∈ M y x2 ∈ M ⊥ . Entonces P x − x1 = x2 − Qx, pero P x − x1 ∈ M y x2 − Qx ∈ M ⊥ y como M ∩ M ⊥ = {0}, obtenemos que x1 = P x y x2 = Qx. Por lo anterior, si x ∈ M, tenemos x = P x, y si x ∈ M ⊥ , x = Qx. Esto implica que P va de H sobre M y Q de H sobre M ⊥ . Probaremos ahora que P y Q son transformaciones lineales. Sean x y y ∈ H, α y β ∈ C; entonces x = P x + Qx,

y = P y + Qy y αx + βy = P (αx + βy) + Q(αx + βy).

34

3. Espacios de Hilbert

De aqu´ı αx + βy = αP x + αQx + βP y + βQy = P (αx + βy) + Q(αx + βy) y por ende P (αx + βy) − αP x − βP y = αQx + βQy − Q(αx + βy). Como el lado izquierdo de la u ´ltima igualdad pertenece a M y el derecho a M ⊥ , tenemos el resultado deseado. Corolario 3.15 Si M es un subespacio cerrado propio de un espacio de Hilbert, entonces existe y ∈ H, y = 0, tal que y ∈ M ⊥ .

3.4

Conjuntos ortonormales

En un espacio vectorial V de dimensi´on finita n, siempre existe un conjunto de n vectores linealmente independientes llamado base (de Hamel), tal que todo vector v ∈ V se puede expresar como una combinaci´on lineal de los n vectores de la base. Aunque en un espacio de Hilbert cualquiera siempre existe una base de Hamel, ´esta en general no tiene que ver con la estructura del espacio de Hilbert. Debido a ello, definiremos un nuevo concepto de base para los espacios de Hilbert H, de manera tal que todo elemento de H ser´a una combinaci´on lineal numerable de los elementos de dicha base y que nos permitir´a expresar tanto la norma de un elemento de H como el producto escalar de dos elementos de H, en funci´on de los elementos de la base. Definici´ on 3.16 Sea H un espacio de Hilbert. Una familia {φα }α∈A contenida en H se llama un conjunto ortonormal si para toda α, β ∈ A (φα , φβ ) = 0 para α = β y (φα , φα ) = 1. Si {φa }α∈A es una familia ortonormal, a cada x ∈ H asociar la funci´ on x! : A → C

le podemos

dada por x!(α) = (x, φα ). Los n´ umeros x!(α) se suelen llamar los coeficientes de Fourier de x respecto al conjunto {φα }α∈A .

3.4. Conjuntos ortonormales

35

Por la linealidad del producto interior en la primera variable, es claro que si x, y ∈ H, entonces (x" + y)(α) = x!(α) + y!(α) y si adem´as λ ∈ C, entonces # λx(α) = λx!(α).

Teorema 3.17 Si {φ1 , φ2 , ..., φk } es un conjunto ortonormal en un es pacio de Hilbert H y si x = kn=1 cn φn con cn ∈ C para n = 1, 2, ..., k, entonces x2 =

k

n=1

|cn |2 .

Demostraci´ on: Por definici´on 2

x = (x, x) =

 k n=1

cn φn ,



k n=1

cn φn =

k n,m=1

cn cm (φn , φm ) =

k n=1

|cn |2 .

Corolario 3.18 Todo conjunto ortonormal {φα }α∈A es linealmente independiente. 

Demostraci´ on: Si ki=1 ci φαi = 0, entonces por el teorema anterior k 2 i=1 |ci | = 0 y por lo tanto ci = 0 para toda 1 ≤ i ≤ k. Ahora nos ocuparemos del problema siguiente: Dado un vector x ∈ H y un conjunto ortonormal {φ1 , φ2 , ..., φk } ⊂ H, ¿existir´a una combinaci´on lineal de los vectores ortonormales de manera que aproxime a x de manera o´ptima? Con esto lo que nos preguntamos es si  existe un u ´nico elemento x0 = ki=1 ci φi ∈ M donde M= 

 k i=1



ci φi : ci ∈ C , 

  tal que x0 − x ≤  ki=1 di φi − x para cualesquiera d1 , d2, ..., dk ∈ C. La respuesta a esto es afirmativa y para probarlo necesitamos primero el siguiente lema:

36

3. Espacios de Hilbert

Lema 3.19 Sea V un subespacio cerrado de H; si z ∈ / V, entonces W = sp {z + V } = {x ∈ H : x = λz + v para alguna λ ∈ C y v ∈ V } es un subespacio cerrado de H. Demostraci´ on: Es claro que W es un subespacio de H y que podemos suponer que z = 1. Para ver que W es cerrado, sea {xn }∞ n=1 ⊂ W una sucesi´on de Cauchy y sea x su l´ımite en H. Entonces para cada n, existen vn ∈ V y λn ∈ C tales que xn = λn z + vn . Como V es un espacio cerrado y z ∈ / V , existe 1 > d > 0 tal que z − v ≥ d para toda v ∈ V. Sea > 0 y sea N tal que si n, m > N, entonces

xn − xm  < d. Resulta que 2



> d > xn − xm  = (λn − λm ) z − (vn − vm ) ≥ |λn − λm | d, 2 2 de manera que si n, m > N

2 es una sucesi´on de Cauchy en C cuyo

|λn − λm |
N,



> xn − xm  ≥ vn − vm  − |λn − λm | z > vn − vm  − 2 2

y esto nos dice que {vn }∞ en es una sucesi´on de Cauchy. Si v n=1 tambi´ indica el l´ımite de esta sucesi´on en V, se deduce que λz + v − xn  = (λ − λn )z + (v − vn ) ≤ |λ − λm | + v − vn  de donde limn→∞ xn = λz + v ∈ W . Corolario 3.20 Sea {φ1 , φ2 , ..., φk } una familia ortonormal de vectores en un espacio de Hilbert H. Entonces el espacio M=

 k i=1

es un subespacio cerrado de H.



ci φi : ci ∈ C

3.4. Conjuntos ortonormales

37

Demostraci´ on: Probaremos este resultado por inducci´on sobre el n´ umero de vectores k. Para k = 0, es obvio  que el espacio {0} es k−1 cerrado. Supongamos que el espacio V = i=1 ci φi : ci ∈ C es cerrado. Entonces por el teorema anterior tomando z = φk obtenemos el resultado deseado. Volviendo a nuestra pregunta anterior, como M es un espacio cerrado, el teorema 3.14 nos dice que si x ∈ H, existe un u ´nico elemento x0 ∈ M tal que para toda z ∈ M , x − x0  ≤ x − z y tal que x − x0 ∈ M ⊥ . Esto u ´ltimo implica que x0 es soluci´on del sistema de ecuaciones siguiente: (x − x0 , φi ) = 0, i = 1, 2, ..., k. k

Como x0 = i=1 ci φi , resulta del sistema de ecuaciones anterior que ci = (x0 , φi ) = (x, φi ) y por lo tanto se puede expresar como x0 =

k i=1

(x, φi ) φi .

Adem´as, como x − x0 ⊥ x0 , x − x0 2 = (x − x0 , x − x0 ) = (x − x0 , x) = = x2 −

k

i=1

(x, φi ) (φi , x) = x2 −

k

i=1

|(x, φi )|2 .

Resumiendo obtenemos el siguiente teorema que nos garantiza la existencia de la mejor aproximaci´on de x en el espacio generado por {φi }ki=1 . Teorema 3.21 Sea {φ1 , φ2, ..., φk } un conjunto ortonormal de vectores en H y sea x ∈ H. Entonces para cualesquiera λ1, λ2 , ..., λk ∈ C     k k        λi φi  (x, φi ) φi  ≤ x − x −     i=1

i=1

y la igualdad se da si y s´olo λi = (x, φi ) para i = 1, 2, ..., k. Adem´ as  2 k k     x = x − (x, φi ) φi  + |(x, φi )|2 .   2

i=1

i=1

38

3. Espacios de Hilbert

Se ver´a que las bases ortonormales en un espacio de Hilbert no son numerables a menos que el espacio sea separable, es por esto que necesitamos la siguiente definici´on: Definici´ on 3.22 Sea A un conjunto no vac´ıo y {yα }α∈A ⊂ C. En tonces diremos que la suma α∈A yα es convergente, si existe M < ∞ tal que sup |yα | = M, J

α∈J

donde el supremo se toma sobre todos los subconjuntos J finitos de A. Si dicho supremo existe, es claro que s´olo puede haber un conjunto numerable B de ´ındices para los cuales yα es distinto de cero y entonces   α∈A yα denota a la suma α∈B yα . Despu´es de esta definici´on, el corolario siguiente es consecuencia inmediata del teorema 3.21. Corolario 3.23 (Desigualdad de Bessel) Sea {φα }α∈A un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H; si x ∈ H y si x!(α) = (x, φα ), entonces |x!(α)|2 ≤ x2 . α∈A

Recordemos que un conjunto ortonormal es m´aximo si no est´a contenido propiamente en otro conjunto ortonormal. Los dos siguientes resultados demuestran que los conceptos de base en un espacio de Hilbert y de conjunto ortonormal m´aximo son equivalentes. Teorema 3.24 Sea {φa }α∈A un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) {φa }α∈A es un conjunto ortonormal m´aximo. (ii) El conjunto S de todas las combinaciones lineales finitas de las φα es denso en H. (iii) Para toda x ∈ H, x2 =



α∈A

|x!(α)|2 .

3.4. Conjuntos ortonormales (iv) Para toda x, y ∈ H, (x, y) =



α∈A

39

x!(α)y!(α).

Demostraci´ on: (i) implica (ii). Sea S la cerradura del espacio vectorial S generado por las combinaciones lineales finitas de las φa con ⊥ α ∈ A. Si S = H, entonces por el corolario 3.15 existe un vector ζ ∈ S distinto de 0, que podemos suponer tiene norma 1, lo cual contradice la maximalidad de {φa }α∈A . (ii) implica (iii). Sea x ∈ H y > 0. Por la densidad de S en H, existen α1 , α2 , ..., αk ∈ A y λ1 , λ2 , ..., λk ∈ C tales que   k     λi φαi  ≤ . x −   i=1

Pero entonces por el teorema 3.21   k    x! (αi ) φαi  ≤

x −   i=1

y esto a su vez quiere decir que 0 ≤ x2 −

k i=1

|(x, φαi )|2 ≤ .

Como la desigualdad anterior se satisface para toda , usando el corolario 3.23, obtenemos el resultado deseado. (iii) implica (iv). Sean x y y ∈ H. Entonces por el ejercicio 2 (x, y) =

% 1$ x + y2 − x − y2 + i x + iy2 − i x − iy2 4

y por (iii) resulta que (x, y) = +i

  1 $ !(α) + y!(α)|2 − |x !(α) − y!(α)|2 + α∈A |x 4



α∈A



|x!(α) + iy!(α)|2 − |x!(α) − iy!(α)|2

%

y de aqu´ı es f´acil deducir el resultado. (iv) implica (i). Supongamos que {φα }α∈A no es un conjunto ortonormal m´aximo, pero que para cada x, y ∈ H, se cumple (iv). Sea u ∈ H un

40

3. Espacios de Hilbert

vector unitario ortogonal a φa para toda α ∈ A. Usando (iv) para x = y = u, como u!(α) = 0 para toda α ∈ A, obtenemos 1 = u2 = (u, u) =



u!(α)u!(α) = 0,

α∈A

y esto es una contradicci´on. De lo anterior se puede concluir que si {φα }α∈A es un conjunto ortonormal m´aximo, todo elemento x ∈ H se puede expresar como una combinaci´on lineal infinita de los vectores de dicho conjunto. Lema 3.25 Si {φα }α∈A es un conjunto ortonormal m´ aximo en un espacio de Hilbert H, entonces para toda x ∈ H x=

α∈A

x!(α)φα ,

es decir, dado > 0 existe J ⊂ A finito tal que si I es finito y J ⊂ I, entonces      x!(α)φα  < . x −   α∈I

Viceversa, si {φa }a∈A ⊂ H es un conjunto ortonormal tal que para toda x ∈ H x= x!(α)φα , α∈A

aximo en H. entonces {φa }a∈A es un conjunto ortonormal m´ Demostraci´ on: Sean x ∈ H y > 0. Por (ii) del teorema anterior existen J ⊂ A finito y {λα }α∈J ⊂ C tales que      λα φα  < . x −   α∈J

Pero por el teorema 3.21, resulta que            x!(α)φα  ≤ x − λα φα  < . x −     α∈J

α∈J

3.4. Conjuntos ortonormales Por otro lado, si J ⊂ I es claro que 

μα =



α∈J

x!(α)φα =

41 

α∈I

μα φα donde

x!(α) si α ∈ J 0 si no

Usando nuevamente el teorema 3.21 llegamos a que                   x!(α)φα  ≤ x − μα φα  = x − x!(α)φα  < , x −       α∈I

α∈I

α∈J

lo cual prueba la primera afirmaci´on. Si ahora {φa }a∈A ⊂ H es un conjunto ortonormal tal que para toda x∈H x= x!(α)φα , α∈A

esto significa que las combinaciones lineales finitas de las φα son densas en H y aplicando el teorema 3.24 obtenemos la segunda conclusi´on. Es claro que si x =



α∈A cα φα ,

(x, φα ) =

γ∈A

entonces cα = x!(α), ya que

cγ (φγ , φα ) = cα .

Las consideraciones anteriores, nos motivan a dar la siguiente definici´on: Definici´ on 3.26 Un conjunto ortonormal {φa }a∈A en un espacio de Hilbert H se llama una base ortonormal de H, si todo elemento x ∈ H se puede expresar como

x=

α∈A

x!(α)φα .

A continuaci´on veremos que en todo espacio de Hilbert siempre existe una base ortonormal, es m´as, si Φ ⊂ H es un conjunto ortonormal, siempre podemos completarlo para obtener una base ortonormal de H.

42

3. Espacios de Hilbert

Teorema 3.27 Sea H un espacio de Hilbert y sea Φ ⊂ H un conjunto ortonormal. Entonces existe un conjunto ortonormal m´ aximo en H que contiene a Φ. Demostraci´ on: Sea P la clase de los conjuntos ortonormales en H que contienen a Φ. Es claro que P = ∅, pues Φ ∈ P. Equipamos a P con el orden de la inclusi´on de conjuntos: si {Ψa }α∈A y {φβ }β∈B son elementos de P, entonces {Ψa }α∈A ≺ {φβ }β∈B si {Ψa }α∈A ⊂ {φβ }β∈B . Si C es una cadena de elementos de P, es decir un subconjunto totalmente ordenado de P, entonces claramente S=



φa : φa ∈ {φβ }β∈B para alg´ un elemento {φβ }β∈B ∈ C



es una cota superior de C. En efecto, Φ ⊂ S y si φa y φβ son elementos de S, entonces existen A1 y A2 elementos de C tales que φa ∈ A1 y φβ ∈ A2 . Por ser C una cadena, podemos suponer que A1 ⊂ A2 y entonces φα y φβ ∈ A2 . Como ´este es un conjunto ortonormal, (φα , φβ ) = 0. Por la misma raz´on es claro que φα  = φβ  = 1. Por lo tanto podemos aplicar el lema de Zorn y concluir que existe un elemento maximal en P, es decir existe un conjunto ortonormal {Ψa }α∈A que contiene a Φ, tal que si {φβ }β∈B es un conjunto ortonormal en H y {Ψa }α∈A ⊂ {φβ }β∈B , entonces {φβ }β∈B = {Ψa }α∈A . Veremos que {Ψa }α∈A es un conjunto ortonormal m´aximo. Si no lo fuera, exis$

%⊥

tir´ıa un elemento x0 ∈ {Ψa }α∈A y podemos suponer que x0  = 1. Pero entonces {Ψa }α∈A ∪ {x0 } ser´ıa un conjunto ortonormal que contiene propiamente a {Ψa }α∈A y que pertenece a P, contradiciendo la maximalidad de este conjunto. Corolario 3.28 Todo espacio de Hilbert contiene una base ortonormal. Demostraci´ on: La prueba es inmediata del lema 3.25 y el teorema 3.27. Corolario 3.29 Sea H un espacio de Hilbert separable de dimensi´ on infinita. Entonces existe en H un subconjunto ortonormal m´ aximo numerable; es m´ as, todo conjunto ortonormal infinito en H es numerable. Rec´ıprocamente, si H tiene una base ortonormal numerable, entonces es separable.

3.4. Conjuntos ortonormales

43

Demostraci´ on: Sea {φa }a∈A un conjunto ortonormal cualquiera en H. Entonces, si φa y φβ pertenecen a {φa }a∈A , φa − φβ 2 = (φa − φβ , φa − φβ ) = φa 2 + φβ 2 = 2. √ Esto quiere decir que las bolas con radio 2/3 y centro en φa para α ∈ A, son ajenas entre s´ı, si α = β. Como H es separable, esto significa que hay s´olo una cantidad numerable de dichas bolas. Si {φi }∞ aximo, a partir del teorema i=1 es un conjunto ortonormal m´ 3.24 es f´acil ver que el conjunto de las combinaciones lineales finitas de las φi con coeficientes de la forma u + iv con u, v racionales es denso en H, lo cual termina la demostraci´on. Veremos ahora que siempre que tenemos una sucesi´on de vectores linealmente independientes en un espacio de Hilbert H, podemos construir a partir de ´esta una sucesi´on ortonormal de vectores que genera al mismo espacio que la sucesi´on original. Teorema 3.30 (Ortogonalizaci´ on de Gram-Schmidt) Sea {xn }∞ n=1 una sucesi´on de vectores linealmente independientes en un espacio de Hilbert H. Entonces existe una sucesi´ on ortonormal {yn }∞ n=1 tal que para cada n, el espacio generado por x1 , ..., xn es el mismo que el generado por y1 , ..., yn . Demostraci´ on: Definimos los vectores yn inductivamente: sea y1 =

x1 . x1 

El vector y2 que buscamos tiene que ser una combinaci´on lineal de x1 , x2 y adem´as tiene que ser ortogonal al vector y1 . Vemos que si y2 =

x2 − (x2 , y1 ) y1 , x2 − (x2 , y1 ) y1 

usando el hecho que (y1 , y1 ) = 1, obtenemos que (y2 , y1 ) =

(x2 , y1 ) − (x2 , y1 ) = 0. x2− (x2 , y1 ) y1 

44

3. Espacios de Hilbert

Como adem´as y2 tiene norma 1, el vector y2 nos sirve para nuestros prop´ositos. Supongamos que el conjunto ortonormal {y1 , y2 , ..., yn−1 } ha sido definido de manera que el espacio generado por los vectores y1 , y2 , ..., yn−1 es el mismo que el generado por x1 , x2 , ..., xn−1 . Sea yn =

xn − (xn , y1 ) y1 − (xn , y2 ) y2 − ... − (xn , yn−1 ) yn−1 . xn − (xn , y1 ) y1 − (xn , y2 ) y2 − ... − (xn , yn−1 ) yn−1 

Claramente yn es un vector unitario que por la hip´otesis de inducci´on es combinaci´on lineal de x1 , ..., xn . Adem´as si 1 ≤ i, j ≤ n − 1, tomando en cuenta que (yj , yj ) = 1 y que si i = j, (yi , yj ) = 0, (yn , yj ) =

(xn , yj ) − (xn , yj ) =0 xn − (xn , y1 ) y1 − (xn , y2 ) y2 − ... (xn , yn−1 ) yn−1 

y esto termina el proceso de inducci´on.

3.4.1

Los espacios L2 y l2

Para ilustrar lo que se discuti´o en las secciones anteriores, hablaremos brevemente de los espacios L2 y l2 . Estos espacios tienen inter´es especial en la teor´ıa de los espacios de Hilbert, pues fueron los primeros que se reconocieron como tales, y como veremos, en esencia todos los espacios de Hilbert son de este tipo. Empezaremos por dar la definici´on de los espacios l2 (A). Definici´ on 3.31 Sea A = ∅ un conjunto cualquiera. El espacio l2 (A) es el conjunto  2

l (A) = {xα }α∈A : xα ∈ C y con la norma     {xα }α∈A  =





α∈A

α∈A

2

|xα | < ∞

1 2

|xα |

2

,

donde la suma se interpreta en el sentido de la definici´ on 3.22.

3.4. Conjuntos ortonormales

45

Si {xα }α∈A , {yα }α∈A ∈ l2 (A) y c ∈ C definimos la suma {xα }α∈A + {yα }α∈A = {xα + yα }α∈A , y la multiplicaci´ on c {xα }α∈A = {cxα }α∈A . Si A = N, escribiremos simplemente l2 en lugar de l2 (N) . Teorema 3.32 Sea A = ∅. Entonces l2 (A) es un espacio de Hilbert cuyo producto escalar est´ a dado por: (x, y) =

α∈A

xa y α

para cualesquiera dos elementos x = {xα }α∈A y y = {yα }α∈A en l2 (A). Demostraci´ on: Es claro que si x = {xα }α∈A ∈ l2 (A) y c ∈ C, entonces cx ∈ l2 (A) . Sean ahora x = {xα }α∈A y y = {yα }α∈A dos elementos de l2 (A) y J un subconjunto finito de A de cardinalidad m. Aplicando la desigualdad del tri´angulo en Cm , 

α∈J

|xα + yα |2 ≤

1 2



≤

2 α∈A |xα |

 1 2

α∈J

+

|xα |2



1 2

+

2 α∈A |yα |



α∈J

1 2

|yα |2

1 2

≤

< ∞.

Con esto hemos probado que l2 (A) es un espacio vectorial, ya que es claro que posee las dem´as propiedades de espacio vectorial. Veremos que (·, ·) define un producto interior en l2 (A) que induce la norma definida arriba. Sean x, y ∈ l2 (A) y J un subconjunto finito de A con cardinalidad m; aplicando el teorema de Cauchy Schwarz a Cm obtenemos 

|

≤

α∈J



xα yα | ≤

2 α∈A |xα |



α∈J

 1  2

|xα |2

 1  2

2 α∈A |yα |

1 2

α∈J

|yα |2

1 2

≤

= x y < ∞,

46

3. Espacios de Hilbert

de manera que (·, ·) est´a bien definido. Es ahora un simple ejercicio comprobar que satisface los postulados de producto interior y una vez hecho esto, es trivial que este producto interior define la norma dada. ∞ Probaremos que el espacio es completo: Sea x(n) una sucesi´on n=1 2 de Cauchy en l (A), donde para cada n ∈ N 

x(n) = yα(n)



α∈A

con yα(n) ∈ C. Entonces, dada > 0, existe N ∈ N tal que si m, n > N ,  2 2   (n)  (n) − yα(m)  < 2 . x − x(m)  = y α

(3.2)

α∈A

Pero esto significa que para cada α ∈ A y m, n > N,    (n) (m) 2 yα − yα  < 2 . 

∞

es una sucesi´on de Cauchy en C que consecuentePor lo tanto yα(n) n=1 mente tiene un l´ımite yα . Sea x = {yα }α∈A ; si J es un subconjunto finito de A y n > N, de (3.2) deducimos que 

2 α∈J |yα |

1 2

≤



  2  12   1    (n) 2 2 (n)  y − y + y ≤    α α∈J α∈J α α 







≤ + y (n)  , y por lo tanto x ∈ l2 (A) . Aplicando (3.2) nuevamente, obtenemos que para n > N,     x − x(n)  ≤ , y esto significa que x(n) → x, de donde l2 (A) es un espacio completo. El teorema siguiente nos dice que todos los espacios de Hilbert se pueden identificar con l2 (A) para alg´ un conjunto A. Teorema 3.33 Sea H un espacio de Hilbert no trivial. Entonces existe un conjunto A tal que H es isomorfo a l2 (A); es decir, existe una transformaci´ on lineal de H sobre l2 (A) que preserva el producto interior.

3.4. Conjuntos ortonormales

47

Demostraci´ on: Por el teorema 3.27 existe en H un conjunto ortonormal m´aximo {φα }α∈A , y aplicando el lema 3.25 se puede escribir para toda x ∈ H x! (α) φα . x= α∈A

Del teorema 3.24, se tiene que x2 =



|x! (α)|2 .

α∈A

Si identificamos a toda x ∈ H con la sucesi´on {x! (α)}αeA ∈ l2 (A), esto nos da un isomorfismo entre H y l2 (A) y por el teorema 3.24 (iv), se tiene que bajo esta identificaci´on se conserva el producto interior. Es claro que si {xα }α∈A ∈ l2 (A), entonces el isomorfismo inverso est´a dado por {xα }α∈A → x = xα φα . α∈A

Se deja como ejercicio al lector comprobar la convergencia de en H.



α∈A

xα φα

Corolario 3.34 Si H es un espacio de Hilbert separable de dimensi´ on infinita, entonces H es isomorfo a l2 . Demostraci´ on: Como H es separable, por el corolario 3.29 existe un conjunto ortonormal m´aximo numerable {φn }∞ n=1 en H. El isomorfismo entre H y l2 es el dado en el teorema anterior, a saber si para n ∈ N y x ∈ H, x!n = (x, φn ), entonces x ↔ {x!n }∞ n=1 . Definiremos a continuaci´on otra clase de espacios de Hilbert que aparecen frecuentemente en las aplicaciones, los espacios L2 . Para esto supondremos que el lector est´a familiarizado con teor´ıa de la medida; en caso contrario puede saltarse lo que sigue de esta subsecci´on. Definici´ on 3.35 Sea (X, A, μ) un espacio de medida, donde X es un conjunto cualquiera, A es una sigma-´ algebra de subconjuntos de X y μ

48

3. Espacios de Hilbert

es una medida en A. Entonces si F denota al conjunto de funciones medibles f : X → C, definimos para cada f ∈ F f = {g ∈ F : f (x) = g (x) μ − casi dondequiera} y 2

L (X, μ, A) =

&

f : f ∈ F y



'

2

X

|f | dμ < ∞

con las operaciones dadas para cada f, g ∈ F y para cada c ∈ C por: = cf. f + g = f + g y cf

Es f´acil ver que ∼ define una relaci´ on de equivalencia en F. Teorema 3.36 El espacio L2 (X, μ, A) es un espacio de Hilbert con el producto interior dado como sigue: Si f, g ∈ L2 (X, μ, A) 



f, g =

 X

f gdμ

donde f y g son dos representantes cualesquiera de las clases de equivalencia f y g respectivamente. Demostraci´ on: El que este espacio es efectivamente un espacio vectorial se obtiene de la desigualdad de H¨older:    

X

    f gdμ ≤

2

X

|f | dμ

 1  2

2

X

|g| dμ

1 2

.

A partir de ah´ı es inmediato ver que (·, ·) define un producto interior, y que la norma entonces est´a dada por      f  =

2

X

|f | dμ

1 2

.

Lo m´as complicadoen esta demostraci´on es comprobar que L2 (X, μ, A) es completo. Sea fn una sucesi´on de Cauchy en L2 (X, μ, A) . En



tonces existe una subsucesi´on fni tal que para i = 1, 2, ...   1   fni − fni+1  < i .

2

(3.3)

3.4. Conjuntos ortonormales

49

Sean fni ∈ fni , m  ∞        gm = fni − fni+1  y g = fni − fni+1  . i=1

i=1

De la desigualdad del tri´angulo obtenemos que gm  ≤ 1 y aplicando el lema de Fatou se tiene que  X

2

|g| dμ =



2

X

lim inf m |gm | dμ ≤ lim inf m

 X

|gm |2 dμ ≤ 1,

es decir g ≤ 1. Esto a su vez significa que g (x) < ∞ para casi toda x ∈ X, de manera que la serie fn1 (x) +

∞  i=1

fni+1 (x) − fni (x)



(3.4)

converge absolutamente para casi toda x ∈ X. Sea f (x) la funci´on definida por la serie (3.4) en los puntos que ´esta existe y f (x) = 0 en el conjunto de medida cero restante. Como fn1 +

m−1  i=1



fni+1 − fni = fnm ,

de los razonamientos anteriores concluimos que lim fnm (x) = f (x) para casi toda x ∈ X.

m→∞





Veremos ahora que f es el l´ımite de la sucesi´on fn en L2 (X, μ, A) . Sea > 0. Entonces existe N ∈ N tal que si m, n > N,     fm − fn  < .

Usando nuevamente el lema de Fatou obtenemos para m > N  X

|f − fm |2 dμ ≤ lim inf i

 X

|fni − fm |2 dμ ≤ 2 . 

(3.5)



f f ∈ L2 (X, μ, A) y como f = f −  en Por lo tanto f − m m + fm , tambi´  

 

f  → 0 en L2 (X, μ, A) , f ∈ L2 (X, μ, A) y de (3.5) vemos que f − m lo cual demuestra que este espacio es completo.

50

3. Espacios de Hilbert

Uno de los casos particulares m´as interesantes, que aparece en varias aplicaciones, es aqu´el en el cual X = [−π, π] , A es la sigma-´algebra de 1 λ , donde λ es la medida de Lebesgue. En este caso Borel en X y μ = 2π vamos a demostrar la existencia de un conjunto ortonormal m´aximo numerable en L2 ([−π, π] , A, μ) , lo cual implica que este espacio es separable y consecuentemente es isomorfo a l2 . Teorema 3.37 El conjunto de funciones {un }∞ n=−∞ definidas para toda t ∈ [−π, π] y n entero por un (t) = e−int , es un conjunto ortonormal m´aximo en L2 ([−π, π] , A, μ) . Demostraci´ on: π 1  −i(n−m)t e dt = (un , um ) = 2π



=

−π

1

si m = n = i 1 −i(n−m)t π e |t=−π si m = n 2π n−m



1 si m = n 0 si m = n

de manera que {un }∞ n=−∞ es un conjunto ortonormal. Veremos ahora que si T es el conjunto de todas las funciones dadas por g (t) =

n

ck eikt

k=−n

para t ∈ [−π, π] y {ck }nk=−n ⊂ C, entonces T es un conjunto denso en L2 ([−π, π] , A, μ) y usando el teorema 3.24, se concluye que {un }∞ n=−∞ es un conjunto ortonormal m´aximo. Primeramente es claro que si g ∈ T , entonces g pertenece al conjunto de las funciones continuas en [−π, π] denotado por C ([−π, π]) . Sea ahora f ∈ L2 ([−π, π] , A, μ) y > 0. Se sabe que las funciones continuas son densas en L2 y por lo tanto existe una funci´on h ∈ C ([−π, π]) tal que f − h2 < /3,

3.5. Operadores en espacios de Hilbert

51

donde ·2 denota la norma en L2 ([−π, π] , A, μ) . Por otro lado, cambiando los valores de h en un intervalo peque˜ no de la forma [π − δ, π] si hace falta, podemos encontrar una funci´on j ∈ C ([−π, π]) con j (−π) = j (π) y j − h2 ≤ /3. Usando ahora el teorema de Stone Weierstrass para el caso complejo, sabemos que, como T es un ´algebra autoadjunta que separa puntos y no se anula en ning´ un punto de [−π, π) y tal que para toda g ∈ T se tiene g (−π) = g (π) , entonces T es denso en C ([−π, π]) ∩ {g : [−π, π] → C tales que g (−π) = g (π)} . Por lo tanto existe una funci´on ψ ∈ T tal que ψ − j2 ≤ /3. Combinando las tres u ´ltimas desigualdades, se tiene que f − ψ2 ≤ , lo cual prueba la densidad de T en L2 ([−π, π] , A, μ) .

3.5 3.5.1

Operadores en espacios de Hilbert Funcionales lineales

Algo que hace muy especiales a los espacios de Hilbert H, es el hecho de que todas las funciones lineales continuas de H en K se pueden representar siempre como el producto interior por un elemento que pertenece al espacio que es el inverso del teorema 3.9 en donde se observ´o que la funcional lineal x → (x, y) es continua. Esta propiedad simplifica enormemente el manejo de dichas funciones, lo cual hace a los espacios de Hilbert especialmente u ´tiles para las aplicaciones. Definici´ on 3.38 Una funcional lineal en un espacio de Hilbert H es una funci´on lineal L : H → K.

52

3. Espacios de Hilbert

Teorema 3.39 (de representaci´ on de Riesz) Si L es una funcional lineal continua en un espacio de Hilbert H, entonces existe un u ´nico elemento y ∈ H tal que para toda x ∈ H, Lx = (x, y). Demostraci´ on: Si Lx = 0 para toda x ∈ H, sea y = 0. Si no, sea M = {x ∈ H : Lx = 0} . Como L es lineal, M es un subespacio de H y como adem´as L es continua, M = L−1 (0) es un conjunto cerrado. Por hip´otesis M = H y entonces por el corolario 3.15 existe z = 0, que podemos suponer tiene norma 1, tal que z ∈ M ⊥ . Para cada x ∈ H sea u = (Lx)z − (Lz)x. Entonces Lu = (Lx)(Lz) − (Lz)(Lx) = 0 y u pertenece a M. Por consiguiente (u, z) = 0 y usando la definici´on de u obtenemos 0 = (Lx)(z, z) − (Lz)(x, z) = Lx − (Lz)(x, z), o equivalentemente





Lx = Lz(x, z) = x, Lzz . Sea y = Lzz. Entonces y satisface la conclusi´on y por el teorema 3.2 (5) y es u ´nico con esta propiedad. Corolario 3.40 Sea L una funcional lineal continua en un espacio de Hilbert H no id´enticamente cero y sea M = ker (L) = {x ∈ H : Lx = 0} . Entonces ker (L)⊥ tiene dimensi´on uno. Demostraci´ on: Sea y como en el teorema 3.39. Si z1 ∈ M ⊥ , por la demostraci´on del teorema anterior, y1 = Lz1 z1 es tal que Lx = (x, y1 ) y consecuentemente por la unicidad de y Lz1 z1 = y1 = y, es decir M ⊥ = sp {y1 } . Otra consecuencia del teorema 3.39 es que toda funcional lineal continua en un espacio de Hilbert alcanza su m´aximo en la bola unitaria. Esto es sorprendente ya que, como veremos m´as adelante en el cap´ıtulo 4, la bola en general no es compacta.

3.5. Operadores en espacios de Hilbert

53

Corolario 3.41 Si L : H → K es una funcional lineal continua, existe h0 ∈ H con h0  = 1 tal que |Lh0 | = sup {|Lx| : x ∈ H, x = 1} . Demostraci´ on: Por el teorema 3.39 existe y ∈ H tal que para toda y x ∈ H, Lx = (x, y) . Sea h0 = . Por la desigualdad de Cauchyy Schwarz, si x ≤ 1, |Lx| = |(x, y)| ≤ y . Pero Lh0 = y , que es lo que dese´abamos probar.

3.5.2

El dual de un espacio de Hilbert

Definici´ on 3.42 El espacio dual H ∗ de un espacio de Hilbert H sobre el campo K, donde K es ya sea C ´ o R, es el espacio de las funcionales lineales continuas con dominio H . Es f´acil ver que H ∗ es un espacio vectorial sobre K, usando el producto por un escalar y la suma usuales de funciones. La proposici´on siguiente describe una caracterizaci´on equivalente de los operadores lineales continuos entre dos espacios normados, que es muy conveniente y en este cap´ıtulo nos servir´a para describir el espacio dual de un espacio de Hilbert. Proposici´ on 3.43 Sean (X, ·X ) , y (Y, ·Y ) dos espacios normados y sea L : X → Y una funci´on lineal. Entonces L es continua si y s´olo si existe c ∈ R, tal que para toda x ∈ X LxY ≤ c xX . Se dice entonces que L es un operador acotado. Demostraci´ on: Supongamos primero que L es una funci´on lineal continua. En particular L es continua en 0 y por lo tanto existe δ > 0 tal que si xX < δ, entonces LxY < 1.

54

3. Espacios de Hilbert

    δx   Sean x ∈ X y > 0 cualesquiera. Entonces    (x + ) 

lo tanto

    δx   L   (x + )  X

X

< δ y por

X

< 1,

Y

o equivalentemente, LxY
0, resulta que si c = , entonces δ para cualquier x ∈ X LxY ≤ c xX . Al rev´es, supongamos que existe c tal que se satisface la desigualdad anterior para toda x ∈ X. Claramente si c = 0, L ≡ 0. Si c = 0 y > 0,

entonces, si δ = y xX < δ, tenemos que LxY < . Sea x1 ∈ X; si c x2 ∈ X y x1 − x2 X < δ, resulta que L (x1 − x2 )Y < , lo cual significa que L es continua. Lo anterior nos permite definir una norma en el espacio dual de H: Lema 3.44 La funci´ on · : H ∗ → R definida en el dual H ∗ de un espacio de Hilbert H mediante  

 h   L = sup L :h∈H  h 

para cada L ∈ H ∗ , es una norma en H ∗ . Demostraci´ on: Por la proposici´on anterior, L est´a bien definida. Se le deja al lector verificar que · efectivamente define una norma en H ∗. Acabamos de ver que H ∗ es un espacio normado, pero, aun m´as, esta norma resulta estar dada por un producto interior.

3.5. Operadores en espacios de Hilbert

55

Proposici´ on 3.45 Sea H un espacio de Hilbert y H ∗ su dual. En∗ tonces H es un espacio de Hilbert y existe una isometr´ıa lineal conjugada entre H y H ∗ . Esto significa que existe una funci´on F : H → H∗ tal que F es biyectiva, F (h1 + ch2 ) = F h1 +cF h2 para toda h1 , h2 ∈ H, c ∈ C y F h = h para toda h ∈ H. Demostraci´ on: Si y ∈ H, denotemos por Ly a la funcional lineal dada por Ly x = (x, y) para toda x ∈ H, que por el teorema 3.9 sabemos que es continua. Tenemos que |Ly x| ≤ x y para toda x ∈ H y por lo tanto Ly  ≤ y . Por otro lado 

Ly

y y



= y

y de esto obtenemos que Ly  = y .

(3.6)

Al rev´es, si L ∈ H ∗ , sabemos por el teorema 3.39 que existe y ∈ H tal que Lx = (x, y) para toda x ∈ H, es decir L = Ly . La asociaci´on y → Ly resulta ser entonces una isometr´ıa lineal conjugada, pues si y, z ∈ H y c ∈ C, entonces Ly+cz (x) = (x, y + cz) = (Ly + cLz ) (x) (3.7) para toda x ∈ H. Ahora bien, es f´acil probar que H ∗ resulta ser un espacio de Hilbert si consideramos el producto interior: (·, ·)1 definido mediante (Lx , Ly )1 = (y, x) para x, y ∈ H, y esto termina la prueba.

56

3. Espacios de Hilbert

Corolario 3.46 Sea H un espacio de Hilbert. Entonces H ∗∗ , el espacio dual de H ∗ , es isom´ etricamente isomorfo a H, es decir existe un operador lineal biyectivo entre H y H ∗∗ tal que preserva la norma. Demostraci´ on: Usaremos el hecho que toda h∗ ∈ H ∗ es de la forma Ly para alguna y ∈ H. Sea H ∗∗ el doble dual de H. Si para una x fija ∗∗ en H, la funcional h∗∗ est´a definida por x en H h∗∗ x (Ly ) = (x, y) para toda y ∈ H, entonces, usando (3.7) obtenemos que h∗∗ x es lineal y pertenece a H ∗∗ ya que como Ly  = y, h∗∗ x  = sup |(x, y)| = sup |(y, x)| = Lx  = x . Ly =1

(3.8)

y=1

Por otro lado, si h∗∗ ∈ H ∗∗ , por el teorema 3.39 y por la proposici´on anterior, existe x ∈ H tal que h∗∗ (Ly ) = (Ly , Lx ) = (x, y) = Ly x ∗∗ para toda y ∈ H. Entonces h∗∗ = h∗∗ x y por (3.8) h  = x y la ∗∗ asociaci´on x → hx nos da la isometr´ıa lineal buscada.

Para los espacios de Hilbert es muy f´acil probar el teorema de HahnBanach, que nos permite extender funcionales lineales definidas sobre subespacios cerrados a todo el espacio, conservando la norma. Este teorema se ver´a m´as adelante para espacios de Banach, donde la prueba es no trivial, pues depende del lema de Zorn. Teorema 3.47 (de Hahn-Banach) Sean M un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H y L : M → K una funcional  lineal continua.  : H → K, extensi´  Entonces existe L on de L, tal que L  = L . Demostraci´ on: Por el teorema 3.39 existe y ∈ M tal que Lx = (x, y) mediante Lx  = (x, y) para toda x ∈ H. para toda x ∈ M. Definimos L Entonces por (3.6) de la proposici´on 3.45  

 L = y = L .

3.5. Operadores en espacios de Hilbert

57

Aplicando resultados anteriores, veremos que los operadores sesquilineales de H × H en C, de manera parecida a los lineales, tambi´en se pueden expresar en t´erminos de cierto producto interior. Definici´ on 3.48 Una funci´on f : H × H → C se llama sesquilineal si el operador fy : H → C dado por fy (x) = f (x, y) para cada x, y ∈ H es lineal y el operador fx : H → C dado por fx (y) = f (x, y) para cada x, y ∈ H es lineal conjugado, es decir fx (ay) = afx (y) para toda a ∈ C y para toda y ∈ H. Diremos que f es acotada si sup {|f (x, y)| : x = y = 1} < ∞. Teorema 3.49 Sean f : H × H → C sesquilineal y acotada y K = sup {|f (x, y)| : x = y = 1} . Entonces existe un u ´nico operador lineal S : H → H acotado tal que f (x, y) = (x, Sy) para todo x, y ∈ H. Adem´ as S = sup {Sx : x = 1} = K. Demostraci´ on: Como |f (x, y)| ≤ K x y para cada x, y ∈ H, el operador lineal fy : H → C es acotado con norma menor o igual a K y . Por lo tanto, usando el teorema 3.39, sabemos que para cada y ∈ H existe un u ´nico elemento Sy tal que f (x, y) = fy (x) = (x, Sy) para toda x ∈ H. Pero para cada x ∈ H fija, para todo a ∈ C y para y1 , y2 ∈ H (x, S (y1 + ay2 )) = f (x, y1 + ay2 ) = f (x, y1 ) + af (x, y2 ) = = (x, Sy1 ) + a (x, Sy2 ) = (x, Sy1 ) + (x, aSy2 ) = = (x, Sy1 + aSy2 ) , de donde concluimos que S es lineal; como adem´as Sy = fy  ≤ K y

58

3. Espacios de Hilbert

para toda y ∈ H, resulta que S ≤ K y esto implica que S es un operador lineal acotado. Por otro lado tambi´en se satisface que |f (x, y)| = |(x, Sy)| ≤ x Sy ≤ x S y , y de aqu´ı se deduce que K ≤ S y consecuentemente K = S .

Corolario 3.50 Si f : H×H → C satisface las condiciones del teorema 3.49 y si existe K = 0 tal que |f (x, x)| ≥ K x2 , entonces, si S es el operador del teorema anterior, S es invertible y S −1  ≤ 1/K; adem´ as 



(x, y) = f x, S −1 y . Demostraci´ on: Veremos que S es biyectivo; en efecto tenemos que para toda x ∈ H x Sx ≥ |(x, Sx)| = |f (x, x)| ≥ K x2 y de aqu´ı Sx ≥ K x .

(3.9)

Esto implica que S es inyectivo. Adem´as el rango de S es cerrado, ya que si {xn } es tal que Sxn → y para alguna y ∈ H, entonces por (3.9) Sxn − Sxm  ≥ K xn − xm  , la sucesi´on {xn } es de Cauchy y por lo tanto tiene un l´ımite x0 . De la continuidad del operador S, se deduce que y = Sx0 . Supongamos ahora que SH = H. Como SH es un subespacio cerrado de H, por el corolario 3.15 existe z = 0 tal que z ∈ (SH)⊥ . Pero esto nos dice que 0 = (z, Sz) = f (z, z) ≥ K z2

3.5. Operadores en espacios de Hilbert

59

lo cual es una contradicci´on. Consecuentemente SH = H, S es invertible y   (x, y) = x, SS −1 y = f (x, S −1 y). Si x ∈ H, de (3.9) aplicado al elemento S −1 x, obtenemos  

 

x ≥ K S −1 x y en consecuencia S −1  ≤ 1/K.

3.5.3

Operadores entre espacios de Hilbert

En esta subsecci´on estudiaremos algunas clases especiales de operadores en espacios de Hilbert. En primer t´ermino veremos que todo operador de un espacio de Hilbert H en s´ı mismo, tiene asociado otro operador, tambi´en de H en H, llamado operador adjunto. La relaci´on entre un operador y su adjunto es de gran importancia; un ejemplo de ello es su utilidad en la soluci´on de ecuaciones diferenciales parciales. En lo que sigue B (H) denotar´a al espacio normado completo de los operadores lineales continuos de H en H equipado con la norma T  = sup {T x : x ∈ H, x ≤ 1} . (Ver ejercicio 14). Teorema 3.51 Sean T, S ∈ B (H) y α ∈ C. Entonces existen T ∗ , S ∗ pertenecientes a B (H) tales que: (1) (T x, y) = (x, T ∗ y) para toda x, y ∈ H. (2) T  = T ∗  . (3) (T + S)∗ = T ∗ + S ∗ . (4) (αT )∗ = αT ∗ . (5) (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S ∗ . (6) T ∗∗ = T.

60

3. Espacios de Hilbert T ∗ se llama el operador adjunto de T.

Demostraci´ on: Sea T ∈ B (H) . Entonces para cada x, y ∈ H, se tiene que (T (·) , y) : H → C es lineal, (T x, ·) : H → C es lineal conjugada y sup {|(T x, y)| : x = y = 1} ≤ T  . Como para x ∈ H con T x = 0    T x    = T x  T x,  T x 

y T  = supx=1 T x , resulta que sup {|(T x, y)| : x = y = 1} = T  . Usando el teorema 3.49 existe entonces un u ´nico operador en B (H) ∗ que denotaremos por T que satisface (1) y (2). Sea S ∈ B (H) . Como para x, y ∈ H ((S + T ) x, y) = (Sx, y) + (T x, y) = (x, S ∗ y) + (x, T ∗ y) = = (x, (S ∗ + T ∗ ) y) , aplicando el teorema 3.2 (5) obtenemos que (S + T )∗ = S ∗ + T ∗ . Ahora bien, para toda x, y ∈ H (αT x, y) = α (T x, y) = α (x, T ∗ y) = (x, αT ∗ y) , y aplicando nuevamente el teorema 3.2 (5), obtenemos (4). Como para x, y ∈ H, (ST x, y) = (T x, S ∗ y) = (x, T ∗ S ∗ y) , obtenemos (5), y de (T x, y) = (x, T ∗ y) = (T ∗ y, x) = (y, T ∗∗ x) = (T ∗∗ x, y) para x, y ∈ H, aplicando nuevamente el teorema 3.2 (5), obtenemos (6).

3.5. Operadores en espacios de Hilbert

61

Adem´as, de T x2 = (T x, T x) = (x, T ∗ T x) ≤ T ∗ ◦ T  x2 tenemos que T 2 ≤ T ∗ ◦ T 2 . Por otro lado, de (2) se deduce que T ∗ ◦ T  ≤ T ∗  T  = T 2 , de manera que para toda T ∈ B (H) se cumple T ∗ ◦ T  = T 2 . Observemos que si al operador adjunto T ∗ lo vemos como un operador τ ∗ : H ∗ → H ∗ , es decir si para y ∗ ∈ H ∗ τ ∗ y ∗ = LT ∗ y , donde y ∈ H es tal que y ∗ = Ly , entonces tenemos para x ∈ H τ ∗ y ∗ (x) = LT ∗ y (x) = (x, T ∗ y) = (T x, y) = Ly (T x) = y ∗ (T x) . Esto implica que τ ∗ es el operador adjunto de T en el sentido de operadores en espacios de Banach que se ver´a m´as adelante. Sean ahora T ∈ B(H) y ker(T ) el espacio nulo de T definido en el corolario 3.40 como ker T = {x ∈ H : T x = 0} y sea R(T ) el rango de T dado por R (T ) = {y ∈ H : existe x ∈ H tal que T x = y} . Tenemos entonces las siguientes relaciones entre los rangos y los espacios nulos de T y T ∗ : Teorema 3.52 Si T ∈ B(H), entonces ker(T ∗ ) = R (T )⊥

y

ker(T ) = R (T ∗ )⊥ .

62

3. Espacios de Hilbert

Demostraci´ on: Sea y ∈ H. Entonces T ∗ y = 0 ⇔ (x, T ∗ y) = 0 para toda x ∈ H ⇔ ⇔ (T x, y) = 0 para toda x ∈ H y esto demuestra la primera afirmaci´on. Por otro lado T x = 0 ⇔ (T x, y) = 0 para toda y ∈ H ⇔ ⇔ (x, T ∗ y) = 0 para toda y ∈ H y esto demuestra la segunda. Observamos que ´esta tambi´en se puede obtener a partir de la primera, aplic´andosela al operador T ∗ , teniendo en mente que T ∗∗ = T. Los operadores lineales que se comportan bien respecto a sus adjuntos tienen varias aplicaciones en la pr´actica. Definiremos a continuaci´on algunos de estos operadores. Definici´ on 3.53 Sea T ∈ B(H). Entonces T se llama i) autoadjunto o hermitiano si T ∗ = T, ii) normal si T ∗ ◦ T = T ◦ T ∗ , iii) unitario si T ∗ ◦ T = I = T ◦ T ∗ donde I es el operador identidad en H. Los operadores autoadjuntos tienen especial relevancia en la mec´anica cu´antica, en la cual las llamadas “observables” son precisamente operadores de esta ´ındole. Una de las razones fundamentales por las que se usan estos operadores, es que tienen la virtud de que sus valores propios son reales. Es f´acil ver que la suma de dos operadores autoadjuntos es un operador autoadjunto, as´ı como el producto de un n´ umero real por un operador autoadjunto. La demostraci´on del lema siguiente es inmediata a partir de la definici´on de operador autoadjunto y del teorema 3.51.

3.5. Operadores en espacios de Hilbert

63

Lema 3.54 El producto de dos operadores autoadjuntos S y T es autoadjunto si y s´olo si S ◦ T = T ◦ S. Del lema y la discusi´on anteriores se concluye que si p es un polinomio con coeficientes reales, entonces p (T ) es un operador autoadjunto para cada operador autoadjunto T. El siguiente teorema sobre operadores autoadjuntos se usa frecuentemente, sobre todo en el caso en el que los operadores son proyecciones ortogonales. Teorema 3.55 Sean S, T ∈ B(H) con S autoadjunto. Entonces S ◦ T = 0 si y s´olo si R(S) ⊥ R(T ). Demostraci´ on: Para toda x, y ∈ H, (Sx, T y) = (x, S ∗ T y) = (x, ST y) .

Si T es cualquier operador entonces existen dos operadores autoadjuntos u ´nicos T1 y T2 tales que T = T1 + iT2 . Estos operadores que se podr´ıan llamar la parte real e imaginaria de T est´an dados por 1 1 T1 = (T + T ∗ ) y T2 = (T − T ∗ ) . 2 2i Si T = T1 + iT2 = S1 + iS2

(3.10)

con S1 y S2 operadores autoadjuntos, entonces T1 − iT2 = T1∗ − iT2∗ = S1∗ − iS2∗ = S1 − iS2 .

(3.11)

Sumando y restando (3.10) y (3.11) obtenemos que T1 = S1 y T2 = S2 . El hecho de que en general la parte real y la parte imaginaria de un operador no conmutan, complica considerablemente su estudio; esto dio lugar a la definici´on de los operadores normales.

64

3. Espacios de Hilbert

Lema 3.56 Si T = T1 + iT2 donde T1 y T2 , la parte real e imaginaria de T, son operadores autoadjuntos, entonces T es un operador normal si y s´ olo si T1 ◦ T2 = T2 ◦ T1 . Demostraci´ on: Como T ∗ = T1∗ − iT2∗ , T ∗ ◦ T = T1∗ ◦ T1 + T2∗ ◦ T2 + i (T1∗ ◦ T2 − T2∗ ◦ T1 ) = = T1 ◦ T1 + T2 ◦ T2 + i (T1 ◦ T2 − T2 ◦ T1 ) y

T ◦ T ∗ = T1 ◦ T1∗ + T2 ◦ T2∗ + i (T2 ◦ T1∗ − T1 ◦ T2∗ ) = = T1 ◦ T1 + T2 ◦ T2 + i (T2 ◦ T1 − T1 ◦ T2 ) ,

entonces T ∗ ◦ T = T ◦ T ∗ si y s´olo si T1 ◦ T2 = T2 ◦ T1 . El siguiente teorema da otras propiedades de los operadores normales cuya prueba se deja como ejercicio al lector. Teorema 3.57 Sea T ∈ B(H). Entonces a) T es normal si y s´ olo si T x = T ∗ x para toda x ∈ H. b) Si T es normal, entonces ker(T ) = ker(T ∗ ) = R(T )⊥ . c) Si T es normal y para alguna x ∈ H y para alguna α ∈ C , T x = αx, entonces T ∗ x = αx. Veremos que los operadores lineales unitarios son precisamente aqu´ellos que son suprayectivos y preservan el producto interior, y por esto se les conoce como automorfismos de un espacio de Hilbert; se pueden caracterizar de varias maneras: Teorema 3.58 Sea T ∈ B(H). Entonces son equivalentes las siguientes tres afirmaciones: a) T es unitario b) R(T ) = H y (T x, T y) = (x, y) para toda x, y ∈ H. c) R(T ) = H y T x = x para toda x ∈ H.

3.5. Operadores en espacios de Hilbert

65

Demostraci´ on: a)⇒b) Supongamos que T es un operador acotado y unitario en H. Entonces, como T es invertible, R(T ) = H y adem´as para toda x, y ∈ H, tenemos que (T x, T y) = (x, T ∗ T y) = (x, y) .

(3.12)

b)⇒c) Supongamos ahora que R(T ) = H y (T x, T y) = (x, y) para toda x, y ∈ H; en particular tomando y = x, obtenemos c). c)⇒a) Si R(T ) = H y T x = x para toda x ∈ H, entonces (x, x) = (T x, T x) = (x, T ∗ T x)

(3.13)

y si denotamos por S al operador T ∗ ◦ T − I, esto nos dice que (x, Sx) = 0

(3.14)

para toda x ∈ H. Sean x, y ∈ H; aplicando (3.14) al elemento x + y obtenemos 0 = (x + y, S (x + y)) = (x, Sx) + (x, Sy) + (y, Sx) + (y, Sy) = = (x, Sy) + (y, Sx) . (3.15) Si ahora tomamos iy en lugar de y en (3.15) resulta: 0 = −i (x, Sy) + i (y, Sx) o sea que 0 = − (x, Sy) + (y, Sx) .

(3.16)

Restando (3.15) y (3.16) deducimos que (x, Sy) = 0 para toda x, y ∈ H y por lo tanto, si tomamos x = Sy, tenemos que Sy = 0 para toda y ∈ H. En el caso real, como (y, Sx) = (Sx, y) , de (3.15) obtenemos para toda x, y ∈ H 0 = (x, Sy) + (y, Sx) = (x, Sy) + (Sx, y) = (x, (S + S ∗ ) y) , de donde S + S ∗ = 0 y S = −S ∗ . Como S = S ∗ , deducimos que S = 0.

66

3. Espacios de Hilbert Por lo tanto en ambos casos T ∗T y = y

(3.17)

para toda y ∈ H. Como R(T ) = H, para toda y ∈ H existe u ∈ H tal que y = T u. Aplicando (3.17) T T ∗ y = T (T ∗ T u) = T u = y. Esto concluye la prueba. Observemos que para que T sea un operador unitario no basta una sola de las dos condiciones T ◦ T ∗ = I ´o T ∗ ◦ T = I. Por ejemplo si ∞ definimos T : l2 → l2 por T ({xn }∞ n=1 ) = {xn−1 }n=1 , donde x0 = 0, es ∞ ∗ ∗ claro que T x = x , T est´a dado por T ({xn }∞ n=1 ) = {xn+1 }n=1 y T ∗ T = I. Sin embargo T no es un operador unitario ya que no es suprayectivo. La raz´on por la cual no es suficiente una sola de las dos condiciones anteriores es la siguiente: en el caso de espacios de Hilbert de dimensi´on infinita para que un operador T perteneciente a B (H) tenga un operador inverso tambi´en en B (H) , es necesario que T sea suprayectivo e inyectivo, mientras que en el caso de espacios de dimensi´on finita, tanto la suprayectividad como la inyectividad solas son suficientes.

3.6

Operadores positivos

En esta secci´on hablaremos de los operadores positivos en espacios de Hilbert. Estos operadores tienen una propiedad an´aloga a la de los n´ umeros reales positvos, es decir existe un operador positivo cuyo cuadrado es el operador original. En lo que resta del cap´ıtulo H denotar´a un espacio de Hilbert complejo. Definici´ on 3.59 Un operador T ∈ B (H) se llama positivo si para toda x ∈ H, (T x, x) ≥ 0; en este caso escribimos T ≥ 0. Si S, T ∈ B (H) diremos que S ≤ T si T − S ≥ 0. El lema siguiente se deja como ejercicio al lector.

3.6. Operadores positivos

67

Lema 3.60 Sea T : H → H lineal. Entonces para toda x, y ∈ H (T x, y) = 14 [(T (x + y) , x + y) − (T (x − y) , x − y)] + + 14 [i (T (x + iy) , x + iy) − i (T (x − iy) , x − iy)] .

(3.18)

El siguiente teorema y su corolario describen algunas propiedades importantes de los operadores positivos. Teorema 3.61 Sea T ∈ B (H) positivo; entonces a) T es autoadjunto. b) |(T x, y)|2 ≤ (T x, x) (T y, y) para toda x, y ∈ H. c) T x2 ≤ T  (T x, x) . d) T  = supx=1 |(T x, x)| . Demostraci´ on: Sea x ∈ H. Entonces 0 ≤ (T x, x) = (x, T x) = ∗ (T x, x) y usando (3.14), (3.15) y (3.16), obtenemos que T = T ∗ , lo que prueba a). b) Se prueba de manera semejante a la desigualdad de CauchySchwarz. c) Por b), T x4 = (T x, T x)2 ≤ (T x, x) (T 2 x, T x) ≤ (T x, x) T  T x2 . d) Si x ∈ H con x = 1, claramente |(T x, x)| ≤ T x x = T x ≤ T  . 1

Adem´as por b) T x = 0 (ver ejercicio 19). Sean α = T x 2 , y = β = supz=1 |(T z, z)| . Por (3.18) y como T x2 es real,

Tx y α

T x2 = (T αx, y) = 14 [(T (αx + y) , αx + y) − (T (αx − y) , αx − y)] ≤ ≤

β 4

$

%

αx + y2 + αx − y2 = =

β 2

$

β 2

$

%

αx2 + y2 =

%

|α|2 + T x = β T x .

Consecuentemente T x ≤ β y entonces T  = supz=1 |(T z, z)| .

68

3. Espacios de Hilbert

Corolario 3.62 Si S, T ∈ B (H) y 0 ≤ S ≤ T, entonces S ≤ T  . El hecho de que el producto de dos operadores positivos que conmutan entre s´ı es tambi´en positivo, es parte crucial en la prueba de la existencia de la ra´ız cuadrada de un operador positivo. Aunque el enunciado es muy simple, su demostraci´on requiere de la proposici´on siguiente que involucra series de operadores positivos. Proposici´ on 3.63 Sea T ∈ B (H) positivo, entonces existe una sucesi´on {Tn } de operadores que son polinomios en T con coeficientes reales, tal que para toda x ∈ H Tx =

∞

n=1

Tn2 x.

T y T  Sn+1 = Sn − Sn2 para n = 1, 2, ...; entonces por inducci´on sobre n y m es claro que Sn Sm = Sm Sn y que Sn es un polinomio en T con coeficientes reales. Veremos ahora, nuevamente por inducci´on, que

Demostraci´ on: Podemos suponer que T = 0. Sean S1 =

0 ≤ Sn ≤ I,

(3.19)

donde I es la identidad. Para n = 1 por c) del teorema anterior la afirmaci´on es inmediata. Supongamos que (3.19) es cierto para n = m. Como por hip´otesis de inducci´on I − Sm y Sm son autoadjuntos y 

y





2 Sm (I − Sm ) x, x = ((I − Sm ) Sm x, Sm x) ≥ 0



Sm (I − Sm )2 x, x = (Sm (I − Sm ) x, (I − Sm ) x) ≥ 0

2 (I − Sm ) ≥ 0 y Sm (I − Sm )2 ≥ 0 y consecuentemente se sigue que Sm 2 (I − Sm ) + Sm (I − Sm )2 ≥ 0 Sm+1 = Sm

y

2 ≥0 I − Sm+1 = I − Sm + Sm

lo cual prueba (3.19).

3.6. Operadores positivos De

n

m=1

2 Sm = S1 − Sn+1 ≤ S1 , se sigue que n m=1

(Sm x, Sm x) ≤ (S1 x, x)

→ 0. Entonces y por lo tanto Sm x n→∞ (

Tn =

69

n

m=1

2 Sm x n→∞ → S1 x. Tomando

T Sn , obtenemos la proposici´on.

Corolario 3.64 Si T y S son operadores positivos y ST = T S, entonces ST es positivo. Demostraci´ on: Sea Tn como en el teorema anterior. Entonces claramente Tn S = STn y (ST x, x) =

∞  n=1



STn2 x, x =

∞ n=1

(STn x, Tn x) ≥ 0.

El siguiente teorema es la segunda herramienta esencial en la prueba de la existencia de ra´ıces de operadores positivos. Teorema 3.65 Sean {Tn } , B en B (H) tales que 0 ≤ Tn ≤ Tn+1 ≤ B para toda n ∈ N. Entonces existe T ∈ B (H) positivo tal que para toda x ∈ H, limn Tn x = T x. Demostraci´ on: Sea x ∈ H; como 0 ≤ (Tn x, x) ≤ (Tn+1 x, x) ≤ (Bx, x) , existe limn (Tn x, x) . De (3.18) se sigue que para toda y ∈ H existe limn (Tn x, y) = f (x, y) . Es f´acil ver que f : H × H → C es sesquilineal y por el corolario 3.62, para x, y ∈ SH |(Tn x, y)| ≤ Tn  ≤ B . Usando el teorema 3.49 existe T ∈ B (H) con T  ≤ B tal que para toda x, y ∈ H, limn (Tn x, y) = (T x, y) . Claramente T es positivo y por c) del teorema 3.61 T x − Tn x2 ≤ T − Tn  |(T x, x) − (Tn x, x)| ≤ ≤ 2 B |(T x, x) − (Tn x, x)| → 0. n→∞

70

3. Espacios de Hilbert

Teorema 3.66 Sea T ∈ B (H) positivo. Entonces existe un u ´nico operador positivo S tal que S 2 = T. Adem´ as S conmuta con cualquier operador lineal acotado que conmuta con T. A S se le llama ra´ız cuadrada de T. Demostraci´ on: Supongamos primero que T ≤ I. Sean T0 = 0 y para n ≥ 0,  1 Tn+1 = Tn + T − Tn2 . (3.20) 2 Por inducci´on es f´acil ver que para n = 1, 2, ... Tn es autoadjunto y conmuta con todo operador que conmuta con T. Tenemos que I − Tn+1 = I − Tn + 12 Tn2 − 12 T = 2

1 2

(3.21)

1 2

= (I − Tn ) + (I − T ) ; de aqu´ı se obtiene que Tn+1 − Tn =

1 2

$

%

(I − Tn−1 )2 − (I − Tn )2 = (3.22)

1 2

= [(I − Tn−1 ) + (I − Tn )] [Tn − Tn−1 ] . De (3.21) se sigue que Tn ≤ I para todo n y del corolario 3.64, (3.22) y por inducci´on, que Tn ≤ Tn+1 . Por el teorema 3.65 existe S positivo tal que para toda x ∈ H, limn Tn x = Sx. De (3.20) resulta que Sx = Sx +

 1 T x − S 2x , 2

es decir S 2 = T. Adem´as, como Tn conmuta con todo operador que conmuta con T, S tambi´en lo hace. En el caso general sea > 0 tal que 2 T  < 1. Entonces 2 T ≤ I (ver ejercicio 19) y consecuentemente existe S1 ∈ B (H) positivo que satisface S12 = 2 T. Sea S = 1 S1 . Supongamos ahora que L ∈ B (H) positivo satisface L2 = T. Entonces LT = LL2 = L2 L = T L, por lo tanto LT = T L y en consecuencia LS = SL.

3.7. Ejercicios

71

Sean x ∈ H y y = (S − L) x. Entonces (Sy, y) + (Ly, y) = ((S + L) y, y) = ((S + L) (S − L) x, y) = = ((S 2 − L2 ) x, y) = 0. Como (Sy, y) ≥ 0 y (Ly, y) ≥ 0, se sigue que (Sy, y) = 0 = (Ly, y). Sea ahora C ∈ B (H) positivo tal que C 2 = S; entonces 



Cy2 = C 2 y, y = (Sy, y) = 0 y por lo tanto Cy = 0 y Sy = C (Cy) = 0. An´alogamente Ly = 0. Por lo tanto 



Sx − Lx2 = (S − L)2 x, x = ((S − L) y, x) = 0 y de ah´ı S = L.

3.7

Ejercicios

1. Demuestre que el espacio H3 definido en los ejemplos no es un espacio completo. 2. Demuestre que si H es un espacio de Hilbert complejo con un producto interior (·, ·) y x, y ∈ H, entonces (x, y) =

% 1$ x + y2 − x − y2 + i x + iy2 − i x − iy2 . 4

3. Sea H un espacio normado completo en el cual la norma satisface la ley del paralelogramo. Demuestre que H es un espacio de Hilbert. 

4. Sea A un conjunto infinito y {yα }α∈A ⊂ C tal que α∈A yα es convergente. Demuestre que el conjunto de ´ındices para los cuales yα es distinto de cero es a lo m´as numerable. 

5. Demuestre que si yα ≥ 0 para α ∈ A, entonces α∈A yα = y si y s´olo si dado > 0 existe J ⊂ A finito tal que si I ⊂ A es finito y  J ⊂ I, se tiene que | α∈I yα − y| < .

72

3. Espacios de Hilbert ∞ 6. Sean H un espacio de Hilbert, {xn }∞ n=1 , {yn }n=1 sucesiones en H y x ∈ H.

→ 0 y {yn }∞ a acotada, entonces (xn , yn ) n→∞ → 0. (a) Si xn n→∞ n=1 est´ (b) Si xn  → x y (xn , x) → (x, x) , entonces xn → x. n→∞ n→∞ n→∞ on en H. 7. Sean H un espacio de Hilbert y {xn }∞ n=1 una sucesi´ 

2 (a) Si {xn }∞ on ortogonal tal que ∞ n=1 xn  < ∞, n=1 es una sucesi´  n entonces {yn }∞ on de Cauchy. i=1 xi , es una sucesi´ n=1 , donde yn =



2 ∞ (b) D´e un ejemplo de una sucesi´on {xn }∞ n=1 xn  < ∞ n=1 con n tal que si yn = i=1 xi , {yn }∞ on de Cauchy. n=1 no es una sucesi´

on ortonormal en un espa8. Supongamos que {ψn }∞ n=1 es una sucesi´  2 cio de Hilbert H y que x ∈ H es tal que x2 = ∞ n=1 |(x, ψn )| . ∞ Entonces x = n=1 (x, ψn ) ψn . 9. Si M es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert, demuestre  ⊥ que M ⊥ = M. 10. Sea M un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H. Demuestre que el cociente H/M es un espacio de Hilbert si lo equipamos con la norma x = inf {x + h : h ∈ M } . 11. Demuestre el teorema 3.57. 12. Sean H un espacio de Hilbert y {φn }∞ n=0 una base ortonormal 1 φ2n+1 y en H. Si para n = 0, 1, 2, ... an = φ2n , bn = φ2n + n+1 ∞ X es la cerradura del espacio vectorial sp {an }n=0 generado por ∞ {an }∞ n=0 y Y es la cerradura de sp {bn }n=0 , entonces (a) X ∩ Y = {0} . (b) X + Y es denso en H pero no es un conjunto cerrado. 13. Demuestre que la funci´on · definida en el lema 3.44 es una norma en H ∗ .

3.7. Ejercicios

73

14. Demuestre que B(H) es un espacio normado completo. 15. Sean S, T ∈ B (H) . Pruebe que si S ∗ ◦ S + T ∗ ◦ T = 0, entonces S = T = 0. ∞ 16. Sea {φn }∞ n=1 una base ortonormal en H y sea {λn }n=1 ⊂ C una sucesi´on acotada con M = sup {|λn | : n = 1, 2, ...}. Demuestre que existe un operador lineal T u ´nico tal que T φn = λn φn para n = 1, 2, .... Adem´as T es tal que T  = M y T ∗ ◦ T = T ◦ T ∗ .

17. Si S y T son operadores unitarios en un espacio de Hilbert, tambi´en lo es S ◦ T. 18. Si S y T son operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert, entonces S ◦ T es autoadjunto si y s´olo si S ◦ T = T ◦ S. 19. Sean H un espacio de Hilbert complejo y T ∈ B (H) positivo. Demuestre que (a) Si S es positivo S + T es positivo (b) T ∗ ◦ T ≥ 0 para toda T ∈ B (H) . (c) Si T es positivo y S ∈ B (H), entonces S ∗ ◦ T ◦ S ≥ 0. (d) T x = 0 si y s´olo si (T x, x) = 0. (e) Sea > 0 tal que T  < 1, entonces T ≤ I. 20. Considere el espacio real L2 ((−∞, ∞) , A, μ) donde A es la sigma´algebra de Borel en R y μ es la medida definida por 

μA =

A

2

e−t dt

para cada A ∈ A. Empezando por el conjunto de funciones {fn } donde fn (t) = tn , use el m´etodo de ortogonalizaci´on de Gram Schmidt para encontrar una sucesi´on ortogonal. Si multiplicamos el en´esimo t´ermino de la sucesi´on obtenida por aquel escalar para el cual el coeficiente de tn sea 2n , obtenemos el conjunto de polinomios de Hermite .

74

3. Espacios de Hilbert

Cap´ıtulo 4 Espacios normados y de Banach 4.1

Introducci´ on

En 1910 y 1913 Riesz, al estudiar las ecuaciones integrales y el problema de momentos, introdujo los espacios Lp y lp , con 1 < p < ∞. Demostr´o que son espacios normados completos reflexivos tales que no son isomorfos a su dual, si p = 2. Posteriormente, Banach dio las definiciones abstractas de espacio vectorial y de norma y por eso los espacios normados completos llevan su nombre.

4.2

Definici´ on y propiedades elementales

Todos los espacios con que trataremos aqu´ı ser´an espacios vectoriales sobre el campo K, que denotar´a a los reales o a los complejos indistintamente. Definici´ on 4.1 Una seminorma en un espacio vectorial E sobre K es una funci´on ρ : E → R tal que para todo x, y ∈ E y α ∈ K: (i) ρ (x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) (ii) ρ (αx) = |α| ρ(x) 75

76

4. Espacios normados y de Banach

El siguiente lema nos da algunas propiedades de las seminormas que ser´an de utilidad posteriormente: Lema 4.2 Si ρ es una seminorma en un espacio vectorial X sobre K, entonces dados x, y ∈ X tenemos: (a) ρ(0) = 0 (b) |ρ(x) − ρ(y)| ≤ ρ(x − y) (c) ρ(x) ≥ 0 (d) {x ∈ X : ρ(x) = 0} es un subespacio de X Demostraci´ on: (a) Se obtiene directamente de ρ(αx) = |α| ρ(x) tomando α = 0. (b) Como ρ es subaditiva tenemos que ρ(x) = ρ(x − y + y) ≤ ρ(x − y) + ρ(y), de donde ρ(x) − ρ(y) ≤ ρ(x − y). Intercambiando x con y y como de (ii) de la definici´on 4.1 se tiene que ρ(x − y) = ρ(y − x), obtenemos el resultado. (c) Es consecuencia de (b) con y = 0. (d) Supongamos que x, y ∈ X son tales que ρ(x) = ρ(y) = 0 y sean α, β ∈ K. De (i), (ii) de la definici´on 4.1 y (c) tenemos que 0 ≤ ρ(αx + βy) ≤ |α| ρ(x) + |β| ρ(y) = 0, lo que prueba (d). Notemos que toda norma es una seminorma y que una seminorma que adem´as satisface ρ (x) = 0 si y s´olo si x = 0, es una norma. Definici´ on 4.3 Un espacio normado es un espacio vectorial X con una norma · . Un espacio de Banach es un espacio normado completo. Y es un subespacio de un espacio normado X si es un subespacio vectorial y la norma en Y es la restricci´ on de la norma en X a Y.

4.2. Definici´on y propiedades elementales

77

Es claro que los subespacios cerrados de espacios de Banach son tambi´en espacios de Banach. Recordemos que en un espacio normado (X, ·) , la topolog´ıa tiene como base al conjunto de las bolas abiertas con centro en x y radio : B (x) = {y ∈ X : x − y < } . Es f´acil probar que tanto las bolas abiertas como las cerradas son conjuntos convexos. Adem´as es claro que x + B (0) = B (x) y como consecuencia obtenemos que si A, V ⊂ X con V abierto, entonces A + V = {a + v : a ∈ A, v ∈ V } =



(a + V )

(4.1)

a∈A

es abierto. El siguiente resultado dio pie a que se generalizara la noci´on de espacio normado a la de espacio vectorial topol´ogico. Proposici´ on 4.4 Sea X un espacio normado; entonces (a) La funci´on suma de X × X en X dada por f (x, y) = x + y es continua. (b) La funci´on producto por un escalar de K ×X en X, dada por g (α, x) = αx, es continua. Demostraci´ on: (a) Sean x, y ∈ X; como para toda z1 , z2 ∈ X, z1 + z2 − (x + y) ≤ z1 − x + z2 − y , obtenemos la continuidad de la suma. (b) La continuidad del producto es consecuencia de la desigualdad siguiente: αz − βx ≤ |α| z − x + |α − β| x . De la continuidad de las operaciones en un espacio normado, obtenemos las siguientes relaciones entre cerraduras e interiores de sumas de conjuntos, que nos dan informaci´on sobre la topolog´ıa del espacio.

78

4. Espacios normados y de Banach

Lema 4.5 Sean X un espacio normado y A, B ⊂ X. Entonces A+B ⊂A+B e intA + intB ⊂ int (A + B) . Demostraci´ on: Si a ∈ A, b ∈ B y r > 0, existen x ∈ Br/2 (a) ∩ A y y ∈ Br/2 (b) ∩ B. Como Br/2 (a) + Br/2 (b) ⊂ Br (a + b), obtenemos que x + y ∈ Br (a + b) ∩ (A + B) y entonces a + b ∈ A + B y esto prueba la primera afirmaci´on. Como intA ⊂ A, intB ⊂ B, tenemos que intA + intB ⊂ A + B, y por (4.1) intA + intB es abierto; esto prueba la segunda afirmaci´on. Ejemplos 1. Sea X un espacio topol´ogico no vac´ıo, entonces 



C(X) = f : X → K : f es continua y sup |f (t)| < ∞ t∈X

es un espacio vectorial y la expresi´on f  = sup |f (t)| define una t∈X norma. 2. Sea c0 el espacio vectorial de las sucesiones de escalares x = (xn )∞ n=1 que convergen a 0, con las operaciones coordenada a coordenada, equipado con la norma x = sup |xi | . i∈ N 3. Sea l∞ el espacio vectorial de las sucesiones acotadas x = (xn )∞ n=1 con xn ∈ K para n = 1, 2, ..., con la norma x∞ = sup |xi | . i∈ N 4. Dado 1 ≤ p < ∞, lp se define como el espacio vectorial de las ∞ p sucesiones x = (xn )∞ < ∞, con n=1 |xn | n=1 ⊂ K tales que las operaciones coordenada a coordenada, dotado con la norma  p 1/p x = ( ∞ . n=1 |xn | ) No es dif´ıcil probar que en los ejemplos 1, 2 y 3 se obtiene un espacio normado completo y esto se deja como ejercicio para el lector.

4.2. Definici´on y propiedades elementales

79

El caso de lp para 1 ≤ p < ∞ es m´as complicado pues se requieren varias desigualdades para poder demostrar que es un espacio normado. Las desigualdades de H¨older y Minkowski son cruciales para el estudio tanto de los espacios lp como de los espacios Lp . Aqu´ı presentaremos su versi´on para lp y las aplicaremos para probar la desigualdad del tri´angulo en dicho espacio. Lema 4.6 Si α > 0 y β > 0 son tales que α + β = 1 entonces para toda x > 0 y y > 0 se tiene que: xα y β ≤ αx + βy. Demostraci´ on: Como 0 < α < 1, la funci´on f : (0, ∞) → R dada por f (t) = tα es c´oncava, pues f  (t) = α (α − 1) tα−2 < 0. Por lo tanto la gr´afica de f est´a por debajo de la tangente que pasa por el punto (1, 1), cuya ecuaci´on es y = αt + (1 − α) , es decir tα ≤ αt + 1 − α = αt + β. Si x hacemos t = entonces y xα x ≤α +β α y y y multiplicando por y obtenemos la desigualdad deseada. Proposici´ on 4.7 (Desigualdad de H¨ older) Si 1 < p, q < ∞ son 1 1 tales que + = 1, entonces para cualesquiera sucesiones finitas de p q escalares (xi )ni=1 y (yi )ni=1 tenemos que n i=1

|xi yi | ≤

 n i=1

p

|xi |

1/p  n i=1

q

|yi |

1/q

.

Notemos que el caso p = q = 2 da la desigualdad de Cauchy-Schwarz que probamos en el cap´ıtulo 3.   Demostraci´ on: Si ni=1 |xi |p = 0 ´o ni=1 |yi |q = 0 el resultado es obvio. n  Supongamos entonces que i=1 |xi |p > 0 y que ni=1 |yi |q > 0 y sean 1 |xi |p |yi |q 1 α = , β = , ui = n p y vi = n q. p q i=1 |xi | i=1 |yi |

80

4. Espacios normados y de Banach

Entonces que n i=1

n

i=1

ui =

i=1

vi = 1 y con ayuda del lema 4.6 obtenemos

|xi | |yi |

n

(

n

1/p

p i=1 |xi | )

n

=

1/q

q i=1 |yi | )

(

=α

n i=1

ui + β

n i=1

n i=1

uαi viβ ≤

n i=1

(αui + βvi ) =

vi = α + β = 1,

de donde se sigue claramente la proposici´on. Proposici´ on 4.8 (Desigualdad de Minkowski) Si 1 ≤ p < ∞, ∞ p para cualesquiera sucesiones de escalares x = (xi )∞ i=1 , y = (yi )i=1 ∈ l tenemos ∞ i=1

p

1/p

|xi + yi |

≤

∞ i=1

p

1/p

|xi |

+

∞ i=1

p

1/p

|yi |

.

Demostraci´ on: Si x + y = 0 o´ si p = 1 la desigualdad es clara. Supongamos entonces que p > 1, x + y = 0 y n ∈ N. En este caso tenemos n i=1

|xi + yi |p = ≤

n i=1

n i=1

|xi + yi |p−1 |xi + yi | ≤ (4.2)

|xi + yi |p−1 (|xi | + |yi |) .

1 1 + = 1 entonces (p − 1) q = p, y usando p q la desigualdad de H¨older se sigue que

Por otro lado si q es tal que

n i=1

p−1

|xi + yi |

|xi | ≤

 n i=1

(p−1)q

|xi + yi |

1/q  n i=1

p

|xi |

1/p

= (4.3)

=

 n i=1

1/q  n p

|xi + yi |

i=1

|xi |p

1/p

.

4.2. Definici´on y propiedades elementales

81

An´alogamente obtenemos la desigualdad n i=1

p−1

|xi + yi |

|yi | ≤

 n i=1

p

|xi + yi |

1/q  n i=1

p

1/p

|yi |

.

(4.4)

Sumando (4.3) y (4.4), de (4.2) se tiene n i=1

|xi + yi |p ≤

 n i=1

1/q ⎛ n 1/p  n 1/p ⎞ ⎝ ⎠, |xi + yi |p |xi |p + |yi |p i=1

n

de donde, dividiendo por (  n i=1

p

i=1

1/p

|xi + yi |

≤

i=1

1/q

|xi + yi |p )

 n i=1

p

, se llega a

1/p

|xi |

+

 n i=1

p

1/p

|yi |

.

Ahora bien, como x, y ∈ lp , entonces  n i=1

p

|xi + yi |

1/p

≤

∞ i=1

p

|xi |

1/p

+

∞ i=1

p

1/p

|yi |

y como esto es cierto para toda n ∈ N, obtenemos la desigualdad deseada. La desigualdad de Minkowski nos da la desigualdad del tri´angulo para el espacio lp . La demostraci´on de que este espacio es completo es similar a la del caso p = 2 que hicimos en el cap´ıtulo de espacios de Hilbert y se deja como ejercicio al lector. Dado un espacio vectorial X se pueden definir distintas normas sobre ´el. Si dos de ellas inducen la misma topolog´ıa sobre X, los espacios normados que se obtienen tienen la misma estructura algebraica y topol´ogica y en ese sentido son el mismo. Definici´ on 4.9 Dos normas ·1 y ·2 en un espacio vectorial X son equivalentes si inducen la misma topolog´ıa en X. Probaremos una caracterizaci´on muy u ´til de la equivalencia entre normas, que requiere del siguiente lema.

82

4. Espacios normados y de Banach

Lema 4.10 Si ρ y σ son seminormas en un espacio vectorial X, entonces son equivalentes: (a) ρ(x) ≤ σ(x) para toda x ∈ X. (b) {x ∈ X : σ(x) < 1} ⊂ {x ∈ X : ρ(x) < 1} , es decir, ρ(x) < 1 siempre que σ(x) < 1. (c) {x ∈ X : σ(x) ≤ 1} ⊂ {x ∈ X : ρ(x) ≤ 1} , es decir, ρ(x) ≤ 1 siempre que σ(x) ≤ 1. (d) {x ∈ X : σ(x) < 1} ⊂ {x ∈ X : ρ(x) ≤ 1} , es decir, ρ(x) ≤ 1 siempre que σ(x) < 1. Demostraci´ on: Claramente (a) implica las otras tres condiciones y (b) implica (d) . Veremos que, tanto (c) como (d) , implican (a) . Supongamos   que se cumple (c) o (d) y sea x ∈ X y > 0; entonces x x σ σ(x)+ < 1, por lo tanto ρ σ(x)+ ≤ 1 y por ende ρ(x) ≤ σ(x) + . Como la u ´ltima desigualdad es cierta para toda > 0, obtenemos el resultado deseado. Proposici´ on 4.11 Sea X un espacio vectorial, dos normas ·1 y ·2 en X son equivalentes si y s´olo si existe M > 0 tal que para toda x ∈ X, 1 x1 ≤ x2 ≤ M x1 . M

(4.5)

Demostraci´ on: Supongamos que se satisface la desigualdad (4.5). Sean y ∈ X y > 0 entonces &

y

&

x ∈ X : x − y1 <

M

'

⊂ {x ∈ X : x − y2 < }

'

x ∈ X : x − y2 < ⊂ {x ∈ X : x − y1 < } , M lo que prueba que las topolog´ıas inducidas son la misma. Supongamos que ·1 y ·2 son equivalentes. Como {x ∈ X : x1 < 1}

4.2. Definici´on y propiedades elementales

83

es una vecindad abierta de cero para la topolog´ıa inducida por la norma ·2 , existe > 0 tal que {x ∈ X : x2 < } ⊂ {x ∈ X : x1 < 1} . Aplicando el lema 4.10 a σ(x) =

x2 y ρ(x) = x1 , deducimos que

x1 ≤

1 x2 .

An´alogamente encontramos r > 0 tal que x2 ≤

1 x1 . r 

Entonces obtenemos el resultado deseado con M = max



1 1 , .

r

El siguiente ejemplo nos muestra que en un mismo espacio vectorial podemos tener tanto dos normas equivalentes, como dos normas no equivalentes entre s´ı. Ejemplo Sea l∞ con la norma ·∞ el espacio del ejemplo 3. (i) |x|1 = x∞ + |x1 | define una norma en el espacio de las sucesiones escalares acotadas y es f´acil ver que es equivalente a la norma ·∞ . |xi | define otra norma en el espacio de las sucesiones i escalares acotadas. Claramente |x|2 ≤ x∞ , pero no son normas equivalentes, pues si en = (0, ..., 0, 1, 0, ...), nen ∞ = n, pero

(ii) |x|2 = supi

)

|nen |2 = 1 para toda n.

*+ n

,

Se deja al lector demostrar que |·|1 y |·|2 son efectivamente normas y que el espacio con la norma |·|1 es completo pero con la norma |·|2 no lo es.

84

4.3

4. Espacios normados y de Banach

Operadores lineales

Como las funciones entre espacios vectoriales que preservan la estructura vectorial son las llamadas lineales, estamos particularmente interesados en ellas, pero adem´as los espacios que estamos estudiando tienen una topolog´ıa. Esto nos motiva para encontrar condiciones para que las funciones lineales sean continuas. Si X y Y son espacios normados, cuando no haya peligro de confusi´on denotaremos la norma en ambos espacios por · , y cuando necesitemos especificar, escribiremos ·X y ·Y . Definici´ on 4.12 Sean X y Y dos espacios normados sobre K; un operador lineal es una funci´ on lineal T : X → Y . A los operadores de X → K les llamaremos funcionales. Un operador lineal T : X → Y es una isometr´ıa, si para toda x ∈ X, T x = x . Si un operador lineal T : X → Y es biyectivo y adem´ as es un homeomorfismo, entonces diremos que es un isomorfismo de espacios normados. Si T adem´ as es una isometr´ıa, diremos que X y Y son isom´etricamente isomorfos. Observemos que los espacios isom´etricamente isomorfos son aqu´ellos que tienen la misma estructura topol´ogica, algebraica y m´etrica, mientras que de los espacios isomorfos s´olo podemos asegurar que tienen la misma estructura topol´ogica y algebraica. El siguiente teorema nos da varias condiciones equivalentes para la continuidad de un operador. Aunque la equivalencia entre (a) y (d) est´a enunciada y demostrada en el cap´ıtulo anterior en la proposici´on 3.43, la incluimos nuevamente dada su importancia. De hecho, a los operadores lineales continuos entre espacios normados se les llama tambi´en operadores lineales acotados, ya que si T satisface (d) , es inmediato que la imagen bajo T de conjuntos acotados es acotada. No hay que confundir esta definici´on con la definici´on usual de funci´on acotada, es decir aqu´ella cuyo rango es acotado; en este sentido el u ´nico operador lineal acotado es el id´enticamente cero pues el rango de todo operador lineal es un subespacio del contradominio.

4.3. Operadores lineales

85

Teorema 4.13 Sean X y Y espacios normados y T : X → Y un operador lineal entonces son equivalentes: (a) T es continuo. (b) T es continuo en 0. (c) T es continuo en alg´ un punto de X. (d) Existe una constante C > 0 tal que T x ≤ C x para toda x ∈ X. La demostraci´on se deja como ejercicio. Igual que en el caso de operadores entre espacios de Hilbert la equivalencia entre (a) y (d) permite definir la norma de operadores continuos. En efecto, si T : X → Y es un operador lineal continuo, por (d) , existe C tal que T x ≤ C x . Definimos entonces la norma de un operador como sigue: Definici´ on 4.14 Sean X y Y espacios normados y T : X → Y un operador lineal continuo. Definimos la norma de un operador T por T  = inf {C : T x ≤ C x , x ∈ X} o, equivalentemente, T  = sup T x .

(4.6)

x≤1

Denotaremos por B(X, Y ), al espacio de los operadores lineales continuos de X en Y con la norma anterior. Cuando X = Y denotaremos a B(X, X) simplemente por B(X). Si Y = K, el espacio B(X, K) se denota por X ∗ y es conocido como el espacio dual de X. Cuando el operador es una funcional, adem´as de las anteriores, hay otras condiciones equivalentes a la continuidad. Proposici´ on 4.15 Sea f : X → K una funcional lineal en un espacio normado X. Si existe x ∈ X con f (x) = 0 entonces son equivalentes:

86

4. Espacios normados y de Banach

(i) f es continua. (ii) El espacio nulo de f, ker f, es cerrado. (iii) ker f no es denso en X. Demostraci´ on: (i) ⇒ (ii) Supongamos que f es continua. Como {0} es un conjunto cerrado en K, ker f = f −1 (0) es un conjunto cerrado en X. (ii) ⇒ (iii) Es una consecuencia directa de que ker f = X. (iii) ⇒ (i) Supongamos que ker f no es denso en X. Entonces existen x ∈ X y r > 0 tales que Br (x) ∩ ker f = ∅.

(4.7)

Veremos que existe C > 0 tal que |f (y)| < C para toda y ∈ Br (x). Si no fuera ese el caso, dado n ∈ N existir´ıa yn ∈ Br (x) con |f (yn )| ≥ n + |f (x)| . Como Br (x) = x + Br (0) , esto implica que existe zn ∈ Br (0) tal que yn = x + zn y |f (zn )| ≥ n. Sea w ∈ K con |w| < n. Entonces |w| < |f (zn )| y existe α ∈ K con |α| ≤ 1 tal que w = αf (zn ) . Por lo tanto w = f (αzn ) y de aqu´ı se concluye que Bn (0) ⊂ f (Br (0)) . Como esto se cumple para cada n, tenemos que f (Br (0)) = K y tambi´en f (Br (x)) = K, lo cual contradice a (4.7). r

Finalmente, dado > 0, si δ = obtenemos que |f (x) − f (y)| <

2C para toda y ∈ Bδ (x), es decir, f es continua en x. El teorema 4.13 (c) nos da la continuidad de f. La proposici´on anterior no necesariamente es cierta para operadores entre espacios de Banach. Sea f : c0 →R lineal discontinua (ver ejercicio 7) y sea T : c0 → c0 definido como sigue: para x = (x1 , x2 , ....) ∈ c0 , T (x1 , x2 , ....) = (f (x) , x1 , x2 , ...). El f´acil ver que T es un operador lineal con ker T cerrado y que no es continuo. X ∗ siempre es un espacio de Banach aunque X no sea completo, y esto es consecuencia de la siguiente proposici´on.

4.4. Cocientes y sumas directas

87

Proposici´ on 4.16 Sean X un espacio normado y Y un espacio de Banach. Entonces B(X, Y ) es un espacio de Banach. Demostraci´ on: Se deja como ejercicio probar que (4.6) define efectivamente una norma. Probaremos que B(X, Y ) es completo respecto a ella. Sea {fn }∞ on de Cauchy en B(X, Y ); entonces dada n=1 una sucesi´

> 0, existe N tal que si n, m ≥ N tenemos fn − fm  < , es decir, para toda x ∈ X, |fn (x) − fm (x)| < x . (4.8) on de Cauchy en Entonces para toda x ∈ X, {fn (x)}∞ n=1 es una sucesi´ Y y por lo tanto converge a alg´ un punto en Y , que denotaremos por f (x). Claramente f as´ı definida es una funcional lineal. Veremos que f ∈ B(X, Y ) y que fn converge a f. Como fm (x) → f (x) para toda x, de (4.8) obtenemos |fn (x) − f (x)| ≤ x para toda n ≥ N y para toda x ∈ X, de donde |f (x)| ≤ ( + fN ) x para toda x ∈ X y fn − f  ≤ para toda n ≥ N, lo que termina la demostraci´on.

4.4

Cocientes y sumas directas

En el cap´ıtulo de preliminares vimos la definici´on de espacio cociente para espacios vectoriales; si X es un espacio vectorial y Y un subespacio de X, recordemos que la funci´on cociente q : X → X/Y es una funci´on lineal que manda a x ∈ X a su clase de equivalencia en X/Y , es decir en x = x + Y. Cuando los espacios son normados se puede dar una seminorma en el espacio cociente, que es una norma siempre y cuando Y sea un subespacio cerrado. Definici´ on 4.17 Sean X un espacio normado y Y un subespacio cerrado de X. Definimos la norma cociente en X/Y por x = inf {x + y : y ∈ Y }

(4.9)

si x = x + Y. Al espacio X/Y con la norma cociente lo llamaremos espacio cociente. Veremos a continuaci´on que (4.9) define efectivamente una norma en X/Y.

88

4. Espacios normados y de Banach

Teorema 4.18 Sean X un espacio normado y Y un subespacio cerrado de X . Entonces: (a) La expresi´ on (4.9) define una norma en X/Y. (b) q ≤ 1 y por lo tanto q es continua. (c) Si X es un espacio de Banach, tambi´en lo es X/Y. (d) U es abierto en X/Y si y s´ olo si q −1 (U ) es abierto en X. (e) Si V es abierto en X entonces q(V ) es abierto en X/Y. Demostraci´ on: (a) Se deja como ejercicio probar que (4.9) define una seminorma. Para completar la demostraci´on, supongamos que x = 0, donde x = x + Y. 1 Entonces para toda n ∈ N existe yn ∈ Y tal que x − yn  < , es decir n   {yn }∞ n=1 converge a x y como Y es cerrado, x ∈ Y, o sea x = 0. (b) Como q(x) = inf {x + y : y ∈ Y } ≤ x para toda x ∈ X, obtenemos que q ≤ 1 y q es continua. (c) Sea {x n }∞ on de Cauchy en X/Y. Se puede extraer una n=1 una sucesi´ ∞ subsucesi´on {x } de ella tal que nk k=1     1       x nk − x nk+1  = xnk − xnk+1  < k .

2

Construiremos una sucesi´on de Cauchy en X de la siguiente manera: Sea y1 = 0; por la definici´on de norma cociente existe y2 ∈ Y tal que 



− xn2  + xn1 − xn2 + y2  ≤ xn1 

1 < 1. 2

Podemos elegir y ∈ Y tal que 



xn2 − xn3 + y ≤ xn2  − xn3  +

1 22

y entonces si y3 = y2 − y obtenemos 



(xn2 + y2 ) − (xn3 + y3 ) ≤ xn2  − xn3  +

1 1 < . 22 2

4.4. Cocientes y sumas directas

89

Continuando de esa manera construimos una sucesi´on {yn }∞ n=1 ⊂ Y tal que      1    xn  (xnk + yk ) − xnk+1 + yk+1  ≤ xnk − + k < k+1

2

1 2k−1

.

on de Cauchy en X, y como X Entonces {xnk + yk }∞ k=1 es una sucesi´ es completo, converge a alg´ un punto x0 ∈ X. Por otra parte, por (b), 0 . Como {x n }∞ x nk = q(xnk + yk ) converge a q(x0 ) = x n=1 es de Cauchy, tenemos que converge al mismo l´ımite que su subsucesi´on y por ende X/Y es completo. (d) Sea U abierto en X/Y. Como por (b) q es continua, q −1 (U ) es abierto en X. Supongamos ahora que A ⊂ X/Y , que q −1 (A) es abierto en X y que x0 ∈ q −1 (A) . Entonces existe > 0 tal que si x − x0  < , q (x) ∈ A. Sea x = q (x) ∈ X/Y tal que q (x0 ) − q (x) < . Por la definici´on de la norma en X/Y , existe y ∈ Y tal que x0 − x + y < . Por lo tanto x = q (x) = q (x − y) ∈ A y A es abierto. (e) Si V es abierto en X, entonces de (4.1) obtenemos que q −1 (q(V )) = V + Y ⊂ X es abierto y por (d), q(V ) es abierto. El concepto “dual” al de espacio cociente de X y Y es el de la suma directa de X y Y (ver ejercicio 25): Si X y Y son espacios normados y X ⊕a Y denota su suma directa algebraica, hay varias maneras de definir una norma en X ⊕a Y que induzca la topolog´ıa producto. Por ejemplo podemos definir las normas 1/p

(x, y) = (xp + yp )

, para 1 ≤ p < ∞,

´o (x, y) = max (x , y) . Se puede probar que en este caso ambas normas inducen la topolog´ıa producto y consecuentemente son equivalentes (ejercicio 8). Definici´ on 4.19 Sean X y Y espacio normados. X ⊕ Y es el espacio X ⊕a Y dotado con cualquier norma que induzca la topolog´ıa producto y lo llamaremos suma directa de X y Y.

90

4. Espacios normados y de Banach

Se puede ver que si X y Y son subspacios cerrados de un espacio normado Z tales que X ∩ Y = {0} y Z = X + Y entonces Z es isomorfo a X Y (ejercicio 9). El concepto de suma directa se puede generalizar a un mayor n´ umero de espacios: Definici´ on 4.20 Sea {(Xi , ·i )}∞ una sucesi´ on de espacios normai=1 . dos y dotemos al producto cartesiano ∞ X con las operaciones coori i=1 . denada a coordenada. Si ji denota la inclusi´ on de Xi en ∞ i=1 Xi dada por ⎛ ⎞ ⎟ ji (xi ) = ⎜ ⎝0, ..., 0, xi , 0, ...⎠ , ) *+ , i−1

y 1 ≤ p < ∞; definimos la p suma directa como ⎧ ⎨

∞ 

Xi : x = (X1 ⊕ X2 ⊕ · · ·)p = ⎩x ∈ i=1

∞ i=1

xi pi

1/p

⎫ ⎬

< ∞⎭

y para p = ∞, como 

(X1 ⊕ X2 ⊕ · · ·)∞ = x =

(xi )∞ i=1

∈

∞  i=1



Xi : x = sup xi i < ∞ . i

Si X = (X1 ⊕ X2 ⊕ · · ·)p definimos las proyecciones Pi : X → ji Xi por Pi (x) = ji (xi ) para toda i = 1, 2, ... Si X es una p suma directa, (X, ·) siempre es un espacio normado y veremos condiciones necesarias y suficientes para que adem´as sea de Banach. Teorema 4.21 Si {(Xi , ·i )} ∞ on de espacios normai=1 es una sucesi´ dos y X = (X1 ⊕ X2 ⊕ · · ·)p , 1 ≤ p ≤ ∞, entonces: (a) (X, ·) es un espacio normado y para toda i = 1, 2, ... la proyecci´on Pi : X → ji Xi es abierta lineal continua con Pi  = 1. (b) X es un espacio de Banach si y s´olo si Xi lo es para toda i = 1, 2, ...

4.5. Subespacios de dimensi´on finita

91

Demostraci´ on: (a) Se deja al lector verificar que X es normado y que Pi es lineal. Sea x = (xi )∞ i=1 ∈ X; entonces Pi (x) = xi i ≤ x y por lo tanto Pi  ≤ 1. Por otra parte, si xi ∈ Xi con xi i = 1, entonces ji (xi ) = 1 y Pi (ji xi ) = 1, lo que prueba que Pi  = 1 y que Pi es continua. Veremos ahora que Pi es abierta con respecto a la topolog´ıa inducida en ji Xi por la topolog´ıa de X. Sean > 0 y x = (xi )∞ i=1 ∈ X; entonces si 1 ≤ p < ∞, 

Pi

y∈X:

∞ i=1



xi −

yi pi

p

<

= {ji (yi ) ∈ ji Xi : xi − yi i < } =

= {ji (yi ) ∈ ji Xi : ji (xi ) − ji (yi )i < } 

p p y como los conjuntos {y ∈ X : ∞ i=1 xi − yi i < } forman una base de la topolog´ıa de X, tenemos que Pi es abierta. El caso p = ∞ es an´alogo. (b) Se deja como ejercicio.

4.5

Subespacios de dimensi´ on finita

Veremos que para cada n ∈ N todos los espacios normados sobre K de dimensi´on n son isomorfos, es decir desde los puntos de vista topol´ogico y algebraico todos son el mismo. Teorema 4.22 Si X es un espacio vectorial de dimensi´ on n, entonces cualesquiera dos normas en X son equivalentes. Demostraci´ on: Sea |·| cualquier norma en X y sea {ξi }ni=1 una base de Hamel para X. Sea {ei }ni=1 la base can´onica en Kn , es decir ei es el vector que tiene  un 1 en el i-´esimo lugar y cero en el resto. Si para x = ni=1 ai ei en Kn definimos   n 

|x|n =  

i=1



ai ξi  , 

es claro que |·|n define una norma en Kn , y debido a ello es suficiente probar el teorema para X = Kn .

92

4. Espacios normados y de Banach

Consideremos entonces a Kn con la norma usual · y sea |·| cualquier otra norma en Kn . Veremos por inducci´on sobre m ≤ n que existe Mm ∈ R tal que si  1 ≤ j1 < ... < jm ≤ n y x ∈ Kn , x = m i=1 ai eji entonces 1 x ≤ |x| ≤ Mm x . Mm

(4.10)

Para m = 1 esto es inmediato, tomando como &

'

1 M1 = max Ci , , i = 1, 2, ..., n : |ei | = Ci . Ci Sea J = {χ = (j1 , ..., jm+1 ) : ji ∈ N y 1 ≤ j1 < j2 < ... < jm+1 ≤ n} Supongamos que es cierto (4.10) para m < n. Esto implica que para cualquier (j1 , j2 , .., jm ) , el espacio generado por {eji }m i=1 es cerrado en la norma |·| , porquees cerrado en la norma · .  m+1 Sea ahora Y (χ) = a e : a ∈ K ⊂ (Kn , |·|). Considerei ji i i=1 (χ)

mos para r = 1, ..., m + 1 las funcionales Pjr : Y (χ) → K dadas por (χ)

Pjr

m+1 i=1

ai eji = ar .

(χ)

Es claro que ker Pjr es el subespacio de Y (χ) generado por {eji }i =r , que, como ya mencionamos es cerrado. Aplicando la proposici´on 4.15, (χ) esto implica que Pjr es continua para r = 1, 2, ..., m + 1. Entonces, si m+1 x = i=1 ai eji ,   m+1  m+1     (χ)  (χ)   Pji x eji  ≤ x =  Pji  |x| ≤ K1 |x|   i=1

i=1

   m+1  (χ)  umero i=1 Pji  : χ = (j1 , ..., jm+1 ) ∈ J . Este n´



donde K1 = max existe, ya que J es un conjunto finito. Por otro lado tenemos

|x| ≤

m+1 i=1

|ai | |eji | ≤

m+1 i=1

2

|ai |

 12 m+1 i=1

2

|eji |

 12

≤

4.5. Subespacios de dimensi´on finita

≤ donde K2 =

m+1 i=1



n i=1

2

|ai |

|ei |2

 12  n

1 2

i=1

93

1 2

|ei |

2

= K2 x ,

, de manera que si Mm+1 = max {K1 , K2 }

1 x ≤ |x| ≤ Mm+1 x Mm+1 y esto prueba el teorema. on n y Corolario 4.23 Sea (X, ·X ) un espacio normado de dimensi´ n n sea {ξi }i=1 una base de Hamel de X. Entonces, si {ei }i=1 es la base can´onica de Kn , el operador T : X → Kn dado por T

n i=1

ai ξi =

n i=1

ai ei

es un isomorfismo. Otra consecuencia del teorema 4.22 es que todo operador lineal de un espacio normado de dimensi´on finita en un espacio normado cualquiera es continuo. Corolario 4.24 Sean X y Y espacios normados con X de dimensi´on finita. Si T : X → Y es un operador lineal entonces es continuo. Demostraci´ on: Supongamos que dimX = n y sea {ξi }ni=1 una base de Hamel de X; como todas las normas en X son equivalentes es suficiente probar que T es continuo si equipamos a X con la norma definida para  x = nk=1 ak ξk ∈ X por x∞ = max1≤k≤n |ak | . Entonces  n  n    |ak | T ξk  ≤ C x∞ , T x =  ak T ξk  ≤  

donde C =

n

k=1

k=1

k=1

T ξk  , y por lo tanto T es continuo.

El teorema 4.22 tambi´en nos permite probar que los subespacios de dimensi´on finita son cerrados. Recordemos que si Y ⊂ X, entonces spY es el subespacio lineal generado por Y y denotemos por [Y ] la cerradura de spY.

94

4. Espacios normados y de Banach

Proposici´ on 4.25 Si Y es un subespacio de dimensi´on finita de un espacio normado X entonces es cerrado. Demostraci´ on: Supongamos que Y es un subespacio propio de X. Sean x0 ∈ X, x0 ∈ / Y y Z = sp (Y + x0 ). Definimos la siguiente norma en Z : para toda y ∈ Y y toda λ ∈ K, y + λx0 1 = y + |λ| . Como Z es de dimensi´on finita, todas sus normas son equivalentes y existe M > 0 tal que, para toda y ∈ Y y toda λ ∈ K, 1 y + λx0  ≤ y + |λ| ≤ M y + λx0  . M Por lo tanto, tomando λ = −1, obtenemos que y − x0  ≥

1 1 (y + 1) ≥ M M

1 1 > 0 ; entonces, si r < , M M Br (x0 ) ⊂ X \ Y y de ah´ı concluimos que Y es cerrado.

para toda y ∈ Y . Es decir inf y − x0  ≥ y∈Y

Del corolario 4.23 es inmediato que la bola unitaria cerrada en un espacio de dimensi´on finita es compacta, ya que esto es cierto en Kn . Veremos ahora que esa propiedad caracteriza a los espacios normados de dimensi´on finita. De aqu´ı en adelante BX = {x ∈ X : x ≤ 1} y SX = {x ∈ X : x = 1} denotar´an a la bola cerrada unitaria y a la esfera unitaria en X respectivamente. Teorema 4.26 Sea X un espacio normado. Si la bola BX es compacta, entonces X tiene dimensi´on finita.

4.5. Subespacios de dimensi´on finita

95

Demostraci´ on: Supongamos que BX es compacta. Como BX ⊂



B 1 (x),

x∈BX

2

existen x1 , ..., xm ∈ BX tales que BX ⊂ m i=1 B 21 (xi ). Sea Y el espacio vectorial generado por x1 , ..., xm . Entonces la dimensi´on de Y es menor o igual a m y, por la proposici´on 4.25, Y es un subespacio cerrado de X. Adem´as BX ⊂ Y + B 1 (0), lo que implica 2

1 1 1 B 1 (0) ⊂ BX ⊂ Y + B 1 (0) = Y + B 1 (0), 2 4 2 2 2 2 y por lo tanto BX ⊂ Y + B 1 (0) ⊂ Y + Y + B 1 (0) = Y + B 1 (0). 2

4

4

Continuando de esa manera obtenemos que BX ⊂

∞   n=1



Y +B

1 2n−1

(0) = Y = Y,

2

de donde kBX ⊂ Y para toda k = 1, 2, ... y entonces X = Y . Esto demuestra que X tiene dimensi´on menor o igual que m. A continuaci´on estudiaremos los subespacios de X cuya codimensi´on es 1, es decir los subespacios Y para los que existe z ∈ X\Y tal que para toda x ∈ X existen y ∈ Y y λ ∈ K u ´nicos tales que x = y + λz. En este caso escribiremos X = Y a Z donde Z = [z] La siguiente proposici´on establece una correspondencia entre los subespacios de codimensi´on 1 de un espacio vectorial y sus funcionales no nulas. Proposici´ on 4.27 Sea E un espacio vectorial sobre K. Y es un subespacio de codimensi´ on 1 de E si y s´olo si existe una funci´on lineal f : E → K , f = 0, con ker f = Y . Demostraci´ on: Sea f : E → K lineal con f = 0, y x0 ∈ E con f (x0 ) = 0. Sea F el subespacio vectorial de E generado por x0 y sea

96

4. Espacios normados y de Banach

Y = ker f. Probaremos que E = F ⊕a Y. Claramente Y ∩ F = {0} y dado x ∈ E, tenemos que 

f (x) f (x) x= x0 + x − x0 f (x0 ) f (x0 )



y es evidente que el primer t´ermino pertenece a F y el segundo a Y. Rec´ıprocamente, si Y es un subespacio de E de codimensi´on 1, sea F un subespacio de dimensi´on 1 de E tal que E = Y ⊕a F . Como F tiene dimensi´on 1 existe x0 que lo genera y entonces todo elemento en E se puede representar de la forma y + λx0 con y ∈ Y . Por lo tanto, si definimos f : E → K por f (y + λx0 ) = λ , claramente f es lineal y obtenemos que ker f = Y. Es claro, apelando a la proposici´on 4.15, que si E es un espacio normado y Y es cerrado, entonces la funci´on f es continua. Lema 4.28 Sean Y y W subespacios de un espacio vectorial X. Si Y es de codimensi´on 1 en X y si Y ⊂ W, entonces W = Y ´ o W = X. Demostraci´ on: Supongamos que X = Y ⊕a sp {x0 } con x0 ∈ X y que W = Y. Sea w ∈ W \Y. Entonces w = y1 + μx0 para alguna y1 ∈ Y, μ ∈ K, μ = 0. Tambi´en si x ∈ X, x = y + λx0 con y ∈ Y y λ ∈ K. Consecuentemente λ λ λ λ x = y − y1 + (y1 + μx0 ) = y − y1 + w, μ μ μ μ es decir X = Y ⊕a sp {w} ⊂ W ⊂ X. Lema 4.29 Sean Y y W dos subespacios de codimensi´on 1 de un espacio vectorial X. Entonces Y = W ´ o si no, Y ∩ W tiene codimensi´on 2 en X.

4.6. Teoremas de Hahn-Banach

97

Demostraci´ on: Supongamos que Y = W. Entonces por el lema anterior ni Y est´a contenido en W ni W en Y. Sean w0 ∈ W \Y y y0 ∈ Y \W. Como en la demostraci´on del lema anterior obtenemos X = Y ⊕a sp {w0 } = W ⊕a sp {y0 } . Si x ∈ X, existen λ, μ ∈ K, y ∈ Y y w ∈ W tales que x = y + λw0 = w + μy0 . Por lo tanto y − μy0 = w − λw0 ∈ Y ∩ W y x = (y − μy0 ) + μy0 + λw0 , es decir X = (Y ∩ W ) ⊕a sp {y0 } ⊕a sp {w0 } . La generalizaci´on de este lema se deja como ejercicio (11). Corolario 4.30 Sean X un espacio normado y Y ⊂ X un subespacio de codimensi´on 1, entonces Y es cerrado o es denso en X. Demostraci´ on: Como las operaciones de suma y multiplicaci´on por un escalar son continuas, es f´acil ver que Y es un subespacio de X y por lo tanto es igual a Y o a X. Lema 4.31 Sean X un espacio normado sobre K y Y un subespacio cerrado de X de codimensi´on 1. Entonces X/Y es isomorfo a K. Demostraci´ on: Supongamos que X = Y ⊕a sp {z0 } y que q es la funci´on cociente de X sobre X/Y. Definimos f : X/Y → K mediante f (q (x)) = λ si x = y + λz0 , que claramente es un isomorfismo algebraico. Por el teorema 4.22, X/Y es isomorfo a K.

4.6

Teoremas de Hahn-Banach

Si E es un espacio vectorial sobre K, F un subespacio vectorial de E y g : F → K es una funci´on lineal, siempre podemos definir una funci´on lineal G : E → K tal que G(x) = g(x) para todo x ∈ F. Esto se puede hacer tomando una base de Hamel en F, extendi´endola a una

98

4. Espacios normados y de Banach

base de Hamel de E y definiendo G como cero en los elementos de la base de Hamel de E que no est´an en F . Cuando E es un espacio normado de dimensi´on infinita y g es lineal y continua, no es trivial que se pueda obtener una extensi´on G que tambi´en sea continua. O. Hahn y S. Banach probaron independientemente en 1927 y 1929 que existen extensiones continuas. Hay en la actualidad varias versiones de este resultado fundamental en las matem´aticas, todas ellas conocidas como teorema de Hahn-Banach. Recordemos que si f es una funci´on definida en A, A ⊂ B y g es una funci´on definida en B, entonces g es una extensi´on de f si g(a) = f (a) para toda a ∈ A. El primer teorema que veremos nos permite extender funcionales lineales acotadas por una funci´on sublineal en espacios vectoriales reales de manera que contin´ uen siendo acotadas; m´as adelante probaremos que tambi´en es cierto en el caso complejo. Teorema 4.32 (Hahn-Banach real) Sean E un espacio vectorial sobre R, ρ : E → R una funci´on sublineal, F un subespacio de E y f : F → R una funci´on lineal tal que f (x) ≤ ρ(x) para toda x ∈ F. Entonces existe una extensi´on lineal f : E → R de f con f(x) ≤ ρ(x) para toda x ∈ E. Demostraci´ on: Sea x0 ∈ E\F. Primero probaremos que podemos extender f a F ⊕a sp {x0 }, tal que la extensi´on g satisface g (x) ≤ ρ (x) . Sean y, z ∈ F ; entonces tenemos f (y) + f (z) = f (y + z) ≤ ρ(y + z) = ρ ((y + x0 ) + (z − x0 )) ≤ ≤ ρ(y + x0 ) + ρ(z − x0 ); de donde f (z) − ρ(z − x0 ) ≤ ρ(y + x0 ) − f (y) y por ende sup {f (z) − ρ(z − x0 ) : z ∈ F } ≤ inf {ρ(y + x0 ) − f (y) : y ∈ F } . Sea k ∈ R tal que sup {f (z) − ρ(z − x0 ) : z ∈ F } ≤ k ≤ (4.11) ≤ inf {ρ(y + x0 ) − f (y) : y ∈ F } .

4.6. Teoremas de Hahn-Banach

99

Definimos g : F ⊕a sp {x0 } → R por g(y + λx0 ) = f (y) + λk para toda λ ∈ R y toda y ∈ F. Claramente g es una extensi´on lineal de f ; veremos que g(x) ≤ ρ(x) para toda x ∈ F ⊕a sp {x0 } . Es f´acil ver que f (y) + λk ≤ ρ(y + λx0 ) para toda λ ∈ R y y ∈ F, si y s´olo si k ≤ ρ(y + x0 ) − f (y) para toda y ∈ F y f (z) − ρ(z − x0 ) ≤ k para toda z ∈ F ; entonces de (4.11) obtenemos el resultado deseado. Adem´as, de lo anterior obtenemos que la extensi´on es u ´nica si y s´olo si sup {f (z) − ρ(z − x0 ) : z ∈ F } = inf {ρ(y + x0 ) − f (y) : y ∈ F } . Para demostrar que f se puede extender a todo E, usaremos el lema de Zorn; sea G la colecci´on de todas las parejas ordenadas (M, g) donde M es un subespacio de E que contiene a F y g es una extensi´on de f a M con g(x) ≤ ρ(x) para toda x ∈ M. G es no vac´ıo por la primera parte de la demostraci´on. Definimos sobre G un orden parcial dado por (M, g) ≤ (M  , g  ) si M ⊂ M  y g  es una extensi´on de g. Claramente todo conjunto totalmente ordenado {(Ma , ga ) : a ∈ A}

en G est´a acotado superiormente por (M, g) donde M = a∈A Ma y g(x) = ga (x) si x ∈ Ma . Entonces, por el lema de Zorn, existe un elemento maximal en G que denotaremos por (N, h) . Si N = E existe x0 ∈ E\N y por on  la primera parte  de la demostraci´   existe h extensi´on de h tal que N ⊕a sp {x0 } , h es un elemento estrictamente mayor que (N, h) . Por lo tanto N = E y h es la extensi´on requerida de f. Nos avocaremos ahora a demostrar la forma compleja del teorema de Hahn-Banach. Para ello usaremos que todo espacio vectorial complejo es tambi´en un espacio vectorial real. Definici´ on 4.33 Sea E un espacio vectorial sobre C. Diremos que f : E → R es r-lineal si f (λx + y) = λf (x) + f (y) para toda λ ∈ R y para toda x, y ∈ E.

100

4. Espacios normados y de Banach

Temporalmente usaremos el t´ermino c-lineal para las funciones lineales f : E → C, con objeto de distinguirlas de las funciones r-lineales. Si f : E →C es una funcional c-lineal entonces u : E → R, dada por u(x) = Ref (x), es r-lineal y f (x) = u(x) − iu(ix) para toda x ∈ E,

(4.12)

pues para todo z ∈ C, z = Re(z) − iRe(iz). La funci´on u es llamada la parte real de f. Rec´ıprocamente, si u : E → R es r-lineal en un espacio vectorial complejo E, entonces es f´acil probar que la ecuaci´on (4.12) nos define una funci´on c-lineal en E cuya parte real es u. Teorema 4.34 (Hahn-Banach complejo) Sean E un espacio vectorial sobre C, ρ una seminorma en E, F un subespacio vectorial de E y f : F → C una funci´on c-lineal tal que |f (x)| ≤ ρ(x) para  toda  x ∈ F. Entonces existe una extensi´ on c-lineal f : E → C con f(x) ≤ ρ(x) para toda x ∈ E. Demostraci´ on: Sea u : F → R la parte real de f. Claramente u ≤ ρ en F y por el teorema 4.32 tiene una extensi´on r-lineal u : E → R tal que para x ∈ E u (x) ≤ ρ (x) . (4.13) Como mencionamos anteriormente, f : E → K dada por f(x) = u(x) − iu(ix) es una funcional c-lineal. Adem´as, si x ∈ F, f (x) = u(x) − iu(ix) = u(x) − iu(ix) = f(x). Finalmente, como ρ es una seminorma, si x ∈ E y f(x) = reiθ con r ≥ 0, obtenemos     (xe−iθ ) ≤ ρ(xe−iθ ) = ρ(x). f (x) = r = f(xe−iθ ) = u

La forma en la que generalmente se conoce y se usa el teorema de Hahn-Banach en el caso de espacios normados es la siguiente:

4.6. Teoremas de Hahn-Banach

101

Teorema 4.35 (a) Sean X un espacio normado sobre K, Y un subespacio de X y f : Y → K una funci´on lineal continua. Entonces existe      una extensi´ on f : X → K lineal y continua de f , tal que f  = f  . (b) Sea X un espacio normado sobre K. Para toda x ∈ X, con x = 0, existe una funci´ on lineal y continua f : X → K tal que f (x) = x y f  = 1. Demostraci´ on: (a) Sea ρ : X → R la seminorma definida por ρ(x) = f  x . Como para toda y ∈ Y, |f (y)| ≤ f  y , resulta que f ≤ ρ en Y y por los teoremas anteriores existe una extensi´on f de f a X tal que para    toda x ∈ X, f (x) ≤ f  x . Por lo tanto     f  ≤ f  .

 Por otra  f (y) para toda y ∈ Y, tenemos que  parte, como f (y) =   f  ≤ f  y entonces f  = f . (b) Se obtiene aplicando (a) a la funci´on g : [x] → K dada por g(λx) = λ x .

Sea X un espacio normado. En la proposici´on 4.16 probamos que X ∗ es un espacio de Banach con la norma dada por x∗  = sup |x∗ (x)| .

(4.14)

x≤1

para toda x∗ ∈ X ∗ . Como una aplicaci´on del teorema 4.35, obtenemos una forma dual, semejante a (4.14), para la norma en X. Corolario 4.36 Sean X un espacio normado y x ∈ X. Entonces x = sup |x∗ (x)| .

(4.15)

x∗ ≤1

Demostraci´ on: Si x = 0 el resultado es claro. Supongamos pues que x = 0. Ya que para toda x∗ ∈ X ∗ , |x∗ (x)| ≤ x∗  x , se tiene que x ≥ sup |x∗ (x)| . x∗ ≤1

Por otra parte, por el teorema 4.35 existe x∗ ∈ X ∗ con x∗  = 1 tal que x∗ (x) = x , y esto nos da la igualdad.

102

4.7

4. Espacios normados y de Banach

Teorema de Baire y operadores continuos

La noci´on topol´ogica de categor´ıa fue introducida por Baire como contrapartida al concepto de “casi en todas partes” en teor´ıa de la medida y ha probado ser una de las herramientas b´asicas del an´alisis. Empezaremos la secci´on dando las definiciones de conjuntos de la primera y segunda categor´ıa en espacios topol´ogicos. Definici´ on 4.37 Sea Ω un espacio topol´ogico. Un conjunto A ⊂ Ω es denso en ninguna parte (o magro) si su cerradura A tiene interior vac´ıo. Un conjunto es de la primera categor´ıa (o raro) en Ω si es una uni´ on numerable de conjuntos densos en ninguna parte. Un conjunto es de la segunda categor´ıa en Ω si no es de la primera categor´ıa. Ω es un espacio de Baire si toda intersecci´on numerable de abiertos densos en Ω es un conjunto denso en Ω. Ejemplos: Son conjuntos densos en ninguna parte: 1. Cualquier conjunto finito en Rn . 2. Cualquier subespacio cerrado propio de un espacio normado (Lema 4.40). 3. El conjunto de Cantor en [0, 1] . La siguiente proposici´on, cuya demostraci´on es bastante inmediata, lista algunas propiedades que ser´an de gran utilidad posteriormente: Proposici´ on 4.38 Sean Ω un espacio topol´ogico y A, B ⊂ Ω. Entonces: (a) Un conjunto A es denso en ninguna parte en Ω si y s´olo si int (Ω \ A) es denso en Ω. (b) Si A es cerrado con interior vac´ıo, entonces es de la primera categor´ıa en Ω.

4.7. Teorema de Baire y operadores continuos

103

(c) Si A ⊂ B y B es de la primera categor´ıa en Ω, entonces A tambi´en lo es. (d) Cualquier uni´ on numerable de conjuntos de la primera categor´ıa es de la primera categor´ıa. (e) Si h : Ω → Ω es un homeomorfismo, entonces h(A) es de la misma categor´ıa en Ω, que A. (f ) Si Ω es un espacio de Baire tal que Ω = n tal que intAn = ∅.

∞

n=1

An , entonces existe

(g) Ω es un espacio de Baire si y s´olo si para todo A ⊂ Ω de la primera categor´ıa, Ω \ A es denso en Ω. Demostraci´ on: Probaremos aqu´ı u ´nicamente el inciso (f) que es la propiedad que m´as utilizaremos en el texto, el resto se deja como ejercicio.

Supongamos que Ω = ∞ Como n=1 An es un espacio de Baire.   ∞ Ω\A = ∅, existe n tal que Ω\A no es denso en Ω y por lo n n n=1 tanto intAn = ∅. Es f´acil comprobar que si Ω = Q con la norma usual, entonces Ω no es un espacio de Baire. Sin embargo el siguiente teorema nos muestra que la clase de espacios topol´ogicos de Baire abarca a varios de los espacios conocidos: Teorema 4.39 (de Baire) Si Ω es un espacio m´etrico completo o un espacio topol´ogico de Hausdorff localmente compacto, entonces es un espacio de Baire. Demostraci´ on: Supongamos que Ω es un espacio m´etrico completo, ∞ {Ui }i=1 una sucesi´on de conjuntos abiertos densos en Ω y V un abierto no vac´ıo en Ω. Entonces existe una bola abierta Br de radio r > 0, tal que Br ⊂ V. Para demostrar el teorema veremos que ( ∞ Br = ∅. i=1 Ui ) r Como U1 es denso y abierto existen ω1 ∈ U1 Br y 0 < r1 < tales que 2 la bola abierta con centro en ω1 y radio r1 satisface Br1 (ω1 ) ⊂ Br U1 .

104

4. Espacios normados y de Banach

r Como U2 es denso y abierto, existen ω2 ∈ Br1 (ω1 ) U2 y 0 < r2 < 4 tales que    Br2 (ω2 ) ⊂ Br1 (ω1 ) U2 ⊂ Br U1 U2 . Continuando de esa manera construimos una sucesi´on {ωn }∞ n=1 en Ω y r ∞ una sucesi´on de reales {rn }n=1 tales que 0 < rn < n y 2 Brn (ωn ) ⊂ Brn−1 (ωn−1 )



Un ⊂ Br



U1



U2



···



Un .

La sucesi´on {ωn }∞ on de Cauchy en Ω y como Ω es n=1 es una sucesi´ completo existe ω∈

∞   i=1



Bri (ωi ) ⊂

∞  i=1



Ui



Br

tal que limi→∞ ωi = ω. Si Ω es localmente compacto y de Hausdorff, en vez de bolas abiertas se pueden tomar conjuntos abiertos Vn no vac´ıos con Vn compacto, V1 ⊂ V y Vn+1 ⊂ Vn Un . Entonces por la propiedad de la intersecci´on finita existe ω ∈ ∞ ( ∞ n=1 Vn ⊂ V n=1 Un ). Como primera aplicaci´on del teorema de Baire veremos un resultado sobre la cardinalidad de las bases de Hamel de espacios de Banach. Para ello demostraremos que el u ´nico subespacio con interior no vac´ıo de un espacio normado es el total. Lema 4.40 Sean X un espacio normado y Y un subespacio de X con interior no vac´ıo, entonces Y = X. Demostraci´ on: Sean x ∈ int Y y r > 0 tales que Br (x) ⊂ Y. Como Y es un espacio vectorial, Br (0) = −x + Br (x) ⊂ Y y entonces tambi´en λBr (0) ⊂ Y para toda λ ∈ K. Por lo tanto Y = X. Proposici´ on 4.41 La cardinalidad de una base de Hamel de un espacio de Banach es finita o no numerable. Demostraci´ on: Sean X un espacio de Banach y {yi }i∈I una base de Hamel de X. Supongamos que I es infinito y numerable; podemos suponer que I = N. Sea Yn = sp {yi }ni=1 = [yi ]ni=1 , pues Yn es cerrado por

4.7. Teorema de Baire y operadores continuos

105

tener dimensi´on finita. Como {yi }i∈I es una base de Hamel, tenemos

que X = ∞ n=1 Yn y ya que por el teorema de Baire sabemos que X es un espacio de Baire, existe n ∈ N tal que int Yn = ∅. Por lo tanto, por el lema 4.40, Yn = X y X tiene dimensi´on finita, lo que contradice nuestra suposici´on. Aunque el teorema de Baire por s´ı mismo es muy relevante, su mayor importancia dentro del an´alisis funcional radica en que es crucial en la prueba de los teoremas del acotamiento uniforme, de la gr´afica cerrada y de la funci´on abierta. Primero probaremos el principio del acotamiento uniforme; la implicaci´on (ii)⇒(i) tambi´en se conoce como teorema de Banach-Steinhaus . Teorema 4.42 (Principio del acotamiento uniforme) Sean X un espacio de Banach, Y un espacio normado y G una familia de operadores acotados de X en Y, entonces son equivalentes: (i) sup {T  : T ∈ G} < ∞. (ii) sup {T x : T ∈ G} < ∞ para toda x ∈ X. (iii) sup {|f (T x)| : T ∈ G} < ∞ para toda x ∈ X y para toda f ∈ Y ∗ . Demostraci´ on: Es obvio que (i)⇒(ii)⇒(iii). Probaremos que (ii)⇒(i) y (iii)⇒(ii). (ii)⇒(i) Supongamos sup {T x : T ∈ G} < ∞ para toda x ∈ X. 



Sea An = x ∈ X : sup T x ≤ n . Entonces An es cerrado para toda

T ∈G

n ∈ N, X = n∈N An , y como X es un espacio de Baire, existe k ∈ N tal que intAk = ∅. Por lo tanto existen x0 ∈ Ak y δ > 0 tales que x − x0  < δ implica que sup T x ≤ k. T ∈G

(4.16)

106

4. Espacios normados y de Banach

En particular si x < δ y T ∈ G, T x0 + T x ≤ k y T x ≤ k + T x0  = M. Finalmente, de ah´ı obtenemos que sup T x ≤ T ∈G

M es decir sup T  ≤ . δ T ∈G (iii)⇒(ii) Supongamos

M x para toda x ∈ X, δ

sup {|f (T x)| : T ∈ G} < ∞ para toda x ∈ X y para toda f ∈ Y ∗ . Fijemos x ∈ X y sea



∗

An = f ∈ Y : sup |f (T x)| ≤ n . T ∈G

Es f´acil ver que An es cerrado y que Y ∗ = n∈N An . Como Y ∗ es un espacio de Banach y consiguientemente un espacio de Baire, existe k ∈ N tal que intAk = ∅. Por lo tanto existen f0 ∈ Ak y δ > 0 tales que f − f0  < δ implica que sup |f (T x)| ≤ k. T ∈G

(4.17)

Como antes, y usando el corolario 4.36, obtenemos que existe M tal que M sup T x = sup sup |f (T x)| ≤ . δ T ∈G T ∈G f ≤1 Corolario 4.43 Si X y Y son como en el teorema anterior y no se satisface (i), entonces A = {x ∈ X : sup {T x : T ∈ G} < ∞} es de la primera categor´ıa. Demostraci´ on: Supongamos que A es de la segunda categor´ıa. Si  An =

x ∈ X : sup T x ≤ n , entonces como en (ii) ⇒ (i) , se ve T ∈G

que existe k con intAk = ∅. Como claramente A es un subespacio de X, por el lema 4.40, A = X, lo cual es una contradicci´on.

4.7. Teorema de Baire y operadores continuos

107

Teorema 4.44 (Banach-Steinhaus para sucesiones) Sean X y Y espacios de Banach y {Tn }∞ on en B(X, Y ) tal que para n=1 una sucesi´ toda x ∈ X limn→∞ Tn x = yx ∈ Y existe. Si T : X → Y est´ a dado por T x = yx , entonces T ∈ B(X, Y ) y T  ≤ sup Tn  < ∞. n

Demostraci´ on: T es claramente lineal y por el teorema 4.42 tenemos que existe M < ∞ tal que sup Tn  = M. Sea x ∈ X con x ≤ 1; n entonces T x ≤ T x − Tn x + Tn x ≤ T x − Tn x + M y, pasando al l´ımite cuando n → ∞, obtenemos que T x ≤ M para toda x ∈ X con x ≤ 1, es decir T  ≤ M. El teorema de Banach-Steinhaus para sucesiones no es v´alido en general si sustituimos sucesiones por redes como muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo Sean X un espacio de Banach e IX : X → X el operador identidad. Para todo entero n sea 

Tn =

n−1 IX si n ≥ 1 nIX si n ≤ 0

Entonces {Tn : n es un entero} es una red tal que Tn x converge a cero para cada x, pero Tn  = |n| si n < 0 y por lo tanto supn Tn  = ∞. El teorema de la funci´on abierta es otro de los m´as profundos resultados sobre operadores en espacios de Banach. Teorema 4.45 (de la funci´ on abierta) Sean X y Y espacios de Banach y T : X → Y un operador lineal, continuo y suprayectivo. Entonces T es abierto, es decir T (U ) es un conjunto abierto en Y para todo conjunto abierto U ⊂ X.

108

4. Espacios normados y de Banach

Demostraci´ on: Es suficiente probar que 0 ∈ int T (Br (0)) para toda r > 0 (ver ejercicio 10). Como T es suprayectivo, para cualquier r > 0, tenemos que Y =



∞  k=1



T Bkr/4 (0) =

∞  k=1





kT Br/4 (0) .

Entonces, por el teorema de Baire, existe k ≥ 1 tal que 



int kT Br/4 (0) = ∅ 



y por lo tanto existe y ∈ int T Br/4 (0) . Por otra parte, usando el lema 4.5, obtenemos 







intT Br/4 (0) − intT Br/4 (0) ⊂ 









⊂ int T Br/4 (0) − T Br/4 (0) es decir





(4.18)

⊂ intT Br/2 (0) ,





0 ∈ intT Br/2 (0) .

(4.19)

Probaremos ahora que 



T Br/2 (0) ⊂ T (Br (0)) ,

(4.20)

y entonces por (4.19) obtenemos que 0 ∈ int T (Br (0)).   Para ello, sea y1 ∈ T Br/2 (0) ; como (4.18) es v´alido para toda r, tambi´en se satisface que 0 ∈ intT (B2−2 r (0)) y entonces y1 −T (B2−2 r (0)) contiene una vecindad de y1 . Por lo tanto 







y1 − T (B2−2 r (0)) ∩ T Br/2 (0) = ∅.

Sea x1 ∈ Br/2 (0) tal que T x1 ∈ y1 −T (B2−2 r (0)) y sea y2 ∈ T (B2−2 r (0)) con T x1 = y1 − y2 . Procediendo inductivamente, obtenemos sucesiones ∞ {xn }∞ n=1 ⊂ X y {yn }n=1 ⊂ Y tales que xn ∈ B2−n r (0),

yn ∈ T (B2−n r (0)) y T xn = yn − yn+1 .

4.7. Teorema de Baire y operadores continuos

109



Entonces xn  < 2−n r, de donde ∞ n=1 xn  < r y por lo tanto existe  x ∈ X con x = ∞ x y x < r. Adem´as, yn  ≤ T  2−n r y por n=1 n ende yn → 0. Finalmente de n

T xk =

k=1

obtenemos que y1 = (4.20).

n

(yk − yk+1 ) = y1 − yn+1 ,

k=1

∞

k=1

T xk = T x ∈ T (Br (0)) , lo que prueba

La siguiente consecuencia del teorema de la funci´on abierta es inmediata y se usa frecuentemente para demostrar que un operador es invertible. Teorema 4.46 (de la funci´ on inversa) Si X y Y son espacios de Banach y T : X → Y es un operador biyectivo y acotado, entonces T es un isomorfismo, es decir, T −1 es acotado y por lo tanto    −1 −1 T  x ≤ T x ≤ T  x .

Es f´acil ver que cuando T es un operador continuo, su gr´afica es cerrada. Para espacios de Banach y funciones lineales el rec´ıproco tambi´en es cierto, es decir, si la gr´afica de T es cerrada entonces T es continuo. Definici´ on 4.47 Sean X y Y espacios normados. La gr´ afica de una funci´on T : X → Y es el conjunto gra T = {(x, T x) ∈ X × Y : x ∈ X} . Teorema 4.48 (de la gr´ afica cerrada) Sean X, Y espacios de Banach y T : X → Y una funci´on lineal cuya gr´ afica es cerrada en X × Y. Entonces T es continua. Demostraci´ on: No es dif´ıcil ver que la norma (x, y) = x + y

110

4. Espacios normados y de Banach

induce la topolog´ıa producto en X ×Y (ver ejercicio 8). Entonces por el teorema 4.21, X × Y es un espacio de Banach. Claramente gra T = G es un subespacio lineal de X × Y y como es cerrado, G es un espacio de Banach. Sea P : G → X, dada por P (x, T x) = x, entonces P (x, T x) = x ≤ (x, T x) y consecuentemente P es continua. Adem´as es f´acil ver que P es una funci´on lineal biyectiva. Usando ahora el teorema 4.46, P −1 : X → G resulta ser continua . Por otra parte se demuestra de manera an´aloga que la funci´on R : G → Y definida por R(x, T x) = T x es tambi´en continua. Como T = R ◦ P −1 , tenemos que es continua. El siguiente resultado nos da una caracterizaci´on de los operadores con gr´afica cerrada: Proposici´ on 4.49 Sean X y Y espacios normados y T : X → Y . Son equivalentes: (i) La gr´afica G de T es cerrada. on en X tal que existen los l´ımites (ii) Si {xn }∞ n=1 es una sucesi´ x = lim xn y y = lim T xn , entonces T x = y. n→∞ n→∞ Demostraci´ on: (i) ⇒ (ii) Supongamos que G es un conjunto cerrado. Sea {xn }∞ n=1 una sucesi´on en X tal que existen x = lim xn y y = lim T xn . Como n→∞ n→∞ x − xn  + y − T xn  = (x, y) − (xn , T xn ) ,

(4.21)

obtenemos que (x, y) = n→∞ lim (xn , T xn ) . Por lo tanto (x, y) ∈ G y x = T y. (ii) ⇒ (i) Sea (x, y) ∈ G. Como X × Y es normado, existe una sucesi´on {xn }∞ lim (xn , T xn ) . Usando (4.21), n=1 ⊂ X, tal que (x, y) = n→∞ lim T xn . Por lo tanto y = T x y (x, y) ∈ G. x = n→∞ lim xn y y = n→∞

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles

4.8

111

Dualidad y topolog´ıas d´ ebiles

Sea X un espacio normado. Hemos visto que X ∗ siempre es un espacio de Banach (proposici´on 4.16), y entonces podemos hablar de su espacio dual o bidual de X, que denotaremos por X ∗∗ y tambi´en es un espacio de Banach. Tenemos la siguiente relaci´on entre X y su bidual X ∗∗ . Teorema 4.50 Sea X un espacio normado. Entonces X es isom´etrico on j : X → X ∗∗ dada por a un subespacio de X ∗∗ v´ıa la funci´ j(x), x∗  = x∗ (x), on para toda x ∈ X y x∗ ∈ X ∗ . Esta funci´on es llamada la inyecci´ ∗∗ can´ onica de X en X . Demostraci´ on: Claramente j(x) es lineal y |j(x), x∗ | ≤ x x∗  , de manera que j(x) ≤ x y j(x) ∈ X ∗∗ . Adem´as por el corolario 4.36, x = sup |x∗ (x)| = sup |j(x), x∗ | = j(x) . x∗ ≤1

x∗ ≤1

Notemos que cuando X es un espacio completo, j(X) es un subespacio cerrado de X ∗∗ . Definici´ on 4.51 Un espacio normado X es reflexivo si j(X) = X ∗∗ , donde j : X → X ∗∗ es la inyecci´on can´onica definida arriba. Notemos que si un espacio es reflexivo, es isom´etricamente isomorfo a su doble dual y entonces es un espacio de Banach. La definici´on estipula que la isometr´ıa debe de ser la inyecci´on can´onica, sin embargo X puede ser isom´etricamente isomorfo a X ∗∗ mediante una isometr´ıa distinta. Durante mucho tiempo se pens´o que un espacio de Banach isom´etricamente isomorfo a su doble dual deber´ıa ser reflexivo, pero en 1950, R.C. James construy´o un espacio que es un contraejemplo a esta conjetura. Estudiaremos el espacio de James con cierto detalle en el cap´ıtulo 6.

112

4. Espacios normados y de Banach

Ejemplo Todo espacio de Hilbert es reflexivo. Esto es consecuencia del corolario 3.46. El ejemplo anterior implica que l2 es reflexivo. Veremos que tambi´en es cierto para lp con 1 < p < ∞. Proposici´ on 4.52 El dual del espacio lp con 1 < p < ∞ es el espacio 1 1 lq donde q es tal que + = 1 y lp es reflexivo. p q Demostraci´ on: Para n = 1, 2, ... sea en = (0, ..., 0, 1, 0, ...) ∈ lp . )

(bn )∞ n=1

q

p

*+ n

,

Toda y = ∈ l , define un elemento ϕy : l → C, de la siguiente p manera: para toda x = (an )∞ n=1 ∈ l , ϕy (x) =

∞ n=1

an b n .

Que ϕy est´a bien definida, se sigue de la desigualdad de H¨older: ∞ n=1

|an bn | ≤

∞ n=1

q

|bn |

1/q  ∞ n=1

p

1/p

|an |

≤ yq xp .

Por lo tanto |ϕy (x)| ≤ yq xp , de donde ϕy  ≤ yq .

(4.22)

Adem´as es claro que ϕy (en ) = bn . Probaremos que la funci´on Φ : lq → (lp )∗ , dada por Φ(y) = ϕy , es un isomorfismo isom´etrico. Claramente Φ es inyectiva. Dada f ∈ (lp )∗ q sea bn = f (en ); veremos que la sucesi´on y = (bn )∞ n=1 pertenece a l . m q−1 (m) iθn Para ello, sean m ∈ N y z = n=1 e |bn | en donde θn es tal que iθn e bn = |bn | , entonces m n=1

q

|bn | = f (z

(m)

  ) ≤ f  z (m)  = f  p

 m n=1

p(q−1)

|bn |

1/p

,

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles y usando que p(q − 1) = q y que 1 −  m n=1

q

113

1 1 = , obtenemos p q

1/q

|bn |

≤ f 

q para toda m. Esto prueba que y = (bn )∞ n=1 ∈ l y que

yq ≤ f  .

(4.23)

p (m) Por otra parte, si x = (an )∞ = n=1 ∈ l , sea x claramente,

⎞1/p ⎛ ∞     |an |p ⎠ x − x(m)  = ⎝ p

n=m+1

m

n=1

→ 0.

m→∞

an en ; entonces

(4.24)



Como f es continua, f (x(m) ) = m → f (x) y se sigue que n=1 an bn m→∞ ∞ f (x) = n=1 an bn , es decir, Φ(y) = f . Adem´as por (4.22) y (4.23) f  = yq , lo que concluye la prueba de que el espacio dual de lp es lq . La demostraci´on de que lp es reflexivo es an´aloga a la del corolario 3.46 y se deja como ejercicio al lector. De manera semejante se puede probar que el dual de c0 es l1 y que el dual de l1 es l∞ . La demostraci´on de estas afirmaciones se deja como ejercicio.

4.8.1

Topolog´ıas d´ ebil y d´ ebil estrella

En el teorema 4.26 vimos que los u ´nicos espacios normados cuya bola cerrada unitaria es compacta, son los de dimensi´on finita. Esto expresado en t´erminos de la convergencia de sucesiones, quiere decir que para que toda sucesi´on acotada en un espacio normado tenga una subsucesi´on convergente, el espacio tiene que ser de dimensi´on finita. Hist´oricamente la necesidad de extraer subsucesiones convergentes de sucesiones acotadas, condujo a la b´ usqueda de topolog´ıas m´as d´ebiles, con m´as compactos y que siguieran respetando la estructura de espacio

114

4. Espacios normados y de Banach

vectorial. Las dos topolog´ıas m´as importantes que surgieron de esta investigaci´on, son las ahora conocidas como topolog´ıa d´ebil y topolog´ıa d´ebil estrella, la primera en el espacio mismo y la segunda en su espacio dual. Definici´ on 4.53 Sean X un espacio normado y X ∗ su dual. La topolog´ıa d´ebil en X , denotada por σ (X, X ∗ ) o simplemente por w, es la topolog´ıa que tiene como base local de x0 ∈ X a los conjuntos de la forma V (x0, x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , ) =

k  i=1

{x ∈ X : |x∗i , x − x0 | < } ,

(4.25)

con x∗1 , x∗2 , ..., x∗k ∈ X ∗ y > 0, donde x∗ , x significa lo mismo que x∗ (x). Entonces un conjunto U ⊂ X es d´ebilmente abierto, o w abierto, si y s´olo si para toda x0 ∈ U existen x∗1 , x∗2 , ..., x∗k ∈ X ∗ y > 0 tales que V (x0, x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , ) ⊂ U. Cuando x0 = 0 denotaremos la vecindad (4.25) simplemente por V (x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , ). Es f´acil probar que: V (x0, x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , ) = x0 + V (x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , ), V (λx0, x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , λ ) = λV (x0, x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , ) si λ > 0

(4.26) (4.27)

y que la topolog´ıa d´ebil es de Hausdorff (ejercicio 17). Lo anterior muestra que las vecindades d´ebiles son las traslaciones de las vecindades d´ebiles del 0. Al principio de este cap´ıtulo, en la proposici´on 4.4, probamos que las operaciones de espacio vectorial son norma continuas; se deja como ejercicio demostrar que de las propiedades (4.26) y (4.27) se deduce que las operaciones de espacio vectorial son w continuas.

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles

115

Notemos que las vecindades d´ebiles son bastante grandes en espacios de dimensi´on infinita, de hecho las vecindades b´asicas de 0 son tales que V (x∗1 , x∗2 , ..., x∗n , ) ⊃

n  i=1

ker x∗i

(4.28)

y como siempre que x ∈ ker x∗ , tambi´en λx ∈ ker x∗ , claramente n n ∗ ∗ i=1 ker xi es un conjunto no acotado en la norma ya que i=1 ker xi es un subespacio de X distinto de {0} (ver el ejercicio 11 y la proposici´on 4.27). Por lo tanto las vecindades d´ebiles no est´an contenidas en ninguna bola abierta y la topolog´ıa d´ebil tiene menos abiertos que la de la norma (de ah´ı su nombre); pero a pesar de ello resulta que los elementos de X ∗ son tambi´en w continuos. Proposici´ on 4.54 Si X es un espacio normado, entonces x∗ ∈ X ∗ si y s´ olo si x∗ : (X, σ (X, X ∗ )) → K es continua. Demostraci´ on: Es inmediata de la definici´on de la topolog´ıa σ(X, X ∗ ). Si g es una funcional lineal continua cualquiera, U = {x ∈ X : |g(x)| < 1} , x∗1 , x∗2 , ..., x∗k ∈ X ∗ y > 0 son tales que V (x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , ) ⊂ U, entonces por (4.28) para toda λ > 0 k  i=1

ker x∗i ⊂ V (x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , λ ) ⊂ λU = {x : |g(x)| < λ} .

Por lo tanto,

k  i=1

ker x∗i ⊂ ker g.

k i=1

Pero curiosamente, si ker x∗i ⊂ ker g, resulta que g es una combi∗ ∗ ∗ naci´on lineal de x1 , x2 , ..., xk . Lema 4.55 Sean X un espacio vectorial sobre K y f1 , f2 , ..., fn y g funcionales lineales en X. Si K = {x ∈ X : f1 (x) = f2 (x) = · · · = fn (x) = 0} son equivalentes:

116

4. Espacios normados y de Banach

(i) Existen λ1 , λ2 , ..., λn ∈ K tales que g = λ1 f1 + · · · + λn fn . (ii) Existe C < ∞ tal que |g(x)| ≤ C max |fi (x)| para toda x ∈ X. 1≤i≤n

(iii) g(x) = 0 para toda x ∈ K. Demostraci´ on:(i)⇒(ii) Supongamos que existen λ1 , λ2 , ..., λn ∈ K n tales que g = λ1 f1 + · · · + λn fn . Entonces C = i=1 |λi | satisface (ii). (ii)⇒(iii) Es obvio. (iii)⇒(i) Supongamos que g(x) = 0 para toda x ∈ K. Definamos Φ : X → Kn por Φ(x) = (f1 (x), ..., fn (x)) . Sea E = ΦX, que claramente es un subespacio vectorial de Kn ; definamos la funci´on lineal ψ : E → K por ψ(f1 (x), ..., fn (x)) = g(x). ψ est´a bien definida, ya que si Φ(x) = Φ(y) , por (iii), obtenemos que g(x) = g(y). Sea Ψ una extensi´on lineal de ψ a Kn , que siempre existe. Como Kn es un espacio de Hilbert, por el teorema 3.39 existen λ1 , ..., λn ∈ K tales n que Ψ (a1 , ..., an ) = λ a y como g = Ψ ◦ Φ obtenemos que n i=1 i i g(x) = Ψ (Φ(x)) = i=1 λi fi (x). Corolario 4.56 Sea X un espacio normado. Si x∗ , x∗1 , x∗2 , ..., x∗k ∈ X ∗ y , δ > 0 son tales que V (x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , ) ⊂ V (x∗ , δ) entonces x∗ es combinaci´on lineal de x∗1 , x∗2 , ..., x∗k . k ∗ i=1 ker xi k ∗ i=1 ker xi

⊂ ker x∗ : Claramente si para toda n ∈ N. Por lo δ tanto |x∗ (nx)| < δ, o equivalentemente, |x∗ (x)| < para toda n ∈ N, n lo cual prueba nuestra afirmaci´on. El lema 4.55 nos da ahora el resultado deseado. Demostraci´ on: Veremos que k x ∈ i=1 ker x∗i , tambi´en nx ∈

Sea X un espacio normado; entonces X ∗ se puede ver tanto como el espacio dual de X, como tambi´en como el espacio cuyo dual es X ∗∗ . Por lo tanto, adem´as de las topolog´ıas de la norma y la d´ebil σ (X ∗ , X ∗∗ ), se puede definir otra importante topolog´ıa en X ∗ : Definici´ on 4.57 Sean X un espacio normado y X ∗ su dual. La topolog´ıa d´ebil estrella en X ∗ , denotada por σ (X ∗ , X) o simplemente por

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles

117

w∗ , es la topolog´ıa que tiene como base local de x∗0 ∈ X ∗ a los conjuntos de la forma V

(x∗0, x1 , x2 , ..., xk , )

k 

=

i=1

{x∗ ∈ X ∗ : |x∗0 − x∗ , xi | < } ,

(4.29)

con x1 , x2 , ..., xk ∈ X y > 0. La topolog´ıa d´ebil estrella es tambi´en de Hausdorff (ejercicio 17) y las vecindades w∗ tienen propiedades an´alogas a las propiedades (4.26) y (4.27). Entonces las operaciones de espacio vectorial en X ∗ son tambi´en w∗ continuas. Proposici´ on 4.58 Sea X un espacio normado. Las funcionales w∗ continuas son aquellos elementos de X ∗∗ de la forma j (x) para alguna x ∈ X, es decir son los elementos de X vistos como funcionales en X ∗ . Demostraci´ on: Es claro que toda funcional de la forma j (x) es w∗ continua. Supongamos que f : X ∗ → K es w∗ continua. Entonces dado > 0 existen δ > 0 y x1 , ..., xk ∈ X tales que si |j (xi ) , x∗ | = |x∗ (xi )| < δ para i = 1, ..., k, se tiene que |f (x∗ )| < . Como en la demostraci´on del corolario 4.56 se obtiene que ki=1 ker j (xi ) ⊂ ker f. Por el lema 4.55 existen λ1 , ..., λk ∈ K tales que f=

k i=1

λi j (xi ) = j

 k i=1



λi xi .

Observemos que cuando X es reflexivo, coinciden las topolog´ıas d´ebil y d´ebil estrella. De hecho esto caracteriza a los espacios reflexivos, lo que se ver´a m´as adelante en el teorema 4.76. Como es claro que σ(X ∗ , X) ⊂ σ(X ∗ , X ∗∗ ), cuando X no es reflexivo la topolog´ıa d´ebil estrella es m´as d´ebil a´ un que la d´ebil. Como ya hemos dicho la topolog´ıa de un espacio tambi´en se puede definir a trav´es de la convergencia de redes. ¿C´omo ser´a la convergencia en las topolog´ıas w y w∗ ? Definici´ on 4.59 Sean X (X ∗ ) un espacio normado y {xα }α∈A una red en X (X ∗ ). Decimos que {xα }α∈A es w (w∗ ) −Cauchy si para toda w (w∗ ) vecindad de 0, V, existe β ∈ A tal que si α1 , α2 ∈ A y α1 ≥ β, α2 ≥ β, entonces xα1 − xα2 ∈ V.

118

4. Espacios normados y de Banach

Sean X un espacio normado y {xα }α∈A una red en X. Como las vecindades de la forma V (x0 , x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , ) para x∗1 , x∗2 , ..., x∗k ∈ X ∗ y > 0 son una base local de la topolog´ıa d´ebil, tenemos que xα converge d´ebilmente a x0 , y lo denotaremos por xα → x0 , si y s´olo si x∗ , xα  converge a x∗ , x0  en K para toda w x∗ ∈ X ∗ . Adem´as una red {xα }α∈A en X es w Cauchy si y s´olo si la red {x∗ , xα }α∈A ⊂ K es de Cauchy para toda x∗ ∈ X ∗ . Observemos adem´as que x∗ , xα  → x∗ , x0  para toda x∗ ∈ X ∗ si y s´olo si x∗ , xα  → x∗ , x0  para toda x∗ ∈ BX ∗ , pues si x∗ ∈ X ∗ , x∗ = 0 entonces 1 x∗ , xα  = x∗ 

4

5

x∗ , xα → x∗ 

4

5

x∗ 1 , x0 = ∗ x∗ , x0  . ∗ x  x 

Sea ahora {x∗α }α∈A una red en X ∗ . De manera similar al caso anterior, obtenemos que, x∗α →∗ x∗0 si y s´olo si w

x∗α , x = jx, x∗α  → jx, x∗0  = x∗0 , x para toda x ∈ X. Por esto u ´ltimo, a la convergencia w∗ se le llama tambi´en convergencia puntual en X. Notemos que la diferencia entre las topolog´ıas d´ebil y d´ebil estrella desde el punto de vista de la convergencia, radica en que en la primera para asegurar la convergencia de {x∗α }α∈A a x∗0 se tiene que satisfacer x∗∗ , x∗α  → x∗∗ , x∗0 

(4.30)

para toda x∗∗ ∈ X ∗∗ , mientras que en la segunda basta que se satisfaga 4.30 para las funcionales en j(X). Recordemos que una topolog´ıa en un conjunto E es metrizable si existe una m´etrica en E que induce dicha topolog´ıa, y que las topolog´ıas inducidas por m´etricas satisfacen el primer axioma de numerabilidad, es decir, todo punto en E tiene una base local numerable. Veremos que los u ´nicos espacios normados cuya topolog´ıa d´ebil (d´ebil estrella en caso de espacios duales) es metrizable, son los de dimensi´on finita; esto nos da una diferencia sustancial entre las topolog´ıas d´ebiles y de la norma, ya que todo espacio normado es m´etrico.

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles

119

Proposici´ on 4.60 Sea X un espacio de Banach. (a) Si la topolog´ıa w en X es metrizable entonces X tiene dimensi´ on finita. (b) Si la topolog´ıa w∗ en X ∗ es metrizable entonces X ∗ y consecuentemente X tienen dimensi´ on finita. Demostraci´ on: S´olo probaremos (a) pues la demostraci´on de (b) es an´aloga. Como σ(X, X ∗ ) es metrizable sea {Un }n∈N una base local de ∗ ∗ 0. Para cada n ∈ N existen yn,1 , ..., yn,k(n) ∈ X ∗ y un racional n > 0 ∗ ∗ ∗ tales que V (yn,1 , yn,2 , ..., yn,k(n) , n ) ⊂ Un . Sea {x∗i }i∈ N

=

∞   n=1



∗ ∗ ∗ yn,1 , yn,2 , ..., yn,k(n) .

Entonces para toda vecindad d´ebil W de 0, existen n1 < n2 < ... < nk y ∈ Q con V (x∗n1 , x∗n2 , ..., x∗nk , ) ⊂ W y por lo tanto V (x∗1 , x∗2 , ..., x∗nk , ) ⊂ W. Sea x∗ ∈ X ∗ ; como V (x∗ , 1) es una vecindad d´ebil de cero, existen nk y ∈ Q con V (x∗1 , x∗2 , ..., x∗nk , ) ⊂ V (x∗ , 1). Del corolario 4.56, concluimos que x∗ es combinaci´on lineal de x∗1 , x∗2 , ..., x∗nk . Sea Fm = sp {x∗i }m i=1 , entonces cada Fm es un conjunto cerrado por ser un subespacio de dimensi´on finita de X ∗ , y lo anterior prueba que

X ∗ = m∈ N Fm . Por el teorema de Baire, existe Fm con interior no vac´ıo y entonces por el lema 4.40, X ∗ = Fm que tiene dimensi´on menor o igual que m; pero si X ∗ tiene dimensi´on finita X tambi´en la tiene. Sea X un espacio normado y X ∗ su espacio dual. Cuando hagamos cualquier afirmaci´on referente a la topolog´ıa sin mencionar de cu´al se trata, nos referiremos a la topolog´ıa inducida por la norma. Por ejemplo, si decimos A es cerrado nos referimos a cerrado con respecto a la norma y para decir que A es cerrado en la topolog´ıa d´ebil diremos que A es w cerrado o A es σ(X, X ∗ ) cerrado. Como antes, A denota la cerradura w de A en la norma; a la cerradura d´ebil la denotaremos por A y a la ∗ w cerradura d´ebil estrella por A .

120

4. Espacios normados y de Banach

Ejemplo Sea X un espacio normado y sea A = {x ∈ X : x ≥ 1} . Entonces A = A, pero como las bolas abiertas no son w abiertas, se sigue que w X\A no es w abierto y por lo tanto A = A. En general, como muestra el ejemplo, la cerradura d´ebil y la cerradura de un conjunto son diferentes. Sin embargo si un conjunto es convexo, ambas cerraduras coinciden. Esto lo probaremos en un contexto m´as general en la proposici´on 5.65 en el cap´ıtulo 5, pues en su demostraci´on se requiere una forma geom´etrica del teorema de HahnBanach en espacios vectoriales topol´ogicos que se estudiar´a en dicho cap´ıtulo. Proposici´ on 4.61 Sea X un espacio normado. Si A ⊂ X es convexo, w entonces A = A . En consecuencia un subconjunto convexo de X es cerrado si y s´ olo si es d´ebilmente cerrado. El resultado anterior nos permite construir sucesiones convergentes a 0 a partir de sucesiones d´ebilmente convergentes a 0. Corolario 4.62 Sea {xn }∞ on en un espacio normado X. n=1 una sucesi´ Si xn → 0 entonces existe una sucesi´ on {yn }∞ n=1 de combinaciones conw vexas de las xn , tal que yn  → 0. Demostraci´ on: Apl´ıquese la proposici´on anterior a A = conv {xn }∞ n=1 . Probaremos a continuaci´on que aunque las topolog´ıas de la norma y d´ebil son distintas, los conjuntos acotados coinciden con los d´ebilmente acotados, que definiremos a continuaci´on: Definici´ on 4.63 Sea X un espacio normado o un espacio dual de un espacio normado y sea A ⊂ X. Se dice que A es d´ebilmente acotado (d´ebilmente estrella acotado), si para toda vecindad d´ebil (d´ebil estrella) V de 0 existe λ > 0 tal que λA ⊂ V. Lema 4.64 Sean X un espacio normado y A ⊂ X. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles

121

(i) A es d´ebilmente acotado. (ii) sup |x∗ , x| < ∞ para toda x∗ ∈ X ∗ . x∈A

(iii) A es acotado. Demostraci´ on: (i)⇒(ii) Supongamos que A es d´ebilmente acotado y que x∗ ∈ X ∗ . Sea λ > 0 tal que λA ⊂ V (x∗ , 1) = {x ∈ X : |x∗ , x| < 1} . 1 . λ x∈A (ii)⇒(i) Supongamos que para x∗ ∈ X ∗ , sup |x∗ , x| = Mx∗ . Sea V una x∈A

∗ ∗ ; entonces vecindad de 0 y V (x1 , ..., xn , ) ⊂ V. Sea λ = max1≤i≤n Mx∗i λA ⊂ V (x∗1 , ..., x∗n , ) . (ii)⇔(iii) Como X ∗ es un espacio de Banach, podemos aplicar el principio del acotamiento uniforme a la familia de operadores {j(x) : x ∈ A}, donde j es la inyecci´on can´onica de X en X ∗∗ . Entonces

Entonces si x ∈ A, |x∗ , λx| < 1 y por lo tanto sup |x∗ , x| ≤

sup x = sup j (x) < ∞ x∈A

si y s´olo si

x∈A

sup |j (x) , x∗ | = sup |x∗ , x| < ∞ x∈A

∗

x∈A

∗

para toda x ∈ X . Hasta aqu´ı hemos estudiado los conjuntos w acotados y los conjuntos w cerrados y convexos, ¿qu´e pasar´a con los conjuntos w compactos? Supongamos que K es un subconjunto w compacto de un espacio normado X. Entonces K es w cerrado y por ende norma cerrado. Por otra parte, como toda x∗ ∈ X ∗ es w continua, x∗ (K) es compacto, y por lo tanto acotado, en K. Consecuentemente por (ii) y (iii) del lema anterior, K es w acotado y tambi´en norma acotado. Hemos probado entonces que todo conjunto w compacto es norma cerrado y norma acotado. Presentaremos un ejemplo que prueba que el rec´ıproco es falso.

122

4. Espacios normados y de Banach

Ejemplo Sean {en }∞ on de vectores unitarios en c0 y {e∗n }∞ n=1 la sucesi´ n=1 la 1 ∗ ∞ sucesi´on de vectores unitarios en l . Entonces {en }n=1 es biortogonal a {en }∞ n=1 , es decir  0 si n = m ∗ en (em ) = 1 si n = m Para n ∈ N, sea sn = e1 + e2 + ... + en . El conjunto {sn }∞ n=1 es un conjunto acotado, pues sn  = 1 para cada n ∈ N. Veremos que es w cerrado pero que no es w compacto.  ∞ Sea x0 = ∞ n=1 an en ∈ c0 \ {sn }n=1 , entonces se satisface uno de los tres casos siguientes: 1. x0 = 0. 2. Existe i0 tal que ai0 = 0, 1. 3. Existe i0 tal que ai0 = 0 y ai0 +1 = 1. En el primer caso sea V = {x ∈ c0 : |e∗1 (x)| < 1} , en el segundo sea 



    V = x ∈ c0 : e∗i0 (x0 − x) < min {|ai0 | , |1 − ai0 |}

y en el tercero sea 



      V = x ∈ c0 :  e∗i0 − e∗i0 +1 (x0 − x) < 1 .

Es claro que en cualquiera de los casos la vecindad V de x0 est´a con∞ tenida en c0 \ {sn }∞ n=1 , de modo que {sn }n=1 es w cerrado. Pero si 



    Vn = x ∈ c0 :  e∗n − e∗n+1 (sn − x) < 1 ,

entonces Vn es una vecindad d´ebil de sn y {Vn }∞ n=1 es una cubierta de {sn }∞ . Sin embargo s ∈ / V si m =

n, y por lo tanto no puede tener m n n=1 una subcubierta finita.

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles

123

Tornemos ahora nuestra atenci´on hacia la topolog´ıa d´ebil estrella. El primer resultado que veremos es una de las propiedades m´as importantes de dicha topolog´ıa y prueba que, contrariamente a lo que sucede con la topolog´ıa d´ebil, los conjuntos norma cerrados y norma acotados en X ∗ siempre son w∗ compactos. Teorema 4.65 (Banach-Alaoglu) Para todo espacio normado X, la bola BX ∗ es w∗ compacta y en consecuencia todo subconjunto w∗ cerrado y acotado de X ∗ es w∗ compacto. Demostraci´ on: Dado x∗ ∈ BX ∗ , para toda x ∈ BX se tiene que |x∗ , x| ≤ x∗  x ≤ 1. Por lo tanto para cada x∗ ∈ BX ∗ , x∗ (BX ) ⊂ D, donde D = {λ ∈ K : |λ| ≤ 1} . Sea D = Πx∈BX D = DBX con la topolog´ıa producto. Como D es compacto, del teorema de Tychonoff se sigue que D es compacto. Definimos F : BX ∗ → D mediante F (x∗ ) (x) = x∗ , x para cada x ∈ BX . Con esto lo que queremos decir, es que F (x∗ ) es aquel elemento de D cuya coordenada x es precisamente x∗ , x . Consideremos en BX ∗ la restricci´on de la topolog´ıa w∗ . Probaremos que F es un homeomorfismo sobre su imagen y que la imagen de BX ∗ es cerrada en D, y como este conjunto es compacto, tendremos el resultado deseado. Primero veremos que F es inyectiva: supongamos que F (x∗1 ) = F (x∗2 ) ; esto quiere decir que x∗1 , x = x∗2 , x para toda x ∈ BX , lo cual implica que x∗1 = x∗2 . Sean x∗0 ∈ BX ∗ y V = ni=1 {x∗ ∈ BX ∗ : |x∗0 , xi  − x∗ , xi | < } una vecindad w∗ de x∗0 en BX ∗ . Como |x∗0 , xi  − x∗ , xi | = |F (x∗0 ) , xi  − F (x∗ ) , xi | ,

124

4. Espacios normados y de Banach

es claro que F (V ) =

n  i=1

{F (x∗ ) : x∗ ∈ BX ∗ y |F (x∗0 ) , xi  − F (x∗ ) , xi | < }

(4.31) y este conjunto es abierto en F (BX ∗ ) ∩ D. De aqu´ı se sigue que F es un homeomorfismo. Probaremos ahora que F (BX ∗ ) es un conjunto cerrado en D y por ende compacto: Sea f0 ∈ F (BX ∗ ) ⊂ D; entonces |f0 (x)| ≤ 1 para toda x ∈ BX .

(4.32)

Sean f 0 : X →K y F : BX ∗ → X ∗ dados por f 0 (0) = 0 y si x = 0 x f 0 (x) = x f0 x y F (x∗ ) (x) = x∗ , x para x ∈ X.

f 0 es lineal pues si x1 , x2 ∈ X, λ1 , λ2 ∈ K y > 0, por 4.31 existe x∗ ∈ BX ∗ tal que se satisfacen las siguientes tres desigualdades: Si x1 = 0, 4 5    6   7 x x 1 1    ∗   ∗ (x ) = x   F (x ) , − f0  < ,  F (x ) , x1 − f 0 1 1  x1  x1  

si x2 = 0,

4 5   6   7 x2  x2   ∗   ∗ − f0  < ,  F (x ) , x2 − f0 (x2 ) = x2   F (x ) ,  x2  x2  

y si λ1 x1 + λ2 x2 = 0,

6  7   ∗ (λ x + λ x ) =  F (x ) , λ1 x1 + λ2 x2 − f 0 1 1 2 2 6

7

 2 x2 − f0 λ1 x1 + λ2 x2   F (x∗ ) , λλ11 xx11 +λ +λ2 x2 



λ1 x1 +λ2 x2 λ1 x1 +λ2 x2 

   < .

Por lo tanto

    (x ) − λ f f0 (λ1 x1 + λ2 x2 ) − λ1 f 0 1 2 0 (x2 ) ≤

6 7  6 7     ≤  f 0 − F (x∗ ) , λ1 x1 + λ2 x2  + λ1 F (x∗ ) − f 0 , x1  +  6 7 + λ2 F (x∗ ) − f 0 , x2  < (1 + |λ1 | + |λ2 |) .

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles

125

Si x1 = 0 o x2 = 0 o λ1 x1 + λ2 x2 = 0 las desigualdades anteriores son obvias. Ya que es arbitraria, f 0 es lineal. se    De  manera semejante   x prueba que para x ∈ BX , f0 (x) = x f0 x . Por (4.32) f0  ≤ 1 y finalmente   f0 = F f 0 , es decir F (BX ∗ ) es cerrado y por lo tanto compacto. Como F es un homeomorfismo esto prueba que BX ∗ es w∗ compacta. Uno de los resultados principales sobre la topolog´ıa w∗ es el teorema de Goldstine que, al igual que la proposici´on 4.61 y por las mismas razones, ser´a demostrado hasta el cap´ıtulo 5. Teorema 4.66 (de Goldstine) Para todo espacio normado X, jBX es σ(X ∗∗ , X ∗ ) densa en BX ∗∗ y en consecuencia jX es σ(X ∗∗ , X ∗ ) denso en X ∗∗ . En la proposici´on 4.60 vimos que las topolog´ıas d´ebiles en espacios normados de dimensi´on infinita nunca son metrizables. Sin embargo, si X es separable, la restricci´on de la topolog´ıa d´ebil estrella a conjuntos acotados s´ı es metrizable, es m´as estos conjuntos son d´ebil estrella separables. Teorema 4.67 Sea X un espacio normado. lentes:

Entonces son equiva-

(i) Toda bola cerrada en X ∗ es σ(X ∗ , X) metrizable. (ii) BX ∗ es σ(X ∗ , X) metrizable. (iii) X es separable. Adem´ as cualquiera de las condiciones anteriores implica (iv) BX ∗ es w∗ separable. Demostraci´ on: (i)⇒(ii) Es obvio. (ii)⇒(iii) Supongamos que BX ∗ es σ(X ∗ , X) es metrizable. Entonces tiene una base local de 0 numerable, {Un }∞ on n=1 . Como en la demostraci´

126

4. Espacios normados y de Banach

de la proposici´on 4.60, sea A = {yn }∞ on tal que para toda n=1 una sucesi´ w∗ vecindad de 0, U, existen k y ∈ Q con V (y1 , ..., yk , ) ⊂ U . Entonces, si x∗ ∈ BX ∗ es tal que x∗ (yn ) = 0 para toda yn ∈ A, obtenemos que x∗ ∈ ∞ n=1 Un = {0} . Por lo tanto el espacio lineal generado por A es denso en X y por ende X es separable (ver ejercicios 18 y 19). (iii)⇒(i) Supongamos que X es separable y sea {xn }∞ on n=1 una sucesi´ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ densa en BX . Sean x , y ∈ X . Si x , xn  = y , xn  para toda n, de ∗ ∗ la densidad de {xn }∞ n=1 en BX obtenemos que x = y , lo cual significa ∗ ∗ que si x = y , existe N tal que x∗ , xN  = y ∗ , xN  . Sea mBX ∗ una bola cerrada en X ∗ , m > 0. Como |x∗ , xn | ≤ m para toda x∗ ∈ mBX ∗ , d(x∗ , y ∗ ) =

∞ 1 n=1

2n

|x∗ − y ∗ , xn |

define una m´etrica en mBX ∗ que induce la topolog´ıa w∗ en mBX ∗ (ver ejercicio 24). (iii)⇒(iv) Supongamos que X es un espacio normado real y {xn }∞ n=1 es una sucesi´on densa en X. Veremos que la colecci´on de vecindades W (xn , I) = {x∗ ∈ BX ∗ : x∗ , xn  ∈ I}

(4.33)

con n ∈ N e I ⊂ R cualquier intervalo abierto con extremos racionales, es una subbase de la topolog´ıa σ (X ∗ , X) . En efecto, dados x∗0 ∈ BX ∗ ,

x ∈ X y > 0, sean a, b > 0 con max (a, b) < , tales que 2 x∗0 (x) − a, x∗0 (x) + b ∈ Q. Sea I = (x∗0 (x) − a, x∗0 (x) + b) y sea n ∈ N tal que x − xn  < min (a, b) . Entonces se comprueba f´acilmente que x∗0 ∈ W (xn , I) ⊂ V (x∗0 , x, ) = {x∗ ∈ BX ∗ : |x∗ − x∗0 , x| < } .

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles

127

Como la colecci´on de vecindades de la forma V (x∗0 , x, ) es una subbase de la topolog´ıa σ (X ∗ , X) en BX ∗ , hemos probado el resultado anunciado. Por lo tanto, las intersecciones finitas de los conjuntos de la forma (4.33) son una base numerable de la topolog´ıa σ (X ∗ , X) en BX ∗ . Finalmente, eligiendo un elemento de cada una de esas vecindades, obtenemos una sucesi´on σ (X ∗ , X) densa en BX ∗ . Si X es complejo reemplazamos el intervalo I en (4.33) por I × iJ, donde I y J son intervalos reales con extremos racionales y el resto de la prueba es an´alogo. Recordemos que un espacio topol´ogico K es secuencialmente compacto si toda sucesi´on en K tiene una subsucesi´on convergente a un punto en K. Como en espacios m´etricos coinciden las nociones de compacidad y compacidad secuencial, obtenemos del teorema anterior y del teorema de Banach-Alaoglu el siguiente corolario conocido como teorema de selecci´on de Helly: Corolario 4.68 Si X es un espacio normado separable, entonces toda sucesi´on acotada en X ∗ tiene una subsucesi´ on w∗ convergente. La condici´on de separabilidad en el corolario anterior no se puede omitir como lo demuestra el siguiente ejemplo: Ejemplo Sea l∞ el espacio definido al principio de este cap´ıtulo. Entonces l∞ es un espacio normado no separable, ya que el conjunto de sucesiones de la forma Θ ={θn }∞ o θn = 0 para n = 1, 2, ..., es n=1 , donde θn = 1 ´ no numerable y si Θ1 = Θ2 , entonces Θ1 − Θ2 ∞ = 1. Del teorema de Banach-Alaoglu, obtenemos que la bola unitaria B(l∞ )∗ es d´ebil estrella compacta, y del teorema 4.67 obtenemos que no es d´ebil estrella metrizable. Veremos que tampoco es d´ebil estrella secuencialmente compacta. Sea fn ∈ (l∞ )∗ la en´esima funcional coordenada, es decir fn (x) = xn . Entonces |fn (x)| ≤ x∞ para toda x ∈ l∞ y si {ei }∞ i=1 es la sucesi´on de vectores unitarios enl∞ , en ∞ = 1 y |fn (en )| = 1; por ∞ es cualquier subsucesi´on, lo tanto fn  = 1 para toda n. Si fnj j=1

sea x = (xn )n ∈ l∞ dado por xn2j = 1 y xn = 0 si n = n2j , j ∈ N.

128

4. Espacios normados y de Banach 

Entonces fn2j (x) = 1 y fn2j−1 (x) = 0, y fnj convergente.

∞ j=1

no es d´ebil estrella

Cuando X es reflexivo, como las topolog´ıas w y w∗ coinciden en X = X, del teorema de Banach-Alaoglu tenemos que BX es w compacta, de donde se deduce el siguiente corolario: ∗∗

Corolario 4.69 Si X es un espacio de Banach reflexivo y separable, entonces toda sucesi´on acotada tiene una subsucesi´ on w convergente. El resultado anterior es cierto a´ un sin la hip´otesis de separabilidad, es decir: si X es un espacio de Banach reflexivo entonces toda sucesi´on acotada tiene una subsucesi´on w convergente. Esto es consecuencia del teorema de Eberlein-Smulian que asegura que un subconjunto de un espacio de Banach es w compacto si y s´olo si es w secuencialmente compacto. El lector interesado puede encontrar una prueba de este resultado en [9]. En el cap´ıtulo 3 definimos el espacio E ⊥ para espacios de Hilbert. Estos espacios tienen su an´alogo en espacios normados y son esenciales en el estudio de los duales de subespacios y espacios cociente. Adem´as nos servir´an para probar que todo espacio con dual separable es a su vez separable. Definici´ on 4.70 Sean X un espacio normado, E un subconjunto de X y F un subconjunto de X ∗ . Sus aniquiladores E ⊥ y F⊥ se definen como E ⊥ = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = 0 para toda x ∈ E} , F⊥ = {x ∈ X : x∗ , x = 0 para toda x∗ ∈ F } . Es claro que E ⊥ y F⊥ son espacios vectoriales. Adem´as, como F⊥ es la intersecci´on de los espacios nulos de las funcionales x∗ con x∗ ∈ F, tenemos que es un subespacio cerrado de X. Por otro lado si {x∗n }n ⊂ E ⊥ y converge a x∗ ∈ X ∗ , es claro que x∗ ∈ E ⊥ y por lo tanto E ⊥ es cerrado en X ∗ . Notemos que aunque la definici´on anterior es aparentemente diferente a la dada para espacios de Hilbert, en virtud del teorema 3.39 ambas definiciones coinciden.

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles

129

Proposici´ on 4.71 Sea X un espacio normado. Si X ∗ es separable, entonces X es separable. Demostraci´ on: Sea {x∗n }n una sucesi´on densa en X ∗ . Por definici´on de la norma de x∗n , para cada n existe xn ∈ SX con |x∗n (xn )| ≥ 34 x∗n  . Sea ahora x∗ = 0 en X ∗ y n tal que x∗ − x∗n  < 14 x∗  . Entonces x∗n  ≥ x∗  − x∗ − x∗n  ≥ 34 x∗  y |x∗ (xn )| ≥ |x∗n (xn )| − |(x∗ − x∗n ) (xn )| ≥ |x∗n (xn )| − x∗ − x∗n  > 34 x∗n  − 14 x∗  > 34 x∗n  − 13 x∗n  > 0. ⊥

Entonces ({xn }n )  

= {0} . Como para un conjunto A ⊂ X, [A] =  A⊥ (ejercicio 21), tenemos que [{xn }n ] = ({xn }n )⊥ = {0}⊥ = ⊥ ⊥ X. Por el ejercicio 19 [A] es separable si A es numerable y esto termina la prueba. El rec´ıproco de la proposici´on anterior es falso ya que por ejemplo el espacio l1 es separable y su dual l∞ no lo es.

4.8.2

Espacios duales de subespacios y espacios cociente

Sea Y un subespacio de un espacio normado X. Mostraremos, echando mano del aniquilador de Y, que el dual de Y es un espacio cociente de X ∗ y el dual de X/Y es un subespacio de X ∗ . Por el teorema 4.18 tenemos que si Y es un subespacio cerrado de X, entonces el cociente X/Y es tambi´en un espacio normado. Sea q : X → X/Y la funci´on cociente dada por q(x) = x donde x = x + Y. Entonces, si f ∈ (X/Y )∗ , tenemos que f ◦ q ∈ X ∗ . Adem´as, si y ∈ Y, claramente f ◦ q(y) = 0, por lo que f ◦ q ∈ Y ⊥ . Esto nos permite definir una funci´on Φ : (X/Y )∗ → Y ⊥ mediante Φ (f ) = f ◦ q; veremos que Φ establece una identificaci´on entre dichos espacios . Teorema 4.72 Sean X un espacio normado y Y un subespacio cerrado de X. Entonces la funci´on Φ : (X/Y )∗ → Y ⊥ definida arriba es un

130

4. Espacios normados y de Banach

isomorfismo isom´etrico, que tambi´en es un homeomorfismo con respecto a las topolog´ıas σ ((X/Y )∗ , X/Y ) y σ (X ∗ , X) restringida a Y ⊥ . Demostraci´ on: Claramente Φ es lineal y si 0 = Φ (f ) = f ◦ q, como q es suprayectiva, f = 0 y entonces Φ es inyectiva. Si g ∈ Y ⊥ sea f : X/Y → K dada por f (x) = g(x); f est´a bien definida pues g(y) = 0 si y ∈ Y y se verifica f´acilmente que es lineal. Sea > 0; por el teorema 4.18 el conjunto A = {x : |f (x)| < } ser´a abierto en X/Y siempre y cuando q −1 (A) sea abierto en X. Pero q −1 (A) = {x ∈ X : |g(x)| < } es abierto al ser g continua. Por lo tanto f es continua y Φ es suprayectiva pues Φ(f ) = g. Veremos que Φ es una isometr´ıa. Por el teorema 4.18 tenemos que Φ(f ) = f ◦ q ≤ f  . Para ver la otra desigualdad, recordemos que la norma en X/Y est´a dada por x = inf x + y .

(4.34)

y∈Y

Por la definici´on de f  , dada > 0 existe x ∈ X tal que   ≤ 1 y |f (x  )| > f  − . x

Adem´as, por (4.34), existe y ∈ Y con x + y  < 1 + y entonces  )| > f  − . (1 + ) f ◦ q ≥ |f ◦ q(x + y )| = |f (x

Como la desigualdad es cierta para toda > 0 obtenemos el resultado deseado. Para ver que Φ es un homeomorfismo respecto a las topolog´ıas σ ((X/Y )∗ , X/Y ) y σ (X ∗ , X) restringida a Y ⊥ , sea x ∈ X/Y y x ∈ X tal que q (x) = x. Entonces por lo anterior 



Φ ({f ∈ (X/Y )∗ : |f (x)| < }) = g ∈ Y ⊥ : |g (x)| < . Por lo tanto Φ es un homeomorfismo. Para estudiar el dual de un subespacio Y de X, se requiere el siguiente lema:

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles

131

Lema 4.73 Sean A y B espacios vectoriales y ϕ : A → B una funci´on lineal suprayectiva, entonces la funci´on φ : A/ ker ϕ → B, dada por φ(a) = ϕ(a) para a = a + ker ϕ es biyectiva. Demostraci´ on: Claramente φ sigue siendo suprayectiva. Suponga mos que φ(a) = 0 entonces ϕ(a) = 0, es decir a ∈ ker ϕ y por ende φ es inyectiva. Si x∗ ∈ X ∗ entonces la restricci´on x∗ |Y pertenece claramente a Y ∗ . Por otra parte, si y ∗ ∈ Y ∗ , por el teorema de Hahn Banach existe una extensi´on de y ∗ a X. Entonces la funci´on lineal ψ: X ∗ → Y ∗ dada por ψ(x∗ ) = x∗ |Y

(4.35)

es suprayectiva. Sea x∗ ∈ X ∗ tal que ψ(x∗ ) = 0; entonces x∗ (y) = 0 para toda y ∈ Y, es decir x∗ ∈ Y ⊥ . Como tambi´en Y ⊥ ⊂ ker ψ tenemos que ker ψ = Y ⊥ , lo cual nos permite definir un isomorfismo entre X ∗ /Y ⊥ y Y ∗. Teorema 4.74 Sea Y un subespacio de un espacio normado X y sea Ψ : X ∗ /Y ⊥ → Y ∗ la biyecci´on lineal dada por 



Ψ x ∗ = ψ (x∗ ) si x ∗ = x∗ + Y ⊥ , donde ψ est´ a dado en (4.35). Entonces Ψ es un isomorfismo isom´etrico. Adem´ as Ψ es un homeomorfismo de X ∗ /Y ⊥ con la topolog´ıa cociente τ inducida por σ(X ∗ , X), en (Y ∗ , σ(Y ∗ , Y )) . Demostraci´ on: Claramente Ψ es lineal y es una biyecci´on por el lema anterior. Sea y ∗ ∈ Y ∗ . Entonces por el teorema de Hahn Banach, existe x∗ ∈ X ∗ con x∗ |Y = y ∗ y x∗  = y ∗  . De donde        ∗  ∗   = y ∗  = x∗  ≥ x Ψ x .

Por otra parte, si z ∗ ∈ Y ⊥ ,

    ∗   = x∗ |Y  = (x∗ + z ∗ ) |Y  ≤ x∗ + z ∗  . Ψ x

132

4. Espacios normados y de Banach

Como esto se satisface para toda z ∗ ∈ Y ⊥ , usando la definici´on de la norma cociente, tenemos que 









 y ∗  = Ψ x ∗  ≤ x ∗  .

Por lo tanto Ψ es una isometr´ıa. Para ver que es un homeomorfismo consideremos la funci´on cociente Q : X ∗ → X ∗ /Y ⊥ . De la definici´on de Ψ deducimos que ψ = Ψ ◦ Q . Sean > 0 , y1 , ..., yk ∈ Y, y U = {y ∗ ∈ Y ∗ : |y ∗ , yi | < para i = 1, ..., k} . Entonces como ψ (x∗ ) , yi  = x∗ , yi  , 



Ψ−1 (U ) = x ∗ : |x∗ , yi | < para i = 1, ..., k . Por definici´on de la topolog´ıa cociente, Ψ−1 (U ) es τ abierto si y s´olo si Q−1 (Ψ−1 (U )) es σ(X ∗ , X) abierto en X ∗ . Pero 



Q−1 Ψ−1 (U ) = ψ −1 (U ) = {x∗ ∈ X ∗ : |x∗ , yi | < para i = 1, ..., k} que claramente es w∗ abierto. Para terminar la demostraci´on de que Ψ es un homeomorfismo, falta ver que si U es un τ abierto entonces Ψ(U ) es σ(Y ∗ , Y ) abierto en Y ∗ . Pero U es un τ abierto si y s´olo si existe un conjunto V, σ(X ∗ , X) abierto en X ∗ , tal que Q(V ) = U. Basta considerar abiertos de la forma U = Q (V ) con V = {x∗ ∈ X ∗ : |x∗ , x| < } con > 0 y x ∈ X, pues estos u ´ltimos forman una subbase local de 0. Primero veremos que si x ∈ / Y entonces U = Q(V ) = X ∗ /Y ⊥ . En ∗ ⊥ ∗ efecto, si x ∈ / Y y x 0 ∈ X /Y , sea g : Y ⊕ [x] → K dada por g(y + λx) = x∗0 (y) + λ

2

y sea x∗1 ∈ X ∗ una extensi´on de g. Entonces x∗1 − x∗0 ∈ Y ⊥ , de donde x ∗0 = Q(x∗1 ).

< , por lo que x∗1 ∈ V. Por lo tanto 2   Q(V ) = X ∗ /Y ⊥ y como Ψ es suprayectiva, Ψ (U ) =Ψ X ∗ /Y ⊥ = Y ∗ que es un conjunto w∗ abierto.

Adem´as x∗1 , x = g (x) =

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles

133 



Supongamos ahora que x ∈ Y , x∗ ∈ X ∗ . Si y ∗ = Ψ x ∗ , entonces 6





7

y ∗ , x = Ψ x ∗ , x = x∗ |Y , x = x∗ , x , lo cual implica que |x∗ , x| < si y s´olo si |y ∗ , x| < . Concluimos que Ψ(U ) = Ψ ◦ Q(V ) = {y ∗ ∈ Y ∗ : |y ∗ , x| < } es w∗ abierto. Como corolario obtenemos que la topolog´ıa d´ebil en los subespacios de X es la que uno esperar´ıa: Corolario 4.75 Si Y es un subespacio de un espacio normado X, entonces σ(Y, Y ∗ ) es la topolog´ıa inducida por σ(X, X ∗ ) en Y. Demostraci´ on: Si Ψ : X ∗ /Y ⊥ → Y ∗ es el isomorfismo dado en el teorema anterior, entonces para toda x∗ ∈ X ∗ , se tiene que si Ψ x ∗ = y∗, 6   7    {y ∈ Y : |y ∗ , y| < } = y ∈ Y :  Ψ x ∗ , y  < =

{x ∈ X : |x∗ , x| < } ∩ Y.

4.8.3

Reflexividad

En esta subsecci´on daremos varias caracterizaciones de la reflexividad de espacios de Banach. De aqu´ı en adelante, cuando haga falta, identificaremos a BX con su imagen j (BX ) en X ∗∗ , llam´andola de la misma forma. Esto se puede gracias al teorema 4.50. Como adem´as {x∗∗ ∈ X ∗∗ : |x∗∗ , x∗ | < } ∩ j (X) = = {j (x) ∈ X ∗∗ : |j (x) , x∗ | < } = j {x ∈ X : |x∗ , x| < } , diremos que la topolog´ıa σ (X, X ∗ ) es la restricci´on de la topolog´ıa σ (X ∗∗ , X ∗ ) a X o que σ (X, X ∗ ) es la topolog´ıa inducida en X por σ (X ∗∗ , X ∗ ) .

134

4. Espacios normados y de Banach

Teorema 4.76 Sea X un espacio de Banach, entonces son equivalentes: (i) X es reflexivo. (ii) BX es σ(X, X ∗ ) compacta. (iii) σ(X ∗ , X) = σ(X ∗ , X ∗∗ ). (iv) X ∗ es reflexivo. Demostraci´ on:(i)⇒(ii) Supongamos que X es reflexivo. Por el teorema de Banach-Alaoglu, BX ∗∗ es σ(X ∗∗ , X ∗ ) compacta, entonces como X = X ∗∗ , BX es σ(X, X ∗ ) compacta. (ii)⇒(i) Supongamos que BX es σ(X, X ∗ ) compacta. Como un conjunto compacto en la topolog´ıa restringida tambi´en lo es en la topolog´ıa original, obtenemos que BX es σ(X ∗∗ , X ∗ ) cerrada en X ∗∗ . Por otra parte, por el teorema 4.66, BX es σ(X ∗∗ , X ∗ ) densa en BX ∗∗ ; por lo tanto concluimos que BX = BX ∗∗ y X es reflexivo. (iii)⇒(iv) Supongamos que σ(X ∗ , X) = σ(X ∗ , X ∗∗ ). Del teorema de Banach-Alaoglu sabemos que BX ∗ es σ(X ∗ , X) compacta y entonces es σ(X ∗ , X ∗∗ ) compacta. Aplicando (ii) ⇒(i) a X ∗ , obtenemos que X ∗ es reflexivo. (iv)⇒(i) Supongamos que X ∗ es reflexivo. Entonces X ∗ = X ∗∗∗ . Como BX es norma cerrada en X ∗∗ , por la proposici´on 4.61 BX es σ(X ∗∗ , X ∗∗∗ ) cerrada en X y de aqu´ı obtenemos que BX es σ(X ∗∗ , X ∗ ) cerrada en X ∗∗ . Igual que en la prueba de (ii)⇒(i) concluimos que X es reflexivo. (i)⇒(iii) Es inmediato. Como es deseable, la reflexividad se hereda a subespacios. Corolario 4.77 Si Y es un subespacio cerrado de un espacio de Banach reflexivo X, entonces Y es reflexivo. Demostraci´ on: Usando el teorema 4.76 tenemos que BX es σ(X, X ∗ ) compacta, y como BY = BX ∩ Y, del corolario 4.75 obtenemos el resultado deseado.

4.8. Dualidad y topolog´ıas d´ebiles

135

Si X es un espacio de Banach, diremos que una funcional x∗ ∈ X ∗ alcanza su norma si existe x0 ∈ BX tal que x∗ (x0 ) = x∗ . E. Bishop y R.R. Phelps probaron en 1961 que el conjunto de funcionales que alcanzan su norma es denso en X ∗ , sin embargo la demostraci´on est´a fuera del alcance de este texto. El lector interesado puede hallarla en [8]. En el caso en que el espacio es reflexivo, la conclusi´on es m´as fuerte y la prueba es m´as f´acil. Corolario 4.78 Sea X un espacio de Banach reflexivo. Toda funcional continua en X alcanza su norma. Demostraci´ on: Sea x∗ ∈ X ∗ , como X es reflexivo, por el teorema 4.76 BX es w compacta. Por otro lado, x∗ restringida a BX es w continua y entonces existe x0 ∈ BX tal que |x∗ (x0 )| = sup |x∗ (x)| . x≤1

Reemplazando, si hace falta, x0 por −x0 en el caso real o por eiθ x0 en el caso complejo, obtenemos el resultado deseado. R.C. James prob´o en 1957, el rec´ıproco del corolario anterior, es decir, demostr´o que si un espacio de Banach es tal que toda funcional continua en ´el alcanza su norma entonces es reflexivo. La demostraci´on de este resultado es muy t´ecnica y larga, y se puede encontrar por ejemplo en [17]. Ejemplo Construiremos una funcional en c0 que no alcanza su norma. Recor1 demos que c∗0 = l1 y sea y = (yn )∞ . Entonces n=1 dado por yn = 2n y ∈ l1 , y = 1 y para toda x = (xn )∞ n=1 ∈ Bc0 como existe n0 tal ∞ 1 que |xn0 | < 1, tenemos que y(x) = n=1 n xn < 1. Por lo tanto y no 2 alcanza su norma.

136

4.9

4. Espacios normados y de Banach

Continuidad d´ ebil y operadores adjuntos

Las funcionales lineales continuas son d´ebilmente continuas. ¿Qu´e pasar´a con la continuidad d´ebil de operadores entre espacios normados de dimensi´on infinita? Antes que nada aclararemos qu´e queremos decir con continuidad d´ebil de operadores. Definici´ on 4.79 Sean X y Y espacios normados. Un operador T : X → Y es d´ebilmente continuo, si es continuo con respecto a las topolog´ıas σ(X, X ∗ ) y σ(Y, Y ∗ ). Un operador S : X ∗ → Y ∗ es d´ebilmente estrella continuo, si es continuo con respecto a las topolog´ıas σ(X ∗ , X ∗∗ ) y σ(Y ∗ , Y ∗∗ ). Veremos que igual que en el caso de las funcionales, los operadores son continuos si y s´olo si son d´ebilmente continuos. Proposici´ on 4.80 Sean X y Y espacios normados y T : X → Y lineal. T es norma continuo si y s´olo si es d´ebilmente continuo. Demostraci´ on: Supongamos que T es norma continuo. Sean x ∈ X, ∗

> 0 y y1 , ...yk∗ ∈ Y ∗ . Entonces si x∗i = yi∗ ◦ T, se tiene que x∗i ∈ X ∗ para toda i = 1, ..., k y T (V (x, x∗1 , ..., x∗k , )) ⊂ V (T x, y1∗ , ..., yk∗ , ). Es decir T es w continuo. Supongamos ahora que T es w continuo; entonces de la proposici´on 4.54 se sigue que para toda y ∗ ∈ Y ∗ , y ∗ ◦ T es w continua. Aplicando la proposici´on nuevamente, y ∗ ◦ T ∈ X ∗ . Ahora bien, si x ∈ BX , para toda y ∗ ∈ Y ∗ |y ∗ (T x)| = |(y ∗ ◦ T )x| ≤ y ∗ ◦ T  , y por el lema 4.64 T (BX ) es norma acotado. Esto prueba que T es norma continuo. En el cap´ıtulo de espacios de Hilbert definimos el adjunto de un operador. En esta secci´on veremos que a cada operador T ∈ B(X, Y ) entre

4.9. Continuidad d´ebil y operadores adjuntos

137

espacios normados tambi´en se le puede asociar un operador T ∗ ∈ B(Y ∗ , X ∗ ), llamado el adjunto o transpuesto de T, y estudiaremos la relaci´on entre los operadores y sus adjuntos. Teorema 4.81 Si X y Y son espacios normados, entonces para cada T ∈ B(X, Y ) existe un u ´nico T ∗ ∈ B(Y ∗ , X ∗ ) tal que para toda x ∈ X ∗ ∗ y para toda y ∈ Y y ∗ , T x = T ∗ y ∗ , x (4.36) y

T ∗  = T  .

(4.37)

Demostraci´ on: Dado T ∈ B(X, Y ), definimos T ∗ : Y ∗ → X ∗ por ∗ ∗ ∗ T y = y ◦ T. Claramente T ∗ y ∗ ∈ X ∗ y si x ∈ X tenemos que T ∗ y ∗ , x = y ∗ ◦ T, x = y ∗ , T x , es decir, se cumple (4.36). Adem´as, si y1∗ , y2∗ ∈ Y ∗ , α1 , α2 ∈ K y x ∈ X, T ∗ (α1 y1∗ + α2 y2∗ ), x = α1 y1∗ + α2 y2∗ , T x = α1 y1∗ , T x + α2 y2∗ , T x = α1 T ∗ y1∗ , x + α2 T ∗ y2∗ , x , de donde T ∗ es lineal. Por otra parte, usando el corolario 4.36, obtenemos T ∗  = sup {T ∗ y ∗  : y ∗  ≤ 1} = sup {|T ∗ y ∗ , x| : y ∗  ≤ 1, x ≤ 1} = sup {|y ∗ , T x| : y ∗  ≤ 1, x ≤ 1} = T  . La unicidad de T ∗ es consecuencia de (4.36). Ejemplo ∗ Si IX denota la identidad en X, IX = IX ∗ .

Antes de continuar, comparemos la definici´on del adjunto de un operador en un espacio de Hilbert H dada en la secci´on 3.5, con (4.36). Como la funci´on que identifica a H con su dual H ∗ no es lineal sino

138

4. Espacios normados y de Banach

lineal conjugada, la definici´on dada por (4.36) aplicada a espacios de Hilbert no es la misma que la dada en la secci´on 3.5. Por lo tanto, no es de extra˜ nar que haya algunas diferencias entre las propiedades de los adjuntos de operadores en espacios de Hilbert y los adjuntos de los operadores en espacios de Banach. Por ejemplo tenemos el siguiente resultado, cuya demostraci´on se deja al lector. Proposici´ on 4.82 Sean X, Y espacios normados, T, S ∈ B(X, Y ) y α, β ∈ K entonces (αT + βS)∗ = αT ∗ + βS ∗ . Notemos que la diferencia entre esta proposici´on y el resultado correspondiente para espacios de Hilbert (teorema 3.51), es que en el caso de espacios de Banach la operaci´on de tomar adjuntos no saca conjugados. Si T ∈ B(X, Y ), igual que en el caso de espacios de Hilbert, R(T ) y ker(T ) denotar´an el rango y el espacio nulo de T, respectivamente . El an´alogo al teorema 3.52 tambi´en se cumple en espacios de Banach y como la demostraci´on es similar, se deja como ejercicio. Teorema 4.83 Si X y Y son espacios de Banach y T ∈ B(X, Y ) , entonces ker(T ∗ ) = R(T )⊥ y ker(T ) = R(T ∗ )⊥ . Si T ∈ B(X, Y ) , su adjunto T ∗ ∈ B(Y ∗ , X ∗ ) y entonces existe el adjunto de T ∗ , denotado por T ∗∗ , que pertenece a B(X ∗∗ , Y ∗∗ ). Proposici´ on 4.84 Si X , Y y Z son espacios de Banach, T ∈ B(X, Y ) y S ∈ B(Y, Z) entonces (a) T ∗∗ |X = T, es decir T ∗∗ (jX (x)) = jY (T x) , donde jX es la inyecci´on can´ onica de X en X ∗∗ y jY la de Y en Y ∗∗ . (b) (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S ∗ . ∗

(c) T es invertible si y s´ olo si T ∗ es invertible y (T −1 ) = (T ∗ )−1 .

4.9. Continuidad d´ebil y operadores adjuntos

139

Demostraci´ on: (a) Para toda x ∈ X y toda y ∗ ∈ Y ∗ , T ∗∗ (jX x), y ∗  = jX x, T ∗ y ∗  = T ∗ y ∗ , x = y ∗ , T x = jY (T x) , y ∗  . (b) Dadas x ∈ X y z ∗ ∈ Z ∗ , tenemos (S ◦ T )∗ z ∗ , x = z ∗ , (S ◦ T )x = S ∗ z ∗ , T x = (T ∗ ◦ S ∗ ) z ∗ , x . (c) Supongamos que T es invertible. Usando (b), obtenemos que ∗

∗

∗ = IX ∗ T ∗ ◦ (T −1 ) = (T −1 ◦ T ) = IX y ∗ ∗ (T −1 ) ◦ T ∗ = (T ◦ T −1 ) = IY ∗ . ∗

Por lo tanto T ∗ es invertible y (T −1 ) = (T ∗ )−1 . Supongamos ahora que T ∗ es invertible. Veremos ahora que existe C tal que para x ∈ X, T x ≥ C x .

(4.38)

Si no fuera cierto, existir´ıa una sucesi´on {xn }∞ n=1 ⊂ X tal que xn  = 1 1 y tal que T xn  < 2 para n = 1, 2, ... Pero entonces n nxn  = n y T nxn 
q ≥ 1, entonces para toda (xi )ni=1 ⊂ C  n i=1

q

|xi |

1/q

≤n

p−q pq

 n i=1

p

|xi |

1/p

.

3. Sea X un espacio normado. Entonces X es completo si y s´olo si BX = {x ∈ X : x ≤ 1} es completo y esto a su vez se verifica si y s´olo si SX = {x ∈ X : x = 1} es completo. 4. Sean X, Y, Z espacios normados y T : X → Y y S : Y → Z operadores lineales. Pruebe que S ◦ T  ≤ T  S . 5. Sea T un operador acotado entre espacios normados. Pruebe que las dos definiciones de la norma de un operador dadas en la definici´on 4.14 son equivalentes. 6. Sean X un espacio normado, Y un subespacio cerrado propio y X/Y el espacio cociente. Pruebe que la funci´on cociente q : X → X/Y tiene norma 1. 7. Si X es un espacio normado sobre K de dimensi´on infinita, pruebe que existen funcionales lineales f : X → K que no son continuas. (Sugerencia: Use una base de Hamel). 8. Sean X y Y espacios normados, pruebe que las normas en X ⊕ Y dadas por 1/p (x, y) = (xp + yp ) para 1 ≤ p < ∞ y (x, y) = max (x , y) inducen la topolog´ıa producto y por lo tanto son equivalentes.

142

4. Espacios normados y de Banach

9. Sean X y Y subspacios cerrados de un espacio normado Z tales que X ∩ Y = {0} y Z = X + Y . Prueba que Z es isomorfo a X Y 10. Sean X y Y espacios normados y T : X → Y lineal. Pruebe que T es abierta si y s´olo si 0 ∈ int T (Br (0)) para toda bola abierta Br (0). 11. Sean X1 , ..., Xn subespacios de codimensi´on 1 en un espacio vectorial X. Entonces ni=1 Xi es un subespacio de codimensi´on finita en X, de hecho su codimensi´on es a lo m´as n. 12. Pruebe que si X es un espacio normado y X ∗ tiene dimensi´on finita, entonces X tambi´en tiene dimensi´on finita. 13. Sea Ω un espacio topol´ogico. Entonces A ⊂ Ω es de la primera categor´ıa si y s´olo si Ω \ A es una intersecci´on numerable de conjuntos con interior denso en Ω. 14. Si Ω es un espacio topol´ogico de Baire y A ⊂ Ω es de la primera categor´ıa, entonces Ω \ A es de la segunda categor´ıa. Prueba que la hip´otesis que Ω sea de Baire es necesaria. 15. Si Ω es un espacio topol´ogico de Baire y {Un }∞ on n=1 es una sucesi´ ∞ de conjuntos abiertos densos en Ω, entonces n=1 Un es de la segunda categor´ıa en Ω. 16. Pruebe que el dual de c0 es l1 y que el dual de l1 es l∞ . 17. Pruebe que las topolog´ıas w en un espacio normado X y w∗ en X ∗ son de Hausdorff. 18. Sea X un espacio normado y sea A ⊂ X tal que si x∗ (x) = 0 para toda x ∈ A, se tiene que x∗ = 0. Entonces [A] = X. 19. Sean X un espacio normado y A ⊂ X un conjunto numerable, entonces [A] es un subespacio separable de X. 20. Sean X un espacio normado y A un subconjunto en X. Pruebe que si A⊥ = {0} , entonces [A] = X.

4.10. Ejercicios

143

21. Sean X un espacio normado y A un subconjunto de X. Pruebe  que [A] = A⊥ ⊥

22. Pruebe que todo subconjunto de un espacio de Banach separable es separable. 23. Sea Y un subespacio cerrado de un espacio normado X. Si X es separable, el espacio cociente X/Y tambi´en es separable. 24. Sea X un espacio normado separable y {xn }∞ n=1 un conjunto denso en BX . Pruebe que d (x∗ , y ∗ ) =

∞ 1 n n=1 2

|x∗ − y ∗ , xn |

define una m´etrica en BX ∗ que induce la topolog´ıa w∗ . (Sugerencia: Use el hecho de que BX ∗ es w∗ compacta). 25. (a) Sean X y Y espacios de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado y suprayectivo. Si T : X/ ker T → Y est´a dado por  ) = T (x) para x  = x + ker T, entonces T es un isomorfismo y T  (x    T  = T . (b) Si X y Y son subespacios de Z y Z = X ⊕ Y, entonces Z/Y es isomorfo a X. 26. Si X es un espacio normado, toda sucesi´on w Cauchy en X es norma acotada. 27. Si X es un espacio de Banach, toda sucesi´on w∗ Cauchy en X ∗ es norma acotada. 28. Si X es un espacio de Banach entonces A ⊂ X ∗ es d´ebil estrella acotado si y s´olo si es acotado. 29. Si {en }∞ on de vectores unitarios en l2 y n=1 es la sucesi´ A = {em + men : 1 ≤ m < n < ∞} , w

pruebe que 0 ∈ A , pero ninguna sucesi´on en A es w convergente a 0.

144

4. Espacios normados y de Banach

Definici´ on 4.86 Sean X y Y espacios de Banach. T ∈ B(X, Y ) es compacto si T (BX ) es un conjunto compacto en Y. El subconjunto de B(X, Y ) formado por los operadores compactos se denota por K(X, Y ). 30. Pruebe que T ∈ B(X, Y ) es compacto si y s´olo si toda sucesi´on ∞ on {xnk }∞ {xn }∞ n=1 ⊂ BX contiene una subsucesi´ k=1 tal que {T xnk }k=1 converge en Y. 31. K(X, Y ) es un subespacio vectorial cerrado de B(X, Y ). 32. Si T ∈ B(X, Y ) y S ∈ K(X, Y ), entonces T ◦S y S ◦T ∈ K(X, Y ). 33. Dados y ∈ Y y f ∈ Y ∗ sea T ∈ B(X, Y ) definido por T (x) = f (x) y. Entonces T ∈ K(X, Y ). 34. Si T ∈ B(X, Y ) es tal que dim T (X) < ∞, es decir T tiene rango finito, entonces T ∈ K(X, Y ). x, 35. Sean X un espacio de Banach y {xn }∞ n=1 ⊂ X. Si xn → w entonces x ≤ lim inf n xn  . 36. Sea X el espacio de las sucesiones reales x = (xn )n tales que ∞ ∞ p p1 n=1 |xn | < ∞ con la norma xp = ( n=1 |xn | ) . Pruebe que si p > 1, entonces xp no es equivalente a la norma x1 = ∞



n=1 |xn | en X, aunque xp ≤ x1 y que el espacio X, ·p no es completo.



37. Sean X y Y espacios de Banach con X reflexivo y T : X → Y lineal, acotado y compacto, entonces existe x ∈ BX tal que T  = T x. 38. Sea c el espacio vectorial de las sucesiones convergentes en K. Demuestre que c∗ es isom´etrico a l1 .

Cap´ıtulo 5 Espacios Vectoriales Topol´ ogicos 5.1

Introducci´ on

Una de las propiedades importantes de la topolog´ıa inducida por la norma es que la suma y el producto por un escalar resultan ser funciones continuas, caracter´ıstica que comparten las topolog´ıas d´ebil y d´ebil estrella. La abstracci´on de esta propiedad da pie a la definici´on de espacio vectorial topol´ogico, objeto de estudio de este cap´ıtulo.

5.2

Espacios vectoriales topol´ ogicos

Como en los cap´ıtulos anteriores, trabajaremos con espacios vectoriales sobre el campo K, donde K denotar´a a los reales o a los complejos indistintamente. Definici´ on 5.1 Un espacio vectorial topol´ ogico (X, τ ) es un espacio vectorial X sobre K junto con una topolog´ıa τ en X tal que: La funci´ on dada por (x, y) → x + y es continua de X × X → X y la funci´on dada por (λ, x) → λx 145

146

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

es continua de K ×X → X, donde en X × X y K ×X se toman las topolog´ıas producto respectivas. Se suele decir que X es un espacio vectorial topol´ogico, sin mencionar expl´ıcitamente la topolog´ıa τ. Evidentemente todo subespacio vectorial de un espacio vectorial topol´ogico es a su vez un espacio vectorial topol´ogico si se considera en ´el la topolog´ıa inducida. Dada la continuidad de las operaciones en un espacio vectorial topol´ogico, es suficiente conocer una base local de 0, pues una base local de cualquier otro punto es la traslaci´on de la base local de 0 a ese punto. En otras palabras, igual que en los espacios normados, la topolog´ıa es invariante bajo traslaciones y adem´as tambi´en es invariante bajo producto por escalares. Proposici´ on 5.2 Sea X un espacio vectorial topol´ogico sobre K. Entonces (i) Si y ∈ X, el operador Ty : X → X dado por Ty (x) = y + x, es un homeomorfismo de X sobre X. (ii) Si λ ∈ K, λ = 0, el operador Sλ : X → X dado por Sλ (x) = λx, es un homeomorfismo de X sobre X. Demostraci´ on: (i) La continuidad de la suma implica que Ty es continuo para toda y ∈ X y como Ty−1 = T−y , obtenemos que Ty es un homeomorfismo de X sobre X. (ii) Sλ es continuo para toda λ ya que el producto por escalares es una operaci´on continua. Adem´as si λ = 0, Sλ−1 = Sλ−1 y por lo tanto Sλ es un homeomorfismo de X sobre X. De la proposici´on anterior obtenemos que si U ⊂ X es abierto (respectivamente cerrado), entonces x + U y λU son abiertos (respectivamente cerrados) para toda x ∈ X y para toda λ ∈ K. Adem´as, si

U ⊂ X es abierto y A ⊂ X es cualquier conjunto, A+U = x∈A (x + U ) es abierto. En cambio si F ⊂ X es cerrado, A + F no tiene porqu´e ser cerrado, ni a´ un en el caso en que A tambi´en sea cerrado.

5.2. Espacios vectoriales topol´ogicos

147

Ejemplo Sean A= y F =



x, e−x



x, e−x

2

2







∈ R2 : x ∈ [0, ∞)



∈ R2 : x ∈ (−∞, 0] .

Entonces (0, 0) ∈ A + F pero (0, 0) ∈ / A + F. Sin embargo, cuando A es un conjunto compacto, entonces s´ı se tiene que A + F es cerrado y m´as a´ un, si F tambi´en es compacto, la suma de ambos es un conjunto compacto. Proposici´ on 5.3 Sea X un espacio vectorial topol´ogico. (a) Si A, B ⊂ X son conjuntos compactos, entonces A+B es compacto. (b) Sean A, B ⊂ X con A cerrado y B compacto. Entonces A + B es un conjunto cerrado. Demostraci´ on: (a) Sea ϕ : X × X → X dada por ϕ(x, y) = x + y. ϕ es continua por la definici´on de espacio vectorial topol´ogico y entonces A + B = ϕ(A, B) es un conjunto compacto por ser la imagen continua de un conjunto compacto. (b) Sea {xα }a∈D una red en A+B convergente a x; entonces xα = yα +zα con yα ∈ A y zα ∈ B. Como B es compacto, {zα }a∈D tiene una subred convergente, digamos zβ → z ∈ B. Por la continuidad de la suma y el producto por escalares, yβ = xβ − zβ → x − z = y y y ∈ A pues A es cerrado. Entonces x ∈ A + B, de donde A + B es un conjunto cerrado. Sabemos que es suficiente conocer una base local de 0 para conocer la topolog´ıa de un espacio vectorial topol´ogico. Veremos que existen bases locales cuyos elementos son conjuntos “bonitos”, los cuales definiremos a continuaci´on:

148

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

Definici´ on 5.4 Sea E un espacio vectorial. Sea A ⊂ E. A es un conjunto sim´etrico si A = −A. A es un conjunto balanceado si λA ⊂ A para toda λ ∈ K con | λ |≤ 1. A es un conjunto absorbente si para toda x ∈ E existe λ ∈ K, con λ > 0, tal que λx ∈ A. Un conjunto U ⊂ E absorbe a B ⊂ E si existe λ ∈ K, con λ > 0, tal que λB ⊂ U. Claramente los conjuntos absorbentes o balanceados contienen a 0 y un conjunto balanceado es sim´etrico. Notemos tambi´en que las bolas en espacios normados y las vecindades d´ebiles y d´ebiles estrella son conjuntos balanceados y absorbentes. Proposici´ on 5.5 Si (X, τ ) es un espacio vectorial topol´ ogico y U es una vecindad de 0, existe W ∈ τ vecindad de 0 balanceada tal que W + W ⊂ U ; en particular W ⊂ U. Demostraci´ on: Por la continuidad del producto por escalares, para toda vecindad U de 0, existen > 0 y V ∈ τ, una vecindad de 0, tales

que | λ |< implica que λV ⊂ U . Entonces W0 = {λ:|λ| 0 tal que si | λ |< , tenemos que ψx (λ) ∈ W y por ende existe μ > 0 tal que μx ∈ W. Sea V = {U : U es una vecindad balanceada de 0} y sea A una vecindad de 0 cualquiera. Por la proposici´on anterior, existe una vecindad W de 0 balanceada con W ⊂ A. Como es claro que la intersecci´on de dos conjuntos balanceados es nuevamente balanceado, con esto hemos probado que V efectivamente es una base local de 0 cuyos miembros son balanceados y absorbentes. (ii) La cumple cualquier base local. (iii) Sean U ∈ V y u ∈ U. Por ser U sim´etrica, u + U es una vecindad de 0, y entonces por lo anterior existe V ∈ V tal que V ⊂ u + U. (iv) Se sigue de la proposici´on anterior. (v) Es inmediato. Rec´ıprocamente, sea X un espacio vectorial con una colecci´on de conjuntos V que satisfaga (i)-(v). Como toda U ∈ V es sim´etrica, resulta que 0 ∈ U. Sea B = {x + U : x ∈ X, U ∈ V} . Supongamos que (x + U ) ∩ (y + V ) = ∅ y que z ∈ (x + U ) ∩ (y + V ) . Entonces (x − z) ∈ U y (y − z) ∈ V. Por (iii) existen W1 , W2 ∈ V tales que W1 ⊂ (x − z) + U y W2 ⊂ (y − z) + V y por (ii) existe W ∈ V con W ⊂ W1 ∩ W2 . Por lo tanto z + W ⊂ (x + U ) ∩ (y + V ) . Es decir B es base de una topolog´ıa τ en X y de (ii) y (iii) es inmediato que V es una base local de 0 de τ.

150

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

Comprobaremos ahora que las operaciones de espacio vectorial son continuas. Sean x, y ∈ X, U ∈ V y sea V ∈ V tal que V + V ⊂ U. Esto se puede por (iv). Entonces (x + V ) + (y + V ) ⊂ x + y + U, lo que demuestra la continuidad de la suma. Sean x ∈ X, λ ∈ K y U ∈ V. Tomamos V ∈ V con V + V ⊂ U , 1

> 0 tal que x ∈ V , A = {γ ∈ K : |λ − γ| < } y n ∈ N con n1 < |λ|+ . Entonces por (v) y (i), si γ ∈ A 



γ x + n1 V = γx + nγ V = λx + (γ − λ) x + nγ V ⊂ ⊂ λx + V + V ⊂ λx + U. Esto prueba la continuidad del producto por escalares. Aparte de las propiedades anteriores, en un espacio vectorial topol´ogico la topolog´ıa tiene otra caracter´ıstica notable: Proposici´ on 5.7 Sean (X, τ ) un espacio vectorial topol´ogico y U ∈ τ, vecindad de 0. Entonces existe V ∈ τ , vecindad balanceada de 0, tal que V ⊂ U. Demostraci´ on: Sea U ∈ τ vecindad de 0. Entonces existe V ∈ τ, vecindad balanceada de 0, tal que V + V ⊂ U. Veremos que V ⊂ U. Para ello sea y ∈ V ; entonces (y + V ) ∩ V = ∅. Sea z ∈ (y + V ) ∩ V. Resulta que z ∈ V y existe v ∈ V tal que z = y + v, lo cual implica que y ∈ V + V ⊂ U, que es lo que quer´ıamos demostrar. Ejemplos 1. Los espacios normados y los espacios que se obtienen de los espacios normados, al dotarlos de la topolog´ıa d´ebil o de la topolog´ıa d´ebil estrella, son espacios vectoriales topol´ogicos. 2. Sea K[x] el anillo de polinomios sobre K, es decir el conjunto de  funciones de la forma p(x) = ni=0 αi xi donde αi ∈ K, n ∈ N. Es

5.2. Espacios vectoriales topol´ogicos

151

f´acil ver que K[x] es un espacio vectorial. Adem´as si 0 < r ≤ 1, y 

n r |αi | < , V = p ∈ K [x] : i=0

entonces {V : > 0} es una base local de cero para una topolog´ıa de espacio vectorial topol´ogico, cuyos elementos son balanceados. 3. Dado 0 < p < 1, sea lp el espacio vectorial de sucesiones x = (xn )∞ n=1 ⊂ K (con las operaciones coordenada a coordenada) y tales que ∞

n=1

|xn |p < ∞.

La colecci´on de conjuntos de la forma 

∞

1 |xn | < Vn = x ∈ l : n n=1 p



p

es una base local de 0 para una topolog´ıa de espacio vectorial topol´ogico. Los espacios lp tienen un comportamiento muy distinto para 0 < p < 1 y para p ≥ 1. En el cap´ıtulo anterior vimos que si p ≥ 1, lp es un espacio de Banach, sin embargo m´as adelante veremos que en el caso 0 < p < 1 ni siquiera es normable. No es dif´ıcil ver que los espacios normados y los que se obtienen de ellos al dotarlos con las topolog´ıas d´ebil o d´ebil estrella son de Hausdorff. Por eso algunos autores piden entre las hip´otesis de espacio vectorial topol´ogico que la topolog´ıa sea de Hausdorff. Nosotras preferimos pedir esta condici´on por separado. Notemos que por la proposici´on 5.2 para ver que un espacio vectorial topol´ogico es de Hausdorff es suficiente probar que para x = 0 existen vecindades ajenas U y V con x ∈ U y 0 ∈ V. Proposici´ on 5.8 Sea X un espacio vectorial topol´ogico. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

152

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

(i) X es de Hausdorff. (ii) {0} es cerrado. (iii) Todos los puntos de X son cerrados. (iv) {0} =

{V : V es una vecindad de 0} .

Demostraci´ on: (i)⇒(ii) Supongamos que X es de Hausdorff. Entonces todo punto x ∈ X, x = 0 tiene una vecindad U con 0 ∈ / U, de donde X \ {0} es abierto y entonces {0} es cerrado. (ii)⇒(iii) Supongamos que {0} es cerrado. Sea x ∈ X y Tx y = x + y para toda y ∈ X. De la proposici´on 5.2, Tx es un homeomorfismo y como x = Tx (0), se sigue (iii). (iii)⇒(iv) Sea x ∈ X, x = 0 y supongamos que {x} es cerrado. Entonces x ∈ / {V : V es una vecindad de 0} ya que X\ {x} es una vecindad de 0. (iv)⇒(i) Si {0} = {V : V es una vecindad de 0} y x ∈ X, x = 0, sea V una vecindad de 0 tal que x ∈ / V. Por el teorema 5.6 existe una vecindad U de 0, sim´etrica y tal que U + U ⊂ V. Veremos que U ∩ (x + U ) = ∅. Para ello supongamos que y ∈ U ∩ (x + U ); entonces existe z ∈ U con y = x + z, de donde x = y − z ∈ U − U ⊂ V. Esta contradicci´on demuestra el resultado deseado. Cualquier espacio vectorial topol´ogico satisface la siguiente propiedad de separaci´on: Proposici´ on 5.9 Sean X un espacio vectorial topol´ogico y C y F subconjuntos de X, con C compacto, F cerrado y C ∩ F = ∅. Entonces existe U vecindad de 0 tal que (C + U ) ∩ (F + U ) = ∅. Demostraci´ on: Si C = ∅ entonces C + U = ∅, lo que prueba el resultado para cualquier U. Sean C = ∅ y x ∈ C. Como F es cerrado, por el teorema 5.6, existe una vecindad sim´etrica de cero Ux tal que ` − F, x + Ux + Ux + Ux ⊂ X

5.2. Espacios vectoriales topol´ogicos

153

es decir (x + Ux + Ux + Ux ) ∩ F = ∅, y como Ux = −Ux , obtenemos (x + Ux + Ux ) ∩ (F + Ux ) = ∅. Dado que C es compacto, existe un n´ umero finito de puntos x1 , x2 , ..., xk en C tales que C⊂

k  i=1

Sea U =

k i=1

(xi + Uxi ) .

Uxi , entonces

C +U ⊂

k  i=1

(xi + Uxi ) + U ⊂

k  i=1

(xi + Uxi + Uxi )

y finalmente (C + U ) ∩ (F + U ) = ∅. A continuaci´on veremos algunas propiedades de la cerradura y el interior de conjuntos en un espacio vectorial topol´ogico. Teorema 5.10 Si X es un espacio vectorial topol´ ogico, tenemos que: (a) Si A ⊂ X y A denota la cerradura de A, entonces A=



{A + V : V es una vecindad de 0} .

(b) Si A, B ⊂ X entonces A + B ⊂ A + B. (c) Si Y es un subespacio vectorial de X, tambi´en lo es Y . (d) Si B ⊂ X es balanceado, B es balanceado; si 0 ∈ intB entonces el interior de B, tambi´en es balanceado. Demostraci´ on: (a) x ∈ A si y s´olo si para toda V vecindad de 0, (x + V ) ∩ A = ∅ y esto a su vez se satisface si y s´olo si x ∈ A − V para toda V. Como existe

154

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

una base local V de 0 tal que V ∈ V si y s´olo si −V ∈ V, tenemos el resultado. (b) Sean a ∈ A y b ∈ B y sea V una vecindad de a+b. Por la continuidad de la suma existen V1 y V2 , vecindades de a y b respectivamente, tales que V1 + V2 ⊂ V. Como a ∈ A y b ∈ B existen x ∈ A ∩ V1 y y ∈ B ∩ V2 ; de donde x + y ∈ (A + B) ∩ V y por ende a + b ∈ A + B. (c) Sean Y un subespacio de X y α, β ∈ K. Por la proposici´on 5.2, obtenemos que αY = αY Por lo tanto de (b) tenemos que αY + βY = αY + βY ⊂ αY + βY ⊂ Y . (d) La prueba de que la cerradura de B es balanceada es como la de (c). Supongamos que 0 ∈ intB y sea α ∈ K tal que 0 0 : Si A ⊂ X es un conjunto acotado, V una vecindad de 0, U una vecindad balanceada contenida en V y μ ∈ K es tal que A ⊂ μU, entonces A ⊂ μU = |μ| U ⊂ |μ| V.

La proposici´on siguiente nos da algunas propiedades de los conjuntos acotados: Proposici´ on 5.12 Sean X un espacio vectorial topol´ogico, A, B ⊂ X y λ ∈ K. Entonces (i) A es un conjunto acotado si y s´ olo si toda vecindad de 0 absorbe a A. (ii) Si A es un conjunto acotado entonces A, λA y todo subconjunto de A son conjuntos acotados. (iii) Si A y B son conjuntos acotados entonces A ∪ B y A + B tambi´en lo son. Demostraci´ on: (i) Se sigue directamente de la definici´on de conjunto acotado. (ii) Sea V una vecindad de 0. Por la proposici´on 5.7 existe U, vecindad de 0, con U ⊂ V. Sea μ ∈ K tal que A ⊂ μU entonces A ⊂ μU ⊂ μV y λA ⊂ λμV. Es evidente que los subconjuntos de A son acotados. (iii) Sea V una vecindad de 0. Por el teorema 5.6 existe U, vecindad balanceada de 0, tal que U + U ⊂ V ; sean λ, μ ∈ K con A ⊂ λU y B ⊂ μU . Como U es balanceada, si | λ |≤ |μ| tenemos que λU ⊂ μU y entonces A ∪ B ⊂ μU ⊂ μV. Adem´as A + B ⊂ μU + μU ⊂ μV,

156

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

lo que finaliza la prueba. Tambi´en hay un criterio en t´erminos de sucesiones para que un conjunto sea acotado: Proposici´ on 5.13 Un subconjunto A de un espacio vectorial topol´ogico X es acotado si y s´ olo si para toda sucesi´ on {λn }∞ n=1 ⊂ K que ∞ converge a 0 y para toda sucesi´on {xn }n=1 ⊂ A, {λn xn }∞ n=1 converge a 0 en X. Demostraci´ on: Sean A un conjunto acotado y V una vecindad balanceada de 0 en X. Entonces existe μ ∈ K, μ = 0, tal que μA ⊂ V. Si ∞ {xn }∞ → 0, entonces existe n0 ∈ N tal que n=1 ⊂ A, {λn }n=1 ⊂ K y λn n→∞ | λn |≤| μ | si n ≥ n0 , de donde obtenemos que λn xn ∈ V para toda n ≥ n. Rec´ıprocamente, supongamos que A no es acotado. Entonces existe V, vecindad de 0, tal que para n = 1, 2, ..., A no est´a contenido en nV . 1 Sea xn ∈ A \ nV ; entonces para toda n, xn ∈ / V, es decir la sucesi´on n& '∞ & '∞ 1 1 xn no converge a 0. Sin embargo converge a 0 en K, n n n=1 n=1 y as´ı obtenemos el resultado deseado. Mostraremos a continuaci´on algunas otras propiedades interesantes yu ´tiles de los espacios vectoriales topol´ogicos. Teorema 5.14 Sean X un espacio vectorial topol´ogico. (i) Si V es una vecindad de 0 y ri ∈ K y |ri | → ∞, entonces i→∞

X=

∞  n=1

rn V.

(ii) Todo subconjunto compacto K de X es acotado. (iii) Si si ∈ K, si = 0, si → 0 y V es una vecindad acotada de 0, eni→∞ tonces V = {sn V : n ∈ N} es una base local de 0 para X.

5.3. Operadores lineales

157

Demostraci´ on: (i) Sea x ∈ X, y sea U una vecindad absorbente y balanceada de 0 con U ⊂ V ; entonces existe λ ∈ K tal que x ∈ λU. Si n es suficientemente grande para que | λ |≤ |rn | , λU ⊂ |rn | U = rn U ⊂ rn V. (ii) Sean K ⊂ X compacto y U una vecindad balanceada de 0. Por

(i) K ⊂ ∞ nU. Como K es compacto, existen n1 , ..., nr ∈ N tales que

r n=1 K ⊂ i=1 ni U y por lo tanto, si m = max ni , obtenemos que K ⊂ mU. 1≤i≤r

(iii) Sea U una vecindad balanceada de 0 en X. Como V es acotada, existe λ ∈ K tal que V ⊂ μU para toda μ ∈ K con | μ |>| λ |. 1 1 U = U, es Entonces si n es tal que | λsn |< 1, tenemos que V ⊂ |sn | sn decir sn V ⊂ U. Esto prueba que V es una base local de 0.

5.3

Operadores lineales

En esta secci´on nos dedicaremos al estudio de las funciones lineales continuas entre espacios vectoriales topol´ogicos que, a semejanza del caso de espacios normados, llamaremos operadores lineales. Un isomorfismo, igual que antes, ser´a un operador lineal biyectivo y bicontinuo, y una funcional lineal una funci´on lineal continua entre un espacio vectorial topol´ogico sobre K y K. La demostraci´on del siguiente lema es trivial. Lema 5.15 Sean X, Y espacios vectoriales y T : X → Y una funci´on lineal. (i) Si A ⊂ X es convexo, balanceado o un subespacio de X, entonces T (A) es convexo, balanceado o un subespacio de Y, respectivamente. (ii) Si B ⊂ Y es convexo, balanceado o un subespacio de Y , entonces T −1 (B) es convexo, balanceado o un subespacio de X, respectivamente.

158

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

Como la topolog´ıa de un espacio vectorial topol´ogico est´a enteramente determinada por su comportamiento en el cero, igual que en el caso de espacios normados, es verdad que para que un operador entre espacios vectoriales topol´ogicos sea continuo, es suficiente que sea continuo en alg´ un punto. Enunciamos el resultado sin demostraci´on, siendo ´esta an´aloga a la del teorema 4.13. Teorema 5.16 Sean X y Y espacios vectoriales topol´ ogicos sobre K. Si T : X → Y es una funci´ on lineal continua en alg´ un punto x ∈ X, entonces es continua en X. Cuando el operador es una funcional se tiene un resultado an´alogo a la proposici´on 4.15. Proposici´ on 5.17 Sea T : X → K una funcional lineal en un espacio vectorial topol´ ogico X. Si existe x ∈ X con T x = 0, entonces son equivalentes: (i) T es continua. (ii) El espacio nulo de T, denotado por ker T, es cerrado. (iii) ker T no es denso en X. (iv) Existe alguna vecindad V de 0 en X tal que T V es un conjunto acotado. Demostraci´ on: Las pruebas de (i)⇒(ii) y (ii)⇒(iii) son an´alogas a las de la proposici´on 4.15. (iii)⇒(iv) Supongamos que ker T no es denso en X. Entonces existe un abierto en X que no intersecta a ker T ; es decir, existen x y una vecindad V balanceada de 0 en X tales que (x + V ) ∩ ker T = ∅. Si T V ⊂ K no fuera un conjunto acotado, dado λ ∈ K existir´ıa μ ∈ T V ⊂ K con |λ| ≤ |μ| . Pero como V es balanceada, T V tambi´en lo es y debido a ello tendr´ıamos que λ ∈ T V y que T V = K. Por lo

5.3. Operadores lineales

159

tanto existir´ıa y ∈ V con T y = −T x y por ende x + y ∈ ker T, lo cual es una contradicci´on. (iv)⇒(i) Sean V una vecindad de 0 en X y M ∈ R tales que | T x |< M

V, entonces | T x |< para para toda x ∈ V. Dada >0, si W = M toda x ∈ W ; es decir T es continua en 0 y aplicando el teorema 5.16 obtenemos que T es continua. Finalizaremos esta secci´on con el principio del acotamiento uniforme para espacios vectoriales topol´ogicos. Aunque la demostraci´on se basa en la misma idea que la del teorema 4.42 para espacios normados, es un poco m´as complicada y la damos para que el lector pueda compararla con la otra. Teorema 5.18 (Principio del acotamiento uniforme) Sean X y Y espacios vectoriales topol´ogicos, X de Hausdorff, K ⊂ X convexo y compacto y G una familia de operadores continuos de X en Y. Entonces son equivalentes: (i) Para toda x ∈ K, G(x) = {T x ∈ Y : T ∈ G} es un conjunto acotado en Y. (ii) Existe un conjunto acotado A ⊂ Y tal que para toda T ∈ G, T K ⊂ A. Demostraci´ on: Claramente (ii)⇒(i).

(i)⇒(ii) Supongamos que se cumple (i). Sean A = x∈K G(x) y V una vecindad de 0 en Y . Sea U una vecindad balanceada de 0 en Y tal que U + U ⊂ V. Si  T −1 (U ) (5.1) B= T ∈G

entonces B es cerrado en X. Adem´as por (i), para todo x ∈ K existe n ∈ N tal que G(x) ⊂ nU, de donde x ∈ nB y K=

∞  n=1

(K ∩ nB).

160

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

Del teorema de Baire concluimos que existe n ∈ N tal que el interior relativo a K de K ∩ nB es no vac´ıo. Sean entonces x0 en el interior relativo de K ∩ nB y W una vecindad balanceada de 0 en X con K ∩ (x0 + W ) ⊂ nB.

(5.2)

Como K es compacto, por el teorema 5.14, existe r > 1 tal que K ⊂ x0 + rW.

(5.3)

Para cualquier punto x ∈ K, como K es convexo, tenemos que 1 1 z = (1 − )x0 + x ∈ K. r r 1 (x − x0 ) y como de (5.3) x − x0 ∈ rW , obtenemos r que z − x0 ∈ W y entonces, por (5.2), z ∈ nB. Finalmente, como por (5.1), T (nB) ⊂ nU para toda T ∈ G y como x = rz − (r − 1)x0 y U es balanceada, deducimos que

Adem´as z − x0 =

T x ∈ rnU − (r − 1)nU ⊂ rn(U + U ) ⊂ rnV. Por lo tanto A ⊂ rnV y esto significa que A est´a acotado.

5.4

Subespacios de dimensi´ on finita

Sabemos que en los espacios de dimensi´on finita todas las normas son equivalentes y veremos que de hecho en estos espacios todas las topolog´ıas de Hausdorff de espacio vectorial topol´ogico son equivalentes. Para demostrarlo usaremos el concepto de espacio localmente compacto. Recordemos que un espacio de Hausdorff es localmente compacto si todo punto tiene una vecindad cuya cerradura es compacta. Lema 5.19 Si (X, τ ) es un espacio vectorial topol´ ogico de Hausdorff y Y un subespacio localmente compacto con la topolog´ıa inducida, entonces Y es cerrado en X.

5.4. Subespacios de dimensi´on finita

161

Demostraci´ on: Como Y es localmente compacto, 0 tiene una vecindad relativa con cerradura compacta; es decir existen una vecindad U de 0 en X y un compacto K en Y tales que U ∩ Y ⊂ K. Por el teorema 5.6 y la proposici´on 5.7 existe una vecindad balanceada V de 0 en X tal que V +V ⊂ U.   Probaremos que para toda x ∈ X el conjunto Y ∩ x + V es com

pacto. Para ello sean y, y0 ∈ Y ∩ x + V



entonces

y − y0 = (y − x) + (x − y0 ) ∈ V + V ⊂ U. Adem´as como Y es un subespacio, tenemos que y − y0 ∈ Y, de donde y − y0 ∈ Y ∩ U ⊂ K. Por lo tanto 



Y ∩ x + V ⊂ y0 + K 



y como Y ∩ x + V es cerrado en Y, obtenemos que es compacto. Sea ahora x ∈ Y . Denotamos por B al conjunto {W ∈ τ : 0 ∈ W ⊂ V } y a cada elemento W ∈ B le asociamos el conjunto 



KW = Y ∩ x + W . Como W ⊂ V y x ∈ Y , KW es un conjunto compacto no vac´ıo. Adem´as como ni=1 Wi ⊂ ni=1 Wi , se tiene que ni=1 KWi ⊃ K∩ni=1 Wi y obtenemos que {KW : W ∈ B} es una colecci´on de conjuntos compactos con la propiedad de la intersecci´on finita, y entonces existe z ∈ W ∈B KW . Es decir z ∈ Y y z ∈ x + W para toda W ∈ B, de donde, como X es de Hausdorff, por las proposiciones 5.8 y 5.7, obtenemos que z = x. En conclusi´on Y = Y, que es lo que dese´abamos probar. Para cada n ∈ N, Kn con la topolog´ıa euclidiana es un espacio vectorial topol´ogico de Hausdorff. Si X es un espacio vectorial topol´ogico de Hausdorff sobre K de dimensi´on n cualquiera, entonces toda base de Hamel de X induce de manera obvia un isomorfismo algebraico de X en Kn . Veremos que dicho isomorfismo algebraico es tambi´en un homeomorfismo.

162

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

Teorema 5.20 Sean X un espacio vectorial topol´ogico de Hausdorff y Y un subespacio de X de dimensi´on n, entonces Y es cerrado en X y todo isomorfismo algebraico de Kn sobre Y es un isomorfismo de espacio vectorial topol´ ogico. Demostraci´ on: Haremos la demostraci´on por inducci´on sobre la dimensi´on n del espacio Y. Supongamos que n = 1 y sea T : K → Y un isomorfismo algebraico; si y = T 1 entonces T λ = λy y la continuidad de las operaciones de espacio vectorial implica que T es continuo. Por otra parte T −1 : Y → K es una funcional lineal con espacio nulo {0} , que es cerrado y entonces, por la proposici´on 5.17, es continua. Como K es localmente compacto, Y tambi´en lo es y del lema anterior obtenemos que es cerrado en X. Supongamos ahora que n > 1 y que se tiene el resultado para n − 1. Sean T : Kn → Y un isomorfismo algebraico y {e1 , ..., en } la base can´onica de Kn . Si definimos yk = T ek para k = 1, ..., n, por la linealidad de T, tenemos que T (λ1 , ..., λn ) = λ1 y1 + ... + λn yn , por lo que la continuidad de T se sigue nuevamente de la continuidad de las operaciones de espacio vectorial. Adem´as, como T es un isomorfismo algebraico, {y1 , ..., yn } es una base de Hamel de Y y entonces existen funciones lineales γi : Y → K, i = 1, ..., n, tales que para cada y ∈ Y tenemos y = γ1 (y)y1 + ... + γn (y)yn . Como Y tiene dimensi´on n, de la proposici´on 4.27 sabemos que el espacio nulo de γi tiene dimensi´on n − 1. Entonces por la hip´otesis de inducci´on ker γi es cerrado y por la proposici´on 5.17 γi es continua. Adem´as, es f´acil ver que T −1 (x) = (γ1 (x), ..., γn (x)) , de donde T −1 es continua. Por otra parte, como Y es homeomorfo a Kn y por consiguiente es localmente compacto, del lema 5.19 concluimos que Y es cerrado. Con esto hemos demostrado el resultado para n, lo que finaliza la prueba.

5.4. Subespacios de dimensi´on finita

163

Corolario 5.21 Todo espacio vectorial topol´ ogico de Hausdorff de dimensi´on n es isomorfo a Kn . Una consecuencia profunda del teorema 5.20 es la siguiente: Corolario 5.22 Sean X y Y espacios vectoriales topol´ ogicos con X de Hausdorff y de dimensi´on finita. Si T : X → Y es lineal, entonces es continua. Demostraci´ on: Supongamos que dimX = n y sea Φ : Kn → X un isomorfismo, que por el teorema anterior es continuo. Como en dicho teorema, existen y1 , ..., yn ∈ Y tales que la composici´on T ◦Φ : Kn → Y es de la forma (T ◦ Φ) (λ1 , ..., λn ) = λ1 y1 + ... + λn yn que es una funci´on continua por la continuidad de las operaciones en Y. Por lo tanto T = (T ◦ Φ) ◦ Φ−1 es continua. Otra propiedad de espacios normados que conservan los espacios vectoriales topol´ogicos de Hausdorff, es que los u ´nicos que son localmente compactos son los que tienen dimensi´on finita. La demostraci´on es an´aloga a la del teorema 4.26 tomando una vecindad con cerradura compacta V en lugar de la bola unitaria y usando los teoremas 5.10 y 5.14. Teorema 5.23 Todo espacio vectorial topol´ ogico de Hausdorff localmente compacto, tiene dimensi´ on finita.

Dedicaremos el resto de la secci´on a dos resultados sobre subespacios de codimensi´on 1 en espacios vectoriales topol´ogicos. Lema 5.24 Sean X un espacio vectorial topol´ogico y H ⊂ X un subespacio de codimensi´ on 1 de X. Entonces H es cerrado o es denso en X. Demostraci´ on: Se sigue directamente del lema 4.28.

164

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

Corolario 5.25 Sean X un espacio vectorial topol´ogico y H ⊂ X un subespacio de codimensi´ on 1. Entonces H es cerrado si y s´ olo si existe una funci´on lineal continua f : X → K, tal que ker f = H. Demostraci´ on: Es consecuencia de las proposiciones 5.17 y 4.27.

5.5

Espacios localmente convexos

Dentro de los espacios vectoriales topol´ogicos son de particular inter´es aqu´ellos que tienen bases locales de vecindades convexas pues su topolog´ıa est´a dada por una familia de seminormas que los hace m´as manejables. Sea E un espacio vectorial. Recordemos que C ⊂ E es un conjunto convexo si para todo x, y ∈ C y toda 0 ≤ λ ≤ 1 se tiene que λx + (1 − λ)y ∈ C y que la envolvente convexa de un conjunto A ⊂ E se define como convA =

 k i=1

λi xi : xi ∈ A, 0 ≤ λi , i = 1, ..., k,

k i=1



λi = 1, k ∈ N .

A continuaci´on probaremos algunas propiedades de los conjuntos convexos. Proposici´ on 5.26 Sean X un espacio vectorial topol´ogico y C un subconjunto convexo de X. (a) Si x ∈ intC, y ∈ C y 0 < λ < 1, entonces λx + (1 − λ)y ∈ intC. (b) intC y C son convexos.  

(c) Si intC = ∅, entonces intC = C y int C = intC. Demostraci´ on: (a) Sean x ∈ intC, y ∈ C y 0 < λ < 1. Por la proposici´on 5.2 las traslaciones son homeomorfismos y adem´as son lineales; consecuentemente podemos suponer que λx+(1−λ)y = 0 y entonces y = αx, donde

5.5. Espacios localmente convexos

165

−λ . Como intC es una vecindad de x y la funci´on Sα x = αx 1−λ es un homeomorfismo, resulta que Sα (intC) es una vecindad de αx. Entonces y ∈ Sα (intC) y como y ∈ C tenemos

α=

C ∩ Sα (intC) = ∅ y por ende existe z ∈ intC con αz ∈ C. Como λ= λz + (1 − λ)αz =

−α , 1−α

α −α z+ z = 0. 1−α 1−α

Ahora bien, la funci´on F : X → X dada por F (v) = λv + (1 − λ)αz es un homeomorfismo y por lo anterior F (z) = 0. Por consiguiente V = {λv + (1 − λ)αz : v ∈ intC} es una vecindad de 0. Adem´as como C es convexo y αz ∈ C, resulta que V ⊂ C y entonces 0 ∈ intC. (b) Sea C convexo; como λC = λC, el teorema 5.10 implica que λC + (1 − λ) C = λC + (1 − λ) C ⊂ λC + (1 − λ) C = C y por ende C es convexo. Como intC ⊂ C, para toda 0 < λ < 1 tenemos que λintC + (1 − λ)intC ⊂ C y como los dos conjuntos de la izquierda son abiertos, su suma tambi´en lo es y entonces λintC + (1 − λ)intC ⊂ intC, por lo que intC es convexo. (c) Supongamos que intC = ∅. Como obviamente intC ⊂ C, para demostrar que intC = C, s´olo hay que probar la otra contenci´on. Para ello sea y ∈ C; entonces por (a) si x ∈ intC, tenemos λx + (1 − λ)y ∈ intC y haciendo tender λ a 0, obtenemos que y ∈ intC.    Para ver que int C = intC, basta con probar int C ⊂ intC,  

pues la otra contenci´on es evidente. Supongamos 0 ∈ int C . Entonces existe una vecindad V de 0 balanceada con V ⊂ C = intC y por lo tanto existe y ∈ V ∩ intC. Como V es balanceada −y ∈ V y por (a) el

166

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

segmento que une y con −y est´a contenido en intC, esdecir 0 ∈ intC. Haciendo una traslaci´on, obtenemos finalmente int C ⊂ intC. Una consecuencia particular de la siguiente proposici´on es que la envolvente convexa de conjuntos finitos en espacios vectoriales topol´ogicos siempre es compacta. Proposici´ on 5.27 Si X es un espacio vectorial topol´ ogico y K1 , ..., Kn

son conjuntos convexos y compactos en X, entonces conv ( ni=1 Ki ) es un conjunto compacto. 

Demostraci´ on: Sea A = {(a1 , ..., an ) ∈ Rn : ai ≥ 0 y ni=1 ai = 1} . Notemos que A×Πni=1 Ki es compacto por ser un producto de conjuntos compactos, y definamos φ : A × Πni=1 Ki → X por φ (a1 , ..., an , x1 , ..., xn ) =

n i=1

ai x i .

φ es continua y adem´as como Ki es convexo para i = 1, ..., n, φ (A ×

Πni=1 Ki )

= conv

 n 

i=1



Ki .

Entonces conv ( ni=1 Ki ) es la imagen continua de un compacto y por ende es un conjunto compacto. En general si K ⊂ X es un conjunto compacto mas no convexo, no siempre se tiene que convK tambi´en sea compacto, aunque aqu´ı no daremos un contraejemplo por ser muy complicado. Sin embargo, lo que s´ı es cierto siempre es que convK es compacto siempre y cuando X sea localmente convexo y completo (ejercicio 10).

Lema 5.28 Sean C1 , ..., Cn subconjuntos convexos no vac´ıos de un espacio vectorial X. Entonces conv

 n  i=1



⎧ n ⎨

n

⎫ ⎬

Ci = ⎩ tj xj : tj = 1, ti ≥ 0, xi ∈ Ci , i = 1, ..., n⎭ . j=1 j=1

5.5. Espacios localmente convexos Demostraci´ on: Basta probar que si x ∈ conv se puede expresar como

n

tx j=1  nj j

Ci , i = 1, ..., n. Sea x ∈ conv positivos con x=

m

j=1

m

j=1

i=1

donde



167

 n

n

j=1 tj

i=1



Ci , entonces x

= 1, ti ≥ 0, xi ∈

Ci , entonces existen s1 , ..., sm reales

sj = 1 y y1 , ..., ym pertenecientes a

sj yj . Para r = 1, ..., n sean 

Ir = 1 ≤ j ≤ m : yj ∈ Cr , yj ∈ / 



r−1  i=1

n

i=1

Ci tales que



Ci ,

tr = j∈Ir sj si Ir = ∅ y xr = j∈Ir t−1 r sj yj si Ir = ∅. Como Cr es convexo entonces xr ∈ Cr para toda r = 1, ..., m con Ir = ∅. Es claro   que {r:Ir =∅} tr = 1 y que x = {r:Ir =∅} tr xr . Esto prueba el lema. Tornaremos ahora nuestra atenci´on al tema medular de esta secci´on, los espacios localmente convexos. Definici´ on 5.29 Un espacio vectorial topol´ogico X es localmente convexo si tiene una base local de 0 compuesta por conjuntos convexos. Proposici´ on 5.30 Sea X un espacio vectorial topol´ogico. Toda vecindad convexa de 0 contiene una vecindad convexa y balanceada de 0. Demostraci´ on: Sea U una vecindad convexa de 0 en X. Definimos 

A=

αU

{α:|α|=1}

que claramente es un conjunto convexo. Por otra parte por el teorema 5.6 existe una vecindad balanceada V ⊂ U. Entonces si |α| = 1, α1 V = V y consecuentemente V ⊂ αU, de donde V ⊂ A e intA es una vecindad de 0. Por otra parte intA ⊂ U y como A es convexo, por la proposici´on 5.26, intA tambi´en lo es. Veremos que A es balanceado, y entonces, por el teorema 5.10, intA ser´a balanceado. Para ello sea γ ∈ K con |γ| ≤ 1 y sean r ∈ R, β ∈ K con 0 ≤ r ≤ 1, | β |= 1 tales que γ = rβ. Entonces γA = rβA =

 {α:|α|=1}

rβαU =

 {α:|α|=1}

rαU ⊂

 {α:|α|=1}

αU = A,

168

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

pues αU es un conjunto convexo que contiene al 0 y consecuentemente para toda u ∈ U rαu = rαu + (1 − r) α0 ∈ αU.

Como toda vecindad de 0 es absorbente, una consecuencia inmediata de la proposici´on anterior es: Corolario 5.31 Sea X un espacio vectorial topol´ogico. Entonces X es localmente convexo si y s´olo si tiene una base local de 0 formada por vecindades absorbentes, balanceadas y convexas. Ejemplos 1. Los espacios del ejemplo 1 de la secci´on 5.2 son localmente convexos. 2. El espacio del ejemplo 2 de la secci´on 5.2 es localmente convexo si r = 1 y no es localmente convexo si 0 < r < 1. 3. El espacio definido en el ejemplo 3 de la secci´on 5.2 no es localmente convexo Se deja como ejercicio verificar las afirmaciones de los ejemplos anteriores. Veremos que en los espacios vectoriales topol´ogicos existe una estrecha relaci´on entre las seminormas y las vecindades convexas ya que a cada conjunto convexo, balanceado y absorbente A en un espacio vectorial E se le puede asociar una seminorma en E : Definici´ on 5.32 Sean E un espacio vectorial sobre K y A ⊂ E convexo y absorbente. La funcional subaditiva de Minkowski μA de A se define por & ' 1 μA (x) = inf λ > 0 : x ∈ A λ para toda x ∈ E .

5.5. Espacios localmente convexos

169

Notemos que como A es absorbente, μA (x) < ∞ para toda x ∈ E, y veremos que si A es balanceado, entonces μA es una seminorma. Teorema 5.33 Sean E un espacio vectorial sobre K y A ⊂ E convexo y absorbente. Sean x, y ∈ E y λ > 0: (a) Si λ > μA (x) , entonces

1 x ∈ A. λ

(b) μA (x + y) ≤ μA (x) + μA (y). (c) μA (λx) = λμA (x). (d) Si A es balanceado, entonces μA es una seminorma. (e) Si B = {x ∈ E : μA (x) < 1} y C = {x ∈ E : μA (x) ≤ 1} , entonces B ⊂ A ⊂ C y μ B = μ A = μC . Demostraci´ on: (a) Si λ> μA (x) , por definici´on de μA existe λ >μ ≥ μA (x) tal que 1 x ∈ A. Como A es absorbente, 0 ∈ A y como A es convexo, μ 1 μ x= λ λ

 





1 μ x+ 1− 0 ∈ A. μ λ

(b) Supongamos que μA (x) < γ, μA (y) < λ y que υ = γ + λ. Entonces 1 1 por (a), x, y ∈ A y como A es convexo obtenemos que γ λ γ 1 (x + y) = υ υ









λ 1 1 x + y ∈ A, γ υ λ

lo que implica que μA (x + y) ≤ υ. Pasando al ´ınfimo sobre γ y λ obtenemos (b). (c) Sea λ > 0; entonces 



μA (λx) = inf γ > 0 : γ1 λx ∈ A = 



= λ inf γ > 0 : γ1 x ∈ A = λμA (x).

170

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

(d) Supongamos que A es balanceado y sea λ ∈ K. Entonces tenemos 1 1 que λx ∈ A si y s´olo si |λ| x ∈ A y por (c) y (b) obtenemos (d). γ γ (e) Primero veremos que B es convexo y absorbente. Si 0 < λ < 1 y x, y ∈ B, entonces μA (λx + (1 − λ)y) ≤ λμA (x) + (1 − λ)μA (y) < 1 y por lo tanto B es convexo. Sea ahora x ∈ E; si λ > μA (x) por (c)  1 x < 1, de donde B es absorbente. An´alogamente, C se tiene μA λ es convexo y absorbente y tiene sentido hablar de sus funcionales de Minkowski. Ahora bien, si x ∈ E es tal que μA (x) < 1, por (a) obtenemos que x ∈ A. Por otro lado, si x ∈ A, entonces μA (x) ≤ 1. Por lo tanto B ⊂ A ⊂ C, de donde para toda x ∈ E μC (x) ≤ μA (x) ≤ μB (x). Supongamos ahora que μC (x) < γ < μA (x) . Entonces por (a),

1 x∈C γ

1 y de la definici´on de C se sigue que μA ( x) ≤ 1. Esto implica que γ μA (x) ≤ γ < μA (x) , lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto μA (x) ≤ μC (x) . Similarmente, si suponemos que μA (x) < λ < μB (x) , entonces 1 1 μA ( x) < 1 y por la definici´on de B, x ∈ B, es decir λ λ μB (x) ≤ λ < μB (x) lo cual es una contradicci´on. De aqu´ı μB (x) ≤ μA (x) y finalmente obtenemos μC (x) = μA (x) = μB (x),

5.5. Espacios localmente convexos

171

que es lo que dese´abamos probar. El siguiente lema es en cierto modo el rec´ıproco del inciso (d) del teorema 5.33 y de hecho es el rec´ıproco si el conjunto A de dicho inciso es abierto. Lema 5.34 Toda seminorma ρ en un espacio vectorial E es la funcional subaditiva de Minkowski de un conjunto absorbente, convexo y balanceado. M´as precisamente, ρ = μB , donde B = {x ∈ E : ρ(x) < 1} . Demostraci´ on: La prueba de que B es convexo y absorbente es como en el inciso (e) del teorema 5.33. Si ahora λ ∈ K con |λ| ≤ 1 y x ∈ B, entonces ρ(λx) = |λ| ρ (x) < 1, es decir B es balanceado. Sea  1 x < 1, de donde μB (x) ≤ λ. Por x ∈ E. Si λ > ρ(x), entonces ρ λ lo tanto μ (x) ≤ ρ(x). Por otra parte, si 0 < λ ≤ ρ(x), tenemos que  B 1 1 x , de donde x no pertenece a B. Por ende μB (x) ≥ λ y 1≤ρ λ λ entonces ρ(x) ≤ μB (x), lo que completa la prueba. Lema 5.35 Sean X un espacio vectorial topol´ogico, A un conjunto convexo absorbente y μA su funcional subaditiva de Minkowski. Entonces (a) Si A es abierto, A = {x ∈ X : μA (x) < 1} . (b) Si A es cerrado, A = {x ∈ X : μA (x) ≤ 1} . Demostraci´ on: (a) Si B = {x ∈ X : μA (x) < 1} , del teorema 5.33 tenemos que B ⊂ A. Supongamos que A es abierto y sea x ∈ A. Por la continuidad de la funci´on f (λ) = λx, existe λ > 1 tal que λx ∈ A. De ah´ı obtenemos 1 que μA (x) ≤ < 1 y A ⊂ B. Consecuentemente A = B. λ (b) Si C = {x ∈ X : μA (x) ≤ 1} el teorema 5.33 nos dice que A ⊂ C. Ahora bien, sea A cerrado y supongamos que x ∈ / A, nuevamente la

172

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

continuidad del producto nos da λ < 1 tal que λx ∈ / A, de donde 1 μA (x) ≥ > 1 y C ⊂ A. Por lo tanto A = C. λ El resultado fundamental de esta secci´on se resume en los dos teoremas siguientes: Proposici´ on 5.36 Sean X un espacio localmente convexo y V una base local de 0 compuesta por vecindades abiertas, convexas y balanceadas. Entonces la familia de las funcionales de Minkowski asociadas a los elementos de V, P = {μU : U ∈ V} , es una familia de seminormas continuas y toda U ∈ V es de la forma {x ∈ X : μU (x) < 1} . Adem´ as, si X es de Hausdorff, P separa puntos de X, es decir dado x = 0 existe ρ ∈ P tal que ρ(x) = 0. Demostraci´ on: Sea U ∈ V. Como U es convexa, balanceada y absorbente, por el teorema 5.33 obtenemos que μU es una seminorma. Sea γ > 0; por el lema 4.2, tenemos que si x − y ∈ γU, entonces |μU (x) − μU (y)| ≤ μU (x − y) ≤ γ, lo que prueba la continuidad de μU . Adem´as como U es abierto, por el lema 5.35, U = {x ∈ X : μU (x) < 1} . Supongamos ahora que X es de Hausdorff. Entonces si x ∈ X, x = 0 existe V ∈ V tal que x ∈ / V . Por lo tanto μV (x) ≥ 1 y la familia P separa puntos de X. A diferencia de los espacios normados, donde el conjunto de bolas abiertas con centro en 0 es una base local de 0, si P es una familia de seminormas en un espacio vectorial E, las vecindades de la forma 

V ρ,



&

1 1 = x ∈ E : ρ(x) < n n

'

en general no constituyen una base local de 0 de una topolog´ıa de espacio vectorial topol´ogico Hausdorff.

5.5. Espacios localmente convexos

173

Ejemplo Sean X = R2 y P = {ρ1 , ρ2 } , donde ρi (x1 , x2 ) = |xi | es claramente una seminorma. Se comprueba f´acilmente que P separa puntos X  de  1 y que la bola unitaria en X no contiene ning´ un conjunto V ρi , . n Entonces, como todas&lastopolog´  ıas Hausdorff '∞ de espacio vectorial son 1 2 : i = 1, 2 no puede ser base local equivalentes en R , V ρi , n n=1 de 0 para una de estas topolog´ıas. En cambio siB es la colecci´on de todas las intersecciones finitas de 1 con ρ ∈ P y n ∈ N, B s´ı es una base local de 0 los conjuntos V ρ, n de una topolog´ıa de espacio vectorial topol´ogico. Teorema 5.37 Sea P una familia de seminormas en un espacio vectorial X. Entonces B es una base local de 0 para una topolog´ıa τ de espacio vectorial topol´ ogico en X cuyos elementos son convexos y balanceados y tal que toda ρ ∈ P es continua. Adem´ as, si P separa puntos de X la topolog´ıa τ es de Hausdorff. Diremos que τ es la topolog´ıa generada por P. Demostraci´ on: Veremos que B satisface las condiciones del teorema 5.6. (i) Por el lema 5.34 los elementos de B son convexos, balanceados y absorbentes. (ii) Por definici´on de B si U  , V ∈ B, entonces U ∩ V ∈ B. 1 r (iii) Sean v ∈ i=1 V ρi , y m ∈ N tal que ni 



1 1 < min − ρi (v) . m 1≤i≤r ni 



1 1 , ρi (z − v) ≤ ρi (z) + ρi (v) < para m     ni 1 1 i = 1, ..., r. Por lo tanto ri=1 V ρi , ⊂ v + ri=1 V ρi , . ni    m    1 1 1 (iv) Es claro que ri=1 V ρi , + ri=1 V ρi , ⊂ ri=1 V ρi , . 2ni 2ni ni Entonces si z ∈

r i=1

V ρi ,

174

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

(v) Si U ∈ B y n ∈ N, es evidente que n1 U ∈ B. Entonces por el teorema 5.6 existe una topolog´ıa τ de espacio vectorial topol´ogico tal que B es una base local  de vecindades de 0. 1 Sean ahora ρ ∈ P, x ∈ X y y ∈ x + V ρ, . Como n |ρ(x) − ρ(y)| ≤ ρ(x − y)
0. Entonces si n ∈ N es tal que < ρ(x), x ∈ / V ρ, y por n n la proposici´on 5.8, X es de Hausdorff. Seg´ un la proposici´on 5.36 a partir de una base local V de una topolog´ıa τ de espacio vectorial localmente convexo podemos obtener una familia de seminormas P y seg´ un el teorema 5.37 P genera una   topolog´ıa τ . ¿Ser´an iguales τ y τ ? La respuesta es s´ı. Como toda  1 ∈ τ y por lo tanto τ  ⊂ τ . ρ ∈ P es τ continua obtenemos que V ρ, n Por otra parte si U ∈ τ y ρ = μU entonces U = V (ρ, 1) ∈ τ  , de donde τ ⊂ τ . Ejemplos 1. En el espacio vectorial real C (R) = {f : R → R : f es continua} definimos para n = 1, 2, ... ρn (f ) =

sup |f (x)| . Se deja como

x∈[−n,n]

ejercicio comprobar que P = {ρn }∞ n=1 es una familia de seminormas, y entonces, por los resultados anteriores genera una topolog´ıa localmente convexa. 2. Si X es un espacio normado, la topolog´ıa d´ebil en X est´a generada por la familia de seminormas {ρx∗ (x) = |x∗ , x| : x∗ ∈ X ∗ } y la topolog´ıa d´ebil estrella en X ∗ est´a generada por la familia de seminormas {ρx (x∗ ) = |x∗ , x| : x ∈ X} .

5.5. Espacios localmente convexos

175

Como en general es m´as f´acil manejar seminormas que topolog´ıas en abstracto, veremos c´omo se traducen algunas de las propiedades topol´ogicas a condiciones sobre seminormas. Lema 5.38 Sea P una familia de seminormas en un espacio vectorial X sobre K y sea τ la topolog´ıa localmente convexa generada por P. Entonces (a) Un subconjunto A de X es τ acotado si y s´olo si para toda ρ ∈ P, ρ (A) es un conjunto acotado en K. (b) Una red {xa }a∈D en X converge a x ∈ X con respecto a la topolog´ıa τ si y s´olo si ρ(xa − x) converge a 0 en R para toda ρ ∈ P. (c) Si Y es un espacio vectorial topol´ogico sobre K, entonces si f : Y → X es lineal, es continua con respecto a τ si y s´olo si ρ ◦ f : Y → R es continua para toda ρ ∈ P. Demostraci´ on: (a) Sean A un subconjunto τ acotado de X y ρ ∈ P. Como V (ρ, 1) es una vecindad de 0, existe λ > 0 tal que A ⊂ λV (ρ, 1); es decir ρ(x) < λ para toda x ∈ A. Por lo tanto, ρ (A) es acotado para toda ρ ∈ P. Rec´ıprocamente, si toda ρ ∈ P est´a acotada en A y U es unavecin1 dad de 0, sean ρ1 , ..., ρk ∈ P y n1 , ..., nk ∈ N con ki=1 V ρi , ⊂U ni y m1 , ..., mk ∈ R tales que ρi (x) < mi para toda x ∈ A y para toda i = 1, ..., k. Entonces si γ =max (n1 m1 , ..., nk mk ) , tenemos que A⊂

k  i=1



γV ρi ,

1 ni



⊂ γU

y A est´a acotado. (b) Supongamos que xa →  x con respecto a la topolog´ıa τ. Sean ρ ∈ P 1 ∈ τ y por lo tanto existe a0 ∈ D tal que y n ∈ N; entonces V ρ, n   1 1 y por para toda a ≥ a0 , es decir ρ(xa − x) < xa − x ∈ V ρ, n n consiguiente ρ(xa − x) → 0 en R.

176

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

Rec´ıprocamente, supongamos que ρ(xa − x) → 0 en R para toda ρ ∈ P y sea U∈ τ. Entonces existen ρ1 , ..., ρk ∈ P y n1 , ..., nk ∈ N con 1 1 k ⊂ U. Sea a0 ∈ D tal que si a ≥ a0 , ρi (xa − x) < i=1 V ρi , ni ni para toda i = 1, ..., k. Claramente obtenemos que xa − x ∈ U si a ≥ a0 . (c) Sea f : Y → X. Supongamos que f es continua. Como por el teorema 5.37 si ρ ∈ P, ρ es continua, obtenemos que ρ ◦ f es continua para toda ρ. Rec´ıprocamente, supongamos que ρ ◦ f es continua en 0 para  toda  $   1 1 + ρ ∈ P. Como 0, n : n ∈ N es una base local del 0 en R , V ρ, n es abierto en X para toda ρ y n ∈ N y −1

(ρ ◦ f )

8

1 0, n



=f

−1





1 V ρ, n



,

se obtiene que f es continua en 0 y por consiguiente, por el teorema 5.16, es continua. Proposici´ on 5.39 Sean X y Y espacios localmente convexos sobre K cuyas topolog´ıas τX y τY est´ an generadas por las familias P y S de seminormas respectivamente. (i) Si T : X → Y es lineal y para toda σ ∈ S existen ρ ∈ P y una constante M > 0, tales que σ (T x) ≤ M ρ(x) para toda x ∈ X, entonces T es continua. &





'

∞ 1 :ρ∈P es una base n n=1 local de 0 para τX y si T : X → Y es lineal y continua, se tiene que para toda σ ∈ S existen ρ ∈ P y una constante M > 0, tales que σ (T x) ≤ M ρ(x) para toda x ∈ X.

(ii) Por otro lado, si la familia

V ρ,

Demostraci´ on: (i) Sean σ1 , ..., σk ∈ S y supongamos que M1 , ..., Mk y ρ1 , ..., ρk son tales que σi (T x) ≤ Mi ρi (x). Entonces  k 



1 T V ρi , n i Mi i=1



k 





1 ⊂ V σi , , ni i=1

De aqu´ı obtenemos que T es continua en 0 y, por el teorema 5.16, T es continua.

5.6. Espacios metrizables y normables &



177 

1 :ρ∈P n es una base local de 0, existen ρ ∈ P y M ∈ N tales que (ii) Sea σ ∈ S. Por la continuidad de T y como V ρ, 



T V ρ,

1 M



'∞ n=1

⊂ V (σ, 1) .

1 , entonces σ (T x) < 1. Por lo tanto Esto quiere decir que si ρ(x) < M para toda λ > 0 



σ (T x) = σ T 

x M (ρ(x) + λ) M (ρ(x) + λ) 

= M (ρ(x) + λ)σ T

x M (ρ(x) + λ)



=



≤ M (ρ(x) + λ)

y como esto es cierto para toda λ > 0, obtenemos el resultado deseado.

5.6

Espacios metrizables y normables

Mientras m´as estructura tenga un espacio vectorial topol´ogico m´as podemos conocer acerca de ´el. En esta secci´on daremos condiciones para que los espacios vectoriales topol´ogicos sean metrizables o normables. En particular veremos que cuando la topolog´ıa de X est´a generada por una sucesi´on {ρi }∞ i=1 de seminormas que separa puntos, X siempre es metrizable mediante una m´etrica invariante. Recordemos que una m´etrica d en un espacio vectorial X se llama invariante si d(x + z, y + z) = d(x, y) para toda x, y, z ∈ X. Lema 5.40 Sea d una m´etrica invariante en un espacio vectorial X. (a) Para toda x ∈ X y n ∈ N d (nx, 0) ≤ nd (x, 0) . ∞ (b) Si {xn }∞ n=1 ⊂ X es tal que xn → 0, entonces existe {λn }n=1 ⊂ R tal que λn → ∞ y λn xn → 0.

178

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

Demostraci´ on: (a) Es consecuencia de que la m´etrica es invariante: d (nx, 0) ≤

n

d (ix, (i − 1)x) = nd (x, 0) .

i=1

1 (b) Como d (xn , 0) → 0, dado k existe nk tal que d (xn , 0) < 2 si k n ≥ nk . Podemos elegir las nk tales que nk < nk+1 para toda k = 1, 2, ... Sea  1 si n < n1 λn = k si nk ≤ n < nk+1 Entonces λn → ∞, y por (a), si nk ≤ n < nk+1 , d (λn xn , 0) = d (kxn , 0) ≤ kd (xn , 0)
lo 2 101 6 102 2 1 que prueba que las bolas de radio no son convexas. Sin embargo el 2 siguiente teorema nos garantiza para este ejemplo la existencia de otra m´etrica compatible tal que sus bolas s´ı son convexas. satisfacen: d(f, 0) =

180

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

Teorema 5.42 Un espacio vectorial topol´ogico de Hausdorff (X, τ ) es metrizable si y s´olo tiene una base local V de 0 numerable. En este caso existe una m´etrica invariante d en X tal que: (a) La colecci´ on de bolas abiertas es base de τ. (b) Br (0) es balanceada para toda r ∈ R+ . (c) Si X es localmente convexo, entonces se puede elegir d tal que adem´ as las bolas sean convexas. 



Demostraci´ on: Si X es un espacio vectorial m´etrico, B 1 (0) : n ∈ N n es una base local de 0 numerable. Viceversa, supongamos que V = {Un : n ∈ N} es una base local de 0 numerable. Por el teorema 5.6 podemos suponer que los elementos de V son balanceados y que Un+1 + Un+1 ⊂ Un .

(5.5)

Para todo conjunto finito I ⊂ N definimos el n´ umero real ⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎪ si I = ∅ ⎨ n∈I 2n rI = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 si I = ∅

y el abierto,

⎧  ⎪ n∈I Un si I = ∅ ⎨

U (rI ) =

⎪ ⎩

∅ si I = ∅

que obviamente es balanceado. Sean I y J dos subconjuntos finitos de N tales que rI +rJ < 1. Sea N = max {n ∈ N : n ∈ I ∪ J}; probaremos usando inducci´on sobre N que U (rI ) + U (rJ ) ⊂ U (rI + rJ ) ,

(5.6)

lo cual nos permitir´a definir una m´etrica en X compatible con τ. Si N = 1, la afirmaci´on se sigue de inmediato pues alguno de los dos rI o rJ vale 0. Supongamos que se satisface (5.6) para N ≤ M − 1.

5.6. Espacios metrizables y normables

181

Sean rI y rJ tales que rI + rJ < 1 y M = max {n ∈ N : n ∈ I ∪ J} . 1 Si M ∈ I pero M ∈ / J, entonces rI = r + M 2 



1 U (rI ) = U (r ) + U M . 2 

Por hip´otesis de inducci´on U (r ) + U (rJ ) ⊂ U (r + rJ ) y por lo tanto U (rI ) + U (rJ ) ⊂ U (r + rJ ) + U



1 2M



= U (rI + rJ ) .

Si M ∈ / I pero M ∈ J, la demostraci´on es semejante. Finalmente, si 1 1 M ∈ I ∩ J, entonces rI = r + M y rJ = r” + M , y por la hip´otesis 2 2 de inducci´on U (r ) + U (r”) ⊂ U (r + r”) (5.7) y por (5.7) y (5.5) 

1 U (rI ) + U (rJ ) = U (r ) + U (r”) + U M 2 

⊂ U (r + r”) + U



1 2M −1





⊂ U r + r” +





1 +U M 2

1 2M −1



⊂



= U (rI + rJ )

donde la u ´ltima contenci´on se obtuvo usando nuevamente la hip´otesis de inducci´on. Definimos f : X → R+ por 

inf {rI : x ∈ U (rI ) , I finito} si existe I con x ∈ U (rI ) 1 en los dem´as casos (5.8) Entonces claramente f (X) ⊂ [0, 1]. Definimos ahora d : X × X → R+ por d(x, y) = f (x − y). (5.9) f (x) =

Para probar que d es una m´etrica invariante veremos primero que f (x + y) ≤ f (x) + f (y) .

(5.10)

182

5. Espacios Vectoriales Topol´ogicos

Si f (x) + f (y) ≥ 1, (5.10) es consecuencia de la definici´on de f. Supongamos entonces que f (x) + f (y) < 1 y sea > 0 tal que f (x) + f (y) + 2 < 1. Por (5.8) existen I, J ⊂ N finitos tales que x ∈ U (rI ) , y ∈ U (rJ ) , rI < f (x) + y rJ < f (y) + . Como rI + rJ < 1 se cumple (5.6), entonces x + y ∈ U (rI + rJ ) y por lo tanto f (x + y) ≤ rI + rJ < f (x) + f (y) + 2 , lo que prueba (5.10). Como toda U (rI ) es balanceada, tenemos que f (x) = f (−x). Claramente f (0) = 0 y si x = 0, como X es de Hausdorff, existe n ∈ N tal 1 que x ∈ / Un y entonces f (x) ≥ n > 0. 2 Las propiedades que hemos demostrado que tiene f implican directamente que d es una m´etrica invariante en X. Como las bolas abiertas con centro en el origen son de la forma Bδ (0) = {x ∈ X : f (x) < δ}, tenemos que Bδ (0) =



U (rI )

(5.11)

rI 1, es claro que [ξi ]∞ i=1 = c0 .

234

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

(ii) Sea n > m. Entonces   m  m   n    n        n       ai ξi  = sup  ai  = sup  ai − ai  ≤ 2  ai ξi        r≤m  i=r r≤m  i=r i=1 i=1 i=m+1 

y por el teorema 6.10 se obtiene que {ξn }∞ n=1 es base. Esta base no es ∞ equivalente a {en }n=1 , ya que por ejemplo  m   m         en  = 1, pero  ξn  = m,      n=1

n=1

de manera que no se puede satisfacer (6.10) del lema anterior. La situaci´on del ejemplo anterior es general, ya que se puede probar que en un espacio de Banach cualquiera de dimensi´on infinita que tiene una base, siempre hay una infinidad de bases normalizadas no equivalentes entre s´ı. [26] Por otro lado las bases de Schauder tienen cierta propiedad de estabilidad, en el sentido de que si tomamos vectores cercanos a los de la base, nuevamente obtenemos una base, equivalente a la primera. La demostraci´on de este hecho requiere del siguiente lema: Lema 6.19 Sean X un espacio de Banach, Y un subespacio cerrado de X y T : Y → X un operador acotado tal que T  < 1. Entonces, si IY denota a la identidad en Y, IY − T es invertible y    −1  (IY − T )  ≤

1 . 1 − T 

(6.11)

Adem´ as, si Y = X, IX − T es un isomorfismo de X en X. Demostraci´ on: Sea y ∈ Y con y = 0, entonces 



(IY − T ) y  y  ≤ T 1−  ≤ T  .  y  y Consiguientemente IY − T  y ≥ (IY − T ) y ≥ (1 − T ) y , lo que demuestra (6.11).

6.1. Bases de Schauder

235 

Supongamos ahora que Y = X ysea Sn = nk=0 T k , donde para n > 1, T n = T n−1 ◦ T y T 0 = IX . Como T n  ≤ T n , para toda n > m, n

Sn − Sm  ≤

T k .

k=m+1

Por lo tanto, ya que T  < 1, Sn es una sucesi´on de Cauchy en el espacio de Banach B(X), on converge a un operador acotado  y la sucesi´  k S. Ahora bien, como T  → 0 entonces T k → 0 y al pasar al l´ımite en la expresi´on: (IX − T ) Sn =

n

k

T −

k=0

n+1

T k = IX − T n+1 = Sn (IX − T ) ,

k=1

obtenemos que (IX − T ) S = IX = S (IX − T ) , lo cual implica que IX − T es invertible y suprayectiva. on Teorema 6.20 Sea X un espacio de Banach y {xn }∞ n=1 una sucesi´ b´ asica seminormalizada con constante de base K tal que para n = 1, 2, ... 1 ≤ xn  ≤ M. M (i) Sea {yn }∞ on de elementos en X tal que n=1 una sucesi´ ∞ n=1

xn − yn 
m1 tal que       ∞

(1)   . a x n < 3 n  2 K  n=m2 +1

Por (6.20) podemos hallar en F un elemento y2 tal que y2  = 1 y y2 es de la forma ∞ y2 =



n=m2 +1

a(2) n xn .

6.1. Bases de Schauder Sea m3 tal que

239

     ∞ 

(2)  an xn  < 4 .  2K n=m3 +1 

De esta manera construimos inductivamente una sucesi´on {yj }∞ j=1 ⊂ F ∞ con yj  = 1, y una sucesi´on {mj }j=1 ⊂ N tales que 0 < m1 < m2 < ...,     ∞  

(j) (j)  yj = an x n y  an xn  < j+2 . 2 K n=mj+1 +1  n=mj +1 ∞

(6.21)

m

j+1 Definamos para j = 1, 2, ... vj = n=m a(j) xn ; como yj  = 1, por j +1 n (6.21) vj = 0. Sea vj uj = . vj  Entonces por (6.21)

|1 − vj | ≤ yj − vj  < j+2 2 K y

   vj   yj − uj  ≤ yj − vj  + vj − uj  = yj − vj  + vj − =  vj  

= yj − vj  + |1 − vj | < Por lo tanto

∞ j=1

yj − uj  <

2j+1 K

.

. 2K

{uj }∞ j=1

Como es una base bloque de {xn }∞ n=1 , por el corolario 6.12 es una sucesi´on b´asica con constante de base ≤ K. Usando el teorema 6.20 tenemos que {yn }∞ on b´asica equivalente a {uj }∞ n=1 es una sucesi´ j=1 ∞ y tomando G = [yn ]n=1 termina la demostraci´on del teorema. Otra aplicaci´on del teorema 6.20 cuya demostraci´on es parecida a la del teorema anterior, y sin embargo est´a enfocada en otra direcci´on, nos la da el lema siguiente. Este resultado es de especial inter´es para nosotros, pues va a ser la clave en la prueba de que los espacios lp no son isomorfos entre s´ı.

240

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

∞ Lema 6.22 Sea X un espacio de Banach con base {xn }∞ n=1 . Si {yn }n=1 es una sucesi´on seminormalizada d´ebilmente convergente a 0 en X, entonces {yn }∞ on equivalente a una base bloque n=1 tiene una subsucesi´ de {xn }∞ . n=1

Demostraci´ on: Supongamos que para n = 1, 2, ... 1 ≤ yn  ≤ M. M ∞ Sea K la constante de base de {xn }∞ n=1 y sea {εn }n=1 ⊂ R con εn > 0 para n = 1, 2, .. y ∞ 1 . εn < 2KM n=1

Sean n1 = 1, m1 = 0 y m2 tales que

    m2   ∗ y1 − xj (y1 ) xj  < ε1 .    j=1

Como yn converge d´ebilmente a 0, existe n2 > n1 tal que para i = 1, 2, ..., m2 , ε2 |x∗i (yn2 )| < m2 . (6.22) 2 j=1 xj  Adem´as existe m3 > m2 con

    m3   ε2 ∗ yn − xj (yn2 ) xj  < .  2 2   j=1

(6.23)

De (6.22) y (6.23) obtenemos     m3   ∗ yn − xj (yn2 ) xj  < ε2 .  2   j=m2 +1

Procediendo inductivamente construimos dos sucesiones crecientes ∞ {ni }∞ i=1 y {mi }i=1 tales que     mi+1   ∗ yn − xj (yni ) xj  < εi .  i   j=mi +1

(6.24)

6.1. Bases de Schauder Si ui =

mi+1

j=mi +1

M− y

241

x∗j (yni ) xj , entonces por las hip´otesis y (6.24) ,

1 1 ≤ M − εi ≤ ui  ≤ M + εi ≤ M + 2KM 2KM ∞ i=1

yni − ui  ≤

∞ i=1

εi
0 y x = ∞ n=1 an xn ∈ X con x = 1 tales que |x∗ (x)| > (1 − ) x∗  . Como x∗ es continua,  ∗ x∗ (x) = ∞ n=1 an x (xn ) y existe N tal que si n > N, ∞     ∗ ai x (xi ) < x∗  .    i=n

Consecuentemente

(6.29)

6.1. Bases de Schauder



(1 − ) x∗  < |x∗ (x)| ≤ |(Pn∗ x∗ ) (x)| + 

∞ i=n+1

243



ai x∗ (xi ) ≤ (6.30)

≤ Pn∗ x∗  + x∗  . De (6.30) y como K = 1, se tiene que para n > N (1 − 2 ) x∗  < Pn∗ x∗  ≤ x∗  . Por lo tanto x∗  = limn→∞ Pn∗ x∗  , pero por ser {xn }∞ otona, n=1 mon´  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Pn x  ≤ Pn+1 x  y esto implica que x  = supn Pn x  , lo cual termina la prueba del lema. ∗ A´ un si X es un espacio con base {xn }∞ n=1 y X es separable, la ∗ ∞ ∗ sucesi´on {xn }n=1 no tiene porqu´e ser una base de X .

Ejemplo Consideremos el espacio c0 con la base sumante {ξn }∞ n=1 , definido en el ejemplo anterior al lema 6.19, cuyo dual es el espacio l1 que es separable. Es f´acil ver que ξn∗ = e∗n − e∗n+1 , donde {e∗n }∞ on de funn=1 es la sucesi´ cionales biortogonales asociadas a la base can´onica de c0 . Como vimos en el ejemplo posterior al teorema6.10, {e∗n }∞ onica de n=1 es labase can´ l1 . Por lo tanto ξn∗ es el elemento 0, ..., 0, 1, −1, 0, ... ∈ l1 y su norma n es 2. / [ξn∗ ]∞ . Veremos que e∗1 ∈ n=1 ∗ ∗ ∗ Supongamos que e1 = ∞ i=1 ai ξi . Entonces 1 = e1 (e1 ) = a1 y si n>1 0 = e∗1 (en ) = an − an−1 ,

de donde an = 1 para n = 1, 2, ...; pero por el lema 6.2, la sucesi´on {an }∞ ıa converger a 0. n=1 deber´ 1 Hemos demostrado as´ı que {ξn∗ }∞ n=1 no es base de l . El teorema siguiente nos da una condici´on necesaria y suficiente ∗ para que la sucesi´on b´asica {x∗n }∞ n=1 sea una base para X .

244

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Teorema 6.24 Sea X un espacio de Banach con una base {xn }∞ n=1 . Entonces la sucesi´on de funcionales biortogonales {x∗n }∞ es una base n=1 de X ∗ si y s´olo si para cada x∗ ∈ X ∗ 



 lim x∗ |[xi ]∞  = 0. i=n n→∞

(6.31)

Si una base satisface la condici´on (6.31), se le llama base reductora. ∗ Demostraci´ on: Si {x∗n }∞ n=1 es una base de X , entonces para cada x∗ ∈ X ∗ , (6.32) lim x∗ − Pn∗ x∗  = 0. n→∞

Sea y ∈ [xi ]∞ i=n . Entonces, como Pn−1 y = 0, |x∗ , y| = |x∗ , y − x∗ , Pn−1 y| =    6 7 ∗ ∗ x∗  y . x∗ , y  ≤ x∗ − Pn−1 = x∗ , y − Pn−1

Esto implica que      ∗   ∗ ∗ ∗ ≤ x − P x x |[xi ]∞   n−1  i=n

y de (6.32) se obtiene 



 lim x∗ |[xi ]∞  = 0. i=n n→∞ ∗ ∗ Viceversa, si {xn }∞ n=1 es tal que se satisface (6.31) y x ∈ X , entonces para toda x ∈ X con x = 1,

6 7  |x∗ − Pn∗ x∗ , x| = |x∗ , (I − Pn ) x| =  x∗ |[xi ]∞ , (I − Pn ) x  ≤ i=n+1 







     I − Pn  ≤ x∗ |[xi ]∞  (1 + K) , ≤ x∗ |[xi ]∞ i=n+1 i=n+1

ı que donde K es la constante de base de {xn }∞ n=1 . Concluimos as´ ∗ ∗ ∗ limn x − Pn x  = 0.

6.1. Bases de Schauder

245

Ejemplos El ejemplo posterior al teorema 6.10 muestra que las bases can´onicas en c0 y en lp , 1 < p < ∞, son reductoras. Se puede uno plantear ahora la pregunta al rev´es, ¿cu´ando una on de funcionales base {xn }∞ n=1 en un espacio de Banach X es la sucesi´ biortogonales asociadas a una base? Desde luego para que esto sea posible se necesita que X sea el espacio dual de alg´ un espacio de Banach. Teorema 6.25 Si X es un espacio de Banach con una base {xn }∞ n=1 tal que: n

(*) siempre que {an }∞ n=1 ⊂ K es tal que supn   serie ∞ a x tambi´ en converge, n n n=1

i=1

ai xi  < ∞, la

∗ entonces X es isomorfo al dual del espacio [x∗n ]∞ n=1 ⊂ X .

A una base que cumple la propiedad (*) se le llama base acotadamente completa. ∗ Demostraci´ on: Sean Y = [x∗n ]∞ n=1 y J : X → Y dada por

J (x) , y = y (x)

(6.33)

para toda y ∈ Y, x ∈ X. Es decir J (x) = j (x) |Y , donde j es la inyecci´on can´onica de X en X ∗∗ . En consecuencia J ≤ j = 1. Por  otro lado sean x = ∞ a x ∈ X, n ∈ Ny z ∗ ∈ X ∗ con z ∗  = 1 y n i=1 i i ∗ n z ( i=1 ai xi ) =  i=1 ai xi  . Por (6.26) sabemos que Pn∗ z ∗ ∈ Y y que     4 5 4 n 5 n n n        ∗ ∗ ∗ ∗ a i x i  = Pn z , ai x i = J ai xi , Pn z ≤ J ai xi  K,      i=1

i=1

i=1

i=1

donde K es la constante de base de {xn }∞ n=1 ; consecuentemente x ≤ K Jx y 1 x ≤ Jx ≤ x . (6.34) K Por lo tanto J es inyectiva y probaremos que es sobre Y ∗ .

246

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Observemos que 

J

(xi ) , x∗n 

=

x∗n

(xi ) =

1 si n = i 0 si n = i

on de funcionales biortogonales asociada Es decir {J (xn )}∞ n=1 es la sucesi´ ∗ a {x∗n }∞ en Y . n=1 Sea y ∗ ∈ Y ∗ . Si {Qn }∞ on de proyecciones ason=1 denota a la sucesi´ ∗ ∗ ciadas a {x∗n }∞ en Y, entonces si Q : Y → Y ∗ es la proyecci´on n n=1 adjunta de Qn , se tiene por (6.28) y debido a que la constante de base de {x∗n }∞ a K que Qn  = Q∗n  ≤ K. Por lo tanto n=1 es menor o igual ∞ para toda y ∈ Y con y = i=1 J (xi ) , y x∗i , Q∗n y ∗ , y

∗

= y , Qn y =

n i=1

J (xi ) , y y

es decir Q∗n y ∗ = y

n

i=1

J (xi ) y

∗

(x∗i )

≤

n i=1

∗

(x∗i )

=

4 n i=1

5

y

∗

(x∗i ) J

(xi ) , y ,

y ∗ (x∗i ) J (xi )

Q∗n  y ∗ 

≤ K y ∗  . De esto y (6.34) se tiene

  n     ∗ ∗ y (xi ) xi  ≤ K 2 y ∗  .    i=1



∗ ∗ Como la base es acotadamente completa, x = ∞ i=1 y (xi ) xi ∈ X y ∞ ∗ ∗ ∗ claramente Jx = J ( i=1 y (xi ) xi ) = y . Con esto probamos que J es suprayectiva y que X es isomorfo a Y ∗ .

Observaci´on : La propiedad de que la base {xn }∞ n=1 es acotadamente completa s´olo se us´o en el u ´ltimo p´arrafo, de manera que siempre que X tiene una base {xn }∞ , n=1 es cierto que X es isomorfo a un subespacio ∗ ∞ del dual de [xn ]n=1 . Faltar´ıa ver si la condici´on anterior tambi´en es necesaria en el sentido siguiente: ¿ser´a cierto que si Y es un espacio de Banach tal que X = Y ∗ tiene una base, entonces X tiene una base acotadamente completa? La respuesta a esto es afirmativa, pero no daremos la demostraci´on aqu´ı. El lector interesado la puede hallar en [20].

6.1. Bases de Schauder

247

Ejemplos La base can´onica en c0 no es acotadamente completa, ya que por ejemplo   m 

sup  n



i=1



ei  = 1, 

pero esta serie no converge en c0, pues la sucesi´on {1, 1, 1, ...} no pertenece al espacio. Sin embargo es f´acil ver que la base can´onica de lp para 1 ≤ p < ∞ s´ı es acotadamente completa. Veremos ahora qu´e es lo que pasa si una base de X es simult´aneamente reductora y acotadamente completa; en este caso el espacio resultar´a ser reflexivo, es m´as, si un espacio con base es reflexivo, entonces la base tiene que ser reductora y acotadamente completa. Un primer paso en esta direcci´on es el siguiente teorema, que nos permite representar al doble dual de un espacio con base reductora como un espacio de sucesiones. Teorema 6.26 Sea {xn }∞ n=1 una base reductora en un espacio de Banach X. Entonces el espacio X ∗∗ es isomorfo al espacio X de sucesiones {an }∞ n=1 ⊂ K tales que  n     sup  ai xi  < ∞  n  i=1

con la norma {an }∞ n=1 X

 n     = sup  ai xi  .  n  i=1

La identificaci´on est´ a dada por x∗∗ ↔ {x∗∗ (x∗1 ) , x∗∗ (x∗2 ) ...} = x. Si adem´ as {xn }∞ otona, entonces x∗∗  = xX . n=1 es mon´ Demostraci´ on: Podemos suponer que la constante de base de {xn }∞ n=1  es 1, ya que la norma en X dada por |x| = sup n  ni=1 ai xi  para  x= ∞ n=1 an xn ∈ X, es equivalente a la norma · y con respecto a ella la base es claramente mon´otona (ver el corolario 6.4).

248

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Sea {Pn }∞ on de las proyecciones asociadas a {xn }∞ n=1 la sucesi´ n=1 . ∞ Entonces por ser {xn }n=1 base reductora, {x∗n }∞ es una base de X ∗. n=1 Sea j la inyecci´on can´onica; recordemos que j es una isometr´ıa y que {j (xn )}∞ on de funcionales biortogonales asociada a la n=1 es la sucesi´ ∗ ∞ base {xn }n=1 (ver teorema 6.25). Por el lema 6.23 la base {x∗n }∞ otona y para cada x∗∗ ∈ X ∗∗ , n=1 es mon´ Pn∗∗ x∗∗ = y

n i=1

x∗∗ (x∗i ) j (xi )

sup Pn∗∗ x∗∗  = x∗∗  . n

Esto quiere decir que si T : X ∗∗ → (X , ·X ) est´a dado por T x∗∗ = {x∗∗ (x∗1 ) , x∗∗ (x∗2 ) , ...} = x, T es una isometr´ıa. Falta ver que T es suprayectiva. Supongamos que  {an }∞ ⊂ K es tal que supn  ni=1 ai xi  < ∞. Entonces la sucesi´on n n=1 { i=1 ai j (xi )}∞ a acotada en X ∗∗ . Consideremos en X ∗∗ la topon=1 est´ ∗∗ ∗ log´ıa σ (X , X ) o topolog´ıa d´ebil estrella (w∗ ). Como se coment´o en la secci´on 4.8, en esta topolog´ıa yn∗∗ →∗ x∗∗ si y s´olo si para toda x∗ ∈ X ∗ w

lim y ∗∗ n→∞ n

(x∗ ) = x∗∗ (x∗ ) .

(6.35) 

a Por el teorema de Banach-Alaoglu, la sucesi´on { ni=1 ai j (xi )}∞ n=1 est´ contenida en un conjunto σ (X ∗∗ , X ∗ ) compacto y por lo tanto tiene un subsucesi´on w∗ convergente. Supongamos que x∗∗ ∈ X ∗∗ es tal que mn i=1

ai j (xi ) →∗ x∗∗ . w

Entonces de (6.35) para toda x∗ ∈ X ∗ lim

n→∞

mn i=1

∗

ai x (xi ) = n→∞ lim

4m n i=1

5

ai j (xi ) , x

∗

= x∗∗ (x∗ ) .

En particular si x∗ = x∗n para alguna n, obtenemos que x∗∗ (x∗n ) = an ,

6.1. Bases de Schauder

249

lo cual implica que T x∗∗ = {an }∞ on del n=1 y termina la demostraci´ teorema. Como ya vimos que T es inyectiva, lo anterior tambi´en implica  que toda subsucesi´on w∗ convergente de { ni=1 ai j (xi )}∞ n=1 converge al n ∞ mismo l´ımite y en particular { i=1 ai j (xi )}n=1 converge en la topolog´ıa σ (X ∗∗ , X ∗ ) . Combinando los conceptos de base acotadamente completa y reductora obtenemos finalmente la siguiente caracterizaci´on de los espacios reflexivos con base. Teorema 6.27 Sea X un espacio de Banach con base {xn }∞ n=1 . Entonces X es reflexivo si y s´ olo si la base es a la vez reductora y acotadamente completa. Demostraci´ on: Supongamos primero que Si {xn }∞ n=1  X es reflexivo.   no es reductora, existe x∗ ∈ X ∗ tal que x∗ |[xi ]∞ no tiende a cero.  i=n  

 

es decreciente existen > 0 y para n = 1, 2, ... Como x∗ |[xi ]∞  i=n n ∞ yn ∈ [xi ]i=n tales que a) yn  = 1 b) x∗ (yn ) > para n = 1, 2, .... Por el corolario 4.69 podemos suponer sin p´erdida de generalidad  ∗ ebilmente convergente; sea y = ∞ que {yn }∞ n=1 xn (y) xn su n=1 es d´ l´ımite. Entonces limn→∞ x∗m (yn ) = x∗m (y) para cada m. Pero x∗m (yn ) = 0 si n > m, de modo que x∗m (y) = 0 para cada m, y esto implica que y = 0, lo cual contradice b), probando as´ı que {xn }∞ n=1 es reductora. Estamos ahora en la situaci´on del teorema 6.26, por lo tanto, si {an }∞ n=1 ⊂ K es tal que   n    sup  ai xi  < ∞,  n  i=1

entonces existe x∗∗ ∈ X ∗∗ con x∗∗ (x∗i ) = ai para cada i. Sea j la inyecci´on can´onica de X en X ∗∗ . Como X es reflexivo, {j (xn )}∞ n=1 es

250

6. Geometr´ıa de espacios de Banach 

base de X ∗∗ , de donde x∗∗ se puede expresar como x∗∗ = ∞ n=1 bn j (xn )  y claramente an = bn para toda n. Por ende ∞ a x converge en X n=1 n n ∞ y {xn }n=1 es acotadamente completa. Viceversa, supongamos que {xn }∞ n=1 es una base reductora y acotadamente completa de X. Para ver que X es reflexivo hay que probar que si x∗∗ ∈ X ∗∗ , existe x ∈ X tal que j (x) = x∗∗ . Sea pues x∗∗ ∈ X ∗∗ ; entonces por el teorema 6.26,   n    ∗∗ ∗ sup  x (xi ) xi  < ∞,  n  i=1

y por ser lo tanto

{xn }∞ n=1

acotadamente completa, y ∗∗ =

∞ n=1

∞

n=1

x∗∗ (x∗n ) xn ∈ X. Por

x∗∗ (x∗n ) j (xn ) ∈ X ∗∗ ,

∗ y como y = x (x∗n ) para cada n, y {x∗n }∞ n=1 es base de X , ∗∗ ∗∗ y = x , o sea que ∗∗

(x∗n )

∗∗

∗∗

x

=j

∞ n=1



x

∗∗

(x∗n ) xn

,

lo que completa la prueba. Ejemplos Como ya sabemos que los espacios lp con 1 < p < ∞ son reflexivos, el teorema anterior nos dice que la base can´onica y cualquier otra base en estos espacios es a la vez reductora y acotadamente completa.

6.1.3

Bases incondicionales

Existe otro tipo de bases que permiten conocer m´as a fondo a los espacios que las poseen, las bases incondicionales. Este concepto est´a muy ligado al de series incondicionalmente convergentes en un espacio de Banach, que detallaremos a continuaci´on. Definici´ on 6.28 Sea {xn }∞ una sucesi´ on en un espacio de Banach.  n=1 Diremos que la serie ∞ x converge incondicionalmente, si para n=1 n  ∞ cualquier permutaci´ on π de N, n=1 xπ(n) converge.

6.1. Bases de Schauder

251

Proposici´ on 6.29 Sea {xn }∞ on en un espacio de Banach n=1 una sucesi´ X. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) La serie

∞

n=1

xn es incondicionalmente convergente. 

(ii) Para toda > 0 existe un entero N tal que  i∈σ xi  < para todo conjunto finito σ ⊂ N con min {i ∈ σ} > N. 

(iii) La serie ∞ on de naturales i=1 xni converge para cualquier sucesi´ n1 < n2 < ... 

on {θn }∞ (iv) La serie ∞ n=1 θn xn converge para cualquier sucesi´ n=1 con θn = ±1 para n = 1, 2, ... Demostraci´ on: Veremos que (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (ii) ⇒ (i) . (i) ⇒ (ii) Supongamos que (ii) es falso. Entonces existen > 0 

     xi  ≥ y tambi´en para toda n existe un y σ1 ⊂ N finito tal que  i∈σ1 

conjunto finito σn ⊂ N tal que para n = 2, ...

       xi  ≥ . max {i ∈ σn } < min {i ∈ σn+1 } = pn+1 y  i∈σn 

(6.36)

Si rn + 1 denota la cardinalidad de σn , como pn + rn ≤ max {i ∈ σn } < pn+1 , existe una permutaci´on π de N tal que para n = 1, 2, ... π −1 (σn ) = {pn , pn + 1, ..., pn + rn } . 

∞

n Pero entonces obviamente la sucesi´on k=1 xπ(k) n=1 no es de Cauchy.  ∞ (ii) ⇒ (iii) Esto es trivial, pues (ii) implica que { m i=1 xni }m=1 es una sucesi´on de Cauchy.  (iii) ⇒ (iv) Supongamos que ∞ i=1 xni converge para cualquier sucesi´on de naturales n1 < n2 < ... y sea {θn }∞ n con θn = ±1 para n = 1, 2, .... Sea

{ni : i = 1, 2, ...} = {n ∈ N : θn = 1}

252

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

con n1 < n2 < ... y sea {mi : i = 1, 2, ...} = {n ∈ N : θn = −1} . con m1 < m2 < ... Entonces dado > 0, existe N tal que si i > j > N      i   i     



   y  xmk  < . xnk  <  2 2 k=j  k=j 

Por lo tanto si m > n > max (nN , mN )   m    θk xk  < ,    k=n

n

es decir, { k=1 θk xk }∞ on de Cauchy que por lo tanto n=1 es una sucesi´ converge. (iv) ⇒ (ii) Supongamos que se satisface (iv) pero (ii) no. Sea {σn }∞ n=1 como en (6.36). Sea 

θi = Como tanto

∞

i=1

1 si i ∈ σn para alguna n −1 si no

xi como

∞

i=1 θi xi



2

i∈∪n σn

xi =

convergen,

∞ i=1

xi +

∞ i=1

θi x i

deber´ıa de converger, pero esto contradice (6.36). (ii) ⇒ (i) Sean π : N → N una permutaci´on de los naturales y > 0. Sea N tal que si σ es un subconjunto finito de N y min {i ∈ σ} > N,  se tiene que  i∈σ xi  < . Sea M = max {i : π (i) ≤ N }. Entonces si m > n > M,   m    xπ(i)  < ,   



i=n

n lo cual significa que i=1 xπ(i) secuentemente converge.

∞ n=1

es una sucesi´on de Cauchy y con-

6.1. Bases de Schauder

253



Corolario 6.30 Si ∞ n=1 xn es una serie incondicionalmente convergente en un espacio de Banach X, entonces existe x ∈ X tal que para toda permutaci´ on π de N, ∞ n=1

xπ(n) = x.

Demostraci´ on: Sean π una permutaci´on de los naturales y > 0. Sea N tal que se satisfaga (ii) de la proposici´on 6.29 y sea M = max {i : π (i) ≤ N } . Entonces si n > M     n   n        xi − xπ(i)  ≤ 2 , xi − xπ(i)  =      i=N +1 i=1 {i≤M :π(i)>N }

y esto prueba lo que quer´ıamos demostrar. Despu´es de estos pre´ambulos daremos la definici´on de base incondicional. X se Definici´ on 6.31 Una base {xn }∞ n=1 en un espacio de Banach  llama base incondicional, si para toda x ∈ X su expansi´ on ∞ n=1 an xn en t´erminos de la base, converge incondicionalmente. De la proposici´on 6.29 se deducen las siguientes definiciones equivalentes de base incondicional. on b´asica en un espacio de BaTeorema 6.32 Sea {xn }∞ n=1 una sucesi´ nach. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: on b´ asica incondicional. (i) {xn }∞ n=1 es una sucesi´ (ii) Para todo subconjunto σ de N la convergencia de  plica la convergencia de i∈σ ai xi . 



∞

n=1

an xn im-

∞ (iii) Si ∞ n=1 an xn converge, entonces n=1 θn an xn converge para toda ∞ sucesi´on {θn }n=1 , donde θn = ±1 para n = 1, 2, ...

254

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

(iv) Si |bn | ≤ |an | para toda n, la convergencia de  la convergencia de ∞ n=1 bn xn .

∞

n=1

an xn implica

Demostraci´ on: La equivalencia de (i) , (ii) y (iii) se sigue de inmediato de la proposici´on 6.29. Es claro que (iv) implica (iii) . Veremos  que (i) implica (iv) . Si π es una permutaci´on de N y ∞ n=1 an xn ∈ X, ∞ tambi´en n=1 aπ(n) xπ(n) ∈ X, de manera de que si x∗ ∈ X ∗ , se satis







 ∞ ∗ ∗ facen tanto | ∞ xπ(n)  < ∞. n=1 an x (xn )| < ∞ como  n=1 aπ(n) x ∞ Consecuentemente la serie n=1 an x∗ (xn ) ⊂ K es incondicionalmente convergente, y, como en R y en C la convergencia incondicional de series es equivalente a la convergencia absoluta, tenemos que

A=

∞ n=1

|an x∗ (xn )| < ∞.

Sea ahora {bn }∞ n=1 tal que |bn | ≤ |an | . Entonces para todo subconjunto finito σ de N,    ∞    ∗ bn xn  ≤ |bn x∗ (xn )| ≤ A, x   n∈σ

n=1

lo cual, por el principio de acotamiento uniforme aplicado a la familia  

G= j



n∈σ





bn xn : |bn | ≤ |an | para n ∈ N y σ es finito

,

∗∗

∞ donde j es la inyecci´on can´onica de [xn ]∞ n=1 en ([xn ]n=1 ) , implica que

 

    B = sup  bn xn  : |bn | ≤ |an | para n ∈ N y σ es finito < ∞.  n∈σ

Si para

∞

n=1

(6.37) an xn ∈ X definimos   ∞    an xn  = B,    n=1

(6.38)

1

entonces es f´acil ver que ([xn ]∞ , |·|1 ) es un espacio normado com∞ ∞ n=1 pleto y  n=1 an xn  ≤ | n=1 an xn |1 .

6.1. Bases de Schauder

255

∞ Por lo tanto si T : ([xn ]∞ a dada por n=1 , |·|1 ) → ([xn ]n=1 , ·) est´

T

∞ n=1

an x n =

∞ n=1

an x n ,

claramente T es biyectiva y continua y, aplicando el teorema de la funci´on inversa, resulta que existe C ∈ R tal que para cada x ∈ X, x ≤ |x|1 ≤ C x .

(6.39)

Por lo anterior, si > 0, existe N ∈ N tal que si n ≥ m > N,  n   n         br xr  ≤  ar xr  < ,  r=m  r=m  1 

n on de Cauchy en X y por ende es decir { m r=1 br xr }m=1 es una sucesi´ convergente.

Corolario 6.33 Sean X un espacio de Banach con base incondicional  {xn }∞ finito de los naturales. Dada x = ∞ n=1 an xn n=1 y σ un subconjunto  definimos Pσ x = n∈σ an xn . Entonces Pσ es una proyecci´ on y sup {Pσ  : σ ⊂ N, σ finito } < ∞. Demostraci´ on: Se sigue de inmediato de (6.37). Corolario 6.34 Sea X un espacio de Banach con base incondicional {xn }∞ on θ = {θn }∞ n=1 . Si para cada sucesi´ n=1 , donde para n = 1, 2, ... θn = ±1, definimos Mθ : X → X mediante Mθ

∞ n=1

an x n =

∞ n=1

θn an x n ,

umero entonces Mθ es un operador acotado y supθ Mθ  < ∞. Al n´ K = supθ Mθ  se le llama la constante de incondicionalidad de {xn }∞ as si definimos en X n=1 . Adem´     ∞ ∞        an xn  = sup  θn an xn  ,     θ  n=1

0

n=1

256

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

|·|0 es una norma equivalente a la norma · en X tal que       ∞ ∞ ∞             an x n  , an xn  ≤ K  an xn  ≤         n=1

n=1

0

(6.40)

n=1

y con esta nueva norma la constante de incondicionalidad de {xn }∞ n=1 es 1. Demostraci´ on: Se obtiene aplicando nuevamente la desigualdad (6.37) y el teorema de la funci´on inversa como en la demostraci´on de (6.39). Intuitivamente es claro que una base seminormalizada {x }∞ de

∞ n n=1 xn ber´ıa de ser equivalente a la base normalizada . Aunque xn  n=1 esto es cierto, la prueba es bastante engorrosa. Sin embargo, cuando la base es incondicional la demostraci´on es muy sencilla como se muestra a continuaci´on. Lema 6.35 Si {xn }∞ seminormalizada en n=1 es una baseincondicional

∞ xn es una base equivalente un espacio de Banach X, entonces xn  n=1 a {xn }∞ n=1 . 

∞

xn es tambi´en una base incondiDemostraci´ on: Es claro que xn  n=1 ∞ cional de X, ya que si n=1 an xn ∈ X, ∞ n=1

an x n =

∞ n=1

an xn 

xn . xn 

1  ≤ xn  ≤ M y que ∞ n=1 an xn ∈ X. M    a    n  ∞ Entonces ∞  ≤ M |an | y {xn }n=1 es n=1 M an xn ∈ X, y como  xn   incondicional, ∞ xn ∈ X. an x n n=1 Supongamos que si n ∈ N,

6.1. Bases de Schauder

∞ xn xn ∈ X, entonces ∈ X y como M an xn  n=1  xn 

n=1 ∞ xn es incondicional, |an xn | ≤ M |an | y xn  n=1

Viceversa, si

∞

257

an

∞ n=1

an x n =

∞ n=1

an xn 

xn ∈ X. xn 

Ejemplos Los ejemplos m´as sencillos de bases incondicionales son las bases can´op nicas {ei }∞ i=1 de los espacios l , 1 ≤ p < ∞ y de c0 .  ξn = ni=1 ei , no Sin embargo la base sumante {ξn }∞ n=1 en c0 donde     es incondicional, pues por ejemplo  ni=1 ξi  = n y  ni=1 (−1)i ξi  = 1 de manera que para toda K ∈ R, K > 0, si n ≥ K       n n n           i  K = K  (−1) ξi  ≤ n =  ξi  ≤ sup  θi ξi  ,      θi =±1  i=1 i=1 i=1

lo cual contradice (6.40) del corolario 6.34. Los espacios de Banach, como ya mencionamos, todos contienen una sucesi´on b´asica y una pregunta abierta hasta hace poco tiempo es si tambi´en contienen una sucesi´on b´asica incondicional. Sin embargo, en 1993 W.T. Gowers y B. Maurey en [14] construyeron un espacio de Banach que no contiene ninguna sucesi´on b´asica incondicional. James [19] demostr´o que para averiguar si una base incondicional en un espacio de Banach X es reductora o acotadamente completa basta saber si X contiene a l1 o a c0 . Teorema 6.36 Sea X un espacio de Banach con una base incondi∞ olo si X no tiene cional {xn }∞ n=1 . Entonces {xn }n=1 es reductora si y s´ 1 ning´ un subespacio cerrado isomorfo a l , es decir si y s´ olo si no existe ning´ un operador lineal acotado biyectivo entre un subespacio cerrado de X y l1 .

258

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Demostraci´ on: Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que la norma en X es la norma |·|1 definida en (6.38) del teorema 6.32. Si l1 es isomorfo a un subespacio cerrado F de X, entonces por el teorema 4.74, F ∗ se puede identificar con X ∗ /F ⊥ . Como F ∗ no es separable, X ∗ tampoco lo es y por lo tanto las funcionales biortogonales ∞ ∞ ∗ {x∗n }∞ n=1 asociadas a {xn }n=1 no pueden ser base de X , es decir {xn }n=1 no es reductora. ∞ Viceversa,    que {xn }n=1 no es reductora.  supongamos    es decreciente, existen > 0 y x∗ ∈ X ∗ , que  Como x∗ [xi ]∞ i=n 1 n podemos suponer tiene norma 1, tal que     ∗  ∞  x [xi ]i=k  > > 0. 1

(6.41)

Veremos que esto implica que existen una sucesi´on creciente {nk }∞ k=1 nk+1 −1 y una sucesi´on {yk }∞ , |yk |1 = 1 y tal que x∗ (yk ) k=1 con yk ∈ [xi ]i=nk

es real y x∗ (yk ) ≥ . 2 Pero entonces si {ai }m i=1 ⊂ R,  m   m  m  m    

    ∗ |ai | ≥  ai yi  =  |ai | yi  ≥ x |ai | , |ai | yi ≥     2 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 1 1

m

1 es decir el subespacio [yi ]∞ i=1 de X es isomorfo a l mediante el isomor∞ fismo T (yi ) = ei , donde {ei }i=1 es la base can´onica de l1 . Procedemos ahora a construir la sucesi´on anunciada: De (6.41) se obtiene una sucesi´on {zk }∞ k=1 tal que

zk =

∞ (k) i=k

ai xi , |zk |1 = 1, | x∗ (zk )| > .

(6.42)

∞ Construimos las sucesiones {yk }∞ k=1 ⊂ X y {nk }k=1 ⊂ N como sigue: Sea n1 = 1; como la serie para z1 es convergente existe n2 > n1 tal que

     ∞ (1) 

  a x i  < . i  2  i=n2 1

Sea

eiθ1

n2 −1 (1)

a xi i=n1 i  , y1 =  n2 −1 (1) a x  

i=n1

i

i  1

6.1. Bases de Schauder

259

donde θ1 es tal que x∗ (y1 ) ≥ 0. Supongamos que ya construimos θ1 , θ2 , ..., θk ∈ [0, 2π) , y1 , ..., yk ∈X y n1 < n2 < ... < nk+1 tales que para j = 1, ..., k   ∞

 (i) 

(nj )

i=nj+1

eiθj

ai

nj+1 −1 (nj ) i=n

(ii) yj =  n −1j j+1  





xi  < , 2 1

i=nj

ai

xi

 (n )  ai j xi 

donde θj es tal que x∗ (yj ) ≥ 0.

1

Como la serie para znk+1 es convergente, existe nk+2 > nk+1 tal que    ∞   

(n ) k+1  ai xi  < .  2 i=nk+2  1

Sea

eiθk+1

nk+2 −1 (n ) k+1

ai xi i=n  , yk+1 =  n −1 k+1 k+2 (n )   ai k+1 xi   i=n k+1

∗

donde θk+1 es tal que x (yk+1 ) ≥ 0. 

1





  nj+1 −1 (n )  Como znj  = 1, se tiene que 0 <  i=n ai j xi  ≤ 1 para 1 j 1 toda j natural. k+1 −1 , |yk |1 = 1, usando (6.42), (i) y (ii) obteYa que yk ∈ [xi ]ni=n k nemos    1  (nk ) (nk )  ∞ x∗ (yk ) = nk+1 −1 (nk )  x∗ xi − ∞ xi  ≥ i=nk ai i=nk+1 ai  i=nk ai xi  1

   



1 (nk )  ∞ xi  ≥ − = . ≥ nk+1 −1 (nk )  − x∗ i=nk+1 ai 2 2  i=nk ai xi  1

Con esto terminamos la prueba del teorema. Tenemos tambi´en el correspondiente teorema dual para bases acotadamente completas y c0 :

260

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Teorema 6.37 Sea X un espacio de Banach con base incondicional {xn }∞ n=1 . Entonces, si X no contiene un subespacio cerrado isomorfo a c0 , {xn }∞ n=1 es acotadamente completa El inverso de este teorema tambi´en es verdadero, pero para probarlo se necesitan varios resultados que no est´an al alcance de este libro. El lector interesado puede consultar la referencia [23]. Demostraci´ on: Nuevamente supondremos sin p´erdida de generalidad que X est´a dotado con la norma |·|1 . Supongamos que la base {xn }∞ n=1 no es acotadamente completa. ∞ Entonces existe una sucesi´on {ai }i=1 ⊂ K tal que   m    sup  ai xi  < ∞  m  i=1

1

 pero ∞ ai xi no converge. Podemos suponer sin perder generalidad i=1 m

que | i=1 ai xi |1 < 1 para toda m. Entonces si A ⊂ N es un conjunto finito, por definici´on de la norma |·|1       ai xi  < 1.    i∈A



(6.43)

1

Como la serie ∞ n=1 an xn no converge, no es de Cauchy y podemos ∞ encontrar una > 0 y dos sucesiones de naturales {nk }∞ k=1 y {mk }k=1 tales que nk < mk < nk+1 y      mk   ai xi  > .  i=nk 

(6.44)

1

Sea yk =

mk

i=nk

ai xi ; de (6.43) obtenemos que si A=

r 

{i ∈ N : nk ≤ i ≤ mk } ,

k=1

entonces

    r        yk  =  ai xi  < 1.      k=1

1

i∈A

1

(6.45)

6.2. Subespacios complementados

261

Si {bk }rk=1 ⊂ K, usando nuevamente la definici´on de |·|1 , (6.44) y (6.45), se tiene que

supk |bk | < supk |bk | |yk |1 = supk |bk yk |1 ≤ r

≤ |

k=1 bk yk |1

r

≤ supk |bk | |

r

= |

k=1

k=1

|bk | yk |1 ≤

yk |1 < supk |bk | .

Entonces si definimos T : [yk ]∞ k=1 → c0 mediante T yk = ek , donde {ek }∞ es la base can´ o nica de c 0 , T es un isomorfismo y esto termina k=1 la prueba del teorema. Los dos teoremas anteriores tienen como consecuencia el siguiente resultado, debido tambi´en a James, que caracteriza a los espacios reflexivos con base incondicional. Teorema 6.38 Sea X un espacio de Banach con base incondicional {xn }∞ olo si no contiene ning´ un subn=1 . Entonces X es reflexivo si y s´ espacio cerrado isomorfo a l1 ni a c0 . Demostraci´ on: Si X contuviese a c0 o a l1 , no podr´ıa ser reflexivo ya que ninguno de estos dos espacios lo es, y subespacios cerrados de espacios reflexivos tambi´en son reflexivos (corolario 4.77). Si X no contiene ni a l1 ni a c0 , por los dos teoremas anteriores {xn }∞ n=1 resulta ser tanto reductora como acotadamente completa, y por el teorema 6.27 X es reflexivo.

6.2

Subespacios complementados

Como ya vimos, las proyecciones ortogonales juegan un papel muy importante en el estudio de los espacios de Hilbert. En el caso de los espacios de Banach se generaliza este concepto de proyecci´on, conservando algunas de las propiedades que dichos operadores tienen en los espacios de Hilbert. Si H es un espacio de Hilbert y P es una proyecci´on ortogonal, I − P tambi´en lo es y todo elemento h ∈ H se escribe de manera u ´nica como h = h1 + h2 con h1 ∈ P H y h2 ∈ (I − P ) H. Veremos que este resultado sigue siendo v´alido para espacios de Banach.

262

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Para empezar recordaremos la noci´on de suma directa F ⊕ G de dos subespacios de un espacio de Banach (X, ·) . Decimos que X es la suma directa de F y G, si F y G son dos subespacios cerrados de X tales que 1. F ∩ G = {0} . 2. F + G = X. De aqu´ı se deduce que si x ∈ X, x se puede escribir de manera u ´nica como x = y + z con y ∈ F y z ∈ G. Frecuentemente se dota a F ⊕ G 1/p con una norma del tipo y + zp = (yp + zp ) para 1 ≤ p < ∞ y en este caso se escribe la suma como F ⊕p G que resulta ser un espacio de Banach. Ya se mencion´o en el cap´ıtulo de espacios de Banach que todas las normas con 1 ≤ p < ∞ son equivalentes en R2 . Adem´as, si definimos el operador T : F ⊕1 G → F ⊕G ⊂ X como T (y ⊕ z) = y +z, entonces T es evidentemente biyectiva y T (y ⊕ z) = y + z ≤ y + z = y ⊕ z1 , es decir T  ≤ 1. Aplicando el teorema de la funci´on inversa, vemos que T −1 tambi´en es un operador acotado, o sea que existe C tal que y + z ≤ C y + z .

(6.46)

Esto prueba que ·1 y por ende ·p , para 1 ≤ p < ∞, es equivalente a · en F ⊕ G. Un concepto muy ligado al de proyecci´on es el de subespacio complementado en un espacio de Banach: Definici´ on 6.39 Sea X un espacio de Banach. Un subespacio cerrado F de X se llama complementado, si existe una proyecci´on P de X sobre F. Lema 6.40 Si un subespacio F de un espacio de Banach X es complementado y P : X → F es una proyecci´on de X sobre F, entonces I − P tambi´en es una proyecci´ on y todo elemento x ∈ X se puede escribir de manera u ´nica como x = x1 + x2 con x1 ∈ F y x2 ∈ (I − P ) X = G, es decir X = F ⊕ G. Viceversa, si X = F ⊕ G, entonces F y G son subespacios complementados de X.

6.2. Subespacios complementados

263

Demostraci´ on: Si P : X → F es una proyecci´on de X sobre F, entonces (I − P ) ◦ (I − P ) = (I − P ) − (I − P ) ◦ P = I − P − P + P = I − P, o sea que I − P es una proyecci´on. Si x ∈ X, es claro que x = P x + (I − P ) x. Supongamos que x = x1 + x2 con x1 ∈ F y x2 ∈ G. Entonces existen z1, z2 ∈ X tales que x1 = P z1 y x2 = (I − P ) z2 y de ah´ı P x = P P z1 + P (I − P ) z2 = P z1 = x1 . De manera semejante obtenemos que x2 = (I − P ) x, lo que prueba que X = F ⊕ G. Rec´ıprocamente, si X = F ⊕ G y definimos P : X → X mediante P x = x1 si x = x1 + x2 con x1 ∈ F y x2 ∈ G, es claro que P ◦ P = P. Adem´as, usando (6.46) tenemos que P x = x1  ≤ x1  + x2  ≤ C x1 + x2  = C x , lo cual demuestra que P es una proyecci´on acotada y por lo tanto F es un espacio complementado; como G = (I − P ) X, G tambi´en es complementado. Se le ocurre a uno preguntar si existe alg´ un espacio de Banach tal que todos sus subespacios cerrados son complementados. La respuesta a esto es s´ı, pues si X es un espacio de Hilbert posee esta propiedad ( teorema 3.14 ) . Pero, ¿habr´a espacios que no son de Hilbert con esta propiedad? Aunque esta cuesti´on es mucho m´as complicada, J. Lindenstrauss y L. Tzafriri en 1971 probaron que los espacios de Hilbert son los u ´nicos espacios tales que todo subespacio cerrado es complementado. Sin embargo en todo espacio de Banach es cierto que todo subespacio de codimensi´on finita es complementado. Esto lo probamos a continuaci´on para espacios de codimensi´on 1 y dejamos al lector el caso general.

264

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Proposici´ on 6.41 Sean X un espacio de Banach, H un subespacio de codimensi´on 1 cerrado y > 0. Entonces existe una proyecci´on P : X → X con P X = H tal que P  < 2 + y I − P  < 1 + , donde I : X → X es el operador identidad. Demostraci´ on: Por el corolario 5.25 y la proposici´on 4.27 existe T T : X → K lineal continua tal que ker T = H. Tomando en lugar T  de T, podemos suponer que T  = 1. Por lo tanto existe x0 ∈ X con x0  = 1 tal que 1 . T x0  > 1+

Tx Sea P : X → X la funci´on dada por P x = x − x0 . Entonces T x0 Tx x0 . (I − P ) x = T x0 Claramente, si x ∈ H, como T x = 0, tenemos que P x = x. Adem´as TPx = Tx −

Tx T x0 = 0. T x0

Por lo tanto P es una proyecci´on sobre H. Como (I − P ) x =

T x T x x0  = < (1 + ) T  x , T x0  T x0 

resulta que I − P  < 1 + y P  < 2 + . De la proposici´on anterior se obtiene el interesante resultado que todos los hiperplanos en un espacio de Banach son uniformemente isomorfos entre s´ı. Teorema 6.42 Sean X un espacio de Banach y H1 , H2 subespacios de codimensi´on 1 cerrados de X. Entonces, dado > 0 existe un isomorfismo T : H1 → H2 suprayectivo tal que T  < 3 + y T −1  < 3 + . Demostraci´ on: Sean K = H1 H2 ; veremos que K es de codimensi´on 1 en Hi , i = 1, 2. Por el lema 4.29 K es de codimensi´on 2 en X. Supongamos que X = K sp {x, y} ; debido a que X = H1 , ´o x ∈ / H1 ´o

6.2. Subespacios complementados

265

y∈ / H1 . Sea ahora P : X → X una proyecci´on sobre H1 y supongamos que (I − P ) X = sp {z}, (I − P ) x = αz, (I − P ) y = βz y β = 0. Entonces si h ∈ H1 , existen k ∈ K y μ, ν ∈ R tales que h = k + μx + νy = k + μP x + vP y + μαz + vβz. 



, h = k + μ x − αβ y y x − αβ y ∈ H1 . Por lo tanto μα + νβ = 0, ν = − μα β -





Consecuentemente H1 = K sp x − αβ y . An´alogamente se ve que K es de codimensi´on 1 en H2 . Sean Pi : Hi → Hi las proyecciones sobre K dadas en la proposici´on



6.41 tales que Pi  < 2 + , I − Pi  < 1 + , i = 1, 2. Sea hi ∈ Hi 2 2 con hi  = 1 tal que hi ∈ (I − Pi ) Hi . Entonces para i = 1, 2, Hi = K [hi ] . Si k ∈ K y λ ∈ K,definimos T : H1 → H2 mediante T (k + λh1 ) = k + λh2 . Claramente T es lineal y biyectiva; adem´as T (k + λh1 ) = k + λh2  ≤ k + λh2  = k + λh1  = = P1 (k + λh1 ) + (I − P1 ) (k + λh1 ) < (3 + ) k + λh1  . Consecuentemente T  < 3 + y como T −1 (k + λh2 ) = k + λh1 , por los mismos argumentos obtenemos que T −1  < 3 + . Basado en los ejemplos conocidos Banach se pregunt´o si todo espacio de Banach es isomorfo a sus hiperplanos. Si embargo en 1994 W. T. Gowers en [13] exhibi´o un espacio de Banach que no es isomorfo a sus hiperplanos. En el cap´ıtulo de espacios de Banach demostramos que si F es un subespacio cerrado de un espacio de Banach X, entonces el espacio dual de F se puede identificar con el cociente X ∗ /F ⊥ . Cuando el espacio F es complementado y X = F ⊕ G, resulta que sucede lo que nos gustar´ıa que sucediera, es decir X ∗ se puede identificar con F ∗ ⊕ G∗ lo cual implica que F ∗ se puede ver como un subespacio de X ∗ . Lema 6.43 Sea X un espacio de Banach y supongamos que F y G son subespacios cerrados de X tales que X = F ⊕G. Entonces X ∗ se puede identificar isomorfamente con F ∗ ⊕ G∗ .

266

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Demostraci´ on: Sea P : X → F una proyecci´on de X sobre F. Veremos que el operador adjunto P ∗ : F ∗ → X ∗ es un isomorfismo entre F ∗ y un subespacio cerrado de X ∗ . Por el teorema 4.83 ker P ∗ = R (P )⊥ = {0} , de modo que P ∗ es inyectiva. Llamemos Y a P ∗ F ∗ ; probaremos que Y es un subespacio cerrado y complementado de X ∗ . Para esto consideremos la inclusi´on i : F → X, dada para f ∈ F por if = f. Entonces el operador (iP )∗ : X ∗ → X ∗ es una proyecci´on acotada sobre Y ya que si x ∈ X, x∗ ∈ X ∗ , (iP )∗ ◦ (iP )∗ x∗ , x = (iP )∗ x∗ , iP x = (iP )∗ x∗ , P x = = x∗ , iP P x = x∗ , iP x = (iP )∗ x∗ , x y por lo tanto (iP )∗ es una proyecci´on. Como iP es acotado, (iP )∗ es tambi´en un operador acotado. Adem´as si f ∗ ∈ F ∗ , por el teorema de Hahn Banach existe x∗ ∈ X ∗ tal que x∗ |F = f ∗ . Entonces para toda f ∈ F i∗ x∗ , f  = x∗ , if  = f ∗ , f  , es decir, i∗ : X ∗ → F ∗ es suprayectiva. Por lo tanto (iP )∗ X ∗ = P ∗ i∗ X ∗ = P ∗ F ∗ = Y. En resumen hemos demostrado que Y = (iP )∗ X ∗ , pero como (iP )∗ es una proyecci´on, esto por el lema 6.6 implica que Y es cerrado. Como P ∗ es un operador biyectivo de F ∗ sobre Y , aplicando el teorema de la funci´on inversa obtenemos que F ∗ es isomorfo a Y. Tenemos finalmente que X ∗ = (iP )∗ X ∗ ⊕ (I − iP )∗ X ∗ y Y = (iP )∗ X ∗ es isomorfo a F ∗ . Usando el mismo proceso para G∗ , es claro que este espacio es isomorfo a (I − iP )∗ X ∗ ; lo cual finaliza la prueba.

6.2. Subespacios complementados

267

Como mencionamos antes, los espacios de Hilbert H son los u ´nicos espacios de Banach tales que todo subespacio cerrado es complementado y veremos que tambi´en tienen la propiedad de que si H = F ⊕ G, ya sea F o G es isomorfo a H. Sin embargo existen otros espacios X que comparten esta propiedad; es m´as, existen espacios X, entre ellos los espacios de Hilbert separables, tales que cada vez que X = F ⊕G, y tanto F como G tienen dimensi´on infinita, entonces ambos son isomorfos a X. Definici´ on 6.44 Sea X un espacio de Banach de dimensi´on infinita. (i) Si todo subespacio cerrado complementado de dimensi´ on infinita de X es isomorfo a X, entonces se dice que X es un espacio primo. (ii) Si cada vez que X = F ⊕ G, entonces ya sea F o G es isomorfo a X, se dice que X es primario. Ejemplos Veremos m´as adelante que los espacios c0 y lp son primos si 1 ≤ p < ∞. Si H es un espacio de Hilbert, entonces H es primario. En efecto, supongamos que H = H1 ⊕ H2 . Entonces claramente H1 y H2 con la norma heredada de H son espacios de Hilbert ya que son cerrados. Si {φα }α∈A es una base ortonormal de H1 y {ψβ }β∈B es una base ortonormal de H2 , entonces{φα }α∈A ∪ {ψβ }β∈B es una base ortonormal de H y por el teorema 3.33, H es isomorfo a l2 (A ∪ B) , H1 es isomorfo a l2 (A) y H2 es isomorfo a l2 (B) . No es muy dif´ıcil ver que l2 (A) es isomorfo a l2 (B) si y s´olo si la cardinalidad de A es igual a la cardinalidad de B. Pero se sabe que si A ∪ B es un conjunto infinito y A ∩ B = ∅, card (A ∪ B) = card (A) + card (B)

(6.47)

y que si C es un conjunto infinito y tanto card (A) < card (C) como card (B) < card (C) , entonces card (A) + card (B) < card (C) .

(6.48)

268

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

De (6.47) y (6.48) se obtiene que ya sea card (A) = card (A ∪ B) o bien card (B) = card (A ∪ B) . En el primer caso se tiene que H1 es isomorfo a H y en el segundo que H2 es isomorfo a H. La misma prueba demuestra que si H es separable, entonces es primo. Los resultados sobre cardinalidad se pueden encontrar en [15]. Para probar que un espacio es primario frecuentemente se usa una t´ecnica conocida como m´ etodo de descomposici´ on de Pelczynski, que se refiere a la aritm´etica entre espacios que son suma directa de una infinidad de sumandos. En lo que sigue, si F y G son espacios de Banach isomorfos, escribiremos F ≈ G y si F y G son isom´etricos, F ≡ G. Debido a que en el caso finito las normas que se obtienen tomando diferentes valores de p ≥ 1 son equivalentes, frecuentemente escribiremos X1 ⊕ X2 ⊕ ... ⊕ Xm en lugar de (X1 ⊕ X2 ⊕ ... ⊕ Xm )p sin especificar de cu´al p estamos hablando. Lema 6.45 Sea 1 ≤ p < ∞. Entonces (a) Si (F, ·F ) y (G, ·G ) son espacios de Banach tales que F ≈ G, entonces (F ⊕ F ⊕ ....)p ≈ (G ⊕ G ⊕ ...)p . (b)

(lp ⊕ lp ⊕ ...)p ≡ lp .

(c) Si (F, ·F ) y (G, ·G ) son espacios de Banach, entonces 



(F ⊕ G)p ⊕ (F ⊕ G)p ⊕ ...



p

≡

≡ (F ⊕ F ⊕ ...)p ⊕ (G ⊕ G ⊕ ...)p

 p

y de ah´ı se puede deducir que 

(F ⊕ G)p ⊕ (F ⊕ G)p ⊕ ...



p

≈ (F ⊕ F ⊕ ...)p ⊕ (G ⊕ G ⊕ ...)p .

6.2. Subespacios complementados

269

(d) Para todo espacio de Banach F 

F ⊕ (F ⊕ F ⊕ ...)p

 p

≡ (F ⊕ F ⊕ ...)p

y de esto se puede deducir que F ⊕ (F ⊕ F ⊕ ...)p ≈ (F ⊕ F ⊕ ...)p Demostraci´ on: (a) Sea T : F → G un isomorfismo. Si x = {xn }∞ n=1 , entonces S : (F ⊕ F ⊕ ....)p → (G ⊕ G ⊕ ...)p dado por Sx = {T xn }∞ n=1 es un isomorfismo ya que claramente S es biyectivo y Sx =

∞ n=1

1

p

T xn pG

≤

∞

1 p

T 

n=1

xn pF

p

= T  x .

Por lo tanto S ≤ T  . Usando el mismo argumento para T −1 tenemos el resultado deseado. (b) Sea {en }∞ onica de lp . n=1 la base can´ p p Consideremos en (l ⊕ l ⊕ ...)p los elementos de la forma ⎧ ⎪ ⎨

⎫ ⎪ ⎬

fij = ⎪0, ..., 0, ei , 0, 0...⎪ . ⎩) *+ , ⎭ j−1

p p No es dif´ıcil ver que {fij }∞ i,j=1 es una base para X = (l ⊕ l ⊕ ...)p . on biyecComo {fij }∞ i,j=1 es un conjunto numerable, existe una funci´ ∞ ∞ tiva T : {fij }i,j=1 → {en }n=1 (por ejemplo T fij = e (i+j−2)(i+j−1) +j ). Si ex2 tendemos T linealmente a X y aij ∈ K para i = 1, ..., n y j = 1, ..., m,

    1  1 m n   p p p p n m m a f = |a | =  a e  = T n  i=1 j=1 ij ij i=1 j=1 ij j=1 i=1 ij i 

= 

n i=1



m

 j=1 aij fij  .

Esto termina la prueba, pues evidentemente T es una isometr´ıa suprayectiva entre X y lp .  (c) Sea T : (F ⊕ G)p ⊕ (F ⊕ G)p ... → (F ⊕ F...)p ⊕ (G ⊕ G...)p p

∞ ∞ dado por T {{xn , yn }}∞ n=1 = {{xn }n=1 , {yn }n=1 } .

270

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Entonces T es lineal y biyectiva; adem´as ∞ ∞ T {{xn , yn }}∞ n=1  = {xn }n=1 , {yn }n=1  = p

p

1

∞ p ({xn }∞ n=1  + {yn }n=1  ) =

∞

=(

i=1

1

∞

xi pF + yi pG ) p = (

i=1

1

{xi , yi }p ) p = {{xn , yn }}∞ n=1  .

Es decir, T es una isometr´ıa. De aqu´ı la otra conclusi´on se sigue de inmediato.   (d) Sea ahora T : F ⊕ (F ⊕ F ⊕ ...)p → (F ⊕ F ⊕ ...)p dado por p

T {x, {xn }∞ n=1 } = {x, x1 , x2 , ...} para x, xn ∈ F, n = 1, 2, ... Entonces claramente T es biyectiva y p T {x, {xn }∞ n=1 } = (xF + p

∞

n=1

1

xn pF ) p =

1

∞ p (xpF + {xn }∞ n=1  ) = {x, {xn }n=1 } .

Por lo tanto T es una isometr´ıa. La otra afirmaci´on es obvia a partir de aqu´ı.

6.3

Los espacios lp y c0

En esta secci´on discutiremos propiedades adicionales de los espacios lp que fueron definidos en el cap´ıtulo 4 y que ya nos han servido para ilustrar varios de los temas que se han estudiado hasta el momento. Estos espacios se conocen desde tiempo antes que se hiciera un an´alisis sistem´atico de los espacios de Banach. Sus propiedades han sido estudiadas a fondo y son muy bien conocidas. Por ello al estudiar otros espacios de Banach, uno trata de compararlos con estos espacios y es sorprendente el hecho que todo espacio de Banach separable es isom´etrico a un subespacio cerrado de l∞ y tambi´en a un espacio cociente de l1 .

6.3. Los espacios lp y c0

271

Recordemos una vez m´as que lp , 1 ≤ p < ∞, es el espacio de sucesiones escalares x = {an }∞ n=1 tales que xp =

∞ n=1

1

p

p

|an |

< ∞,

l∞ es el espacio de sucesiones escalares x = {an }∞ n=1 tales que x∞ = sup |an | < ∞ n

ımite es y c0 es el espacio de sucesiones escalares x = {an }∞ n=1 cuyo l´ cero, con la norma xc0 = sup |an | . n {en }∞ n=1

Sabemos que la base can´onica en lp con 1 ≤ p < ∞ y en c0 es una base mon´otona e incondicional que para 1 < p < ∞ es tanto acotadamente completa como reductora y que es acotadamente completa para l1 y reductora para c0 . Por otra parte, como l∞ no es separable no tiene una base de Schauder. Probamos en la secci´on 4.8 que para 1 ≤ p < ∞, (lp )∗ = lq donde q 1 1 es tal que + = 1, que (c0 )∗ = l1 y que consecuentemente lp es un p q espacio reflexivo si 1 < p < ∞ y c0 y l1 no son reflexivos. Los siguientes resultados est´an encaminados a demostrar que los espacios lp y c0 son primos. Probaremos los resultados u ´nicamente para lp , 1 ≤ p < ∞. Para c0 la prueba es la misma, excepto que cambia la notaci´on. Tambi´en l∞ es primo pero la demostraci´on es bastante m´as complicada y no la presentaremos aqu´ı. Proposici´ on 6.46 Consideremos el espacio lp para 1 ≤ p < ∞ y sea ∞ {uj }j=1 una sucesi´on de vectores de norma 1 en lp con mj+1

uj = y 0 = m1 < m2 < .... Entonces



i=mj +1

(j)

ai ei

272

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

∞ (i) {uj }∞ on b´ asica equivalente a {en }∞ n=1 y [uj ]j=1 es j=1 es una sucesi´ p un espacio isom´etrico a l .

(ii) Existe una proyecci´ on de norma 1 de lp sobre [uj ]∞ j=1 .    (j) p i=mj +1 ai  = 1 para {bj }kj=1 ⊂ K tenemos que

Demostraci´ on: (i) Por hip´otesis lo tanto para toda k ∈ N y para    k   j=1 bj uj  =

=



k j=1

p

|bj |

mj+1

cada j. Por

  mj+1 (j)   k  j=1 bj i=mj +1 ai ei  =

  1  1  (j) p p p p k = . i=mj +1 ai  j=1 |bj |

mj+1



(6.49)



 ∗ j+1 p ∗ q ∗ (ii) Sea u∗j ∈ [e∗i ]m i=mj +1 ⊂ (l ) = l tal que uj  = uj (uj ) = 1. ∞ Claramente u∗j (uk ) = 0 si k = j y el operador P : lp → [uj ]j=1 definido por

Px =

∞

j=1

u∗j (x) uj

es una proyecci´on ya que P uj = uj y PPx =

∞ j=1

∞ i=1



u∗i

(x) ui uj =

∞ j=1

u∗j (x) uj = P x.

mj+1 (j) ∗ i=mj +1 ci  ei ,  usando la des q mj+1  (j) q igualdad de H¨older y como 1 = u∗j  = i=m ci  , para cada j j +1

Adem´as si x =

∞

u∗j

i=1 bi ei

∈ lp , y u∗j =

tenemos que  p  ∗  uj (x) =

 p ⎛ ⎞p  mj+1  mj+1 mj+1  mj+1 q q   (j)   (j)  ⎠ p⎝  |bi | bi c i  ≤ = |bi |p . c i   i=mj +1  i=mj +1 i=mj +1 i=mj +1

Por lo tanto, usando (6.49) obtenemos  p ∞  j+1 ∞ m ∞  p     ∗ p ∗  P x =  uj (x) uj  = |bi |p = xp , uj (x) ≤ j=1  j=1 i=mj +1 j=1

lo cual demuestra que P tiene norma 1.

6.3. Los espacios lp y c0

273

Observemos que si {ekn }∞ on de {en }∞ n=1 es una subsucesi´ n=1 , entonces tomando un = ekn en la proposici´on anterior, obtenemos que {ekn }∞ n=1 y {en }∞ n=1 son equivalentes. M. Zippin demostr´o que la parte (i) de la proposici´on anterior de hecho caracteriza a los espacios lp con 1 ≤ p < ∞ o a c0 . Es decir, si un espacio de Banach X tiene una base normalizada {xn }∞ n=1 que es equivalente a todas sus bases bloque normalizadas, entonces X es isomorfo a lp para alguna 1 ≤ p < ∞ o a c0 . La prueba de este resultado se puede encontrar en [23]. Teorema 6.47 Sea Y un subespacio cerrado de dimensi´on infinita de lp , 1 ≤ p < ∞. Entonces Y contiene un subespacio cerrado Z isomorfo a lp y tal que Z es complementado en lp . Demostraci´ on: Esto se sigue de inmediato del teorema 6.21 tomando 1

= , de la proposici´on 6.46 y del teorema 6.20. 8 Teorema 6.48 Para 1 ≤ p < ∞, lp es un espacio primo. Demostraci´ on: Supongamos que lp = E ⊕ F donde E es un espacio de dimensi´on infinita. Entonces por el teorema 6.47, E contiene un subespacio X1 isomorfo a lp y complementado en lp . Por lo tanto X1 tambi´en es complementado en E y podemos escribir E = X1 ⊕ Y, donde X1 ≈ lp . Usando el lema 6.45, y tomando en cuenta que la suma directa de espacios de Banach es asociativa y conmutativa, obtenemos lp = E ⊕ F = (X1 ⊕ Y ) ⊕ F ≈ (lp ⊕ Y ) ⊕ F ≈ lp ⊕ (Y ⊕ F ) ≈ ≈ (lp ⊕ lp ⊕ ...)p ⊕ (Y ⊕ F ) ≈ ≈ ((E ⊕ F ) ⊕ (E ⊕ F ) ⊕ ...)p ⊕ (Y ⊕ F ) ≈ ≈ (E ⊕ E ⊕ ...)p ⊕ (F ⊕ F ⊕ ...)p ⊕ (Y ⊕ F ) ≈ ≈ (E ⊕ E ⊕ ...)p ⊕ (F ⊕ F ⊕ ...)p ⊕ Y ≈ ≈ ((E ⊕ F ) ⊕ (E ⊕ F ) ⊕ ...)p ⊕ Y ≈ (lp ⊕ lp ⊕ ...)p ⊕ Y ≈ ≈ lp ⊕ Y ≈ X1 ⊕ Y = E

274

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

y esto termina la prueba del teorema. Si 1 < p < ∞, es f´acil ver que lp no es isomorfo ni a c0 , ni a l1 , ni a ∗ ∞ l , ya que c∗∗ = (l1 ) y este espacio no es separable, mientras que 0 = l ∗ ∗∗ lp , (lp ) y (lp ) s´ı lo son. Hasta estos momentos parecer´ıa que todos los espacios lp para 1 < p < ∞ podr´ıan ser iguales, aunque siempre pensamos en ellos como espacios diferentes y efectivamente lo son. Sin embargo, la demostraci´on de este hecho no es nada trivial y requiere de una buena parte de las herramientas que hemos desarrollado hasta ahora. ∞

Teorema 6.49 Si 1 < r < p < ∞, entonces lp no es isomorfo a lr . 

∞

a la base can´onica de lp y Demostraci´ on: Denotemos por en(p) n=1 supongamos que T : lp → lr es un isomorfismo. Sea x∗ ∈ (lp )∗ . Como la base can´onica es reductora, 

∞

x∗ =

an en(p)

n=1

∗ 



  ∗  y claramente an = x∗ en(p) . Consecuentemente, ya que  en(p)  = 1, aplicando el lema 6.2 obtenemos que 



−→ 0 x∗ en(p) n→∞ 

y por lo tanto en(p)

∞ n=1

tiende d´ebilmente a cero. La proposici´on 4.80 

∞

tambi´en nos dice que T es d´ebilmente continuo y por ende T en(p) n=1 converge d´ e bilmente a cero. Del lema 6.22 obtenemos una subsucesi´ on  ∞  ∞  ∞ ∞ (p) (p) (r) T eni de T en y una base bloque {yi }i=1 de en tales i=1 n=1 n=1 que  ∞ T en(p)i es equivalente a {yi }∞ (6.50) i=1 . i=1

Adem´as como T es un isomorfismo 

T en(p)i

∞ i=1

es equivalente a



en(p)i

∞ i=1

.

(6.51)

6.3. Los espacios lp y c0 

Por otra parte, como en(p) 

en(p)



∞

∞

∞

n=1

n=1

275

es incondicional y de la proposici´on 6.46

es equivalente a



en(p)i

∞ i=1

.

(6.52)

Tambi´en T en(p)i y {yi }∞ i=1 son incondicionales y podemos aplicar el i=1 lema 6.35 obteniendo que 

{yi }∞ i=1

es equivalente a



yi yi 

∞

.

(6.53)

i=1

∞  ∞ yi tambi´en es una base bloque de en(r) , por la Como n=1 yi  i=1 proposici´on 6.46 

yi yi 

∞

es equivalente a



en(r)

i=1

∞ n=1

.

(6.54)

Finalmente, de (6.52), (6.51), (6.50), (6.53) y (6.54) resulta que 

en(p)

∞ n=1

es equivalente a



Pero lo anterior es falso, ya que por ejemplo ∞

en(r)

∞

∞ n=1

n=1

.

1 en(p) 2/(p+r) n

∈ lp pero

2p 2r 0 y supongamos que x ∈ K es tal que

|f (x)| > f  − . 2 Como f es continua en K y {xn }∞ n=1 es un conjunto denso en K, existe n0 tal que

|f (x) − f (xn0 )| < 2 y por consiguiente |f (xn0 )| > f  − . Esto significa que {f (xn )}∞ n=1 ∞ = sup |f (xn )| = sup {|f (x)| : x ∈ K} = f  n

y por lo tanto C (K) es isom´etrico al subespacio de l∞ que consta de las sucesiones {f (xn )}∞ n=1 con f ∈ C (K) . Hemos podido comprobar a lo largo del libro la enorme utilidad de “la propiedad de extensi´on” dada por el teorema de Hahn Banach para operadores lineales cuyo dominio es un espacio de Banach y que toman valores en K. Si pudi´eramos probar que se pueden extender operadores cuyo rango est´a contenido en alg´ un espacio distinto, no tendr´ıamos que a˜ nadir nada para convencernos de la importancia de este hecho. El siguiente resultado, debido a R.S. Phillips dice que l∞ tiene dicha propiedad, o dicho de otro modo, prueba que l∞ es “inyectivo”: Teorema 6.52 Sea Y un subespacio cerrado de un espacio de Banach X y supongamos que T : Y → l∞ es un operador lineal acotado. Entonces se puede extender T a X, obteniendo un operador S : X → l∞ con la misma norma que T.

278

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Demostraci´ on: Sea y ∈ Y. Entonces T y es una sucesi´on en l∞ que denotaremos por {(T y)n }∞ . Sea yn∗ : Y → K la funcional dada por n=1 yn∗ (y) = (T y)n . Tenemos que |yn∗ (y)| = |(T y)n | ≤ T y∞ ≤ T  y . Por lo tanto yn∗  ≤ T  y yn∗ ∈ Y ∗ . Podemos aplicar entonces el teorema de Hahn Banach y obtenemos una extensi´on x∗n : X → K de yn∗ de modo que x∗n  = yn∗  . Definamos S : X → l∞ mediante Sx = {x∗n (x)}∞ n=1 . Claramente Sy = T y si y ∈ Y y |Sx| = sup |x∗n x| ≤ sup x∗n  x = sup yn∗  x ≤ T  x , n

n

n

de donde S ≤ T  . Como por otro lado es trivial que S ≥ T  , S es precisamente la extensi´on buscada. El resultado anterior tiene como consecuencia que l∞ es complementado en todo espacio de Banach que lo contenga. Corolario 6.53 Supongamos que l∞ es un subespacio cerrado de un espacio de Banach X. Entonces existe una proyecci´on de norma 1 de X sobre l∞ . Demostraci´ on: Sea I : l∞ → l∞ el operador identidad. Entonces por el teorema anterior podemos extender I a un operador P : X → l∞ de manera que P  = 1. Es claro que P es una proyecci´on. El espacio c0 tiene tambi´en la propiedad de extensi´on de Hahn Banach, pero s´olo podemos garantizar la extensi´on de operadores cuyo dominio sea un espacio de Banach separable. Para la prueba este resultado, necesitamos primero el equivalente al corolario anterior para c0 , que se debe a A. Sobczyk.

6.3. Los espacios lp y c0

279

Teorema 6.54 Supongamos que c0 es un subespacio cerrado de un espacio de Banach separable X. Entonces existe una proyecci´on acotada de X sobre c0 . 1 on de funcionales biortoDemostraci´ on: Sea {e∗n }∞ n=1 ⊂ l la sucesi´ ∞ gonales asociadas a la base {en }n=1 de c0 y sea x∗n la extensi´on de e∗n a X, cuya existencia est´a garantizada por el teorema de Hahn Banach. Sea BX ∗ la bola unitaria en X ∗ y sea

F = {x∗ ∈ BX ∗ : x∗ (c0 ) = {0}} . 

Si x∗nk

∞ k=1

es una subsucesi´on de {x∗n }∞ n=1 tal que x∗nk →∗ x∗ , w

(6.55)

entonces x∗ ∈ F. Esto se debe a que para cada m, si nk > m, se tiene que x∗nk (em ) = 0 y consecuentemente x∗ (em ) = 0. Adem´as, como x∗n  = 1 para cada n, resulta que x∗  ≤ 1. Ya que X es separable, por el teorema 4.67 la topolog´ıa w∗ en BX ∗ es metrizable y si {xn }∞ n=1 es un subconjunto denso de X d (x∗ , y ∗ ) =

∞ n=1

2−n |(x∗ − y ∗ ) (xn )| ,

define una m´etrica compatible. Como en un espacio m´etrico toda sucesi´on acotada tiene una subsucesi´on de Cauchy y como BX ∗ es w∗ compacta, (6.55) nos dice que toda subsucesi´on de {x∗n }∞ on que es w∗ n=1 tiene a su vez una subsucesi´ convergente a un elemento de F. Equivalentemente, si dn = inf {d (x∗n , y ∗ ) : y ∗ ∈ F } , on que contoda subsucesi´on de {dn }∞ n=1 tiene a su vez una subsucesi´ verge a 0, es decir limn→∞ dn = 0. 1 Para cada n sea zn∗ ∈ F tal que d (x∗n , zn∗ ) < dn + . Como n dn ≤ d (x∗n , zn∗ ) obtenemos lim d (x∗n , zn∗ ) = 0

n→∞

280

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

o, equivalentemente x∗n − zn∗ →∗ 0. w

(6.56)

Definamos P : X → c0 mediante P x = {(x∗n − zn∗ ) x}∞ n=1 . Por (6.56) el rango de P efectivamente est´a contenido en c0 . Adem´as, como x∗n |c0 = e∗n y zn∗ ∈ F, es claro que P x = x si x ∈ c0 . Finalmente P x = sup |(x∗n − zn∗ ) x| ≤ x∗n − zn∗  x ≤ 2 x , n

es decir P  ≤ 2. Corolario 6.55 Sea Y un subespacio cerrado de un espacio de Banach separable X y supongamos que T : Y → c0 es un operador lineal acotado. Entonces existe una extensi´on S : X → c0 de T , tal que S es un operador acotado. Demostraci´ on: Vemos a T como un operador de Y en l∞ y, usando el teorema 6.52, lo extendemos a un operador acotado R : X → l∞ . Como X es separable, tambi´en lo es el espacio vectorial cerrado Z generado por R (X) ∪ c0 y del teorema 6.54 obtenemos una proyecci´on acotada de Z sobre c0 . Finalmente tomamos S = P R. Ahora nos ocuparemos de las propiedades de l1 . La primera es un resultado cl´asico, tambi´en debido a Banach y Mazur, que es en cierta manera el dual del teorema 6.51. Teorema 6.56 (Banach-Mazur) Todo espacio de Banach separable X es isomorfo a un espacio cociente de l1 , es decir existe un operador lineal acotado suprayectivo Q : l1 → X. Demostraci´ on: Sea {en }∞ onica de l1 , sea {xn }∞ n=1 la base can´ n=1 una sucesi´on densa en BX y definamos Q : l1 → X mediante Qen = xn .

6.3. Los espacios lp y c0 Q est´a bien definido pues claramente si y ∈ l1 , y = que  

281 ∞

n=1

an en , se tiene

r r    an xn  ≤ |an |    n=k

n=k

y por lo tanto Qy ≤ y . Si x ∈ BX , sea xn1 tal que x − xn1  ≤ Ahora sea n2 > n1 tal que

1 . 2·2 



 1 1  1 , es decir x − xn1 − xn2  ≤ 4 . 2 (x − xn1 ) − xn2  ≤ 2 2·2 2 2

Continuamos inductivamente, hallando nk > nk−1 > ... > n1 tales que    k−1 (x − xn1 ) − 2k−2 xn2 − ... − xnk  ≤ 2

1 , 2 · 2k

o equivalentemente     1 1 x − 21−k xn − 22−k xn  x − x − ... − n2 n1  ≤ 2k .  k k−1

2

Entonces si y = es suprayectivo.

∞

k=1

2

1 en , obtenemos que y ∈ l1 y Qy = x o sea Q 2k−1 k

Este teorema nos permite probar la “proyectividad” de l1 que es una caracterizaci´on de este espacio. Teorema 6.57 Sea X espacio de Banach y supongamos que existe un operador lineal acotado suprayectivo T : X → l1 . Entonces X contiene un subespacio complementado isomorfo a l1 . Es m´as, si Y es un espacio de Banach separable de dimensi´on infinita tal que cada vez que T : X → Y es acotado y suprayectivo, X contiene un subespacio complementado isomorfo a Y, entonces Y es isomorfo a l1 .

282

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Demostraci´ on: Sea T : X → l1 acotado y suprayectivo y sea {en }∞ n=1 la base can´onica de l1 . Probaremos que existe una sucesi´on acotada {xn }∞ n=1 ⊂ X tal que T xn = en . Consideremos el operador T : X/ ker T → l1 dado por T (x) = T x si x = x + ker T, x ∈ X. Entonces T es un operador biyectivo y acotado si en X/ ker T consideramos la norma cociente |x| = inf {x + y : y ∈ ker T } .  

 Claramente T  ≤ T  . Aplicando el teorema de la funci´on inversa,

 −1 T tambi´en es un operador continuo cuya norma denotaremos por

K y por lo tanto

     −1  T en  ≤ K.   −1

Debido a la definici´on de la norma en X/ ker T, existe xn ∈ T con xn  ≤ K + 1.

en

Sea el operador S : l1 → X dado por Sen = xn . Es claro que si {am }km=1 ⊂ K,    k  m  k k            am em  =  am xm  ≤ (K + 1) |am | = (K + 1)  am em  S       m=1

m=1

m=1

k=1

1

y S es acotado. Por consiguiente ST : X → X es continuo, T xn = en , T S : l1 → l1 es la identidad y ST ST = S (T S) T = ST, y por ende ST es una proyecci´on cuyo rango es el espacio [xn ]∞ n=1 . Pero si {an }∞ ⊂ K, n=1 ∞ n=1

    ∞ ∞        |an | =  an en  =  an T xn  ≤     n=1

1

n=1

1

6.3. Los espacios lp y c0

283

    ∞ ∞        an xn  = T   an Sen  ≤ ≤ T       n=1

n=1

  ∞ ∞    an en  = T  S |an | , ≤ T  S    n=1

n=1

1

[xn ]∞ n=1

lo cual implica que es isomorfo a l1 . Sea ahora Y un espacio de dimensi´on infinita separable, tal que cada vez que existe un operador suprayectivo T : X → Y, entonces Y es isomorfo a un subespacio complementado de X. Por el teorema de Banach-Mazur existe un operador suprayectivo Q : l1 → Y y consecuentemente Y es isomorfo a un subespacio complementado de l1 . Como l1 es primo, (ver teorema 6.48) esto implica que Y ≈ l1 .

En general la convergencia d´ebil y la convergencia en la norma no coinciden, sin embargo en el caso de l1 , I. Schur prob´o que una sucesi´on es d´ebilmente convergente si y s´olo si es norma convergente. Por esta raz´on, actualmente a los espacios de Banach con esta propiedad se les conoce como espacios de Schur. Teorema 6.58 (Schur) En l1 coinciden la convergencia d´ebil y la convergencia en la norma de sucesiones. Demostraci´ on: Claramente convergencia en la norma implica convergencia d´ebil. Supongamos ahora que la sucesi´on 

xn = x(n) m

∞ m=1

∈ l1

converge d´ebilmente. Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que su l´ımite es 0. 1 ∗ ∞ Esto significa que para toda sucesi´on c = {cn }∞ n=1 ∈ (l ) = l c, xn  =

∞ m=1

cm x(n) −→ 0. m n→∞

(6.57)

284

6. Geometr´ıa de espacios de Banach &

'

En particular tomando ek = 0, 0, ..., 0, 1, 0, ... ∈ l∞ , resulta que k

(n)

xk

−→ 0 para cada k ∈ N.

n→∞

(6.58)

Supongamos que el teorema es falso. Entonces existe > 0 tal que lim sup xn 1 > .

n→∞

Sean ahora n1 y r1 tales que xn1  =

∞    (n1 )   xm  >

m=1

y ∞  

 (n1 )   xm  < .

8

m=r1

Si ya elegimos n1 < n2 < ... < nk y r1 < r2 < ... < rk , escogemos nk+1 y rk+1 como sigue: Por (6.58) existe N tal que si n > N y m = 1, ..., rk ,    (n)  xm  <

. 8rk

(6.59)

Sea nk+1 > max {nk , N } tal que

    xnk+1  > .

(6.60)

1

De (6.59) deducimos que rk  

 (nk+1 )  x m < .

(6.61)

8

m=1

Sea rk+1 > rk tal que ∞ m=rk+1

 

 (nk+1 )  x m < .

(6.62)

8

De (6.60), (6.61) y (6.62) obtenemos rk+1



m=rk +1

 



 (nk+1 )  x m > − > .

4

2

(6.63)

6.4. El espacio C [0, 1]

285

∞ Definimos c = {cm }∞ como sigue: Sea r0 = 0 y supongamos m=1 ∈ l que rk < m ≤ rk+1 . Sea

⎧ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

cm =

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

k+1 ) = 0 si x(n m

(n

xm k+1

)

(nk+1 )  

= 0,  (nk+1 )  si xm x m 

donde la barra indica conjugaci´on compleja. De lo anterior deducimos que |cm | ≤ 1 para m = 1, 2, ... y que     rk rk      (nk )  (nk )   = x c x  m m  m    m=rk−1 +1 m=rk−1 +1

y de (6.57), ∞ m=1

(nk ) c m xm −→ 0. k→∞

Pero de (6.63),    ∞    rk−1 rk ∞      (nk )  (nk ) (nk ) (nk )  c m xm c m xm + c m xm + c m xm   =  ≥   m=rk−1 +1  m=1 m=1 m=rk +1          r  rk ∞      k−1  (nk )  (nk )  (nk )   c m xm  −  cm xm  −  c m xm ≥ ≥   m=rk−1 +1  m=1  m=rk +1

≥

rk m=rk−1 +1

k−1    r   (nk )   (nk )   xm  −  xm  −

m=1

∞ m=rk +1

 

2

 (nk )  ≥ ,  xm  ≥ −

2

8

4

lo cual es una contradicci´on.

6.4

El espacio C [0, 1]

En esta secci´on nos ocuparemos de otro espacio que aparece frecuentemente en las aplicaciones, el espacio de las funciones continuas (reales o complejas) en el intervalo [0, 1] con la norma : f  = sup {|f (x)| : x ∈ [0, 1]} ,

286

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

denotado por C [0, 1] . Afortunadamente este espacio tiene una base de Schauder. Teorema 6.59 La sucesi´on {φn }∞ on, llaman=1 definida a continuaci´ da sistema de Schauder es una base mon´otona para C [0, 1] : Si n = 0, 1, 2, ... y k = 1, 2, ..., 2n φ0 (t) ≡ 1 φ1 (t) = t

φ2n +k (t) =

  : ; ⎧ 2k − 2 2k − 2 2k − 1 ⎪ ⎪ n+1 ⎪ 2 t − n+1 si t ∈ , n+1 ⎪ ⎪ ⎪ 2  2n+1 2; ⎨  :

2k −t 2n+1 0 en el resto

⎪ 2n+1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

2k − 1 2k , 2n+1 2n+1

si t ∈

Demostraci´ on: Veremos que si f ∈ C [0, 1] entonces la serie f (0) φ0 +

∞ n=1

an φn ,

donde a1 = f (1) − f (0) y para n = 0, 1, 2, ... y k = 1, ..., 2n  

a2n +k

1 = f 2



2k − 1 −f 2n+1





2k − 2 −f 2n+1



2k 2n+1





+f



2k − 1 , 2n+1 (6.64)

converge uniformemente a f en [0, 1] . En el intervalo [0, 1] ordenamos a los racionales di´adicos, es decir a m los de la forma n , como sigue: s0 = 0, s1 = 1 y para m = 2n + k con 2 2k − 1 n 1 ≤ k ≤ 2 , sm = n+1 . Denotemos por ρ0 a la funci´on definida en 2 [0, 1] mediante ρ0 (t) = f (0) y por ρm a la funci´on poligonal dada por

6.4. El espacio C [0, 1]

287

ρm (si ) = f (si ) para i = 1, 2, ..., m y lineal entre dos si consecutivas con i ≤ m. Es evidente que ρm converge uniformemente a f en [0, 1] cuando m tiende a ∞. Por consiguiente la serie ρ0 (t) +

∞ m=1

(ρm (t) − ρm−1 (t))

converge uniformemente a f (t) en [0, 1] . 2k − 2 2k Sea m = 2n + k. Como n+1 < sm < n+1 , no es muy dif´ıcil ver 2 2   2k − 2 2k / , y que que ρm (t) = ρm−1 (t) siempre y cuando t ∈ 2n+1 2n+1 ρm (t) − ρm−1 (t) = am φm (t) . Esto prueba la convergencia uniforme en [0, 1] a f de la serie f (0) φ0 +

∞ n=1

an φn ,

de manera que el espacio cerrado generado por la sucesi´on {φn }∞ n=0 es todo el espacio C [0, 1] .  Por otro lado, si {an }∞ on a0 φ0 + m n=1 an φn coincide n=0 ⊂ K, la funci´ m−1 con a0 φ0 + a φ para toda t ∈ [0, 1] que no se encuentra en el  n=1 n n  2k − 2 2k , y su gr´afica es una poligonal cuyos v´ertices intervalo 2n+1 2n+1 est´an en los puntos con abscisa si para i = 1, 2, ..., m. Por lo tanto     m m−1        an φn  , an φn  ≤ a0 φ0 + a0 φ0 +     n=1

n=1

as es lo cual prueba que {φn }∞ n=0 es una base para C [0, 1] que adem´ mon´otona. Probamos anteriormente que todo espacio de Banach separable es isomorfo a un subespacio de l∞ , pero l∞ no es separable. S. Banach y S. Mazur probaron que todo espacio de Banach separable tambi´en es isomorfo a un subespacio de C [0, 1]. Para la demostraci´on de este teorema necesitamos el siguiente lema auxiliar:

288

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Lema 6.60 Todo conjunto compacto metrizable es imagen continua del conjunto de Cantor C. Demostraci´ on: Recordemos que el conjunto de Cantor C se construye por etapas; despu´es de la etapa n quedan 2n intervalos cerrados de lon1 gitud n , a los que se les quita en la siguiente etapa el “tercio de en3 medio”. Al final C es la intersecci´on de todos estos intervalos cerrados. Notemos que dada una sucesi´on {nk }∞ k=1 estrictamente creciente de naturales, todo punto x de C determina una sucesi´on u ´nica de naturales nk {mk }∞ con m ≤ 2 como sigue: k k=1 Nos fijamos en la etapa nk y numeramos en forma consecutiva los 1 umero 2nk intervalos de longitud n que quedan. Entonces mk es el n´ 3 k del intervalo al que pertenece x. Al rev´es es claro que una sucesi´on nk {mk }∞ determina de manera u ´nica un k=1 de naturales con mk ≤ 2 punto x ∈ C. Sea ahora K un conjunto compacto metrizable cualquiera y sea d una m´etrica que defina la topolog´ıa de K. Cubrimos a K con un n´ umero 1 n1 2 de bolas cerradas de radio y las numeramos. La intersecci´on de 2 cada una de estas bolas con K la cubrimos a su vez con 2n2 bolas 1 cerradas de radio numerando cada una de ellas de 1 en adelante, y 4 as´ı continuamos inductivamente. Construimos ahora una funci´on de C sobre K como sigue: Sea {nk }∞ on definida arriba determinada por la numeraci´on de k=1 la sucesi´ las bolas que cubren a K. Para x ∈ C sea {mk }∞ on que se k=1 la sucesi´ describi´o anteriormente. Le asociamos a x el punto en K que se obtiene de la manera siguiente: 1 De las 2n1 bolas de radio que cubren a K, nos fijamos en la de 2 n´ umero m1 ; acto seguido de las 2n2 bolas que a su vez cubren a la bola anterior, nos fijamos en la de n´ umero m2 y as´ı sucesivamente. Finalmente tomamos la intersecci´on de todas las bolas que elegimos, y ´esta determina un u ´nico punto y en K por ser la intersecci´on de una sucesi´on de bolas cerradas de radio decreciente a 0. Sea f (x) = y. Dada y ∈ K sea {mk }∞ k=1 tal que y pertenece a la bola mk de radio 1 ; entonces y = f (x) donde la x es el punto de C determinado por la n 2 k ∞ sucesi´on {mk }k=1 . Esto prueba que f es suprayectiva.

6.4. El espacio C [0, 1]

289

Veremos ahora que f es continua. Sea y0 ∈ K y consideremos una vecindad V abierta de y0 . Entonces V contiene para alguna k0 una bola 1 cerrada de radio k0 . Sea x0 ∈ f −1 (y0 ) . Por construcci´on de f, es claro 2 que para toda x perteneciente al mismo intervalo que x0 en la etapa nk0 , f (x) pertenece a V. Teorema 6.61 Todo espacio de Banach separable es isom´etricamente isomorfo a un subespacio cerrado de C [0, 1] . Demostraci´ on: Sea X un espacio de Banach separable. Entonces por el teorema 4.67 la bola unitaria BX ∗ en X ∗ , considerada con la topolog´ıa σ (X ∗ , X ) , es metrizable y por el teorema de Banach Alaoglu es compacta. Sea f : C → (BX ∗ , σ (X ∗ , X)) la funci´on suprayectiva continua que existe por el lema anterior y extendamos f linealmente a una funci´on continua y suprayectiva F : [0, 1] → (BX ∗ , σ (X ∗ , X)) . Para x ∈ X definimos gx ∈ C [0, 1] tal que para t ∈ [0, 1] gx (t) = F (t) , x . −→ t0 en [0, 1] , como F es gx efectivamente es continua ya que si tn n→∞ ∗ continua en la topolog´ıa σ (X , X) , para cada x ∈ X gx (tn ) = F (tn ) , x → F (t0 ) , x = gx (t0 ) . Veremos ahora que x = gx C[0,1] . Por definici´on gx C[0,1] = sup |gx (t)| .

(6.65)

t∈[0,1]

Usando el teorema de Hahn Banach, sabemos que existe T ∈ BX ∗ con x = T x. Como f es suprayectiva existe t0 ∈ C tal que T = f (t0 ) . Por lo tanto |gx (t0 )| = |F (t0 ) , x| = |f (t0 ) , x| = |T x| = x .

(6.66)

290

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Por otro lado para toda t ∈ [0, 1] |gx (t)| = |F (t) , x| ≤ F (t) x y por (6.65) resulta que gx C[0,1] ≤ x .

(6.67)

Finalmente de (6.66) y (6.67) se sigue que gx C[0,1] = x . Consecuentemente la correspondencia x → gx es una isometr´ıa entre X y un subespacio de C [0, 1] .

6.5

El espacio J de James

En esta secci´on hablaremos de un espacio que no es tan conocido como los espacios lp y C [0, 1] , el espacio J de James. Este espacio apareci´o en un trabajo de R.C. James en 1950 como un contraejemplo a una pregunta de S. Banach. Desde ese entonces para ac´a, el espacio ha probado ser una de las fuentes m´as ricas de contraejemplos para varios de los problemas que han ocupado a los expertos en espacios de Banach. Como varios de estos temas son muy especializados, no podremos tratarlos aqu´ı, pero s´ı hablaremos de la propiedad esencial de J, veremos que es un espacio isom´etrico a su doble dual, que sin embargo no es igual a su doble dual y que de hecho tiene codimensi´on 1 en ´el. Definici´ on 6.62 El espacio de James J es el espacio de las sucesiones reales x = (a1 , a2,... ) tales que limn→∞ an = 0 y tales que 



n  2  2 1 x = sup api+1 − api + apn+1 − ap1 2 i=1

 1 2

< ∞,

(6.68)

donde el supremo se toma sobre todos los posibles valores de n y sobre todas las posibilidades de sucesiones finitas p1 < p2 < ... < pn+1 de n´ umeros naturales.

6.5. El espacio J de James

291

Dejaremos al lector como ejercicio comprobar que la definici´on que dimos de · efectivamente corresponde a una norma y que el espacio es completo respecto a esta norma. Teorema 6.63 La sucesi´ on

{en }∞ n=1

&

'

, donde en = 0, 0, ..., 0, 1 0, ... , n

es una base mon´otona normalizada y reductora en J. Demostraci´ on: De la definici´on de la norma en J, en  = 1 para n = 1, 2, ... y cualquier suma de las que se usan para la definici´on de    m+1  m a e , de donde a e  tambi´ e n interviene en la de   i i i=1 i=1 i i  m+1  m        ai ei  ai ei  ≤       i=1

i=1

y por lo tanto {en }∞ otona. n=1 es una base mon´ ∞ Supongamos ahora que {en }n=1 no es reductora. Entonces existe x∗ ∈ X ∗ tal que lim x∗ n = 0, n→∞ , es decir de x∗ restringida al donde x∗ n es la norma de x∗ |[ei ]∞ i=n subespacio [ei ]∞ on {nk }∞ i=n . Por lo tanto existen > 0 y una sucesi´ k=1 de naturales con nk < nk+1 para k = 1, 2, ... tales que x∗ nk > . Esto implica la existencia de una sucesi´on {zk }∞ k=1 ⊂ J con zk  = 1, y zk =

∞ i=nk

e∗i , zk  ei

tal que x∗ (zk ) > , donde {e∗n }∞ on de funcionales biortogonales asociadas a n=1 es la sucesi´ ∞ {en }n=1 . Construiremos a partir de {zk }∞ sucesi´on {yk }∞ k=1 una k=1 de ∞  manera que k=1 yk /k converja en J pero x∗ ( ∞ y /k) no converja k=1 k y esto nos proporcionar´a la contradicci´on deseada.

292

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

Sea m1 = n1 . Como

n

i=n1

⎛

x∗ ⎝

e∗i , z1  ei −→ z1 , existe nr > m1 tal que n→∞

n r −1

i=m1

⎞

e∗i , z1  ei ⎠ > .

m2 −1 ∗ i=m1 ei , z1  ei  Si m2 = nr y y1 = m , de 2 −1 e∗i , z1  ei   i=m 1

   m2 −1 ∗   i=m1 ei , z1  ei  ≤ 1,

y1  = 1 y x∗ (y1 ) > . Supongamos que hemos construido m1 < m2 < ... < mk+1 y y1 , ..., yk ∞ tales que {mi }k+1 i=1 ⊂ {ni }i=1 y mk+1 −1

yk =



i=mk

Si mk+1 = nj , como

e∗i , yk  ei , yk  = 1 y x∗ (yk ) > .

n

i=nj

⎛

x∗ ⎜ ⎝

e∗i , zj  ei n→∞ −→ zj , existe nj > nj tal que

nj −1



i=nj

⎞

e∗i , zj  ei ⎟ ⎠ > .

mk+2 −1

Sean mk+2 = ∗

nj

e∗i , zj  ei i=m  . Es claro que yk+1  = 1 y yk+1 = mk+2k+1 −1 e∗ , z  e  

i=mk+1

i

j

i

y x (yk+1 ) > .  Veremos que ∞ k=1 yk /k converge en J. En efecto, al calcular una suma para aproximar la norma de este elemento, cada t´ermino es de uno de los tres tipos siguientes: 1. Puede ser de la forma 1 2



a b − k k

2

donde a = e∗j (yk ) y b = e∗r (yk ) para alguna k, j y r, en cuyo caso este sumando es uno de los sumandos que aproxima yk 2 /k 2 .

6.5. El espacio J de James 2. Puede ser del tipo 1 2



b a − k k+m

293

2

donde a = e∗j (yk ) para alguna k y j, y b = e∗r (yk+m ) para alguna m y r. En este caso 1 2



b a − k k+m

2

≤

a2 b2 + k 2 (k + m)2

y puede haber a lo m´as un t´ermino de este estilo para cada k. 3. El u ´ltimo t´ermino puede ser de la forma 1 2



b a − k k−m

2

≤

a2 b2 + k 2 (k − m)2

donde a = e∗j (yk ) para alguna k y j, y b = e∗r (yk−m ) para alguna m ≥ 0 y para alguna r. De esto se deduce que ∞  y k    k k=1

2 ∞ ∞  1 yk 2  = 5 < ∞.  ≤5 2  k k2

Pero ∗

x 

k=1

k=1

 n  yk k=1

k

>

n 1 k=1

k

,

de manera que x∗ ( ∞ k=1 yk /k) no converge. Con esto finalizamos la ∞ prueba de que {en }n=1 es reductora, lo cual implica que {e∗n }∞ n=1 es una base de J ∗ . El teorema siguiente es el teorema principal de esta secci´on pues es el que nos da la propiedad de que J es isom´etrico a su doble dual, mas no “igual” a su doble dual pues tiene codimensi´on 1 en J ∗∗ . Esto a fin de cuentas no es tan extra˜ no, pues se debe a que la isometr´ıa can´onica que identifica a un espacio de Banach con un subespacio de su doble dual es muy particular. Sin embargo el espacio de James fue el primer

294

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

espacio conocido con esta propiedad. Desde que se public´o el trabajo de James, se han construido otros espacios isom´etricos a sus dobles duales mas no iguales a ellos. De hecho para cada k existe un espacio isom´etrico a su doble dual pero con codimensi´on k en ´el; estos espacios se llaman cuasirreflexivos de orden k. Aqu´ı u ´nicamente daremos la demostraci´on de que J es cuasirreflexivo de orden 1. Teorema 6.64 El espacio J es isom´etrico a J ∗∗ y es cuasirreflexivo de orden 1, es decir el espacio j (J) , donde j es la inyecci´on can´ onica de J en J ∗∗ , tiene codimensi´on 1. otona, Demostraci´ on: Como {en }∞ n=1 es una base reductora y mon´ por el teorema 6.26 sabemos que J ∗∗ es isom´etrico al espacio X de las sucesiones reales x=(a1 , a2 , ...) tales que m      x = sup  ai ei  < ∞  m  i=1

mediante la identificaci´on T : J ∗∗ → X dada por T x∗∗ = (x∗∗ (e∗1 ) , x∗∗ (e∗2 ) , ...) .

(6.69)

Veremos que para toda x ∈ X existe limn→∞ an . Si esto no es cierto, existen x ∈ X, x=(a1 , a2 , ...) , > 0 y una subsucesi´on {amn }∞ n=1 de   ∞ {ai }i=1 de tal modo que amn+1 − amn  > para n = 1, 2, ... Sea M = x y sea L ∈ N tal que L 2 > 2M 2 . Entonces  2 L L    2   2M ≥ 2  ai ei  ≥ amn+1 − amn > L 2 > 2M 2 ,   2

i=1

n=1

lo cual es una contradicci´on. Definamos S : X → J como sigue: Si x = (a1 , a2 , ...) ∈ X y λ = limn→∞ an , Sx = −λe1 +

∞ i=2

(ai−1 − λ) ei .

Es claro que S es inyectiva, y dada la definici´on de las normas en X y J, es f´acil ver que es una isometr´ıa, que es suprayectiva, y consecuentemente T −1 ◦ S −1 : J → J ∗∗

6.5. El espacio J de James

295

es una isometr´ıa. Procedemos a continuaci´on a la prueba de que j (J) tiene codimensi´on 1 en J ∗∗ .  Si x = ∞ n=1 an en pertenece a J y si definimos U : J → X mediante U x = (a1 , a2 , ...) , m

U est´a bien definida dado que supm 

i=1

ai ei  ≤ x < ∞. Adem´as

T −1 U = j. En efecto, si x∗∗ = T −1 (a1 , a2 , ...), entonces para cada n ∈ N, ∗ ∞ x∗∗ (e∗n ) = an . Como {en }∞ n=1 es una base reductora, {en }n=1 es base  ∗ ∗ de J ∗ y si x∗ ∈ J ∗ , x∗ = ∞ n=1 bn en ∈ J y 



T −1 U x (x∗ ) = x∗∗ (x∗ ) =

∞ n=1

bn x∗∗ (e∗n ) =

∞ n=1

b n an =

= x∗ (x) = j (x) , x∗  . Es evidente que si x = (a1 , a2 , ...) ∈ X y si limn→∞ an = 0, en tonces, como x = supm  m on 6.62, i=1 ai ei  < ∞, por la definici´ ∞ x = n=1 an en pertenece a J, es decir x =U x. Sea x∗∗ ∈ X ∗∗ con limn→∞ x∗∗ (e∗n ) = λ. Podemos escribir x∗∗ = (x∗∗ − λξ) + λξ donde ξ es la funcional dada por ξ(e∗n ) = 1 para n = 1, 2, ... Por lo anterior, T (x∗∗ − λξ) = U x para alguna x ∈ J y por lo tanto x∗∗ − λξ = j(x). Por otra parte, si 0 = y ∗∗ + μξ donde y ∗∗ = j (x) y x =

∞

n=1

an en ∈ J, entonces

0 = ST y ∗∗ + μST ξ = −μe1 +

∞ n=2

an−1 en

296

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

y de aqu´ı se deduce que μ = an = 0 para n = 1, 2, .... De todo esto concluimos que J ∗∗ = j (J) ⊕ [ξ] , donde [ξ] es el espacio generado por la funcional ξ. Los resultados anteriores nos permiten demostrar que la base can´onica en J no es incondicional. Lema 6.65 J no contiene ni a c0 ni a l1 y por esto la base {en }∞ n=1 no es incondicional. Es m´as, J no tiene ninguna base incondicional. Demostraci´ on: Como J es isomorfo a J ∗∗ , y como tanto J como J ∗ tienen base de Schauder, esto implica que los tres espacios son sepa1 ∗ rables. Pero ni c∗∗ 0 ni (l ) son separables y por ello no pueden ser subespacios de J. Como J no es reflexivo y no contiene ni a c0 ni a l1 , concluimos del teorema 6.38 que ni {en }∞ n=1 ni ninguna otra base de J pueden ser incondicionales.

6.6

Ejercicios

1. Demuestre que una sucesi´on b´asica normalizada {xn }∞ n=1 es equivalente a la base can´onica de c0 si y s´olo si existe una constante K tal que para toda m ∈ N y para cualesquiera escalares a1 , a2 , ..., am   m    ai xi  ≤ K sup |ai | .    1≤i≤m i=1

2. Demuestre que una sucesi´on normalizada {xn }∞ n=1 es equivalente 1 a la base can´onica de l si y s´olo si existe una constante K tal que para toda m ∈ N y para cualesquiera escalares a1 , a2 , ..., am m i=1

  m     |ai | ≤ K  ai xi  .   i=1

6.6. Ejercicios

297

3. Pruebe que si {xn }∞ n=1 es una base reductora de un espacio de Banach X, entonces {x∗n }∞ on de funcionales biorton=1 , la sucesi´ gonales asociada a dicha base, es una base acotadamente completa de X ∗ . 4. Suponga que {xn }∞ n=1 es una base acotadamente completa y que {x∗n }∞ es la sucesi´ on de funcionales biortogonales asociada a n=1 ∗ ∞ dicha base. Entonces {x∗n }∞ n=1 es base reductora de [xn ]n=1 . 5. Suponga que {xn }∞ n=1 es una base acotadamente completa de un espacio de Banach X. Sea {x∗n }∞ on de funcionales biorn=1 la sucesi´ togonales asociada a dicha base y sea [x∗n ]∞ n=1 el espacio lineal cerrado generado por {x∗n }∞ . Demuestre que para cada n=1 ∗∗ ∗∗ x ∈ X la serie ∞

n=1

x∗∗ (x∗n ) xn

converge en X. [Sugerencia: mediante un argumento de diagonalizaci´on puede hallarse una sucesi´on {yn }∞ n=1 ⊂ X tal que para ∗ cada k ∈ N, se satisface que limn→∞ xk (yn ) = x∗∗ (x∗k ) . A partir  de esto se puede ver que los elementos de la forma m x∗∗ (x∗n ) xn m n=1 ∗ son l´ımite de sucesiones de vectores del tipo n=1 xn (yi ) xn que pertenecen a BX . ] 6. Sea {xn }∞ n=1 una base acotadamente completa en un espacio de Banach X. Si P : X ∗∗ → j (X) , donde j es la inyecci´on can´onica de X en X ∗∗ , est´a dado por P x∗∗ =

∞ n=1

x∗∗ (x∗n ) j (xn ) ,

entonces I − P es una proyecci´on sobre el espacio {x∗∗ ∈ X ∗∗ : x∗∗ (x∗ ) = 0 para toda x∗ ∈ [x∗n ]∞ n=1 } . 7. Sea {xn }∞ n=1 una base acotadamente completa en un espacio de ∗ Banach X. Entonces X es isomorfo a ([x∗n ]∞ n=1 ) . 8. Sea X un espacio de Banach tal que X ∗ tiene una base {x∗n }∞ n=1 . Si {yn }∞ ⊂ X es una sucesi´ o n acotada y existe y ∈ X tal que n=1 ∗ ∗ para toda m ∈ N xm (yn ) n→∞ −→ xm (y) , entonces yn → y. w

298

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

9. Sean X un espacio de Banach y F y G subespacios tales que X = F ⊕ G. Entonces G es isomorfo a X/F y por lo tanto G∗ es isomorfo a F ⊥ . 10. Sea π una permutaci´on de los naturales y sea {θn }∞ n=1 ⊂ R una p sucesi´on fija con θ = ±1 para n = 1, 2, .... Si x = {an }∞ n n=1 ∈ l  ∞ sea U x = θn aπ(n) . Demuestre que U es una isometr´ıa de lp n=1 sobre s´ı mismo. ∞ 11. Sean 1 ≤ p < ∞, p = 2, a = {an }∞ n=1 y b = {bn }n=1 elementos de lp . Demuestre que si para cualesquiera α y β

αa + βbp = |α|p ap + |β|p bp ,

(6.70)

entonces an · bn = 0 para toda n ∈ N. (Sugerencia: Considere el caso p = 1, despu´es tome p > 2 y derive dos veces la ecuaci´on (6.70) con respecto a α o β. Finalmente obtenga el caso 1 ≤ p < 2 por dualidad). 12. Sea T : lp → lp , 1 ≤ p < ∞, una isometr´ıa suprayectiva. De∞ p muestre que si a = {an }∞ n=1 y b = {bn }n=1 son elementos de l con an · bn = 0 para n = 1, 2, ..., entonces (T a)n · (T b)n = 0 para n = 1, 2, ... 13. ¿Cu´ales son los puntos extremos de la bola unitaria de l∞ ? 14. Sean {en }∞ onica de c0 y A la cerradura de la envoln=1 la base can´ vente convexa de 0 y {en / (n + 1)}∞ n=1 . Demuestre que A es un conjunto convexo y compacto, pero no es igual a la envolvente convexa de sus puntos extremos. 15. Demuestre que (6.68) efectivamente define una norma en J y que el espacio con esta norma es completo. 16. Sea {en }∞ onica en J. Demuestre que si n=1 la base can´ sn = e1 + e2 + ... + en {sn }∞ en es una base en J. Dicha base se llama la base n=1 tambi´ sumante.

6.6. Ejercicios

299

17. Sea {sn }∞ n=1 la base de J definida en el ejercicio anterior. Demuestre que es acotadamente completa. 18. Sea {en }∞ onica en lp . Demuestre n=1 la base can´ ⎧ que la sucesi´ ⎫ on {fij }∞ i,j=1

p

p

⊂ (l ⊕ l ⊕ ...)p definida por fij =

⎪ ⎨

⎪ ⎬

0, ...0, ei , 0, ...

⎪ ⎩)

una base incondicional del espacio (lp ⊕ lp ⊕ ...)p .

*+ j

,

⎪ ⎭

es

19. Sean X un espacio de Banach y Y un subespacio de dimensi´on finita de X. Pruebe que Y es complementado en X. (Sugerencia: tome una base {yi } de Y, extienda las funcionales biortogonales asociadas a {yi } a todo X y use dichas extensiones para definir una proyecci´on de X sobre Y ). 20. Pruebe que todo subespacio de codimensi´on finita de un espacio de Banach es complementado.

300

6. Geometr´ıa de espacios de Banach

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´Indice A

Cauchy-Schwarz, desigualdad de, 25 codimensi´on 1, 95 coeficiente de Fourier, 34 conjunto B absorbente, 148 Baire, teorema de, 103 acotado, 155–156 Banach, S., 98, 276, 287 balanceado, 148 Banach-Alaoglu, teorema de, 123, cociente, 9 208 convexo, 11 Banach-Mazur, teorema de, 280 d´ebilmente acotado, 120 Banach-Steinhaus para sucesiones, de la primera categor´ıa, 102 teorema de, 107 de la segunda categor´ıa, 102 Banach-Steinhaus, teorema de, 105 denso en ninguna parte, 102 base can´onica, 227 dirigido, 18 base de Hamel, 12, 34, 104, 217 sim´etrico, 148 base de Schauder, 218, 225, 228 total, 193 acotadamente completa, 245 totalmente ordenado, 10 bloque, 227, 238 conjunto ortonormal , 34 incondicional, 253, 257, 260 m´aximo, 38, 42 mon´otona, 222 constante de base, 222 reductora, 244, 247 constante de incondicionalidad, 255 base local, 16, 148 convergencia incondicional, 250 base ortonormal, 41–42 E base sumante, 233, 243, 298 elemento Bishop, E., 135 maximal, 10 C minimal, 10 Cantor, conjunto de, 288 Enflo, P., 230 Carath´eodory, C., 198 envolvente convexa, 11, 164 aniquilador, 128 automorfismo, 64

304

´Indice envolvente convexa y balanceada, 206 espacio m´etrico, 17 m´etrico completo, 17 metrizable, 17, 180 normable, 183 normado, 24 espacio cociente normado, 87 topol´ogico, 17 vectorial, 12 vectorial topol´ogico, 211 espacio de Baire, 102 espacio de Banach, 76 cuasirreflexivo, 294 primario, 267 primo, 267 reflexivo, 111, 134, 249, 261 espacio de Hausdorff, 15, 212 espacio de Hilbert, 27 espacio de James, 290 espacio de Sobolev, 28 espacio dual, 53, 85, 200 espacio dual algebraico, 200 espacio nulo, 13 espacio ortogonal, 31 espacio prehilbertiano, 22 espacio producto, 16 espacio topol´ogico, 14 localmente compacto, 16, 160 secuencialmente compacto, 19 separable, 15 espacio vectorial , 10 generado, 12 espacio vectorial topol´ogico, 145 localmente convexo, 167

305

F Fischer, E., 21 Fredholm, I., 21 funci´on abierta, 16 c-lineal, 100 cociente, 9 continua, 16 convexa, 14 extensi´on de, 9 invertible, 9 lineal, 13 r-lineal, 99 restricci´on de, 9 sublineal, 14 funci´on sesquilineal, 57 acotada, 57 funcional lineal, 51, 84 funcional subaditiva de Minkowski, 168, 172 funcionales biortogonales, 224, 241 coeficiente, 224

G Goldstine, teorema de, 125, 207 Gowers, W.T., 257, 265 gr´afica, 8, 109 Grinblyum, M.M., 228

H Hahn, O., 98 Hahn-Banach, teorema de , 192 caso complejo, 100 caso real, 98 geom´etrico complejo, 191 geom´etrico real, 189

306

´Indice

para espacios de Hilbert, 56 para espacios normados, 101 Helly, teorema de, 216 Helly, teorema de selecci´on de, 127 Hilbert, D., 21 hiperplano, 188, 264 H¨older, desigualdad de, 48, 79 H¨older, desigualdad generalizada de , 141 homeomorfismo, 16

I

m´etrica, 17 invariante, 177 Maurey, B., 257 Mazur, S., 276, 287 Minkowski, desigualdad de, 80

N Neumann, J. von, 21 norma, 24 cociente, 87 de un operador, 85 normas equivalentes, 81

intersecci´on finita propiedad de, 15 inyecci´on can´onica, 111 O isometr´ıa, 55, 84 operador lineal , 157, 84 isomorfismo acotado, 53, 84, 185 algebraico, 13, 162 adjunto (espacios de Hilbert), de espacios normados, 84 60 isom´etrico, 56, 84 adjunto (espacios normados), 137 de espacio vectorial topol´ogico, autoadjunto, 62 162 compacto, 144 de espacios vectoriales, 157 conjugado, 57 d´ebilmente continuo, 136 J hermitiano, 62 James, R.C., 135, 257, 261, 290 normal, 62, 64 positivo, 66 K ra´ız cuadrada de, 70 Krein-Milman, teorema de, 196 rango finito, 144 Krein-Milman, teorema extendido unitario, 62, 64 de, 199 ortogonal, 30 ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt, L 43 ley del paralelogramo, 28 Lindenstrauss, J., 32, 263

P

M

Phelps, R.R., 135 m´etodo de descomposici´on de Pel- Phillips, R.S., 277 polar, 204 czynski, 268

´Indice

307

polinomios de Hermite, 73 de espacios normados, 89, 262 Szankowski, R., 230 prepolar, 204 principio del acotamiento uniforme, T 105, 159 teorema producto interior, 22, 27–28 de la bipolar, 206 proyecci´on, 14 de la funci´on abierta, 107 acotada, 221 de la funci´on inversa, 109 asociada a una base, 222 de la gr´afica cerrada, 109 ortogonal, 32 topolog´ıa punto extremo, 194 w, 114 w∗ , 117 R base de , 15 red, 18 cociente, 16, 211 convergente, 18 d´ebil, 114, 201 de Cauchy, 18 d´ebil estrella, 116, 201 Riesz, F., 21 generada por seminormas, 173 inducida en un subconjunto, 16 S inducida por una m´etrica, 17 Schmidt, E., 21 metrizable, 118 Schur, I., 283 producto, 16 Schur, teorema de, 283 subbase de, 16 semiespacio cerrado, 192 Tychonoff, teorema de, 17 seminorma, 75 Tzafriri, L., 32, 263 separa puntos, 201 sistema de Schauder, 286 V Sobczyk, A., 278 vecindad, 15 subespacio vectorial, 11 Z complementado, 262 Zippin, M., 273 subred, 18 Zorn, lema de, 10 sucesi´on b´asica, 219, 232 incondicional, 253 normalizada, 219 seminormalizada, 219 sucesiones b´asicas equivalentes, 232 suma directa algebraica, 12

Simbolog´ıa C, 7 N, 7 Q, 7 R, 7 A \ B, 8 A ,8

α∈I α A ,8 .α∈I α α∈I Aα , 8 A × B, 8 R (f ), 8, 61 gra f , 8, 109 g ◦ f, 9 f |C , 9 a, 9 X/Y , 9, 12, 87 K, 10 x + A, 11 x − A, 11 A + B, 11 λA, 11 convA, 11, 164 X ⊕a Y , 12 sp {yj }j∈J , 12 ker T , 13, 61 E, 15 intE, 15 ∂B, 15 Br (x), 17 (·, ·), 22 H1 , 23 H2 , 24

H3 , 24 H4 , 24 ·, 24 ⊥, 30 x⊥ , 31 M ⊥ (espacios de Hilbert), 31 X ⊕ Y , 31 x!, 34  α∈A yα , 38 2 l (A), 44 l2 , 45 (X, A, μ), 47 L2 (X, μ, A), 48 X ∗ , 53, 85, 200 B (H), 59 T , 59, 85 T ∗ (espacios de Hilbert), 59 C(X), 78 c0 , 78, 271 l∞ , 78, 271 lp , 1 ≤ p < ∞ , 78, 271 B(X, Y ), 85, 87 X ⊕ Y , 89, 262 (X1 ⊕ X2 ⊕ · · ·)p , 90, 268 (X1 ⊕ X2 ⊕ · · ·)∞ , 90 [Y ], 93 BX , 94 SX , 94 X ∗∗ , 111 j, 111 σ (X, X ∗ ), 114 308

Simbolog´ıa

x∗ , x, 114 V (x0, x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , ), 114 V (x∗1 , x∗2 , ..., x∗k , ), 114 σ (X ∗ , X), 116 V (x∗0, x1 , x2 , ..., xk , ), 117 xα → x0 , 118 w x∗α →∗ x∗0 , 118 w

w

A , 119, 203 w∗ A , 119 E ⊥ (espacios de Banach), 128 F⊥ (espacios de Banach), 128 T ∗ (espacios normados), 137 IX , 137 c, 144 lp , 0 < p < 1, 151 μA , 168 Lp [0, 1], 0 < p < 1, 187 convF , 199 X  , 200 σ(X, Y ), 200 Ao , 204 o B, 204 |·|, 220 |·|1 , 254 Pσ , 255 Mθ , 255 |·|0 , 255 F ≈ G, 268 F ≡ G, 268 C [0, 1], 286 J, 290

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