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Matemática Aplicada UNIDAD 4: Vectores

Contenidos Vectores:

• Concepto de vector. • Suma de vectores. • Multiplicación de un vector por un escalar. • Producto punto o escalar.

• Producto cruz o vectorial. • Ángulo entre vectores. • Aplicación geométrica de los vectores.

Concepto de vector Un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida en un sistema de referencia, que se caracteriza por tener módulo (o longitud) , una dirección (u orientación) y sentido.

Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan solo por su módulo que es lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil, sino que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige). La fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su magnitud o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto, pues es necesario definir el punto inicial y final del movimiento.

Norma o módulo o magnitud de un vector La norma o magnitud de un vector corresponde a la medida de dicho vector. Por esta razón, al ser una magnitud de distancia, este valor jamás será negativo.

Si 𝒗 = 𝒙, 𝒚 entonces su norma es: Si 𝒖 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 entonces su norma es:

𝒗 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒖 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐

Ejemplo 1 Determina la magnitud del siguiente vector: 𝒂 = 𝟓, 𝟐 𝒂 = 𝟓, 𝟐

𝒂 =

𝟓, 𝟐

=

𝟓𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟒 = 𝟐𝟗

Esto significa que la magnitud del vector 𝒂 = 𝟓, 𝟐 , cuyo origen está en el punto (0,0), es 𝟐𝟗

Norma o módulo o magnitud de un vector

Ejemplo 2 Determina la magnitud del siguiente vector: 𝒃 = 𝟏, 𝟑, 𝟓 𝒃 =

𝟏, 𝟑, 𝟓

=

𝟏𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟓𝟐 = 𝟏 + 𝟗 + 𝟐𝟓 = 𝟑𝟓

Esto significa que la magnitud del vector 𝒃 = 𝟏, 𝟑, 𝟓 , cuyo origen está en el punto (0,0), es 𝟑𝟓

Dirección de un vector La dirección de un vector corresponde al ángulo que forma dicho vector. Este ángulo siempre se calcula en contra de las manecillas del reloj.

Si 𝒗 = 𝒙, 𝒚

cos θ =

𝒙 𝒗

Dirección de un vector en 𝕽𝟑 Cosenos directores Si 𝒗 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 tenemos que: • C𝒐𝒔 ∝ =

𝒙 𝒗

=

• C𝒐𝒔 β =

𝒚 𝒗

=

• C𝒐𝒔 γ =

𝒛 𝒗

=

𝒙 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐 𝒚

𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐

𝒛 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐

, ∝ es la medida del ángulo que forma el eje x con el vector 𝒗.

, β es la medida del ángulo que forma el eje y con el vector 𝒗.

, γ es la medida del ángulo que forma el eje z con el vector 𝒗.

Vectores unitarios Se llama vector unitario al vector cuya norma es 1. Ejemplo: 𝒖 =

𝟑 𝟒 , 𝟓 𝟓

𝒖 =

𝟑 𝟒 , 𝟓 𝟓

=

𝟑 𝟓

𝟐

𝟒 + 𝟓

𝟐

=

Hay vectores unitarios especiales en la dirección de cada eje. En 𝕽𝟐 𝑖Ƹ = (1, 0) 𝑗Ƹ = (0, 1) En 𝕽𝟑

𝑖Ƹ = 1, 0, 0 𝑗Ƹ = (0, 1, 0) 𝑘෠ = (0, 0, 1)

𝟗 𝟏𝟔 + = 𝟐𝟓 𝟐𝟓

𝟐𝟓 =𝟏 𝟐𝟓

Operatoria de vectores Adición de vectores 𝒖 + 𝒗 = 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 + 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 = 𝒖𝟏 + 𝒗𝟏 , 𝒖𝟐 + 𝒗𝟐

𝒖 + 𝒗 = 𝟐, 𝟑 + 𝟓, 𝟏 = 𝟐 + 𝟓, 𝟑 + 𝟏 = (𝟕, 𝟒)

Operatoria de vectores Producto de un vector por un número real 𝒌 ∙ 𝒖 = 𝒌 ∙ 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 = 𝒌 ∙ 𝒖𝟏 , 𝒌 ∙ 𝒖𝟐

−𝟓 ∙ 𝒖 = −𝟓 ∙ 𝟑, −𝟐 = −𝟓 ∙ 𝟑, −𝟓 ∙ −𝟐 = −𝟏𝟓, 𝟏𝟎

Operatoria de vectores Producto punto o escalar El resultado de este producto es un escalar (número real) 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 ∙ 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 = 𝒖𝟏 ∙ 𝒗𝟏 + 𝒖𝟐 ∙ 𝒗𝟐

𝒖 ∙ 𝒗 = 𝟐, −𝟑 ∙ 𝟑, −𝟓 = 𝟐 ∙ 𝟑 + −𝟑 ∙ −𝟓 = 𝟔 + 𝟏𝟓 = 𝟐𝟏

Operatoria de vectores Producto cruz o vectorial El resultado de este producto es un vector ortogonal a 𝒖 y 𝒗, respectivamente, como se muestra en la figura. 𝒊Ƹ 𝒖 × 𝒗 = 𝒖𝟏 𝒗𝟏

𝒋Ƹ 𝒖𝟐 𝒗𝟐

෡ 𝒌 𝒖𝟐 𝒖𝟑 = 𝒗 𝟐 𝒗𝟑

෡ 𝒊Ƹ 𝒋Ƹ 𝒌 −𝟓 𝒖 × 𝒗 = 𝟏 −𝟓 𝟑 = −𝟏 𝟐 −𝟏 𝟐

𝒖𝟑 𝒖𝟏 Ƹ 𝒊 − 𝒗𝟑 𝒗𝟏

𝟏 𝟑 𝒊Ƹ − 𝟐 𝟐

෡ 𝒖 × 𝒗 = −𝟕𝒊Ƹ + 𝟒𝒋Ƹ + 𝟗𝒌

𝟑 𝟏 𝒋Ƹ + 𝟐 𝟐

𝒖𝟑 𝒖𝟏 Ƹ 𝒋 + 𝒗𝟑 𝒗𝟏

−𝟓 ෡ 𝒌 −𝟏

𝒖𝟐 ෡ 𝒗𝟐 𝒌

Operatoria de vectores Ángulo entre dos vectores 𝒖∙𝒗 𝒖 ∙ 𝒗

cos θ =

𝜽 = cos

−𝟏

𝒖∙𝒗 𝒖 ∙ 𝒗

Ejemplo: Determinar el ángulo entre los vectores 𝒖 𝒚 𝒗. 𝒖 = ( 𝟐, 𝟑) 𝒗 = (𝟐, −𝟓) 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝟐 ∙ 𝟏 + 𝟐 ∙ −𝟓 = −𝟖

𝒖 = 𝒗 =

𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 = 𝟏𝟑 𝟐𝟐 + (−𝟓)𝟐 = 𝟐𝟗

cos θ = 𝜽 = cos−𝟏

−𝟖 𝟏𝟑 ∙ 𝟐𝟗

−𝟖

𝟏𝟑 ∙ 𝟐𝟗 𝜽 = 𝟏𝟏𝟒, 𝟑𝟑°

Ejemplo Dados los vectores 𝑢 = 3, 1, 5 𝑣Ԧ = 4, 2, −3 Calcular a) Producto punto b) Producto cruz c) El ángulo formado por ellos Respuestas: a) 𝒖 ∙ 𝒗 = −1 ෡ b) 𝒖 × 𝒗 = −𝟏𝟑𝒊Ƹ + 𝟐𝟗𝒋Ƹ + 𝟐𝒌 c) 𝜽 = 𝟗𝟏, 𝟕𝟗𝟖𝟕°

Área y volumen Área de un triángulo: Sean los vértices 𝐴 = 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝐵 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 𝑦 𝐶 = (𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 ) de un triángulo en ℝ3 . Para calcular su área, necesitamos los vectores que forman dos de los lados del triángulo. Para esto creamos los siguientes vectores: 𝐴𝐵 = 𝑏1 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑎2 , 𝑏3 − 𝑎3 𝐴𝐶 = (𝑐1 − 𝑎1 , 𝑐2 − 𝑎2 , 𝑐3 − 𝑎3 ) Ya calculados dichos vectores, el área del triángulo se calcula: 1 𝐴𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝐴𝐵𝑥𝐴𝐶 2 Área del paralelogramo: 𝐴𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = 𝑝𝑥 Ԧ 𝑞Ԧ (unidades cuadradas) Volumen del paralelepípedo: 𝑉𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = 𝑢 ∙ 𝑝𝑥 Ԧ 𝑞Ԧ

(unidades cuadradas)

Ejercicios Dado los vectores 𝒖 = 𝟐, 𝟔, −𝟒 𝒚 𝒗 = 𝟑, 𝟐, −𝟒 calcula:

• 𝒖+𝒗 • −𝟐𝒖 ∙ 𝒗 • El ángulo θ formado por ellos. •

𝒖 ∙ 𝒗 ∙ sin θ

• 𝒖×𝒗

Resolución • 𝒖 + 𝒗 = 𝟐, 𝟔, −𝟒 + 𝟑, 𝟐, −𝟒 = 𝟓, 𝟖, −𝟖 • −𝟐𝒖 ∙ 𝒗 = El número −2 lo multiplicamos por el vector 𝒖 −𝟐𝒖 = −𝟐 𝟐, 𝟔, −𝟒 = −𝟒, −𝟏𝟐, 𝟖 Realizamos el producto escalar entre los vectores −𝟐𝒖 y 𝒗 obteniendo un número real: −𝟒, −𝟏𝟐, 𝟖 ∙ 𝒗 = −𝟒, −𝟏𝟐, 𝟖 ∙ 𝟑, 𝟐, −𝟒 = −𝟒 ∙ 𝟑 + −𝟏𝟐 ∙ 𝟐 + 𝟖 ∙ −𝟒 = −𝟏𝟐 − 𝟐𝟒 − 𝟑𝟐 = −𝟔𝟖 • Para obtener el ángulo reemplazamos los vectores en la fórmula.

C𝒐𝒔 θ =

𝒖∙𝒗 𝒖 ∙ 𝒗

=

𝟐,𝟔,−𝟒 ∙ 𝟑,𝟐,−𝟒 𝟐𝟐 +𝟔𝟐 +(−𝟒)𝟐 ∙ 𝟑𝟐 +𝟐𝟐 +(−𝟒)𝟐

C𝒐𝒔 θ =

𝟑𝟒

𝟏𝟓𝟎𝟖

=

𝟔+𝟏𝟐+𝟏𝟔 𝟓𝟐∙ 𝟐𝟗

→ θ = 𝒂𝒓𝒄𝒐𝒔

=

𝟑𝟒 𝟏𝟓𝟎𝟖

𝟑𝟒

𝟏𝟓𝟎𝟖

≈ 𝟔𝟏°

Resolución •

𝒖 ∙ 𝒗 ∙ sin θ

→

𝒖 = 𝟐, 𝟔, −𝟒 𝒚 𝒗 = 𝟑, 𝟐, −𝟒

Para obtener este producto reemplazamos los vectores donde corresponda y el ángulo obtenido en el punto anterior, que es el ángulo comprendido entre los dos vectores. 𝒖 ∙ 𝒗 ∙ sin θ =

𝟐𝟐 + 𝟔𝟐 + −𝟒

𝟐

∙ 𝟑𝟐 + 𝟐𝟐 + −𝟒

𝟐

∙ sin 61 = 𝟓𝟐 ∙ 𝟐𝟗 ∙ sin 61 ≈ 𝟑𝟑, 𝟗𝟔𝟒

• Para realizar el producto cruz o vectorial utilizamos la fórmula de determinantes.

𝒊Ƹ 𝒖×𝒗= 𝟐 𝟑

𝒋Ƹ 𝟔 𝟐

෡ 𝒌 𝟐 −𝟒 𝟐 𝟔 −𝟒 Ƹ Ƹ −𝟒 = 𝟐 −𝟒 𝒊 − 𝟑 −𝟒 𝒋 + 𝟑 −𝟒

𝟔 ෡ 𝒌 𝟐

෡ = −𝟏𝟔𝒊Ƹ − 𝟒𝒋Ƹ − 𝟏𝟒𝒌 ෡ = 𝟔 ∙ −𝟒 − −𝟒 ∙ 𝟐 𝒊Ƹ − 𝟐 ∙ −𝟒 − −𝟒 ∙ 𝟑 𝒋Ƹ + 𝟐 ∙ 𝟐 − 𝟔 ∙ 𝟑 𝒌 𝒖 × 𝒗 = 𝟏𝟔, −𝟒, −𝟏𝟒

Ejercitación 1. Dado los vectores 𝒖 = 𝟑, 𝟏, 𝟓 𝒚 𝒗 = 𝟒, 𝟐, −𝟑 calcula:

a) 𝒖 + 𝒗 b) −𝟒𝒖 ∙ 𝒗 El ángulo θ formado por ellos. d) 𝒖 ∙ 𝒗 ∙ sin θ e) 𝒖 × 𝒗 c)

෡ y 2. Encuentra el área del paralelogramo que tiene a 𝒑 = −𝟑𝒊Ƹ + 𝒋Ƹ − 𝟓𝒌 adyacentes. 3. Determina el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son: ෡ 𝒖 = 𝟐𝒋Ƹ + 𝒌

𝒗 = 𝟑𝒊Ƹ + 𝒋Ƹ

𝒘 = 𝒊Ƹ + 𝟐𝒋Ƹ

෡ como lados 𝒒 = 𝟐𝒋Ƹ + 𝟑𝒌

1. Dado los vectores 𝒖 = 𝟑, 𝟏, 𝟓 𝒚 𝒗 = 𝟒, 𝟐, −𝟑 calcula:

a) 𝒖 + 𝒗 = 𝟑, 𝟏, 𝟓 + 𝟒, 𝟐, −𝟑 = 𝟕, 𝟑, 𝟐 b) −𝟐𝒖 ∙ 𝒗 = El número −4 lo multiplicamos por el vector 𝒖 −𝟒𝒖 = −𝟒 𝟑, 𝟏, 𝟓 = −𝟏𝟐, −𝟒, −𝟐𝟎 Realizamos el producto escalar entre los vectores −𝟐𝒖 y 𝒗 obteniendo un número real: −𝟏𝟐, −𝟒, −𝟐𝟎 ∙ 𝒗 = −𝟏𝟐, −𝟒, −𝟐𝟎 ∙ 𝟒, 𝟐, −𝟑 = −𝟏𝟐 ∙ 𝟒 + −𝟒 ∙ 𝟐 + −𝟐𝟎 ∙ −𝟑 = −𝟒𝟖 − 𝟖 + 𝟔𝟎 = 𝟒

c) Para obtener el ángulo reemplazamos los vectores en la fórmula. C𝒐𝒔 θ =

𝒖∙𝒗 𝒖 ∙ 𝒗

=

𝟑,𝟏,𝟓 ∙ 𝟒,𝟐,−𝟑 𝟑𝟐 +𝟏𝟐 +𝟓𝟐 ∙ 𝟒𝟐 +𝟐𝟐 +(−𝟑)𝟐

C𝒐𝒔 θ =

−𝟏 𝟏𝟎𝟏𝟓

=

𝟏𝟐+𝟏𝟐−𝟏𝟓 𝟑𝟓∙ 𝟐𝟗

=

→ θ = 𝒂𝒓𝒄𝒐𝒔

−𝟏 𝟏𝟎𝟏𝟓

−𝟏 𝟏𝟎𝟏𝟓

≈ 𝟗𝟏°

d) 𝒖 ∙ 𝒗 ∙ sin θ

→

𝒖 = 𝟑, 𝟏, 𝟓 𝒚 𝒗 = 𝟒, 𝟐, −𝟑

Para obtener este producto reemplazamos los vectores donde corresponda y el ángulo obtenido en el punto anterior, que es el ángulo comprendido entre los dos vectores. 𝒖 ∙ 𝒗 ∙ sin θ =

𝟑𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟓𝟐 ∙ 𝟒𝟐 + 𝟐𝟐 + −𝟑

𝟐

∙ sin 91,79 = 𝟑𝟓 ∙ 𝟐𝟗 ∙ sin 91,79 ≈ 𝟑𝟏, 𝟕𝟗

e) Para realizar el producto cruz o vectorial utilizamos la fórmula de determinantes.

𝒊Ƹ 𝒖×𝒗= 𝟑 𝟒

𝒋Ƹ 𝟏 𝟐

෡ 𝒌 𝟏 = 𝟓 𝟐 −𝟑

𝟓 𝟑 𝒊Ƹ − −𝟑 𝟒

𝟑 𝟓 𝒋Ƹ + 𝟒 −𝟑

𝟏 ෡ 𝒌 𝟐

෡ = 𝟏𝟑𝒊Ƹ + 𝟐𝟗𝒋Ƹ + 𝟐𝒌 ෡ = 𝟏 ∙ −𝟑 − 𝟓 ∙ 𝟐 𝒊Ƹ − 𝟑 ∙ −𝟑 − 𝟓 ∙ 𝟒 𝒋Ƹ + 𝟑 ∙ 𝟐 − 𝟏 ∙ 𝟒 𝒌 𝒖 × 𝒗 = −𝟏𝟑, 𝟐𝟗, 𝟐

2. Encuentra el área del paralelogramo que tiene a 𝒑 = −𝟑, 𝟏, −𝟓

෡ y 𝒒 = 𝟐𝒋Ƹ + 𝟑𝒌 ෡ 𝒑 = −𝟑𝒊Ƹ + 𝒋Ƹ − 𝟓𝒌

como lados adyacentes.

y 𝒒 = 𝟎, 𝟐, 𝟑

𝒊Ƹ 𝒑 × 𝒒 = −𝟑 𝟎

෡ 𝒋Ƹ 𝒌 𝟏 = 𝟏 −𝟓 𝟐 𝟐 𝟑

−𝟓 −𝟑 𝒊Ƹ − 𝟑 𝟎

−𝟑 𝟏 ෡ −𝟓 𝒋Ƹ + 𝒌 = 𝟏𝟑𝒊 Ƹ + 𝟗𝒋 Ƹ − 𝟔𝒌ො 𝟎 𝟐 𝟑

𝒖 × 𝒗 = 𝟏𝟑, 𝟗, −𝟔 Luego, 𝐴𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = 𝑝𝑥 Ԧ 𝑞Ԧ =

𝟏𝟑, 𝟗, −𝟔

=

𝟏𝟑𝟐 + 𝟗𝟐 + (−𝟔)𝟐 = 𝟐𝟖𝟔 ≈ 𝟏𝟔, 𝟗𝟏

Por lo tanto, el área del paralelogramo es aproximadamente 𝟏𝟔, 𝟗𝟏 (𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔)𝟐

෡ 2. Determina el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son: 𝒖 = 𝟐𝒋Ƹ + 𝒌 𝒖 = 𝟎, 𝟐, 𝟏

𝒗 = 𝟑, 𝟏, 𝟎

𝒗 = 𝟑𝒊Ƹ + 𝒋Ƹ

𝒘 = 𝒊Ƹ + 𝟐𝒋Ƹ

𝒘 = 𝟏, 𝟐, 𝟎

Luego, calculamos el producto vectorial 𝒗 × 𝒘

𝒊Ƹ 𝒗×𝒘= 𝟑 𝟏

෡ 𝒋Ƹ 𝒌 𝟏 𝟎 𝟑 𝟎 𝟑 𝟏 𝟎 = 𝟐 𝟎 𝒊Ƹ − 𝟏 𝟎 𝒋Ƹ + 𝟏 𝟐 𝟎

𝟏 ෡ 𝒌 = 𝟎𝒊 Ƹ + 𝟎𝒋 Ƹ + 𝟓𝒌ො = 𝟐

Ahora calculamos el volumen del paralelepípedo realizando el producto escalar. 𝑉𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = 𝑢 ∙ (𝒗 × 𝒘) =

Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo es 5 (𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔)𝟑

𝟎, 𝟐, 𝟏 ∙ 𝟎, 𝟎, 𝟓

= 5 =𝟓

𝟎, 𝟎, 𝟓