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• Carlos Rincon

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Polarizacion http://161.116.85.21/crista/OPTICA/INDICE.HTM ÓPTICA CRISTALINA Mario Vendrell 4. INTERACCCIÓN LUZ-MATERIA Cuando un haz de luz incide sobre un medio puede ser transmitido (refractado), reflejado, difundido (sobre una superficie rugosa o por pequeñas partículas), absorbido o puede provocar la emisión de luz (normalmente en una frecuencia distinta). El color y el brillo son algunas de las sensaciones que resultan de estos fenómenos en el rango de frecuencias del espectro visible, pero existe instrumentación para estudiarlos en un amplio margen del espectro electromagnético. De estos fenómenos, la refracción, la reflexión y la difusión pueden explicarse mediante el modelo ondulatorio de la luz y su geometría se ha estudiado en un capítulo anterior. Por su parte, la emisión y la absorción implican transferencia de energía entre la radiación electromagnética y el medio afectado, y precisan de una explicación algo más compleja. 4.1. Refracción y reflexión Cuando un haz luminoso llega a la superficie que separa dos medios distintos, parte del mismo es reflejado hacia el medio de procedencia, y parte refractadohacia el otro medio. Si la superficie que separa ambos medios es completamente plana y sinrugosidades, los fenómenos tienen lugar siguiendo la geometría prevista en las leyes de Descartes. Si la superficie entre los dos medios es rugosa, los fenómenos que tienen lugar son exactamente los mismos, aunque a escala macroscópica no siguen la geometría prevista debido a las reflexiones y refracciones que tienen lugar en las rugosidades, como se ilustra en la Figura 1. A la escala macroscópica de observación la luz se dispersa siguiendo diversos caminos de forma aleatoria, lo que se conoce como reflexión y trasmisión difusas. 4.2. Difusión por pequeñas partículas El fenómeno de la difusión (scattering, en inglés) ocurre cuando un frente de ondas alcanza una partícula de tamaño igual o inferior a la longitud de onda de la radiación incidente. Para comprender el fenómeno imagínese un frente de ondas planas de longitud de onda igual a la separación entre las líneas que marcan los sucesivos frentes de ondas de la Figura 2. Este frente alcanza la partícula 1, que se ha dibujado de geometria plana para una mejor comprensión del proceso, y cuya dimensión es netamente superior a la longitud de onda incidente. Aplicando la construcción de Huygens para la reflexión sobre la superficie de la partícula, se genera una onda plana siguiendo las leyes clásicas de la reflexión, aunque sus bordes son poco definidos debido a los procesos de difracción que tienen lugar en los extremos de la partícula: en la figura se ha representado como ondas curvadas asociadas a los extremos de la onda plana reflejada. En este caso se ha producido una reflexión sobre la superficie de la partícula. Cuando el frente de onda alcanza la partícula 2, a causa de su pequeño tamaño, la onda reflejada no llega a tener una superficie plana, y se propaga casi como una onda esférica. Este fenómeno, que se conoce como difusión de la luz, fué estudiado para el espectro visible por lord Rayleight , quien demostró que la intensidad difundida es inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda de la luz indicente: I I ks 0 4  Donde Is es la intensidad difundida, I0 la incidente, k una constante, y l la longitud de onda de la radiación incidente. La distribución espectral de esta intensidad en el visible se ha representado en la Figura 3, en la que se puede apreciar que la intensidad difundida en la zona azul del espectro es más elevada que en la roja. Este proceso tiene lugar debido a la presencia de partículas en suspensión en un medio transparente (el caso del humo de un cigarrillo, por ejemplo), o por vibraciones de las moléculas que forman el propio medio, en cuyo caso la intensidad de la radiación difundida depende de las interacciones de estas moléculas entre ellas, y por tanto el fenómeno suele ser de mayor intensidad en gases que en sólidos.

Ésta es la causa del color azul del cielo durante el día: la difusión de la luz por las moléculas de los componentes de la atmósfera, y también en parte, por las partículas en suspensión, de acuerdo con la fórmula de Raylieght, la difusión es más intensa en el azul que en la zona de longitudes de onda largas (rojo), por lo tanto, observando el cielo con el sol a la espalda se ve azul. Por este mismo motivo, la ausencia de atmósfera es la causa de que en las fotografías obtenidas en la Luna, el cielo aparezca de color negro. Igualmente es posible explicar el color rojo de la zona de cielo cercana al sol durante el amanecer y la puesta del sol: la radiació visible del sol es difundida mayoritariamente en el azul, por tanto la transmisión de la región espectral de longitudes de onda largas (rojo) es mayor, y el cielo se ve rojo alrededor del sol. 4.3. Absorción La absorción de las ondas electromagnéticas requiere considerar que los electrones ocupan orbitales con niveles discretos de energía, separados entre ellos por cantidades discretas de energía. El principio de exclusión de Pauli limita el número de electrones que puede ocupar cada orbital, por tanto, existen orbitales parcialmente ocupados, así como niveles de energía permitidos sin ningún electrón porque están por encima de los niveles ocupados por el átomo en reposo. Los electrones sólo pueden ocupar los niveles de energía permitidos, los niveles intermedios representan zonas prohibidas. Cuando un medio es alcanzado por una onda electromagnética formada por radiaciones de diversas energías, alguna de ellas puede coincidir con la de uno de los saltos energéticos posibles entre un nivel completamente ocupado por electrones y uno vacío o parcialmente ocupado, entonces un electrón es excitado al nivel energético superior y la energía de la frecuencia correspondiente, absorbida. Las radiaciones de energías superiores o inferiores a los saltos energéticos permitidos no son absorbidas y, por tanto, atraviesan el medio. La presencia en un medio de átomos con electrones potencialmente excitables, o defectos cristalinos que actúen como trampas energéticas, provocan que éste se comporte como un filtro que absorbe selectivamente algunas de las radiaciones. Si esta absorción ocurre en rango visible del espectro, el medio aparece coloreado. Existen, además, otras causas que dan lugar a la absorción selectiva de ciertas frecuencias del espectro electromagnético, como vibraciones de la estructura, vibraciones moleculares, defectos cristalinos (electrones atrapados en vacancias), transferencia de carga entre cationes, etc. En algunos elementos y compuestos la superposición de niveles energéticos asociados a la banda de valencia, produce una banda de energías prácticamente continua. Ésto ocurre típicamente en los enlaces entre metales, así como en algunos sulfuros y óxidos. En estos casos, gran parte de las energías de las frecuencias del espectro visible pueden ser casi completamente absorbidas por los electrones de esta banda continua de energías, que se conoce como banda de conducción. Estos cuerpos son fuertemente absorbentes y de modo práctico, son opacos. La explicación del comportamiento óptico de los materiales absorbentes requiere una teoría óptica algo más compleja, en la cual los materiales transparentes pueden ser considerados como un caso particular de absorción despreciable, como se verá más adelante. 4.4. Emisión La emisión de luz por parte de un medio puede ocurrir si cierta energía es absorbida por los electrones de los átomos del medio considerado, de modo que algunos de éstos son promovidos a niveles superiores y dejan un hueco en su posición original. En estas condiciones la configuración del átomo es inestable y electrones de niveles energéticos superiores pasan a ocupar el hueco, liberando parte de su energía en forma de radiación electromagnética de la energía correspondiente al salto efectuado. El fenómeno recibe diversos nombres según la fuente de excitación y la frecuencia emitida. Si se excita con radiación electromagnética de energía elevada

(ultravioleta o rayos X, por ejemplo) y se emite en el rango del visible, se denomina fotoluminiscencia (fluorescencia si la emisión cesa en el momento que cesa la excitación, o fosforescencia si persiste tras cesar la excitación), catodo luminiscencia si la excitación se produce mediante un haz acelerado de electrones, termo luminiscencia si se produce por calor, etc. Figura 5 saltos energéticos permitidos. 4.5. Velocidad de la luz en un medio Cuando la luz atraviesa un medio transparente, se desplaza a una velocidad inferior a la del vacío, la relación entre ambas velocidades es una constante del medioI el índice de refracción n = C/V Para explicar esta disminución de la velocidad consideremos los átomos del medio atravesado como un núcleo rodeado por una distribución esférica de electrones. Si se aplica un campo eléctrico, los electrones de desplazan, es decir, se polarizan. Si el campo eléctrico aplicado es variable y está asociado a una radiación electromagnética, provoca la oscilación de los electrones con su misma frecuencia (Figura 6). El núcleo, a pesar de estar eléctricamente cargado, no participa de esta oscilación debido a su elevada masa, que llega a alcanzar el 99.9997% de la masa total del átomo. Los electrones, al vibrar, se convierten en un dipolo generador de ondas electromagnéticas de la misma frecuencia que la radiación primaria, cuya emisión estáligeramente desfasada respecto de la primaria a causa de la inercia debida a la masa del electrón. Cada electrón emite ondas de muy baja amplitud (e intensidad) en todas direcciones, pero sólo pueden interferir las que se propagan en su misma dirección La onda producida por los osciladores del átomo está ligeramente desfasada debido a la inercia de la masa del electrón, por lo que la onda resultante de la composición de ambas también tiene cierto desfase respecto de la primaria (Figura 7). La radiación alcanza el siguiente átomo con ese desfase y el proceso se repite, y como esto tiene lugar para cada uno de los átomos alcanzados, el resultado final es que la onda resultante de las sucesivas interferencias está desfasada respecto de la primaria, es decir, que se ha propagado a menor velocidad que en un medio sin átomos (el vacío). De manera intuitiva, en una primera aproximación, parece lógico que la luz viaje a menor velocidad en un medio con más átomos (más denso) que en un medio menos denso. Por eso en muchos textos se asocia índice de refracción con densidad, aunque no es más que una aproximación muy simple y poco aplicable a cualquier tipo de compuestos. Otra suposición intuitiva es que este proceso no puede ser idéntico para distintas frecuencias, y que éstas deben tener un comportamiento diferencial entre sí. Del mismo modo, es fácil imaginar que las frecuencias más elevadas implican mayor inercia en la emisión secundaria de los electrones, de forma que la luz de "retrasa" más para las frecuencias elevadas que para las bajas. Es decir, el índice de refracción de frecuencias elevadas (longitudes de onda pequeñas) debe ser mayor que para frecuencias bajas (longitudes de onda largas). Ésto es verdad para ciertos tramos del espectro electromagnético, y es lo que se conoce como dispersión "normal" del índice de refracción. Y aún es posible obtener otra conclusión de este fenómeno: si la distribución de los átomos en una estructura cristalina es anisótropa, también lo debe ser la velocidad de propagación de la luz. Es decir, en el interior de un cristal, la luz no se propaga con igual velocidad en distintas direcciones. 4.6. Estructura cristalina y propiedades ópticas Supongamos una estructura cristalina muy simple constituída por una fila de átomos iguales, que es atravesada perpendicularmente por una onda electromagnética (Figura 8a). El vector eléctrico asociado a la onda es paralelo a la dirección de la fila, y la polarización de los átomos, a los que se supone una distribución esférica de los electrones, se hace como muestra la Figura 8a. En estas condiciones (polos de signo opuesto cercanos), la polarización se ve favorecida por la atracción electrostática entre cargas de signo contrario.

Si la propagación de la radiación ocurre en la dirección de la fila (Figura 8b), y por tanto con el vector eléctrico perpendicular a la misma, la polarización tiene lugar como se indica en la figura. Los polos de igual signo están más cercanos que en el caso a), y esta situación no favorece la polarización de los átomos. Consecuentemente, la velocidad de la luz es menor en el primer caso que en el segundo, debido a la mayor polarización eléctrica. Es decir, la velocidad de la luz no es igual en todas las direcciones y, por tanto, la estructura es anisótropa frente a sus propiedades ópticas. Se puede intuir que una mayor distancia entre átomos reduce la polarización de éstos, y la velocidad de la luz es mayor. Es posible complicar algo más la situación y suponer un cristal formado por capas de átomos iguales con una distancia entre ellos pequeña y una separación entre las capas mucho mayor (Figura 9), como ocurre en las estructuras de los filosilicatos, por ejemplo. Consideremos tres direcciones de los vectores eléctricos asociados a radiaciones electromagnéticas E1, E2 y E3. Para E1, dirigido perpendicularmente a las capas estructurales separadas por una distancia relativamente grande, la polarización es pequeña, y la luz disminuye poco su velocidad respecto del vacío (n1 será pequeño). Por el contrario, los vectores eléctricos E2 y E3 están en las direcciones en que las distancias entre átomos son pequeñas, se favorece la polarización, la luz viaja a menor velocidad y los índices de refracción n2 y n3 serán mayores que n1. Cabe remarcar que la mayor o menor polarizabilidad de la estructura depende de la dirección del vector eléctrico asociado a la radiación, que es perpendicular a la dirección de propagación y, por tanto, se trata de un fenómeno transversal respecto de la dirección de propagación. Conviene tener en cuenta esta circunstancia para interpretar y entender otros fenómenos, en que la transversalidad de la polarización eléctrica y óptica volverá a aparecer. Se puede intuir que la anisotropía óptica es mayor en estructuras cristalinas fuertemente anisótropas y que es menos acusada en estructuras con una distribución más homogénea de los átomos. Es decir, sin profundizar más en este aspecto, a la luz de lo expuesto hasta ahora, parece lógico que los tectosilicatos tengan birrefringencias bajas, mientras que los filosilicatos, o los carbonatos presenten una fuerte anisotropía óptica. 4.7. Polarización y campo eléctrico Hasta aquí se ha supuesto una distribución electrónica esférica alrededor del núcleo atómico, lo cual no se ajusta a la realidad porque muchos de los orbitales poseen una distribución de la probabilidad radial de forma lobular. En la distribución esférica considerada, el vector que determina la polarización eléctrica siempre coincide con la dirección del vector eléctrico E, sin embargo, ésto no es así en todos los casos y direcciones. Imaginemos un orbital aislado de distribución lobular como en la Figura 10, en el que la zona de máxima probabilidad de encontrar un electrón corresponde al segmento negro, alargado en la dirección del lóbulo. Aplicando un campo eléctrico en la dirección del orbital (caso a), los electrones se polarizan en la dirección de zona de mayor probabilidad, el vector de la polarización D es paralelo a E. Si el campo eléctrico asociado a la radiación es perpendicular al orbital (caso b), la polarización es menor, pero también paralela a E. Pero si el vector E forma cierto ángulo con la dirección de alargamiento del orbital (caso c), se induce una polarización de los electrones del orbital, de modo que vibran en una dirección situada entre la zona de mayor probabilidad y E. En este caso, la polarización D no coincide con E. Se puede introducir una nueva dirección, asociada al producto vectorial entre D y el vector magnético H de la radiación electromagnética, distinta del vector de Pointing antes considerado: S=DxH normal de onda (propagación de la fase) S=ExH rayo (propagación de la energía) En este ejemplo se ha considerado un orbital aislado, pero en un átomo hay que considerar la resultante de la polarización de todos los orbitales que constituyen sus cubiertas electrónicas, y en una estructura, la resultante de la polarización de sus átomos, así como las posibles interacciones debido al tipo de enlace y al poliedro de coordinación. En resumen, hay que tener en cuenta que, para ciertas direcciones, la polarización no tiene porqué ser paralela al vector eléctrico. 4.8. Dispersión Dispersión es la variación de las propiedades ópticas con la frecuencia. Normalmente se considera la variación del índice de refracción, y en el visible la dispersión se evalua como la diferencia entre los índices correspondientes a las frecuencias de las líneas B y G del espectro

de Fraunhofer (longitudes de onda 687.7nm y 430.8nm, respectivamente). En esta sección se considera la dispersión en un amplio margen del espectro electromagnético. Aunque la hipótesis de Maxwell trata la materia como un medio continuo donde la respuesta a los campos eléctrico y magnético está condicionada por la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética (en cuya hipótesis no varían con la frecuencia), la experiencia y lo que se intuye de lo visto hasta ahora, indican que la luz de distintas frecuencias se propaga a velocidades distintas. Para tratar de justificar la dispersión hay que introducir la naturaleza atómica de la materia y explotar algunos de sus aspectos que dependen de la frecuencia. Como se ha visto, cuando un material dieléctrico (aislante) se somete a un campo eléctrico, la distribución de la carga de sus átomos se ve afectada y se polariza. El momento bipolar resultante por unidad de volumen vale:

P 0) Donde y son la permitividad eléctrica del medio y del vacío, 0 respectivamente. Se puede aproximar que la polarización puede tener lugar, básicamente, mediante dos mecanismos: - en las moléculas con enlaces polares la distribución de cargas de enlace no es uniforme, y cuando se aplica un campo eléctrico, los dipolos se orientan sobre sí mismos y se produce una polarización preferentemente orientada en la dirección del enlace, normalmente covalente. - en los átomos y moléculas no polares, la aplicación del campo eléctrico provoca una polarización condicionada por la dirección de E, pero sin coincidir necesariamente con ella. La polarización afecta a átomos (los electrones de los átomos) y/o moléculas o grupos iónicos (enlaces entre moléculas y/o átomos). Normalmente las moléculas y los grupos iónicos tienen una masa grande y, por lo tanto, una elevada inercia y sólo pueden polarizarse si la frecuencia del campo eléctrico es muy baja (longitudes de onda largas). Mientras que para frecuencias elevadas, sólo los electrones (con muy poca masa e inercia) pueden seguir las oscilaciones del campo eléctrico, de modo que éstos aún contribuyen a los valores de la constante dieléctrica para frecuencias en que ya no lo hacen las moléculas. Por lo tanto, la variación del índice de refracción con la frecuencia en función de varios mecanismos de polarización eléctrica. Se puede deducir pues una expresión para n=f(w) considerando lo que ocurre en un medio a nivel atómico. Se puede imaginar cada orbital como una nube electrónica en equilibrio alrededor del núcleo. Si se desplaza respecto del mismo, debe existir una fuerza que restaure el equilibrio. Suponiendo un desplazamiento a lo largo del eje x, la fuerza ha de ser de la forma F=-kx, de manera que, en la posición de equilibrio, F = 0. Además, sin la influencia de ningún campo eléctrico externo, la nube electrónica oscila alrededor de la posición de equilibrio con una frecuencia natural (o resonante) w0. Donde me es la masa del electrón 0  k 1/2  me Se puede imaginar un medio material como un conjunto de átomos polarizables de pequeño tamaño en relación a la longitud de onda de la radiación incidente. Cuando en este medio incide luz, cada átomo se comporta como un oscilador controlado por el campo eléctrico que varía en función del tiempo E(t). La fuerza ejercida por este campo sobre un electrón de carga qe es F E q e E( t) = q e E( t) ( ) cos 0  La segunda ley de Newton permite deducir la ecuación del movimiento (la suma de fuerzas es igual al producto de la masa por la aceleración): q e E0 cos  t - m e2 x = m e d x/dt2 (fuerza que conduce la oscilación) – (fuerza que restaura el equilibrio) = = (masas electrón) ·( aceleración) Donde x es el desplazamiento [ -- x ha de ser una función cuya segunda derivada no sea muy distinta de la propia x --] El electrón oscila con la misma frecuencia que E(t), por tanto se puede proponer la siguiente expresión de su oscilación, (xo es la amplitud de la oscilación) x t x t ( ) cos 0  substituyendo x en la expresión anterior es posible calcular la amplitud del oscilador, xo

de donde se deduce

Que es el desplazamiento relativo entre la nube electrónica y elnúcleo positivo. Por tanto, de esta expresión es posible derivarque: Sin un campo eléctrico externo (w=0), el oscilador vibra asu frecuencia de resonancia w0.S cuando incide una radiación de frecuencia menor que wo,E(t) y x(t) tienen el mismo signo, lo que significa que el oscilador sigue la frecuencia del campo aplicado (están en fase) S si la radiación incidente tiene w>wo, el desplazamiento x(t) se hace en dirección opuesta a la fuerza aplicada qeE(t) (están en oposición de fase) El momento del dipolo es la carga (qe) por su desplazamiento, y si hay N electrones por unidad de volumen, lapolarización (es decir la densidad de los momentos de los dipolos valeque substituido en la anterior ecuación queda

Se puede escribir la ecuación que describe la dispersión de n en función de la frecuencia w

Según esta expresión, para frecuencias crecientes, superiores a la de resonancia (wo2-w2)1. De hecho, lo que realmente ocurre es que cada compuestotiene varias de estas transiciones de n1 para frecuencias crecientes, por tanto, en lugar de una única frecuencia de resonancia wo, deben existir varias, y consecuentemente, parece lógico generalizar la expresión suponiendo que en un medio que contiene N unidades de fórmula por unidad de volumen, cada una con fj osciladores que tienen frecuencias de resonancia woj (donde j =1, 2, 3, 4...) Esta expresión es similar a la que se obtendría mediante la mecánica cuántica, pero hay que interpretar algunos de los términos S woj deben ser frecuencias características a las cuales un átomo puede absorber

o emitir radiación S fj son términos en que por tanto, son factores de f jj 1 proporcionalidad Es de notar, además, que cuando w=woj, n es discontinuo (se produce un término con un cero en el denominador), y para valores muy cercanos a woj, n adopta un valor casi infinito (Figura 11). Este hecho es contrario a los datos experimentales, para los que n aumenta para frecuencias w=woj, pero no se hace infinito, ni discontinuo

Ello se debe a que no se ha considerado el efecto de amortiguación del oscilador debido a la proximidad de otros átomos, cuya presencia implica cierta fricción que provoca que parte de la energía se convierta en calor. La fuerza de amortiguación debe incluirse en el denominador del segundo término de la ecuación, y si se considera proporcional a la velocidad y a la masa (me · dx/dt), la ecuación queda Expresión en la cual del denominador no llega a ser nunca cero, aunque woj=w - Entre las zonas donde woj=w, para w crecientes, mientras se acerca a woj, el término (woj 2-w2) decrece, y por tanto n crece gradualmente de forma continua con la frecuencia. Es lo que de denomina dispersión normal Para un compuesto transparente en el visible, el índice de refracción sigue una curva como la que se muestra en la Figura 12. Existe una ecuación

empírica (ecuación de Cauchy) que expresa esta variación con una serie - Cuando w se acerca a una frecuencia de resonancia woj, lososciladores entran en resonancia, sus amplitudes crecensignificativamente y esto se traduce en una amortiguaciónde la radiación incidente y una fuerte absorción de lamisma. Para w=woj el factor de amortiguación esclaramente dominante, por esto a las regiones del espectrocercanas a woj se les llama bandas de absorción. Es lallamada dispersión anómala, por contraposición a la que seha denominado normal. 6. POLARIZACIÓN DE LA LUZ 6.1. Luz natural y luz polarizada La luz se genera por un dipolo (una carga eléctrica) que vibra a cierta frecuencia y por tanto genera un campo eléctrico de variación rápida (precisamente la de la frecuencia de vibración del dipolo). Este campo implica, a su vez, el correspondiente campo magnético y ambos dan lugar a una onda electromagnética que se propaga siguiendo el vector de Poynting. Los vectores E y H vibran aleatoriamente en cualquiera de los planos que contienen el vector S porque la vibración del dipolo generador no está restringida. Ésto es lo que se conoce como “luz natural”, para diferenciarla de la “luz polarizada” en la cual el vector eléctrico vibra en un solo plano, que se denominaplano de polarización. La luz que se propaga en estas condiciones se denomina luz polarizada plana, o linealmente polarizada. En realidad, cuando en el primer capítulo se ha considerado la composición de ondas, por facilidad de comprensión, se ha dado por supuesto que ambas eran linealmente polarizadas, y que la onda resultante

también estaba en el mismo plano. También se pueden combinar dos ondas linealmente polarizadas en planos perpendiculares entre sí y se deducirá que la onda resultante también es linealmente polarizada si las dos primeras están en fase, conclusiónque será útil más adelante. Supongamos dos ondas linealmente polarizadas que avanzan sobre una recta (eje x) y cuyos vectores eléctricos vibran sobre los planos xz e xy, respectivamente (Figura 2). Ambas ondas se representan por las expresiones El vector E es función del espacio (x) y del tiempo (t). Se han introducido los vectores unitarios i y j para permitir la suma vectorial de

ambas ondas. En las dos expresiones, los respectivos argumentos de los cosenos son el estado de la fase y entre las dos existe una diferencia de fase . Más adelante se considerará el caso general pero en este momento conviene analizar lo que ocurre para =0. La suma de las dos ondas es, pero si =0 E x

Esta expresión, idéntica a las anteriores, también corresponde a una onda linealmente polarizada, de amplitud, y en fase con las dos ondas que la componen, ya que el argumento delcoseno es el mismo. El vector E progresa en un ciclo ondulatorio enla dirección de x vibrando en un plano intermedio, no necesariamentebisectriz, entre los planos xz y xy. A esta misma conclusión (composición de dos ondas en fase) se llegará posteriormente como caso particular de un planteamiento más general, sin embargo resulta útil el hecho de considerar que se puede efectuar el proceso al revés: descomponer una onda linealmente polarizada en dos ondas ortogonales, también linealmente polarizadas. 6.2. Obtención de luz polarizada A continuación de explicarán brevemente algunos de los procedimientos experimentales que permiten la obtención de luz polarizada a partir de una emisión de luz natural, aunque lajustificación de alguno de ellos tendrá lugar más adelante. En todoslos casos se trata de llevar el vector eléctrico a vibrar en uno solo de los planos que continen la dirección de propagación, el plano de polarización. Básicamente existen tres grandes grupos de procedimientos para producir luz linealmente polarizada: por reflexión, por absorción y por refracción en un medio cristalino. 6.2.1. Polarización por reflexión Cuando la luz se refleja en una superficie plana sufre unapolarización parcial en el plano perpendicular al plano de incidencia. Variando de modo contínuo el ángulo de incidencia, si se dispone de algún instrumento que permita analizar el grado de polarización de la luz reflejada, se observará que ésta es máxima para cierto ángulo, conocido como ángulo de Brewster. Más adelante se justificará este hecho en función del ángulo de incidencia y del índice de refracción de los medios en que ocurre el fenómeno. Este efecto tiene lugar en algunas situaciones cotidianas, como por ejemplo en las puestas o salidas de sol sobre el mar o sobre un lago, que forman superficies reflectantes relativamenteplanas. La luz procedente del reflejo sobre el agua está fuertemente polarizada, de modo que si se quiere reducir su intensidad en una fotografía se debe utilizar un filtro polarizador en un ángulo de polarización adecuado, dependiendo del efecto que se quiera producir en la imagen. 6.2.2. Polarización por absorción: láminas polarizadoras Desde antiguo se conoce la propiedad de algunos minerales que, tallados en la orientación adecuada, son capaces de absorber fuertemente la radiación que vibra en uno de los planos, dejando pasar la otra. De hecho lo que sucede es que, al entrar una onda en cualquier medio anisótropo, se desdobla en dos linealmente polarizadas, las cuales atraviesan en cristal con velocidades y propiedades distintas.

Puede ocurrir que la absorción producida sobre una de ellas sea muy importante respecto de la otra, y que la luz que emerge de la lámina de cristal esté formada de modo casi exclusivo por una de las ondas, que estará linealmente polarizada. Este hecho se detectó desde hace mucho tiempo en la turmalina, y las llamadas “pinzas de turmalina” han sido uno de los artilugios más utilizados para mostrar la polarización de la luz hasta la generalización de las láminas polarizadoras, comercializadas por primera vez por la firma Polaroid, cuyo nombre comercial ha dado lugar a la denominación popular de estas láminas. Las láminas polarizadoras no son otra cosa que hojas de cierto plástico cuyas propiedades absorbentes de una de las ondas producidas son suficientes como para que, al emerger, prácticamentetoda la luz se pueda considerar linealmente polarizada. El fenómeno es el mismo que en las láminas de turmalina, pero su eficacia es mayor y la absorción total (de ambas ondas) menor, lo cual las hace útiles como elementos polarizadores para la mayoría de las experiencias rutinarias en Óptica: de hecho son los elementos de polarización que incorporan la inmensa mayoría de los microscopios de polarización. Estas láminas polarizantes tienen un buen rendimiento como tales en la totalidad del espectro visible e infrarojo cercano, pero dejan de ser efectivas en el ultravioleta, para cuyas radiaciones hay que emplear otro tipo de elemento polarizador, como por ejemplo un prisma de Nicol. La primera lámina polarizadora fué propuesta en1928 por un estudiante de 19 años del Harvard College llamado Edwin Herbert Land, y consistía en una hoja de plástico que incorporaba diminutos cristalitos aciculares de una substancia altamente dicroica (como la turmalina) llamada herapathita. Land denominó a esta lámina hoja polaroid-J, y presentaba el inconveniente de la difusión de la luz producida por los cristalitos. Actualmente los elementos dicroicos incoporados a las láminas son de tamaño molecular, de modo que se evita el problema asociado a la difusión de la luz que las atraviesa. 6.2.3. Polarización por doble refracción: el prisma de Nicol. La luz que atraviesa un medio anisótropo se desdobla en dos ondas polarizadas con los planos de polarización mutuamente perpendiculares. Un dispositivo experimental que fuese capaz de eliminar una de las ondas y dejar pasar la otra sería un buen polarizador. Este dispositivo fué inventado por William Nicol en 1828 a partir de un romboedro de exfoliación de calcita, cuya elevada birrefringencia es de extrema utilidad para estos fines (no=1.6584, ne=1.4864 para =589nm, línea D del espectro de Fraunhofer). El prisma diseñado por Nicol (conocido universalmente por prisma de Nicol, o simplemente Nicol) consistía en esencia en un romboedro de calcita cortado en dos partes (como muestra la Figura 5) unidas mediante bálsamo del Canadá, una substancia natural transparente de índice de refracción muy cercano a 1.5, aunque actualmente se utilizan resinas sintéticas. El haz luminoso que entra por uno de los extremos se desdobla en dos haces linealmente polarizados que siguen trayectorias distintas (siguen el camino de los rayos luminosos), uno corresponde a la onda extraordinaria, y otro a la ordinaria. Ambos haces llegan a la superficie de resina (n=1.5) bajo ángulos de incidencia distintos. El del ordinario (cuyo índice es superior al de la resina) es superior al ángulo límite y, por tanto, sufre reflexión total y es absorbido por las paredes de la montura del prisma. El otro, de índice muy parecido al de la resina pasa sin desviarse y atraviesa el conjunto del prisma, de modo que a la salida se recoge un haz de luz linealmente polarizada. La operatividad de este dispositivo se veía limitada por la absorción de la resina en la zona ultravioleta. Desarrollos posteriores, como el prisma de GlanFoucault, subtituyen la resina por aire, y otros prismas modifican ligeramente la geometría del romboedro de exflociación para mejorar la apertura numérica del sistema aunque, en esencia, el fenómeno que tiene es el descrito para el prisma de Nicol. 6.3. Ley de Malus Supongamos un dispositivo experimental consistente en dos polarizadores superpuestos, de forma que un haz de luz los atraviese, y que uno de ellos puede girar respecto del otro, que permanece estático. La intensidad luminosa transmitida por el sistema variará con el ángulo de giro, de tal manera que pasará por dos puntos de máxima luminosidad

separados 180º, con dos puntos de obscuridad total a 90º de los anteriores. Entre estos extremos la intensidad va creciendo y decreciendo paulatinamente, según los casos. Dibujando la intensidad en un diagrama circular en el que sobre cada radio se situa el punto correspondiente a la intensidad relativa, tomando como100% la longitud del radio se genera una curva como la que muestra la Figura 6. La curva dibujada obedece a una expresión, que se conoce como ley de Malus

Donde I es la intensidad transmitida para un ángulo e Io la intensidad incial. En esta expresión el valor de I es igual a I0 paravalores ºyº, y vale 0 para ángulos de 90º y 270º. 6.4. Intensidad transmitida por una lámina anisótropa entre polarizadores cruzados Supongamos un dispositivo consistente en una lámina transparente de un cristal anisótropo que pueda girar, colocada entre polarizadores con los planos de polarización a 90º, y que el conjunto es atravesado por luz con incidencia normal - Figura 7 -(en este caso no es importante si ésta es monocromática o blanca). La situación que se acaba de describir es idéntica a la que tiene lugar en el microscopio de polarización cuando se observa una lámina delgada entre polarizadores cruzados. La Figura 8 representa la proyección a lo largo del eje de iluminación, que coincide con el de giro de la lámina anisótropa. Ésta, orientada al azar, polariza la luz que la atraviesa en las direcciones señaladas como 1 y 2, la primera de las cuales forma un ángulo con el primero de los polarizadores (P1). La radiación transmitida por el primer polarizador tiene una amplitud representada por P1 sobre su plano de polarización. Cuando esta radiación llega a la lámina anisótropa se desdobla en dos ondas de amplitudes A1 y A2, cuyos valores, de acuerdo con la ley de Malus, son:

Obsérvese que al girar la lámina anisótropa emerge alternativamente la radiación transmitida por la dirección 1 y 2 alternativamente cada 90º. Y cuando estas ondas, tras emerger del cristal llegan al segundo polarizador (P2), la amplitud de cada una de ellas que se transmite es, respectivamente

La luz transmitida por el conjunto del sistema es la suma aritmética de amplitudes A1’ y A2', y de acuerdo con sus respectivas expresiones, la intensidad total será cero para ángulos de 0º, 90º, 180º y 270º, es decir el

sistema no transmitirá luz cuatro veces en un giro completo de la lámina anisótropa. Entre estas posiciones de extinción, la intensidad irá creciendo hasta pasar por unos máximos situados a 45º de cualquier posición de extinción. 7. INTERFERENCIA DE LA LUZ

La interferencia de dos o más ondas luminosas puede ser descrita como la interacción entre ellas que da como resultado una onda distinta de la simple suma de las componentes. El proceso básico es el descrito en el capítulo primero como composición de ondas, sin embargo en esta sección se tratará de aportar las bases teóricas necesarias para comprender los fenómenos de interferencia que tienen lugar en el microscopio de polarización y en los que se basa buena parte del estudio de la interacción entre la luz y los cristales que sirven de base a la Mineralogía óptica. 7.1. Condiciones para la interferencia Para que dos ondas produzcan una interferencia apreciable es necesario que se propaguen en la misma dirección y sentido, y mantengan que entre ellas una diferencia de fase constante (es lo que se denomina luz coherente). En la geometría del microscopio de polarización y de otros dispositivos interferenciales, las radiaciones que van a interferir están polarizadas en planos perpendiculares. Fresnel y Aragó estudiaron la interferencia de ondas polarizadas en ángulo recto y llegaron a las siguientes conclusiones: a) dos haces polarizados en ángulo recto procedentes de la misma fuente no producen interferencia apreciable aunque sean llevados al mismo plano de polarización. b) dos haces polarizados en ángulo recto, provenientes de luz ya polarizada, interfieren cuando son llevados al mismo plano de polarización. 7.2. Superposicón de ondas polarizadas: polarización elíptica Desde un punto de vista estrictamente matemático, es posible combinar dos ondas que avanzan a igual velocidad, polarizadas perpendicularmente. Esta situación es la que tiene lugar a la salida de una lámina cristalina, en que una onda previamente polarizada se ha desdoblado en dos, con planos de polarización perpendiculares entre sí y que progresan a dintintas velocidades en el interior del cristal hasta que llegan al exterior (aire u otro medio isótropo), donde viajan a igual velocidad. Se refieren ambas ondas a un sistema de coordenadas de modo que ambas avanzan sobre el eje x, y los vectores eléctricos vibran sobre los planos xy y xz. Sean Eoy y Eoz las amplitudes de las dos ondas, y Ey y Ez los respectivos vectores eléctricos en un momento dado, que se componen dando lugar a un vector E, que será el vector de la onda resultante (Figuras 1 y 2). Como Ey y Ez varían de módulo en cada instante y progresan a lo largo de x, el vector resultante E describirá una curva espiral siguiendo x, cuya forma dependerá de las amplitudes Eoy y Eoz y de la diferencia de fase entre las dos ondas. A continuación se estudiará la forma de la curva que describe E proyectándola sobre el plano xy. Las ecuaciones de las dos ondas que se van a componer, con una diferencia de fase , son Pasando Eoy a la izquierda, multiplicando los dos términos de la primera ecuación por cos y desarrollando el coseno de la suma en la

segunda, quedan

Restando ambas ecuaciones y elevando al cuadrado, Como se trata de proyectar sobre el plano yz, se debería eliminar el término que incluye el tiempo (t). Para ello, se expresa el término

en función de Eoy y Ey a partir de la ecuación (1)

Figura 4 Figura 3

y substituyendo en (2):

Ecuación que representa una elipse, y por tanto se dice que la onda resultante es elipticamente polarizada. De las anteriores expresiones, , por lo que la intensidad de la onda elípticamente polarizada resultante es , puesto que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud. Por otra parte, los valores de Ey y Ez varian entre +Eoy y -E0y, y entre + E0z y - E0z, respectivamente, lo que implica que la elipse deducida ha de estar necesariamente incrita en el rectángulo limitado por estos parámetros. Si las dos ondas están en fase (... 2k) la elipse se convierte en una recta que coincide con una de las diagonales del rectángulo (Figura 3):

Igualmente, si (... [2k-1]) la recta resultante es la otra diagonal (Figura 4) Cuando se produce esta situación, la onda resultante es linealmente polarizada y es uno de los casos particulares comentados como combinación de ondas en fase al inicio del capítulo anterior. Otro caso particular se produce cuando, en que la queda

ecuación

Que corresponde a una elipse con los ejes coincidentes con y y z (Figura 5), si los vectores Eoy y Eoz tienen igual módulo (ondas de idéntica amplitud), la resultante es un círculo, y la luz se denomina circularmente polarizada. La representación gráfica de las elipses resultantes de la proyección de la combinación de ondas para diferencias de fase crecientes se ha representado en la Figura 6. Aunque hay que recordarque si estas ondas elípticamente polarizadas se proyectan sobre una pantalla (en términos de microscopía, de polarización, se observan sin analizador) no se aprecia efecto interferencial alguno puesto que la composición que se ha hecho es estrictamente matemática, pero no se han llevado ambas ondas a vibrar sobre el mismo plano. Para poner en evidencia el efecto de la interferencia resultante de la composición de estas dos ondas hay que situar un polarizador antes de proyectar la luz sobre la pantalla (o colocar el analizador en el microscopio de polarización). Al intercalar un polarizador antes de la proyección, se llevan a vibrar ambas ondas sobre el plano del polarizador. Supuesto el polarizador en una posición cualquiera PP’ (Figura 7), deja pasar una vibración que no coincide ni con los semiejes de laelipse, ni con Eoy o Eoz. Se podría considerar la elipse como resultante de dos vibraciones linealmente polarizadas según Oa y Ob (resultado de la proyección de la

elipse sobre PP’ y su perpendicular). Por lo tanto, la vibración que pasa tiene una amplitud proporcional a Oa, puesto que Ob es perpendicular al polarizador PP’. 7.3. Interferencias con luz monocromática Imaginemos un dispositivo consistente en una lámina de un material anisótropo transparente, de espesor variable, en forma de cuña, entre polarizadores en posición cruzada, y el sistema atravesado por una radiación monocromática. Se propose este caso porque se asemeja a la situación que ocurre en el microscopio de polarización con los polarizadores cruzados, pero el lector podrá fácilmente extrapolar los resultados a cualquier otra situación. Como se ha supuesto una lámina transparente, la luz que la atraviesa no sufre absorción, por lo tanto se puede considerar que la amplitud incidente, y por tanto la intensidad, no varía al atravesar el cristal. Si se dispone la lámina en su posición de máxima iluminación, es decir, a 45º de cualquiera de las cuatro posiciones de extinción. De acuerdo con la luz de la ley de Malus, las amplitudes de las dos ondas que atraviesan el cristal son iguales y, por lo tanto, los rectángulos definidos por Eoy y Eoz son cuadrados.. La luz que atraviesa la lámina anisótropa se desdobla en dos ondas polarizadas en planos perpendiculares entre sí, y al emerger ambas ondas mantendrán constante su diferencia de fase. Sin embargo, la luz que emerja habiendo atravesado espesores distintos de la lámina anisótropa tendrá una diferencia de fase (o retardo, si de expresa en términos de longitudes de onda) que será creciente desde las zonas más delgadas hasta las más gruesas. Si la luz emergente de la cuña, después de atravesar el segundo polarizador, se proyecta en una pantalla, se verá una imagen como la de la Figura 8 donde se aprecia la variación de la interferencia para diferencias de fase variables

contínuamente. Se observa que para =0 o 360º (en términos de longitudes=k), la luz transmitida por la lámina está linealmente polarizada siguiendo una diagonal del cuadrado, y el plano de polarización de la onda resultante coincide con el del polarizador, por tanto se transmitirá la totalidad de la intensidad. Para una diferencia de fase la onda resultante es una elipse con el eje mayor orientado siguiendo la diagonal del cuadrado, y la intensidad transmitida por el polarizador es algo menor que que en el caso anterior.

Para la polarización es circular, y su proyección sobre el plano del polarizador da un segmento (equivalente a la intensidad transmitida) menor que en el caso precedente. Donde la diferencia entre ambas ondas a la salida de la lámina sea la elipse estará inclinada hacia la otra diagonal del cuadrado y la intensidad final será aún menor. Y ésta es nula cuando ya que la recta resultante sigue la diagonal del cuadrado y es perpendicular al plano de polarización del polarizador: no transmitirá luz. Es decir que se ha pasado gradualmente de una zona de máxima luminosidad (para retardo nulo) a una de máxima oscuridad (retardo de media longitud de onda). Progresando a lo largo de la cuña se llega a

, que da como resultante una elipse alargada según la diagonal del

cuadrado, y la intensidad transmitida crece ligeramente respecto del caso anterior. Igualmente, cuando la luz vuelve a ser circularmente polarizada y la intensidad de luz transmitida aumenta. A medida que el retardo crezca, la intensidad final será progresivamente mayor hasta que para =k(2) o =kvuelva a aparecer una franja obscura. Si la cuña anisótropa fuera lo suficientemente grande como para que a su largo se dispusiera de varios ciclos como el que se ha descrito, el resultado de la intensidad final transmitida serían una serie de bandas claras y obscuras que pasarían del negro (franja obscura) al color de la longitud de onda utilizada en la experiencia. La interferencia se pone de manifiesto sea cual sea la posición del segundo polarizador, de modo que si estuviera a 90º de la actual posición, simplemente las bandas claras serían negras y las negras del color de la radiación incidente. En cualquier posición intermedia, las bandas oscilarían entre zonas claras y zonas ligeramente obscuras, sin llegar a extinguir completamente la onda emergente de la lámina anisótropa. Es de notar que, como la fase depende de la frecuencia y el retardo de la longitud de onda, que son distintas para distintas radiaciones, las franjas obscuras y claras ocuparán posiciones diferentes para las distintas radiaciones monocromáticas que se utilicen en esta experiencia. La Figura 9 muestra las bandas de interferencia obtenidas con luces monocromáticas azul (450nm), verde (550 nm) y roja (630 nm): nótese que ocupan posiciones diferentes en la misma lámina acuñada, y que el espacio entre bandas para longitudes de onda más largas (rojo) es mayor. 7.4. Interferencias con luz blanca: colores de interferencia Imaginemos el mismo dispositivo del caso anterior (lámina anisótropa en forma de cuña entre polarizadores cruzados a 90º en la posición de máxima luminosidad), pero iluminando con luz blanca en lugar de monocromática. Una condición necesaria para la interferencia es que las ondas tengan la misma frecuencia, por tanto hay que considerar la luz blanca como una superposición de trenes de ondas de frecuencias diferentes, de las cuales interferirán aquellas que cumplan las condiciones adecuadas. De modo que, en general, al final no obtendremos luz blanca, sino que faltará el color cuya frecuencia que interfiera destructivamente (que diera lugar a una franja negra en la experiencia anterior). Los colores resultantes son los denominados colores de interferencia, cuya génesis se analiza continuación. De las frecuencias que forman la luz blanca se anulan las que cumplan que

Y en cada caso pasa el color complementario; es decir, el conjunto de frecuencias que forman la luz blanca excepto la que cumple esta condición. En realidad, cada una de las frecuencias transmitidas tendrá una intensidad distinta, pero a efectos de deducir el color esta aproximación es suficiente.

Consecuentemente, si la frecuencia anulada corresponde a luz verde (un retardo de 550 nm, por ejemplo) el color resultante es violeta (la suma de todos los colores del espectro excepto una franja del verde). Si se anula en amarillo (p.e. 589 nm), el color de interferencia es un azul, y si se anula el azul (p.e. 450 nm) se obtiene un color de interferencia anaranjado. Además, estos colores serán bastante saturados porque las frecuencias cercanas a la que se anula transmitirán con muy poca intensidad (recordar las franjas progresivas del negro al claro de la experiencia anterior). En la lámina anisótropa en forma de cuña, para diferencias de fase, o retardos, crecientes se obtendrá una sucesión de colores de interferencia que no se corresponde con los del arco iris, sino que son los respectivos complementarios (Figura 10). Y esta sucesión de colores se repite, como se repetían las bandas claras y obscuras en la experiencia con radiación monocromática. Analizando qué ocurre en la cuña desde retardo cero hasta retardos relativamente altos, se observa que se parte de una franja negra correspondiente a =0 (=0), puesto que para k=0 todas las frecuencias cumplen la condición de interferencia Para retardos crecientes entre 0 y 400 nm, las radiaciones que cumplen la anterior condición están fuera del rango visible del espectro electromagnético, por lo tanto se obtiene una secuencia de grises denominada grises de primer orden.

Las primeras longitudes de onda del visible que cumplen esta condición son las del azul (400nm), de modo que los primeros colores que se obtienen son anaranjados (complementarios del azul en la luz blanca) para pasar progresivamente a rojo (complementario del azulverde espectral), violeta (complementario del verde), verdes y azules (complementarios del naranja y rojo, respectivamente). Este conjunto de colores de interferencia constituyen los llamados colores de primer orden, porque todos ellos cumplen la expresión anterior para k=1. La misma secuencia se repite en sucesivos órdenes de colores de interferencia siguiendo las frecuencias que van cumpliendo la expresión citada para k=1. 2. 3... etc. Sin embargo, a medida que vamos hacia órdenes superiores, los colores de interferencia son menos saturados (se vuelven colores “pastel”), hasta tal punto que para órdenes elevados (6,7...) los colores son prácticamente grises, son los denominados grises de orden superior. Analicemos qué ocurre para retardos mayores: en el caso de =1080nm la condición de extinción se cumple para (2160nm (k=1), 720nm (k=2) y 440nm (k=3); y la de trasmisión total kpara 1080nm (k=1) y 540nm (k=2); es decir sólo una radiación visible es anulada (440nm), por lo tanto el color de interferencia resultate es de esperar que sea bastante saturado. Para un retardo tan elevado como 3780nm, la condición de extinción se cumple para las radiaciones visibles 581nm (rojo), 504nm (verde) y 444nm (azul); y la transmisión total para 630nm (rojo), 540nm (verde) y 472nm (azul). Es decir existen radiaciones azules, verdes y rojas que son totalmente transmitidas y totalmente anuladas, cosa que no ocurría en los colores de primer orden, en los que se anulaba una frecuencia del visible, pero todas las frecuencias cercanas transmitían con muy baja intensidad. En este caso hay transmisión de frecuencias de todos los colores del espectro visible y, por tanto, el color resultate es un color más cercano al blanco (menos saturado), de ahí los llamados grises de orden superior. Como en el caso anterior, hay que recordar que estos colores aparecen con el polarizador (analizador) en una posición determinada. No obstante, un giro de 90º daría como resultado los correspondientes colores complementarios de los obtenidos en estas condiciones. Iigualmente, una posición intermedia del polarizador no anularía completamente ninguna de las radiaciones del visible y se obtendría una gama de grises o, en todo caso, colores de muy baja intensidad, dependiendo del ángulo de polarización. 8.- LA LUZ EN LOS MEDIOS DIELÉCTRICOS En este capítulo se analizan con cierto detalle la refracción y la reflexión de la luz en los medios dieléctricos (transparentes), más allá de la descripción de los fenómenos que se ha hecho en el capítulo primero. Por simplicidad de las explicaciones, el análisis se efectúa para medios isótropos, pero los resultados son extrapolables a los medios anisótropos, considerando el desdoblamiento en dos ondas que tiene lugar. 8.1. Refracción y reflexión Un frente de onda llega a una superficie plana que separa dos medios de índices de refracción n1 y n2, con un ángulo de incidencia i (Figura 1). Aplicando las construcciones de Huygens se deduce la existencia de un frente de onda reflejado en el mismo medio de procedencia, y otro refractado en el segundo medio. De la geometría de la construcción, se llega a la expresión ya conocida de la ley de Snell

Si el primer medio es el vacio (o aire, en una aproximación suficiente) De acuerdo con el principio de Descartes, el el mismo plano, llamado de incidencia.

rayo incidente, la normal, el rayo reflejado y el refractado están en

Existe un ángulo especial (ángulo de Brewster ) para el cual, i el rayo refractado y el reflejado forman un ángulo de 90º (i + r = 90º). Para estas condiciones se cumple que

En la experiencia anterior, si el índice de refracción del primer medio es superior al del segundo (n1>n2), el ángulo de refracción es mayor que el de indicencia (Figura 2), y cuando r llega a 90º, en la expresión de la ley de Snell (1) no tiene sentido un valor de r superior, y el correspondiente ángulo de incidencia ic se denomina ángulo límite, o ángulo crítico. Para ángulos de incidencia superiores, la totalidad de la luz es reflejada y no existe haz refractado. En el ángulo límite se cumple que:

Expresión que se utiliza en algunos equipos experimentales (refractómetros) para determinar uno de los índices de refracción, conocido el otro y determinando el ángulo límite. 8.2. Haz transmitido (refractado) Consideremos una geometría como en la Figura 3, en la que un rayo (E) incide desde el vacío con un ángulo i, sobre una superficie de un medio dieléctrico de índice de refracción n. Una parte (R) se refleja con un ángulo de reflexión igual al de incidencia, y otra (T) se refracta con un ángulo de refracción de acuerdo con la ley de Snell. Si el rayo incidente linealmente está polarizado, su vibración se puede desglosar en dos componentes ortogonales, una longitudinal (p), contenida en el plano de incidencia, y otra transversal (s), perpendicular a la anterior. Relaciones de amplitud A partir de las ecuaciones de Maxwell se puede demostrar quelas relaciones de fase de las componentes s y p del rayo refractado son

El signo es positivo para cualquier ángulo de incidencia, por tanto la vibración refractada está en fase con la incidente (tienen igual fase). Es posible dibujar estas relaciones de fase desde incidencia rasante (90º) hasta normal (0º). Como el ángulo r es función de i para cada índice de refracción, la gráfica de la Figura 4 se ha calculado para n=1,5. La pequeña diferencia entre ambas componentes es debida al valor de cos(i - r) del denominador de la expresión de la componente longitudinal p, que se mantiene mayor que s para cualquier valor de i, excepto a 0º y 90º, en que se igualan. Para el caso especial de incidencia normal i=0º, de especial importancia en microscopía, ambas componentes son iguales, y considerando que para ángulos muy pequeños el valor del ángulo en radianes, y sus tangente y seno son iguales, se puede escribir, y como ,

Substituyendo y dividiendo por r queda

Relaciones de fase y estado de polarización Las expresiones de las relaciones de amplitud tienen signo positivo para cualquier ángulo i, lo que significa que las componentes del rayo refractado están en fase con la radiación incidente. Teniendo en cuenta que sólo hay diferencia de amplitud entre las componentes s y p del rayo T transmitido (refractado), la composición de ambas dará como resultado una radiación linealmente polarizada. La Figura 5 representa una proyección a lo largo de la dirección de propagación de la composición de las componentes s y p del rayo transmitido. Se ha dado por supuesto que las componentes s y p del rayo incidente son iguales, aunque se podría complicar ligeramente el problema si éstas no tienen el mismo valor, perolas relaciones de amplitud siguen siendo válidas. 8.3. Haz reflejado (reflexión externa) Si consideramos el rayo reflejado en el dispositivo de la Figura 3, denominaremos reflexión externa a la que tiene lugar cuando el rayo incidente E pasa de un medio de el índice de un determinado refracción a otro de índice mayor (n11 (por ejemplo, la reflectancia de un mineral de índice n2 en inmersión en aceite de índice n1). De acuerdo con la ley de Snell, aplicando esta relación a la expresión (2) , que multiplicada por n1 queda

Por lo tanto, la expresión genérica de la reflectancia entre dos medios dieléctricos (no absorbentes) es Esta es la expresión general de la ecuación de Fresnel para medios

dieléctricos, y permite evaluar la reflectancia en cualquier circunstancia. El valor de la reflectancia es tanto mayor cuanto más grande es la diferencia entre los índices de refracción de los dos medios, y es independiente de que el haz de luz pase del medio de índice n1 al n2, o al revés, puesto que al elevar al cuadrado la diferencia, el valor de numerador es el mismo sea cual sea el camino de la luz. Por otra parte, nótese que si los valores de ambos índices son iguales (n1=n2) el valor de la reflectancia es cero, es decir que la luz atraviesa los dos medios sin reflexión en la interfase. Esto ocurre, por ejemplo, entre el vidrio (n=1.5) y la resina utilizada para montar las preparaciones microscópicas de rocas y minerales (n=1.5). El conjunto forma un bloque ópticamente homogéneo, y la luz no sufre reflexiones intermedias, ni desviaciones debidas a refracción (aplíquese la ley de Snell para preveer la geometría del proceso). Es de señalar que, en base a las ecuaciones desarrolladas hasta aquí, la suma de las amplitudes transmitida y reflejada para incidencia normal, vale la unidad

y la suma de ambas

Sin embargo, la suma de las respectivas intensidades no vale la unidad. Más adelante se tratará esta aparente paradoja. Relaciones de fase y estado de polarización En la Figura 6 se ha visto que la componente longitudinal Rp está en fase con Ep para ángulos de incidencia inferiores al de Brewster; para esta componente vale cero, y para valores superiores i está en oposición de fase respecto de la componente Ep del rayo incidente. Por el contrario, la fase de la componente transversal Rs está a 180º de la incidente para cualquier ángulo de incidencia. Por lo que respecta al estado de polarización, la radiación reflejada estará linealmente polarizada para cualquier incidencia, puesto que las componentes Rs y Rp, o están en fase o están en oposición de fase (=0º o =180º), y la composición de ambas es un caso particular de polarización elítpica, que se convierte en lineal. Analicemos el azimut del plano de polarización en las dos zonas de indicencia (inferior y superior al ángulo de Brewster) y los casos especiales de incidencia rasante, normal y para el ángulo . i a) Para i=0º (incidencia normal): el valor positivo de Rs se toma hacia la derecha porque está en oposición de fase respecto de Es, mientras que el valor positivo de Rp se toma en el mismo sentido que Ep porque están en fase. Los módulos de los vectores de las amplitudes reflejadas son menores que los de la incidente, de acuerdo con las expresiones antes deducidas. Como los valores absolutos de las amplitudes reflejadas son iguales, su composición nos dará un rayo linealmente polarizado con el plano a un azimut -45º. b) En la zona entre el supuesto anterior y el ángulo la posición de las i componentes transversal y longitudinal del rayo reflejado son como en el caso anterior, pero el valor absoluto de Rs es mayor, mientras que el de Rp es menor (va disminuyendo hacia el ángulo de incidencia). Ello da como resultante un rayo linealmente polarizado, pero con i un azimut disminuye a medida que el ángulo de incidencia se acerca a . i c) Para incidencia en el ángulo de Brewster, la componente Rp se anula, por lo tanto sólo existe la componente transversal Rs en oposicón de fase con Es. La luz está linealmente polarizada según Rs, y su plano está a azimut 0º. d) Si el ángulo de incidencia es superior a , las dos componentes Rs i y Rp están en oposición de fase respecto de las componentes del rayo incidente. El valor absoluto de Rp es menor, aunque va creciendo con el ángulo de incidencia. Como las dos componentes están en fase, su composición da como resultante una luz linealmente polarizada, y el ángulo de azimut será positivo, y creciente con el ángulo de incidencia. e) Para el caso de incidencia rasante (i=90º), los valores absolutos de Rp y Rs valen la unidad, aunque ambos están en oposición de fase con las respectivas componentes del rayo incidente. Su composición es una onda linealmente polarizada, con un azimut de 45º. 8.4. Haz reflejado (reflexión interna) A continuación se considera el caso de la reflexión interna, es decir cuando el rayo pasa de un medio de índice de refracción n2 a otro de índice n1, de modo que n2>n1 (Figura 8). Se considera la reflexión interna separadamente de la externa porque, a diferencia de éste, existen dos ángulos especiales, el ángulo de Brewster ( ) i y el ángulo límite . ic Relaciones de amplitud Son las mismas relaciones que para la reflexión externa, aunque hay que tener presente que el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia, de acuerdo con lo previsto por la ley de Snell. Por tanto, como antes,

Aunque en este caso, siendo (ir)Ro; negativo R e