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Cinemática inversa y análisis del espacio de trabajo de una plataforma Stewart. Hernan González Acuña, Max Suell Dutra

Resumen— Una plataforma Stewart es un robot de arquitectura paralela con 6 grados de libertad de gran aplicación en la simulación de movimientos de diferentes sistemas mecánicos como por aviones, barcos, helicópteros, etc. Para lograr imitar el movimiento de estos sistemas mecánicos se necesita calcular la cinemática inversa del robot para determinar cuales son las posiciones que cada uno de los actuadores debe tener para lograr la posición y orientación deseada que permitirá realizar diferentes trayectorias trazadas. En este trabajo se presenta la cinemática inversa de una plataforma Stewart de 6 grados de libertad aplicado a la simulación de movimientos en un barco, determinando cuales son las restricciones del movimiento a través del análisis de su espacio de trabajo determinado principalmente por la longitud de sus actuadores.

controlados los diferentes actuadores para realizar las diferentes trayectorias planeadas. En este trabajo, se realiza un estudio de la cinemática inversa de una plataforma Stewart[3], la cual es un robot de arquitectura paralela[4], con la finalidad de diseñar un simulador con la capacidad de realizar movimientos en 6 grados de libertad. II. ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE LA PLATAFORMA STEWART. El cálculo de los grados de libertad de la plataforma Stewart se basa en la configuración presentada en la Figura 1 donde aparecen juntas universales, prismáticas y esféricas.

I. INTRODUCCION

L

A aplicación de la robótica en diferentes tareas busca siempre mejores resultados, siendo una aplicación el diseño de sistemas de movimiento o simuladores que poseen mecanismos, sistemas eléctricos, estrategias de control e interfases graficas[1] que permiten ejecutar movimientos como lo realizaría un sistema real. El desarrollo de estos sistemas de movimiento hace que la simulación sea un componente principal en esta área. La simulación que es definida como “Una técnica numérica para dirigir experimentos en computadores”, estos experimentos contienen relaciones matemáticas y lógicas necesarias para describir el comportamiento de un estructura de sistemas complejos. Naylor & Bustamente[2] definen la simulación como el proceso de diseñar un modelo de un sistema real e realizar pruebas con el para buscar entender el comportamiento de este sistema. En el área de robótica una de las ventajas del software para simulación de robots es la posibilidad de reproducir situaciones que no pueden ser creadas en la vida real debido a su costo o difícil producción. Para diseñar un simulador que tenga la capacidad de imitar movimientos específicos es necesario conocer cuales son las características de velocidad, aceleración, sus características dinámicas y cinemáticas además de cuales son sus limitaciones espaciales y finalmente de que manera pueden ser

Manuscript received June 7, 2009. H. González. Programa de Ingeniería Mecatrónica, Universidad Autónoma de Bucaramanga, Colombia.([email protected].). M.S. Dutra, Laboratorio de robotica, COOPE- Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil (e-mail: [email protected]).

Figura 1. Plataforma Stewart tipo 6-6

Utilizando el criterio de Grübler, ecuación (1), se determina el número de grados de libertad en una plataforma Stewart tipo UPU (universal–prismaticuniversal) así: j

m = λ (n − j − 1) + ∑ f i − I f

(1)

i =1

Donde:

m = Numero de grados de libertad del sistema.

λ = Grados de libertad del espacio donde el mecanismo esta. λ =3, bidimensional y λ =6 para el caso espacial. n = Número de eslabones fijos del mecanismo incluyendo la base y la parte móvil (Top). j = Número de juntas en el mecanismo. f i = Grados del movimiento relativos por junta.

I f = Número de grados de libertad pasivos del mecanismo. Los valores para los términos de la ecuación son λ = 6 , n = 14 , j = 18 , f i = 3 (juntas esféricas) , f i = 1 (juntas prismáticas) y I f = 6 . Sustituyendo los valores en la ecuación (1) se obtiene: 12

6

i =1

i =1

m = 6(14 − 18 − 1) + ∑ 3 + ∑1 − 6 = 6

xA5 = xA3 − xA6 = xA3 +

dp 2 dp 2

sen ( 30 ) ; yA5 = yA3 + s en ( 30 ) ; yA6 = yA3 −

dp 2 dp 2

cos ( 30 ) ; zA5 = zA3 cos ( 30 ) ; zA6 = zA3

Estas coordenadas son calculadas cuando el sistema se encuentra en la posición inicial de reposo, donde para conocer las coordenadas de todos los vértices de la placa superior se aplica la ecuación (3), donde a través de la matriz de transformación BTA con referencia a la base y las

coordenadas iniciales ( xAi , yAi , zAi ) se encuentra el valor de las coordenadas de los vértices para todo

i = 1,....,6 .

III. CINEMÁTICA INVERSA DE LA PLATAFORMA STEWART. La cinemática inversa de la plataforma consiste en determinar cuales son los valores longitud de los actuadores para satisfacer una posición y orientación conocida, es utilizada en la generación de trayectorias como se presenta en algunos trabajos como Angeles [6], Liu et al. [7], Perng & Hsiao [9] y Salcudean et al. [10]. En comparación con los robots seriales, en los robots paralelos la cinemática inversa es menos compleja que la cinemática directa. Para encontrar la cinemática inversa de la placa móvil con base en la forma real de la plataforma presentada en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. se deben conocer las coordenadas X , Y , Z de los puntos

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6

⎡ XAi ⎤ ⎢ YA ⎥ ⎢ i⎥= ⎢ ZAi ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 ⎦

⎡ xAi ⎤ ⎢ yA ⎥ B ( Base ) TA(Top ) ⎢ i ⎥ ⎢ zAi ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 ⎦

(3)

Donde el valor de la matriz de transformación es igual a:

TA =

B

⎡ c(φ A )c(θ A )+s(φ A )s(ψ A )s(θ A ) -c(φ A )s(θ A )+s(φ A )s(ψ A )c(θ A ) s(φ A )c(ψ A ) ⎢ cos(ψ A )s(θ A ) c(ψ A )c(θ A ) -s(ψ A ) ⎢ ⎢ -s(φ A )c(θ A )+c(φ A )s(ψ A )s(θ A ) s(φ A )s(θ A )+c(φ A )s(ψ A )c(θ A ) c(φ A )c(ψ A ) ⎢ 0 0 0 ⎣

Px ⎤ Py ⎥⎥ Pz ⎥ ⎥ 1⎦

como se observa en la Figura 2. Donde

s = seno, c = coseno

Obtenidas las coordenadas de los puntos de la placa móvil

A1 ,... A6

y conocidos los puntos de la base

B1 ,...B6 se

determina el valor de longitud que debe tener el actuador para obtener la posición deseada. La longitud de los actuadores puede ser calculado por la ecuación (5) para i = 1, 2,3, 4,5,6 . Figura 2 Geometría real de la placa superior de la plataforma.

Estas coordenadas se calculan en base al valor de d p y se obtienen las coordenadas de los 6 puntos como se muestra en la ecuación (2) así: xA1 = xA1 −

dp

xA2 = xA1 +

dp

2 2

xA3 = xA2 +

xA4 = xA2 −

sen ( 30 ) ; yA1 = yA1 −

dp

sen ( 30 ) ; yA2 = yA1 +

dp

dp 2 dp

2

2 2

cos ( 30 ) ; zA1 = zA1 cos ( 30 ) ; zA2 = zA1

; yA3 = yA2 ; zA3 = zA2

; yA4 = yA2 ; zA4 = zA2

(2)

Li = ( XAi − Bi x) 2 + (YAi − Bi y )2 + ZAi 2

(5)

(4)

Gráfico de la plataforma

Desplazamiento Z(m)

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.5 0.5 0

0 -0.5

Desplazamiento Y(m)

-0.5 Desplazamiento X(m)

Figura 3 Trayectoria de la plataforma Stewart. Figura 4. Espacio de trabajo de la plataforma Stewart.

IV. ESPACIO DE TRABAJO DE LA PLATAFORMA STEWART. En el análisis del espacio de trabajo de los robots paralelos se han presentado diferentes enfoques. Uno enfoque es presentado por Merlet[11] (1997) donde se diseña un robot paralelo para un determinado espacio de trabajo especifico. En Plessis [12] se presenta un estudio por métodos numéricos para obtener un mejor rendimiento computacional en la determinación del espacio de trabajo de la plataforma Stewart. Firmani & Nokleby et al. [13], Pott & Hiller[14] presentan resultados del espacio de trabajo de los robots paralelos para diferentes números de grados de libertad lo que determina las características del resultado del espacio de trabajo. Para el análisis del espacio de trabajo se tiene como restricción que la longitud del cilindro eléctrico tiene que ser mayor o igual a cero y menor o igual que la longitud 0 ≤ Cursoi ≤ curso máximo . Para el estudio se máxima así: definió en las especificaciones técnicas que la longitud del cilindro eléctrico cumple la condición de 0 ≤ Cursoi ≤ 0, 4 m . En la aplicación de esta condición en el espacio de trabajo se debe considerar además de la longitud del cilindro el valor de longitud del cilindro recogido y extendido. Estos valores son la longitud mínima Lmin = 0,55 m y la longitud máxima Lmax = 0,95 m . Los resultados obtenidos para el espacio con las características técnicas de los cilindros son presentados en la Figura 4 donde se presenta el grafico en tres dimensiones.

En la Figura 5 es presentada la vista superior del espacio de trabajo de la plataforma Stewart, en esta figura se puede observar el valor máximo y mínimo alcanzado por la X min = −0,391 m y plataforma en el eje X que es X max = 0,391 m .

Figura 5. Espacio de trabajo de la plataforma Stewar. Vista superior X-Y.

En la Figura 6 se presenta la vista frontal del espacio de trabajo de la plataforma Stewart. El valor máximo y mínimo Z = 0,394 m alcanzado por la plataforma en el eje Z es min Z = 0,87 m . y max

para el valor de

Li = 0, 75 m para i = 1,..., 6 hallando la

posición X = 0 m , Y = 0 m , Z = 0,644 m .

La rotación de la plataforma alrededor del eje X es una rotación diferente para el sentido positivo y para el sentido negativo esto se debe a las características no simétricas de la placa superior cuando es dividida por el eje X . En la Figura 8 se presenta el giro maximo en el sentido G = 36,1o positivo en el eje X que es de Xp .

b)

a) Figura 6. Espacio de trabajo de la plataforma Stewart. Vista frontal X − Z .

En la Figura 7 se presenta la vista lateral del espacio de trabajo de la plataforma Stewart. El valor máximo y mínimo Y = −0, 451m alcanzado por la plataforma en el eje Y es min Y = 0, 451m . y max

X de la plataforma Stewart. b) Vista lateral Y − Z .

Figura 8. a) Giro positivo en el eje

En la Figura 9 se presenta el giro máximo en el sentido o negativo en el eje X que es de G Xn = −41,8 a)

Figura 7. Espacio de trabajo de la plataforma Stewart. Vista lateral

b)

Y −Z .

V. LIMITES DE GIRO DE LA PLATAFORMA STEWART Los giros y desplazamientos máximos que puede realizar la plataforma en los ejes X , Y y Z , tiene como restricción la longitud del cilindro recogido y extendido que son Lmin = 0,55 m y Lmax = 0,95 m respectivamente. Las rotaciones máximas que la plataforma puede realizar en los ejes X , Y y Z están determinadas por la longitud máxima posible que puedan realizar los cilindros acoplados en la placa superior. Este desplazamiento máximo se calcula en la mitad de las carreras de los cilindros, esto permitirá que los cilindros puedan recogerse y extenderse la misma longitud. Por medio de la cinemática directa se calcula el valor en el cual estaría posicionado el centroide geométrico de la placa

X de la plataforma Stewart. b) Vista lateral Y − Z .

Figura 9. a) Giro negativo en el eje

En la TABLA 1 se presenta el resuman de los giros en el eje X en el sentido positivo y en el sentido negativo y el valor de carrera de los actuadores en la posición final. TABLA 1. VALORES DE LA LONGITUD FINAL DE LOS CILINDROS EN EL GIRO MÁXIMO EN EL EJE X .

Rotación [grados]

GXp = 36,1o

Longitud [m]

L1 = 0, 641

L 4 = 0,95

GXn = −41,8o

L 2 = 0, 698

L5 = 0, 698

L3 = 0,95

L 6 = 0, 641

L1 = 0,949

L 4 = 0,558

L 2 = 0, 791

L5 = 0, 791

L3 = 0,558

L 6 = 0,949

a)

En la Figura 10 se presenta el giro máximo en el eje Y . Por causa de la simetría de la plataforma en relación el eje

Y el valor del giro es simétrico en el sentido negativo y en el sentido positivo. El valor del giro en el eje Y es de GY = ±32,9o . En la TABLA 2 se presenta el valor máximo del giro en el eje Y siendo en giro simétrico y el valor de longitud de los actuadores en la posición final.

Figura 11 a) Giro positivo no eixo lateral

Z da plataforma Stewart. b) Vista X −Y .

En al TABLA 3 se presenta el valor máximo del giro en el eje Z que al igual que el giro en el eje Y también es un giro simétrico y el valor de longitud de los actuadores en al posición final. TABLA 3. VALORES DO COMPRIMENTO FINAL DOS CILINDROS

a)

NO GIRO EM

Z.

Rotación

GZ = ±47,3o

Figura 10. a) Giro no eixo

Y

X −Z .

Y.

Rotación

GY = ±32,9

Longitud [m] o

L1 = 0, 618

L 4 = 0,814

L 2 = 0, 604

L5 = 0,949

L3 = 0, 706

L 6 = 0,869

En la Figura 11 se presenta el giro máximo en el eje

Z,

GZ = ±47,3 . o

este giro también es simétrico e su valor es

L1 = 0,949

L 4 = 0, 692

L 2 = 0, 692

L5 = 0,949

L3 = 0,949

L 6 = 0, 692

VI. CONCLUSIONES

da plataforma Stewart. b) Vista lateral

TABLA 2. VALORES DO COMPRIMENTO FINAL DOS CILINDROS NO GIRO EM

Longitud [m]

El resultado obtenido en la cinemática inversa puede ser usado como señal de entrada para un control de posición en lazo cerrado para el actuador de la plataforma Stewart. En el análisis del espacio de trabajo se obtuvo que la forma del espacio de trabajo refleja el número de grados de libertad de un robot paralelo. En la plataforma Stewart con 6 grados de libertad la vista superior del espacio de trabajo posee la forma de un hexágono. El análisis del espacio de trabajo en la plataforma Stewart fue realizado aplicando como única restricción la carrera de los cilindros eléctricos que en este caso es de 0,4m. Otras restricciones deben ser implementadas cuando la carrera del cilindro posibilita un mayor espacio de trabajo por ejemplo el diámetro del cilindro para evitar colisiones. De los análisis dimensionales de la plataforma Stewart, con cilindros de 0,4m de carrera, las rotaciones máximas son o o o en torno de X de 36,1 a −41,8 , en el eje Y de ±32,9 y en o el eje Z de ±47,3 . En el desplazamiento vertical el valor

mínimo alcanzado es de Z min = 0,394 m y el valor máximo es Z max = 0,87 m .

REFERENCIAS [1]

[2] [3]

[4]

[5]

[6] [7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

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