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• Bryan Aldair Ruiz Salazar

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GRUPO 13.1

Ej 21-26 Haga corresponder las ecuaciones parametricas con las graficas I a VI. Explique las razones de su eleccion.

21) 𝑥 = 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡 ≥ 0 1 22) 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑧 = 1+𝑡 2 1

23) 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 1+𝑡 2 , 𝑧 = 𝑡 2 24) 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡 25) 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠8𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛8𝑡, 𝑧 = 𝑒 0.8𝑡 , 𝑡 ≥ 0 26) 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑡, 𝑧 = 𝑡

Solución. 21) Observamos que las variables x e z aumentan su valor oscilando a través de valores positivos y negativos. La variable y solo toma valores positivos. El punto inicial de la curva es (0,0,0). Como 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑡 2 se concluye que la curva está contenida en una superficie cónica. Por lo tanto, la gráfica que le corresponde es II.

22) Como 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 entonces la curva está insertada en las paredes de un cilindro. La variable z se aproxima a cero a medida que el tiempo transcurre. Por lo tanto, la gráfica que le corresponde es VI. 23) Observamos que la gráfica debe ser simétrica respecto al plano YZ. Analicemos entonces para 𝑡 ≥ 0. Un punto de la gráfica será (0,1,0) y a partir de esto, las variables x e y aumentan y la variable y se aproxima a cero. Por lo tanto, la gráfica que le corresponde es V. 24) Como 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 entonces la curva está insertada en las paredes de un cilindro. La variable z varia periódicamente tomando valores en [−1 , 1]. Como las variables x,y,z son limitadas se trata de una curva cerrada. Por lo tanto, la gráfica que le corresponde es I. 25) Como 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 entonces la curva está contenida en las paredes de un cilindro. Un punto de referencia es el punto (1,0,1) (para t=0) el cual se encuentra en el plano XZ. Cuando 𝑡 → −∞ la variable z se aproxima a cero. Cuando 𝑡 → +∞ la variable z se aproxima a +∞. La variable z siempre es positiva. Por lo tanto, la gráfica que le corresponde es IV. 26) Un punto de referencia es el punto (1,0,0) (para t=0) el cual se encuentra en el eje X. La curva es simétrica respecto al plano XY. Las variables x e y oscilan periódicamente asumiendo valores en el intervalo [0 ,1]. Cuando el tiempo es positivo la gráfica se encuentra arriba del plano XY y tiende a +∞. Cuando el tiempo es negativo la gráfica se encuentra debajo del plano XY y tiende a −∞. La curva es periódica verticalmente. La grafica que se le debe asignar es III.

Ej 41 Encuentre una función vectorial que represente la curva de intersección de las dos superficies a) 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧 = 1 + 𝑦 b) 𝑧 = 𝑥 2 − 𝑦 2 el cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 Solución a) Igualando las ecuaciones √𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 + 𝑦 Simplificando se tiene 𝑥 2 = 1 + 2𝑦 Parametrizamos haciendo 𝑥 = 𝑡. Entonces 𝑦 =

𝑡 2 −1 2

y luego 𝑧 =

𝑡 2 +1 2

b) Parametrizando el cilindro 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 Luego 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡

Ejercicio 45 Determine la curva intersección de las superficies 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, 𝑧 = 𝑥 2 La parametrización de la curva es 𝑟(𝑡) = (2𝑐𝑜𝑠𝑡, 2𝑠𝑒𝑛𝑡, 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑡)