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• Jorge Roldan Sanchez

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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Presentado a: Rigo Julian Osorio Angulo Tutor(a)

Entregado por: July Andrea Garcia Código: 1.115.090.292 Juan Felipe Cruz Código: 1.1148.826.950 Jorge Hernan Roldan Código: 1.114.822.079 Jossie Manuel Suarez Código: 1.140.826.963 Rafael Antonio Pareja Código: 1114825685

Grupo: 100412-56

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA

INTRODUCCIÓN

El curso brinda visión amplia de las distintas aplicaciones que tienen las ecuaciones diferenciales en la rama de la ingeniería y las ciencias en general, se desarrolla a través de 3 unidades académicas. En este orden de ideas para esta actividad nos enfocaremos en la Unidad 2, ecuaciones diferenciales de orden superior. Se presentan los métodos de solución y aplicaciones, de igual forma intentaremos colocar en práctica lo aprendido en el curso con el desarrollo de 3 ejercicios individuales y 2 ejercicios de forma colaborativa además de un video explicativo respecto del desarrollo de uno de los ejercicios propuestos.

OBJETIVOS

General Identificar los diferentes métodos de solución en las ecuaciones diferenciales de orden superior mediante el análisis de problemas físicos y de ingeniería. Específicos  Dar solución a los problemas aplicados de ecuaciones diferenciales de orden superior.  Obtener conocimientos en el desarrollo de ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden superior. En la temática ecuaciones homogéneas, no homogéneas y de Cauchy Euler.  Emplear métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior para la contextualización en situaciones problema.

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL Tabla de elección de ejercicios: Nombre del estudiante Juan Felipe

Rol a desarrollar Alertas

Jorge Hernán roldan

Revisor

July garcia Jossie Suarez Martínez

Compilador

Rafael Pareja

Evaluador

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios Ejemplo: Desarrollo el ejercicio a en todos los 3 Tipo de ejercicios.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 –ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: juan felipe cruz murillo

a. 𝑦 ´´ + 3𝑦 ´ − 88𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN 𝑔 = 𝑒 𝑦𝑥

𝑦" + 3𝑦′ − 88𝑦 = 0 (𝑒 𝑦𝑥 )" + 3(𝑒 𝑦𝑥 )′ − 88(𝑒 𝑦𝑥 )

Reemplazamos

𝑒 𝑦𝑥 (𝑔2 + 3𝑦 − 88)

Factor común (𝑒 𝑦𝑥 )

(𝑦 − 8)(𝑔 + 11)

Factorizamos el polinomio

𝑔 = 8; 𝑦2 = −11 𝑦 = 𝑐1𝑒 𝑦1𝑡 + 𝑐2𝑒 𝑦2𝑡

Para raíces reales y1= g2 La solución toma esta forma

𝑔 = 𝑐1𝑒 8𝑡 + 𝑐2𝑒 −11𝑡

Reemplazamos

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JORGE HERNAN ROLDAN

𝑏. 𝑦 ´´´ − 4𝑦 ´´ − 5𝑦 ´ = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

(𝒆𝒚𝒙 )´´´ − 𝟒(𝒆𝒚𝒙 )´´ − 𝟓(𝒆𝒚𝒙 )´ = 0

Reemplazamos a 𝑦 = 𝑒 𝑦𝑥

𝑒 𝑦𝑥 (𝑦 3 − 4𝑦 2 − 5𝑦) = 0

Simplificamos (factor común) Resolvemos la ecuación

𝑦(𝑦 2 − 4𝑦 − 5)

Factorizamos (factor común)

𝑦(𝑦 + 1) (𝑦 − 5) = 0

Factorizamos

𝑦 = 0; 𝑦 = −1; 𝑦 = 5

Solución de la ecuación

𝐶1𝑒 0 + 𝐶2𝑒 −1𝑡 + 𝐶3𝑒 5𝑡

Reemplazamos en la ecuación 𝑦 = 𝐶1𝑒 𝑦1𝑡 + 𝐶2𝑒 𝑦2𝑡 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑒𝑦𝑛𝑡 para las raíces reales no repetidas 𝑦1, 𝑦2,… 𝑦𝑛

𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑒 −1 − 𝐶3𝑒 5𝑡

Solución final

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JULY GARCIA

𝑐. 3𝑦 ´´ − 12𝑦 ´ + 5𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥

En este caso, se propone una solución exponencial ,procedemos a calcular derivadas.

𝑦 ′ = 𝑟. 𝑒 𝑟𝑥 𝑦′′ = 𝑟 2 . 𝑒 𝑟𝑥 3𝑟 𝟐 . 𝑒 𝑟𝑥 − 12𝑟. 𝑒 𝑟𝑥 + 5 𝑒 𝑟𝑥 = 0 𝑒 𝑟𝑥 (3𝑟 2 − 12 + 5) = 0

Reemplazamos en la ecuación original Factorizamos. Por medio de factor común 𝑒 𝑟𝑥

3𝑟 2 − 12𝑟 + 5 = 0

como una función exponencial nunca es igual a cero. Dividimos entre 3

3𝑟 2 − 12𝑟 + 5 00 = 3 3

0 sobre cualquier denominador, es igual a cero

3𝑟 2 12𝑟 5 − + =0 3 3 3

Simplificamos la Expresión.

5 =0 3

𝑟 2 − 4𝑟 +

(𝑟 2 − 4𝑟 + 4) +

5 4 − =0 3 1

5 − 12 (𝑟 − 2)2 + ( )=0 3 (𝑟 − 2)2 + (

Obtenemos la siguiente forma. Aplicamos artificio matemático completando los cuadrados. Procedemos a resolver lo que está dentro del paréntesis.

−7 )=0 3

(𝑟 − 2)2 −

7 =0 3

(𝑟 − 2)2 =

7 3

Igualamos la Ecuación

Cancelamos el cuadrado por medio de Radical y simplificamos.

7 √(𝑟 − 2)2 = √ 3 7 𝑟 − 2 = ±√ 3

Despejamos la 𝑟

7 𝑟 = ±√ + 2 3

Primera solución particular

7 𝑟1= √ + 2 3

Segunda solución particular.

7 𝑟2= − √ + 2 3 𝑦1 = 𝑒

7 3

(√ +2)𝑥

𝑦 = 𝑐1 𝑒

7 3

y

(√ +2)𝑥

𝑦2 = 𝑒

+ 𝑐2 𝑒

7 3

(−√ +2)𝑥

7 3

(−√ +2)𝑥

Reemplazamos volviendo nuevamente a 𝑦 Solución General

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Jossie Suarez

𝑑. 𝑦 ´´´ − 5𝑦 ´´ + 3𝑦 ´ + 9𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

(𝒆𝒚𝒙 )´´´ -5(𝒆𝒚𝒙 )´´ +e(𝒆𝒚𝒙 )´ +9𝒆𝒚𝒙 𝒆𝒚𝒙 (𝒚𝟑 − 𝟓𝒚𝟐 + 𝟑𝒚+ 9)=0 (𝒚 + 𝟏)(𝒚 + 𝟐)(𝒚 + 𝟑) = 𝟎 (𝒚 + 𝟏)(𝒚 − 𝟑)𝟐 ) = 𝟎 𝒚 = −𝟏; 𝒚 = −𝟑; 𝒚 = 𝟑 𝒚 = 𝒄𝟏 𝒆−𝟏 + 𝒄𝟐 𝒆𝟑𝒕 + 𝒄𝟑𝒕 𝒆𝟑

De la forma La multiplicación de 𝑦 = 3es 2 por tanto La 3𝑡 ecuación es : 𝒄𝟐 𝑒 3𝑡 + 𝑐3 𝑡𝑒 Reemplazamos

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑒. 𝑦 ´´ − 10𝑦 ´ + 25𝑦 = 0; 𝑠𝑖 𝑦(0) = 1,

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

𝑦(1) = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝒎𝟐 − 𝟏𝟎𝒎 + 𝟐𝟓 = 𝟎 (𝑚 − 5) (𝑚 − 5) = 0 𝑌 = 𝐶1𝑒 5𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒 5𝑥 1=C1

0 = 𝑐1𝑒 5 + 𝐶2𝑒 5

Solución general Sujeta a y(0) = 1

−𝑒 5

C2=

𝑒5

C2= -1 𝑌 = 𝑒 5𝑥 + 𝑥𝑒 5𝑥

Solución particular

𝑦(1) = 0

EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: juan felipe cruz murillo

𝑎. y ´´ − 10y ´ + 25y = 30x + 3 RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA Y ´´ − 10y ´ + 25y = 30x + 3 Yn

Ecuación general para solución 𝑦 = 𝑦𝑛 + 𝑦𝑝

yp

𝑦" − 10𝑦 + 25𝑦 = 0

Resolvemos primero la ecuación homogénea (yn)

(𝑒 𝑦𝑡 )" − 10(𝑒 𝑦𝑡 ) + 25𝑒 𝑦𝑡 = 0

𝑦 = 𝑒 𝑦𝑡 reemplazamos

𝑒 𝑦𝑡 (𝑔2 − 10𝑔 + 25) = 0

Factor común 𝑒 𝑦𝑡

(𝑦 − 5)(𝑔 − 5) = 0

Resolvemos el polinomio

𝑦 = 5 > 𝑦2 = 5

La tener raíces iguales la expresión: 𝑦ℎ = 𝑐, 𝑒 𝑦𝑥 + 𝑐2𝑒 𝑦2𝑥

𝑦ℎ = 𝑐1𝑒 5𝑥 + 𝑐2𝑒 5𝑥

reemplazamos

30x + 3

Resolvemos la ecuación yp

𝑦𝑝 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Y’p=A

Y”p = ѳ

Reemplazamos en la ecuación principal las derivadas

𝑦" − 10𝑦′ + 25𝑦 = 30𝑥 + 3 0 − 10𝑎 + 25(𝑎𝑥 + 𝑏) = 30𝑥 + 3 −10𝑎 + 25𝑎𝑥 + 25𝑏 = 30𝑥 + 3

Multiplicamos y simplificamos

25𝑎𝑥 + (25𝑏 − 10𝑎) = 30𝑥 + 3 6 25𝑏 − 10 ( ) = 3 5 25𝑏 = 3 + 12 15

𝑏 = (25) 3

𝑏 = (5) 𝑦𝑝 = 𝑎𝑥 + 𝑏 6 3 𝑦𝑝 = 𝑥 + 5 5

igualamos 25𝑎𝑥 = 30𝑥

resolvemos

30

𝑎 = (25) 6

𝑎 = (5) Solución final 𝑦 = 𝑦𝑛 + 𝑦𝑝 6 3 𝑦 = 𝑐1𝑒 5𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒 5𝑥 + 𝑥 + 5 5

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JORGE HERNAN ROLDAN

𝑏. y ´´ + y = sec x

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝒚 = 𝒚𝒉 + 𝒚𝒑

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Solución general Primero resolvemos la yh 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑡

𝑦´´ + 𝑦 = 0 (𝑒 𝑟𝑡 )´´ + 𝑒 𝑟𝑡 = 0

Reemplazamos coeficientes

𝑒 𝑟𝑡 (𝑦 2 + 1) = 0

Factor común 𝑒 𝑟𝑡

𝑦2 + 1 = 0

Resolvemos el polinomio

𝑦 2 = −1 𝑦1 + ±1

Para raíces complejas la solución es : 𝑦ℎ = 𝑒 𝑎𝑥 (𝑐1 𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑥) 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏1

𝑦ℎ = 𝑒 𝑎𝑥 (𝑐1 cos(1𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(1𝑥)) 𝑦ℎ = 𝑐1 cos(𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

Reemplazamos Solución de la ecuación homogénea Solución partícula para 𝑠𝑒𝑛𝑥 es :

𝑦𝑝 = (cos(𝑥)𝑖𝑛(cos(𝑥)) + 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑦 = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥) 𝑖𝑛(cos(𝑥)) + sin(𝑥)

Solución de ecuación

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JULY GARCIA

𝑐. 𝑦 ´´ − 2𝑦 ´ + 5𝑦 = 𝑒 𝑥 cos 2𝑥

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

𝑦 = erx y´ = r. erx

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Como primer paso desarrollamos cada una de las derivadas para calcular al final yh

y´´ = r2. erx 𝑦¨ − 2𝑦 + 5𝑦 = 0

Remplazamos cada una de las operaciones

(𝑟2𝑒𝑟𝑥) − 2(𝑟𝑒𝑟𝑥) + 5(𝑒𝑟𝑥) = 0 𝑟2𝑒𝑟𝑥 − 2𝑟𝑒𝑟𝑥 + 5𝑒𝑟𝑥 = 0 𝑒𝑟𝑥(𝑟2 − 2𝑟 + 5) = 0 𝑟2 − 2𝑟 + 5 = 0 (𝑟2 − 2𝑟 + 1) + 5 − 1 = 0 (𝑟 − 1)2 + 4 = 0 (𝑟 − 1)2 = −4 √(𝑟 − 1)2 = √−4 (𝑟 − 1) = √−4(−1) 𝑟 − 1 = √−4 √−1 𝑟 − 1 = ± 2𝑖

Como 𝑒𝑟𝑥 no puede ser igual a cero entonces

𝑟 − 1 = ± 2𝑖 + 1 𝑟 = 1 − 2𝑖

𝑦

𝑟 = 1 + 2𝑖

y¨ − 2y + 5y = 0

Y como resultado obtenemos esto

parcial

Transformamos

𝑟2 − 2𝑟 + 5 = 0

𝑥=

−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(5) 2(1) 2 ± √(4) − 20 𝑥=

2 ± √−16 𝑥=

2

2 2 ± 4𝑖

⇒

2

2(1 ± 2𝑖) ⇒

2

= 1 ± 2𝑖

𝑠𝑖 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 = 𝑒𝑥(𝐶1 cos 𝑏𝑥 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥) 𝑦 = 𝑒𝑥(𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛 2𝑥) 𝑦´´ − 2𝑦´ + 5𝑦 = 𝑒 𝑥 cos 2𝑥

𝑦ℎ = 𝑒𝑥(𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛 2𝑥)

Y obtenemos esto como resultado y como no obtuvimos valores reales sino complejos usamos la siguiente formula Esta parte es importante para la comprobación del ejercicio Ahora necesitamos encontrar yp Analizar si la función homogénea tiene función en común rx así yh tiene función en común con rx

𝑦𝑝 = (𝐴𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(2𝑥))𝑒𝑥 𝑦𝑝 = (𝐴𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑥𝑒𝑥 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐵𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑒𝑥

Y tenemos esto como resultado final

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Jossie Suarez

𝑑. 2𝑦 ´´ + 3𝑦 ´ − 2𝑦 = 14𝑥 2 − 4𝑥 − 11; 𝑠𝑖 𝑦(0) = 0,

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝒔𝒊 𝒚(𝟎) = (𝟎) 𝒚(𝟎)𝟏 = (𝟎) 𝟐

𝒔

𝟏

𝒔

𝒔

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Reemplazamos en la ecuación

[𝒔𝟐 𝒚 − 𝟓𝒚(𝟎) − 𝒚𝟏 (𝟎)] + 𝟑[𝟓𝒚 − 𝒚(𝟎)] − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟒 ( 𝟐) − 𝟏

𝑦 ´ (0) = 0

Aplicamos la transformación de laplace

𝟒 ( 𝟐) − 𝟏𝟏 ( )

𝒚(𝟐𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 − 𝟐) = 𝟐𝟖

𝒚=[

𝒚 = −𝟕𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝒆

−𝟑𝒕 𝟐

+

𝟐𝟖 𝟒 𝟏𝟏 − − 𝒔𝟑 𝒔𝟐 𝒔

𝟒

( 𝒔𝟑 − 𝒔𝟐 −

𝟏𝟏 𝒔

𝐜𝐨𝐬 𝒉 (

𝟏𝟐𝟖 √𝟏𝟕

𝒆

Aplicamos la transformación de Laplace inversa

)

𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 − 𝟐

] Solución final Laplace inversa

√𝟏𝟕𝒕 ) 𝟐

−𝟑𝟔 𝟐

𝐬𝐢𝐧 𝒉 (

Simplificamos

√𝟏𝟕𝒕 ) − 𝟏𝟒𝒕 − 𝟑𝟎 𝟐

𝟐𝟖 𝟐 − 𝒔𝟒𝟐 − 𝟏𝟏 𝒔 𝟐𝟖 − 𝟒𝒔 − 𝟏𝟏𝒔 𝒔𝟑 : 𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 − 𝟐 𝒔𝟓 + 𝟑𝒔𝟒 − 𝟐𝒔𝟑

= 𝑳−𝟏 {

𝟐𝟖 − 𝟒𝒔 − 𝟏𝟏𝒔𝟐 } 𝒔𝟓 + 𝟑𝒔𝟒 − 𝟐𝒔𝟑

𝟐𝟖 − 𝟒𝒔 − 𝟏𝟏𝒔𝟐 𝟏𝟒 𝟑𝟎𝒔 + 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟗 𝟑𝟎 :− 𝟑+ 𝟓 − − 𝒔𝟓 + 𝟑𝒔𝟒 − 𝟐𝒔𝟑 𝒔 𝒔 + 𝟑𝒔 − 𝟐 𝒔𝟐 𝒔

Tomar fracción parcial

= 𝑳−𝟏 {− = 𝑳−𝟏 {−

𝟏𝟒 𝟑𝟎𝒔 + 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟗 𝟑𝟎 + − − } 𝒔𝟑 𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 − 𝟐 𝒔𝟐 𝒔

𝟏𝟒 𝟑𝟎𝒔 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟗 𝟑𝟎 + + − − } 𝒔𝟑 𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 − 𝟐 𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 − 𝟐 𝒔𝟐 𝒔 𝟑

𝒔+ 𝟑𝟎𝒔 𝟏 𝟐 : 𝟑𝟎 ∙ − 𝟒𝟓 ∙ 𝟑 𝟏𝟕 𝟑 𝟏𝟕 𝟐 𝒔 + 𝟑𝒔 − 𝟐 (𝒔 + )𝟐 − (𝒔 + )𝟐 −

𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟑 𝒔+ 𝟏𝟒 𝟏 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟗 𝟑𝟎 𝟐 = 𝑳−𝟏 {− 𝟑 − 𝟑𝟎 ∙ 𝟑 𝟏𝟕 − 𝟒𝟓 ∙ 𝟑 𝟏𝟕 − 𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 − 𝟐 − 𝒔𝟐 − 𝒔 } 𝒔 (𝒔 + )𝟐 − (𝒔 + )𝟐 − 𝟐

𝟒

𝟐

𝟒

𝟑

=

𝒔+ 𝟏𝟒 𝟏 𝟐 } + 𝟑𝟎𝑳−𝟏 { } − 𝟒𝟓𝑳−𝟏 { } 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏𝟕 𝟑 𝟐 𝟏𝟕 𝒔 (𝒔 + ) − (𝒔 + ) −

𝑳−𝟏 {

𝟐

+ 𝟏𝟎𝟗𝑳−𝟏 { 𝑳 𝑳−𝟏 {

𝑳−𝟏 {

𝒔+

(𝒔

−𝟏

𝟐

𝟏 (𝒔 +

𝟑 𝟐 ) 𝟐

−

𝟒

𝟏𝟕} 𝟒

𝟏𝟒 { 𝟑 } : 𝟕𝒓𝟐 𝒔

𝟑 𝟑𝒕

− 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟕} : 𝒆 + ) − 𝟐 𝟒 𝟑

𝒔+ (𝒔 +

𝟒

Usar la propiedad de linealidad transformada inversa de laplace

√𝟏𝟕𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒉 ( ) 𝟐

𝟐 − √𝟏𝟕𝒕 𝟐 𝒆 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒉 ( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟕} : 𝟐 √𝟏𝟕 ) − 𝟐 𝟒 𝟑𝒕

𝟏𝟗 } : 𝟏𝟗𝒕 𝒔𝟐 𝟑𝟎 𝑳−𝟏 { } : 𝟑𝟎 𝒔

𝑳−𝟏 {

𝟑𝒕

𝟐 −𝟑𝒕 √𝟏𝟕𝒕 √𝟏𝟕𝒕 𝒆 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒉 ( ) − 𝟒𝟓 ∙ ) + 𝟏𝟎𝟗 𝟐 𝟐 √𝟏𝟕 𝟐 −𝟑𝒕 √𝟏𝟕𝒕 ∙ 𝒆 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒉 ( ) − 𝟏𝟗𝒕 𝟐 √𝟏𝟕

= 𝟕𝒕𝟐 + 𝟑𝟎𝒆− 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒉 (

Simplificar

𝟑𝒕 𝟏𝟐𝟖 −𝟑𝒕 √𝟏𝟕𝒕 √𝟏𝟕𝒕 𝟕𝒕𝟐 + 𝟑𝟎𝒆− 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒉 ( 𝒆 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒉 ( )+ ) − 𝟏𝟗𝒕 − 𝟑𝟎 𝟐 𝟐 √𝟏𝟕

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑒. 𝑦 ´´´ − 3𝑦 ´´ + 3𝑦 ´ − 𝑦 = 𝑥 − 4𝑒 𝑥

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ecuación auxiliar

𝑚3 − 3𝑚2 + 3𝑚 − 1 = 0

Factorizamos para encontrar sus raíces

(𝑚 − 1)3 = 0 M1=1 M2=1 M3=1

Buscamos Yc, complementaria, como tenemos raíces reales repetidas le agregamos una (x) para diferenciarlas

𝑌𝑐 = 𝐶1𝑒 𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒 𝑥 + 𝐶3𝑋 2 𝑒 𝑥

Buscamos Yp, particular de (𝑥 − 4𝑒 𝑥 → 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑒 𝑥 )como la raíz (𝑒 𝑥 ) es idéntica a las raíces de Yc, les agregamos una (𝑥 3 ), para diferenciarlas. Derivamos tres veces Yp, tomando en cuenta el grado de la ecuación Y´´´

𝑋 − 4𝑒 𝑥 → 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑌𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑌𝑝´ = 𝐴 + 3𝐶𝑥 2 𝑒 𝑥 + 𝐶𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑌𝑝´´ = 6𝐶𝑒 𝑥 + 3𝐶𝑥 2 𝑒 𝑥 + 3𝐶𝑥 2 𝑒 𝑥 + 𝐶𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑌𝑝´´ = 6𝐶𝑥𝑒 𝑥 + 6𝐶𝑥 2 𝑒 𝑥 + 𝐶𝑥 3 𝑒 𝑥

En base en la ecuación original hacemos para encontrar los valores y eliminamos términos semejantes

𝑦 ´´´ − 3𝑦 ´´ + 3𝑦 ´ − 𝑦 = 𝑥 − 4𝑒 𝑥 6C𝑒 𝑥 + 18𝐶𝑥𝑒 𝑥 + 9𝐶𝑥 2 𝑒 𝑥 + 𝐶𝑥 3 𝑒 𝑥 − 3[6𝐶𝑥𝑒 𝑥 + 6𝐶𝑥 2 𝑒 𝑥 + 𝐶𝑋 3 𝑒 𝑥 ] − [𝐴𝑥 + 𝐶𝑥 3 𝑒 𝑥 ] 6C𝑒 𝑥 + 18𝐶𝑥𝑒 𝑥 + 9𝐶𝑥 2 𝑒 𝑥 + 𝐶𝑥 3 𝑒 𝑥 − 18𝐶𝑥𝑒 𝑥 − 18𝐶𝑥 2 𝑒 𝑥 − 3𝐶𝑥 3 𝑒 𝑥 + 3𝐴 + 9𝐶𝑋 2 𝑒 𝑥 + 3𝐶𝑥 3 𝑒 𝑥 − 𝐴𝑥 − 𝐵 − 𝐶𝑥 3 𝑒 𝑥

6C𝑒 𝑥 + 3𝐴 − 𝐵 − 𝐴𝑥

6𝐵𝑒 𝑥

Formamos ecuaciones, las igualamos y las resolvemos

−𝐴𝑥

➀ ➁

3𝐴 − 𝐵 = 0 Compara los términos que tienes, con los de la y''' - 3y'' + 3y' – y = x - 4eˣ igualdad. Y los términos idénticos, igualamos con ↓ ↓ su coeficiente ➁ ➀

Termino que tiene . . .[eˣ ]

6C eˣ → ➀ 6C = - 4 C=-⅔→Ⓒ - Ax → ➁ -A=1 A=-1→Ⓐ 3A - B = 0 3[-1] B = 0 -3 – B = 0 B=-3→Ⓑ

Sustituimos valores de [Ⓐ Ⓑ Ⓒ], en Yp

Yp = Ax + B + Cx³ eˣ Yp = - x – 3 - [⅔]x³ eˣ

Buscamos Yt

Yt = Yc + Yp

Este es el Resultado

Yt = C₁ eˣ + C₂ xeˣ + C₃ x² eˣ – [⅔]x³ eˣ - X - 3

EJERCICIOS 3 - ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER. De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy Euler (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: juan felipe cruz murillo

a. x 2 y ´´ + 5xy ´ + 4y = 0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝒚 = 𝒙𝒓

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Solución de esta forma

𝑥>0 𝑎𝑥 2 𝑦" + 𝑏𝑥 𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0 𝑥 2 𝑦"

Derivamos

𝑦 = 𝑥𝑟

Primer derivada

𝑦1 = 𝑟𝑥 𝑟−1 𝑦" = 𝑟(𝑟 − 1)𝑥 𝑟−2

Segunda derivada

𝑥 2 𝑟(𝑟 − 1)𝑥 𝑟−2 + 5𝑥 𝑟𝑥 𝑟−1 − 4𝑥 𝑟 = 0

Reemplazamos

(𝑟 2 − 𝑟)𝑥 𝑟 + 5𝑟𝑥 𝑟 − 4𝑥 𝑟 = 0

multiplicamos

𝑥 𝑟 (𝑟 2 − 𝑟 + 5𝑟 − 4) = 0

Factor común 𝑥 𝑟

𝑥 𝑟 (𝑟 2 + 4𝑟 + 4) = 0

Resolvemos la ecuación

(𝑔 + 22 )

Con multiplicidad de 2

𝑔 = −2 𝑦 = 𝑐1𝑥 −2 + 𝑐2𝑙𝑛(𝑥)𝑥 −2

Reemplaza en la ecuación general 𝑦 = 𝑐1𝑥 𝑟 + 𝑐2𝑙𝑛(𝑥)𝑥 𝑟

𝑦

𝑐1 𝑐2𝑙𝑛(𝑥) + 𝑥2 𝑥2

Simplificamos (y)

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JORGE HERNAN ROLDAN

𝑏. x 3 y ´´´ + 4x 2 y ´´ − 2y = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝒚 = 𝒙𝒓 𝑦 , = 𝑟𝑥 𝑟−1

RAZÓN O EXPLICACIÓN Solución de 𝑦 = 𝑥 𝑟 de la formula 𝑎𝑛 𝑥𝑛 𝑦 (𝑛) + ⋯ + 𝑎1 𝑥𝑦 + 𝑎0 𝑦 = 0

𝑦 ,, = 𝑟(𝑥 − 1)𝑥 𝑥−2 𝑦 ,,, = 𝑟(𝑟 − 1) ∙ (𝑥 − 2)𝑥 𝑥−3 𝑥 3 (𝑟(𝑟 − 1)(𝑥 − 2)𝑥 𝑥−3 ) + 4(𝑟(𝑟 − 1)𝑥 𝑥−2 ) − 2𝑥 𝑟 = 0

Reemplazamos

𝑥 𝑟 𝑟 3 + 𝑥 𝑟 𝑟 2 − 2𝑥 𝑟 𝑟 − 2𝑥 𝑟 = 0

Factor común xr Multiplicamos

𝑥 𝑟 (𝑟 3 + 𝑟 2 − 2𝑟 − 2) = 0 (𝑟 + 1)(𝑟 + √2)(𝑟 − √2) = 0 𝑟 = −1; 𝑟 = −√2; 𝑟 = √2

Resolvemos la ecuación Factorizamos Para las raíces no repetidas r1,r2...rn La solución es 𝑦 = 𝐶1𝑥 𝑟1 + 𝐶2𝑥 𝑟2 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑥 𝑥𝑟𝑛

𝑦 = 𝐶1𝑥 −1 + 𝐶2𝑥 −√2 + 𝐶3𝑥 √2 𝑦=

𝐶1 𝐶2 + + 𝐶3𝑥√2 𝑥 𝑥√2

Reemplazamos Simplificamos

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JULY GARCIA

𝑐. x3y´´´ − 3x2y´´ + 6xy´ − 6y = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

x3y´´´ − 3x2y´´ + 6xy´ − 6y = 0 𝑦 = 𝑥𝑟 𝑦′ = 𝑟𝑥𝑟−1

Como primer paso calculamos las derivadas de cada función

𝑦′′ = 𝑟(𝑟 − 1)𝑥𝑟−2 𝑦′′′ = 𝑟(𝑟 − 1)(𝑟 − 2)𝑥𝑟−3 𝑥3𝑟(𝑟 − 1)(𝑟 − 2)𝑥𝑟−3 + 3𝑥2𝑟(𝑟 − 1)𝑥𝑟−2 + 6𝑥𝑟𝑥𝑟−1 − 6𝑥𝑟 = 0 𝑥𝑟(𝑟2 − 𝑟)(𝑟 − 2) + 3𝑥𝑟(𝑟2 − 𝑟) + 6𝑥𝑟𝑟 − 6𝑥𝑟 = 0

Luego remplazamos cada valor con el original de la derivada Hacemos el paso a paso

procedimiento

𝑥𝑟(𝑟(𝑟2 − 𝑟) − 2(𝑟2 − 𝑟)) + 3𝑥𝑟(𝑟2 − 𝑟) + 6𝑥𝑟𝑟 − 6𝑥𝑟 = 0 𝑥𝑟(𝑟3 − 𝑟2 − 2𝑟2 + 2𝑟) + 3𝑥𝑟(𝑟2 − 𝑟) + 6𝑥𝑟𝑟 − 6𝑥𝑟 = 0 𝑥𝑟(𝑟3 − 3𝑟2 + 2𝑟) + 3𝑥𝑟(𝑟2 − 𝑟) + 6𝑥𝑟𝑟 − 6𝑥𝑟 = 0 (𝑟3 − 3𝑟2 + 2𝑟)𝑥𝑟 + (3𝑟2 − 3𝑟)𝑥𝑟 + 6𝑟𝑥𝑟 − 6𝑥𝑟 = 0 𝑥𝑟((𝑟3 − 3𝑟2 + 2𝑟) + (3𝑟2 − 3𝑟) + 6𝑟 − 6) = 0 𝑥𝑟(𝑟3 − 3𝑟 2 + 2𝑟 + 3𝑟 2 − 3𝑟 + 6𝑟 − 6 = 0 𝑥𝑟 (𝑟3 + 5𝑟 − 6) = 0 𝑟3 + 5𝑟 − 6 = 0

Y luego despejamos 𝑥 sacando factor común Y cancelamos para reducir la expresión

𝑟3 + 5𝑟 = 6 𝑟(𝑟2 + 5) = 6

A este resultado aplicamos la división sintética

𝑝 = 𝐷6 = {±1, ±2 ± 3, ±6} 𝑞 = 𝐷1 = {± 1} 𝑝 𝑞

= {± 1, ± 2, ± 3, ± 6} 𝑟3

𝑟2 𝑟

1

0 5 −6

1

1

6

𝑇𝐼

dándonos esto como resultado x=1

0

𝑦1 = 𝑥

A continuación sacamos raíces múltiples

𝑦2 =𝑥 ln 𝑥 𝑦2 =𝑥 (ln(𝑥))2 𝑦 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2 + 𝑥𝑙𝑛𝑥 + 𝐶3𝑥(𝑙𝑛𝑥)2

Y obtenemos esto solución general

como

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Jossie Suarez

𝑑. x 2 y ´´ − xy ´ + 2y = xln x

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒚´ = 𝒓𝒙𝒓−𝟏 𝒚´´ = 𝒓(𝒓 − 𝟏)𝒙𝒓−𝟐 𝒙𝟐 (𝒓(𝒓 − 𝟏)𝒙𝒓−𝟐 ) − 𝒙(𝒓𝒙𝒓−𝟏 ) + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟎 𝒙𝒓 𝒓𝟐 − 𝟐𝒙𝒓 𝒓 + 𝟐𝒙𝒓 = 𝟎

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Reemplazamos

Resolvemos primero la ecuación no homogénea de euler Multiplicamos Factor común 𝑥 𝑟 .

𝒙𝒓 (𝒓𝟐 − 𝟐𝒓 + 𝟐) = 𝟎

Resolvemos la ecuación 𝑥 = −𝑏 ±

√𝑏 2 −4𝑏𝑐 2𝑎

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝒓 = 𝟏 + 𝒊; 𝒙 = 𝟏 − 𝒊

Para las dos raíces complejas 𝑟1 ≠ 𝑟2 donde 𝑟1 =∝ +𝑖𝐵 𝑟2 =∝ −𝑖𝐵

𝒚 = 𝒙(𝒄𝟏 𝑪𝒐𝒔(𝒍𝒏(𝒙)) + (𝒄𝟐 𝑺𝒊𝒏(𝒍𝒏(𝒙)))

Reemplazamos

𝒚 = 𝒙(𝒄𝟏 𝑪𝒐𝒔(𝒍𝒏𝒙)) + 𝒄𝟐 𝑺𝒊𝒏(𝒍𝒏(𝒙)) + 𝒙𝒍𝒏𝒙

Sumamos 𝑥𝑙𝑛𝑥

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑒. x 2 y ´´ − 3xy ´ + 13y = 4 + 3x

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

Sustituimos: Entonces la ecuación diferencial nos queda así: La ecuación auxiliar es:

RAZÓN O EXPLICACIÓN 𝑥 = 𝑒𝑡

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 −𝑑 + 13𝑦 = 4 + 3. 𝑒 𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑚2 − 4𝑚 + 13 = 0

Esto lleva a los coeficientes indeterminados:

Yp= A+B. 𝐴̌𝑒 𝑡

Entonces nos queda:

13A+10B. 𝐴̌𝑒 𝑡 4

3

A=13 , 𝐵 = 10 Así que esto queda como:

𝑌 = 𝑒 2𝑡 . (𝐶1. cos. 3𝑡 + 𝐶2. sen. 3𝑡) +

4 3 𝑡 + .𝑒 13 10

𝑋 2 = [𝐶1. cos (3. 𝑙𝑛𝑥)𝐶2. 𝑠𝑒𝑛. (3𝑙𝑛𝑥)] +

4 3 + 𝑋 13 10

PASO 4 PRESENTACIÓN DE APORTES A LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA PLANTEADO EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura

Se suelta desde el reposo a 𝑁

1 2

1

unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de 5 𝐾𝑔 y la

constante elástica es 𝑘 = 2 𝑚. El movimiento es amortiguado (𝛽 = 1,2) y está siendo impulsado por una 𝜋

fuerza periódica externa (𝑇 = 2 𝑠), comenzando en 𝑡 = 0. Dicha fuerza está definida como 𝑓(𝑡) = 5 𝑐𝑜𝑠 4𝑡. Para esta situación, la solución corresponde a:

38

86

25

50

38

86

25

50

a. y = e3t (51 cos t − 51 sin t) − 102 cos 4t + 51 sin 4t b. y = e3t (51 cos t + 51 sin t) + 102 cos 4t − 51 sin 4t 38

86

25

50

c. y = e−3t (51 cos t − 51 sin t) − 102 cos 4t + 51 sin 4t

38

86

25

50

d. . y = e−3t (51 cos t − 51 sin t) − 102 cos 4t + 51 sin 4t

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

En los sistemas físicos acelerados la sumatoria de fuerzas se expresa de acuerdo con la formulación de la segunda ley de Newton

∑F=ma

𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 − 𝛽𝑣 + 𝑓(𝑡)

𝑎= 𝑚=

𝑑2 𝑥 𝑦 𝑑𝑡 2

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑣=

𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑑2𝑥 𝑑𝑥 1 + 1,2 + 2𝑥 = 5 cos 4𝑡𝑥(0) = 𝑥 ′ (0) = 0 2 5𝑑𝑡 𝑑𝑡 2

1𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 + 1,2 + 2𝑥 = 5 cos 4𝑡 5𝑑𝑡 2 𝑑𝑡

De acuerdo con el problema planteado se tiene un movimiento forzado con amortiguamiento. Donde la aceleración y la velocidad están dadas por Transponiendo términos en la ecuación Equivalente a

𝑑2𝑥 𝑑𝑥 + 6 + 10𝑥 = 25 cos 4𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑2𝑥 𝑑𝑥 +6 + 10𝑥 = 0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Se hace f(t)=0 para convertir la ecuación a una homogénea

𝑚2 + 6𝑚 + 10 = 0

Se escribe la ecuación característica y se resuelve

𝑚1 = −3 + 𝑖

𝑚2 = −3 − 𝑖

𝑌𝑐 = 𝑒 −3𝑡 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑡)

𝑌𝑝 = 𝐴 cos 4𝑡 + 𝐵 sin 4𝑡

Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones Cuando las complejas la escribe como

raíces son solución se

Con el método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma

𝑌´𝑝 = −4𝐴 sin 4𝑡 + 4𝐵 cos 4𝑡 𝑌´´𝑝 = −16𝐴 cos 4𝑡 − 16𝐵 sin 4𝑡 −16Acos 4t−16Bsin 4t+6(−4Asin 4t+4Bcos 4t)+10(Acos4t+Bsin 4t)=25cos 4t

Sustituyendo en la ED

−16Acos 4t−16Bsin4t−24Asin 4t+24Bcos 4t+10Acos4t+10Bsin 4t=25cos4t

Operando

−6Acos 4t−6Bsin 4t−24Asin 4t+24Bcos4t=25cos 4t

Reuniendo semejantes

(−6A+24B)cos 4t+(−24A−6B)sin4t=25cos 4t

Factorizando

−6A+24B=25

El sistema resultante

−24A−6B=0 𝐴=

−25 102

𝑌𝑝 =

50 51

Se cumple que

−25 50 cos 4𝑡 + sin 4𝑡 102 51

Reescribiendo

𝐵=

Y= Yc+Yp 25

50

Haciendo t=0 25

50

y(0)=e−3(0)(c1cos(0)+c2sin(0))−102 cos 4(0) + 51 sin 4(0) 25

50

𝑒 −3(0) (c1cos(0)+c2sin(0))-102 cos 4(0) + 51 sin 4(0) 2 1 25 50 (1) + (0) = (𝐶1(1) + 0) − 2 102 51 1 25 = 𝐶1 − 2 102 1

25

C1=2 + 102

de

La solución sería

y=e−3t(c1cost+c2sint)-102 cos 4𝑡 + 51 sin 4𝑡

1

términos

ecuaciones

𝐶1 =

38 51 100

y'=−3e−3t(c1cost+c2sint)+e−3t(−c1sint+c2cost)+ 102 sin 4𝑡 y'(0)=−3e−3(0)(c1cos(0)+c2sin(0))+e−3(0)(−c1sin(0)+c2cos(0))+

0=−3𝑒 −3(0) (c1cos(0)+c2sin(0))+𝑒 −3(0) (−c1sin(0)+c2cos(0))+

100 102

100 102

sin 4(0) +

sin 4(0) +

200 51 200 51

200 51

cos 4𝑡

Derivando la haciendo t=0:

expresión

cos 4(0)

cos 4(0)

200

0=-3C1+C2+ 51 38

0= -351 + 𝐶2 + 𝐶=

200 51

114 200 − 51 51

𝐶2 =

86 51

38 86 25 50 𝑌 = 𝑒 −3𝑡 ( cos 𝑡 + sin 𝑡) − cos 4𝑡 + sin 4𝑡 51 51 102 51

Por lo tanto, la ecuación es

y

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación Se conecta en serie un resistor de 12 Ω, un capacitor de 0.1 F, un inductor de 2 H y una fuente de voltaje V = 20 V, formando un circuito RLC. Sí inicialmente se encuentra descargado el capacitor y no circula corriente por el circuito. Determinar las expresiones para la carga y la corriente:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

Solución planteada: Se tiene que la carga 𝑄(𝑡) sobre el capacitor se modela con la ED: 𝑑2𝑄 𝑑𝑄 𝑄 𝐿 2 +𝑅 + =𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑2𝑄 𝑑𝑄 ⇒ 2 2 + 12 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑄 + = 20 0.1 La solución general de esta ecuación se obtiene sumando las soluciones complementaria y particular: 𝑑2𝑄 𝑑𝑄 +6 + 5𝑄 = 10 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑2𝑄 𝑑𝑄 ⇒ 2 +6 + 5(𝑄 − 2) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 =0

Haciendo cambio de variable 𝑞 = 𝑄 − 2, derivando 𝑞′ = 𝑄′ y 𝑞´´ = 𝑄´´. Sustituyendo:

Haciendo cambio de variable 𝑞 = 𝑄 − 2, derivando 𝑞 ´ = 𝑄 ´ y 𝑞 ´´ = 𝑄 ´´ . Sustituyendo:

𝑑2𝑞 𝑑𝑡2

𝑑2 𝑞 𝑑𝑞 + 6 + 5𝑞 = 0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡

+6

𝑑𝑡

+ 5𝑞 = 0

La ecuación característica:

La ecuación característica: 𝑚2 − 6𝑚 − 5 = 0 Factorizando se obtienen las siguientes soluciones: 𝑚1 = 5

𝑑𝑞

𝑚2 = 1

Cuando las raíces son diferentes y reales, una función complementaria es: 𝑄(𝑡) = 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 𝐶2 𝑒 5𝑡 Pero 𝑞 = 𝑄 − 2 ⇒ 𝑄 = 𝑞 + 2 ⇒ 𝑄(𝑡) = 𝑞(𝑡) + 2 por lo que la carga es: 𝑄(𝑡) = 2 + 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 𝐶2 𝑒 5𝑡

Factorizando soluciones:

𝑚2 + 6𝑚 + 5 = 0 se obtienen las

siguientes

𝑚2 + 6𝑚 + 5 = 0 (𝑚 + 1)(𝑚 + 5) =0 𝑚1 = −1 𝑦 𝑚2 = −5 Las raíces del polinomio son incorrectas Cuando las raíces son diferentes y reales, una función complementaria es: 𝑞(𝑡) = 𝑐1 𝑒 −𝑡 + 𝑐2 𝑒 −5𝑡

Derivando se obtiene la corriente: 𝐼(𝑡) = 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 5𝐶2 𝑒 5𝑡

Pero 𝑞 = 𝑄 − 2 => 𝑄 = 𝑞 + 2 =>

𝑄(𝑡) = 2 + 𝑞(𝑡) Si se tiene en cuenta las condiciones iniciales 𝑄(0) = 0 y 𝐼(0) = 0, se obtiene el siguiente Por lo que la carga es sistema: 𝑄(𝑡) = 2 + 𝑐1 𝑒 −𝑡 + 𝑐2 𝑒 −5𝑡 𝐶1 + 𝐶2 + 2 = 0 Si derivamos, tenemos que la corriente 𝐶1 + 5𝐶2 = 0 𝐼(𝑡) = −𝑐1 𝑒 −𝑡 + 5𝑐2 𝑒 −5𝑡 5 1 𝐶1 = , 𝐶2 = 2 2 Si se tiene en cuenta las condiciones iniciales 𝑄(0) = 0 & 𝐼(0) = 0, se obtiene el siguiente Sustituyendo: sistema de ecuaciones: 5 −𝑡 1 5𝑡 2 + 𝑐1 + 𝑐2 = 0 𝑄(𝑡) = 2 + 𝑒 − 𝑒 2 2 −𝑐1 − 5𝑐2 = 0

La corriente que circula sobre el circuito es: 𝐼(𝑡) =

5 −𝑡 5 5𝑡 𝑒 + 𝑒 2 2

De la segunda ecuación tenemos 𝑐1 = −5𝑐2 Sustituimos en la primera ecuación −5𝑐2 + 𝑐2 = −2 => 4𝑐2 = 2 1 𝑐2 = 2 5 & 𝑐1 = − 2 La carga sobre el capacitor es 5 1 𝑄(𝑡) = 2 − 𝑒 −𝑡 + 𝑒 −5𝑡 𝐶 2 2 La corriente que circula sobre el circuito esta dada por 5 5 𝐼(𝑡) = 𝑒 −𝑡 − 𝑒 −5𝑡 𝐴 2 2 (Az, 2011)

PASO 8 TABLA ENLACES VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante JULY GARCIA

Ejercicios sustentados Ejercicio 1C

Juan felipe 1ª Jorge roldan 1B

Enlace video explicativo

https://www.youtube.com/watch?v=VmfAcC5ugzw&feature=youtu.be

https://youtu.be/vRQMRvV6SoU https://screencast-o-matic.com/watch/cqhTDnT2Wr

CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Az, c. (18 de 11 de 2011). Obtenido de http://canek.azc.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/5.AplicacionesOrdenSuperior/5.3.3.RLCContinua/S 2x/FD20.pdf