• Author / Uploaded
• David Molina Chaparro

Citation preview

PERMUTACIONES CIRCULARES En matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus distintos elementos, denominaremos permutación a cada una de las posibles disposiciones de estos elementos de dicho conjunto. La noción de permutación puede presentarse tanto en el contexto de combinatoria como en la teoría de grupos. Una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos tomando en cuenta el orden de su ubicación. Cuando en el arreglo solo se incorporan parte de los elementos del conjunto se denomina variación. Es importante destacar que el orden es una característica significativa en la permutación, cuando variamos la disposición de los elementos decimos que permutamos dichos elementos.

Ejemplo 2

Ejemplo 3 Un joyero adquiere 12 piedras preciosas diferentes para ubicarlas en los puntos de las horas de un reloj que está preparando por encargo de la casa real de un país europeo. a) ¿Cuántas formas distintas tiene para ordenar las piedras en el reloj? b) ¿Cuántas formas distintas tiene si la piedra que va a las 12 es única? c) ¿Cuántas formas distintas si la piedra de las 12 es única y las piedras de los otros tres puntos cardinales, las 3, las 6 y las 9; son tres piedras particulares, que se pueden intercambiar, y el resto de las horas se asignan del resto de las piedras? Soluciones a) Se pide el número de maneras de ordenar en la circunferencia del reloj todas las piedras; es decir, el número de arreglos circulares que involucran todas las piedras disponibles. N° de arreglos en el reloj = (12 – 1)P(12 – 1) = (12 – 1)! N° de arreglos en el reloj = 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 N° de arreglos en el reloj = 39976800 formas distintas

b) Se pregunta cuántas formas distintas de ordenar existen sabiendo que la piedra de la manilla de las 12 es única y fija; es decir, el número de arreglos circulares que involucran las 11 piedras restantes. N° de arreglos en el reloj = (11 – 1)P(11 – 1) = (11 – 1)! N° de arreglos en el reloj = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 N° de arreglos en el reloj = 3628800 formas distintas c) Por último se busca el número de formas de ordenar todas las piedras excepto la piedra de las 12 que es fija, las piedras de las 3, 6 y 9 que tienen 3 piedras a asignarse entre ellas; es decir, 3! posibilidades de arreglo, y el número de arreglos circulares que involucran las 8 piedras restantes. N° de arreglos en el reloj = 3!*[(8–1)P(8-1)] = 3!*(8–1)! N° de arreglos en el reloj = (3*2*1)(8*7*6*5*4*3*2*1) N° de arreglos en el reloj = 241920 formas distintas

Ejemplo 4 El comité directivo de una empresa consta de 8 miembros y se reúnen en una mesa ovalada. a) ¿Cuántas formas distintas de ordenamiento alrededor de la mesa tiene el comité? b) Supóngase que el presidente se sienta en la cabecera de la mesa en cualquier arreglo del comité, ¿Cuántas formas distintas de ordenamiento tiene el resto del comité? c) Supóngase que a los lados del presidente se sientan el vicepresidente y el secretario en cualquier arreglo del comité, ¿Cuántas formas distintas de ordenamiento tiene el resto del comité? Soluciones a) Se quiere hallar el número de formas distintas de ordenar los 12 miembros del comité alrededor de la mesa ovalada. N° de arreglos del comité = (12 – 1)P(12 – 1) = (12 – 1)! N° de arreglos del comité = 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 N° de arreglos del comité = 39976800 formas distintas

b) Ya que el presidente del comité se ubica en una posición fija, se busca el número de formas de ordenar los 11 miembros restantes del comité alrededor de la mesa ovalada. N° de arreglos del comité = (11 – 1)P(11 – 1) = (11 – 1)! N° de arreglos del comité = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 N° de arreglos del comité = 3628800 formas distintas c) El presidente se ubica en una posición fija y a los lados se ubican el vicepresidente y el secretario con dos posibilidades de arreglo: vicepresidente a la derecha y secretario a la izquierda o vicepresidente a la izquierda y secretario a la derecha. Luego se quiere hallar el número de formas distintas de ordenar los 9 miembros restantes del comité alrededor de la mesa ovalada y multiplicar por las 2 formas de arreglos que tienen el vicepresidente y el secretario. N° de arreglos del comité = 2*[(9–1)P(9-1)] = 2*[(9–1)!] N° de arreglos del comité = 2*(8*7*6*5*4*3*2*1) N° de arreglos del comité = 80640 formas distintas

ACTIVIDAD ¿De cuantas formas diferentes puede contestar un alumno 4 preguntas de falso y verdadero? En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? Considere un procedimiento de control de calidad en el que un inspector selecciona al azar dos de cinco piezas para probar que no tengan defectos. En un conjunto de cinco partes, ¿cuántas combinaciones de dos partes pueden seleccionarse? Considere la lotería de Florida en la que se seleccionan seis números de un Conjunto de 53 números para determinar al ganador de la semana. Con los dígitos impares 1,3,5,7,9 a) Cuántos números diferentes mayores a 20000 se pueden formar. b) Cuántos mayores a 40000 c) Mayores 1000 y menores a 10000 d) Mayores a 100 y menores a 1000 e) Mayores a 10 y menores a 100

f) Sin restricciones