• Author / Uploaded
• Alexandro Ku

Citation preview

PERMUTACIONES: 64.Hallar el valor de a) 4P2, b) 7P5, c) 10P3. Solución: a)

4 P2= b)

7 P 5=

4! 4! 4 x3 x2! = = =12 2! ( 4−2 ) ! 2! 7! 7! 7 x 6x 5 x4 x3 x2! = = =2520 2! ( 7−5 ) ! 2 !

c)

10 P3=

10 ! 10 ! 10 x 9 x 8 x 7 ! = = =720 7! ( 10−3 ) ! 7 !

65.¿Para qué valor de n es

n+1

P3 = nP4?

Solución:

( n+1 ) P 3=nP 4 →

( n+ 1) ! n! = ((n+1)−3 ) ! (n−4 )!

Pero (n+1)! = (n+1)n!

(n+1)n ! n! n+1 1 = → = ( n−2 ) ! (n−4 )! ( n−2 ) ! ( n−4 ) ! Pero (n-2)! = (n-2) * (n-3) * (n-4)!

(n+ 1) 1 n+1 = → =1 ( n−2 ) ( n−3 ) ( n−4 ) ! ( n−4)! ( n−2 ) (n−3)

( n+1 ) =( n−2 )( n−3 ) →n+1=n2−5 n+ 6 n2 −6 n+5=0 → ( n−5 ) ( n−1 ) =0 →n=5 ∧n=1 Pero n > 4, por lo tanto la respuesta es n= 5. 66. ¿De cuántas formas pueden 5 personas sentarse en un sofá si tiene solamente tres asientos?

5 P3=

5! 5! 5 x4 x3 x2! = = =60 2! ( 5−3 ) ! 2 !

67. ¿De cuántas formas pueden ordenarse 7 libros en un estante si a) es posible cualquier ordenación, b) 3 libros determinados deben estar juntos, c) 2 libros determinados deben ocupar los extremos? a)P7 = 7! = 7x6x5x4x3x2 = 5040. b) P3∗P5 =120∗6=720 c) P2∗P5 =120∗2=240 68. ¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, si a) los números deben ser impares, b) las primeras dos cifras de cada número son pares? 69. Resolver el problema anterior si las cifras de los números pueden estar repetidas. 70.¿Cuántos números diferentes de 3 cifras pueden formarse con 3 cuatros, 4 dos y 2 tres? 71.¿De cuántas formas pueden 3 hombres y 3 mujeres sentarse alrededor de una mesa si, a) no se impone ninguna restricción, b) dos mujeres determinadas no deben sentarse juntas, c) cada mujer debe estar ente dos hombres? Solución: a)

6 P 3=

6! 6! 6 x 5 x 4 x 3 ! = = =120 3! ( 6−3 ) ! 3!

c)

4 P2=

4! 4! 4 x3 x2! = = =12 2! ( 4−2 ) ! 2!

COMBINACIONES: 72.Hallar el valor de a) 5C3, b) 8C4, c) 10C8. Solución: a)

5 C 3= b)

8 C 4=

5! 5! 5 x 4 x 3 ! 20 = = = =10 3!∗2 ! 2 3 ! ( 5−3 ) ! 3 !∗2 ! 8! 8! 8 x 7 x 6 x 5 x 4 ! 1680 = = = =70 4 !∗4 ! 24 4 ! ( 8−4 ) ! 4 !∗4 !

c)

10! 10! 10 x 9 x 8 ! 90 = = = =45 8 !∗2! 8 !∗2! 2 8! ( 10−8 ) !

10 C 8=

73.¿Para qué valor de n se cumple que 3*( n+1C3) =7 nC2 Solución:

(

3 ( n+1 ) C 3=7 nC 2→ 3∗

( n+ 1 ) ! n! =7 2! ( n−2 ) ! 3 ! ( ( n+1 ) −3 ) !

) (

)

Pero (n+1)! = (n+1)n!

3

(

( n+1 ) n ! n! n+1 1 =7 →3 =7 3 ! ( n−2 ) ! 2 ! ( n−2 ) ! 3 ! ( n−2 ) ! 2! ( n−2 ) !

) (

) (

) (

)

Se simplifica y se tiene:

3

) 7 n+1 7 = → = → n+1=7 → n=6 ( ( n+1 ) 3! 2! 2 2

74.¿De cuántas formas pueden seleccionarse 6 preguntas de un total de 10?

10 C 6=

10 ! 10 ! 10 x 9 x 8 x 7 x 6 ! 5040 = = = =210 6 !∗4 ! 24 6 ! (10−6 ) ! 6 !∗4 !

75.¿Cuántos comités diferentes de 3 hombres y 4 mujeres pueden formarse con 8 hombres y 6 mujeres?

6 C 4=

6! 6! 6 x 5 x 4 ! 30 = = = =15 4!2 ! 2 4 ! ( 6−4 ) ! 4 ! 2 !

8! 8! 8 x 7 x 6 x 5 ! 336 8 C 3= = = = =56 3! 5 ! 6 3 ! ( 8−3 ) ! 3 ! 5!

15 x 56 = 840

76.¿De cuántas formas pueden seleccionarse 2 hombres, 4 mujeres, 3 niños y 3 niñas con 6 hombres, 8 mujeres, 4 niños y 5 niños si a) no se impone ninguna restricción, b) deben seleccionarse un hombre y una mujer determinados? Solución: a)

6 C 2=

6! 6! 6 x 5 x 4 ! 30 = = = =15 2! 4 ! 2 2 ! ( 6−2 ) ! 2 ! 4 !

8 C 4=

8! 8! 8 x 7 x 6 x 5 x 4 ! 1680 = = = =70 4! 4! 24 4 ! ( 8−4 ) ! 4 ! 4 !

4! 4! 4 x 3! 4 C 3= = = =4 3! 3 ! ( 4−3 ) ! 3! 5 C 3=

15x70x40= 42000

5! 5! 5 x 4 x 3 ! 20 = = = =10 3 ! 2 ! 3!2! 2 3 ! ( 5−3 ) !

b)

5 C 1=

5! 5! 5 x 4! = = =5 4! 1! (5−1 ) ! 4 !

7 C 3=

7! 7! 7 x 6 x 5 x 4 ! 210 = = = =35 3 ! 4 ! 3! 4! 6 3 ! ( 7−3 ) !

4! 4! 4 x 3! 4 C 3= = = =4 3! 3 ! ( 4−3 ) ! 3! 5 C 3=

5x35x40= 7000

5! 5! 5 x 4 x 3 ! 20 = = = =10 3!2! 2 3 ! ( 5−3 ) ! 3 ! 2 !

77.¿De cuántas formas puede un grupo de 10 personas dividirse en a) dos grupos de 7 y 3 personas, b) tres grupos de 4, 3, y 2 personas? Solución: a)

10 C 7 , 3=

10 ! 10 x 9 x 8 x 7 ! 720 720 = = = =120 7!3! 7!3! 3! 6

b)

10 C 4 , 3 ,2=

10 ! 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 ! 151200 151200 = = = =12600 4 ! 3 ! 2! 4!3!2! 6∗2 12

78.Con 5 estadísticos y 6 economistas quiere formarse un comité de 3 estadísticos y 2 economistas ¿Cuántos comités diferentes, pueden formarse si a) no se impone ninguna restricción, b) dos estadísticos determinados deben estar en el comité, c) un economista determinado no debe estar en el comité? Solución: a)

5 C 3=

5! 5! 5 x 4 x 3 ! 20 = = = =10 3 !2! 2 3 !( 5−3)! 3! 2 !

6! 6! 6 x 5 x 4 ! 30 6 C 2= = = = =15 2! 4 ! 2 2 !( 6−2)! 2 ! 4 ! b)

5 C 3= 5 C 2=

10 x 15= 150

5! 5! 5 x 4 x 3 ! 20 = = = =10 3 !2! 2 3 !( 5−3)! 3! 2 ! 5! 5! 5 x 4 x 3! 20 = = = =10 2! 3 ! 2 2 !(5−2) ! 2 ! 3!

10 x 10= 100

79.Hallar el número de a) combinaciones y b) permutaciones de cuatro letras cada una que pueden formarse con las letras ded la palabra Tennessee. a)

5+5+3+ 1+3=17 b)

P 9=9

( 2! 41 !! 1! )+1 ( 4 ! )+ 3( 2!42! ! )+ 3 ( 3!41! ! )+ 1( 1 )=163