• Author / Uploaded
• Sergio Sanchez

Citation preview

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE TEOR´IA COMBINATORIA ´ GU´IA DE PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION, PRINCIPIO DE LA SUMA Y PERMUTACIONES 1. ¿De cu´antas maneras se puede leer la palabra combinatoria de arriba hacia abajo? 2048

2. ¿Cu´antos n´ umeros de 4 cifras tienen exactamente un ocho? 729 + 8(9)(9)(4) 3. ¿Cu´antos son los enteros de 4 d´ıgitos en los cuales el guarismo 5 est´a? al total se le resta los numeros de 4 cifras que no poseen el digito 5. 4. ¿Cu´antos n´ umeros naturales existen menores que (10)6 , cuyas cifras sean todas distintas? 168570 5. ¿Cu´antos enteros del 1 al 1000000 tienen por lo menos un 1 en su expansi´on decimal? 6. Determine cu´antos enteros positivos de 3 d´ıgitos pueden escribirse en notaci´on decimal que no tengan al 0 en su expansi´on. 729 Hallese tambi´en la suma de estos n´ umeros de tres d´ıgitos. 404595 7. Un edificio tiene 14 puertas. ¿De cu´antas formas una persona podr´a entrar en el edificio y salir por una puerta diferente a la que utiliz´o para entrar? 8. Tres corredores participan en una carrera. ¿De cu´antas formas pueden llegar a la meta? 9. ¿Cu´antos enteros del 1 al 1000 no son divisibles por 3? 10. ¿Cu´antos n´ umeros de s eis cifras son capic´ uas? 9(10)(10) 11. ¿cu´antos n´ umeros naturales existen menores que (10)6 que no sean capic´ uas ? 99801 12. Se quieren colocar 3 pelotas de color rojo, azul y blanco en cajas numeradas con 1, 2, · · · , 10. Deseamos conocer el n´ umero de maneras distintas en que las pelotas pueden ser colocadas en cajas, si cada caja es capaz de contener s´olo una pelota. 13. ¿Cu´antas parejas se pueden formar con un grupo de 4 varones y 6 mujeres, si cierto var´on reh´ usa tener como pareja a dos de las mujeres?24-2 1

14. ¿ De cu´antas formas pueden ser programados tres ex´amenes dentro de un periodo de 5 d´ıas, de modo que el mismo d´ıa no sean programados 2 ex´amenes? 15. ¿Cu´al es el n´ umero de subconjuntos que posee un conjunto A de cardinal n? 16. Determinar cu´antos n´ umeros naturales mayores que 53000 existen sin cifras repetidas de manera que entre sus d´ıgitos no est´en ni el cero ni el nueve. 103920 17. En un librero se tienen 5 libros de Matem´atica, 3 de F´ısica y 2 de Qu´ımica. De cu´antas maneras se pueden organizar si : a) ¿ Los de qu´ımica en los extremos? b) ¿Los de F´ısica en los extremos? c) Los de Matem´atica juntos? 18. Cu´antos n´ umeros enteros de cinco cifras distintas y mayores que 53000 se pueden formar con los d´ıgitos 0,1,2,3,4,5,6 y 7 ? 2160 19. ¿Cu´antos cuadrados de longitud entera pueden formarse en una cuadr´ıcula de n × n (con los lados formados por segmentos de la cuadr´ıcula)? 20. ¿Cu´antos n´ umeros capicuas de 5 cifras hay? 21. Calcula el n´ umero de divisores de 112000. ¿Cu´antos son impares? 8 22. ¿Cu´antos n´ umeros de tres cifras significativas y diferentes existen, tales que la suma de sus cifras sea 6? 23. ¿Cu´antos n´ umeros de tres cifras significativas y diferentes existen, tales que la suma de sus cifras sea 9? 24. Un tablero est´a constitu´ıdo por 16 casilleros distribu´ıdos en 4 columnas y 4 filas. Se desea colocar 4 monedas de diferente valor en el tablero de modo que haya una sola moneda por fila y por columna. ¿De cu´antas maneras se puede distribuir las monedas? 576 25. ¿De cu´antas maneras pueden colocarse una torre blanca y una torre negra en un tablero de ajedrez de 8 × 8 de modo que no se ataquen? Nieto 26. ¿Cu´antos n´ umeros de tres d´ıgitos tienen el primer d´ıgito impar, el segundo par y el tercero igual a la suma de los dos primeros? 27. En un acto deben hablar Luis, Mar´ıa, Pedro, Pablo y Luisa. ¿De cu´antas maneras se puede confeccionar la lista de oradores? Y si se pone la condici´on de que se alternen oradores de distinto sexo? ¿Y si la condici´on es que Mar´ıa hable inmediatamente despu´es que Luis? ¿Y si es que Luis hable antes que Pedro? 28. Para escribir todos los n´ umeros naturales desde 1 hasta 1000000, ¿cu´antos ceros se necesitan? 29. Los n´ umeros naturales se escriben uno a continuaci´on del otro: 1234567891011121314151617 · · · ¿Qu´e d´ıgito se encuentra en la posici´on 2014? 30. Seis matrimonios posan en fila para una fotograf´ıa. ¿De cu´antas maneras pueden ubicarse si los miembros de cada pareja deben aparecer juntos? 31. ¿Cu´antos n´ umeros del 1 al 100000 no son divisibles ni por cinco ni por siete? 32. Tenemos los n´ umeros del 100000 al 999999. ¿Cu´antos de ellos cumplen que tienen al menos un d´ıgito cero o al menos un d´ıgito uno? 2

33. Cu´al es el n´ umero de permutaciones de las 26 letras del alfabeto (a) Sin restricciones ? 26! (b) Con las vocales agrupadas en forma consecutiva aeiou ? 22! (c) Con las vocales en un grupo de 5, y ´estas pueden estar en cualquier orden. 5!22! (d) Las vocales aparecen en orden natural y no necesariamente en forma consecutiva? C526 34. Cu´al es el n´ umero de permutaciones de los d´ıgitos 0, 1, 2, · · · , 9, a) Sin restricciones, 10! b) si los d´ıgitos impares son adyacentes y los otros no, 6(5!)2 c) si no hay dos d´ıgitos impares son adyacentes, 6(5!)2 c) Si cada primo est´a a la izquierda de otro no primo. 4!6! 35. Una furgoneta cuenta con 12 asientos, dispuestos en tres filas. En cada fila, hay dos pares separados por el pasillo. ¿De cu´antas maneras puede nueve personas sentarse, donde tres insisten ir en los asientos de la izquierda, cuatro insisten en sentarse a la derecha del pasillo, y dos personas no importa d´onde est´en sentados? 36. ¿De cu´antas maneras pueden 10 estudiantes de primer a˜ no cada uno asignarse a trabajar con un mentor elegido entre un grupo de 20 voluntarios de la clase alta, si cada estudiante de primer a˜ no se asigna a a) un mentor y cada maestro trabaja con uno de primer a˜ no? 20! 20 P10 b) un par de mentores? 10 2 37. ¿cu´antos n´ umeros de cinco cifras diferentes y mayores que 21300 se pueden formar con los enteros {1, 2, 3, 4, 5}? 96 38. Cuatro personas abordan un autom´ovil en el que hay 6 asientos. Si s´olo 2 saben conducir. ¿De cu´antas maneras diferentes pueden sentarse? 39. Ad´an. Beto y Carlos , llegan a una ciudad con tres hoteles. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ocupar cada uno una habitaci´on, si adem´as desean estar en hoteles diferentes? En el primer hotel hay 3 habitaciones libres, en el segundo hotel hay 4 y en el u ´ltimo hay 2? 40. ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden sentar en una fila de 5 butacas, 3 hombres y dos mujeres de modo que las mujeres no est´an juntas? 41. ¿Cu´antos n´ umeros de cinco cifras existen, tales que el producto de sus cifras sea impar? 42. ¿cu´antos n´ umeros de tres cifras significativas existen, tales que en su escritura aparezca la cifra tres por lo menos una vez? 43. En un club entrenan 10 hombres y 6 mujeres para participar en un evento deportivo. Se competir´a en 3 disciplinas diferentes y en cada una habr´a dos categor´ıas, para hombres una y para mujeres la otra. Si cada club env´ıa una delegaci´on de seis atletas, donde cada uno participa en diferentes disciplinas. ¿De cu´antas formas podr´a dicho club nombrar su delegaci´on si env´ıa 3 hombres y 3 mujeres? 120(6) 44. Tres personas suben en la planta baja al ascensor de un edificio que tiene 5 pisos. ¿De cu´antas maneras diferentes pueden ir saliendo del ascensor si en ning´ un piso baja m´as de una persona? 60 45. Un marino tiene 4 banderas distintas para hacer se˜ nales ¿Cu´antas se˜ nales diferentes puede hacer si coloca 3 banderas en un mastil una sobre otra? 24

3

46. Cu´antos enteros de 4 d´ıgitos y que sean divisibles por 4 se pueden formar con los d´ıgitos 1,2,3,4,5,6. 9(6)2 47. Cu´antos enteros de 4 d´ıgitos y que sean divisibles por 4 se pueden formar con los d´ıgitos 0,1,2,3,4,5. 5(6)(9) 48. u´antos enteros de 4 d´ıgitos y que sean menores que 3000 se pueden formar con los d´ıgitos 0,1,2,3,4,5. 2(6)3 49. Cu´antos enteros positivos menores que (10)5 se pueden formar con los d´ıgitos 7 y 9. 50. ¿De cu´antas maneras se pueden bajar de un ascensor 4 personas en un edificio que tiene 7 pisos? 2401 51. ¿De cu´antas maneras pueden alinearse 10 personas, si 3 de ellas deben estar juntas ? 241920 52. ¿De cu´antas maneras se pueden colocar en fila 6 hombres, no pudiendo uno determinado estar nunca a la cabeza? 600 53. Determina la suma de todos los enteros de cuatro d´ıgitos formados con los d´ıgitos 1,2,3,4. a) Los d´ıgitos de cada entero son distintos. 66660 b) Algunos d´ıgitos pueden repetirse. 711040 54. Encuentra la suma de los enteros de 5 d´ıgitos consistentes de llos d´ıgitos 0,1,2,3,4, tal que ninguno de los d´ıgitos se repite. 2599980 55. Queremos ordenar en una fila a 7 personas entre las que se encuentran El Chel´on y La Nena. (a) De cu´antas maneras diferentes podemos hacerlo si Nena y Chel´on nunca pueden estar juntos. 3600 (b) De cu´antas maneras diferentes podemos hacerlo si Nena debe estar siempre primera. 720 (c) De cu´antas maneras si entre Nena y Chel´on siempre debe haber exactamente 3 personas. 720 56. ¿Cu´antos n´ umeros naturales menores o iguales a un mill´on no tienen dos cifras consecutivas iguales? 57. ¿Cu´antos n´ umeros de tres cifras pueden formarse con 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7? (a) No se permite la repetici´on (b) Si se permite la repetici´on 58. ¿Cu´antos de los n´ umeros de tres cifras distintas se pueden formar con 0,1,2,3,5 y 7? (a) ¿Cu´antos de los n´ umeros formados anteriormente son menores que 300? (b) ¿Cu´antos son mayores que 500? 59. Considere todos los n´ umeros posibles de 8 cifras diferentes no nulas (como, por ejemplo, 73451962). (a) ¿Cu´antos de ellos son divisibles entre 5? 40320 (b) ¿Cu´antos de ellos son divisibles entre 9? 8! 4

60. Do˜ na Chanita vende frescos de: tamarindo, mara˜ no´n, maracuy´a, chan y limonada. Adem´as vende cuatro clases de pan dulce: chachama, quezadilla, marquezote y semitas. Si t´ u compras un fresco y una porci´on de pan. ¿De c´ uantas maneras diferentes puedes hacerlo? 61. Suponte que en tu grado se va integrar una directiva formada por: Presidente, Secretario y vocal. ¿De cu´antas maneras diferentes podr´ıa constituirse la directiva? 62. ¿De cu´antas maneras se pueden colocar 6 libros en una repisa? 63. ¿Cu´antos n´ umeros de cinco cifras son tales que el producto de sus cifras no es un valor impar? 64. ¿Cu´antos n´ umeros de tres cifras existen en los cuales una cifra se repite 2 veces solamente? 65. En un corral hay 10 jaulas diferentes, se han comprado 10 aves: 3 gallinas, 4 pavos y 3 patos. ¿De cu´antas maneras distintas se puede colocar un ave en una jaula, de modo que se diferencien en su especie? 66. Se tienen 3 cajas. ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden distribuir dos objetos A y B en dichas cajas; pudiendo ser que ambos queden en una misma caja? 67. Se dibujan n cuerdas no concurrentes en una circunferencia (n ? 2). Estas cuerdas se cortan en m puntos al interior de la circunferencia, los cuales subdividen a las cuerdas en r segmentos.

68. ¿De cu´antas maneras distintas se puede confeccionar una lista de las 27 letras dek alfabeto de forma que a y b no aparezcan consecutivamente? 27!-2(26!) ¿y si adem´as a y c no pueden aparecer consecutivamente? 27! -4(26!)+2(25!) 69. ¿De cu´antas formas es posible seleccionar dos cartas diferentes de una baraja de 52 cartas de forma tal que la primera carta sea un as y la segunda no sea una reina? ¿y si se demanda es que la primera carta sea de espadas y la segunda no sea reina? 612 mined 70. ¿Cu´antas veces aparece el n´ umero 5 entre los n´ umeros del 1 al 1000? 300 mined 71. Cuando se listan los n´ umeros del 1 al 10000, ¿Cu´antas veces se hace uso del d´ıgito 5? ¿y cu´antas veces aparece el ¨25¨? 72. Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran 5 asientos juntos, en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cu´antas maneras diferentes pueden sentarse, si las 3 chicas no quieren estar una al costado de la otra? 73. Se lanza siete veces una moneda. ¿Cu´antos resultados diferentes pueden obtenerse? 5

74. ¿cu´antos n´ umeros de 5 d´ıgitos tienen como sus dos u ´ltimas cifras 2 y 5 y en este orden? 75. ¿Cu´antos n´ umeros de tres d´ıgitos abc (a 6= 0) son tales que a + 3b + c es un m´ ultiplo de 3? 76. ¿Cu´antos n´ umeros de 4 cifras, que sean mayores que 4000 se pueden formar con los d´ıgitos 1,3,5 y 7; si ´estos d´ıgitos pueden repetirse? 77. ¿ De cu´antas maneras se pueden colocar 10 chicas en fila, de manera que dos chicas, en particular, no queden juntas? 78. Una l´ınea de ferrocarril tiene 25 estaciones. ¿Cu´antos billetes diferentes habr´a que imprimir si cada uno lleva impresas las estaciones de origen y destino? 600 79. Sea E un alfabeto con 5 vocales y 21 consonantes.¿Cu´antas palabras de cinco letras pueden formarse con las letras de E, tales que la primera y la u ´ltima letras sean vocales distintas y las otras tres sean consonantes distintas? 159600 80. ¿Cu´antas permutaciones del conjunto {1, 2, 3, 4, 6, 9} satisfacen la condici´on de que en la primera posici´on y en la u ´ltima haya un m´ ultiplo de 3 ? 144 81. ♣ En una carrera deportiva participan cinco equipos de cuatro corredores cada uno. Para contabilizar el resultado se tiene en cuenta s´olo los tres primeros clasificados. ¿Cu´antos resultados son posibles, con la condici´on de que los tres corredores sean de distintos equipos? 3840 82. Escribir todos los n´ umeros de dos cifras distintas que se puedan formar con los n´ umeros 3,4,5 y 6. a) ¿Cu´antos son? 12 b) ¿cu´antos de ellos son pares? 6 c) ¿cu´antos son m´ ultiplos de cinco? 3 d) ¿Cu´antos son mayores que 60? 60 e) ¿Cu´anto suman los n´ umeros del apartado a)? 594 83. ¿De cu´antas formas se pueden distribuir 2 objetos diferentes en 4 recipientes diferentes, si no se puede colocar m´as de un objeto en cada recipiente?12 84. Escribir todos los n´ umeros de dos cifras que se pueden formar con los n´ umeros 3,4,5 y 6, pudiendo repetirse las cifras. ¿Cu´antos son? 16 85. ¿De cu´antas formas pueden perseguir 3 perros a 3 gatos?27 86. ¿Cu´antas distribuciones se pueden hacer con 2 objetos diferentes en 3 recipientes diferentes, pudiendo colocar m´as de un objeto en cada caja? 9 87. ¿De cu´antas maneras se pueden colocar en fila tres personas? 6 , ¿Y cuatro personas? 24 88. ¿Cu´antos n´ umeros de cuatro cifras distintas pueden escribirse con los n´ umeros 0,2,4 y 6? 18 89. ¿De cu´antas maneras pueden ordenarse las 26 letras del alfabeto de manera que: a) las vocales aparezcan juntas?, 5!22! b) las letras X e Y no sean consecutivas. 26!-2!25! 90. En el campeonato de liga de futbol hay 20 equipos. ¿De cu´antas formas pueden clasificar los 6 primeros si se sabe que el Betis ha quedado entre ellos? 6P519 91. Calcular el n´ umero de enteros positivos menores que 10000 que se pueden formar con los d´ıgitos 1,2,3 y 4, si se permiten las repeticiones? 340

6

92. Un profesor pide a sus alumnos que pinten una cuadr´ıcula de 2 por 2(cuatro cuadraditos) usando los colores rojo verde. ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden pintar los cuadraditos? 16 93. ¿De cu´antas maneras 2 hombres y 3 mujeres pueden sentarse en una fila de cine, si los hombres tienen que estar juntos y mujeres tambi´en?2!3!2! 94. en un estante pueden colocarse 12 libros, de los cuales 4 son de f´ısica, 3 de Qu´ımica y 5 de Matem´aticas. ¿De cu´antas maneras se puede ordenar, si los libros de una misma materia deben estar juntos.? 4!3!5!3! ´ 95. Se tienen 6 libros distintos de Algebra, 5 libros distintos de Geometr`ıa, y 4 libros distintos de trigonometr´ıa. ¿De cu´antas formas es posible seleccionar un par no ordenado de libros que no sean de la misma asignatura?74 96. Considere una cuadr´ıcula de 8 × 8. Determine el n´ umero de cuadrados formados por v´ertices de la cuadr´ıcula cuyos lados son paralelos a los segmentos de la cuadr´ıcula. 208 97. En una fiesta se encuentran 10 hombres y 8 mujeres. ¿De cu´antas maneras pueden integrarse en parejas para bailar una determinada pieza? 98. Cu´antos son los n´ umeros naturales de 4 cifras que poseen por lo menos dos d´ıgitos iguales. 99. ¿Cu´antos n´ umeros positivos pueden formarse como suma de los n´ umeros 1,3,5,10,20 y 50? 100. ¿Cu´antos enteros entre 0 y 10000 tiene s´olo un d´ıgito igual a 5? 2916 101. ¿Cu´antos n´ umeros de siete d´ıgitos diferentes hay tomados de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y de manera que los d´ıgitos 5 y 6 no aparecen consecutivamente en cualquier orden ? P79 − 2(6)P57 102. ¿Cu´antos n´ umeros de 4 d´ıgitos, en los que no aparecen d´ıgitos repetidos, hay entre 4700 y 7400? 1400 103. ¿Cu´antos pares de enteros positivos (m, n) satisfacen m2 + n < 22 ? 104. ¿Cu´antos n´ umeros de tres d´ıgitos poseen exactamente un cero? 105. ¿Cu´antos n´ umeros de 3 cifras tienen por lo menos un 6 en su escritura? 106. Determine el n´ umero de enteros no negativos(parejas ordenadas) que soluci´on de: x+y ≤ 6 107. ¿Cu´antos n´ umeros de 5 cifras tienen por los menos un cero? 108. ¿cu´antos n´ umeros mayores que 3000 y menores que 4000 pueden formarse con los d´ıgitos 2,3,5 y 7. (a) si cada cifra puede usarse s´olo una vez? (b) si cada cifra puede emplearse las veces que se desee? 109. ¿Cu´antos n´ umeros naturales tienen exactamente k d´ıgitos? 9 (10)k−1 110. ¿Cu´antos n´ umeros de tres cifras tienen el primer d´ıgito impar, el segundo par y el tercer igual a la suma de los dos primeros? 15 111. ¿Cu´antos n´ umeros de 4 cifras y mayores que 3400 se pueden formar con 0,1,2,3,4,5,6 y 7?

7

112. Un alumno que no ha estudiado, est´a contestando al azar un examen del tipo falso o verdadero. Si el examen consta de 10 preguntas. ¿De cu´antas maneras diferentes puede ser contestado? 113. Determina cu´antos enteros positivos de 3 d´ıgitos pueden no contienen al cero? 114. Una bandera est´a formada por 7 franjas que deben ser de colores usando solamente los colores verde, azul y plomo. Si cada franja debe ser de un color y no se pueden usar colores iguales en franjas contiguas, ¿De cu´antas formas se puede colorear la bandera? 115. En un baile escolar, la profesora forma parejas extrayendo de una bolsa el nombre de una ni˜ na. Si en el aula hay 9 ni˜ nos y 7 ni˜ nas. ¿Cu´antas posibles parejas distintas se podri´an formar? 116. Disponemos de todas las cifras significativas de la base 8. ¿Cu´antos numerales de 5 cifras diferentes se pueden escribir, de modo que empiecen en 4 y terminen en cifra par? 117. Se tienen 3 casas. Indique de cu´antas maneras diferentes se pueden distribuir dos personas en dichas casas(es posible que ambas se encuentren en una misma) 118. ¿Cu´antos n´ umeros de cinco cifras distintas pueden formarse con las cifras 2,3,4,5 y 6 que sean menores que 65000, no pudi´endose repetir ninguno? 114 119. Con los guarismos de los n´ umeros 47251 y 6839, ¿Cu´antos n´ umeros de seis cifras podemos formar de manera que cada uno tenga tres cifras distintas del primero y tres cifras distintas del segundo? 1440 120. ¿Cu´antos n´ umeros capic´ uas de 8 d´ıgitos hay? 121. De los siguientes n´ umeros: 1,3,4,6,9, ¿Cu´antos numerales de cuatro cifras diferentes y mayores que 5000 se pueden formar con estos n´ umeros? 48 122. ¿Cu´antos monomios de coeficiente 1 pueden escribirse con las letras x,y,z sabiendo que sus exponentes pueden ser 1,2,3 y 4? 124 123. Si se escriben en orden creciente las variaciones de cuarto orden sin repetici´on que se pueden formar con las nueve cifras significativas, ¿Qu´e lugar ocupa la variaci´on 3254? 728 124. colocadas en orden alfab´etico todas las permutaciones de las letras A, E, I, J y M, se desea saber el lugar que ocupa la permutaci´on JAIME. 125. Formados y dispuestos en orden creciente todos los n´ umeros que se obtienen permutando los d´ıgitos 1,2,4,6,8, que lugar ocupa el n´ umero 68412 ? 95 126. Formados y dispuestos en orden creciente todos los n´ umeros que se obtienen permutando los d´ıgitos 2,3,4,8,9 que lugar ocupa el n´ umero 43892 ? 58 127. Con las cifras 6,7,8 y 9: a) ¿Cu´antos n´ umeros de seis cifras pueden formarse?4096 b) ¿Determina la suma de todos ellos? 3413329920 c) determina la suma de todos los que terminan en seis. 853330944 128. ¿Cu´antos n´ umeros de cinco cifras se pueden formar con los d´ıgitos 1,2,3,4 y 5 sin que se repita ninguno?. Calcular su suma. 3999960

8

129. ¿Cu´anto vale la suma de todos los n´ umeros de 4 cifras que se pueden formar con las cifras 1,2,3 y 4 sin repetir?66660. 130. Si se suponen escritas por orden alfab´etico las permutaciones de las letras a, b, c, d , e. ¿Cu´al es la ocupa el lugar 60? cbeda 131. Demostrar que dadas tres cifras a,b, c: a) La suma de los n´ umeros obtenidos formando variaciones binarias es m´ ultiplo de 2 b) La suma de los n´ umeros obtenidos formando las variaciones ternarias con repetici´on es m´ ultiplo de 37. 132. Se permutan de todas las formas posibles las cifras 1,2,4,6 y 7 y se escriben los n´ umeros as´ı formados en orden creciente. Determine: a) que lugar ocupa el n´ umero 62417 b) que n´ umero ocupa el lugar 66 c) Calcula la suma de los n´ umeros formados 133. Consideremos escritas en orden alfab´etico todas las permutaciones posibles de las letras A, B, C, D y E. a) ¿Qu´e permutaci´on ocupa el lugar 73? DABCE b) ¿Qu´e lugar ocupar´a la permutaci´on CDABE? 61 134. De Lima a Lur´ın conducen tres carreteras que son cruzadas por tres caminos vecinales, tal como se muestra en el siguiente esquema.

135. Elegimos simult´aneamente dos cuadritos de un tablero de Ajedr´ez(uno blanco y otro negro). ¿De cu´antas maneras se pueden elegir, si deben ser de diferentes filas y columnas? 136. Tres alumnas quieren escuchar juntas en la misma carpeta el seminario de Combinatoria. Este dicta en 3 locales de 4 aulas y cada una de estas con 8 carpetas para 4 alumnos. ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar? 137. ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden sentar en una banca 16 personas, de modo que los esposos y los novios est´en juntos, adem´as,las damas deben estar a la izquierda de su pareja? Considere que en el grupo hay tres parejas de esposos y 4 parejas de novios. 138. Calcule la cantidad de n´ umeros de cuatro cifras, de tal manera que al multiplicar sus cifras el producto sea m´ ultiplo de 7. 139. Se desea ubicar en columna a 4 mujeres y 3 hombres. Si un hombre no puede ir detr´as de otro, ya que hay una mujer entre ellos, ¿De cu´antas maneras se pueden ubicar las personas? 9

140. Seis hombres y seis mujeres compiten realizando cierta tarea. Si los seis primeros puestos son ocupados por cuatro hombres y dos mujeres, determine el n´ umero de casos. 141. Se reunen 40 damas y 20 varones para elegir un presidente, vicepresidente, tesorero y un secretario. La condici´on es que el tesorero sea una dama y el secretario un hombre, adem´as, nadie puede ocupar m´as de un cargo. Indique de cu´antas maneras puede elegirse ese grupo directivo. 142. ¿De cu´antas maneras 3 Argentinos, 4 Peruanos, 4 Chilenos y 2 Salvadore˜ nos pueden sentarse, ordenadamente en una mesa redonda de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? 143. ¿De cu´antas maneras diferentes se puede ubicar 4 rusos, 3 espa˜ noles y 2 italianos, en 9 butacas colocadas en fila, si los de la misma nacionalidad siempre se sientan juntos? 144. Seis amigos alquilan un bote que tiene 4 remos por lado. Andr´es y Beto reman a un mismo lado. Carla, David y Eduar reman en el otro lado. Si Fernando rema en cualquier lado, ¿de cu´antas maneras diferentes podr´ıan remar todos ellos? 1728 145. A la etapa final de un concurso de cantantes, llegaron 5 hombres y 4 mujeres. La regla del concurso indica que se van a premiar 3 mujeres y 2 hombres, de acuerdo a la posici´on que ocupen(primer, segundo o tercero) considerando los 9 finalistas. Calcule la cantidad total de posibilidades que pueden conformar las posiciones de los 5 ganadores(premiados) 720 146. Un palco de cuatro asientos es vendido a dos parejas. ¿De cu´antas maneras diferentes podemos acomodarlos, si cada pareja quiere estar junta? 147. ¿Cu´antas n´ umeros de tres cifras diferentes se pueden formar con los d´ıgitos 1,2,3,4 y 5, de manera que no aparezca el 3 en las decenas? 148. Se permutan cinco cifras(a, b, c, d y e) significativas y diferentes, formando con ellas todos los numerales de tres cifras diferentes. Si la suma de ellos es 31968, calcule a + b + c + d + e 149. ¿De cu´antas maneras se puede representar el n´ umero 15 como una suma indicada de cuatro sumandos enteros positivos y diferentes entre si.? 144 150. En una exposici´on en el Museo de Arte de Alemania, se van a colocar en fila dos cuadros de Picasso, cuatro cuadros de Rembrandt y tres de Van Gogh. Determine de cu´antas maneras pueden ser ubicados los cuadros, de modo que los de Rembrandt se encuentren siempre juntos. 151. ¿Cu´antos paralelogramos quedan determinados cuando un grupo de 6 rectas paralelas es intersecado por otro grupo de 6 rectas paralelas? 420 152. ¿Cu´antos n´ umeros hay entre 1000 y 10000 con la condici´on de que sus d´ıgitos sean diferentes? ¿Y si se permite la repetici´on de d´ıgitos, pero no se permiten los d´ıgitos 2 o 4? ¿Y cu´ando los d´ıgitos deben ser distintos y al menos uno de los d´ıgitos 2 y 4 deben aparecer? 3066 153. en cu´antas maneras pueden ser ordenadas las letra de la palabra DOREM I tal que en cada anagrama las vocales ocurren en forma alfab´etica. 120

10