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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES

2° Laboratorio de Física II PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER FI204 M Profesores: RODRIGUEZ MORALES MARIA ISABEL. WATERS TORRES OSWALDO.

Integrantes: - ALVA PAZ ISAAC

20171451A

- CHOQUE HUAMAN MARCO ANTONIO

2018-II

20171393A

2 LABORATORIO DE FISICA ll

No

02

PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

3 LABORATORIO DE FISICA ll

I.

No

02

INDICE

I.

INDICE……………………………………………………………………………3

II.

RESUMEN……………………………………………………………………….4

III.

OBJETIVOS................................................................................................5

IV.

FUNDAMENTO TEORICO……………………………………………………..6

V.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL…………………………………………8

VI.

ANALISIS DEL RESULTADO......................................................................9

VII.

CONCLUSIONES.......................................................................................16

VIII.

REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS.............................................................17

IX.

DIAGRAMA DE GOWIN……………………………………………………...18

X.

CUESTIONARIO………………………………………………………………..19

PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

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PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

I.

RESUMEN El presente informe tiene por objetivo determinar experimentalmente los

periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de estos calcular los momentos de inercia a partir de las ecuaciones conocidas.

El equipo utilizado consta de una barra metálica de 110 cm de longitud, 3.8 cm de ancho, 0.7 cm de espesor y 21 agujeros; un soporte de madera con forma triangular que servirá de base para la experiencia; un cronómetro digital, que nos ayudará a controlar el periodo de las oscilaciones; una regla milimetrada que ayudará a tomar las dimensiones de la barra; una balanza para calcular la masa de la barra metálica y una prensa de carpintero para sujetar bien el soporte. Calcularemos el momento de inercia de la barra con respecto a los puntos analizados y analizaremos el movimiento del péndulo físico mediante los métodos aprendidos en clase.

Para calcular la inercia de la barra con respecto a su centro de gravedad, primero tomaremos al cuerpo como un paralelepípedo con las dimensiones medidas y le restaremos los 21 cilindros, que son los huecos, obteniéndose 0.1867 kg.m2 .Luego hallaremos la relación entre los cuadrados de las distancias entre los agujeros y el centro de gravedad con el periodo obtenido. El experimento resulta importante en el análisis del movimiento oscilatorio pues nos muestra que el movimiento armónico simple también puede presentarse en cuerpos rígidos y en casos reales, aunque este limitado por aproximaciones.

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II.    

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OBJETIVO Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de estos calcular los momentos de inercia. Comparar los momentos de inercia experimentales y los momentos de inercia hallados teóricamente, con un previo análisis de las variables que determinan el ensayo. Analizar el comportamiento del péndulo simple mediante variaciones de longitud entre su C.G, y su eje de giro. Relación entre un péndulo físico y un péndulo simple.

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FUNDAMENTO TEÓRICO:

PÉNDULO FÍSICO Un péndulo físico es un cuerpo rígido de masa m que puede oscilar alrededor de un eje que pasa por un punto O, distinto de su centro de masa (Ver figura 1). Cuando el cuerpo, cuyo momento de inercia respecto al eje de rotación es Io, se separa de su posición de equilibrio un ángulo θ y se suelta, un momento restaurador τo asociado a la fuerza gravitacional mg, le producirá un movimiento oscilatorio cuya ecuación es: 𝜏0 = 𝐼0 𝜃´´ Con la aproximación de pequeñas oscilaciones senθ =θ, la ecuación dinámica rotacional anterior puede escribirse en la forma: 𝜃´´ + 𝜔2 𝜃 = 0 DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO USANDO UN PÉNDULO FÍSICO. Según el teorema de los ejes paralelo (teorema de Steiner), el momento de inercia respecto de su centro de masa, Icm, y el momento de inercia respecto de un nuevo eje paralelo al primero y separado de aquel por una distancia y, están relacionados por: 𝐼(𝑦) = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑀𝑦 2

(I)

Donde M es la masa del cuerpo. Si ponemos al objeto a oscilar alrededor de un punto de suspensión O, su período será: 𝐼

+𝑀𝑦 2

𝑇(𝑦) = √ 𝑐𝑚𝑀𝑔𝑦 PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

( II )

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La posición del centro de masa del cuerpo puede determinarse con relativa facilidad. Si el objeto es plano, basta suspenderlo de dos puntos cualesquiera y marcar sobre el mismo las direcciones de las verticales que pasan por los puntos de suspensión. La intersección de dichas rectas determina el centro de masa. Esto significa que para un objeto plano el valor de y puede determinarse por medición directa. Si el objeto es simétrico, la simetría indica la ubicación del centro de masa.

MATERIALES El material necesario para este experimento consta de:  Una barra metálica de longitud L con agujeros circulares (ver figura N°1)  Un soporte de madera con cuchilla (ver figura N°2)  Una mordaza simple (ver figura N°3)  Un cronómetro digital (ver figura N°4)  Una regla milimetrada (ver figura N°5)

Figura N°5. Regla milimetrada

Figura N°3. Mordaza simple

Figura N°1. Barra metálica con agujeros circulares

Figura N°2. Soporte de madera con cuchilla

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Figura N°4. Cronómetro digital

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IV.

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PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1. Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor, sujete el soporte de madera con las mordazas simples. 2. Ubique el centro de masa de la barra, suspendiendo esta horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en equilibrio horizontal será el centro de gravedad (CG) de la barra. (Ver figura 2.a) 3. Suspenda la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla (Ver figura 2.b) y hágala oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio (cuando más 15º), tome nota del tiempo en que emplea en 10 oscilaciones y mida también la distancia l (distancia de CG a O). 4. Repetir esta operación dos veces más. 5. Mida las mediciones de la barra y su masa.

DATOS OBTENIDOS:  M=1.85 Kg.  # huecos = 21  a=1.10 m  b=0.038 m  c=0.007 m 𝐼𝐺 =  𝐼𝐺 = 0.1867 𝑘𝑔. 𝑚2 PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

𝑀(𝑎2 + 𝑏 2 ) 12

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V.

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ANALISIS DEL RESULTADO

1. Llene la tabla 1 con las siguientes características: N° HUECO

L(cm)

𝑡1

𝑡2

𝑡3

N° OSCILACIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

50.1 45.1 40.1 35.1 30.1 25.1 20.1 15.1 10.1 5.1

16.02 15.31 16.05 16.13 15.94 16.16 16.70 18.04 20.44 26.39

15.74 15.81 15.91 16.14 16.15 16.10 16.74 17.93 20.45 26.64

15.83 15.51 15.95 15.77 16.05 16.27 16.66 18.00 20.33 26.03

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

PERIODO T (Promedio) 15.86 15.54 15.97 16.01 16.04 16.17 16.70 17.99 20.40 26.35

2. A. Grafique T vs. L (T en el eje vertical y L en el eje horizontal)

T vs. L 30 y = 0.0097x2 - 0.6457x + 27.815

PERIODO

25 20 15 10 5 0 0

10

20

30

40

50

60

LONGITUD

Para obtener la longitud debemos derivar la ecuación obtenida en la gráfica e igualamos a 0. y = 0.0097x2 - 0.6457x + 27.815 𝑑(0.0097𝑥 2 − 0.6457x + 27.815) =0 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑙 = 0.3328 𝑚 PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

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B. Encuentre el valor de L para que el periodo tenga el mínimo valor. 𝐼

𝑇 = 2𝜋√𝑀𝑔𝑙 ……...(i) 𝐼1 = 𝐼𝐺 + 𝑀𝑙 2 …………(ii) (ii) en (i) 𝑇 = 2𝜋√

𝐼𝐺 𝑙 + 𝑀𝑔𝑙 𝑔

Si el periodo es mínimo: −𝐼𝐺 + 𝑑𝑇 𝑀𝑔𝑙 2 = 2𝜋 𝑑𝑙 𝐼 √ 𝐺 + ( 𝑀𝑔𝑙

1 𝑔 𝑙 𝑔)

=0

𝐼𝐺 𝑀(𝐿2 + 𝑏 2 ) 𝐿2 + 𝑏 2 𝑙=√ =√ = √ 𝑀 12𝑀 12 Reemplazando: L=1.10 m ; b=0.038 m 𝑙 = 0.3177 𝑚 C. Compare el valor de L obtenido en B con el que obtiene en la gráfica en A. Valor obtenido en A. 0.3328 m Valor obtenido en B. 0.3177 m %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

(0.3328 − 0.3177) × 100% 0.3328

%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 4.537 % Se tomó a la barra como si fuera una barra homogénea lo cual experimentalmente es incorrecto. D. ¿Cuál es el periodo para esta distancia? 𝑙 = 0.3177 𝑚

→

𝑇 = 2𝜋√

𝐼 𝑀𝑔𝑙

0.1867 + 1.85(0.3177)2 𝑇=√ 1.85(9.81)0.3177 𝑇 =1.599 s PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

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E. Del gráfico, ¿puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo periodo? Indíquelos.

T vs. L 30 25

PERIODO

y = 0.0097x2 - 0.6457x + 27.815

26.35 20.4

20

17.99

16.7

15

16.17 16.04 16.01 15.97 15.54 15.86

10 5 0 0

10

20

30

40

50

60

LONGITUD

De los datos solo podemos tener dos puntos aproximados como el de 𝑡4 y 𝑡5 que son 16.01 y 16.04 respectivamente. 3. Con el valor de T conocido experimentales, encuentre, utilizando la relación (II), el valor de 𝑰𝟏 y llene la tabla 2 con la siguiente características. # de huecos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Eje de oscilación, l(cm) 50.1 45.1 40.1 35.1 30.1 25.1 20.1 15.1 10.1 5.1

(periodo)2 𝑇 2 (𝑠)2 251.5396 241.4916 255.0409 256.3201 257.2816 261.4689 278.89 323.6401 416.16 694.3225

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Momento de inercia 𝐼1 0.65105 0.56299 0.48418 0.41462 0.35431 0.30325 0.26144 0.22888 0.20557 0.19151

𝑙 2 (𝑐𝑚)2 2510.01 2025.9001 1608.01 1232.01 906.01 630.01 404.01 228.01 102.01 26.01

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4. Hallar el grafico 𝑰𝟏 vs. 𝒍𝟐 . # de hueco 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

𝐼1 (𝑘𝑔. 𝑚2 )

𝑙 2 (𝑚2 )

0.65105 0.56299 0.48418 0.41462 0.35431 0.30325 0.26144 0.22888 0.20557 0.19151

0.251001 0.20259001 0.160801 0.123201 0.090601 0.063001 0.040401 0.022801 0.010201 0.002601

𝐼_1 vs. L^2 0.7 0.6 0.5 y = 1.8524x + 0.1866

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

5. El grafico anterior y por comparación hallar 𝑰𝑮 y M. Teorema de Steiner: 𝐼1 = 𝐼𝐺 + 𝑀𝐿2 De la ecuación de la gráfica tenemos: 𝐼1 = 0.1866 + 1.8524𝐿2 𝐼𝐺 ´ =0.1866 𝑘𝑔. 𝑚2 M´ = 1.8524 kg

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6. Compare el valor de 𝑰𝑮 obtenido en el paso 5 con el valor de la fórmula para una barra de longitud “L” y el ancho “b”. 𝐼𝐺 =

𝑀(𝑎2 + 𝑏 2 ) 12

¿Qué error experimental se obtuvo? ¿qué puede decir acerca de la masa? 𝐼𝐺 (𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜) = 0.1867 𝑘𝑔. 𝑚2 𝐼𝐺 (𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙) = 0.1866 𝑘𝑔. 𝑚2 %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

(0.1867 − 0.1866) . 100% 0.1867

%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 0.05356 % 𝑀(𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜) = 1.85 𝑘𝑔. 𝑀(𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙) = 1.8524 𝑘𝑔 %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

(1.85 − 1.8524) . 100% 1.85

%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = −0.1297 % 7. Halle la longitud del péndulo simple equivalente en el numero de 5. 𝐼(5) = 0.35431 𝑘𝑔. 𝑚2 Reemplazando en la ecuación (𝐼1 vs. 𝑙 2 ). Se sabe que: Para un péndulo simple: 𝐿

𝑇 = 2𝜋√𝑔 …… (I) Para un péndulo físico: 𝐼

𝑇 = 2𝜋√𝑀𝑔𝑙 …….(II) Igualando (I) y (II) 𝐿(1) =

𝐼(1) 0.35431 = = 0.3822 𝑚 𝑀𝑙(1) 1.85(0.501)

𝐿(2) =

𝐼(2) 0.35431 = = 0.4246𝑚 𝑀𝑙(2) 1.85(0.451)

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𝐿(3) =

𝐼(3) 0.35431 = = 0.4776 𝑚 𝑀𝑙(3) 1.85(0.401)

𝐿(4) =

𝐼(4) 0.35431 = = 0.5456 𝑚 𝑀𝑙(4) 1.85(0.351)

𝐿(5) =

𝐼(5) 0.35431 = = 0.6362 𝑚 𝑀𝑙(5) 1.85(0.301)

𝐿(6) =

𝐼(6) 0.35431 = = 0.7630 𝑚 𝑀𝑙(6) 1.85(0.251)

𝐿(7) =

𝐼(7) 0.35431 = = 0.9528 𝑚 𝑀𝑙(7) 1.85(0.201)

𝐿(8) =

𝐼(8) 0.35431 = = 1.2683 𝑚 𝑀𝑙(8) 1.85(0.151)

𝐿(9) =

𝐼(9) 0.35431 = = 1.8962 𝑚 𝑀𝑙(9) 1.85(0.101)

𝐿(10) =

𝐼(10) 0.35431 = = 3.7552 𝑚 𝑀𝑙(10) 1.85(0.051)

8. Demuestre de forma analítica las relaciones. -Para la relación (1): En un péndulo físico, el cuerpo esta desplazado un ángulo “ө” de la posición de equilibrio, la distancia de “O” (punto de apoyo) al centro de gravedad es l, siendo su masa M. Cuando el cuerpo se desplaza causa un momento de torsión que por teoría se sabe que es: г = + (mg) (lsen ө) Donde será negativo si el momento de torsión es horario y será positivo si es antihorario. Entonces como “ө” es pequeño podemos considerar: sen ө = ө Por lo que se considera un movimiento aproximadamente armónico simple. г = (mgl) (ө) La ecuación de movimiento es ∑г = Iα

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Por tanto. (mgl) = Iα = Id2ө dt2

d2ө = mgl ө dt2 I

Por tanto la frecuencia está dada por: w = (mgl /I)1/2, entonces el periodo es:

T = 2π (I/ mgl)1/2 -Para la relación (2): Se sabe q un cuerpo tiene un número ilimitado de puntos por el cual se podría tomar un eje y hacerlo girar entonces supongamos que tenemos un cuerpo en el eje xy donde su centro de masa esta en el punto “0” que tiene como eje de giro z:

yi --------------------------------------mi yi-b a

P d

x i- a

b x

O

xi

El momento de inercia que pasa por el centro de masa (en el punto 0) es: Icm = ∑mi( xi2 + yi2) Entonces el momento de inercia alrededor del eje paralelo que pasa por P es: Ip = ∑mi [(xi-a) 2 + (yi-b) 2] Desarrollando la ecuación, queda: Ip = ∑mi (xi2 + yi2) – 2a∑mi xi – 2b∑mi yi + (a 2+ b) 2∑mi Obs.: 2a∑mi xi y 2b∑mi yi se anulan porque son proporcionales a xcm y ycm que son cero porque se toman desde el origen.

Por tanto:

Ip = ∑mi(xi2 + yi2) + (a 2+ b) 2∑mi = Icm + Md2

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CONCLUCIONES:

 La barra metálica usada para hallar el periodo de oscilación disminuye conforme va decreciendo la longitud del agujero al centro de gravedad. Se puede observar en este gráfico que a partir del hueco 7,8,9,10 el movimiento es amortiguado, ya que la disminución de la distancia al centro de masa afecta en forma notable en el aumento del periodo. Este hecho explica el extraño resultado del periodo que disminuye, llega a un punto mínimo, y vuelve a crecer. Este efecto que no se supone en un péndulo ideal se debe sobre todo a la amortiguación que produce el decrecimiento de la distancia del agujero tomado como punto de giro (o apoyo) al punto de equilibrio (punto central).  El centro de masa de la barra no se puede hallar exactamente, pues sus características superficiales eran irregulares. Tenían muchas rugosidades lo que hacía que la aplicación del Teorema fuera solamente aproximada. (No era auténticamente una barra).  El momento de inercia hallado es del centro de gravedad, el cual se ubica aproximadamente en el punto central del agujero ubicado en la parte media de la barra y en el resto de agujeros se halló el momento de inercia mediante el Teorema de Ejes Paralelos (Teorema de Steiner), estos se encontraban a una distancia R del centro de gravedad.  A pesar de que todos los agujeros tenían aproximadamente igual diámetro, algunos de ellos no eran cilindros simétricos; por ejemplo, los agujeros más cercanos al centro de la barra estaban más desgastados que aquellos situados en las partes extremas.  Esta imperfección en los agujeros afectan la ubicación del centro de gravedad de la barra, porque no varia la masa uniformemente. Se recomendaría que el numero de agujeros sea mínimo, que estén ubicados simétricamente unos respecto de otros y además que tengan el radio lo mas pequeño posible para que esto no afecte al movimiento que sobre el punto de apoyo se realiza. Por ultimo se debe procurar que la barra sea de un material muy denso y con una superficie regular.

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17 LABORATORIO DE FISICA ll

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 Tomar el tiempo de 25 oscilaciones en vez de 20 para reducir el margen de error producido al usar el cronómetro. No se pueden hacer más de 25 oscilaciones, porque empezaría a notarse la presencia de rozamiento. Otra opción a seguir sería tomar más de 10 medidas del tiempo de 20 oscilaciones.  El soporte de madera aunque estuvo bien ajustado, a causa del peso de la barra se movía ligeramente, y el punto de apoyo (prisma metálico) no estaba del todo horizontal. Se recomendaría el uso de un nivel y asegurar el soporte de madera con dos abrazaderas.  A pesar del margen de error se llegó a comprobar experimentalmente que el teorema de los ejes paralelos cumplía aproximadamente todos los valores teóricos de la fórmula ideal.  De la gráfica Momento de Inercia vs. (distancia)2 se concluye que la ecuación tiene por pendiente a la masa de la barra, y el resultado experimental de la barra lo confirma, puesto que 1,85 » 1,8524, el cual es el valor de la masa de la barra.  El periodo de oscilación de un péndulo es proporcional a la longitud entre el agujero y el centro de gravedad. Este hecho explica el extraño resultado del periodo que disminuye, llega a un punto mínimo y vuelve a crecer. Este efecto no se supone en un péndulo ideal; se debe sobre todo a la amortiguación que produce el decrecimiento de la distancia del agujero tomado como punto de giro (o apoyo) al punto de equilibrio (agujero central).  Se ha demostrado una vez más experimentalmente que la tabulación se puede usar para verificar fórmulas sin necesidad de tener un amplio conocimiento de matemáticas. VII.

REFERENCIA BIBLIOBRAFICA



General-UNI, M. d. (s.f.). Universidad Nacional de Ingeniería. Fabet.



Medina Hugo, física general 2,2013, PUCP, LIMA 2013.



Zemansky, S. (2014). Fisica Universitaria. Pearson.



Raymond a. serway; john w. jewett, fisica 2 (3ª ed.), 2003

PAGINA WEB: 

https://www.fisicalab.com/apartado/concepto-pendulo-fisico#contenidos



https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_f%C3%ADsico

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18 LABORATORIO DE FISICA ll VIII.

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DIAGRAMA DE GOWIN

Conceptos: Pensar

¿Qué quiero saber? Determinar los periodos de oscilación de un péndulo físico y así obtener los momentos de inercia.

¿Qué principios, teorías, modelos están involucrados? Leyes de la física clásica como el momento de inercia y el teorema de Steiner. Conceptos y definiciones: Un péndulo físico es un sólido rígido de forma arbitraria que puede oscilar en un plano vertical alrededor de un eje perpendicular a un plano que contenga a su centro de masas. teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia 2. de un sólido rígido sobre cualquier eje ¿Cuál es la hipótesis del problema? Momento de inercia del péndulo con respecto al eje fijo O

Procedimientos: Hacer Valoración ¿Para qué me sirve lo que aprendí? Para encontrar la diferencia entre los periodos del péndulo simple y el péndulo físico con el teorema de Steiner.

Conclusión: Se puede observar en este gráfico que a partir del hueco 7,8,9,10 el movimiento es amortiguado, ya que la disminución de la distancia al centro de masa afecta en forma notable en el aumento del periodo. Este hecho explica el extraño resultado del periodo que disminuye, llega a un punto mínimo, y vuelve a crecer.

Variables del problema: momento de inercia respecto de su centro de masa, Centro de masa del l cuerpo, Longitud del eje de oscilación al C.M. masa, periodo. Lo que conozco del problema: Se puede conocer el periodo con una relación sencilla de número de oscilaciones sobre el tiempo empleado.

PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

¿Cuáles son los resultados o afirmaciones? el péndulo físico o el péndulo rígido se presenta en la vida real mientras que el péndulo simple es un concepto ideal.

¿Cómo los trasformo e interpreto? Las variables del péndulo simple y péndulo físico tiene relación en el periodo

¿Cómo organizo y registro los datos resultantes? Mediante un cuadro de los números de huecos para las diferentes longitudes como también una tabla para hallar el número de oscilaciones y periodos.

¿Cuál es el fenómeno o problema? Analizar el movimiento del péndulo físico mediante los métodos aprendidos en clase.