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• Ronald Chaiña

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LABORATORIO DE FÍSICA II

Que lINDICE PROLOGO

………………………………………………………………………………………………2

PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER……………………………………………………3 REPRESENTACION ESQUEMATICA………………………………………………………………4 FUNDAMENTO TEORICO……………………………………………………………………………..5 HOJA DE DATOS…………………………………………………………………………………………..7 REFERENCIAS DEL OBJETO A ANALIZAR……………………………………………………….8 CALCULOS, GRAFICOS, Y ANALIZIS DE RESULTADOS……………………………………9 CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA………………………………………………………… 10 CALCULO DEL PERIODO MINIMO………………………………………………………………...12 COMPARACION DE LOS VALORES TEORICO Y EXPERIMENTAL DE “L” PARA “T” MINIMO

………………………….13

PUNTOS DE OSCILACION CON EL MISMO PERIODO………………………………….15 FÓRMULA DE MINIMOS CUADRADOS (I VS L2)……………………………………..16 PENDULO SIMPLE EQUIVALENTE AL HUECO N°5………………………………………18 OBSERVACIONES……………………………………………………………………………………….18 CONCLUSIONES………………………………………………………………………………………….18 RECOMENDACIONES…………………………………………………………………………………18 BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………………………….19

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PROLOGO. El estudio y entendimiento de fenómenos físicos por el cual se nos permite predecir ciertos comportamientos se ven reflejados en diversos teorías físicas las cuales son analizadas y puestas a prueba en diversos experimentos que son metódicamente expuestos para su apreciación intelectual. Una de estos fenómenos cuyo estudio y corroboración se exponen en este informe es el estudio del “PENDULO FISICO” cuyas relaciones teóricas y experimentales se ponen en comparación y análisis. Este laboratorio titulado “PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER” es de gran importancia debido a sus relaciones entre momentos de inercia, periodo, masa , etc. Que nos facilitan ciertos cálculos que de otra forma serian mucho más complicados.

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“PÉNDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER”

OBJETIVOS:    

Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de estos calcular los momentos de inercia. Comparar los momentos de inercia experimentales y los momentos de inercia hallados teóricamente, con un previo análisis de las variables que determinan el ensayo. Analizar el comportamiento del péndulo simple mediante variaciones de longitud entre su c.g y su eje de giro. Relación entre un péndulo físico y un pendulo simple .

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REPRESENTACION ESQUEMATICA Materiales:    

barra metálica con agujeros. cronometro. regla milimetrada. soporte de madera con cuchilla.

Procedimiento: 1. sujetar sobre la mesa el soporte, y sobre él, suspender la barra de la siguiente manera, con el fin de hallar el centro de gravedad de la barra. CENTRO DE GRAVEDAD

BARRA

SOPORTE

MESA

2. Suspender la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y procedemos a hacerla oscilar separando su posición de equilibrio no más de 15°.tomamos nota los tiempos cada 18 oscilaciones y los tres últimos agujeros adyacentes al C.G sólo 9 oscilaciones; tomamos nota también la distancia del C.G a cada agujero del que hacemos oscilar la barra. Centro de giro Centro de giro

L L Centro de gravedad

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Centro de gravedad

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FUNDAMENTO TEORICO PENDULO FISICO.

A

Un péndulo físico es cualquier péndulo real que usa un cuerpo de tamaño finito, en contraste con el modelo idealizado del péndulo simple en el que toda masa se concentra en un punto. si las oscilaciones son pequeñas, el análisis del movimiento de un péndulo real es tan sencillo como el de uno simple.la figura de abajo muestra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin friccion alrededor de un eje que pasa por el punto O. en la figura el cuerpo esta desplazado un angulo θ. Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra, el peso mg causa una torca de restitución.

M e   MgLsen  Si es

el momento de inercia del péndulo respecto

al eje de suspensión ZZ′ y llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo.

L

 MgLsen   I 0 que podemos escribir en la forma

Mg

 

MgL sen  0 ….(1) I0

que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que se encuentra para el péndulo simple. En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos considerar sen θ ≈ θ y la ecuación [1] adopta la forma

 

MgL   0 ….(2) I0

que corresponde a un movimiento armónico simple. El periodo de las oscilaciones es

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T  2

I0 MgL

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En el experimento, el cuerpo solido es una barra homogénea con huecos y los momentos de inercia de esta respecto a ejes perpendiculares a la barra que pasa por cada uno de los huecos se pueden determinar experimentalmente mediante la ecuación

T  2 Donde “L”

I0 MgL es la longitud que separa el centro de

gravedad del centro de giro “o”

Sin embargo no es posible calcular experimentalmente el momento de inercia de la barra alrededor de un eje que pase por el centro de gravedad; para ello usaremos un método indirecto El cual es conocido como el TEOREMA DE STEINER que se expresa por la siguiente igualdad:

I  I G  ML2 . Demostracion del teorema de steiner Se asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es:

centro de masas, es:

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

El primer término es Icm, el segundo término queda como mr2, y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como:

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HOJA DE DATOS TABLA N°1

# de hueco

l(cm)

t1 (s)

t2 (s)

t3 (s)

# de Periodo T oscilaciones (promedio)

50.5

30.20

30.12

30.28

18

1.68

1 2

45.7

29.73

29.81

29.52

18

1.65

3

40.5

29.08

28.86

28.95

18

1.61

4

35.5

28.95

29.08

28.96

18

1.61

5

30.5

28.92

28.39

28.94

18

1.60

6

25.5

29.32

29.46

29.00

18

1.63

7

20.5

30.09

30.50

30.12

18

1.68

8

15.5

16.43

15.96

16.05

9

1.79

9

10.5

18.70

18.4

18.52

9

2.06

10

5.5

24.82

24.64

24.86

9

2.75

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REFERENCIAS DEL OBJETO A ANALIZAR La siguiente figura muestra la barra usada para el experimento:

Los cálculos y análisis que a continuación se harán, se basaran considerando a la barra con los agujeros que esta presenta, cuyo numero es de 21. La barra es homogénea y tiene las siguientes dimensiones y medidas.

C

A

B

# agujeros  21 A  0.7cm

VOLUMEN

B  4.8cm

V1=VOLUMEN DE LA BARRA CON AGUJEROS

C  110cm M  1858gr

V  A.B.C  21r 2 A 1

r  0.75cm

Reemplazando los datos:

z  5cm

V1=(0.7)(4.8)(110)-21(3.14)(0.752)(0.7) V1=343.54cm3 DENSIDAD(  )



    

M 1858 gr   5.41 gr 3 3 cm V1 343 .54 cm

M=masa de la barra con agujeros m= masa de un cilindro solido, cuyo volumen es igual al volumen de un agujero de la barra y cuya densdidad es la misma que la de la barra. M+21m=masa de una barra solida sin agujeros. Z= distancia entre los centros de dos agujeros consecutivos. L=distancia entre el c.g de la barra y el eje de giro “o”.

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CALCULOS, GRAFICOS, Y ANALIZIS DE RESULTADOS

Grafico T vs L.

T vs L 3.00

2.50

2.00

1.50

T vs L

1.00

0.50

0.00 0

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10

20

30

40

50

60

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CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia de la barra mostrada respecto al eje que pasa por “O” será( I 0 ) igual al Momento de inercia de la barra solida ( sin agujeros “ I1 ” ) respecto al eje que pasa por “O” menos el Momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra “ I 2 ”)respecto al eje que pasa por “O”. Entonces la ecuación sera:

I 0  I1  I 2

……..(I)

Hallando I1 : Usando el momento de inercia de un paralelepípedo y el teorema de Steiner, tenemos :

I1 

M  21m 2 ( B  C 2 )  (M  21m) L2 ………(II) 12

Donde “L” es igual a la distancia entre el centro de gravedad “C.G” y el eje de giro “o” Ahora hallamos I 2 . Sea el siguiente grafico la representación de todos los cilindros solidos, faltantes en la barra con huecos.

Centro de gravedad del conjunto de cilindros “C.G”

Datos: m= masa de cada cilindro

m    vcilindro

El cilindro “a” se encuentra de color rojo para diferenciarlo por coincidir con el C.G

m  5.41  3.14 (0.75 ) 2  0.7  6.69 gr r=radio=0.75 Z=distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos. Z=5 cm UNI-2012

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El momento de inercia del conjunto de cilindros sólidos respecto al centro de gravedad del conjunto, será igual a la suma de los momentos de cada uno de los cilindros respecto del centro de gravedad del conjunto de cilindros. Las siguientes ecuaciones representan los momentos de inercia respecto del centro de gravedad “C.G” (utilizando momento de inercia de un cilindro y el teorema de Steiner).

m 2 r 2 I b  I a  m( z ) 2 Ia 

I c  I a  m( 2 z ) 2 I d  I a  m(3 z ) 2  I k  I a  m(10 z ) 2

Sea

I

C .G

entonces

Se tendrán que duplicar, pues solo representan los cilindros sólidos ubicados al lado derecho del centro de gravedad y para tener en cuenta los del lado izquierdo( por ser simétrica la barra) solo tendremos que multiplicar por dos.

=momento de inercia del conjunto de cilindros respecto su centro de gravedad.

I

C .G

será la sumatoria de todos los momentos de inercia de todos los cilindros

respecto “C.G”:

I

C .G

 I a  2( I b  I c  I d    I k )

operando :

I I I I

C .G

 I a  2(10 I a  m( z ) 2  m(2 z ) 2    m(10 z ) 2 )

C .G

 21I a  2mz 2 (12  2 2    10 2 )

C .G

 21I a  770mz 2

C .G

 21

m 2 r  770mz 2 2

Por lo tanto:

I

C .G

 21

m 2 r  770mz 2 2

Ahora mediante el teorema de Steiner hallamos el momento de inercia del conjunto de cilindros respecto de un centro de giro “o”( I 2 ) paralela al “C.G”.

I 2  21

m 2 r  770mz 2  21mL2 ………….(III) 2

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Reemplazando (II) y (III) en (I) tenemos:

I 0  I1  I 2 I0 =

M  21m 2 m ( B  C 2 )  ( M  21m) L2 -( 21 r 2  770mz 2  21mL2 ) 2 12

Por lo tanto I 0 representa el momento de inercia de la barra con agujeros respecto un eje que pasa por “O”.

CALCULO DEL PERIODO MINIMO A partir de la ecuación

Con

I0 =

T  2

I0 MgL

M  21m 2 m ( B  C 2 )  (M  21m) L2 -( 21 r 2  770mz 2  21mL2 ) 12 2

Encontramos un valor “L” para el cual el periodo sea minimo. Reemplazando las ecuaciones tenemos:

T  2

M  21m 2 m ( B  C 2 )  ( M  21m) L2  (21 r 2  770 mz 2  21mL2 ) 12 2 MgL

Para que el periodo sea minimo aplicamos el criterio de la primera derivada: Derivando: T  L

M  21m 2 m   2 (2( M  21m) L  42 mL ) MgL  Mg ( ( B  C 2 )  ( M  21m) L2  (21 r 2  770 mz 2  21mL2 ))  12 2   M  21m 2 m 2 2 2 2 2 3 ( B  C )  ( M  21m) L  (21 r  770 mz  21mL ) ( MgL ) 12 2

Si T min imo 

T 0 L

Despejando “L” tenemos

L

M  21m m ( B 2  C 2 )  (21 r 2  770mz 2 ) 12 2 ….(β) M

Analizando la anterior relación: “L” es igual a la raíz cuadrada de la relación entre el momento de

inercia ,del objeto en análisis respecto su centro de gravedad, y su masa. UNI-2012

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Reemplazando datos en (β):

Lteorico 

1890159 .16  31 .9cm 1858

hallamos “T” en T  2

M  21m 2 m ( B  C 2 )  ( M  21m) L2  (21 r 2  770 mz 2  21mL2 ) 12 2 MgL

reemplazando datos:

Tteorico  2 0.065  1.6s COMPARACION DE LOS VALORES TEORICO Y EXPERIMENTAL DE “L” PARA “T” MINIMO Del siguiente grafico experimental se elige L para un T minimo.

T vs L 3.00

2.50

2.00

1.50

T vs L

1.00

0.50

0.00 0

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20

40

60

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Un acercamiento de la imagen nos permite visualizar de mejor manera el periodo mínimo.

Periodo mínimo experimental

Hallamos el periodo mínimo experimental mediante proporcionalidad Por lo tanto:

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Experimentalmente.

Teóricamente

“T” mínimo =1.59s

“T” mínimo = 1.6

“L”=30.96 cm

“L”=31.9 cm

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PUNTOS DE OSCILACION CON EL MISMO PERIODO

T vs L 3.00

Las intersecciones de las dos líneas rojas (verticales) con el eje “L”, nos representan a dos puntos cuyos periodos son los mismos.

2.50

2.00

Hallamos los puntos mediante proporcionalidad. 1.50 T vs L

Resultando: L1=22.5cm L2=46.2cm

1.00

0.50

0.00 0

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20

40

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TABLA N° 2

# de hueco

eje de oscilación L(cm)

T*T(s2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

50.5 45.7 40.5 35.5 30.5 25.5 20.5 15.5 10.5 5.5

2.81 2.72 2.59 2.60 2.55 2.64 2.82 3.20 4.24 7.56

Momento de inercia (gr/cm2) 6477612.73 5664333.14 4778172.49 4197920.61 3545563.38 3070425.33 2635915.00 2263041.33 2030385.32 1895321.12

L*L (cm2) 2550.25 2088.49 1640.25 1260.25 930.25 650.25 420.25 240.25 110.25 30.25

FÓRMULA DE MINIMOS CUADRADOS (I VS L2)

F ( X )  a0  a1 x n

Y i 1

i

 a0 n  a1 x

n

Y X i 1

i

i

n

n

i 1

i 1

 a0  X i  a1  X i2

Reemplazando valores FUNCION RESULTANTE: 37069927.72  10a0  9902.5a1

y  1818.7 x  1812596.55

4.94  1010  9902.5a0  16356550.36 a1  3.67  1010  9902.5a0  9805950.36 a1  4.94  10

10

 9902.5a0  16356550.36 a1

y  1818.7 x  1812596.55 Icg  ML2

 a1  1938.75  a0  1787427.42

POR COMPARACIÓN: M=1818.7 gr IC.G=1812596.55 gr/cm2

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GRAFICA MOMENTO DE INERCIA VS (LONGITUD)2

I vs L.L 8000000.00

7000000.00

MOMENTO DE INERCIA

6000000.00

5000000.00

I vs L.L

4000000.00

Linear (I vs L.L) 3000000.00

2000000.00

1000000.00

0.00 -1000

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0

1000 2000 lONGITUD AL CUADRADO

3000

4000

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Comparando valores teórico y experimental. Péndulo simple equivalente al hueco N°5

T  2

L l  1.6  2  l  0.636m G 9.81

OBSERVACIONES. 







Los resultados presentados en este ensayo fueron elaborados con el mayor cuidado posible pues se intento reducir la mayor cantidad de variaciones en el laboratorio, como pueden ser : Tener distintos ángulos iniciales de oscilación, para evitar ello se uso un transportador, de modo que se puede tener un mayor control sobre los ángulos iniciales antes de iniciar la oscilación. en nuestra experiencia se trato de tener, para todas nuestras pruebas, un Angulo aproximado de 15°. Considerar a la barra tal y como se está usando en el laboratorio, en nuestro caso la barra contaba con 21 agujeros. Esto nos permitió tener valores teóricos muy cercanos a los experimentales. Existen ciertas variables que difícilmente se pueden controlar, como por ejemplo la fricción entre el eje de rotación y la barra, resistencia del aire, temperatura, malas mediciones, aparatos deficientes, etc.

CONCLUSIONES. 

 

este ensayo nos muestra el comportamiento del péndulo físico cada ves que varia la distancia del C.G al eje de giro. Podemos ver según las graficas que mientras el centro de giro se acerque al C.G el periodo tiende a aumentar , sin embargo también mientras la distancia supera cierto periodo mínimo el periodo aumentara mientras también la longitud de c.g a eje de giro aumente. La facilidad de poder hallar momentos de inercia usando la teoría del péndulo físico es de gran importancia pues ya no es necesario tener en cuenta la geometría exacta del objeto. Un péndulo físico puede ser equivalente a un péndulo simple con una cierta longitud y un cierto periodo experimental

RECOMENDACIONES  

Tener presente la mayor cantidad posible de variaciones que puedan afectar el ensayo e intentar homogenizar las pruebas para tener menos error. Probar el funcionamiento correcto de los instrumentos a utilizar antes de empezar el laboratorio.

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BIBLIOGRAFIA  

Manual de laboratorio de física general (UNI- FACULTAD DE CIENCIAS) /2004 ; pag81 Fisica universitaria- Young Freedman- sears zemansky pag303; pag438.

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APENDICE Momento de inercia de un paralelopipedo Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx. El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de eje paralelo situado a una distancia x es

un

El momento de inercia del sólido en forma de paralepípedo es

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R1 y longitud L respecto de su eje. Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e

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