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Problemas resueltos para la cuarta practica de PCM Oswaldo Berrocal Bonilla 20131062D EE513M Problema 1 En un sistema PCM la probabilidad de error provocada por el ruido en el canal es de 10−4. Suponga que la relación señal pico a ruido en la señal analógica recuperada tiene que ser por lo menos 30 dB. a) Determine el número mínimo de escalones de cuantizacion que se pueden usar para codificar una señal analógica para que se transforme en una señal PCM. b) Si la señal analógica original tenía un ancho de banda absoluto de 2.7KHz¿Cuál es el ancho de banda nulo de la señal PCM en el caso que se utilice un formato de señal PCM tipo retorno a cero (NRZ)? Solución a) 𝑆 3𝑀2 = 𝑁 1 + 4(𝑀2 − 1)𝑃𝑒 𝑃𝑒 = 10−4 Además 𝑆 10log ( ) = 30 𝑁 𝑆 = 103 𝑁 Entonces 𝑀 = 19.607 𝑀 = 2𝑛 𝑛=5 b) 𝐵𝑃𝐶𝑀 = 𝑅 Además 𝑅 = 𝑛 ∗ 𝑓𝑠 Por otro lado

(𝑁𝑅𝑍)

𝑓𝑠 > 2𝐵 Luego 𝐵𝑃𝐶𝑀 = 2𝑛𝐵 𝐵𝑃𝐶𝑀 = 2 ∗ 5 ∗ 2.7𝑘𝐻𝑧 𝐵𝑃𝐶𝑀 = 27𝐾𝐻𝑧 Problema 2 Considera una señal de audio cuyo voltaje viene dado aproximadamente por la expresión: 𝑠(𝑡) = 3cos(500𝑡) a) Calcula la relación señal-ruido de cuantificación para la codificación PCM con 10 bits. b) Cuantos bits serán necesarios para alcanzar 40dB de SNR? Solución 𝑠(𝑡) = 3cos(500𝑡) a) SNR para PCM 10 bits 𝑆𝑁𝑅 = 1.76 + 6.02𝑛 n=10 𝑆𝑁𝑅 = 61.96𝑑𝐵 b) Bits para SNR=40dB 40 = 1.76 + 6.02𝑛 𝑛=7 Problema 3 Calcula la capacidad de un canal de radio si SNR=6dB y el ancho de banda empleado es 5KHz. Repetir el cálculo para un canal de televisión (ando de banda de 5MHz) y compara los resultados. Solución SNR=6dB BW1=5KHz(canal radio) BW2=5MHz(canal TV) Sabemos que la capacidad se expresa por: 𝐶 = 𝐵𝑊 log 2 (1 + 𝑆/𝑁) 6

𝑆/𝑁 = 1010 = 3.98 𝐶(𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜) = 5 ∗ 103 ∗ log 2 (4.98) = 11.58 𝐾𝐻𝑧

𝐶(𝑇𝑉) = 5 ∗ 106 ∗ log 2 (4.98) = 11.58 𝑀𝐻𝑧

Problema 4 Se mide el rendimiento de una línea telefónica (3.1KHz de ancho de banda). Cuando la señal es 10voltios, el ruido es de 5 mili voltios. ¿Cuál es la tasa de datos máxima soportada por esta línea telefónica Solución Aplicando la fórmula de Shannon para calcular la capacidad máxima de un canal con ruidos: 𝐶 = 𝑊 · log 2 (1 + 𝑆/𝑁) Observa que los datos del enunciado son amplitudes (voltios) y no potencies (watios), por tanto hay que aplicar la fórmula: 𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 = 20 𝑙𝑜𝑔 𝐴𝑠/𝐴𝑟 = 20 𝑙𝑜𝑔 10/0.005 = 66 𝑑𝐵 66𝑑𝐵 = 10 𝑙𝑜𝑔 𝑆/𝑁 106.6 = 𝑆/𝑁 = 3.981.071 𝐶 = 3,1 ∗ 103 ∗ log 2 (1 + 3.981.071) = 67890𝑏𝑝𝑠 Problema 5 Calcule la tasa de muestreo de Nyquist para cada una de las siguientes señales complejas: a) Una paso bajo con un ancho de banda de 200KHz. b) Una pasabanda con un ancho de banda de 200KHz, si la frecuencia más baja es 100KHz. Solución Nyquist nos dice que se puede muestrear una señal solo si su ancho de banda es limitado y la tasa de muestreo debe ser mayor al doble de la frecuencia máxima por transmitir. a)

𝑓𝑠 > 400𝐾𝐻𝑧

b)

𝑓𝑠 > 600𝐾𝐻𝑧

Problema 6 Se transmitirá digitalmente una señal de información que tiene forma de onda rectangular con un periodo fundamental de 71.4𝜇𝑠. Se ha determinado que la onda se conducirá en forma adecuada si el ancho de banda incluye hasta la cuarta armónica. Calcule. a) La frecuencia fundamental de la señal. b) La cuarta armónica. c) La tasa de muestreo mínima. Solución a) 𝑓 =

1 𝑡𝑠

1

= 71.4𝜇𝑠 = 14𝐾𝐻𝑧

b) 4𝑓 = 56𝐾𝐻𝑧 c) 𝑓𝑠 > 2(4𝑓) > 112𝐾𝐻𝑧

Problema 7 Considere una señal analógica 𝑥(𝑡) = 3 cos(500𝜋𝑡) + 10𝑠𝑒𝑛(3000𝜋𝑡) − cos(1000𝜋𝑡). Para su procesamiento digital, esta señal se muestrea con un circuito S/H. a) Calcule el periodo máximo del tren de pulsos de control S/H requerido para muestrear adecuadamente la señal. b) ¿Qué pasa si el periodo calculado se reduce a la mitad? ¿se podrá muestrear adecuadamente la señal? Solución a) 𝑇𝑠 = 333.33𝜇𝑠 para una frecuencia de muestreo 𝑓𝑠 = 3000𝐻𝑧 b) Se duplica la frecuencia de muestreo 𝑓𝑠 = 6000𝐻𝑧. Satisface plenamente el criterio de Nyquist Problema 8 Se está muestreando una señal, ya cada muestra necesita al menos 12 niveles de precisión. ¿Cuántos bits se necesitan?

Solución Sabemos que 𝑁 = 2𝑛

N: número de niveles n: número de bits por muestra

N=12 entonces ya que nos dice al menos 12 niveles si el número de bits fuera 3 no llegaríamos a los 12 niveles por lo que obtenemos que el número de bits es 4. Problema 9 Una línea telefónica debe tener un S/N por encima de 40 dB calcular el número de bits necesarios. Solución Sabemos que la relación S/N se puede expresar de la siguiente forma: 𝑆/𝑁(𝑑𝐵) = 1.76 + 6.02𝑛 Donde n: número de bits. 40 = 1.76 + 6.02𝑛 𝑛 = 6.35 𝑏𝑖𝑡𝑠 Se sabe que las compañías telefónicas asignan 7 u 8 bits por muestra. Problema 10 El intervalo de voltaje de un convertidor A/D que usa palabras de 14 bits es de -6 a 6V. Calcule: a) El número de niveles de cuantificación que están representados. b) La altura que tiene cada intervalo de cuantificación. c) La relación S/N para dicho convertidor A/D Solución a) 𝑁 = 2𝑛 pero n=14 entonces N= 16384 niveles. b) 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 =

6−(−6) 𝑁

12

= 16384 = 732.4𝜇𝑉

c) 𝑆/𝑁 = 1.76 + 6.02(14) = 86.04𝑑𝐵