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MATEMÁTICA PARA INGENIEROS II TALLER PREVIO A LA PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA 1. Calcule el valor de la siguiente integral: ∞ 3

∫ 𝑥 2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 0

2. Calcule la siguiente integral: 4

1

1 ∫ 𝑥 (𝑙𝑛 ( )) 𝑑𝑥, 𝑥 0 −𝑡 Sugerencia: Hacer cambio de variable 𝑥 = 𝑒 3. Si 𝑚 < 𝑛, calcule la siguiente integral impropia 6

𝑛

𝑑𝑥

∫ 𝑚

5

(𝑥 − 𝑚)2

4. Dada la región mostrada en la figura adjunta, está definida por la parte exterior de la circunferencia 𝐶1 : 𝑥 2 + (𝑦 − 4)2 = 16 y la parte interior del cardioide 𝑟 = 4 + 4𝑠𝑒𝑛(𝜃) con 𝑥≤0

Exprese la región algebraicamente en coordenadas polares. 5. Dada la región mostrada en la figura adjunta,

a. Exprese la región algebraicamente en coordenadas cartesianas. b. Exprese la región algebraicamente en coordenadas polares.

1 @ 2017 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial.

6. Aplique un cambio de variable adecuado y calcule el valor de la siguiente integral: ∞

√𝑥

∫ 0

5

𝑑𝑥

(𝑥 + 1)2

7. Aplique la integral definida y calcule el área de la región mostrada en la figura adjunta:

8. Una empresa fabrica placas metálicas. Cada una de ellas se puede representar como una región limitada por las curvas definida por las ecuaciones: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥. Aplique la integral definida y calcule el área limitada entre dichas curvas. Sugerencia: Exprese cada curva en su forma polar y luego calcule el área comprendida entre ambas curvas. 9. Calcule el área común a las dos circunferencias: 𝐶1 : 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 𝜃 y 𝐶2 : 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛𝜃. 10. Calcule el área de la región que se encuentra dentro del círculo 𝐶1 : 𝑟 = 3sen 𝜃 y fuera del cardiode 𝐶2 : 𝑟 = 1 + sen𝜃. 11. Calcule los puntos de intersección de las curvas: 𝐶1 : 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠(2𝜃) ; 𝐶2 : 𝑟 = 2 .

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