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• Nicolás Torres Valencia

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MT228

Universidad Nacional de Ingeniería SEMESTRE 2018—II, 17/09/18 Campus: C.U. FIM CONTROL DIGITAL Primera Práctica Calificada (Tiempo: 1:50 horas) NOTA: No se permite copias ni apuntes. Sólo está permitido las tablas proporcionadas por el Profesor del curso.

1. Un sistema de control realimentado como se muestra en la Figura 1. La planta es dada por la función de transferencia: (6 Ptos) 5 CiP(s) = 0.2.1+ 1 a) Escriba la ecuación diferencial de la planta. La ecuación esta relacionada con c(t) y m(t). b) Modifique la ecuación de la parte (a) para producir una ecuación diferencial; esta ecuación debe estar relaciona c(1) con r(1). Asuma, (1,(s) nn J O y H(s) --- I. e) Halle la función de transferencia asterisco del resultado de la parte (b). d) lleve al sistema al dominio del tiempo discreto y escriba la ecuación en diferencias de la señal que estimula a la planta. Asuma el periodo de muestreo T mas idóneo.

Figura 1: Sistema de control realimentado.

CONTINUA

MT228 2. Considere una señal discreta x(k), para lc = O a k = 10. x(k) u(í) + u(t - 1) +

(7 Ros)

-- 2) 6u0 - 3) + u@ - 4) + u(t - 5) + u(t - 6)

Esta señal es una suma de seis señales STEP estándar. a) Dibuje la posible señal discreta. b) Suponiendo una realización de simulación de x(k) corno una señal que se genera como una salida análoga. Considerando un DAQ USB 6008: indique las consideraciones para la señal discreta, cual seria el numero de muestras a utilizar en la simulación. c) Escriba un programa gráfico en LabV1EW. Tome en consideración lo indicado en el item (12). 3. Considere un sistema continuo que tiene la siguiente ecuación diferencial. 0.5

(7 Ptos)

y dx + y = 0.2— + x dt dt

El sistema es sometido a un estimulo dado por la señal SlliP estándar u(t - 2) definida por la variable x. a) Es el valor del periodo de muestreo 7' = 0.1seg idóneo. Fundamente. b) Escriba el algoritmo recursivo para el sistema en lazo abierto. Use aproximación de ecuación en diferencias Forward. c) Según el esquema de la Figura 2. Escriba las respuestas del sistema LTE. d) Desde el item anterior. Halle la respuesta estática, el valor inicial y el valor final.

Operaza on Hausi Z

Operad in ,rara

Opera ion rana:,'

Sis-tema III

Figura 2: Diagrama para asistir las transformaciones.

Profesor. Ricardo Rodríguez Bustinza, M.Sc.

SOLUCIONARIO PRÁCTICA CALIFICADA 1 Problema 1 Parte (a) G (s ) =

C(s) 5 = M(s) 0.2s + 1

0.2ẏ (t) + y(t) = 5m(t) Parte (b) Bloque serie S (s ) =

C(s) 50 = E(s) 0.2s + 1

Bloque feedback F(s) =

S(s) 1 + S(s)

C(s) 50 = R(s) 0.2s + 51 0.2ċ (t) + 51c(t) = 50r(t) ċ (t) + 255c(t) = 250r(t) Parte (c) Aplicando métodos en diferencia finita Forward c(k + 1) − c(k) + 255c(k) = 250r(k) T c(k + 1) = c(k) + T(−255c(k) + 250r(k)) c(k + 1) = (1 − 255T)c(k) + 250Tr(k) Transformada Z zC(z) = (1 − 255T)C(z) + 250TR(z)

(z − 1 + 255T)C(z) = 250TR(z)

Profesor. Ricardo Rodriguez Bustinza

1

C(z) 250T = R(z) (z − 1 + 255T) Luego z = eTs F∗ (s) =

(eTs

250T − 1 + 255T)

Parte (d) c(k + 1) = (1 − 255T)c(k) + 250Tr(k) 0.2ẏ (t) + y(t) = 5m(t) c(k + 1) = (1 − 5T)c(k) + 25Tm(k) T=0.1 c(k + 1) = 0.5c(k) + 250m(k) G=tf([0.2 1],[0.5 1]); step(G) tau=0.5; T=tau/5; % 0.1 Gd=c2d(G,T); hold step(Gd,'m')

Problema 2 Parte (a)

fs=5; Ts=1/fs; t=0:Ts:10; NS=length(t); % 50 muestras (5Hz), 100muestras (10Hz) fprintf('Nsamples=%d\n',NS) x=u(t)+u(t-1)+u(t-2)-6*u(t-3)+u(t-4)+u(t-5)+u(t-6); subplot(211) stairs(t,x) xlabel('t') ylabel('x(t)') axis([0 10 -4 4]) grid Profesor. Ricardo Rodriguez Bustinza

2

Limitar la señal de salida análoga de 0 a 5V en una DAQ USB-6008 FALTA CODIGO VI Problema 3 Parte (a) G(s) =

0.2s + 1 0.5s + 1

Señal de entrada u(t − 2) en transformada s x( s ) =

e−2s s

Analizando en la frecuencia s = jω G(jω) =

0.2jω + 1 0.5jω + 1

En el cálculo de la frecuencia critica a -3dB al 50%

‖G(jω)‖2 =

0.04ω2c + 1 0.25ω2c + 1

ωc = 2 rad/seg Criterio de Nyquist 2π = ωs ≥ 2ωc = 4 T Luego T < 1.5s esto implica que el valor T=0.1s es un valor idóneo. Parte (b) Tendrá la forma: y(k) = a1 y(k − 1) + b0 x(k) + b1 x(k − 1) siendo 1 k ≥ 20 x(k) = { 0 k < 20 Parte (c) (0.5s + 1)Y(s) = (0.2s + 1)X(s)

Profesor. Ricardo Rodriguez Bustinza

3

Y(s) 0.2s + 1 = X(s) 0.5s + 1 T=0.02s Y(s) 0.2((z − 1)/T) + 1 = X(s) 0.5((z − 1)/T) + 1 Para s= z-1 / T, además X(s) =

e2s s

X(z) = z −2

F(z) =

z z−1

2z − 1 z(z − 1)(5z − 4)

Cuando z = eTs 2eTs − 1 F s) = Ts Ts e (e − 1)(5eTs − 4) ∗(

F ∗ (s ) =

Profesor. Ricardo Rodriguez Bustinza

0.2s + 1 e−2s 0.5s + 1 s

4

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Universidad Nacional de Ingenier´ıa SEMESTRE 2017–II, 18/09/17 Campus: C.U. FIM CONTROL DIGITAL Primera Pr´actica Calificada (Tiempo: 1:50 horas) NOTA: No se permite copias ni apuntes. S´olo est´a permitido las tablas proporcionadas por el Profesor del curso. 1. Considere un sistema LTI masa-resorte-fricci´on cuyas fuerzas conforman una ecuaci´on de balance que viene representada por la relaci´on: (6 Ptos) f (t) = F · u(t),

t=0

Las fuerzas que intervienen en el sistema son.

fs = Kx dx fR = b dt d2x fm = M 2 dt Donde fs es la fuerza experimentada en el resorte, fR es la fuerza de fricci´on y fm es la fuerza aceleraci´on en la masa. Asuma por simplicidad las constantes con valor la unidad. a) Como probar´ıa que el sistema descrito es causal?. b) Escriba el modelo como funci´on de transferencia en el dominio de la frecuencia. c) Escriba el modelo como funci´on de transferencia en el dominio de tiempo discreto. d) Escriba el modelo en forma de ecuaci´on en diferencias finitas tipo Backward. Para el sistema se desea una se˜nal est´ımulo y observar el comportamiento. Cual seria esta se˜nal para el an´alisis a lazo abierto?. Fundamente. CONTINUA

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–2–

2. Considere un sistema lineal e invariante en el tiempo de primer orden que es estimulado por una se˜nal de entrada (ver Figura 1). La frecuencia de muestreo de esta se˜nal es 5Hz. (7 Ptos) 1.5

1

0.5

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 1: Se˜nal de entrada.

El proceso es lineal de primer orden, y posee una ganancia unitaria, una constante de tiempo de 0.6 segundos. Seg´un lo proporcionado responda: a) Calcule el numero de muestras empleadas en la simulaci´on. b) Considere la funci´on u(t) (listada debajo) como un estimulo. Escriba en MATLAB la respuesta del sistema. 1 2 3 4

function p=u(t) p=zeros(size(t)); p(t>=0)=1; end

3. Considere un sistema discreto de primer orden cuando los horizontes son N = 2 y M = 2. Ademas la entrada viene dada por la variable x(n) = u(n) mientras que la salida por la variable y(n). (7 Ptos) N−1

∑ k=0

M−1

ak y(n − k) =

∑ bk x(n − k)

k=0

Considere los coeficientes, a0 = 1, a1 = 0.8066, b0 = 0, y b1 = 0.1934. Asuma las condiciones iniciales x(−1) = 1, y(−1) = 1. Realice un an´alisis detallado por ejemplo si se desea hallar la salida Y (z).

Profesor. Ricardo Rodr´ıguez Bustinza, M.Sc.

ANEXO

–3–

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Soluci´on 1 (a) Un sistema es causal si es f´ısicamente realizable, ademas se puede comprobar frente a un estimulo de tipo impulso.

(b)

Ecuaci´on

f (t) = M

d 2x dx + b + Kx 2 dt dt

A transformada de Laplace

F(s) = Ms2 X (s) + bsX (s) + KX (s) La funci´on de transferencia resulta

H(s) =

(c)

1 F(s) = 2 X (s) Ms + bs + K

Ecuaci´on din´amica d 2x dx f (t) = M 2 + b + Kx dt dt

A transformada de Laplace

F(s) = Ms2 X (s) + bsX (s) + KX (s) Si se desea llevar a transformada asterisco a f (t), es decir, debe maestrear y encontrar f ∗ . Sugerencia observar el diagrama general de transformaci´on desde f (t) a F(z).

clear; close all; clc G=tf(1,[1 1 1]); CONTINUA

ANEXO

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–4–

T=1; D=c2d(G,T); % discretizacion por ZOH % 0.3403 z + 0.2417 % ----------------------% zˆ2 - 0.7859 z + 0.3679 step(G) hold step(D)

2 F(s) = √ 3

√

3/2

(s + 1/2)2 + (

√

3/2)2

!

Desde tablas

Soluci´on 2 El numero de muestras solicitado es: 51 clear all; close all; clc fs=5; Ts=1/fs; t=0:Ts:10; NS=10/Ts+1; fprintf(’NSamples=%d\n’,NS) x=u(t-2)-u(t-6); subplot(211) stem(t,x,’k’) axis([0 10 0 1.5]) G=tf(1,[0.6 1]); D=c2d(G,Ts); y=lsim(D,x,t); hold, stairs(t,y)

Soluci´on 3 clear; close all; clc CONTINUA

ANEXO

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–5– 1.5

1

0.5

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 2: Respuesta del sistema de control a lazo abierto.

% Backward RC R=2.2e3; C=47e-6; tau=R*C; Kp=1; dt=0.02; % coeficientes a=(1-dt/tau); b=(dt*Kp)/tau; tsim=2; t=0:dt:tsim; N=tsim/dt+1; % condiciones iniciales Vo=-ones(1,1); Vi=-ones(1,1); % ecuaciones en diferencias Backward for k=2:N Vi(k)=1; Vo(k)=a*Vo(k-1)+b*Vi(k-1); end k=0:N-1; stairs(k,Vo) % Vo(1,1:6)’ % % ans = % % -1.0000 % -1.0000 % -0.6132 % -0.3011 % -0.0495 % 0.1535 % CONTINUA

ANEXO %

1.0000

–6–

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Universidad Nacional de Ingenier´ıa SEMESTRE 2016–I, 11/04/16 Campus: C.U. FIM CONTROL DIGITAL Primera Pr´actica Calificada (Tiempo: 1:50 horas) NOTA: No se permite copias ni apuntes. S´olo est´a permitido las tablas proporcionadas por el Profesor del curso.

1. Resuelva los problemas relacionados con la transformada-z, transformada inversa-z y soluci´on de una ecuaci´on en diferencias: (7 Ptos) a) La se˜nal escal´on unitario e(k) = 1, k = 0, 1, 2, . . ., 10 es simple de implementar y muy u´ til en el an´alisis de los sistemas de control. seg´un lo referido, que puede decir acerca del valor inicial y final referente al escal´on unitario?. b) Se desea hallar los valores de e(k) cuando E(z) es dada por la siguiente expresi´on. E(z) =

z z2 − 3z + 2

De una expresi´on general para e(k) como una funci´on de k. Dibuje la se˜nal para k = 0, 1, 2, 3, 4. c) Se desea hallar y(k) desde la ecuaci´on en diferencias. Asuma las condiciones iniciales x(−1) = y(−1) = 0. y(k) = x(k) − x(k − 1) − y(k − 1),

k≥0

Donde, y(k) la salida e x(k) la entrada dada por. x(k) =



1 k par 0 k impar

Dibuje el diagrama de simulaci´on puede considerar el bloque registro (almacena informaci´on cada T ) que produce una traslaci´on real.

CONTINUA

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–2–

2. Usted se encuentra en el laboratorio realizando la experiencia, adquisici´on de datos usando la DAQ USB 6002 de National Instruments, al respecto deber´a precisar algunos conceptos vertidos en clase de teor´ıa: (7 Ptos) a) La DAQ USB 6002 posee una versi´on denominada OEM (Original Equipment Manufacturer) disponible. ¿Cu´al es el prop´osito de esta caracter´ıstica? b) ¿Que significa 5kS/s en la DAQ USB-6002?. c) En pruebas de laboratorio cu´ales son los valores de voltaje m´ınimo y m´aximo que la tarjeta lee cuando interact´ua con el sensor LM35. Fundamente. d) ¿Cu´al es el beneficio de poseer 16 bits en el ADC de la DAQ USB 6002?. Fundamente. e) En una configuraci´on con DAQ Assistant (Digital Output), por ejemplo, cuando prendemos o apagamos un LED desde la PC, aparece una opci´on de l´ınea invertida. ¿Cu´al es el prop´osito de esta l´ınea?. Fundamente. 3. Dado el c´odigo MATLAB listado debajo, que resuelve la ecuaci´on en diferencia de un sistema de control. (6 Ptos) 1 2 3 4 5 6 7 8

s1=0; e=0; for k=0:5 s2=e-s1; m=0.5*s2-s1; [k m] s1=s2; e=e+1; end

a) Halle la funci´on de transferencia del sistema de control. b) Halle la transformada para la entrada del sistema de control. c) Use el resultado de (a) y (b) para hallar la transformada inversa-z de la salida del sistema de control.

Profesor. Ricardo Rodr´ıguez Bustinza, M.Sc.

ANEXO

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–3–

Soluci´on 1 k=0:10; u=ones(size(k)); subplot(211) stem(k,u) axis([0 10 0 1.2]) % Ganancia DC syms z G=z/(z-1); G=vpa(G,5); % Teorema del valor inicial U=z/(z-1); G_vi=G*U; G_vi = limit(G_vi,z,inf); % 1 % Teorema del valor final U=z/(z-1); G_vf=(z-1)*G*U/z; G_vf = limit(G_vf,z,1); % NaN

Soluci´on 2 Sea la funci´on de transferencia:

E(z) =

z z2 − 3z + 2

Ahora tenemos U (z) z−1 E(z) = = V (z) 1 − 3z−1 + 2z−2 U (z) z−1 = V (z) 1 − 3z−1 + 2z−2 Para un sistema impulsional V (z) = 1, entonces E(z) = U (z). Luego

CONTINUA

ANEXO

–4–

MT228

e(k) = 2k − 1 Usando la transformada Z

Y (z) =

z−1 X (z) z+1

La secuencia de entrada

X (z) = 1 + z−2 + z−4 + . . .

F=tf([1 0 0],[1 0 -1],1); G=tf([1 -1],[1 1],1); H=series(F,G); k=0:10; % 0 1 2 3 4 5 6 u=[1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1]; y=lsim(H,u,k); subplot(211) stem(k,y) xlabel(’k’) ylabel(’y(k)’)

Soluci´on 3 1. Se denomina fabricante de equipos originales (en ingl´es: Original Equipment Manufacturer, siglas: OEM, literalmente fabricante de equipamiento original). 2. Velocidad (rate) del dispositivo en 5000 muestras por segundo. 3. El LM35 es un sensor de temperatura con una precisi´on calibrada de 1 ◦ C. Su rango de medici´on abarca desde -55 ◦ C hasta 150 ◦ C. La salida es lineal y cada grado Celcius equivale a 10 mV, y opera de 4V a 30V. 4. Poseer mejor resoluci´on en los niveles de cuantizacion. 5. La configuraci´on electr´onica esta en polarizaci´on inversa.

CONTINUA

ANEXO

–5–

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Soluci´on 4 clear; close all; clc % s1=0; % e=0; % for k=0:5 % s2=e-s1; % m=0.5*s2-s1; % [k,m] % s1=s2; % e=e+1; % end s1=0; e=0; m=zeros(1,1); for k=1:6 s2=e-s1; m(k)=0.5*s2-s1; s1=s2; e=e+1; end subplot(211) k=0:5; stem(k,m)

G=tf([0.5 -0.5 0 -1 -0.5],[1 0 0 0 0 0],1); subplot(212) k=0:5; u=[1 0 0 0 0 0]; y=lsim(G,u,k); stem(k,y) axis([0 5 -1 0.5]) % G = % 0.5 zˆ4 - 0.5 zˆ3 - z - 0.5 % --------------------------% zˆ5 % Sample time: 1 seconds % Discrete-time transfer function.

CONTINUA

ANEXO

–6–

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Universidad Nacional del Ingenier´ıa SEMESTRE 2010–I, 20/04/2010 Campus: C.U. FIM CONTROL DIGITAL Primera Pr´actica Calificada (Tiempo: 1:50 horas) NOTA: No se permite copias ni apuntes. S´olo est´a permitido las tablas proporcionadas por el Profesor del curso.

1. Responda a las preguntas que est´an en relaci´on con la NI-DAQ:

(5 Puntos)

¿Verdadero o Falso?. Una se˜nal anal´ogica consiste en valores discretos antes que una gama continua de valores Completar los espacios en blanco. Las especificaciones para una se˜nal TTL define un voltaje menor entre para la l´ogica baja y un nivel de voltaje entre para la l´ogica alta. Marcar con un aspa el que corresponda. Si tomara medidas de una bater´ıa a pilas cual seria el tipo de conexi´on que requerir´ıa. Esquematizar su respuesta. • Referencia Single-Ended • No Referencia Single-Ended • Diferencial Marcar con un aspa el que corresponda. Que modo de adquisici´on usar´ıa para adquirir 75 muestras. ¿Porque? • • • •

1 Sample (On Demand) 1 Sample (Hardware Timed) N samples Continuous

CONTINUA

–2–

MT228

2. Considere la se˜nal an´aloga:

(5 Puntos)

x(t) = 3 cos(50π t) + 10 sin(300π t) − cos(100π t) a) Cual es la frecuencia de Nyquist para esta se˜nal? b) Analizar el caso cuando el segundo t´ermino de x(t) es cambiado por 10 sin(300π t + θ ). ¿Cual es la influencia del a´ ngulo θ cuando se muestrea la se˜nal an´aloga?. 3. Considere el c´odigo MATLAB:

(5 Puntos)

y(1)=0; for k=1:6, x(k)=-0.7^(k-1); end for k=2:6, y(k)=0.9*y(k-1)+x(k)-x(k-1); end a) Completar las lineas de c´odigo para plotear la salida. b) Escriba la ecuaci´on en diferencias del sistema. c) Exprese la se˜nal de entada x(k) como una funci´on de k ≥ 0. d) Resolver para y(k) como una funci´on de k. Escriba los valores de la salida para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 4. Considere un circuito serie RL cuya entrada es x(k) y la salida y(k), que en este caso la salida representa a la corriente que pasa por la bobina. Escriba una expresi´on general para obtener la soluci´on de discretizaci´on exacta. (5 Puntos)

Profesor. Ricardo Rodr´ıguez Bustinza, M.Sc.

ANEXO

–3–

Soluci´on 3 La ecuacion en diferencias es:

y(k) − 0.9y(k − 1) = x(k) − x(k − 1) Tomando la transformada Z

Y (z) − 0.9(z−1Y (z) + y(−1)) = X (z) − (z−1X (z) − x(−1)) Luego obtenemos:

Y (z) =

1 − z−1 0.9y(−1) − x(−1) X (z) + −1 1 − 0.9z 1 − 0.9z−1

Las condicones iniciales son x(−1) = −1 y y(−1) = 0.

Aplicando la transformada inversa Z obtenemos: 27 k 21 k 0.9 − 0.7 20 20 Evaluando para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 obtenemos: y(k) =

{0, 0.3000, 0.4800, 0,5790, 0.6240, 0.6336}

Soluci´on 4

MT228

MT228

Universidad Nacional de Ingenier´ıa SEMESTRE 2007–III, 28/01/08 Campus: C.U. FIM CONTROL DIGITAL Primera Pr´ actica Calificada (Tiempo: DOS horas) NOTA: S´olo esta permitido el uso de tablas de transformadas y propiedades.

1. Considere la siguiente ecuaci´on en diferencia y(k) − 1.5y(k − 1) + 0.5y(k − 2) = x(k) y excitaci´on: { x(k) =

1, k = 1 0, otro caso

a) Hallar y(k) usando transformada–Z.

(1 Pto)

b) Comprobar por expansi´on de fracciones parciales la parte (a) usando MATLAB. (2 Ptos) c) Hallar los resultados de la parte (a) para k = 0, 1, 2, 3 y 4 y resuelva la ecuaci´on en diferencias por iteraciones, es decir encontrar la respuesta din´amica. (1 Pto) d ) Use MATLAB para comprobar el resultado de la parte (c).

(1 Pto)

e) Hallar el valor inicial, valor final. Comprobar si el sistema es o no causal.

(1 Pto)

2. una onda senoidal con una frecuencia 2Hz es aplicada a un muestreador/ZOH. La frecuencia de muestreo es 10Hz. Listar todas las frecuencias en la salida que sean menores a 50Hz. Esta es una entrada que origina el aliasing?. Para el primer valor de la lista de frecuencias de salida, obtener el valor de la frecuencia discreta y dibuje el fen´omeno del muestreo para un periodo completo. Repita el problema, esta vez, considere una entrada senoidal que tiene una frecuencia de 8Hz. (4 Ptos) CONTINUA

–2–

MT228

3. Considere un filtro–α cuya ecuaci´on es dada por: y(k) − (1 − α)y(k − 1) = α x(k) asuma α = 0.1 y la se˜ nal de entrada un escal´on unitario. a) Determinar la respuesta est´atica y din´amica del sistema.

(2 Ptos)

b) Analizar la causalidad del sistema cuando α = −0.1. Justificar su respuesta en forma clara y concreta. (2 Ptos) 4. Sea el sistema de la Figura 1 est´a en su estado inicial, q1 (−1) = 2 y q2 (−1) = 1. x(k)

+

1/4

Z -1

q 2 (k)

Z -1

q 1(k)

3 y(k)

Figura 1: Sistema digital.

a) Hallar la respuesta en r´egimen libre.

(2 Ptos)

b) Hallar x(k) de forma que y(k) = 0 para k ≥ 4 (respuesta no unica).

(2 Ptos)

c) Use MATLAB para hallar y(k) si x(k) = u(k − 1) − u(k − 3).

(2 Ptos)

Profesor. Ricardo Rodr´ıguez B, M.Sc.

ANEXO

–3–

MT228

Soluci´ on 1 Aplicando transformada–Z Y (z) z2 = 2 U (z) z − 1.5z + 0.5 adem´as la entrada viene dada por

X(z) =

1 z

Luego

Y (z) =

z2 1 z A B = = + (z − 1)(z − 0.5) z (z − 1)(z − 0.5) (z − 1) (z − 0.5)

Los coeficientes son: A = 2 y B = 1.

Y (z) =

2 1 2z z − = z −1 − z −1 (z − 1) (z − 0.5) (z − 1) (z − 0.5)

Finalmente: y(k) = 2 − (0.5)k−1 ,

k>1

T=1; G=tf([1 0 0],[1 -1.5 0.5],T); G=zpk(G); X=tf(1,[1 0],T); Y=G*X; Y=minreal(Y); [n,d]=tfdata(Y,’v’); [R,P,K]=residue(n,d)

CONTINUA

ANEXO

–4–

MT228

syms z k Y1=R(1)/(z-P(1)); Y2=R(2)/(z-P(2)); Yz=Y1+Y2; yd1=iztrans(Yz,z,k); % y = 2-2*(1/2)^k La respuesta din´amica para y(0) = 0 viene dada por:

y(0) y(1) y(2) y(3) y(4)

= = = = =

1.5y(−1) − 0.5y(−2) + x(0) = 0 1.5y(0) − 0.5y(−1) + x(1) = 1.5(0) − 0.5(0) + (1) = 1 1.5y(1) − 0.5y(0) + x(2) = 1.5(1) − 0.5(0) + (0) = 1.5 1.5y(2) − 0.5y(1) + x(3) = 1.5(1.5) − 0.5(1) + (0) = 1.75 1.5y(3) − 0.5y(2) + x(4) = 1.5(1.75) − 0.5(1.5) + (0) = 1.875

figure subplot(221) ezplot(yd1,[0 10]) axis([0 10 0 2.5]) subplot(222) k=0:10; x=[0 1 zeros(1,9)]; yd2=lsim(G,x,k); stem(k,yd2,’k’,’filled’) axis([0 10 0 2.5]) k=0:10; yd3=2-(0.5).^(k-1); subplot(223) stem(k,yd3,’k’,’filled’) axis([0 10 0 2.5]) y(1)=0; y(2)=0; x=[0 0 0 1 zeros(1,7)]; for k=3:11 y(k)=1.5*y(k-1)-0.5*y(k-2)+x(k); y(k-2)=y(k); end CONTINUA

ANEXO

–5–

MT228

k=0:10; subplot(224) stem(k,y,’m’,’filled’) axis([0 10 0 2.5]) 2−2 (1/2)k 2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0

2

4

6

8

10

0

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

k

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0

2

4

6

8

10

0

Figura 2: Respuestas de la parte c.

El valor inicial y final vienen dados por:

y(0) = l´ım Y (z) = l´ım z→∞

z→∞

z2

z 1/z = l´ım =0 z→∞ − 1.5z + 0.5 1 − 1.5/z + 0.5/z 2

y(∞) = l´ım(z − 1)Y (z) = l´ım(z − 1) z→1

z→1

z z = l´ım =2 (z − 1)(z − 0.5) z→1 z − 0.5

El sistema es CAUSAL.

Soluci´ on 2 De la relaci´on:

CONTINUA

ANEXO

–6–

MT228

fd = nfs ± fc Listamos las frecuencias de salida para fc = 2Hz: fd = {2, 10 ± 2, 20 ± 2, 30 ± 2, 40 ± 2, 48, }Hz Para estos valores no hay Aliasing.

Listamos las frecuencias de salida para fc = 8Hz: fd = {8, 2, 18, 12, 28, 22, 38, 32, 48, 42}Hz Para estos valores hay ALIASING. Sin ALIASING 1

0.5

0

−0.5

−1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

1.2

1.4

1.6

1.8

2

ALIASING 1

0.5

0

−0.5

−1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 t[s]

Figura 3: Fen´omeno del muestreo.

fcon=2; CONTINUA

ANEXO

–7–

MT228

fs=10; T=1/fs; fn=fs/2; % Se~ nal seno: y=sin(2*pi*t), fcon=1Hz t=0:0.01:2; yc=sin(2*pi*fcon*t); figure subplot(211) plot(t,yc,’k’) k=0:T:2; yd=sin(2*pi*fcon*k); hold plot(k,yd,’o’) plot(k,yd,’r’) title(’Sin ALIASING’) % Efecto Aliasing fcon=8; fn=fs/2; k=0:T:2; yd=sin(2*pi*fcon*k); subplot(212) plot(t,yc,’k’) hold plot(k,yd,’o’) plot(k,yd,’r’) title(’ALIASING’) xlabel(’t[s]’)

Soluci´ on 3 La solucion de la transformada Z da y(0) = 0.1, este valor tambien se puede hallar desde el valor inicial. 0.1z 2 = 0.1 y(0) = l´ım Y (z) = l´ım z→∞ z→∞ (z − 0.9)(z − 1) CONTINUA

ANEXO

–8–

MT228

La respuesta dinamica viene dada por:

y(k) y(0) y(1) y(2)

= = = =

0.9y(k − 1) + 0.1x(k) 0.9(0) + 0.1(1) = 0.1 0.9(0.1) + 0.1(1) = 0.19 0.9(0.19) + 0.1(1) = 0.271

La respuesta estatica es:

y(k) = 0.9y(k − 1) + 0.1x(k) Y s = 0.9Y s + 0.1Xs Y s = Xs Para α = −0.1 tenemos: Y (z) −0.1 = X(z) z − 0.1 Para ver la causalidad hallamos la respuesta impulsiva.

h(k) = −0.1(1.1)k u(k) para k < 0 cumple que h(k) = 0.

h=1; t=0:h:30; a=[0 0.1 -0.1 1]; % a=[0 -0.1 -0.9 -1]; u(1)=0; u(2)=0; y(1)=0; for i=1:4; CONTINUA

ANEXO

–9–

MT228

for k=2:length(t) u(k) = 1; y(k) = (1-a(i))*y(k-1) + a(i)*u(k); end k=0:length(t)-1; subplot(2,2,i) plot(k,y,’ko’), hold plot(k,y,’k’) plot(k,u,’r:’) title([’a =’,num2str(a(i))]) % axis([0 10 0 1.2]) end a =0

a =0.1

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

10

20

30

0

0

10

a =−0.1 1

0

0.8

−5

0.6

−10

0.4

−15

0.2

0

10

20

30

0

0

10

Figura 4: Respuesta del filtro.

Soluci´ on 4

30

20

30

a =1

5

−20

20