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• WILLIAM BERRIOS ROJAS

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Universidad Nacional de Ingenier´ıa SEMESTRE 2017–II, 18/09/17 Campus: C.U. FIM CONTROL DIGITAL Primera Pr´actica Calificada (Tiempo: 1:50 horas) NOTA: No se permite copias ni apuntes. S´olo est´a permitido las tablas proporcionadas por el Profesor del curso. 1. Considere un sistema LTI masa-resorte-fricci´on cuyas fuerzas conforman una ecuaci´on de balance que viene representada por la relaci´on: (6 Ptos) f (t) = F · u(t),

t=0

Las fuerzas que intervienen en el sistema son.

fs = Kx dx fR = b dt d2x fm = M 2 dt Donde fs es la fuerza experimentada en el resorte, fR es la fuerza de fricci´on y fm es la fuerza aceleraci´on en la masa. Asuma por simplicidad las constantes con valor la unidad. a) Como probar´ıa que el sistema descrito es causal?. b) Escriba el modelo como funci´on de transferencia en el dominio de la frecuencia. c) Escriba el modelo como funci´on de transferencia en el dominio de tiempo discreto. d) Escriba el modelo en forma de ecuaci´on en diferencias finitas tipo Backward. Para el sistema se desea una se˜nal est´ımulo y observar el comportamiento. Cual seria esta se˜nal para el an´alisis a lazo abierto?. Fundamente. CONTINUA

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–2–

2. Considere un sistema lineal e invariante en el tiempo de primer orden que es estimulado por una se˜nal de entrada (ver Figura 1). La frecuencia de muestreo de esta se˜nal es 5Hz. (7 Ptos) 1.5

1

0.5

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 1: Se˜nal de entrada.

El proceso es lineal de primer orden, y posee una ganancia unitaria, una constante de tiempo de 0.6 segundos. Seg´un lo proporcionado responda: a) Calcule el numero de muestras empleadas en la simulaci´on. b) Considere la funci´on u(t) (listada debajo) como un estimulo. Escriba en MATLAB la respuesta del sistema. 1 2 3 4

function p=u(t) p=zeros(size(t)); p(t>=0)=1; end

3. Considere un sistema discreto de primer orden cuando los horizontes son N = 2 y M = 2. Ademas la entrada viene dada por la variable x(n) = u(n) mientras que la salida por la variable y(n). (7 Ptos) N−1

∑ k=0

M−1

ak y(n − k) =

∑ bk x(n − k)

k=0

Considere los coeficientes, a0 = 1, a1 = 0.8066, b0 = 0, y b1 = 0.1934. Asuma las condiciones iniciales x(−1) = 1, y(−1) = 1. Realice un an´alisis detallado por ejemplo si se desea hallar la salida Y (z).

Profesor. Ricardo Rodr´ıguez Bustinza, M.Sc.

ANEXO

–3–

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Soluci´on 1 (a) Un sistema es causal si es f´ısicamente realizable, ademas se puede comprobar frente a un estimulo de tipo impulso.

(b)

Ecuaci´on

f (t) = M

d 2x dx + b + Kx 2 dt dt

A transformada de Laplace

F(s) = Ms2 X (s) + bsX (s) + KX (s) La funci´on de transferencia resulta

H(s) =

(c)

1 F(s) = 2 X (s) Ms + bs + K

Ecuaci´on din´amica d 2x dx f (t) = M 2 + b + Kx dt dt

A transformada de Laplace

F(s) = Ms2 X (s) + bsX (s) + KX (s) Si se desea llevar a transformada asterisco a f (t), es decir, debe maestrear y encontrar f ∗ . Sugerencia observar el diagrama general de transformaci´on desde f (t) a F(z).

clear; close all; clc G=tf(1,[1 1 1]); CONTINUA

ANEXO

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–4–

T=1; D=c2d(G,T); % discretizacion por ZOH % 0.3403 z + 0.2417 % ----------------------% zˆ2 - 0.7859 z + 0.3679 step(G) hold step(D)

2 F(s) = √ 3

√

3/2

(s + 1/2)2 + (

√

3/2)2

!

Desde tablas

Soluci´on 2 El numero de muestras solicitado es: 51 clear all; close all; clc fs=5; Ts=1/fs; t=0:Ts:10; NS=10/Ts+1; fprintf(’NSamples=%d\n’,NS) x=u(t-2)-u(t-6); subplot(211) stem(t,x,’k’) axis([0 10 0 1.5]) G=tf(1,[0.6 1]); D=c2d(G,Ts); y=lsim(D,x,t); hold, stairs(t,y)

Soluci´on 3 clear; close all; clc CONTINUA

ANEXO

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–5– 1.5

1

0.5

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 2: Respuesta del sistema de control a lazo abierto.

% Backward RC R=2.2e3; C=47e-6; tau=R*C; Kp=1; dt=0.02; % coeficientes a=(1-dt/tau); b=(dt*Kp)/tau; tsim=2; t=0:dt:tsim; N=tsim/dt+1; % condiciones iniciales Vo=-ones(1,1); Vi=-ones(1,1); % ecuaciones en diferencias Backward for k=2:N Vi(k)=1; Vo(k)=a*Vo(k-1)+b*Vi(k-1); end k=0:N-1; stairs(k,Vo) % Vo(1,1:6)’ % % ans = % % -1.0000 % -1.0000 % -0.6132 % -0.3011 % -0.0495 % 0.1535 % CONTINUA

ANEXO %

1.0000

–6–

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