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Paso 4 Analizar los diferentes tipos de filtros pasivos

Frey Hernán Rodríguez G. Cód., 80577580 Mayo 2017.

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Análisis de circuito

INTRODUCCIÓN

Este trabajo se ha realizado con el fin de estudiar los conceptos básicos, para poder desarrollar las actividades relacionadas con la unidad cuatro del curso Análisis de circuitos y comprender los conceptos básicos de los diferentes filtros pasivos, el cual se profundiza con un ejercicio de diseño de filtro pasa-banda para comprobar su desarrollo.

ACTIVIDAD A DESARROLLAR 1. Cada uno de los integrantes del grupo debe aportar en foro dispuesto para esta actividad en el entorno de trabajo colaborativo investigando los conceptos: o Resonancia: Es una condición en un circuito RLC en el cual las reactancias capacitiva e inductiva son de igual magnitud, por lo cual dan lugar a una impedancia resistiva. Estos circuitos resonantes (en serie o en paralelo) son útiles para construir filtros, pues funciones de transferencia pueden ser altamente selectivas en frecuencia. o

Circuito Resonante en serie: La configuración de un circuito resonante en serie aparece en la figura 1.

Figura 1 La impedancia de entrada es: 𝑍 = 𝐻(𝜔) =

𝑉𝑠 1 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 + 𝐼 𝑗𝜔𝐶

O sea: 1 ) 𝜔𝐶 La resonancia se produce cuando la parte imaginaria de la función de transferencia es cero, lo cual se dará: 1 𝐼𝑚 (𝑍) = 𝜔𝐿 − =0 𝜔𝐶 El valor de 𝜔 que satisface esta condición recibe el nombre de frecuencia resonante 𝜔0 . Por lo tanto, la condición de resonancia es: 1 𝜔0 𝐿 = 𝜔0 𝐶 O sea 1 𝜔0 = 𝑟𝑎𝑑/𝑠 √𝐿𝐶 Puesto que 𝜔0 = 2𝜋𝑓𝑜 , 1 𝑓𝑜 = 𝐻𝑧 2𝜋√𝐿𝐶 Se puede observar que en la resonancia:  La impedancia es puramente resistiva, por lo que Z = R. En otras palabras, la combinación en serie LC actúa como un cortocircuito y toda la tensión está a través de R. 𝑍 = 𝑅 + 𝑗 (𝜔𝐿 −

 La tensión Vs, y la corriente I se encuentran en fase, de modo que el factor de potencia es unitario.  La magnitud de la función de transferencia H(𝜔) = Z(𝜔) es mínima.  La tensión a través de la bobina (inductor) y del capacitor pueden ser mucho mayores que la tensión de la fuente. La respuesta en frecuencia de la magnitud de corriente del circuito: 𝐼|𝐼| =

𝑉𝑚 √𝑅 2 + (𝜔𝐿 − 1 )2 𝜔𝐶

La potencia promedio que disipa el circuito RLC es: 𝑃(𝜔) =

1 = 𝐼2 𝑅 2

La mayor potencia que se disipa ocurre en la resonancia, cuando I = Vm/R, por lo que: 𝑃(𝜔0 ) =

1 𝑉𝑚 2 = 2 𝑅

En ciertas frecuencias correspondientes a 𝜔 = 𝜔1 , 𝜔2 , la potencia disipada es la mitad del valor máximo; esto es, 𝑉𝑚 2 ) 𝑉𝑚2 √2 ) ) 𝑃(𝜔1 = 𝑃(𝜔2 = = 2𝑅 4𝑅 (

Por consiguiente, 𝜔1 𝑦 𝜔2 , se denominan frecuencias de media potencia (corte). Estas frecuencias se obtienen al igualar Z a √2𝑅 y escribir: √𝑅 2 + (𝜔𝐿 −

1 2 ) = √2𝑅 𝜔𝐶

Si se despeja 𝜔, obtenemos: 𝜀1 = −

𝜀2 =

𝑅 𝑅 2 1 + √( ) + 2𝐿 2𝐿 𝐿𝐶

𝑅 𝑅 2 1 + √( ) + 2𝐿 2𝐿 𝐿𝐶

Es posible relacionar las frecuencias de media potencia con la frecuencia resonante: 𝜔0 = √𝜔1 𝜔2 Lo que muestra que la frecuencia resonante es la media geométrica de las frecuencias de media potencia.

o

Circuito Resonante en paralelo: Este circuito tiene la configuración de la figura 2, una combinación RLC en paralelo con una fuente aplicada.

Figura 2 En este circuito resonante en paralelo, la impedancia es relativamente alta en resonancia, produciendo un voltaje significativo para Vc y VL de acuerdo con la ley de ohm (Vc = I*ZT), para el circuito de la figura 1 la resonancia ocurrirá cuando XL = XC, y la frecuencia de resonancia tendrá el mismo formato obtenido para la resonancia en serie. De tal modo la admitancia es: 𝑌 = 𝐻(𝜔) =

𝐼 1 1 = + 𝑗𝜔𝐶 + 𝑉 𝑅 𝑗𝜔𝐿

O sea: 𝑌=

1 1 + 𝑗 (𝜔𝐶 − ) 𝑅 𝜔𝐿

La resonancia ocurre cuando la parte imaginaria de Y es cero, 𝜔𝐶 −

1 =0 𝜔𝐿

⇒

𝜔0 =

1 √𝐿𝐶

𝑟𝑎𝑑/𝑠

En la resonancia, la combinación LC en paralelo actúa como circuito abierto, de manera que todas las corrientes fluyen por R. Además, las corrientes en la bobina y en el capacitor pueden ser mucho mayores que la corriente de la fuente en la resonancia. Al reemplazar R, L y C en las expresiones para el circuito serie con 1/R, 1/C y 1/L respectivamente, se obtienen para el circuito en paralelo; 1 1 2 1 √ 𝜔1 = − + ( ) + 2𝑅𝐶 2𝑅𝐶 𝐿𝐶 1 1 2 1 √ 𝜔2 = + ( ) + 2𝑅𝐶 2𝑅𝐶 𝐿𝐶

𝐵 = 𝜔2 − 𝜔1 = 𝑄=

1 𝑅𝐶

𝜔0 𝑅 = 𝜔0 𝑅𝐶 = 𝐵 𝜔0 𝐿

Se puede expresar las frecuencias de media potencia en términos del factor d calidad. El resultado es: 1 2 𝜔0 𝜔1 = 𝜔0 √1 + ( ) − , 2𝑄 2𝑄

1 2 𝜔0 𝜔1 = 𝜔0 √1 + ( ) + , 2𝑄 2𝑄

Para circuitos con alta Q (Q≥10) 𝐵 𝐵 𝜔1 ≈ 𝜔0 − , 𝜔2 ≈ 𝜔0 + 2 2

o

Filtros pasivos: Un filtro es pasivo si consiste sólo de elementos pasivos R, L y C. Los filtros LC alimentan a áreas relacionadas tales como ecualizadores, redes de acoplamiento de impedancias, transformadores, redes de formato, divisores de potencia, atenuadores, acopladores direccionales, entre otros.

o

Filtro pasivo pasa-bajos: El filtro pasa-bajas deja pasar frecuencias debajo de una frecuencia de corte, mientras que amortigua de manera significativa las frecuencias por arriba de dicho corte.

Figura 3

Un filtro pasa-bajas se forma cuando la salida de un circuito RC se toma del capacitor como se muestra en la figura 3. La función de transferencia es: 1 𝑉𝑠𝑎𝑙 𝑗𝜔𝐶 𝐻(𝜔) = = 𝑉𝑒𝑛𝑡 𝑅 + 1 𝑗𝜔𝐶 𝐻(𝜔) =

1 1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶

Nótese que H(0) = 1, H(∞) = . La figura 4 0muestra el diagrama de |H(𝜔)|, junto con la característica ideal. La frecuencia de media potencia, que equivale a la frecuencia de esquina en

los diagramas de Bode, pero en el contexto de los filtros por lo general se conoce como la frecuencia de corte 𝜔𝐶 , se obtiene igualando la magnitud de H(𝜔) 𝑎 1/√2, por lo tanto

Figura 4 𝐻(𝜔𝐶 ) =

1 √1 + (𝜔𝐶

)2 𝑅2 𝐶 2

=

1 √2

O sea: 𝜔𝐶 =

1 𝑅𝐶

La frecuencia de corte también se denomina frecuencia de atenuación. Por lo tanto un filtro pasabajas se diseña para dejar pasar únicamente la frecuencia de cd superiores a la frecuencia de corte.

o

Filtro pasa-altas: Un filtro pasa-altas se forma cuando la salida de un circuito RC se toma de la resistencia como se ve en la figura 5. La función de transferencia es: 𝑉𝑠𝑎𝑙 𝑅 𝐻(𝜔) = = 𝑉𝑒𝑛𝑡 𝑅 + 1 𝑗𝜔𝐶 𝑗𝜔𝑅𝐶 𝐻(𝜔) = 1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶 Se puede observar que H(0) = 0, H(∞) = 1 . La figura 6 muestra la gráfica de |H(𝜔)|. También en este caso, la frecuencia de esquina o de corte es: 1 𝜔𝐶 = 𝑅𝐶

Figura 6 Figura 5

Un filtro pasa-altas se diseña para dejar pasar las frecuencias superiores a su frecuencia de corte. o

Filtro pasa-banda: el circuito resonante en serie RLC proporciona un filtro pasa-banda cuando la salida se toma de la resistencia como se muestra en la figura 7. La función de transferencia es: 𝑉𝑠𝑎𝑙 𝑅 𝐻(𝜔) = = 𝑉𝑒𝑛𝑡 𝑅 + 𝑗(𝜔𝐿 − 1 ) 𝜔𝐶 Se puede observar que H(0) = 0, H(∞) = 0 . La figura 8 muestra la gráfica de |H(𝜔)|.El filtro pasa-baja deja pasar una banda de frecuencia (𝜔1 < 𝜔 < 𝜔2 ) centrada en 𝜔0 , correspondientes a la frecuencia central, la cual está dada por: 1 𝜔0 = √𝐿𝐶

Figura 7

Figura 8

Un filtro pasa-bandas se diseña para dejar pasar todas las frecuencias dentro de una banda de frecuencias, 𝜔1 < 𝜔 < 𝜔2 o

Filtro rechaza-banda: Es el filtro que evita el paso de una banda de frecuencias entre dos valores (𝜔1 𝑦 𝜔2). Este filtro se forma cuando la salida del circuito resonante en serie RLC se toma de la combinación en serie LC como se muestra en la figura 9. La función de transferencia es: 1 𝑗(𝜔𝐿 − 𝜔𝐶 ) 𝑉𝑠𝑎𝑙 𝐻(𝜔) = = 𝑉𝑒𝑛𝑡 𝑅 + 𝑗(𝜔𝐿 − 1 ) 𝜔𝐶

Se puede observar que H(0) = 1, H(∞) = 1 . La figura 10 muestra la gráfica de |H(𝜔)|.Al igual en este caso, la frecuencia central está dada por: 𝜔0 =

1 √𝐿𝐶

Figura 9 Figura 10

Un filtro rechaza-banda se diseña para detener o eliminar todas las frecuencias dentro de una banda de frecuencias, (𝜔1 < 𝜔 < 𝜔2 ).

2. De acuerdo al circuito de la figura 11, cada estudiante debe diseñar un filtro pasivo pasabanda que permita el paso de frecuencias entre 5KHz y 25KHz. La fuente de señal a la que se conectará el filtro tiene una resistencia interna de 50Ω y se conectará al filtro una resistencia de carga de 47KΩ.

Figura 11. De acuerdo al enunciado, procedemos a realizar la conversión de Hz a radianes; luego tenemos: 𝜔1 = 5𝐾𝐻𝑧

𝑦

𝜔2 = 25𝐾𝐻𝑧

Como: 1𝐻𝑧 → 2𝜋; 1𝐻𝑧 = 6,2831 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 𝜔1 = 5000𝐻𝑧 × 6,2831 = 31415,92𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 𝜔2 = 25000𝐻𝑧 × 6,2831 = 157079,63𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 El ancho de banda está dado por: 𝐵 = 𝜔2 − 𝜔1 𝐵 = 157019,63𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 − 31415,92𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 𝐵 = 125663,71𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 Además se sabe que el ancho de banda también es: 𝐵=

1 𝑅𝐶

Con ello podemos hallar el valor del condensador: 125663,71𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 = 𝐶=

1 47000Ω𝐶 1 47000Ω × 125663,71𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

𝐶 = 1,69𝑒 −10 𝐹

Luego hallamos la frecuencia de resonancia,𝜔0 , teniendo en cuenta las siguientes ecuaciones: 1 2 𝜔0 𝜔1 = 𝜔0 √1 + ( ) − 2𝑄 2𝑄 Pero: 𝑄=

𝜔0 𝐵

Reemplazando el valor de Q: 2

1 𝜔0 𝜔1 = 𝜔0 √1 + ( 𝜔 ) − 𝜔 2 0 2 0 𝐵 𝐵 𝐵 2 𝜔0 𝐵 𝜔1 = 𝜔0 √1 + ( ) − 2𝜔0 2𝜔0 𝜔1 = 𝜔0 √1 + (

𝐵 2 𝐵 ) − 2𝜔0 2

Reemplazando los valores, obtenemos: 125663,71𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 2 125663,71𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 31415,92𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 = 𝜔0 √1 + ( ) − 2𝜔0 2 62831.855𝑟𝑎𝑑 2 31415,92𝑟𝑎𝑑 62831,855𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔 = 𝜔0 √1 + ( ) − 𝑠𝑒𝑔 𝜔0 𝑠𝑒𝑔

62831.855𝑟𝑎𝑑 2 94247,775𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔 = 𝜔 0 √1 + ( ) 𝑠𝑒𝑔 𝜔0

94247,775𝑟𝑎𝑑 3947842002,741𝑟𝑎𝑑2 /𝑠𝑒𝑔2 = 𝜔0 √1 + 𝑠𝑒𝑔 𝜔0 2 94247,775𝑟𝑎𝑑 𝜔0 2 + 3947842002,741𝑟𝑎𝑑2 /𝑠𝑒𝑔2 = 𝜔0 √ 𝑠𝑒𝑔 𝜔0 2 94247,775𝑟𝑎𝑑 = √𝜔0 2 + 3947842002,741𝑟𝑎𝑑2 /𝑠𝑒𝑔2 𝑠𝑒𝑔 2 94247,775𝑟𝑎𝑑 2 ( ) = (√𝜔0 2 + 3947842002,741𝑟𝑎𝑑2 /𝑠𝑒𝑔2 ) 𝑠𝑒𝑔

8882639322,54𝑟𝑎𝑑2 = 𝜔0 2 + 3947842002,741𝑟𝑎𝑑2 /𝑠𝑒𝑔2 𝑠𝑒𝑔2 𝜔0 2 =

8882639322,54𝑟𝑎𝑑2 3947842002,741𝑟𝑎𝑑2 − 𝑠𝑒𝑔2 𝑠𝑒𝑔2

𝜔0 2 =

4934797319,8𝑟𝑎𝑑2 𝑠𝑒𝑔2

𝜔0 = 70248,11𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

El factor de calidad está dado por: 𝑄=

𝜔0 𝐵

𝑄=

70248,11𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 125663,71𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

𝑄 = 0,55

Luego hallamos el valor de la bobina (L), mediante la ecuación: 𝜔0 =

1 √𝐿𝐶

√𝐿𝐶 =

1 𝜔0

1 2 2 (√𝐿𝐶) = ( ) 𝜔0 𝐿𝐶 = 𝐿= 𝐿=

1 𝜔0 2 1

𝐶𝜔0 2 1 1,69𝑒 −10 × 70248,112

𝐿 = 1,197𝑒 −4 𝐿 = 0,12𝑚𝐻

CONCLUSIONES  El circuito resonante es una combinación de elementos RLC que tienen una característica de respuesta en frecuencia para un intervalo particular de frecuencias la respuesta estará cercana o será igual al máximo.  Un filtro pasa-bajas deja pasar frecuencias debajo de una frecuencia de corte, mientras que amortigua de manera significativa por arriba de dicho corte.  Un filtro pasa-altas realiza lo contrario al filtro-pasa-bajas.  La combinación de un filtro pasa-bajas y uno pasa-altas, conforman un el filtro conocido como pasa-bandas.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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