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Parcial modulo 2 Materiales Compuestos Ing. Víctor A. García Maria Gabriela Orellana Camacho Carlos Orlando Quevedo Avelar

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1. ((1.25 / 1.25 pto). a) Dadas las siguientes constantes de ingeniería de los constituyentes de un material compuesto, obtenga las propiedades de la lámina unidireccional si la fracción volumétrica de fibra es de 0,6. Fibra: 𝐸𝑓=180 𝐺𝑃𝑎 ; 𝜈𝑓=0,33 ; 𝜎𝑓=1700 𝑀𝑃𝑎 ; 𝜌𝑓=1700 𝐾𝑔𝑚3⁄ Matriz: 𝐸𝑚=3,5 𝐺𝑃𝑎 ; 𝜈𝑚=0,28 ; 𝜎𝑚=70 𝑀𝑃𝑎 ; 𝜌𝑚=1160 𝐾𝑔𝑚3⁄ Variable

Respuesta

E1 E2 G12 ν12 ν21 σ1max

109.4 GPa 8.502 GPa 3.317 GPa 0.31 0.0241 1033..22 MPa

b) ¿Cuánto debe vale σxmax si la lámina está a 30 grados? a)

V f + V m=1 Ec .(11) 0.6+V m=1 V m =0.4 Con las fracciones volumétricas podemos obtener las siguientes propiedades:

E11 =E f V f + Em V m Ec .(12) E22=

E f Em Ec .(13) E f V m+ E m V f

υ 12=υ f V f +υ m V m Ec .(14) E 22 ∗υ Ec .(15) E 11 12

υ 21= Gf =

Ef 2 ( 1+ v f )

Gm =

Ec .(16)

Em 2 ( 1+v m )

Ec .(17)

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G21=G21=

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Gf Gm Ec .(18) Gf V m +Gm V f

σ 1 =σ f ∗V f +σ m∗V m

Al sustituir los valores proporcionados en el enunciado se obtienen los siguientes datos, a partir de las ecuaciones anteriores:

E11 =180∗0.6+3.5∗0.4 E11 =109.4 GPa .

180∗3.5 180∗0.4+3.5∗0.6

E22=

E22=8.502 GPa .

υ 12=0.33∗0.6+0.28∗0.4 υ 12=0.31

υ 21=

8.502 ∗0.31 109.4

υ 21=0.0241

Gm = Gf =

3.5 =1.367 GPa 2 ( 1+0.28 )

180 =67.67 GPa 2 ( 1+0.33 )

G 21=

67.67∗1.367 67.67∗0.4+1.367∗0.6

G 21=3.317 GPa .

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σ 1 =1700∗0.6 +70∗0.4

(

Em Ef

( ))

σ 1 max =σ fmax V f +V m∗

3.5 ( 180 ))

(

σ 1 max =1700 0.6+0.4∗ σ 1 max =1033.22 MPa b)

σ xmax =

σ 1 max cos2 θ

=

1033.22 x 10 6 cos 2 30

σ xmax =1.37 GPa

2. (1.25 / 1.25 pto): Una probeta que va estar sometida a corte puro necesita que su módulo de corte Gxy sea > syms x >> n=sin(x); >> m=cos(x); >> E1=120e9; >> E2=6e9; >> G12=2.5e9; >> p12=0.3; >> p21=p12*(E2/E1); >> Gxy=5e9;

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f=((4*(m^2)*(n^2))/E1)*(1+p12)+((4*(m^2)*(n^2))/E2)*(1+p21)+((m^2-n^2)^2/G12)-1/Gxy; >> double(solve(f)) ans = 2.509333174777180 + 0.000000000000000i -0.632259478812614 + 0.000000000000000i -2.509333174777180 + 0.000000000000000i 0.632259478812614 + 0.000000000000000i -2.203055805607510 + 0.000000000000000i 0.938536847982283 + 0.000000000000000i -0.938536847982283 + 0.000000000000000i 2.203055805607510 + 0.000000000000000i

b) ¿Cuánto vale Ex, Ey, νxy, νyx para 200? m = cos(20*pi/180)^2; >> n = sin(20*pi/180)^2; >> v12 = 0.3; >> v21 =0.015; >> E1=120e9; >> E2=6e9; >> G12 =2.5e9; >> Ex = ((m/E1)*(m-v12*n)+(n/E2)*(n-v21*m)+(m*n/G12))^-1 Ex = 2.0170e+10Pa >> Ey = ((n/E1)*(m-v12*m)+(m/E2)*(m-v21*n)+(m*n/G12))^-1 Ey = 5.8269e+09Pa >> Vxy = ((m/E1)*(m*v12-n)+(n/E2)*(n*v21-m)+(m*n/G12))*Ex Vxy = 0.5088Pa

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>> Vyx = ((m/E1)*(m*v12-n)+(n/E2)*(n*v21-m)+(m*n/G12))*Ey

Vyx = 0.1470Pa 3. (1.25 / 1.25 pto) Una lámina de epoxy reforzado por fibra de carbón T-300 con 𝐯𝐟=𝟔𝟎%, y orientación de 35° está sujeto a una condición de esfuerzo biaxial, con 𝝈𝒙𝒙=𝟗𝟎 𝑴𝑷𝒂, 𝝈𝒚𝒚=𝟔𝟎 𝑴𝑷𝒂. Determine: a. Las deformaciones unitarias en las direcciones x, y.

>> m = cos(35*pi/180); >> n = sin(35*pi/180); >> E1 = 133.44e9; >> E2 = 8.78e9; >> G12 = 3.25e9; >> s11 = 1/E1; >> s22=1/E2; >> s66 = 1/G12; >> v21 = 0.017; >> s12 = -v21/E2; sxx = (m^4)*s11 + (n^4)*(s22) + 2*(m^2)*(n^2)*s12 + (m^2)*(n^2)*s66 sxx = 8.2772e-11

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syy = (n^4)*s11 + (m^4)*(s22) + 2*(m^2)*(n^2)*s12 + (m^2)*(n^2)*s66 syy = 1.1916e-10 >> sxy = (m^2)*(n^2)*s11 + (m^2)*(n^2)*s22 + (m^4 + n^4)*s12 -(m^2)*(n^2)*s66 sxy = -4.2209e-11 >> sss = 4*(m^2)*(n^2)*s11 + 4*(m^2)*(n^2)*s22 -8*(m^2)*(n^2)*s12 +(((m^2)-(n^2))^2)*s66 sss = 1.4660e-10 >> sxs = 2*(m^3)*(n^1)*s11 - 2*(m^1)*(n^3)*s22 + 2*(m*(n^3) -(m^3)*(n))*s12 + (m*(n^3) (m^3)*(n))*s66 sxs = -7.9308e-11 sys = 2*(m^1)*(n^3)*s11 - 2*(m^3)*(n^1)*s22 + 2*(n*(m^3) -(n^3)*(m))*s12 + (n*(m^3) (n^3)*(m))*s66 sys = -2.0676e-11 S = [ sxx sxy sxs; sxy syy sys; sxs sys sss] S= 1.0e-09 * 0.0828 -0.0422 -0.0793 -0.0422 0.1192 -0.0207 -0.0793 -0.0207 0.1466

G = [80.13e6;69.86e6;-14.095e6] G =80130000Pa 69860000Pa

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-14095000Pa e =S*G

e= 0.0048 0.0033 -0.0099

b. Las deformaciones unitarias en las direcciones 1, 2.

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c. Los esfuerzos en las direcciones 1,2.

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4. (1.2/ 1.25 pto.) Determine las deformaciones unitarias (globales ex, ey, γs) inducidas en una lámina cuando está sujeto a la condición de esfuerzo mostrada a continuación: E1=120Gpa E2=6Gpa G12=2.5G ν12=0.3

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E1=120e9; E2=6e9; G12=2.5e9; u12=0.3; u21=0.015; sigx=100e6; sigy=-50e6; taus=50e6; x=(30*pi)/180; S11=1/E1; S12=-u21/E2; S22=1/E2; S66=1/G12; m=cos(x); n=sin(x); Sxx=(S11*m^4)+(S22*n^4)+(2*S12*m^2*n^2)+(S66*m^2*n^2); Syy=(S11*n^4)+(S22*m^4)+(2*S12*m^2*n^2)+(S66*m^2*n^2); Sxy=(S11*m^2*n^2)+(S22*m^2*n^2)+(S12*(m^4+n^4))-(S66*m^2*n^2); Sxs=(2*S11*m^3*n)-(2*S22*m*n^3)+(2*S12*((m*n^3)-(m^3*n)))+(S66*((m*n^3)(m^3*n))); Sys=(2*S11*m*n^3)-(2*S22*m^3*n)+(2*S12*((m^3*n)-(m*n^3)))+(S66*((m^3*n)(m*n^3))); Sss=(4*S11*m^2*n^2)+(4*S22*m^2*n^2)-(8*S12*m^2*n^2)+(S66*(m^2-n^2)^2); S=[Sxx Sxy Sxs; Sxy Syy Sys; Sxs Sys Sss]; sigxyz=[sigx; sigy; taus]; E=S*sigxyz;

Los valores de la matriz de flexibilidad son los siguientes: S= 1.0e-09 * 0.089166666666667 -0.043750000000000 -0.116191741674412 -0.043750000000000 0.168333333333333 -0.020928947258124 -0.116191741674412 -0.020928947258124 0.235000000000000

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Al realizar el producto de la matriz de esfuerzos se obtienen las siguientes deformaciones: E= 0.005294579582946 -0.013838114029573 0.001177273195465