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• Analiz Ciriaco García

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PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE Sea z= f (x , y) una función escalar con derivadas parciales continuas en (a , b) del dominio de f . El plano tangente a la superficie en el punto P( a, b, f(a, b)) es el plano que pasa por P y contiene a las rectas tangentes a las dos curvas.

Ecuación del Plano tangente Dirección de un vector tangente a C1 en P

Dirección de un vector tangente a C2 en P

Dirección de un vector normal del plano tangente a la superficie en P es:

Punto por donde pasa el plano: P ( a , b , f ( a , b ) ) Punto genérico del plano: X ( x , y , z ) Ecuación normal del plano:

EJERCICIOS: 1. Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación z=x2+y2-2xy+2y-2 en el punto P(1,2,3). SOLUCIÓN: Hallamos las derivadas parciales: ∂z/∂x = 2x – 2y; ∂z/∂y = 2y – 2x + 2 En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son:

[∂z/∂x]P; = -2 ; [∂z/∂y]P = 4 Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,2,3) es: z-3= -2(x-1) + 4(y-2), o bien, simplificando z = -2x+4y-3 y la ecuación de la recta normal es:

2. Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal al hiperboloide de ecuación Z2-2x2-2y2-12=0 en el punto P(1,.1,4). SOLUCIÓN: Consideramos la función F(x,y,z) = z2 – 2x2 – 2y2 – 12 Hallamos las derivadas parciales: F (x,y,z) = -4x; Fy (x,y,z) = -4y; Fx(x,y,z) = 2z En el punto p(1,-1,4) las derivadas parciales son: F (1,-1,4) = -4; Fy (1,-1,4) = 4; Fx(1,-1,4) = 8 Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,-1,4) es: -4(x-1)}4(y+1)+8(z-4)=0, o bien, simplificando x-y-2z+6=0 Y la ecuación de la recta normal es:

Nota: El vector puede simplificarse por

gradiente el vector