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• Sebastián Ojeda Uribe

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Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

Diseño en Acero Pandeo Local

B3.- PANDEO LOCAL – INESTABILIDAD DE ELEMENTOS PLANOS En su gran mayoría los perfiles metálicos están construidos por planchas o elementos planos, los cuales mediante un proceso de fabricación (laminado, plegado, soldado, etc) dieron forma a un determinado perfil.

a) Soldado

b) Laminado

c) Plegado

Fig. B3.1 – Elementos Planos El estudio de la inestabilidad de cada uno de estos “Elementos Planos” corresponde a un problema de inestabilidad de placas, cuya tensión crítica no necesariamente es mayor que la tensión crítica que define la estabilidad global del perfil. Ello dependerá de la esbeltez de las placas que conforman el perfil y de sus condiciones de borde. Por esta razón es necesario conocer y cuantificar el fenómeno a fin de controlarlo en el diseño ya sea por razones estéticas, funcionales o bien porque puede comprometer la resistencia de la estructura. Desde un punto de vista teórico, la ecuación que gobierna el fenómeno de inestabilidad en placas es:

∂ 4 w 2∂ 4 w ∂ 4 w 1  ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w  + + = q + Sx + 2 Sxy + Sy ∂x 4 ∂x 2∂y 2 ∂y 4 D  ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2  en la cual:

(B3.1)

w: deformación transversal D=

Et 3 : Rigidez a la flexión de la placa. 12(1 − v 2 )

Sx, Sy, Sxy : Fuerzas de membrana (por unidad de longitud) la ecuación (B3.1) puede escribirse:

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∇4w =

1 ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w  + + + q Sx 2 Sxy Sy  D ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 

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(B3.2)

La ecuación (B3.1) fue formulada primeramente por Navier (1823), debido más bien a su interés en la vibración de la placa que en el problema de inestabilidad. Fue Bryan1 quien en 1888 resolviera el problema de pandeo elástico de una placa rectangular simplemente apoyada, cargada uniformemente en su plano en una dirección. Este no sólo es una primera solución al problema de inestabilidad de una placa, sino que además fue el primero en aplicar un criterio de energía para solucionar el problema. Este método resulto posteriormente en una poderosa herramienta en la investigación de problemas de estabilidad elástica, los cuales, por la dificultad del tratamiento matemático de las ecuaciones no son fáciles de tratar por los métodos convencionales. Posteriormente la ecuación fue utilizada por Timoshenko (1907) y H. Reissner (1909) en el análisis de diversos casos, el tratamiento inelástico fue iniciado por F. Bleich (1924). El trabajo de estos autores ha sido extensivamente publicado 2,3. Una serie de estudios experimentales realizados alrededor de 1930 permitieron visualizar la capacidad resistente Post-Pandeo la cual culminó con el modelo aproximado de Von Karman4 para placas simplemente apoyadas (concepto de Ancho Efectivo). La ecuación (B3.1) está resuelta para algunos casos particulares. Para el diseño de estructuras de acero interesa particularmente las placas rectangulares, pues representan una gran cantidad de los casos prácticos. Se revisará la solución de esta ecuación en el caso de placas rectangulares, para orientar la formulación del problema y entender el fenómeno. La figura (B3.2) muestra una placa rectangular de geometría inicial plana, contenida en el plano oxy, la figura muestra también la configuración deformada. La solución de la ecuación para la carga crítica incorpora, cualquiera que sea la distribución de tensiones de membrana y las condiciones de borde, la resistencia a pandeo de las fibras que actúan en ambas direcciones de la placa. Resulta para la carga crítica una ecuación de la forma de la ecuación (B3.3).

Fcr = k1 en la cual:

π 2 EI x a2

+ k2

π 2 EI y

I x = Iy =

(B3.3)

b2 1* t 3 12 1 − v 2

(

)

(B3.4)

1

Bryan, G. H., “On the Stability of a Plane Plate under Thrusts in Its Own Plane with Application on the Buckling of the Sides of a Ship”, Proc. London Math. Soc., 1891, p. 54. 2 Timoshenko, S., “Theory of Elastic Stability”, Engineering Society Monographs, Mc Graw Hill Book Companies, 1936. 3 Bleich, F., “Buckling Strength of Metal Structures”, Engineering Society Monographs, Mc Graw Hill Book Companies, 1952. 4 Von Kármán, T., Sechler, E. E. and Donell, “The Strength of Thin Plates in Compression,” Transactions ASME, (1932) 53

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representan la rigidez a flexión de la placa, y las constantes dependen de las fuerzas de membrana y de las condiciones de borde.

x

w(x,y)

a

y

b Fig. B3.2 – Modelo Placa Rectangular Generalmente la solución se presenta en la forma: Fcr=

π 2E  c 12 1 − v   t

(

2

)

2

k

k = k1 +

donde:

k2 2  c   t

(B3.5)

3.1.- Placa Rectangular sometida a tensiones de compresión uniforme. Se estudiará el pandeo de la placa rectangular de la Fig. B3.3, simplemente apoyada en sus cuatro bordes, cargada uniformente en una dirección, que se comporta elásticamente. b

fx x

←w(x,y) a

y Fig. B3.3 – Placa Rectangular con carga uniforme Se usará el procedimiento aplicado por Timoshenko5 , en el cual se busca una serie de funciones que satisfagan las condiciones de borde, expresada en la ecuación (B3.6) ∞

w(x.y) =

∞

∑∑ A

mn

m =1 n =1

 mπ x   nπ y   sen   sen  a   b 

(B3.6)

5

Timoshenko, S. P., and Gere, J. , “Theory of Elastic Stability”, 2nd ed. New York, Mc Graw Hill Book Company Inc., 1961 (pp. 319-328, 351-356) 54

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Si se expresa las fuerzas de membrana en función de las tensiones:

Sx = − fx = Cte. t

(B3.7)  mπx   nπy   sen   a   b 

ψ mn ( X , Y ) = Amn sen 

y se denomina: (B3.8)

resultan las expresiones (B3.9) y (B3.10). 2

∂ 2ψ mn  mπ  = −  ψ mn 2 ∂x  a 

(B3.9)

2

∂ 2ψ mn  nπ  = −  ψ mn 2 ∂y  b 

(B3.10)

Lo cual reemplazado en (B3.8), resulta en (B3.11) 2 2 4 2 ∞ ∞  m π  4  mπ   mπ   nπ   nπ   . 2 fx t Ψ = − − + +   Ψmn ∑ ∑  a   a   b   b   mn ∑ ∑ a   = 1 = 1 m =1 n =1  m n    ∞

∞

(B3.11)

La ecuación (B3.11) debe cumplirse término a término, y como Ψmn ( x, y ) ≠ 0 (excepto en puntos singulares), debe cumplirse para todo m, n (B3.12). Esto define una serie doblemente infinita de valores críticos expresado por (B3.12) o B(3.13). 2 2 2 2 Et 2π 2  m  n n a       + 2  +  Fcr = 12 1 − v 2  a  b   m b 2     

(

π 2 Et 2

2

 mb n 2 a  Fcr = +  =k  mb  12 1 − v 2 b2  a

(

con

(B3.12)

)

)

 mb n 2 a  k= +  mb   a

π 2E  b 12(1 − v )  t

2

(B3.13)

2

2

(B3.14)

Interesa la menor tensión crítica, es decir, el menor valor de k. Siendo k una función creciente de n, el mínimo con n se producirá para n min=1. Si se investiga el óptimo con m, derivando (B3.14), resulta el óptimo cuando: 55

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a b o sea: k min= 4 m=

(B3.15) (B3.16)

En las ecuaciones anteriores m y n indican el número de ondas que se generan en la superficie elástica cuando se pandea la placa. Si se modifica las condiciones de apoyo resultan los valores de k de la figura (B3.4). k = 4.000

k=1,277

k= 6,970

k=0,425

k= 5,420 Elementos Planos Atiesados

Elementos Planos No-Atiesados

Fig. B3.4 – Valores de k para otras condiciones de borde

En el rango anelástico se introduce al modulo tangente Et, resultando para la tensión crítica expresiones del tipo de la ecuación (B3.17)

Fcr = k

π 2 E Et

)( )

(

12 1 − v 2 b t

2

≈

(

kπ 2 Et

)( )

12 1 − v 2 b t

(B3.17)

2

3.2.- Formulación del Problema de Diseño.

Consideramos un diseño de columnas con 3 alternativas que cumplan igualmente los requerimientos de estabilidad global, es decir con la misma esbeltez.

(a)

(b)

(c)

Fig. B3.5 – Secciones de Igual Resistencia a pandeo por flexión

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Si se analiza el fenómeno desde el punto de vista de los “Elementos Planos“que conforman cada perfil, las 3 secciones no ofrecen la misma seguridad. La esbeltez de (b) es la que ofrece más garantías por sus menores valores b/e , sin embargo, desde el punto de vista de los vínculos (c) presenta como ventaja el tener todos sus elementos rigidizados en ambos bordes lo cual podría resultar en una mayor tensión crítica de pandeo o equivalentemente una mayor resistencia para la placa del perfil (c). En otras palabras interesa la esbeltez de los elementos planos (relación Ancho/Espesor) y el grado de fijación en los bordes de la placa. Si la fijación es en ambos bordes se dirá que el elemento está atiesado (caso c), si sólo hay un borde fijo se dirá que el elemento es no atiesado (alas de casos a y b). Lo anterior permite establecer las siguientes definiciones: i) Elemento Atiesado en Compresión. Elementos planos uniformemente comprimidos cuyos bordes paralelos a la dirección del esfuerzo se encuentran rigidizados por un alma, ala, pestaña atiesadora, atiesadores intermedios o equivalentes.

ii) Elemento No Atiesado en Compresión. Elementos planos uniformente comprimidos rigidizados por un alma, ala, pestaña atiesadora, atiesadores intermedios o equivalentes en un solo borde paralelo a la dirección del esfuerzo. iii) Ancho Plano Elementos Atiesados. Según el tipo de perfil: ¾ Perfiles Laminados y Doblados: es la distancia medida entre los filetes de laminación o esquinas redondeadas. ¾ Perfiles Soldados: es la distancia lineal entre elementos atiesadores. iv) Ancho Plano en Elementos No Atiesados

- Perfiles Laminados y Soldados: es la distancia medida entre el eje del elemento atiesador y el borde (en C, L, Z, tomar el ancho nominal). - Perfiles Doblados: es la proyección del elemento excluida la esquina redondeada. v) Esbeltez del Elemento Plano. Es la relación entre el ancho plano y su espesor, excluidos los revestimientos. La definición de elementos planos uniformemente comprimidos también se aplica a alas comprimidas de elementos en flexión. 3.3.- Comportamiento de Elementos Planos en Compresión

Si se considera un elemento plano uniformente comprimido, en un ciclo de carga creciente, el seguirá la curva característica del acero hasta el instante que se alcance la carga crítica, tal como se muestra en la figura (B3.6)

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f

Fu

B

b/e

Fcr

A

O

ε

Fig. B3.6 – Curva de Comportamiento de Elementos Planos a) Descripción

OA : La deformación crece linealmente con la tensión. Todas las fibras de la placa son igualmente rígidas, lo que produce una distribución uniforme de tensiones. En el punto A se alcanza la tensión crítica iniciándose la deflexión lateral.

AB : A

diferencia del comportamiento unidireccional de columnas en las cuales el pandeo es sinónimo de colapso, en las placas se produce una redistribución de los esfuerzos. Ello se debe al confinamiento que le introducen las fibras transversales a las longitudinales, las cuales rigidizan más las fibras próximas a los bordes que las centrales, aumentando mas la tensión en los bordes que en el centro. Una vez que en la fibra más solicitada se alcanza la fluencia, ésta se propaga hacia la zona central, hasta que sobreviene el colapso. La tensión promedio máxima que se alcanza la denominaremos Fu. b) Comentarios

1.- Entre el instante en que se alcanza Fcr y aquel en que se alcanza Fu, hay una zona posterior al pandeo en la cual no ha habido colapso. Esta resistencia adicional denominada Resistencia Post-Pandéo: (Fu-Fcr) es tanto mayor cuanto mas esbelta es la plancha. 2.- A medida que se reduce la esbeltez : Fu→Fcr→Ff ⇒ ∆F → 0 La esbeltez a la cual se produce éste fenómeno se conoce como “Esbeltez Límite” y permite fijar un primer criterio de diseño, que equivale a forzar la falla en fluencia. (o equivalentemente hacer que fluencia y pandéo ocurran simultáneamente).

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3.- Para otras condiciones de borde el comportamiento es el mismo, variando sólo las tensiones crítica y última. 4.- Los elementos no atiesados en compresión tienen una resistencia Post-Pandeo baja. 5.- Definiendo los valores límites de esbeltez para distintas calidades de acero y tipos de sección puede prevenirse el pandeo local, evitando de esta manera el uso de esbelteces mayores. 6.- Convendrá en algunos casos aprovechar el comportamiento post-pandeo si ello introduce ventajas en el diseño, lo que se da en el caso de elementos planos atiesados. Los elementos planos no atiesados presentan una resistencia post-pandéo muy pequeña por lo cual no presenta ventaja incluir la resistencia post-pandéo en el diseño de estos elementos. 3.4.- Esbelteces Limites

Se pueden determinar de la condición: Fcr =

kπ 2 E

(

)( )

12 1 − v 2 b e

si ν=0,3 Î

2

≥ Ff

(B3.18)

π b =   =  e  lim 12 1 − v 2

(

)

kE kE = 0,951 ⋅ Fy Fy

(B3.19)

La ecuación (B3.19) presupone comportamiento elástico, para considerar el comportamiento anelástico debe reducirse la esbeltez límite en ≈ 30%. kE kE b = 0,672 Se adoptará   = 0,70(0,951) Ff Ff  e  lim

(B3.20)

Si se reemplaza las constantes E= 2.040.000 Kg/cm 2 y k según condición de borde, puede obtenerse los valores límites para distintos perfiles. 3.4.1.- Perfiles No Atiesados ƒ

Ángulos en contacto.(Laminados o Armados). E 644,3 630 b k = 0.45 →   = 0,45 = ≈ Fy Ff Ff  e  lim

. ƒ

Ángulos en Contacto, Atiesadores de Vigas.

E 801,8 810 b k = 0.69 →   = 0,56 = ≈ Fy Ff Ff  e  lim 59

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ƒ

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Almas de vigas T.

E 1074 1090 b = ≈ k=1.25 →   0,75 Fy Ff Ff  e  lim

3.4.2.- Perfiles Atiesados ƒ

Laminados o Armados, Ala Perforada k= 4,00 a 6,97

si k=4,75

2122,39 2120 E b = ≈   = 1,49 Fy Ff Ff  e  lim ƒ

Sección Cuadrada

E 2004,49 1990 b k = 4.34 →   = 1,40 = ≈ Fy Ff Ff  e  lim

Los valores límites de esbeltez coinciden bastante bien en ambas normas, un detalle mayor puede encontrarse tanto en la NCh 427 como en la LRFD 83. En diseño plástico los requerimientos son más severos pues debido a la formación de Rotulas Plásticas en zonas de gran curvatura, hay fibras que incurren en el rango de endurecimiento por deformación y deben soportar tensiones mayores a la fluencia. Se especifica 0,46 (b/e) lim para elementos no atiesados y 0,58 (b/e) lim para elementos atiesados. Un criterio alternativo al planteado para la definición de la esbeltez límite, podría ser imponer la condición de diseñar con una mayor resistencia al pandeo local que la resistencia al pandeo global de la columna. (Fcr) elemento plano ≥ (Fcr) columna (B3.21) Esto equivale a:

(

kπ 2 Et

)( )

12 1 − v 2 b e

2

π 2 Et ≥ 2 λ

Et = E Rango Elástico

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lo cual conduce a:

 b   ≤ 0,3λ k  e  lim

(Normas: alemana, rusa, All .Alloy, etc.)

(B3.22)

Esta alternativa hace depender la esbeltez límite de la esbeltez global del perfil y consecuentemente de las solicitaciones, lo cual puede resultar menos práctico. El pandeo local también se presenta en elementos en flexión, razón por la cual se volverá sobre este punto mas adelante.

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