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• Santiago

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PANDEO EN ESTRUCTURAS Periodo anelástico - Teoría del módulo tangente: Para det.enninar la carga para la cual empieza la flexión anelástica en una columna ideal, vamos a suponer que la figura ·N ° I representa una columna con una carga axial P creciente. Supongamos que la relación de esbeltez

Y,. es suficientemente pequeña para que n� e�ista posíbilid.ad de pandeo en el, período

elástico. Por lo que esta carga origina un diagrama de tensiones normales mayor que el valor de tensión en el limite elástico del material. La gráfica de tensión - defonnación lo vemos en la figura Nº 1 (d), en la que, O' representa la tensión nonnal de compresión unifonnemente distribuida en la .sección transversal de la columna y e la deformación específica correspondiente; se supone que la carga de pandeo Pr (o tensión de pandeo O'r = PYA) y la deformación anelástica correspondientes están representados por un punto en las cercanías de C sobre la curva y en consecuencia se verifican deformaciones anelásticas. Debem.os hallar la carga mínima�. =A· (J'r, mínima capaz de mantener la columna ligeramente flexada cuando se aplica una carga lateral simultáneamente con el último incremento de carga y luego se quita. A medida que se verifican incrementos de la carga axial P, 1as deformaciones específicas de la sección transversal nn crecen pero manteniéndose uniformemente distribuidas tal como lo indican las llneas 1,2,3 y 4 de la figura N º J (b ). Al aproximarse P a Pr , supongamos que una fuerza perturbadora lateral se aplique

simultáneamente con el último incremento de carga que IJeva Pal valor de Pr . El diagrama de deformaciones específicas presenta ahorá una distribución tal como indica la línea 5 y en la flexión lateral está muy exagerada El diagrama de tensiones indicado en la figura N º I (e) presenta una variación lineal AB y puede obtenerse de la figura Nº 1 (d) tomando las tensiones correspondientes a las defo1maciones específicas. La hipótesis de que la línea AB es recta, es equivalente a suponer que las pendientes a la curva de deformaciones, tal como se muestra para el punto C en la figura Nº 1 (d), es constante durante el incremento de defonnación específica de li a E+ ¡j,g. Esto está justificado por que el incremento 116 es pequeño para la pequeña flexión lateral impuesta a la columna. La pendientes de la r�cta tangente a la curva de deformaciones, en un punto tal como el C, es llamado módulo tangeute Er ; el incremento de tensión correspondiente a

;.

.

�

11_8 será por lo tanto, !:!.a- = Er ·/J.¡;. Puede calcularse el valor deseado de Pr en la misma fmma que es obtenida 11.1 carga de Euler para el pandeo elástico.

nr J-·1-

,; l, '-·

) l'

l- r-

-···1

i

1 1 ' .¡; : .. , i: 1

•'

;.1.r.t __ [;._iJ_;..! i

n

'

j' ,.

1

b

/r,)

(d)

. ¡i 1 1

·¡ •I

Como ya sabemos, la ecuad6n resulta ahora:

- ,r ·Er .¡ 2

R

T

-

L

(1)

··· o bien

2

· en la que Pr , puede set considerado como el mínimo valor de la carga que puede soportar la columna ideal con una pequefla flexión lateral o el valor máximo de la carga bajo la cual la columna ideal no flexionará. Esta es la fórmula llamada del mód11/o tangente. Para interpretar lo anterior, consideremos el diagrama de la figura Nº 2. El eje horizontal representa la

relación de esbelte1: Iah, y el eje vertiettl, el esfuerzo critico, ac,. Para pandeo, elástico se aplica la

expresl6n de Euler para determinar el esfuerzo critico, representada por la curva AB, denominada hipérbola de Euler. Para columnas robustas que tengan un esfuerzo crítico promedio mayor que el lúnite de proporcio1!alidad, la ecuación de Euler deja de ser aplicable, pues el módulo de elasticidad ya no es constante. Por ejemp'lo, en un nivel de esfuerz:o (J'F, Ir, rigidez del material está dado por, Er , que es la pendiente de la tangente a la curva esfuerzo - deformación unitaria en el punto F'. La colnmna permanecerá estable si su rigidez a la flexió11 reducid a, Er , I en F' es sufic ientemente grande para prevenir el pandeo. La resistencia al pandeo de una columna de longitud dada es directament.e proporcional a su rigidez a la flexión, como se puede en las ecuaciones de Euler. A medida que disminuye en magnitud el módulo de elasticidad, E se puede reemplazar por el módulo tangente Er para hacer la fónnula del pandeo elástico y en definitiva la fórmula ( 1) se puede colocar para todos los casos de pandeo generalizando: (2) 1lecordemos que la expresión ( l) corresponde a una columna con extremos articulados son pasadores, para diferentes condiciones de contorno con el fin de determinar los diferentes valores para lo,S constantes arbitrarias de la ecunción, se introduce el concepto de longitud efectiva de una columna. Esta longitud se expresa como la longitud real multiplicada por un fact0r de longitud efectiva, K, y representa la longitud de una columna equivalente de extremos articulados con pasadores. En la figura N º 3 se indican algunos valores teóricos.

\' "nu

\

-;·-·····----\-7"'

1

1111 ..

" ..

[Ecundón (2)]

(/d.,'r¡ l

�·� ··--· ---· ---- -·-·------·------- '), .

·--= .�:..·�....._'!_'1h¡0 __,___ I/_.______ ......._ --........ , "'-.. /'

(Ecuación ( 1 )]

o ... ···--·

'ª'

n i F,

-

- ... , t-'s

11 ,. ":' (1 j)

0

-......

l·S· l,\J!

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..:'..�C..... - -- -

···-··----··---·-···Ce[En1ación (b�L. .... -.

1 �------ lnclástico

1

·------7 1,.

--- ... '/--

[EcunciúnJ ____ ,

E11 k.-

1

-f,:_.•

1 S" l .•I)

Kl�

--·······�f..------ Elústico---····-·--·--

..,·

I ':',

·-···· ......... .-,

11,1

(a) Curvas de c�fucrzo crítico para panduo de i;olunrnas. (/,) Curva csf\11•rw-dL·for­ . 111aciún unitaria.

Figurn N" 2

pinned

l.. :: 2L=-KL

L.= L"'KL fixed

· Figura Nº 3 Para un limite de proporcionalidad supuesto de 0,50' Jlll., la relación de esbeltez Ce para la cual el comportamiento de pandeo elástico se hace inelástico, se determina:

' ,, (3)

de donde: (4)

En la figura N º 2 se representan las curvas de esfuerzo crítico para pandeo de columnas. Las curvas de diseño se hallan aplicando el factor de seguridad adecuado. As(: .

tr

2

( F S )(

.

Er

-----� (1'ad m. -

donde, nuevamente E, lo hemos reemplazado por

KLl,J

(5)

Er.

Es interesante observar que, realmente, el factor de seguridad para columnas esbeltas se torna mayor que para columnas robustas. La razón para esto es que las columnas esbeltas son mucho más sensibles a las cargas excéntricas y a la falta de rectitud que las columnas robustas. Se puede demostrar teóricamente que el esfuerzo critico para columnas esbeltas se reduce por la excentricidad de la_ carga y la falta· de rectitud con un grado mucho mayor que parn columnas robustas. Por consiguiente, es lógico introducir un factor de seguridad mayor para columnas esbeltas. Por ejemplo, las especificaciones de la AISC emplean un füctor de seguridad variable que va desde esbeltez que

1.67 cuandq Kf/,. == O .

hasta

1,92 cuando KY,. =C e .

Parn relaciones mayores de

C,. el factor de seguridad se mantiene constante en 1;92.

Las cspccificncioncs de la AISC expresan el esfuerzo admisible para pandeo cl{1stico de fa forma: (6)

Esta porción de la curvo de discl'ío se representa mediante la curva GH en In figuro N ° 2.

..· ... -:· ... ,: ..; .... ...... :,..

. .•..< .... ;: .::� .. · .. i.·:-.. : ••. ,.•..•.•,.: . ·..

.•'

..

: :·.·:

..... ·:

' ," .' ,

Para intervalo inelástico lac; especificacioues de la AISC dan:

cradrr¡ :

=

{1-[(o/,J /2.c; ]} · oFS

flu.

(7)

.

mientras que la expresión para el factor d� seguridad para O < KL;;. < Ce es: 3

!r) FS =�+ 3·K ,L/r _ (KL

3

8·C e

8-Ce3

(8)

Esta pon:aon de la curva de diseño se repiesenta m;!diante la curva HI en la figura Nº 2. El numerador de la ecuación (7) es una aproxim&ción ma!emática de la ecuación (2) en el senti, son 1.as.�elaciones punto e, representa la combinación ·de estas. dos condiciones. El. margen de segundad es· indicado por el segmento desde el punto e hasta la curva medido sobre la ·línea que · une al punto · · e con d origen de coordenadas. El factor de feguridad, resulta:· .

od n=� oc

La figura Nº 2, ilustra una ccmbinación de relaciones de cargas de compresión y de· momentos flectores. /'

Un momento_ M1 es la causa de la flexión lateral (pandeo) de la columna, pero el harícentro de la seccióu 'Considerada, !':e ,ksplaza de la línea de �cción de la carga que �rovoca el pandeo, y e�t� induce .. un momento se.::undl'rro originado por la foerza P. Ver figura N º 3

Column

=

+

Sine curve-·

Applied moment

lnduced

Resull·onl

secondory

mox1mum.

momenl

moment

Applied sinusoid.ol momenl

Figura N ° 4

Figura N º 3

El momento aplicado provoca una flecha máxima, según figura N º 3. Por la aplicnción del momento lvf1 la máxima deflexión es:

La carga crítica de Euler: =

por lo que podemos poner:

P.

1l 2 . E .J

2 Lb

(3)

Resultin! deflectic curve

p 1 1 1 1 1 Ll. 1.--H

1 1 1 1 1 p

Figura N º 5 La cargaP, provoca el moméntoM2, por estar desplazada del baricentro de la sección en el valor de la flecha A , de donde: 1 La

suma

de

estos

dos

Mmex. = (M1

momentos

+ M2 )

produc_e,

la

máxima

deflexión A max. = A 1 + A 2 • Por lo que el valor final lo podemo� escribir: A

mex.

=

Siendo:

Mmnx.

pe

MmQJ(. =M1 +P·Amax.

M1 Mmnx . =--p

1 -­ pe

El momento originado por pandeo, y el momento originado por la carga, son los cavsm1tc:S de la dcflexión total causada en la barra. Si colocamos un factor(k), de tal manera que:

M

le =� obien:

M,

'

6

.

�. :

•. '

.

.

.

. . . .. :. . .·

.

;

1

k=--

(4)

1-�

De acuerdo con la fórmula (2), podemos colocar:

.1¡

=1

l.

(5)

Esta es la última condición de c.;;rga. Estu condición debe ser afüctada por un coeficiente de seguridad n, de acuerdo con la con�ición de trabajo, ';)S c!ecir:

n·Pw_+ __ n·Mw_, __ n·Pu . n·MA

Donde:

. 1 I-n·Pw

� 1 por lo que queda

P."

Subíndice w para la carga o momento de trabajo Subíndice A es para la carga o momento admisible

NOTA: tr

P,

-

2

.

E. J

L!

- ( �:)' tr

2

.

E. J

po,io tanto:

La ecuación básica con las tensiones

ª11

+ (J"b

O"A

O"¡¡

1 1-!_l·O"a Cí¡,

Dondo:

:$; l

(6)

'

aª= tensión de compresión actuante originada por la carga axial ab == Tensión de compresión actuante originada por el momento flector aA == tensión axial admisible cuando no actúa el momento flector, usando la relación �) menor observada en el plano de momento.

a8 = tensión de compresión admisible _originada por el momento flector, no originada por la fuerz.a axial. de seguridad n

La Norma AISC (American Iron and Steel Institute), usa la expresión de Euler con un factor = 1,92, y determina un valor de a:, de acuerdo con lo siguiente: 2 ,r • 2.038.902 ------2

El valor de E Donde: .

(7)

= 2.038.902.Kg I cm 2 y n = 1,92, son los val�res que toma la AISC.

rb : es el radio de giró respecto al eje normal al plano de momento . . . . .. .. . . . .. . . .

� Lb : es la longitud de la columna entre los extremos .

.

De acuerdo con las Normas AISC este valor de(a-: ); puede ser incrementado 1/3 para cargas con · viento. La tabla 1 da los v·al�res de

,'

a:

(tensión de E�ler afectada por el factor de seguridad) en función de la

.

K ·L

.

.

..

relación ___ b , y para valores de esta relación de 20 a 200. Estos valores son para acero, y están basados en . � el coeficiente de seguridad de 1,92, el cual es conservativo. Se ha introducido un factor de arnplificacióir-'Ji� sido basad&,en el estudio de una columna con· los extremos articulados y momento sinusoidal aplicado. En la practica actual, estas condiciones varían; de todos modos estos factores serán razonablemente conservadores para la mayoría de las condicione;, La Norma AISC aplica un segundo factor (C,. )para ajustarse a condiciones más favorables de momento flector aplica.do o carga transversal. Aplicación de momento:

M

cm = 0,6 + 0,4-1 � 0,4 M2

Aplicación de cnrgns trnnsvcrsalcs:

(8)

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'

.J ·:

....:1 :;1 j

..

cm

·:·, l

..

Donde:

.

va(

?

+3·r-

A continuación damrn: las tablas y gráficos enunciados más nrriba

Para el caso de una viga solicitada en la sección vertical considerada, por un esfuerzo ·cortante momento flector M , es:

cr, =

rn

si el eje es baricéntrico cae en el centro;

y en los bordes, a la altura

Q y un

Mb b : u1 = -I 2

Q·S r = ___s siendo Ss el momento estático de la parte que se separaría,

l·s

con respecto al eje neutro de la sección completa, ;nientras que s el espesor.

I es el momento de inercia de la sección completa y

Sin embargo, en general, en las vigas doble te, se puede tomar el valor medio, rm altura del alma.

= _jJ_, sien do b·s

b la

RIGIDIZACION DE LAS PLACAS:

Cuando una pared de chapa sometida a cargas situadas en su plan o medio ti en e dimensiones a, b muy t grandes, es necesario algunas veces, y casi siempre conveniente, subdividirla en paneles o cuadros medi ante perfiles que constituyan rigidizadores verticales y también horizontales. En las aplicaciones más sencillas y siempre que los rigidizadores sean suficientemente robustos y rígidos, en primera aproximación se puede admitir que el panel se sustituye por tantos nuevos paneles como resulten de las dimensiones de la.rigidización y encuadrados por los nervios horizontales y verticales adyacentes. Para dimensionar los rigidizadores verticales u horizontales, un primer cálculo de comprobación puede realizarse considerándolos como barras independientes, articuladas en los extremos y sometidas a flexocompresión, considerando cooperante una franja de'· chapa igµal a m · s ( m veces del espesor), estando m comprendido entre

\

20 1.781Kg / cm 2

La tensión crítica de abolladura, para esfuerzos tangenciales solamente de acuerdo con la tabla Para:

O-¡

< 3 .750Kg / cm 2 K T;

por lo tanto, resulta:

T

V¡

= 1,4

= 5 34 + 4,00 = 5 >

a

2

>

T

= 4 84,:n Kg / cm 2

34 +

1H

a> 1

4,00 = 5 92 (2,63)1. '

= K r • a e = 5,92 · 339,2 = 2.008 /(g / cm 2 r 1 = 2.008Kg / cm 2 < 2.880.Kg / en/

Ahora podemos calculnr la tensión ideal de rnnfr ontación:

�o-{ + 3·. /

� ) ;r . {;;., +

t

º

;{ 1(:�J' + ( /oJ

-

1

O'¡

=

2 .J993 + 3. 4852

2 2· · 85 3 - 0, 5 993. 1 + 0,5 ·. 993 4 ----+ ( ) )· ( 5 ,2 5 · 339 4 _4. ·5,25·339 + 5,92,339

En la tabla II (e), interp olando tenemos para, a;= 2.055Kg / cm 2 ; Cf;; 1

·. i( /� ·2· � 2.oss g m

..

= 2.012.Kg / cm 2

El coeficiente d� seguridad, será:

a; = 2.055 = 1,58 2 2 85 +3•4 +3•r .J993

v. =

�(J't

I

/

como vemos 1,58 > 1,4 por lo que, VERIFICA Veamos el siguiente ejemplo extractado de Zignoli:

EJEMPLON º 2 Sea una viga, de estructura soldada, como muestra la figura, dotada de una serie de rigidizadores transversales equidistantes a.2.000mm. Los paneles comprendidos entre los dos cor.dones y dos rigidizadores verticales consecutivos tienen las dimensiones tomadas prudentemente por exceso, b ·= 2.500mm . Los demás · · · ·· datos en el dibujo adjunto. [n

1· 6

i1

.tíoor 213, de acuerdo con la tabla l, el coeficiente de colapso

La tensión crítica no1mal de abolladura, para esfuerzos nonnales solamente:

La tensión crítica de· abolladura, para esfuerzos tangenciales solamente de acuerdo con la tabla IIT Para: a, l

== 8 58 '

= 8,58 · 58,6 = 503,16Kg / cm 2

Ahora podemos calcular la tensión ideal de confrontación:

(-�-=-1// �-J2 (-!.-)2

+3·i�ª� +3·-ia-, = --------'----------- = --------;:=========== 2

1 + 1/f

O"¡

---··-·--+ 4 O-e,

cr,

�O"�

(3�1f 0'1 )2 (

+

4

a c,

2

-4-J(C,cYC

r e,.

+

r

KTo-C

)2

= 1.218,SKg / cm 2 < a P = 1.920Kg I cm 2

El coeficiente de seguridad, será:

v,

=

a,

·=

�a} + 3. r

1.218, 80 2

�1.352 + 3 ·

_____

= 12

48�7 '

·,

,._.

_ _..,..,_

····• .. ·-·

.. . . . .·.·.......·.. ·.. . • .'

. •.• .. ;. : . :· .• •. )> )) ))

))

op=2880 2899 2874 3077 3149 3203 3248 3284 3313 3348 3359 3368 3394 3420 3456 3469 3484 3506 · 3532 3574 3600

2

..

2,50 2,19 2 50' 2,19 2,,50 2,19 2,50 2, 19 2,50 2,19 2,50 2,19 2,50 2,19 2,50 2,19 2,50 2,19 2,50 2, 19 2,50 2, 19 2,50 2,19 2,62 2,28 2,6'í- � 2,31 2,63 2,31 2,62 2,30 2,61 2,28 2,59 2,27 2,57 2,25 2,53 2,62 2;49 2,18 2,48 2, 17 2,45 2, 14 2,43 2,13 2,39 2,092,33 2,04 2,30 2,01 2,25 1,97 2,21 1.93 2, 17 1,90 2,09 1,83 1,91 1,67 1, 71 1,50

Los valores de v ck esta tabla sirven para el cálculo de Vi tn caso de que haya que usar a¡¡ en lugar de a¡. af' es el limite de proporcionnlidad para el que a.¡ = rr 11 , en la que a F y , son las tensiones máximns de compresión y flcxJón, ve es éi coeficiente de seguridad tomndo para· el pandeo de la pieza C!l su conjunto . __ . __ ... v ºes d coeficiente de s1�gurícfiid 1\ la ¡¡bolladura de pic:r.ns solié1tnifu s a flexión simpk (1,35 ó 1,20 rc�rcctivamcntc).

. .....

.

·.

Gráfico (b)

-----------=-=-==-=-::::.-=-========================, b)

VALORES DEL COEFICIENTE DE ROTURA k EN FUNCION DE

20

19 05

_.,¿

.,

·-o

11/

15

!Jj

'ü

17iJ.:!... 70

' 9,'l9 7 6'1 6,Y6 5 60 'í9Y

s

1·

l/,Y2 'l,OO

O ,.________.______._____�-------'------' 0,2

o,-,

O,li.

0,8

1,o

1,2

N.B.-En cstns notaciones, a es la nnchurn y b la altura del panel, pnrn cvitnr cquívocos con h nlturn del nlmn completa. Sí no huy rl r, idi­ rndor t'!J horlzontnlos b .,, h . ... ......... -·. ·- .... ·- ... �.... ,,' •... • ............ _::;.:;.:.,.,...:.. ... -.-

•

•

. •. ... ,.,! • ._.. ,· .._.. .

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•

. · .· · :-.•...•.. •-.: ... :.. ... : . . ..

.. · .. :

..·...· • ..

.. :-...

.··.,

--···-·

Tabia IV 1 d ,) VALORES MAXIMOS DE LA RELACION b/s CALCULADOS CON EL COEFICIENTE DE SEGURIDAD V= 1, i PARA ACEROS TIPOS l Y 2 EN. FUNCION DE a= a/b, DE 01 Y DE, EN kg/mm 2

i

a 2 Para a: = - < b 3 e ,=kg/mm' a,

o

o

-

0-6

230

12-16

140

20-24

90

6-12

16-20

160

120

' 240

200

r-;":. M

b/.i·

170 160

150. 140 130

120

-

!JO

110

-

ci ....

d1 )

.;, ci

. -

1/")

....

140

130

120

SEGUN L,\

--

- - - -

Y NORMAS ITALIANAS DE

2 a Para a: = - fra - e 1 3 b e , in kg/mm1

V

100

D(N

o

-

230

160

140 90

l '20

1/")

M

6

!90

170

140 !JO

120

-

r-;":. M

b/s

130

130

120

110

100

-

....'"j'

V,

o·

110

100

100

-

o

0-0,6

0,6-1,2

b/s

--

260

190

180

170

150

250

220

180

1,2-1,6

150

150

140

2,0-2,4

120

--

--·

,.�-7.,0

140

130

DO

150

150

140

130

-

- - -- -

b/s

140

17.0

Jl!O

160

140 JJO

l JO

)40

130

250 150

120

190

140

-

120

120

-

120

..

Para

Para ex = - fra 1 e 2 b e T in kg/mm1

-

ci

V

'

1/")

80

-

-

- - -

200

-

1963

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o

.

-

230

160

l40

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-� 2 ) Sl!GUN LAS NOltMAS ITALIANAS DI! 01

-

100

-- - -

- -

-

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o

150 140 130

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-

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M

r--

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110

110

100

90

90

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ci V

-

- 120 100 - - 110 - - - -

1972 180

170

150

150

140

110

-

140

,A r--

130

b/s

130

100

120

100

120

100

90

-

- - -110 - - 110

230

IGO

a:= ....;

o

140

130 120

140

120

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-·

120

fra 2 e

e .- in kg/mm' 1/")

1

a

110

-¡;

.;,_

M

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100

lOO 90

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100

150

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-·-

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