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• Victor Ponce Guizabalo

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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA Practica: Problemas de Optimización e Integral Doble Matemática III-Ciclo: I-2014 Facultad: Informática y Sistemas

OPTIMIZACION 1.- Suponga que (1,1) es un punto crítico de la función f, que tiene segundas derivadas continuas. En cada caso ¿Qué se puede decir acerca de f? a) f xx (1,1) = 4 , f xy (1,1) = 1 , f yy (1,1) = 2 f yy (1,1) = 2 b) f xx (1,1) = 4 , f xy (1,1) = 3 , c) Sea (x0, y0) un punto crítico de la función f(x, y). Determinar si hay un máximo o mínimo relativo, un punto de silla o si la información es insuficiente, conocidos los datos que se indican en cada uno de los siguientes casos: i ) f xx ( x 0 , y 0 ) = 9; f yy ( x 0 , y 0 ) = 4; f xy ( x 0 , y 0 ) = 6

ii ) f xx ( x0 , y 0 ) = −3; f yy ( x0 , y 0 ) = −8; f xy ( x0 , y 0 ) = 2 iii ) f xx ( x 0 , y 0 ) = −9; f yy ( x 0 , y 0 ) = 6; f xy ( x 0 , y 0 ) = 10

2.- Encuentre los extremos relativos ó puntos de ensilladura de las funciones a ) f ( x, y ) = x 3 y + 12 x 2 − 8 y b ) f ( x, y ) = x 2 + y 2 + x 2 y + 4 c) f ( x, y ) = 1 + 2 xy − x 2 − y 2 d ) f ( x, y ) = 2 x 3 + xy 2 + 5 x 2 + y 2 e) f ( x, y ) = 9 − 2 x + 4 y − x 2 − 4 y 2 f ) f ( x, y ) = e x cos y

x2 y2 x 2 y 2 − 8x + y − h ) f ( x , y ) = xy a2 b2 3.- Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de f del conjunto S a) f(x,y) = 3x + 4y ; S = { (x,y) / 0 ≤ x ≤ 1 ; -1 ≤ y ≤ 1 } b) f ( x, y ) = x 2 + y 2 ; S = { (x,y) / -1 ≤ x ≤ 3 ; -1 ≤ y ≤ 4 } c) f ( x, y ) = x 2 − 6 x + y 2 − 8 y + 7 ; S = { (x,y) / x 2 + y 2 ≤ 1 } d) f(x,y) = 5 – 3x + 4y ; S es la región triangular cerrada con vértices (0,0) , (4,0) y (4,5) f) f(x,y) = x2 + y2 + x2y + 4 ; S = {( x, y ) / x ≤ 1, y ≤ 1} g ) f ( x, y ) = xy 1 −

d) f ( x, y ) = x 2 + 2 xy + 3 y 2 , S es la región triangular de vértices (-1,1), (2,1),(-1,-2) e) f(x,y) = 1 + xy –x – y , S es la región acotada por la parábola y = x2 y la recta y = 4 4.- Encuentre la distancia más corta del punto (2,-2,3) al plano 6x + 4y – 3z = 2 5.- Determine el menor y mayor valor de la función z = 1 − x 2 − y 2 en el circulo

( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 ≤ 1 6.- Encuentre tres números positivos cuya suma sea 100 y cuyo producto sea mínimo 7.- Un tanque metálico rectangular sin tapa debe contener 256 pies cúbicos de líquido. ¿Cuáles son las dimensiones del tanque que requiere menos material para su construcción? 8.- Un disco circular tiene la forma de la región acotada por la circunferencia x 2 + y 2 = 1 ; si T grados es la temperatura de cualquier punto (x,y) del disco y T = 2 x 2 + y 2 − y encontrar los puntos más calientes y más fríos en el disco 9.- Una caja de cartón sin tapa debe tener un volumen de 32 000 cm3 .Encuentre las dimensiones que haga mínima la cantidad de cartón utilizado.

10.- La base de una pecera con volumen dado V está hecha de pizarra y, los lados, de vidrio. Si la pizarra cuesta 5 veces (por unidad de área) más que el vidrio, encuentre las dimensiones de la pecera que reduzca al mínimo el costo de los materiales. 11.- En relación a un sistema de coordenadas cartesianas, una persona está en el origen, se encuentra en el interior de una plaza, cuyo contorno tiene por ecuación 6 x 2 + 3 y 2 + 4 xy = 140 ; la persona quiere salir de la plaza y caminar lo menos posible ¿A cuál punto se debe dirigir? 12.- ¿Para cuales valores de k está garantizado que mediante el criterio del Hessiano que f ( x, y ) = x 2 + kxy + y 2 ?, tendrá a) En (0,0) un punto silla b) En (0,0) un mínimo local 13.- Utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximos y mínimos de las funciones sujeto a las restricciones dadas a ) f ( x, y ) = x 2 − y 2 ; x 2 + y 2 = 1 b) f ( x, y ) = 4 x + 6 y; x 2 + y 2 = 13 c ) f ( x, y ) = x 2 y; x 2 + 2 y 2 = 6

d ) f ( x, y, z ) = 2 x + 6 y + 10 z; x 2 + y 2 + z 2 = 35 e) f ( x, y ) = 8 x 2 − 24 xy + y 2 ; x 2 + y 2 = 1 f ) f ( x, y ) = x 2 + y 2 ; x 4 + y 4 = 1 g ) f ( x, y, z ) = 2 x + 6 y + 10 z; x 2 + y 2 + z 2 = 35 1 1 1 1 1 h) z = + ; 2 + 2 = x y x a y 14.- El plano x + y + 2z = 2, interseca al paraboloide z = x 2 + y 2 en una elipse, encuentre los puntos en esta elipse que están más lejos y más cerca del origen 15.- ¿Qué punto de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 se encuentra más alejado de (1,-1,1)? 16.- Encuentre el máximo valor de la función f(x,,y,z) = x + 2y +3z en la curva de intersección del plano x – y + z = 1 y el cilindro x 2 + y 2 = 1 17.- La temperatura en grados centígrados en cualquier punto de la región limitada por las rectas x = 0, y = 0, x + y =3. Esta dada por f ( x, y ) = 8 x 2 + 4 xy + 5 y 2 − 4 x − 8 y , determine la máxima y mínima temperatura en la región incluida las líneas fronteras. 18.- Un tanque metálico rectangular sin tapa debe contener 256 pies cúbicos de líquido ¿Cuáles son las dimensiones del tanque que requieren menos material para su construcción? 19.- Determine la máxima utilidad empresarial si la función de producción es z = 10 – 2x2 + xy – x + 5y. Los precios de los insumos x e y son iguales a 3 para cada uno de ellos y el precio unitario del producto z es 6. 20.- Demostrar que todo plano tangente al cono ( z − 1) = x 2 + ( y − 7) 2 , pasa por el punto (0, 7,1). 21.- Una partícula viaja con una velocidad constante 3i + 4j – k ; pasa por (0,1,1) y después choca con la superficie z = -x + 6x – 9; la partícula rebota, con un ángulo de reflexión igual al ángulo de incidencia suponiendo que no pierde rapidez (celeridad) ¿Cuál es la velocidad de la partícula después del rebote? 22.- Probar que f : R 2 → R , dada por f ( x, y ) = 5 xe y − x 5 − e5 y , tiene solo un punto crítico, el cual es máximo local pero no un máximo absoluto 23.- (a) Probar que el valor máximo de x2 y2 z2 sobre la esfera x2 + y2 + z2 = r2 es r2 ( )3 3

(b) Usar la parte (a) para demostrar que los números no negativos x,y,z se cumple x+ y+z ( xyz )1/3 ≤ 3 24.- Mostrar que de todos los triángulos con perímetro dado, el triángulo equilátero posee área máxima. Sugerencia: usar la fórmula de Herón para el lado del triángulo de a+b+c lados a, b, c. S = p ( p − a )( p − b)( p − c ); donde p = 3 25.- Dentro de un triángulo existe, un punto p, tal que la suma de los cuadrados de sus distancias a los de dicho triangulo es mínima. Hallar dicho mínimo ax bz cy Sugerencia: Minimizar x2 + y2 + z2, con la condición + + = A (A es el área) 2 2 2 26.- En una planta procesadora, cierto distribuidor de un concentrado de jugo de una fruta tropical de la zona de Tingo María desea minimizar los costos de los envases cilíndricos en los que se expende el concentrado, el metal de la tapa y el fondo cuesta 0.2 ctvs /pulg pulg. Mientras que la parte lateral de cartón cuesta 0.1 ctvs / pulg pulg. . Si el envase debe contener 27π/2 pulg pulg pulg ¿Qué dimensiones debe tener el cilindro para minimizar el costo de los materiales. 27.- Una compañía produce artículos A, B, C y D cuyas utilidades por unidad son s/. 10, S/.20, s/. 30. y s/.20. La disponibilidad de mano de obra y las materias primas restringen el monto de la producción. De tal forma que si a, b, c y d es el número de unidades producidas por A, B, C y D, se cumple entonces la relación a 2 + 2b 2 + 4c 2 + 3d 2 = 22100 , maximizar las utilidades de la compañía 28. Sea N el número de alumnos matriculados en una universidad, p el coste de mantenimiento y t el coste de la matrícula. Supongamos que N es una función de p y de ∂N ∂N t tal que 0, b > 0 y D :

x2 y2 + =1 a2 b2

y−x

30.- Calcular

y+ x ∫∫ e dxdy , D es limitado por x + y = 2 y los ejes coordenados D

Rpta. e − e −1 31.- Calcular ∫∫ e x + 2 y dxdy , Des limitado por x + 2y = 4, x – 2y = 0 y el eje X D

32.- Evalúese

1 / 2 1− y

∫ ∫ 0

y

x 2 − y 2 dxdy

Por medio de la transformación (x,y) = (u – uv , uv) 33.- Evalúese

∫∫ 1

x

0 0

x 2 + y 2 dydx ; por medio de la transformación (x,y) = (u, uv)

34.- Hallar el área de la región limitada por las líneas x 2 + y 2 = 2 x , x 2 + y 2 = 4 x y = x , y = 0. 35.- Hallar el área limitada por las curvas y 2 = 4ax + 4a 2 , x + y = 2a (a > 0) . 8a 3 36.- Hallar el área limitada por las curvas y = 2 , x = 2y, x = 0 (a > 0) x + 4a 2 37.- Encontrar el volumen del sólido del primer octante bajo el paraboloide z = x 2 + y 2 y dentro del cilindro x 2 + y 2 = 9 39.- Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XY la superficie z = ae −( x

2 + y2 )

y el cilindro, x 2 + y 2 = R 2

2

Rpta. a (1 − e − R )u 3

40.- Encontrar el volumen del sólido limitado superiormente por el cono

z = a − x 2 + y 2 , e inferiormente por el plano XY y lateralmente por el cilindro a3 (9 − 16)u 3 36 41. Calcular las áreas interceptadas por las curvas: a )  = 2a,  = 4a cos  , a > 0 b)  = 2,  = 2(1 + cos  ) , e interior al primer cuadrante

x 2 + y 2 = ax .

Rpta.

c) (x 2 + y 2 ) 2 = xy , e interior al primer cuadrante 42. Calcular los volúmenes de los sólidos limitados por: y2 a ) x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 2, z ( + x 2 ) = 1, z = 0 2 2 2 2 2 b) 3x + y = 72 z , 2x + y = 24(2 − z ) x2 y2 + = z , (p, q > 0); x 2 + y 2 = a 2 2 p 2q 2 d ) z = x + y 2 , z = 2(x 2 + y 2 ); xy = a 2 ; xy = 2a 2 ; x = 2 y; y = 2 x; x > 0, y > 0

c) z = 0,

e) y 2 + z 2 = −2( x − 1); z 2 + y 2 = 2( x + 1) f) interior al cilindro x 2 + y 2 = 2 x ; y comprendido entre los planos z = x , z = 2x g) interior al cilindro x 2 + y 2 = 2 x ; y limitado por el plano z = 0 y la superficie de ecuación z=

xy 2 x2 + y2

Profesor: Portilla Sandoval