• Author / Uploaded
• rommer afanador

• Categories
• Integral
• Masa
• Centro de masa
• Doblar
• Geometria plana)

Citation preview

Lcda. Mercedes Alcalá V Semestre Mecánica QUINTA GUIA UNIDAD IV: INTEGRALES MULTIPLES. (Cont.) APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE AL CÁLCULO DE VOLÚMENES Volumen Así como se interpreta geométricamente la integral de una función de una variable en términos del área de una región plana, la integral doble puede interpretarse geométricamente en términos del volumen de un sólido tridimensional. Suponga que la función es continua en una región cerrada R. Puede utilizarse una integral doble para calcular el volumen de una región sólida ( )y el plano. comprendida entre la superficie dada por Volumen de una región sólida ) ) en R, el Si es integrable sobre una región plana R y ( para todo ( volumen de la región sólida acotada interiormente por R y superiormente por la gráfica de se define como ∬ (

)

Ejemplo 1: calcular el volumen de la región sólida R acotada por la superficie ( y los planos Solución: graficamos la función y resolvemos usando el orden de integración

1

)

∫∫

∫

]

∫

[

]

(

)

(

)

Ejemplo 2: calcular el volumen de la región sólida limitada por el paraboloide y el plano . Solución: la gráfica del paraboloide es

Si hacemos la base de la región en el plano indica en la figura que sigue

2

es la elipse

, como se

Esta región plana es horizontal y verticalmente simple, por lo que el orden de integración adecuado es . Luego el volumen viene dado por √

∫ (

∫

)

∫[

]

∫( √

√

√(

) )

√

)

√ √

√

(

[

√

(

)

)√

∫(

)√ √

)

√(

)] √

)√

⁄

[

√

(

∫[

∫(

√

⁄

√

√

∫(

⁄

√

] ]

√

(

(

√

√

Ejemplo 3: hallar el volumen de la región sólida R acotada superiormente por el paraboloide e inferiormente por el plano . Solución: graficamos la región R dada por el paraboloide y el plano:

3

))

Igualando los valores de vemos que la intersección de las dos superficies se produce en el cilindro circular recto dado por , de donde

El volumen de R es la diferencia entre el volumen bajo el paraboloide y el volumen bajo el plano √

√

∫ (

∫

)

∫ (

∫

√

√

)

∫ (

∫

√

)

√

√

)

∫ [(

] √

∫(

)

( ) ( ) ∫[ [

⁄

( ( (

) ] )

⁄

)√

(

)

(

Problemas propuestos: 1. Determínese el volumen del prisma cuya base es el triángulo del plano eje y las rectas y , y cuya cara superior está en el plano . 2. Calcúlese ∬ 3. 4. 5. 6.

donde A es el triángulo del plano

)]

(

)

y acotado por el ( )

acotado por el eje , la recta

y la recta . Un sólido está limitado por la superficie , el plano , y los planos y . Calcule su volumen por doble integración. Usar una integral doble para determinar el volumen del sólido acotado por la gráfica de ecuaciones . Usar una integral doble para determinar el volumen del sólido acotado por la gráfica de ecuaciones en el primer octante. Usar una integral doble para determinar el volumen del sólido acotado por la gráfica de ecuaciones en el primer octante. 4

APLICACIONES FÍSICAS DE LA INTEGRAL DOBLE Centros de masa y momentos de inercia Con las integrales dobles se puede determinar el centro de masa de una lámina homogénea o no homogénea. Si la lámina correspondiente a la región R de la figura tiene densidad constante ρ, su masa viene dada por ∬

∬

Ejercicios para resolver: 1. Hallar la masa de la lámina triangular de vértices (0,0), (0,3) y (2,3), si su densidad en ( ) es ( ) . Resp.- 10 2. Hallar la masa de la lámina correspondiente a la porción del primer cuadrante del ) es proporcional a la distancia del círculo si la densidad en el punto ( punto al origen.

Resp.-

Centro de masa de una lámina (barra o placa) Si la barra o la placa se apoyan horizontalmente sobre su centro de masa, estas se mantienen en equilibrio. Por esta razón, al centro de masa se le llama también centro de gravedad. El centro de masa de una placa de masa uniforme, de forma circular o rectangular, coincide con el centro de dichas figuras. Conocer el centro de masas de una lámina es útil en muy diversas aplicaciones, porque permite tratar la lámina como si toda su masa estuviera concentrada en ese punto. El centro de masa es el punto de equilibrio de la lámina. Para calcular el centro de masas se hace necesario el cálculo de los momentos . Primeros momentos Es el momento de masa de una lámina con respecto a un eje. Si el elemento representativo de masa de una masa distribuida continuamente sobre alguna región R del plano se toma como ( ) ( ) 5

( ) es la densidad en el punto ( ) de R, entonces puede utilizarse una Donde integral doble para calcular ) a) El primer momento de la masa respecto al eje : ∬ ( ) b) El primer momento respecto al eje ∬ ( c) Centro de masa:

( ̅ ̅)

(

)

Segundos momentos o momentos de inercia: El momento de inercia es una medición de la resistencia al cambio en el movimiento de rotación. Se obtiene utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias del “brazo de palanca”. El momento de inercia de un eje grande es lo que dificulta el inicio de su movimiento de rotación. Además de su importancia en relación con la energía cinética de los cuerpos en rotación, el momento de inercia desempeña un papel muy importante en la teoría de la flexión de vigas sometidas a carga transversal, cuyo “coeficiente o factor de rigidez” viene dado por EI, donde E es el módulo de Young, e I, es el momento de inercia de una sección transversal de la viga respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de gravedad. A mayor valor de I, más resistente será la viga y menor su flexión. a) Momento de inercia respecto al eje : ∬ b) Momento de inercia respecto al eje : ∬ c) Momento polar de inercia respecto al origen: ∬

(

)

( (

) ) ) (

∬(

)

, es el cuadrado de la distancia desde el origen al punto representativo ( elemento de masa .

) del

Radio de giro: El radio de giro de una lámina con respecto a un eje es la distancia desde ese eje a un punto de la lámina en el que puede ser concentrada su masa sin afectar su momento de inercia con respecto al eje. El radio de giro proporciona la distancia del eje donde podría concentrarse la masa para dar . Significa una útil expresión del momento de inercia de la masa de un cuerpo en función de la masa y una longitud. Lo denotaremos por .

√

Los radios de giro de una masa

√

respecto al eje y 6

y al origen son:

√

NOTA: en todas las integrales, los límites de integración son los mismos que si se tratara de calcular únicamente el área de R. Las figuras geométricas en el plano se considerarán como objetos de densidad constante . Los momentos de dichas figuras se llaman momentos de área, y el centro de masa se denomina centroide de la figura. Los cuerpos físicos tienen, pues, centros de masa (o centros de gravedad), mientras que las figuras geométrica tienen centroides. Ejemplo 4: determínese el centro de masa de una lámina que tiene la forma de una región rectangular limitada por las rectas y y los ejes coordenados. La densidad superficial en cualquier punto es . Calcule además los momentos de inercia y los radios de giro. Solución: para determinar el centro de masa utilizamos la ecuación

( ̅ ̅)

Para aplicar esta fórmula debemos calcular Cálculo de

: ∬ (

)

∫∫

∫(

Cálculo de

∬

)

∫

∫

]

]

]

:

∬

Cálculo de

∫

(

)

∫∫

(

)

∫∫

∫

]

:

Luego el centro de masa es

∫ (

)

(

]

]

∫

)

Cálculo de los momentos de inercia: ∬

(

)

∫∫

∫

∫∫

]

7

∫

]

(

)

∬

(

) ∫∫

∫∫

∫

]

∫

]

Cálculo de los radios de giro: √

√

√

√

√

√

⁄

√

√ √

√ ⁄

√

√

Ejemplo 5: una placa delgada de espesor uniforme (constante) y densidad , cubre la región del plano mostrada en la figura. Determinar el centro de masa, los momentos inerciales y los radios de giro.

( ̅ ̅) ( Solución: el centro de masa viene dada por la fórmula ). Para determinar su valor debemos calcular primero la masa de la placa tomando los límites de integración como si se tratase del cálculo de un área, y luego calculamos los primeros momentos, así: Cálculo de la masa:

8

∫ ]

∫∫

)

∫(

[

]

(

)

Cálculo de los primeros momentos: ∫∫

∫

]

)

∫(

∫∫

∫

∫ (

[

]

(

∫(

)

[

)

(

)

]

)

(

Luego el centro de masa es:

)

(

⁄

⁄

⁄

⁄

)

]

(

(

)

(

)

)

Cálculo de los momentos inerciales o segundos momentos: (

∬

)

∫∫ )

∫( ∬

(

∫ [

] ]

(

)

(

)

) ∫∫ ]

∫ ∫ ∫(

(

) )

[

]

Ahora 9

(

)

(

)

(

)

Cálculo de los radios de giro:

√

√

⁄ ⁄

√

;

√

√

⁄ ⁄

√ ;

√

⁄ ⁄

√

Ejercicios propuestos: En los ejercicios 1-4, calcule la masa y el centro de masa de la lámina si se considera la densidad superficial como se indica. La masa se mide en kilogramos y la distancia en metros. 1. Una lámina tiene la forma de una región rectangular acotada por las rectas y y ) kilogramos los ejes coordenados. La densidad superficial en cualquier punto es ( por metro cuadrado. 2. Una lámina tiene la forma de una región triangular cuyos lados son los segmentos de los ejes coordenados y la recta . La densidad superficial en cualquier punto es kilogramos por metro cuadrado. 3. Una lámina tiene la forma de la región del primer cuadrante limitada por la parábola ) , la recta y el eje . La densidad superficial en cualquier punto es ( kilogramos por metro cuadrado. 4. Una lámina tiene la forma de la región limitada por la curva , la recta y los ejes coordenados. La densidad superficial varía como la distancia desde el eje . 5. Hállese el centro de masa, los primeros y segundos momentos, al igual que los radios de giro de una placa delgada de densidad uniforme acotada por . 6. Una placa delgada acotada por y tiene una densidad variable dada ) por ( (k constante). Hállese la masa de la placa. 7. Hállese el primer momento respecto al eje Y de una placa delgada de densidad uniforme acotada por . 8. Determínese el centro de masa de una placa delgada acotada por y el eje ) , si ( .

10