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• Santiago A. Ruiz Vasquez

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Integral doble en coordenadas polares

Contenido 1. Coordenadas polares 2. Grafica de ecuaciones polares 3. Regiones en coordenadas polares 4. Integrales dobles en coordenadas polares

Coordenadas polares 𝑦 𝑷(𝒓, 𝜽)

𝑷(𝒂, 𝒃) 𝜽

b a

Sistema de coordenadas rectangulares

𝑥

𝑶

(eje polar)

(polo)

Sistema de coordenadas polares

Coordenadas polares Relación entre coordenadas polares y rectangulares coordenadas polares a rectangulares

𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃

coordenadas rectangulares a polares

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑦 tan 𝜃 = 𝑥

Coordenadas polares Ejemplo 1. Polar a rectangular. Convierta las coordenadas polares (2, 𝜋 6) en coordenadas rectangulares. Ejemplo 2. Rectangular a polar. Convierta las coordenadas rectangulares (−1, 1) en coordenadas polares. Ejemplo 3. Ecuación rectangular en ecuación polar. Encuentre la ecuación polar del círculo 𝑥 2 + 𝑦 2 = 8𝑥 Ejemplo 4. Ecuación rectangular en ecuación polar. Encuentre la ecuación polar de la parábola 𝑥 2 = 8(2 − 𝑦) Ejemplo 5. Ecuación polar en ecuación rectangular. Encuentre una ecuación rectangular de la ecuación polar 𝑟 2 = 9 cos 2𝜃

Gráficas de ecuaciones polares La gráfica de una ecuación polar 𝒓 = 𝒇(𝜽) es el conjunto de puntos 𝑃 cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique 𝑟 = 1 − cos 𝜃 Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝜽 r

Gráficas de ecuaciones polares La gráfica de una ecuación polar 𝒓 = 𝒇(𝜽) es el conjunto de puntos 𝑃 cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique 𝑟 = 1 − cos 𝜃 Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝜽 r

0

Gráficas de ecuaciones polares La gráfica de una ecuación polar 𝒓 = 𝒇(𝜽) es el conjunto de puntos 𝑃 cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique 𝑟 = 1 − cos 𝜃 Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝜽

0

r

0

Gráficas de ecuaciones polares La gráfica de una ecuación polar 𝒓 = 𝒇(𝜽) es el conjunto de puntos 𝑃 cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique 𝑟 = 1 − cos 𝜃 Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝜽

0

r

0

𝝅 𝟒

Gráficas de ecuaciones polares La gráfica de una ecuación polar 𝒓 = 𝒇(𝜽) es el conjunto de puntos 𝑃 cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique 𝑟 = 1 − cos 𝜃 Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝜽

0

𝝅 𝟒

r

0

0.29

Gráficas de ecuaciones polares La gráfica de una ecuación polar 𝒓 = 𝒇(𝜽) es el conjunto de puntos 𝑃 cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique 𝑟 = 1 − cos 𝜃 Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝜽

0

𝝅 𝟒

r

0

0.29

𝝅 𝟐

Gráficas de ecuaciones polares La gráfica de una ecuación polar 𝒓 = 𝒇(𝜽) es el conjunto de puntos 𝑃 cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique 𝑟 = 1 − cos 𝜃 Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝜽

0

𝝅 𝟒

𝝅 𝟐

r

0

0.29

1

Gráficas de ecuaciones polares La gráfica de una ecuación polar 𝒓 = 𝒇(𝜽) es el conjunto de puntos 𝑃 cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique 𝑟 = 1 − cos 𝜃 Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝜽

0

𝝅 𝟒

𝝅 𝟐

r

0

0.29

1

𝟑𝝅 𝟒

Gráficas de ecuaciones polares La gráfica de una ecuación polar 𝒓 = 𝒇(𝜽) es el conjunto de puntos 𝑃 cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique 𝑟 = 1 − cos 𝜃 Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝜽

0

𝝅 𝟒

𝝅 𝟐

𝟑𝝅 𝟒

r

0

0.29

1

1.71

Gráficas de ecuaciones polares La gráfica de una ecuación polar 𝒓 = 𝒇(𝜽) es el conjunto de puntos 𝑃 cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique 𝑟 = 1 − cos 𝜃 Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝜽

0

𝝅 𝟒

𝝅 𝟐

𝟑𝝅 𝟒

𝝅

5𝝅 𝟒 𝟑𝝅 𝟐 𝟕𝝅 𝟒

r

0

0.29

1

1.71

2

1.71

1

0.29

𝟐𝝅 0

Gráficas de ecuaciones polares Grafica de 𝒓 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝜽

0

𝝅 𝟒

𝝅 𝟐

𝟑𝝅 𝟒

𝝅

5𝝅 𝟒 𝟑𝝅 𝟐 𝟕𝝅 𝟒

r

0

0.29

1

1.71

2

1.71

1

0.29

𝟐𝝅 0

Gráficas de ecuaciones polares Cardioides

Gráficas de ecuaciones polares Curvas de las rosas. Las graficas de 𝑟 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 y 𝑟 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 con 𝑛 ≥ 2 se denominan curvas de las rosas. Si 𝑛 es par tiene 2𝑛 pétalos y si 𝑛 es impar tiene 𝑛 pétalos. 𝒓 = 𝒂 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝜽

𝒓 = 𝟓 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽

Gráficas de ecuaciones polares Círculos con centros sobre un eje.

Gráficas de ecuaciones polares Lemniscatas.

𝒂

Gráficas de ecuaciones polares Limacones. 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 y 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃

Regiones en coordenadas polares Región r-simple.

𝑔1 (𝜃) ≤ 𝑟 ≤ 𝑔2 (𝜃) 𝑅= 𝛼≤𝜃≤𝛽

Regiones en coordenadas polares Ejemplo, región r-simple. 𝜋 𝜃= 6

0 ≤ 𝑟 ≤ 3cos 3𝜃 𝜋 𝜋 𝑅= − ≤𝜃≤ 6 6 𝜋 𝜃=− 6

Regiones en coordenadas polares Región 𝜽-simple.

𝑟1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2 𝑅= ℎ1 (𝑟) ≤ 𝜃 ≤ ℎ2 (𝑟)

Regiones en coordenadas polares Ejemplo, región 𝜽-simple.

1≤𝑟≤2 𝜋 𝑅= 0≤𝜃≤ 3𝑟 𝜃=0

Regiones en coordenadas polares Ejemplo 1. Exprese la región 𝑅 en coordenadas polares. 𝜋 = 4 𝜋 = 6

=4 =2

𝑟1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2 𝑅= 𝜃1 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃2

2≤𝑟≤4 𝜋 𝑅= 𝜋 ≤𝜃≤ 6 4

Regiones en coordenadas polares Ejemplo 2. Exprese la región 𝑅 en coordenadas polares.

0≤𝑟≤2 𝜋 𝑅= 0≤𝜃≤ 2

Regiones en coordenadas polares Ejemplo 3. Describa la siguiente región en coordenadas polares.

1≤𝑟≤3 𝑅= 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

Integrales dobles en coordenadas polares Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y pétalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen 𝑥 2 + 𝑦 2 .

Integrales dobles en coordenadas polares El área de la base del sólido ∆𝐴𝑖 = 𝑟𝑖 ∆𝑟𝑖 ∆𝜃𝑖

El altura del pequeño sólido 𝑓(𝑟𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 , 𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖 ) El volumen del pequeño sólido 𝑓(𝑟𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 , 𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖 )𝑟𝑖 ∆𝑟𝑖 ∆𝜃𝑖 El volumen aproximado del sólido 𝑛

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 ≈ 𝑅

𝑓(𝑟𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 , 𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖 )𝑟𝑖 ∆𝑟𝑖 ∆𝜃𝑖 𝑖=1

Integrales dobles en coordenadas polares El volumen exacto del sólido 𝑛

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = lim 𝑅

𝑛→∞

𝑓(𝑟𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 , 𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖 )𝑟𝑖 ∆𝑟𝑖 ∆𝜃𝑖 𝑖=1

Como 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 y 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃 → 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃), obtenemos la integral doble en coordenadas polares: 𝒏

𝒇 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝜽 , 𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝑨 = 𝐥𝐢𝐦 𝑹

𝒏→∞

𝒇(𝒓𝒊 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 , 𝒓𝒊 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒊 )𝒓𝒊 ∆𝒓𝒊 ∆𝜽𝒊 𝒊=𝟏

Integrales dobles en coordenadas polares Ejemplo 1. Sea 𝑅 la región anular comprendida entre los dos círculos 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 y 𝑥 2 + 𝑦 2 =5. Evaluar la integral

𝑅

𝑥 2 + 𝑦 𝑑𝐴

Integrales dobles en coordenadas polares Ejemplo 2. Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de la región sólida limitada superiormente por el hemisferio 𝑧 = 16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 einferiormente por la región circular 𝑅 dada por 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4

Integrales dobles en coordenadas polares Ejemplo 3. Utilizar una integral doble para hallar el área encerrada por la gráfica de 𝑟 = 3 cos 3𝜃

Integrales dobles en coordenadas polares Ejemplo 4. Hallar el área de la región acotada superiormente por la espiral 𝑟 = 𝜋 3𝜃 e inferiormente por el eje polar, entre 𝑟 = 1 y 𝑟 = 2

Integrales dobles en coordenadas polares Ejercicios 1 a 4. Se muestra la región R para la integral

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 . Decir si serían más convenientes coordenadas rectangulares o polares para evaluar la integral. 𝑅

Integrales dobles en coordenadas polares Ejercicios 5 a 8. Utilizar coordenadas polares para describir la región mostrada. 5.

7.

6.

8.

Integrales dobles en coordenadas polares Ejercicios 9 a 16. Evaluar la integral doble y dibujar la región R. 9.

13.

10.

14.

11.

15.

12.

16.

Integrales dobles en coordenadas polares Ejercicios 17 a 26. Evaluar la integral iterada pasando a coordenadas polares. 17.

22.

18.

23.

19.

24.

20.

25.

21.

26.

Integrales dobles en coordenadas polares Ejercicios 27 a 28. Combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral iterada pasando a coordenadas polares. Evaluar la integral iterada resultante. 27.

28.

Integrales dobles en coordenadas polares Ejercicios 29 a 32. Utilizar coordenadas polares para escribir y evaluar la integral doble 29. 30. 31. 32.

𝑅

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

Integrales dobles en coordenadas polares Ejercicios 33 a 38. Utilizar coordenadas polares para escribir y evaluar la integral doble

𝑅

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

Integrales dobles en coordenadas polares

Integrales dobles en coordenadas polares Ejercicios 42 a 44. Utilizar la integral doble para calcular el área de la región sombreada. 42.

43.

44.

Integrales dobles en coordenadas polares Ejercicios 45 a 47. Utilizar la integral doble para calcular el área de la región sombreada. 45.

46.

47.

Integrales dobles en coordenadas polares Ejercicios 48 a 53. Trazar una gráfica de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones, después, usa la integral doble para encontrar el área de la región. 48. 49. 50.

51. 52.

53.