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• Marlon Romero

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ESTADISTICA DESCRIPTIVA

OPERADOR SUMATORIA INTRODUCCION LA VARIABLE Cuando, producto de una medición u observación de un fenómeno cualquiera obtenemos diferentes valores , llamamos a esos números una variable; y la designamos, en genérico, por una letra, por ejemplo X, o Y, o Z Una variable puede ser las edades de los alumnos de esta clase; una variable puede ser el semestre que estudian; otra variable la estatura; otra, las calificaciones obtenidas en una prueba de conocimientos; otra, el sector de la comunidad donde viven; otra, su género; otra, la opinión que tienen de su profesor. Supongamos que tenemos los siguientes valores de edades de un grupo de doce niños, y llamamos a la edad X, para identificarla de alguna manera, como es conveniente en Estadística. Así, X: 3, 8, 5, 12, 7, 8, 9, 4, 4, 5, 3, 6. En total doce valores. EL ORDENADOR El primero de esos valores es 3, el segundo 8, el tercero 5, el cuarto 12, … y así sucesivamente hasta llegar al décimo primer valor, 6. Es decir, estos valores están ordenados, tienen una posición dada, y para señalar este orden usamos una letra, por ejemplo i ó j y lo llamamos el ordenador; y si nos referimos al quinto valor, decimos i = 5; y, por tanto, Xi=5 = 7. Que se lee: el quinto valor de la variable X es 7. En el ejemplo que nos ocupa, i va desde 1 hasta 12 y si llamamos n al total de valores, en el ejemplo n = 12; de manera que los valores van desde i = 1 hasta i = 12. Y en general, los valores van desde i=1 hasta i = n LA SUMATORIA El llamado operador sumatoria es una convención matemática para sustituir con un solo símbolo, ∑ , la operación de suma de varios valores, estén estos definidos o no. La letra ∑ es una letra griega, sigma mayúscula; la sigma minúscula se escribe: σ. En Estadística es muy usual la suma de varios valores; en verdad, es la operación más usual del cálculo y en definiciones estadísticas. Por lo tanto es de fundamental importancia su estudio. Con el siguiente ejemplo veremos su conveniencia. ING. FABRICIO VITERI M.

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Si nos referimos a la suma de todos los valores del ejemplo de edades, diríamos: “súmense (o, la suma de) los valores de la variable X (edad) desde el primero hasta el doceavo valor”, es decir sería una explicación de las operaciones que se van a hacer. El símbolo sumatoria sirve par expresar lo mismo en forma abreviada y sería : 12

∑ Xi = 3 + 8 + 5 + 12 + 7 + 8 + 9 + 4 + 4 + 5 + 3 + 6 = 74 i=1

Es decir se nota la economía y velocidad de escritura y por tanto comprensión . Si nos referimos a la suma de tan sólo un grupo de ellos, por ejemplo: “súmense los valores de las edades, X, desde el tercero hasta el octavo” 8

Bastaría con: ∑ Xi = 5 + 12 + 7 + 8 + 9 + 4 = 45 i=3

Cuando los valores no están definidos el operador sumatoria es de gran utilidad. No definidos, significa que se supone existen, pero que sus valores reales no se tienen o no son necesarios por el momento. Ejemplo: En un número de, n = 15, familias nos interesa el ingreso monetario mensual; y a ese ingreso lo llamamos Ij; de manera que tendríamos acceso a los valores I1, I2, I3, … , Ij, … , I15. Podríamos referirnos a la suma total de lo percibido por esas familias como: 12

∑ Ij , y que por supuesto es lo mismo que: I1 + I2 + I3 +… + Ij + … + I15, j=1

sólo que el símbolo ∑ es más fácil de escribir que el total de sumandos. En matemáticas y por tanto en Estadística, es usual y conveniente el manejo simbólico de conceptos. Si, por ejemplo, nos referimos, en forma abstracta, a un conjunto de n valores obtenidos o no mediante el recurso de la medición o la observación, y esos valores son distintos entre ellos, llamamos a esos valores como ya hemos dicho, la variable y la designamos con una letra mayúscula, por ejemplo X; la suma de dichos valores sería: X1 + X2 + X3 + X4 + … + Xi + … + Xn-1 + Xn. ING. FABRICIO VITERI M.

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i=n

Pero mejor y de manera más conveniente: ∑ Xi. i=1

Lo cual se lee: sumatoria de los valores de la variable X, desde el primer valor (i = 1), hasta el enésimo valor, n. n

O si se prefiere, conservando tácitamente el ordenador i: ∑ X. 1 "De la destreza con que se maneje este símbolo y lo que significa, dependerá, en mucho, la comprensión de definiciones y métodos estadísticos." Hay varios casos notables en el uso del operador sumatoria que conviene aprenderlos y recordarlos, porque muchas definiciones y manejos en Estadística así lo requieren. Veamos esos casos. Caso I No es más que la definición del operador sumatoria, ∑, de valores de una variable. Vamos a repetirlo una vez más para una variable, digamos Xi: n

∑ Xi = X1 + X2 + X3 + X4 + … + Xi + … + Xn-1 + Xn. 1

Unos ejemplos: si los valores de una variable, digamos Wj, son: 8, 5, 7, 7, 3, 9, 6, 5. (ocho valores en total; es decir, n = 8), Ejemplo 1) 8 ∑ Wj = 8 + 5 + 7 + 7 + 3 + 9 + 6 + 5 = 50 1 Ejemplo 2) 5 ∑ Wj = 8+ 5 + 7 + 7 + 3 = 30 1 Ejemplo 3) 7 ∑ Wj = 7 + 7 + 3 + 9 + 6 = 32 3 ING. FABRICIO VITERI M.

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Ejemplo 4) 8 ∑ Wj = 9 + 6 + 5 = 20 6

Ejercicios propuestos : ( en clases ) 12

a) ∑ Zk = k= 1 6

b) ∑ Zk = k=1 12

c) ∑ Zk = k=6 9

d) ∑ Zk = k=3

Caso II. Sumatoria de un valor constante. En el caso donde el conjunto de n números a obtener o suponer es un valor constante, g, la suma de ellos: n ∑ gi = g1 + g2 + g3 + g 4 + … + gi + … + gn-1 + gn = n g i=1 Es decir, es tomar a la constante n veces. Ejemplo: si tenemos un valor constante k, digamos 6, ocho veces: 8 ∑ ki = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 8 (6) = 48 i=1 Caso III. Sumatoria de un valor constante, digamos k, multiplicado por un valor variable, digamos Xj, n veces: n

∑ k Xj = kX1 + kX2 + kX3 + kX4 + … + kXj + … + kXn-1 + kXn = k(X1 + X2 + X3 + ... j=1 n

+X4 + ...+ Xj + … + Xn) = k∑ Xj j=1

Es decir, la sumatoria de un valor constante multiplicado por valores de una variable es igual a la constante multiplicada por la sumatoria de los valores de la variable. Caso IV. Sumatoria del producto ordenado de dos variables. Si, por ejemplo, los valores ordenados en la variable Xj y la variable Yj fueran: Xj Yj ING. FABRICIO VITERI M.

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3 10 1 8 2 5 5 12 4 9 4 10 La sumatoria de estos productos de los pares ordenados es: 6

∑ XjYj = (3)(10) + (1)(8) + (2)(5) + (5)(12) + (4)(9) + (4)(10) = j=1

= 30 + 8 + 10 + 60 + 36 + 40 = 184 Es de Gran Importancia distinguir entre la sumatoria de los productos de dos variables del producto de la sumatoria de dichas variables, pues son diferentes. Veamos: La sumatoria del producto de las dos variables, en nuestro ejemplo anterior, es: 6

∑ XjYj = 184 j=1

El producto de las sumatorias de los valores de las dos variables, X e Y, es: 6

La sumatoria de Xj: ∑ Xj = 3 + 1 + 2 + 5 + 4 + 4 = 19 j=1 6

La sumatoria de Yj: ∑ Yj = 10 + 8 + 8 + 12 + 9 + 10 = 57 j=1 6

6

El producto de estas sumatorias es: (∑ Xj)(∑ Yj) = (19)(57) = 1.083 i=1

i=1

Este producto de las sumatorias, 1.083, es bastante distinto de la sumatoria de los productos, 184. Caso V. La sumatoria de los cuadrados de n valores de una variable. n

2

2

2

2

2

2

2

Es decir, ∑ Xi = X1 + X2 + X3 + … + Xi + … + Xn-1 + Xn. i=1 Es muy importante resaltar que esta sumatoria de n valores de una variable, elevados al cuadrado, es totalmente diferente a la sumatoria de los valores elevada al cuadrado. Basta el siguiente ejemplo para demostrarlo:

ING. FABRICIO VITERI M.

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Supongamos los valores obtenidos en una medición: 7, 4, 5, 4, 8, 5, 6; la suma de sus cuadrados es: 49 + 16 + 25 + 16 + 64 + 25 + 36 = 231. La suma de ellos, elevada al cuadrado es: 2 2 (7 + 4 + 5 + 4 + 8 + 5 + 6) = 39 = 1.521 n

2

n

2

Como queda evidenciado, ∑ Xj es diferente de (∑ Xj) j=1

j=1

Y, para cualquier potencia, p, a la cual estén elevados los valores de una variable, se cumple: n

p

n

p

∑ Xj es diferente de (∑ Xj) j=1

j=1

Para establecer estos conocimientos, resuelva, ahora, los siguientes ejercicios. A partir de los valores para las variables Yi y Zi, Yi Zi 1

13

2

10

4

14

5

9

3

7

6

2

8

8

7

11

Calcular: n

n

1) ∑ Yi =

2) ∑ Zi =

i=1

i=1

n

n

5) ∑YiZi =

i=1

i=3 n i=1

2

9) (∑Yi) =

(compararlo con 7)

i=1 n

2

10) (∑Zi) =

(compararlo con 8)

i=1

ING. FABRICIO VITERI M.

7

3) ∑ Yi =

6) (∑Yi)(∑Zi) =

i=1 n

6

n

i=2 2

7) ∑Yi = i=1

4) ∑ Zi = n

2

8) ∑Zi = i=1

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Caso VI. Sumatoria de las diferencias de valores pareados de dos variables. Este caso reviste suma importancia en las derivaciones y los cálculos estadísticos. Suponiendo dos variables cualesquiera, por ejemplo Xj e Yj, se trata de la sumatoria de sus diferencias pareadas; es decir: (X1 - Y1), (X2 - Y2), (X3 - Y3), …, (Xj - Yj), …, (Xn-1 - Yn-1), (Xn - Yn) n

Su sumatoria sería: ∑(Xj - Yj) j=1

= (X1 - Y1) + (X2 - Y2) + (X3 - Y3) +...+ (Xj - Yj) +…+ (Xn-1 - Yn-1) + (Xn - Yn) = X1 – Y1 + X2 – Y2 + X3 – Y3 + … +Xj - Yj + … + Xn-1 – Yn-1 + Xn – Yn Reordenando y reagrupando: = (X1 + X2 + X3 +…+ Xj +…+ Xn-1 + Xn) – (Y1 + Y2 + Y3 +… + Yj +… + Yn-1 + Yn) Lo cual equivale a: n

n

n

∑Xj - ∑Yj = ∑(X - Y) j=1

j=1

j=1

Es decir, la sumatoria de las diferencias de valores pareados de dos variables es igual a la diferencia de las sumatorias de las variables. En lenguaje más corto: la sumatoria de las diferencias es igual a la diferencia de las sumatorias. Caso VII. La sumatoria de las diferencias de los n valores de una variable menos una constante. Este caso reviste suma importancia en el cálculo y las derivaciones en estadística Se trata de lo siguiente: si tenemos valores de una variable, digamos Xj, y a cada uno de ellos le restamos un valor constante, digamos M, la sumatoria de esas diferencias sería: (X1 - M) + (X2 - M) + (X3 - M) +…+ (Xj - M) +…+ (Xn-1 - M) + (Xn - M) n

Lo cual, utilizando el símbolo del operador sumatoria: ∑(Xj - M) j=1

Y, teniendo en cuenta lo convenido en el caso anterior ( CasoVI)): la sumatoria de las diferencias es igual a la diferencia de las sumatorias, esto sería igual a

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n

n

∑Xj - ∑M , pero, el segundo término de esta expresión, sumatoria de la constante M,es j=1

j=1

igual a n veces la constante (Caso II), tenemos, en definitiva la expresión n

n

∑(Xj - M) = ∑X – nM j=1

j=1

Es decir, la sumatoria de las diferencias de los n valores de una variable menos una constante es igual a la sumatoria de la variable menos n veces la constante. Especial interés tiene este Caso VII, cuando el valor constante es igual al promedio de la variable; es decir, cuando la constante es igual a la suma de los valores de la variable dividido entre el número de valores; es decir, cuando n

M = ∑Xj ÷ n j=1 n

n

n

n

y si ∑(Xj - M) = ∑Xj - nM, al sustituir nM por n(∑Xj ÷ n) = ∑Xj, queda: j=1

j=1

j=1

n

j=1

n

∑Xj - ∑Xj = 0 j=1

j=1

Es decir, que la sumatoria de las diferencias de n valores de una variable menos el promedio de dichos valores, resulta nula. Caso VIII. Sumatoria de las diferencias entre los n valores pareados de dos variables, digamos X i e Yi, elevadas al cuadrado. Desarrollando el cuadrado del binomio y resolviendo las sumatorias indicadas n

2

n

2

2

n

2

n

n

2

∑(Xi - Yi) = ∑( Xi – 2Xi Yi + Y ) = ∑Xi - 2∑Xi Yi + ∑ Yi i=1

Este caso

i=1

i=1

i=1

i=1

toma especial interés, cuando el sustraendo de las diferencias es una

constante igual al promedio de los valores variables. Digamos la variable es X i y la

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constante es M, y las diferencias (Xi - M). La sumatoria de estas diferencias elevadas al cuadrado : n

2

n

2

n

n

2

n

2

n

2

∑(Xi - M) = … = ∑Xi - ∑2Xi M + ∑M = ∑Xi - 2M∑Xi + nM i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

n

n

Sabiendo que M = ∑Xi ÷ n,

despejando: ∑Xi = nM , y sustituyendo:

i=1 n

2

2

2

∑Xi - 2nM + nM i=1

i=1

i=1 n

=

2

2

∑Xi - M i=1

O lo que es lo mismo: La sumatoria de las diferencias entre los valores de una variable y su promedio, elevadas al cuadrado, es igual a la sumatoria de los cuadrados de los valores menos el cuadrado de su promedio n

2

n

2

∑(Xi - M ) = ∑Xi - M i=1

ING. FABRICIO VITERI M.

i=1

2

(sólo si M es promedio de X)