• Author / Uploaded
• CR Cr

• Categories
• Secuencia
• Suma
• Función (Matemáticas)
• Análisis
• Análisis matemático

Citation preview

Sumatorias 1

Generalidades • En adelante trabajaremos con el concepto de “sucesi´ on de n´ umeros reales ”, entendiendo por “sucesi´ on, a cualquier funci´ on de N en R Estas sucesiones ( funciones ) se denotan usualmente por letras min´ usculas a, b, c, ..., x, y, z Si a es una sucesi´on de n´ umeros reales entonces a : N−→R, es decir a hace corresponder a cada n´ umero natural n, un u ´nico elemento a(n) ∈ R, este u ´nico real se denota por an en lugar de a(n). Estos reales que asigna la funci´on a a cada natural n (que llamaremos t´erminos de la sucesi´on a ) se pueden disponer en un orden definido, de la siguiente manera: a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · · Generalmente el t´ermino an de la sucesi´on est´a dado por una f´ormula expresada en funci´on de n y se llama “T´ ermino gen´ erico de la sucesi´ on” o “ En´ esimo t´ ermino de la sucesi´ on”. Es usual abreviar la notaci´on de una sucesi´on a , encerrando su t´ermino gen´erico con par´entesis redondo, por ejemplo (an ). Tambi´en una sucesi´on puede estar definida de manera recursiva. • Ejemplos

1) 1, −1, 1, −1, · · · , (−1)n+1 , · · ·;⇒ (an ) = ( (−1)n+1 ).

2) 1, 3, 5, 7, 9, · · · , 2n − 1, · · · ;⇒ (an ) = (2n − 1). 3) 1, 8, 27, 64, · · · , n3 , · · ·

4) 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · · , an , · · · • Sea (ai ) = {a1 , a2 , a3 , . . .}

; ⇒ ( an ) = (n3 ).

; a1 = a2 = 1; an+1 = an + an−1 ;

n ≥ 2.

una sucesi´on de n´ umeros reales

Para designar la suma de los n primeros t´erminos de la sucesi´on a ; Sn = a1 + a2 + . . . + an usaremos la letra Griega, sigma mayuscula n [

S , de la siguiente manera :

ak = a1 + a2 + . . . + an

(S)

k=1

en este caso k, llamado “indice de la sumatoria” recorre los naturales 1, 2, 3, 4...., n

1

• La notaci´on

n [

ak representa la suma a1 + . . . + an y se lee” la sumatoria de ak

k=1

con k variando de 1 hasta n .” n [

S ak , el k = 1, bajo el signo , indica que 1 es el valor inicial tomado por k=1 S k., el n escrito sobre el signo , indica que n es el valor terminal de k. En

El sumando ak , llamado “t´ermino generico de la sumatoria ” es una funci´on de k, que toma los valores a1 , a2 , a3 , a4 , .., an cuando k toma los valores 1, 2, 3, 4...., n. El signo S indica que los valores tomados por ak deben sumarse

• Por ejemplo la notaci´on valores de 1 a 4.

4 S

ak tambi´en se lee La suma de las ak , cuando k toma los

k=1

De esta forma, 2

• Ejemplo : Si ak = k , k ∈ N, luego 4 [

4 [

ak representa

k=1

k2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30

k=1

Tambi´en (S) se puede definir en forma recursiva Definici´ on S • Sea (an ) una sucesi´on, entonces se define recursivamente el s´imbolo “ ” por: 1 S (i) ai = a1 k=1

(ii)

n+1 S k=1

ak = (

n S

ak ) + ak+1

k=1

n S El s´imbolo ak , se lee: “Sumatoria de ak , desde k = 1 a n” k=1

k: es el indice de la sumatoria; ak : es el t´ermino general de la sumatoria. • Se puede demostrar usando inducci´on (ejercicio) que ∀n ∈ IN, n ≥ 1: n [ i=1

ai = a1 + a2 + · · · + an

• Notaci´on: Si (an ) es una sucesi´on y 1 < j < n definimos n [ ak = a1 + a2 + · · · + aj−1 + aj+1 + · · · + an . k=1 k=j

Notemos que el indice de la sumatoria, puede ser cualquier letra minuscula, . Por ejemplo: n [ k=1

ak =

n [

aj =

j=1

n [

ai = . . . , etc

i=1

Por ello se dice que el indice de la sumatoria es un “indice mudo”. 2

n S

• Por ejemplo: 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =

k2 =

n S

j2 =

j=1

k=1

n S

i2

...

etc.

i=1

Si deseamos denotar la suma de todos los t´erminos de la sucesi´on (an ) ∞ S definimos ap = a1 + a2 + · · · + an + ..... ( puede que tal suma no p=0

exista )

Ejemplo : ∞ [ 1 1 1 1 1 = 1 + + 2 + 3 + ··· + n + ··· = 2 p 2 2 2 2 2 p=0

sin embargo

∞ S

p=1

1 p

= 1 + 12 + 13 + 14 + · · · +

• Ejercicios.(1) Usando el signo

1 n

+ · · ·no es n´ umero real

S , exprese las siguientes sumas:

a) 0 + 2t + 4t2 + 8t3 + 16t4 + 32t5 + 64t6 .

b) (x1 − mx )(y1 − my ) + (x2 − mx )(y2 − my ) + · · · + (xn − mx )(yn − my ). (2) Verifique que: S S i.- ( nj=1 +xn+1 = n+1 j=1 xj . Sn Sn Sp ii.j=p+1 xj = j=1 xj − j=1 xj , iii.-

Sk

j=1

xj +

Sn−k j=1

xk+j =

Sn

j=1

(n ≥ p + 1).

xj .

Tambi´en de la definici´on, se pueden establecer sumatorias a partir de un valor inicial del ´indice no necesariamente igual a 1 . j−1 n n [ [ [ ak = ak + ak entonces tenemos que Como para 1 < j < n tenemos que : k=1

n [

ak =

k=j

n [

n [ k=1

ak −

k=1

j−1 [

k=j

ak

k=1

= (a1 + . . . + an ) − (a1 + . . . + aj−1 ) ak =

aj + aj+1 + . . . + an

k=j

Luego Definimos ,

n [

ak como la sumatoria de los valores ak entre los ´indices j y n .

k=j

3

O sea, podemos particionar una suma de manera arbitraria y, como caso particular, se j [ ak = aj tiene que k=j

2

Propiedades de la Sumatoria

El s´imbolo sumatoria verifica las siguientes propiedades: n [

PS1. Si λ ∈ R es una constante, entonces

λak = λ

k=0

En efecto ;

n [

ak

k=0

De la definici´on de sumatoria y por la distributividad, resulta n [

λak = λa1 + λa2 + . . . + λan

k=1

= λ (a1 + a2 + . . . + an ) n [ ak = λ k=1

Por ejemplo, xi = 1, n [

∀i. En este caso

λxj = λ

j=1

n S

En general

n [ j=1

n [

c = nc. ejemplo

(ak + bk ) =

k=1

n [

ak +

k=1

En efecto ;

n [

n [

1 = λ(1 + 1 + 1 + ... + 1) = λn.

j=1

j=1

PS2.

n [

xj = λ

S5

j=1

10 = 5 · 10 = 50.

bk

k=1

(ak + bk ) =

(a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + . . . + (an + bn )

k=1

= (a1 + a2 + . . . + an ) + (b1 + b2 + . . . + bn ) n n [ [ ak + bk = k=1

k=1

PS3. Traslaci´on del valor inicial de una sumatoria, si p ∈ N (o p entero ) n [

ak =

k=1

n+p [

ak−p

k=1+p

lo cual es inmediato al cambiar el ´indice k por el ´indice k − p en el t´ermino gen´erico de la sumatoria original desplazando a la derecha o ( si p > 0) o a la izquierda ( si p < 0 ) los limites de la sumatoria. • por ejemplo: 8+p 7 6 8 S S S S 1) aj = aj+1 = aj−1 = aj−1−p . . . j=1

2)

∞ S

n=0

xn 2n−1

j=0

=

j=2

∞ S

n=0+1

x(n−1 ) 2(n−1)−1

j=2+p

=

∞ S

n=1

x(n−1 ) 2n−3

... 4

etc.

etc. = a1 + a2 + ... + a7

• Resumiendo:

Para cualquier p ∈ IN ( o entero) tenemos que: Sn Sn+p on del valor inicial del indice de la sumatoria de p i=1 ai = i=1+p ai−p . (traslaci´ unidades). Sn Sn+p S on del indice de ni=k ai en p unidades). i=k ai = i=k+p ai−p (traslaci´ S Si (an ) es una sucesi´on tal que a0 existe entonces la expresi´on ni=0 ai puede ser representada por: n+1 [

ai−1 = a0 + a1 + a2 + .... + an

i=1

de acuerdo a la propiedad de traslaci´on de indice. • Ejemplo

S 1) Si ai = i(i − 1), calcule 3i=1 ai S3 i=1 i(i − 1) = 0 + 2 + 6 = 8.

2) Represente mediante una sumatoria, la siguiente suma: 1 + 8 + 27 + · · · + 729 En este caso podemos intuir que ai = i3 luego S 1 + 8 + 27 + · · · + 729 = 9i=1 i3 . S9 3 S15 3 3) Verificar que: i=1 i = i=7 (i − 6)

En este caso hay una traslaci´on de indice en la sumatoria, de 6 unidades

PS4. Propiedad Telesc´opica,

n [ k=1

(ak − ak−1 ) = an − ao

Al desarrollar la sumatoria, se tiene que n [ k=1

(ak − ak−1 ) =

(a1 − a0 ) + (a2 − a1 ) + . . . + (an − an−1 )

= ao − a1 + a1 − a2 + . . . + an−1 + an − an−1 = an − ao

• Observaci´on

- Se debe tener presente que para aplicar la propiedad telesc´opica se debe garantizar que el elemento a0 existe. S - La propiedad telesc´opica nos dice que un tipo especial de sumatoria ni=1 (ai − ai−1 ), es igual a la diferencia de los t´erminos an y a0 ( = an − a0 ).

La propiedad telesc´opica nos permitir´a encontrar f´ormulas, para expresiones con sumatorias, como por ejemplo: n [ i=1

i;

n [ i=1

i2 ,

n [

ii! etc.

i=1

¿ C´omo aplicar la propiedad telesc´opica a una sumatoria

Sn

i=1 bi

dada?

En Sn primer lugar no siempre es posible aplicar esta propiedad a cualquier sumatoria i=1 bi . 5

Se podr´a aplicar cuando sea posible encontrar una sucesi´on (an ) tal que: ai − ai−1 = kbi ; donde k es una constante, en este caso tendriamos que n [

bi =

i=1

1 (an − a0 ) k

O bien cuando ai − ai−1 =Sϕ(bi ); donde ϕ(bi ) es una expresi´on algebraica que contiene a bi , tal que (an − a0 ) = ni=1 ϕ(bi ) contenga a la sumatoria dada de tal manera que usando las propiedades de proposici´on 2.3 y f´ormulas de sumatorias conocidas S ( cuando sea el caso) sea posible despejar la sumatoria ni=1 bi . • Ejemplo (1) Encuentre una f´ormula para la siguiente sumatoria: n [ 1 . i(i + 1) i=1 1 , vemos que a0 = 1 y n+1 1 + 1i = −i+i+1 = i(i+1) i(i+1)

Tomando an = − 1 ai − ai−1 = − i+1

Luego Sn

S 1 1 = ni=1 ( 1i − i+1 ) = an − a0 = − n+1 +1= S n 1 Conclusi´on: ni=1 i(i+1) = n+1 1 i=1 i(i+1)

(2) Determine una f´ormula para

Sn

2 i=1 (i

n . n+1

+ 1)i!.

Tomando an = n(n + 1)!, vemos que a0 = 0 y ai − ai−1 = i(i + 1)! − (i − 1)i! = [i(i + 1) − (i − 1)]i! = (i2 + 1)i! S S Luego ni=1 (i2 + 1)i! = ni=1 (ai − ai−1 ) = an − a0 = n(n + 1)! S Conclusi´on: ni=1 (i2 + 1)i! = n(n + 1)!

(3) Encuentre una f´ormula para:

Sn

i=1

ii!

Basta tomar an = (n + 1)!, entonces a0 = 1 y ai − ai−1 = (i + 1)! − i! = [(i + 1) − 1)]i! = (i)i!. S S Luego ni=1 ii! = ni=1 (ai − ai−1 ) = an − a0 = (n + 1)! − 1 S Conclusi´on: ni=1 ii! = (n + 1)! − 1. (4) Encuentre una f´ormula para: Sn Sn 2 Sn 3 (i) i=1 i; (ii) i=1 i ; (iii) i=1 i .

(i) Usamos la propiedad telesc´opica con an = n2 ,

Luego a0 = 0 y ai − ai−1 = i2 − (i − 1)2 = 2i − 1, luego Sn Sn Sn Sn 2 i=1 (ai − ai−1 ) = n = 2 i=1 i − i=1 1 = 2 i=1 i − n Sn S 2 despejando, i=1 i = n+n = n(n+1) , concluimos que: ni=1 i = 2 2 (ii) Usamos la propiedad telesc´opica con an = n3 6

n(n+1) 2

Luego a0 = 0 y ai − ai−1 = i3 − (i − 1)3 = 3i2 − 3i + 1 luego Sn 2 Sn Sn Sn 3 i=1 (ai − ai−1 ) = n = 3 i=1 i − 3 i=1 i + i=1 1 S n3 = 3 ni=1 i2 − 3 n(n+1) +n 2  Sn 2 1  3 n(n+1) despejando n i = + 3 − n i=1 3 2 = 16 (2n3 + 3n(n + 1) − 2n)

= 16 (2n3 + 3n2 + n) = n6 (n + 1)(2n + 1) S Conclusi´on: ni=1 i2 = 16 n(n + 1)(2n + 1) (iii) Ejercicio.

• Observaci´on Usando la propiedad telesc´opica hemos encontrado f´ormulas para las sumas indicadas, para demostrar que estas son v´alidas ∀n ∈ IN; n ≥ 1, podemos usar inducci´on, asi tenemos que en el ejemplo (1), haciendo S n 1 p(n): ni=1 i(i+1) = n+1 : Si n0 = 1, p(1) :

1 1·2

=

1 2

=

1 1+1

= 12 .

Suponemos v´alida la f´ormula para n = k : Sk 1 k = , y formamos p(k): i=1 i(i + 1) k+1 k+1 [ i=1

Sk+1 i=1

1 i(i + 1)

1 i(i + 1)

k [

1 1 + i(i + 1) (k + 1)(k + 2) i=1 1 k + = k+1 (k + 1)(k + 2) k2 + 2k + 1 k(k + 2) + 1 = = (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) (k + 1)2 k+1 = = (k + 1)(k + 2) (k + 1) + 1 =

lo que prueba la f´ormula para k + 1, es decir: Sn 1 n = ; ∀n ∈ IN; n ≥ 1 i=1 i(i + 1) n+1 • Ejercicio Demuestre que el resto de las f´ormulas encontradas, se verifican ∀n ∈ IN; n ≥ 1

7

3

Ejercicios 1. Desarrolle las siguientes Sumatorias : a) e)

5 [

4 [ √ b) i

(2k + 1)

k=0 8 [

λm + 1 m+1 m=1

i=1 n  [

c)

1+

f)

k=1

7 [ 1

k

1 k

g)

n=1 5 [

n [

j j+1 j=1  n 4 [ nk + 2 h) (nk)2 n=1

d)

n

x2k

k=1

2. Encuentre el valor de las siguientes expresiones; a)

4 [

(k + 1)

b)

k=0

i 6  [ 1 d) 10 + − 2 i=1

e)

5 [

n=1 10 [ k=4

n

3 [

c)

(−2)

  1 + (−1)4

i=1 n [

f)

k=1

2

i −

2 [

2k

i=1

3 k+1

3. Escriba cada una de las expresiones en notaci´on de Sumatoria, a) 2 + 4 + 8 + . . . + 2n 1 1 1 1 c) 1 − + − + 2 3 4 5  n (n − 1) e) 7 + 8 + 10 + . . . + 7 + 2 4. Aplicando la sumatoria

n S

b) 1 + 5 + 9 + 13 + 17 a2n a2 a4 a6 d) − + − + . . . (−1)n 2 4 6 2n 1 1 1 f) + + ... + k+1 k+2 k+k

, a ambos lados de la igualdad

k=1

(k + 1)2 − k2 = 2k + 1

obtenga la f´ormula

n [

k=

k=1

n (n + 1) 2

5. Usando la propiedad telesc´opica, encuentre una f´ormula para las siguientes sumas, a)

n [ k=1

k

2

b)

n [ k=1

k

3

c)

n [ k=1

1 k (k + 1)

d)

n [

2k−1

k=1

6. Aplicando los resultados a) y b) anteriores, demostrar que, a) 12 + 32 + 52 + . . . + (2n + 1)2 =

(n + 1) (2n + 1) (2n + 3) 3

b) 13 + 33 + 53 + . . . + (2n + 1)3 = (n + 1)2 (2n2 + 4n + 1)

7. Usando las propiedades de la Sumatoria y los resultados anteriores, deduzca las f´ormulas n n [ [ 3 2 2 (2k) = 2n (n + 1) (12k2 + 4k3 ) = n4 + 6n3 + 7n2 + 2n b) a) k=1

c)

n [ k=1

k=1

(2k − 1) = n2

n [ 2n+1 − n − 1 k = d) 2k 2n n k=1

8

8. Usando las propiedades de la Sumatoria e inducci´on demuestre que ; n n [ [ 4n3 + 12n2 + 11n 2 3 2 k (3k + 1) = n + 2n + n (2i + 1) = b) a) 3 i=1 k=1 n n 2 [ [ n (n + 1) (6n − 2n − 1) i n k (2k − 1)2 = = c) d) 6 (2i − 1) (2i + 1) 2n + 1 i=1 k=1 9. Encuentre la suma del desarrollo Sn =

3 2 2 3 2 3 + 2 + 3 + 4 + . . . + 2n−1 + 2n 5 5 5 5 5 5

10. Usando la propiedad telesc´opica verifique que   1 1 1 1 1 1 + 1− n n + + ... + n n = 2 · 3 22 · 32 23 · 33 2 ·3 5 2 ·3 11. Usando inducci´on, demuestre que n [ k=1

12. Demostrar, usando inducci´on : n [ 1 − xn xk = a) 1−x k=0   n k [ 2 2n+1 =2− n c) 3 3 k=1

  1 1 1 1− n n = 2k · 3k 5 2 ·3

b)

n [ k=1

n (n − k) =

n 2 (n − 1) 6

n [ 1 1 =1− n d) k 2 2 k=1

• ====================================================== curso : algebra i - ingenieria UTA - i semestre 2009

9