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“AÑO DEL BUEN SERVICIO AL CIUDADANO” UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ “FACULTAD DE INGENERÍA QUÍMICA” INGENIERÍA QUÍMICA AMBIENTAL

OPERADOR LAPLACIANO

CÁTEDRA: ANÁLISIS VECTORIAL CATEDRÁTICO: Ing. OCHOA LEÓN, HENRRY R. PRESENTADO POR: 

SOLIS ROSALES JACQUELINE



TAIPE VALLEJOS SOLEDAD SEMESTRE: III SECIÓN: B

HUANCAYO-PERÚ 2017

ÍNDICE ÍNDICE ............................................................................................................... II RESUMEN ........................................................................................................ III INTRODUCCIÓN .............................................................................................. IV OBJETIVOS ....................................................................................................... V 1

MARCO TEÓRICO ..................................................................................... 6 1.1

OPERADOR LAPLACIANO .................................................................. 6

1.2

PROPIEDADES DEL OPERADOR LAPLACIANO ............................... 6

1.3

COORDENADAS .................................................................................. 6

1.3.1

COORDENADAS CARTESIANAS ................................................. 6

1.3.2

COORDENADAS ORTOGONALES ............................................... 6

1.3.3

COORDENADAS CILÍNDRICAS .................................................... 7

1.3.4

COORDENADAS ESFÉRICAS ...................................................... 8

1.4 2

FUNCIÓN ARMÓNICA.......................................................................... 8

CONCLUSIONES ....................................................................................... 9

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................ 10

II

RESUMEN En cálculo

vectorial,

el operador

laplaciano o laplaciano es

un operador

diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simón Laplace que estudió soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparecía dicho operador. En física, el laplaciano aparece en múltiples contextos como la teoría del potencial, la propagación de ondas, la conducción del calor, la distribución de tensiones en un sólido deformable, etc. Pero de todas estas situaciones ocupa un lugar destacado en la electrostática y en la mecánica cuántica. En la electrostática, el operador laplaciano aparece en la ecuación de Laplace y en la ecuación de Poisson. Mientras que en la mecánica cuántica el laplaciano de la función de onda de una partícula da la energía cinética de la misma. En matemáticas, las funciones tales que su laplaciano se anula en un determinado dominio, se llaman funciones armónicas sobre el dominio. Estas funciones tienen una excepcional importancia en la teoría de funciones de variable compleja.

III

INTRODUCCIÓN El operador laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden denotado Δ relacionado con ciertos problemas de minizacion de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio El operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre Simón Laplace que estudio soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparecia dicho operador. Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas pendientes de una variable.

IV

OBJETIVOS 

Entender el concepto del operador Laplaciano.



Reconocer las diferentes aplicaciones del operador Laplaciano.

V

1 MARCO TEÓRICO 1.1

OPERADOR LAPLACIANO En cálculo vectorial, el operador laplaciano es un operador diferencial de segundo orden, denotado como ∆, el operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simón Laplace que estudio soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas arciales en las que aparecía dicho operador. (1ht) El laplaciano de un campo vectorial es la divergencia de la gradiente. ∆𝑓 = (𝛻. 𝛻)𝑓 = 𝛻 2 𝑓

1.2

PROPIEDADES DEL OPERADOR LAPLACIANO El laplaciano es lineal: 𝛻 2 (𝜆𝑓 + 𝜇𝑔) = 𝜆𝛻 2 𝑓 + 𝜇𝛻 2 𝑔 La siguiente afirmación también es cierta: 𝛻 2 (𝑓𝑔) = (𝛻 2 𝑓)𝑔 + 2(𝛻𝑓). (𝛻𝑔) + 𝑓(𝛻 2 𝑔) (Weisstein)

1.3

COORDENADAS Las coordenadas del laplaciano se presentan en: 1.3.1

COORDENADAS CARTESIANAS En coordenadas cartesianas plano (bidimensionales)el laplaciano de una función f es:

𝜕 2𝑓 𝜕 2𝑓 ∆𝑓 = 𝛻 𝑓 = 2 + 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 En coordenadas cartesianas en 𝑅 𝑛 : 2

𝑛

𝜕2𝑓 ∆𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = ∑ 2 𝜕𝑥𝑘 𝑘−1

1.3.2

COORDENADAS ORTOGONALES Las coordenadas cartesianas(x,y,z) es una forma muy útil de describir la posición de un punto en el espacio, pero no la única. La descripción de un sistema coordenado se realiza usualmente en relación a las coordenadas cartesianas mediante fórmulas de transformación.

6

Una traslación elemental dr de un punto a otro vecino puede ser descrita mediante un triedro construido localmente. Cuyos vectores base varían de un punto a otro. 𝑑𝑟⃗ =

𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑟⃗ 𝜕𝑟⃗ 𝑑𝑞1 + 𝑑𝑞2 + 𝑑𝑞 = ℎ1 𝑑𝑞1 𝑢 ⃗⃗1 + ℎ2 𝑑𝑞2 𝑢 ⃗⃗2 + ℎ3 𝑑𝑞3 𝑢 ⃗⃗3 𝜕𝑞1 𝜕𝑞2 𝜕𝑞3 3

Para hallar el gradiente en otros sistemas

coordenados

ortogonales es conveniente usar la expresión

𝑑𝜓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜓. 𝑑𝑟 Si efectuamos el producto escalar y los igualamos al desarrollo del diferencial de ѱ como función de las variables qi.

𝑑𝜑 = 𝑑𝑞1

𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 + 𝑑𝑞2 + 𝑑𝑞3 𝜕𝑞1 𝜕𝑞2 𝜕𝑞3

Se llega a la fórmula:

(𝑔𝑟𝑎⃗𝑑𝜑)𝑖 =

1 𝜕𝜑 ℎ𝑖 𝜕𝑞𝑖

En laplaciano: ∆𝑓 = 𝛻 2 𝑓 = 1.3.3

1 𝜕 ℎ2 ℎ3 𝜕𝑓 𝜕 ℎ3 ℎ1 𝜕𝑓 𝜕 ℎ1 ℎ2 𝜕𝑓 [ ( )+ ( )+ ( )] ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝜕𝑢1 ℎ1 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 ℎ2 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3 ℎ3 𝜕𝑢3

COORDENADAS CILÍNDRICAS Su relación con las coordenadas cartesianas son: x = r cos ᶲ y =r sen ᶲ z =z A partir de las definiciones de los factores geométricos hi se tiene: hr = 1 ,hᶲ = r ,hz =1 El gradiente resulta

𝑔𝑟𝑎⃗𝑑𝜑 =

𝜕𝜑 1 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝑢 ⃗⃗𝑟 + 𝑢 ⃗⃗𝜙 + 𝑢 ⃗⃗ 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜙 𝜕𝑧 𝑧

En laplaciano: ∆𝑓 = 𝛻 2 𝑓 =

1 𝜕 𝜕𝑓 1 𝜕 2 𝑓 𝜕 2 𝑓 𝜕 2 𝑓 1 𝜕𝑓 1 𝜕 2 𝑓 𝜕 2 𝑓 ( )+ 2 2+ 2 = 2+ + + 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜌 𝜌2 𝜕𝜑2 𝜕𝑧 2

7

1.3.4

COORDENADAS ESFÉRICAS Su relación con las coordenadas cartesianas son: x = r cos ѳ cosᶲ y =r sen ѳ senᶲ z = r cosѳ Los factores geométricos son en este caso: hr = 1 ,h ѳ = r ,hᶲ =r sen ѳ y el gradiente

𝑔𝑟𝑎⃗𝑑𝜑 =

𝜕𝜑 1 𝜕𝜑 1 𝜕𝜑 𝑢 ⃗⃗𝑟 + 𝑢 ⃗⃗𝜃 + 𝑢 ⃗⃗ 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝜙 𝜙

En laplaciano: 1 𝜕 𝜕𝑓 1 𝜕 2 𝑓 𝜕 2 𝑓 𝜕 2 𝑓 1 𝜕𝑓 1 𝜕 2 𝑓 𝜕 2 𝑓 ∆𝑓 = 𝛻 𝑓 = ( )+ 2 + = + + + 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜑 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝜌2 𝜌 𝜕𝜌 𝜌2 𝜕𝜑 2 𝜕𝑧 2 2

(17Ma)

1.4

FUNCIÓN ARMÓNICA Una función 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ se dice que es armónica en E si: ∀𝑥 ∈ 𝐸, ∆ 𝑓(𝑥) = 0 PROPIEDADES: •

El teorema de regularidad para las funciones armónicas Las funciones armónicas son infinitamente derivables.

•

El principio del máximo

•

El teorema de Liouville Si f es una función armónica definida en todo Rn que está acotada superior o inferiormente, entonces f es constante. Ejemplos de funciones armónicas: 

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿𝑜𝑔(√𝑥 2 + 𝑦 2 ) sobre el plano euclídeo.



El potencial

gravitatorio dado

(√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) es

armónico

sobre

por el

𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐺𝑀/ espacio

euclídeo

tridimensional. (Ramos Espinoza, 2000) 

Los armónicos esféricos son funciones armónicas sobre un dominio finito o infinito, que aparecen en la resolución de problemas con simetría esférica. (htt3). 8

2 CONCLUSIONES 

El operador Laplaciano es una magnitud escalar más específicamente la divergencia de la gradiente de una función escalar y vectorial.



El operador Laplaciano se utiliza en contextos como la teoría potencial, la propagación de ondas, la conducción del calor, electrostática y la mecánica cuántica.

9

BIBLIOGRAFÍA (s.f.).

Recuperado

el

25

de

Mayo

de

2017,

de

https://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Propiedades_del_oper ador_laplaciano (s.f.).

Recuperado

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Mayo

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2017,

de

http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/VariableCompleja/201415/Armonicas.pdf (s.f.).

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Mayo

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2017,

de

https://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano#Funci.C3.B3n_arm.C3. B3nica Ramos Espinoza, E. (2000). Análisis Matemático III. Lima: SERVICIOS GRÁFICOS J.J. Weisstein, E. (s.f.). CRC CONCISE ENCYCLOPEDIA OF MATHEMATICS. Chapman y Hall/CRC.

10