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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA SANITARIA

“OPERADOR: Laplaciano”

Docente:

Ing. López Zevallos, Jaime.

Nombre:

Arrué Alfaro, Yhuliana A. Díaz Goicochea, Luis Alberto. Tapia Ramirez, Juan Ronaldo. Jambo Cueva, Bitelo. Mayta Novoa, Salustiano.

Curso:

Mecánica de Fluidos I.

Celendín, 4 de mayo del 2018.

CONTENIDO II.

INTRODUCCION.................................................................................................................. 3

III.

objetivos ................................................................................................................................. 3

IV.

marco teoricO ......................................................................................................................... 3

Operador laplaciano en diversos sistemas de oordenadas ...................................................................... 3 Coordenadas cartesianas......................................................................................................................... 3 Coordenadas cilíndricas ......................................................................................................................... 4 Coordenadas esféricas ............................................................................................................................ 4 Coordenadas curvilíneas ortogonales ..................................................................................................... 4 Función armónica ................................................................................................................................... 4 V.

aplicaciones ............................................................................................................................ 5

Flujo de fluido .............................................................................................................................. 5 Electrostática ................................................................................................................................ 5 VI.

concluciones ........................................................................................................................... 6

VII. referencias .............................................................................................................................. 6

INTRODUCCION En cálculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimiento aPierre-Simon Laplaceque estudió soluciones de ecuaciones diferencialesen derivadas parciales en las que aparecía dicho operador. Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div (grad φ), de donde el uso del símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado

) para representarlo. Si

, son un campo escalar

y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como:

OBJETIVOS 

Averiguar que es un Laplaciano en la física. Determinar sus aplicaciones.



priorizar la importancia de la ecuacion de laplaciano en dos dimenciones para el flujo de un fluido.

MARCO TEORICO OPERADOR LAPLACIANO EN DIVERSOS SISTEMAS DE OORDENADAS COORDENADAS CARTESIANAS En coordenadas cartesianas(plano) bidimensionales, el Laplaciano de una función f es:

En coordenadas cartesianas tridimensionales:

En coordenadas cartesianas en

:

COORDENADAS CILÍNDRICAS En coordenadas cilíndricas

:

COORDENADAS ESFÉRICAS En coordenadas esféricas

:

:

COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES En coordenadas ortogonales generales

Donde

:

son los factores de escala del sistema de coordenadas, que en general serán tres

funciones dependientes de las tres coordenadas curvilíneas.

FUNCIÓN ARMÓNICA Una función

se dice que es armónica en E si:

Ejemplos de funciones armónicas:



sobre el plano euclídeo.

El potencial gravitatorio dado por

es armónico sobre el

espacio euclídeo tridimensional. los armónicos esféricos son funciones armónicas sobre un dominio finito o infinito, que aparecen en la resolución de problemas con simetría esférica.

APLICACIONES

Flujo de fluido Sean las cantidades

y las componentes horizontal y vertical del campo de

velocidad del flujo incompresible estacionario e irrotacional en dos dimensiones, respectivamente. La condición de que el flujo sea incompresible es que y la condición de que el flujo sea irrotacional es que

Si definimos el diferencial de

como

entonces la condición de incompresibilidad es la de integrabilidad para este diferencial: la función resultante se llama función de corriente porque es constante a lo largo de las líneas de flujo

Electrostática De acuerdo a las ecuaciones de Maxwell, un campo eléctrico

en un espacio de dos dimensiones

que es independiente del tiempo satisface

Donde

es la densidad de carga. La primera ecuación de Maxwell es la condición de integrabilidad

para el diferencial

así que el potencial eléctrico

puede construirse para satisfacer

La segunda ecuación de Maxwell establece que

conocida como la ecuación de Poisson.

Es importante observar que la ecuación de Laplace puede usarse en problemas de tres dimensiones en electroestática y flujo de fluido, así como en dos dimensiones.

CONCLUCIONES 

Gracias a la práctica se pudo determinar que es un Laplaciano en la física.También se pudo averiguar algunas aplicaciones en la física.



Determinamos que para aplicar La ecuación de laplaciano para un flujo de un fluido es que el fluido sea irrotacional e incompresible.

REFERENCIAS 

Weisstein, Eric W. «Laplacian». En Weisstein, Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Calcular operador laplaciano con Sage Math