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• Norma Huamaní Pinto

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OPERADOR LAPLACIANO: El operador de Laplace es un operador diferencial de segundo orden en el espacio euclidiano n- dimensional, definido como la divergencia (∇ ·) del gradiente (∇ f). Por lo tanto, si f es una función  dos veces diferenciable , entonces el laplaciano de f se define por:

… (1)

∆ f =∇2 f =∇ . ∇ f

Donde las últimas notaciones derivan de escribir formalmente:

-

Sabiendo que F=x +iy

2

∆ f =∇ f =

∂2 f ∂2 f +i ∂ x2 ∂ y2

…(2)

Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div (grad φ), donde se hace uso del símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado (∇ ∇2 ) para representarlo.

-

Relacionando el laplaciano tenemos:

∆ f =¿ ( grad f )

…(3)

Otra propieda importante es:

C , se dice que es armónica en E si: f: E⊆ C ❑ ⇒ ∀ x , y ∈ E ; ∆ f =0

…(4)

PROBLEMA 28 A) Demuestre que :

∇ 2 ( FG )=( ∇2 F ) G+2 ∇ F ∇ G+ F ( ∇2 G ) -partimos de la ecuación (1) :

∇ 2 ( FG )=∇ . [ ∇(FG ) ] ¿ ∇ . [ ( ∇ F ) G+ F ( ∇ G) ] ¿ ∇ . [ ( ∇ F ) G ]+ ∇ . [ F ( ∇ G ) ] 2

2

¿ ( ∇ F ) G+∇ F ∇ G+∇ F ∇ G+ F (∇ G) ∇ 2 ( FG )=( ∇2 F ) G+∇ F ∇ G+ ∇ F ∇ G+ F (∇ 2 G) -

Por lo que queda demostrado.

B) Demostrar que : Div (grad A) = 0 si A es imaginaria, o más generalmente , si Re(A) es armónico . -primero hallamos el laplaciano de A : (usando la ecuación 2)

∂f =i ∂y 

-

∂2 f =¿0 ∂ x2

∂f =¿ 1 ∂x

F=(x+iy) 

2

∆ f =∇ f =

∂2 f ∂ y2

=0

∂2 f ∂2 f +i =0+ ¿0 ∂ x2 ∂ y2

Usando la proposicion (3):

=0

∆ f =¿ ( grad f ) 0=¿ ( grad f )

-

teniendo en cuenta el enunciado (4) se llega a la conclusión que Re (A) es armónica.