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¿QUÉ ES LA DIVERGENCIA DE UNA FUNCION VECTORIAL? La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia idénticamente igual a cero, describe al flujo incompresible del fluido. Llamado también campo solenoidal. La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV. Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dado por la ecuación

Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S y es el operador nabla, que se calcula de la siguiente forma:

La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo. En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es nula

Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre sí mismas, es decir, no tienen extremos donde nacen o mueren. De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno de ellos no sería nulo, lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo. ¿QUÉ ES LA ROTACIONAL DE UNA FUNCION VECTORIAL? En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un abierto de R^3 que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

Aquí, S es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares. El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos. El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la siguiente ecuación:

Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:

• Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (

f) =0

• Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0 • Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

¿QUÉ ES LAPLACIANO DE UNA FUNCION VECTORIAL? En matemáticas y física, el operador Laplaciano vectorial

, nombrado así en honor a Pierre-

Simón Laplace, es un operador diferencial definido sobre un campo vectorial. El Laplaciano vectorial es similar al Laplaciano escalar. Mientras que el Laplaciano escalar actúa, se aplica sobre campos escalares y devuelve, da como resultado, una cantidad escalar, el Laplaciano vectorial se aplica sobre campos vectoriales y da como resultado otra cantidad vectorial. En coordenadas cartesianas, el campo vectorial que devuelve dicha operación es igual al vector de operadores Laplacianos escalares aplicados sobre cada componente del campo vectorial al que hemos aplicado el Laplaciano vectorial. El Laplaciano de una función escalar U(x,y,z) se define como la divergencia del gradiente de dicha

Para una función vectorial Fr, el Laplaciano de dicha función se define como: ∆F = grad (div F) - rot (rot F) EJEMPLOS DE DIVERGENCIA 1. Calcular la divergencia de:

F (x ,y ) = (x2 y , x ) Solución

La divergencia tiene una importante interpretación física.

Si imaginamos que F es el campo de velocidades de un gas (o de un fluido), entonces div F representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del gas (o del fluido). Si div F < 0, el gas (o fluido) se está comprimiendo. Para un campo vectorial en el plano, la divergencia mide la razón de expansión del área. 2. Considerar el campo vectorial en el plano dado por: V (x , y) = (x , 0) Relacionar el signo de la divergencia de V con la razón del cambio de áreas bajo el flujo. Solución Interpretamos V como el campo de velocidades de un fluido en el plano. El campo vectorial V apunta hacia la derecha para x > 0, y hacia la izquierda para x < 0, como podemos ver en la siguiente Figura 2.4.1, la longitud de V es más corta cuando nos acercamos al origen. Cuando el fluido se mueve, se expande (el área del rectángulo sombreado en azul aumenta), de manera que es de esperar que div V > 0.

Figura 2.4.1.- El fluido se está expandiendo Si lo calculamos con las derivadas parciales tenemos:

EJEMPLOS DE ROTACIONAL 1.

2. Calcule el rotacional de el siguiente campo vectorial Para el rotacional de este mismo campo, empleando coordenadas cartesianas

En cilíndricas

Y en esféricas

EJEMPLOS DE LAPLACIANOS 1. Calcule el Laplaciano de los campos escalares

Empleando coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Solución El Laplaciano se define como la divergencia del gradiente. Para el campo (1) se ve en el problema de cálculo de gradientes que su gradiente vale

Hallar el Laplaciano de \phi\, equivale a calcular la divergencia del vector de posición. Pero este cálculo ya se hace en el problema de cálculo de divergencias y rotacionales. Allí se ve que, independientemente del sistema empleado para calcularla

2. Calcule el Laplaciano de los campos escalares

Empleando coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Solución Para el tercer campo, ya tenemos su expresión en cilíndricas. Calculamos el laplaciano en estas coordenadas

En cartesianas este campo se expresa

y su Laplaciano vale

En esféricas, la expresión del campo es

Y la del Laplaciano, separando previamente los sumandos

Los tres resultados son naturalmente coincidentes. APLICACIONES DE LA DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO El más sencillo de ver sería el concepto de Gradiente. Viendo un mapa orográfico aprecias las llamadas líneas de nivel. Si te ubicas físicamente sobre una de las líneas de nivel y sueltas un carrito el mismo se deslizara siempre hacia líneas de menor nivel... La fuerza de arrastre del carrito depende de la pendiente del punto... o sea de la (delta altura) / (delta distancia). Claro que habrá una dirección para la cual la fuerza sea máxima... esa dirección de máxima pendiente (variable de punto a punto) se denomina gradiente y es una cantidad vectorial. En este caso del carrito que desciende por una pendiente... lo hará siempre perpendicular a las líneas de nivel... o sea en la dirección de máxima pendiente. Siendo la altura determinante de la energía potencial gravitatoria = P... (Función del nivel del carrito)... y el punto del espacio considerado con coordenadas x, y, z Se define el vector Grad. P = (dP/dx) i + parciales.

(dP/ dy) j + ( dP/dz) k......... leer como derivadas

Se demuestra matemáticamente que la dirección del vector gradiente de P es la de la máxima variación de la función. Luego el vector gradiente representa la variación del campo escalar (P) por unidad de longitud en una dirección deter minada.

La variación de un campo vectorial se representa por medio de un operador llamado "Divergencia". Si se tiene un campo vectorial V... la divergencia se define como un escalar ( + o -) .. Div. V = dVx/dx + dVy/dy + dVz/dz leer como derivadas parciales. Esto puede pensarse al circula ragua libremente por una cañería de gran diámetro y sin rozamiento. Cada partícula de agua está animada de una velocidad V…(todas a la misma velocidad V) ….. Si aislamos un volumen interior del caño y analizamos la cantidad de agua que entre y sale del volumen interior…sabemos que será la misma…o sea entra tanta agua como sale porque el líquido no se comprime ni se expande…Asi se dice que el campo vectorial de velocidades del líquido circulante tiene divergencia = 0. No hay zonas interiores del volumen que acumulen( divergencia +) líquido ni las hay que lo hagan desaparecer ( Divergencia -). Ahora Si suponemos una cañería cerrada por ambos lados conteniendo un gas a presión y abrimos uno de los extremos…el análisis anterior sobre el volumen nos daría distinto…ya que las velocidades de salida del lado abierto serán mayores que las de entrada del lado cerrado…. Aquí div V será distinto de cero…habrá una divergencia del campo de V. (-). Otro operador a considerar dentro de un campo vectorial es el rotacional o rotor ( o curl). El nombre “rotor” da idea de una rueda. Podemos pensarlo como una ruedita infinitesimal cuyo giro indica un sentido (+ a derecha y – a izquierda) y cuyo eje indica una dirección. O sea este “rotor” será un vector derivado del campo que analizamos. El caso clásico es la salida del agua o desagote de una bañera. El líquido está girando en un sentido definido. Si ubicamos la ruedita dentro del flujo que está saliendo... La misma girará siempre cualquiera sea su ubicación…dentro del flujo saliente. Luego en este movimiento el campo de velocidades será rotacional…y tendrá un vector “rot.V” Distinto de cero. Aquí se aplica la regla del tirabuzón para definir dirección del rotor. Si se conoce el sentido de giro.

Lo mismo se da en canales donde el agua (o líquido) está circulando con frotamiento. La velocidad es menor conforme nos acercamos a las paredes. Luego nuestra ruedita girará en el interior del agua. Aquí se dice que el campo de velocidades del líquido circulante también es rotacional…o sea tiene rotor distinto de cero. Si diseñamos conductos y curvas tratando de que nuestra ruedita no gire (o lo haga solamente en determinadas zonas) tendremos menores pérdidas de circulación. Es decir el rotor está asociado a energía de pérdidas o torbellinos durante la circulación de líquidos. También los diseños aerodinámicos de vehículos facilitan el traslado tratando de minimizar las pérdidas por frotamiento. La expresión matemática del vector “rotor” ya la conocerás y da un vector. Cada componente del vector “rotor” sería el que sale de colocar el eje de la ruedita paralelo a los ejes coordenados. El operador puntual “nabla” en si no tiene ningún sentido concreto. Si lo aplicamos sobre un campo escalar….. Nos da el gradiente.. Nabla multiplicado escalarmente por un Campo vectorial nos da la divergencia del campo.. Nabla multiplicada vectorialmente por un campo vectorial nos da el rotor del campo. Si planteamos la div ( grad) de un campo vectorial obtenemos otro escalar….. Que por su importancia tiene un nombre especial: Laplaciano. Este escalar es en general distinto de cero. El rotor de un gradiente y la divergencia de un rotor son siempre iguales a cero. PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES A UNA SUPERFICIE Sea z= f (x , y) una función escalar con derivadas parciales continuas en (a , b) del Dominio de f. El plano tangente a la superficie en el punto P( a, b, f(a, b)) es el plano que pasa por P y contiene a las rectas tangentes con dos curvas

La recta normal es una recta perpendicular a la recta tangente en el punto de interés. Por tanto su pendiente es el negativo del inverso multiplicativo de la pendiente de la recta tangente. Para encontrar su ecuación dado que tenemos el punto de tangencia sólo debemos encontrar la pendiente de la recta tangente (derivando la función y evaluando el punto dado) y calcular la pendiente de la normal con la fórmula Mn=-1/Mt donde Mn es la pendiente de la recta normal y Mt es la pendiente de la recta tangente. Una vez tenemos punto y pendiente usamos la fórmula de la ecuación de la recta. En este video se muestra como encontrar la ecuación de la recta normal para una función explícita y una implícita.

Hasta ahora hemos venido resolviendo con derivación problemas donde tenemos que encontrar la ecuación de una recta tangente a una curva en un punto. Pero en otros problemas se presenta también encontrar la ecuación de la recta normal. Si tenemos una función cualquiera, y tenemos la ecuación de la tangente en un punto, la normal va a ser una recta perpendicular en ese punto “a”, a la curva tangente. Para encontrar la ecuación de una recta necesitamos punto y pendiente. Recordemos que dos rectas son perpendiculares si el producto entre ellas es -1, por lo cual, la pendiente de la recta normal sería -1 dividido la pendiente de la tangente. Lo que necesitamos hacer en un problema donde nos piden encontrar la recta normal, es encontrar la pendiente de la normal en función de la pendiente de la tangente. Es decir, tenemos que encontrar la pendiente de la tangente derivando, evaluando en el punto, y luego sustituir en la fórmula anterior sobre la pendiente de la normal. En los ejemplos realizado vemos que lo primero que debemos tener en cuenta es que el punto si pertenezca a la curva. Evaluando esto tenemos el punto, y luego pasamos a encontrar la pendiente de la tangente. Ésta se encuentra derivando la función y evaluando la derivada en el punto. Una vez encontrada la pendiente de la tangente, podemos remplazar en la fórmula de la tangente de la normal y de esa manera encontrarla. En este video se muestra cómo encontrar la ecuación de la recta normal cuando las funciones son implícitas y explícitas.

EJEMPLOS DE PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES 1. Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie

2. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie dada: