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• CLARA RONTOME MIGUEL

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Tema 8. Mercado de derivados: Opciones Teoría Financiera - 4º GECO - Analisis Prof. Lola Robles UCM

Opciones Referencia: Hull, J. (2014), Fundamentals of Futures and Options Markets, Pearson. Contenido de las sesiones: 1. Mercado de opciones 2. Propiedades básicas de las opciones sobre acciones 3. Valoración de opciones por el método binomial

Lola Robles - UCM

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Opciones: definición de compra (call) da a su propietario

Una opción de venta (put)

comprar el derecho (no la obligación) a

un activo vender

(subyacente) a un precio establecido de antemano (precio de ejercicio, strike price o exercise price), en una fecha futura conocida (opción europea) o en cualquier momento antes de dicha fecha (opción americana) Lola Robles - UCM

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Tipos de opciones: Call europea Call americana Put europea Put americana

    





Opciones europeas: se ejercen a vencimiento



Opciones americanas: pueden ejercerse en cualquier momento antes del vencimiento

El comprador (posición larga) tiene el derecho (a comprar o vender), el vendedor (o emisor, posición corta) tiene la obligación (de vender o comprar el subyacente) ¿por qué se emiten opciones?. 

La posición corta cobra una prima (precio de la opción) por asumir esta obligación



La posición larga paga la prima aunque después decida ejercer o no.

Observaciones: 

El comprador no debe depositar garantías pues ya paga la prima.



El emisor de la opción debe depositar la garantía pues tiene una pérdida potencial ilimitada y podría tener incentivos a no cumplir el contrato.



En futuros ambas partes deben cumplir el contrato, por lo que ambos deben pagar las garantías, que no suponen un coste real, dado que se devuelven al finalizar el contrato.

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Posición larga en call europea 

La prima de una call europea sobre una acción es c=2,50$ y el precio de ejercicio es X = 50$. Gráfico del beneficio en T: ST – X – c = ST – 52,5 ST 50

c: prima de una call europea



C: prima de una call americana



p: prima de una put europea



P: prima de una put americana



S: precio del subyacente



T: fecha de vencimiento (en años)



X: precio de ejercicio (strike)

ST

50 < ST< 52,2 ⇒ conviene ejercer aunque se obtengan pérdidas

Si

< 50, no se ejerce (no es racional comprar por X=50$ si vale menos de 50 en el mercado). Beneficio = − 2,5 $ Lola Robles - UCM



52,5

-2,5

ST

NOTACIÓN

> 50, se ejerce (comprar por X=50$ y vender por ST>50$): Beneficio =−X+ST − c = =−50+ST −2,5 = ST − 52,5 La

call europea se ejerce siempre que ST >X Pérdida del comprador limitada (prima pagada)  Los beneficios son ilimitados 

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Posición corta en call europea 

Beneficios del vendedor: opuesto al del comprador: ST

> 50, se ejerce (vender por X=50$ algo que vale por ST>50$): Beneficio = X - ST + c = =50-ST +2,5 = 52,5 - ST

2,5 ST 50 52,5 X – ST + c = – ST + 52,5

La ST

< 50, no se ejerce (no es racional comprar por X=50$ si vale menos de 50 en el mercado). Beneficio = 2,5 $ Lola Robles - UCM

call europea se ejerce siempre que: ST > X El

beneficio del emisor está limitado (a la prima pagada) Las pérdidas ilimitadas

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Posición larga en put europea 

Un inversor compra por p=3$ una opción de venta europea sobre una acción, con precio de ejercicio X=40$. El beneficio a vencimiento: 

− ST + X − p = − ST + 37

Si ST >40, no se ejerce, no conviene vender por X = 40 $ algo que vale ST >40. Se pierde la prima ⇒ beneficio = − 3 $

ST 37

40

−3

Conviene

ejercer una put europea siempre que: ST < X

37 < ST < 40 ⇒ conviene ejercer aunque se obtengan pérdidas Si



Si ST < 40, se ejerce, conviene vender por X = 40 $ algo que vale ST < 40. Se pierde la prima ⇒ beneficio = X− ST − 3 $ Lola Robles - UCM

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Posición corta en put europea 

Beneficios del vendedor opuestos al comprador: 

Si ST >40, no se ejerce

Se cobra la prima ⇒ beneficio = 3$

3 ST 37

40

ST - 37



Si ST < 40, se ejerce, se compra por X=40$ algo que vale ST < 40. Se gana la prima ⇒ beneficio = ST – X + 3 $ Lola Robles - UCM

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Activos subyacentes 

Acciones, divisas, índices bursátiles, contratos de futuros, activos de renta fija, mercancías, etc. 

En un contrato de opción sobre futuros el subyacente es un contrato de futuros.  el vencimiento del futuro debe ser igual o posterior al vencimiento de la opción.  Si el subyacente es un índice o un futuro sobre un índice, los contratos se liquidan en metálico. 

Las principales opciones negociadas en MEFF RV son: 



Sobre el futuro del índice IBEX-35, el vencimiento del futuro coincide con el de la opción, que son europeas Opciones sobre un reducido número de acciones, que son americanas

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Terminología    

Moneyness: Relación entre el precio del activo subyacente y el strike de la opción. Opción “in the money” (en dinero): el propietario gana si ejerce inmediatamente. Opción “out of the money” (fuera de dinero): el propietario pierde si ejerce inmediatamente. Opción “at the money” (a dinero): el propietario gana cero si ejerce inmediatamente.



Sólo se ejercen opciones in the money. 



Una call (europea o americana) está: 

in the money si: S > X



out of the money si: S < X

Una put (europea o americana) está:

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

in the money si: S < X



out of the money si: S > X 10





valor intrínseco (VI) de una opción: máximo entre cero y el beneficio de estar in the money y ejercer inmediatamente. 

Call (europea o americana): VI= max (0, S − X)



Put (europea o americana): VI = max(0, X − S)

En ocasiones es óptimo esperar y no ejercer inmediatamente una opción americana in the money 

La opción tiene, además del valor intrínseco (se obtiene si se ejerce de inmediato), un valor temporal



Valor total de la opción = valor intrínseco + valor temporal



La prima de una opción americana debe ser siempre al menos igual a su valor intrínseco: C ≥ max (0, S − X) P ≥ max (0, X − S)



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el propietario de la opción siempre puede obtener VI si ejerce por lo que no la venderá por menos

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Propiedades de las opciones EUROPEA

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AMERICANA

Variable

CALL

PUT

CALL

PUT

S

+

-

+

-

X

-

+

-

+

T

+, ?

??

+

+

σ

+

+

+

+

r

+

-

+

-

DIV

-

+

-

+ 12

Ejercicio antes de T de una opción call americana sobre acciones que no pagan dividendos •

Nunca es óptimo ejercerlas antes del vencimiento, por lo que C=c •

Ejemplo: call americana sobre acciones que no pagan dividendos, con T = 1 mes, S = 50 $ y X = 40 $

•

Como la opción está in the money (S>X) su propietario puede estar tentado a ejercerla inmediatamente: –

•

Beneficio: S − X = 50 − 40 = 10 $

(

Si vende la opción en lugar de ejercerla obtiene: c ≥ max S − X ⋅ e − r ⋅T ,0 Como C ≥ c, entonces

En

general, siempre se cumplirá que:

C ≥ S − X ⋅e Lola Robles - UCM

− r ⋅T

> S − X , ∀r > 0, T > 0 13

)



Esta relación no se se cumple si el subyacente paga dividendos: 

el propietario de una call americana puede querer ejercerla antes del vencimiento para cobrar los dividendos.



Gráficamente: el valor de la prima call (A o E), en un momento anterior al vencimiento: La prima es mayor que S−X porque existe la posibilidad de que en un futuro el subyacente suba y ganemos más que S − X.

C, c

S-X

A la parte del valor de la opción que excede a su valor intrínseco se le llama valor extrínseco o temporal (VT): X Lola Robles - UCM

S

valor de la opción = VI + VT 14

Ejercicio antes de T de una put americana sobre acciones que no pagan dividendos 

Puede ser óptimo ejercer antes del vencimiento: P ≥ p



Ejemplo extremo. X = 10 $ y S → 0 inmediatamente se obtiene X − S → X = 10$, que es el máximo beneficio alcanzable con la opción. Ejerciendo

Además,

es preferible recibir 10 $ ahora que recibirlos en el futuro. 

Por tanto, esta opción debería ser ejercida de inmediato.



En general, una put americana puede ser ejercida en cualquier momento de su vida si está suficientemente in the money (si X es suficientemente mayor que S).

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

Gráficamente: La prima de una put americana en función de S en un momento anterior al vencimiento P

Existe

un valor del subyacente, A, tal que por debajo del mismo siempre conviene ejercer. En esos casos el valor de la opción será su valor intrínseco. Sin

A

 p

X

S

embargo, si la opción es europea, cuando el subyacente está por debajo de A, el valor de la prima es menor que su valor intrínseco, ya que p ≤ P

Prima de una put europea en función de S, antes de vencimiento

A

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X

S

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Paridad put-call 

Es la relación que deben cumplir las primas de dos opciones call y put europeas



Acciones que no pagan dividendos. Consideremos las dos carteras siguientes: A: una call europea + una cantidad en efectivo de X⋅e-r⋅T € B: una put europea + una acción Ambas opciones tienen el mismo precio de ejercicio, X, el mismo subyacente, S, y el mismo vencimiento, T.

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

Valor de la cartera A en el vencimiento (T): max(ST − X, 0) + X = max(ST,X)



Valor de la cartera B en el vencimiento (T) es: max( X − ST, 0) + ST = max(X,ST

•

Como el beneficio en T es el mismo, el valor a día de hoy lo debe ser también:

c + X ⋅e •

− r ⋅T

= p+S

Esta relación se conoce como paridad put-call para opciones europeas sobre acciones que no pagan dividendos.

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Ejemplo: Oportunidad de arbitraje cuando no se cumple la paridad put-call 

Un inversor ha obtenido las siguientes cotizaciones para dos opciones call y put sobre acciones valoradas en 31 $, cuando el tipo de interés sin riesgo a 3 meses es el 10% anual continuo.



Tanto las call como las put tienen el mismo precio de ejercicio: X = 30 $ y vencimiento en 3 meses.

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

Opción de compra: c = 3 $



Opción de venta: p = 2,25 $ 19



Comprobaremos si se cumple la paridad put-call

c + X ⋅e

− r ⋅T

= 3 + 30 ⋅ e

−0 ,1⋅3 / 12

= 32,9251$

p + S = 2,25 + 31 = 33,25$ 

Por tanto:

c + X ⋅e

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− r ⋅T

< p + s ⇒ p + S − c − X ⋅e

− r ⋅T

>0

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

Por tanto, podemos realizar la siguiente estrategia de arbitraje: 1. Comprar la call 2. Vender la put 3. Vender al descubierto las acciones •

Esta estrategia produce un ingreso inicial de: − c + p + S = − 3 + 2.25 + 31 = 30.25 $



Este ingreso inicial invertido durante 3 meses al 10% anual continuo se convierte en: 30.25⋅e0.10⋅3/12 = 31.0158 $

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A los tres meses puede ocurrir que: a)

ST > X = 30 $ ⇒ Se ejerce la call y no la put. Utilizamos las acciones que compramos con la call para cerrar la operación de venta en corto. El beneficio será: -30

+

Ejercicio de la call

b)

31,0158

=

1,0158 $

Resultado de la inversión

ST < X = 30 $ ⇒ No se ejerce la call y si la put. Se compran las acciones por X = 30 $, con las que se cierra la operación de venta en corto. El beneficio será: -30 Ejercicio de la put 

+

31,0158

=

1,0158 $

Resultado de la inversión

Para opciones americanas, dado que P ≥ p y C = c

C + X ⋅ e − r ⋅T ≤ P + S Lola Robles - UCM

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Valoración de opciones por el método binomial - Valoración de opciones call europeas mediante árboles binomiales de un paso - Valoración de opciones call europeas mediante árboles binomiales de dos pasos - Valoración de opciones put americanas por el método binomial

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Valoración de opciones call europeas mediante árboles binomiales de un paso 

Consideremos una opción call europea sobre acciones que no pagan dividendos durante la vida de la opción. 

El precio de la acción es S = 20 $



La opción vence dentro de 3 meses



El precio de ejercicio es X = 21 $



El tipo de interés sin riesgo a 3 meses es el 12% anual continuo.



Se sabe que al cabo de 3 meses la acción sólo puede valer 22 $ ó bien 18 $.

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

En la fecha de vencimiento: 

Si ST > X la opción será ejercida y valdrá c = ST - X = 22 - 21 = 1 $.



Si ST < X la opción no será ejercida y valdrá cero c=0.



el valor de la opción en tres meses es max(ST - X, 0).



Gráficamente: árbol binomial t=0

t = T = 3/12 años ST = 22 cT = 1

S = 20 c =? ST = 18 cT = 0



¿Cuánto debe valer la opción en el nudo inicial del árbol?.

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

Procedimiento: construir una cartera que tenga el mismo valor final independientemente de que el precio suba o baje:



Cartera: posición larga en ∆ acciones y posición corta en una opción de compra:





El valor actual de la cartera es: ∆S - c = 20∆ - c



Si en 3 meses ST= 22 $, entonces la cartera valdrá 22∆ - 1



Si en 3 meses ST= 18 $, entonces la cartera valdrá 18∆

Elegimos ∆ (número de acciones a comprar) tal que se elimine el riesgo, es decir, que ofrezca siempre los mismos pagos (valoración neutral al riesgo): 22∆ - 1 = 18∆ ⇒ ∆ = 0,25 acciones

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

Como esta cartera está libre de riesgo, su rentabilidad debe ser la del tipo de interés sin riesgo (de lo contrario existirían oportunidades de arbitraje): Valor final= (Valor inicial) x erxT ⇒ ⇒18∆ = 22∆ - 1 = 18 x 0,25 = 4,5 = (0,25 x 20 - c) x e0,12x3/12 ⇒ c = 0,633 $



Este ejemplo es muy sencillo y muy irreal, ya que supone que la acción sólo puede tomar dos valores en T, cuando en la práctica puede tomar cualquier valor entre cero e infinito.



Para aproximarnos más a la realidad, debemos aumentar el número de nudos finales del árbol, aumentando el número de pasos intermedios.

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Matemáticamente: Suponemos la siguiente evolución para el subyacente:

uS

o u: movimiento multiplicativo al alza.

o d: movimiento multiplicativo a la baja. S dS

C

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Podemos encontrar una cartera para determinar el valor de la opción por arbitraje: o Venta de 1 opción o Compra de

∆ acciones.

∆ : es el ratio de cobertura esta es una cartera “sintética”. La evolución del valor de la cartera es el siguiente:

Se busca el valor de

∆ para que el valor de la cartera al final del periodo sea

siempre el mismo:

∆uS − Cu = ∆dS − Cd C −C ∆= u d (u − d ) S Esta cartera está libre de riesgo por lo que el valor actual debe ser: = ∆S − C Lola Robles - UCM

∆uS − C ) e − rT ( ∆dS − C ) e − rT (= u

d

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Esta cartera está libre de riesgo por lo que el valor actual debe ser: = ∆S − C

∆uS − C ) e − rT ( ∆dS − C ) e − rT (= u

d

Despejando C : C =

= ∆S − ( ∆uS − Cu ) e − rT

= e

− rT

(

 Cu − Cd rT  S e C e − rT u = + −  u  (u − d ) S 

(

Si denominamos:

)

rT e − rT  ∆S e= − u + Cu  

)

  e rT − d   e rT − u   Cu   + Cd   u d −   u − d    

e rT − d π= u−d

Tenemos que: C e − rT π Cu −+(1 − π ) Cd  =

con

 Cu = max {0; uS − X }  Cd = max {0; dS − X }

Es decir, C es el valor medio de los precios Cu y Cd ponderando por la probabilidad π . Esta es la probabilidad neutral al riesgo tal que el valor esperado de la acción es igual al valor descontado por la tasa libre de riesgo: E ( S= )

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[π uS + (1 − π )dS=]

Se rT

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Valoración de opciones call europeas mediante árboles binomiales de dos pasos 

Consideremos una opción call europea sobre una acción que no paga dividendos durante la vida de la opción. 

El valor actual de la acción es S = 20 $



La opción vence dentro de 6 meses, que dividimos en dos subperiodos de 3 meses cada uno.



El tipo de interés sin riesgo es el 12% anual continuo, para todos los vencimientos.



El precio de ejercicio es X = 21 $

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 

Al final de cada subperiodo el precio de la acción puede subir o bajar un 10%. El valor de la opción en los nudos finales es:  cD = max(24,2 - 21, 0) = 3,2  cE = max(19,8 - 21, 0) = 0  cF = max(16,2 - 21, 0) = 0 D S = 24,2; c=3,2 B S = 22 E

A S=20

S = 19,8, c=0 C S = 18 F

S = 16,2, c=0 Lola Robles - UCM

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 

Debemos encontrar el valor de la opción en el nudo inicial. Para ello primero se calcula el valor de la opción en los nudos B y C. Analizamos la parte del árbol que comienza en ese nodo.

t = 3/12 años

t = T = 6/12 años

t = 3/12 años

SD = 24,2 cD = 3,2 SB = 22 cB = ?

SE = 19,2 cE = 0 SC = 18 cC = ?

SE = 19,8 cE = 0



t = T = 6/12 años

SF = 16,2 cF = 0

Son árboles de un solo paso, por lo que procedemos como en el apartado anterior y hallamos: cB = 2,0257 $; cc = 0

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

Sólo quedar hallar el valor de la opción en el nudo inicial del árbol: t = 0 años

t = T = 3/12 años SB = 22 cB = 2,0257

SA = 20 cA = ? SC = 18 cC = 0



Procediendo como en el apartado anterior (formando una cartera libre de riesgo e igualando su rentabilidad a la del activo seguro), obtenemos el valor de la opción en A: cA = 1,2823 $

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Caso general, para opciones call y put Se define • Su precio de las acciones que han subido de valor, u>1. • Sd precio de las acciones que han bajado de valor, d 0 y δ p/ δS