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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE Facultad de Ciencias Básicas Laboratorio de Física II Reporte de laboratorio n°4 II Periodo de 2014

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA D. Vasquez1, F.Gaviria1, A.Garcia2. 1

Ingenieria Eléctrica, Universidad Autónoma de Occidente, Campus Valle del Lili, Cali, Colombia. Ingenieria Industrial, Universidad Autónoma de Occidente, Campus Valle del Lili, Cali, Colombia.

2

Recibido: Viernes 19 de Septiembre del año 2014 RESUMEN En la práctica de laboratorio se experimentó y estudio la creación de ondas estacionarias, en donde colocamos a prueba los conceptos vistos y aprendidos durante las clases anteriores a dicha práctica. En la cual utilizamos un vibrador de frecuencias que es el generador de las ondas, unas masas para crear una tensión, una cuerda que es el medio por donde viaja y propaga la onda, una polea que es el medio donde paso nuestra cuerda y la interfaz de Pasco Casptone, por medio de este laboratorio encontramos valores como la longitud de onda para cada una de las masas y frecuencias utilizadas, la velocidad de propagación y densidad lineal.

Actividad 1 Frecuencia: 30(Hz) Tensión, T(N) Longitud de onda, λ (m) 0,21 0,840 0,31 1,035 0,43 1,210 0,53 1,350 Tabla 1. T vs λ Con 30 Hz

ANÁLISIS Y DISCUSIÓN Para esta práctica de ondas estacionarias en una cuerda en donde se conecta un extremo de la misma a un sistema de vibración en el cual se tensiona la cuerda colocando pesas en el extremo libre que pasa por una polea. Para el desarrollo de esta práctica se divide en 2 situaciones en la primera parte se toman datos de Tensión (T) y Longitud de onda (λ) en 4 frecuencias diferentes como 30 Hz, 60 Hz, 90 Hz, 100 Hz. En una segunda parte se trabaja sobre la determinación de la velocidad de propagación de la onda en la cuerda, para esto se analiza el comportamiento del sistema en las diferentes variaciones de Frecuencia (Hz) en relación de la longitud de onda (λ), para este caso se trabajó con una única Tensión correspondiente a 0,53 N. Estas dos actividades fueron consignadas en diferentes tablas por frecuencia, en donde se estudia el comportamiento que tiene cada masa generando una tensión en la cuerda para posteriormente tomar los datos de longitud de onda con su correspondiente grafica estos fueron los datos obtenidos:

Grafica 1. Tensión vs Longitud de Onda (30 Hz) Frecuencia: 60(Hz) Tensión, T(N) Longitud de onda, λ (m) 0,22 0,430 0,31 0,515 0,42 0,600 0,51 0,665 Tabla 2. T vs λ Con 60 Hz

Ondas Estacionarias en una Cuerda

Grafica 2. Tensión vs Longitud de Onda (60 Hz) Frecuencia: 90(Hz) Tensión, T(N) Longitud de onda, λ (m) 0,22 0,290 0,31 0,355 0,42 0,400 0,51 0,440 Tabla 3. T vs λ Con 90 Hz

Grafica 4. Tensión vs Longitud de Onda (100 Hz) La distribución del cuadrado de la longitud de onda con respecto de la tensión se muestra en la siguiente gráfica:

Grafica 5. λ2 𝑣𝑠 𝑇 Para cada frecuencia.

Grafica 3. Tensión vs Longitud de Onda (90 Hz) Frecuencia: 100(Hz) Tensión, T(N) Longitud de onda, λ (m) 0,22 0,26 0,31 0,32 0,42 0,36 0,51 0,40 Tabla 4. T vs λ Con 100 Hz

De la anterior grafica mostrada se analiza se puede percibir que el comportamiento observado es completamente lineal lo cual indica el cumplimiento al planteamiento teórico inicial, lo cual hace referencia la relación entre Frecuencia, Tensión y longitud de onda que afecta en el sistema, donde precisamente esta longitud de onda omitiendo un poco la tensión sobre la cuerda pero teniendo en cuenta la variación de la frecuencia, esta longitud disminuye, es decir que a me una mayor frecuencia la longitud de onda es menor, esto se debe a que la onda del sistema se mueve con rapidez constante y no se ve afectada por la variación de la frecuencia. Pero no solamente podemos hacer este análisis con la gráfica realizada (Grafica 5) gracias a esta relación podemos realizar también una analogía que nos permita determinar para cada frecuencia las respectivas densidades de las diferentes masas.

Ondas Estacionarias en una Cuerda

Teóricamente tenemos: Velocidad de Propagación de una onda cualquiera

Velocidad de propagación de una onda transversal

𝑣 = 𝜆f

𝑣=√

𝑇 µ

𝑇 𝜆f = √ µ Despejamos

𝜆=

µ30𝐻𝑧 =

µ30𝐻𝑧 =

Frecuencia (Hz) Densidad lineal (Kg/m) 30 Hz 3,21𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚 60 Hz 3,47𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚 90 Hz 3,74𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚 100 Hz 3,57𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚 Tabla 7. Registro de datos de densidades

𝑇 𝑓 2µ Tabla 5. Expresiones de velocidad de propagación.

La pendiente de la recta (m) es igual a:

1 3114

El proceso se repite para cada una de las frecuencias posteriormente es reportado en la siguiente tabla.

𝜆2 =

De la relación con la gráfica obtenemos:

1 ∗ (3,46)

µ30𝐻𝑧 = 3,21𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚

𝑇 𝜆2 f 2 = √ µ

𝑣 𝑓

302

Respectivas incertidumbres absolutas

∆µ = |

𝑑𝑢 𝑑𝑚

| . ∆𝑚

∆µ = |

1 𝑓 2 .𝑚

| . ∆𝑚

2

𝑚= 2

Reemplazamos 𝜆

𝜆 𝑚/𝑠 𝑇

𝑇 1 𝑓 2µ 𝑚= = 2 𝑇 𝑓 µ Por lo anterior definimos la densidad lineal como: 1 µ= 2 𝑓 𝑚 Con la anterior expresión encontraremos la densidad lineal de la cuerda utilizando de igual los datos arrojados por las gráficas (Grafico 5) como son lo de pendiente (m) y frecuencia (f):

∆µ =

1 𝑓 2 .𝑚2

. ∆𝑚

1 𝑥 0.051 = 0.473𝑥10−5 𝑘𝑔/𝑚 (30)2 (3.46)2 1 ∆µ60𝐻𝑧 = 𝑥 0.0043 = 0.186𝑥10−5 𝑘𝑔/𝑚 (60)2 (0.80)2 1 ∆µ90𝐻𝑧 = 𝑥 0.018 = 0.204𝑥10−4 𝑘𝑔/𝑚 2 (90) (0.33)2 1 ∆µ100𝐻𝑧 = 𝑥 0.016 = 0.204𝑥10−4 𝑘𝑔/𝑚 2 (100) (0.28)2 ∆µ30𝐻𝑧 =

Respectivas incertidumbres relativas Incertidumbre Relativa =

Datos 0,80 0,33 0,28 Pendiente (m) 3,46 30 60 90 100 Frecuencia (Hz) Tabla 6. Datos de pendiente y Frecuencia.

∆µ µ

=

0,473x10−5 Kg/m 3,21𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚

*100=1,46%

Frecuencia 60Hz

Calculo de densidad lineal µ=

Frecuencia 30Hz

1 𝑓2𝑚

∆µ µ

=

0,186x10−5 Kg/m 3,47𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚

*100=0,53%

∆µ µ

Ondas Estacionarias en una Cuerda

100 0,38 Tabla 9. F vs λ (30-100 Hz)

Frecuencia 90Hz ∆µ µ

=

0,204x10−4 Kg/m 3,74𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚

*100=0.54%

Frecuencia 100Hz ∆µ µ

=

0,204x10−4 Kg/m 3,57𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚

*100=0,57%

Promedio de densidades lineales

Frecuencia (Hz) Densidad Lineal (Kg/m) 30 3,21𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚 60 3,47𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚 90 3,74𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚 100 3,57𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚 Suma 13.99 𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚 Promedio 3,49𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚 Tabla 8.Datos de Frecuencia y Densidad Lineal

Grafica 6. Frecuencia vs Longitud de Onda (30-100 Hz) Grafico correspondiente a la relación Longitud de onda en función de la frecuencia.

Respectivas incertidumbres Absoluta ∆µ = ∆µ𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =

1 . ∆𝑚 𝑓 2 . 𝑚2

1 𝑥 0,022 = 0,306𝑥10−5 𝑘𝑔/𝑚 (70)2 (1,21)2

Relativa −5

∆µ 0,306x10 Kg/m = ∗ 100 = 0,876% µ 3,49𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚

Grafica 7. Longitud de onda vs Frecuencia. En la anterior grafica su puede evidenciar notoriamente un comportamiento totalmente exponencial ya que la longitud de onda decrece considerablemente al aumentar la frecuencia, es decir, es inversamente proporcional.

Actividad 2 En cuanto a esta parte de la práctica se hace el análisis correspondiente y enfocado a la determinación de la velocidad de propagación de una onda en una cuerda. Tensión, T (0,53N) Frecuencia (Hz) Longitud de Onda λ (m) 30 1,29 40 1,05 50 0,79 60 0,63 70 0,56 80 0,50 90 0,45

Grafica 8. Longitud de onda vs 1/f

Ondas Estacionarias en una Cuerda

Porcentaje de error relativo: %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =

Datos del Ajuste Lineal

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 ∗ 100 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜

%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =

38,96 𝑚/𝑠 − 39,6 𝑚/𝑠 ∗ 100 38,96 𝑚/𝑠 %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 1,64 %

Respectivas incertidumbres Imagen 1. Ajuste lineal (Grafica 8) Absoluta Gracias a la información generada por el grafico anterior podemos determinar la velocidad de propagación de la onda en el sistema para eso recorrimos a las expresiones explicadas en la tabla 5 (Tabla 5. Expresiones de velocidad de propagación.)

∆µ =

∆µ𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = Empleando la analogía correspondiente nos damos cuenta que la formula general de la recta 𝑌 = 𝑚𝑥 + 𝑏 en donde encontramos que la pendiente de la recta (m) hace referencia a la velocidad de propagación. 𝑣 = 𝑚 𝑣 = 39,6 𝑚/𝑆 Respectivas Incertidumbres Absoluta= 1.2 Relativa=

𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑚

∗ 100 =

1,2 39,6

= 3,03%

De igual manera haciendo uso de las expresiones vistas podemos realizar el cálculo de la velocidad de propagación de la onda utilizando la siguiente relación. 𝑇 𝑣=√ µ Donde T=0,53N µ=Densidad lineal de masa promedio. 0.53 𝑁 𝑣=√ 3,49𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚 𝑣 = 38,96 𝑚/𝑠

1 . ∆𝑚 𝑓 2 . 𝑚2

1 𝑥 1,2 = 0,0156𝑥10−5 𝑘𝑔/𝑚 (70)2 (39,6)2

Relativa ∆µ 0,0156x10−5 Kg/m = ∗ 100 = 0,044% µ 3,49𝑥10−4 𝐾𝑔/𝑚 DISCUSION Con este laboratorio se logró entender el comportamiento de una onda estacionaria sobre una cuerda, de acuerdo a los resultados obtenidos con la práctica podemos decir que fue de gran ayuda para aplicar todos los conceptos debido a tos los datos que se hallaron como fueron la velocidad de propagación, la densidad de la cuerda, sus incertidumbres y errores que se hallaron entre lo teórico y experimental concluyendo que hay variaciones entre estos valores que se obtienen, esto debido a factores como la medición y factores externos como el medio en el que nos encontrábamos, ya que se deben trabajar en medios ideales. CONCLUSIONES La distancia de un nodo a otro vecino es igual a media longitud de onda, por lo cual la medición de la distancia entre 3 nodos o la medición entre dos antinodos permite determinar la longitud de la onda. A mayor tensión sobre la cuerda, la longitud de onda aumentara, es decir que son directamente proporcionales, También dicha longitud disminuye si la frecuencia para cada una de las masas aumenta por tanto son inversamente proporcionales. La velocidad de propagación de una onda depende de la tensión y la densidad lineal que hay en la cuerda por tanto cuando aumentamos la tensión o el valor de la masa una misma cuerda, su velocidad será mayor.

Ondas Estacionarias en una Cuerda

Al usarse una cuerda de misma densidad para cada uno de los casos los valores de velocidad de propagación, y longitudes varían. REFERENCIAS [1] SEARS, YOUNG, HUGH D. y ROGER A. FREEDMAN Física universitaria volumen 1. Decimosegunda edición PEARSON EDUCACION, México, 2009. [2] P.A. Tipler, G. Mosca. Física para la ciencia y la tecnología, volumen1. Décimo segunda edición, Reverte, Barcelona, 2005 [3] PASCO Online Physics Experiments. Motion Challenge.

[4] FISICA ELEMENTOS FUNDAMENTALES, Guerra Mario, Tomo II, Editorial reverté S.A., Barcelona 1994.