• Author / Uploaded
• ALEJANDRA PEREZ

Citation preview

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA Gerardo Daniel Lafuente Claros, Felix Acarapi Calani, Karina Stephanie Cruz Lopez [email protected], [email protected], [email protected]. Turno lunes 17:15 – Curso de Lab. Física Básica II- Universidad Mayor de San Simón

Resumen En este laboratorio se realizó una práctica, en la cual usamos una cuerda ligera que estará sujeta a un equipo de ondas estacionarias a su vez, Este equipo tiene una varilla el cual sirve para variar la tensión de la cuerda, entonces empezamos conectando el equipo a la corriente y encendemos. Después cuando la cuerda este en movimiento notaremos que formara una especie de ondas y medimos la distancia de nodo a nodo, con una regla graduada, la regla no debe de chocar ni tener contacto con la cuerda por que se desnivelara o, cambiara el movimiento y eso ocasionara que varié la distancia. El experimento lo realizamos 5 veces, debemos hallar con 2, 3, 4, 5, y 6 nodos. graduamos con la varilla deslizante la tensión de la cuerda midiéndola lentamente hasta conseguir el número de ondas que deseo obtener y después leer la tensión aplicada en el dinamómetro y también medir la longitud entre nodos es decir (los antinodos).

Introducción El objetivo de nuestra práctica es determinar la frecuencia de oscilación de la onda estacionaria y encontrar la tensión en la cuerda de la onda estacionaria. Las ondas estacionarias son aquellas ondas en las cuales, ciertos puntos de la onda llamados nodos, permanecen inmóviles. Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a través de un medio. Se producen cuando interfieren dos movimientos ondulatorios con la misma frecuencia, amplitud pero con diferente sentido, a lo largo de una línea con una diferencia de fase de media longitud de onda. La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Tiene puntos que no vibran (nodos), que

permanecen inmóviles, estacionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud de vibración máxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energía máxima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. Una propiedad destacada de estas ondas estacionarias es que su longitud de onda (y, consecuentemente, su frecuencia) no puede adoptar cualquier valor arbitrario, sino sólo unos determinados valores que se relacionan con la longitud de la cuerda. Las ondas en cuerdas son ondas mecánicas transversales, y pueden pueden producir ondas estacionarias cuando la onda está sometida a una tensión T y uno o dos extremos de la cuerda están fijo. Consideramos una onda incidente en una cuerda que viaja hacia la derecha, du ecuación esta dada por: 𝜓𝑖 = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡) Después de una distancia L la onda incidente encuentra un obstáculo y es reflejada, por lo cual, la ecuación de la onda reflejada se mueve hacia la izquierda, su ecuación es: 𝜓𝑟 = 𝐴 sin(𝑘𝑥 + 𝑤𝑡) la superposición de las ondas incidentes y reflejada es la suma de las ambas ecuaciones antes mencionadas. 𝜓 = 𝜓𝑖 + 𝜓𝑟 = 𝐴[sin(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡) + sin(𝑘𝑥 + 𝑤𝑡)] = 2𝐴 sin 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) cos 𝑤𝑡 La ecuación mencionada no representa una onda que propaga, no obstante es una onda estacionaria. Cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia W y tiene una amplitud de 2A = sin 𝑘𝑥. En la onda estacionaria se forma nodos y antinodos. Los nodos son las posiciones en las cuales la amplitud es mínima, y los antinodos son los puntos de amplitud máxima. Para los nodos se tiene: 2𝐴 = sin(𝑘𝑥) = 0 Dónde: Kx = n𝜋

n = 0, 1, 2, 3, 4…….. 𝑛

Y k = 2𝜋 =/ es el número de onda. Por tanto, la expresión para encontrar los nodos es: 𝑥 = 2

Entre los nodos sucesivos, los puntos oscilan con la misma frecuencia y perpendicular a la dirección de propagación, formando de esta manera un perfil sinusoidal que permanece fijo en el espacio (onda estacionaria) La amplitud en los extremos (punto fijo) de la cuerda es nula. Esta condición en la frontera permite que la cuerda tenga un número de patrones naturales de oscilación, que son conocidos como modos normales de vibración. Cada modo de vibración tiene una longitud de onda está definida, que se obtiene a partir de la ecuación antes mencionada. 𝜆𝑛 =

2𝐿 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 1,2,3 … …. 𝑛

Por otro lado, cualquier movimiento ondulatorio cumple la ecuación de onda: 𝜕2 1 𝜕2 = 𝜕𝑥 2 𝑣 2 𝜕𝑡 2 Donde v es la velocidad de propagación de la onda. En el caso de ondas estacionarios es una cuerda, la ecuación de movimiento ondulatorio está dado por: 𝜕2 𝜇 𝜕2 = 𝜕𝑥 2 𝑇 𝜕𝑡 2 Donde T es la tensión ejercida sobre la cuerda, y 𝜇 es la densidad lineal de masa de la cuerda: 𝜇 = 𝑚 𝐿 𝑇

Se puede demostrar que la velocidad de propagación en una onda de la cuerda es: 𝑣 = √𝜇 Además, si 𝑣 = 𝜆𝑓 , la ecuación mencionada se puede escribir como: 𝜆 =

1 𝑇 √ 𝑓 𝜇

Donde 𝑓 es la frecuencia de oscilación.

Método experimental Materiales 

Equipo de ondas estacionarias en una cuerda



Cuerda ligera



Regla graduada con pestañas



Dinamómetro

Procedimiento experimental 1. Conectamos el equipo de ondas estacionarias al toma corriente y encendemos el equipo. 2. Con la varilla deslizante del equipo de ondas estacionarias variamos la tensión de la cuerda, moviéndola lentamente hasta conseguir la onda fundamental, en nuestro caso empezaremos con 6 nodos e iremos reduciendo hasta los dos nodos. 3. Una vez formada la onda fundamental ajustar el tornillo de sujeción de la varilla deslizante y leemos el dinamómetro que será la tensión aplicada a la cuerda. 4. También medimos la distancia entre nodo y nodo en la cuerda con la regla graduada con pestañas, con el cuidado de que las pestañas entren en contacto con la cuerda. 5. Lo mismo hacemos para 5, 4, 3 y 2 nodos.

Resultados y discusión El resultado que hallamos de la frecuencia 𝑓 fue:

𝑓 = (30,40 ± 0,58)[𝐻𝑧]; 1,9%

Y la gráfica que obtuvimos fue la siguiente:

LONGITUD DE LA CUERDA (m)

LONGITUD DE ONDA EN FUNCION DE LA TENCION DE LA CUERDA 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tencion ( N )

Figura 1. Longitud de onda en función de la tensión de la cuerda, la línea azul representa los valores de la tensión y la longitud de onda.

*consultar apéndice para los cálculos.

Discusión Observe que para diferentes modos de oscilación y para la misma tensión de la cuerda, la velocidad de la onda transversal es la misma, es decir, el producto de la frecuencia y la longitud de la onda es constante. Para diferentes tensiones de la cuerda, note que la velocidad de propagación de la onda aumenta con el aumento de la fuerza F. Puede comprobar que el cuadrado de la velocidad es directamente proporcional a la fuerza. Basado en la dependencia antes mencionada y en la expresión v  determinar la densidad lineal de masa de una cuerda.

F



, proponga un método para

Conclusiones 

Podemos concluir que la longitud de onda disminuye si la frecuencia aumenta, ya que como vimos anteriormente en la gráfica estas tienen un comportamiento decreciente, por tanto son inversamente proporcionales.



Si hay una mayor tensión sobre la cuerda, la longitud de onda aumentara, ya que estas tienen un comportamiento directamente proporcional.



Los nodos son puntos de la cuerda donde no se trasmite energía en estos, en cambio en los antinodos son los puntos donde la amplitud es máxima.



La velocidad de propagación de una onda depende de la tensión que hay en la cuerda por tanto a un aumento de tensión en una misma cuerda, su velocidad será mayor.



Al aumentar la frecuencia la longitud de onda (lambda) disminuye porque ante el aumento de la frecuencia empiezan a parecer una mayor cantidad de nodos y antinodos (armónicos), haciendo que lambda disminuya

Bibliografía 

Libro de laboratorio de física la universidad mayor de san simón



ntercentres.edu.gva.es/iesleonardodavinci/Fisica/Ondas/Ondas12.htm



https://es.wikipedia.org/wiki/Onda_estacionaria

Apéndice Registro de datos: Longitud de la cuerda: 𝐿 = (3.510 ± 0.01)[𝑚]; 0.3% Masa de la cuerda: 𝑀 = (0.5593 ± 0.0001)[𝑔]; 0.02%

Densidad lineal de masa: 𝜇 =

𝜇 =

𝑀 𝐿

5.593 ∗ 10−4 3.510

𝜇 = 1.593 ∗ 10−4 [

𝑘𝑔 ] 𝑚

En la tabla 1 registrar las distancias entre dos nodos consecutivos, y las tensiones para los diferentes modos de vibraciones de la onda estacionaria:

N

Numero de nodos

T (N)

L1 (m)

L2 (m)

L3 (m)

1

2

0,93

0,753

0,752

0,753

2

3

0,2

0,381

0,367

0,382

3

4

0,09

0,248

0,251

0,251

4

5

0,05

0,192

0,19

0,191

5

6

0,03

0,15

0,152

0,153

Con datos tabla

los

completar la tabla 2 (ver figura 1), donde: 𝐿̅ = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜

de la 1

𝜆 = 2𝐿̅ N

L (m)

T (N)

λ(m)

1

0,752

0,93

1.504

2

0,376

0,2

0.753

3

0,25

0,09

0,5

4

0,191

0,05

0,382

5

0,151

0,03

0.3034

Como la gráfica de la tabla 2 es una curva (ver figura 1), realizamos la linealizacion por método de logaritmos a partir de la ecuación de la longitud de onda: 𝜆 = 𝑎 ∗ 𝑇𝑏. log 𝜆 = log 𝑎 + 𝑏 log 𝑇 ↓

↓ λ’

A

↓

↓

B

T’

λ’ = A + B T’ Y tenemos la nueva tabla, tabla 3:

T’=log 𝑇

→

N

Log (λ)

Log (T)

1

0.177

-0.031

2

-0.123

-0.699

3

-0,301

-1,046

4

-0,418

-1.301

5

0,518

-1.523

λ’=log 𝜆

El modelo de ajuste de la gráfica con los datos de tabla 3 es:

λ’ = A + B T’ Con el MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS, encontrar los parámetros del modelo escogido: A = -0.1760 B = 2,7390 r = 0,999

Y ahora hallamos los errores de A y B: 𝜎2 2,0503 ∗ 10−4 𝜎𝐴 = √ ∗ ∑ 𝑋 2 = √ ∗ 0,58014 = 0,009 ∆ 1,50258

𝜎𝐵 = √

𝜎2 2,0503 ∗ 10−4 ∗𝑛 =√ ∗ 5 = 0,03 ∆ 1,50258

Y tenemos:

A = (-0,176± 0,009); 2,2% B = (2,73± 0,03); 1,4%

Y la ecuación lineal es:

λ’ = -0,176 + 2,73 T’

Como es: A=log 𝑎

→

𝑎 = 10𝐴 =2,606

𝑎, = 10𝐴 ln 10 𝑒𝑎 = √(∆𝐴 )2 = ∆𝐴 ∆𝐴 = |

𝑑𝑎 | ∗ 𝑒𝐴 = 10𝐴 ln 10 ∗ 𝑒𝐴 = 0,05 𝑑𝐴 𝑎 = (2,606 ± 0,05); 1,9%

Como: 𝑎=

1 𝑓 ∗ √𝑢

Despejamos la frecuencia 𝑓: 1

𝑓 = 𝑎−1 *𝑢−2 = 30,401

Hallamos su error: 𝑓, =

𝑑𝑓 1 =− 2 𝑑𝑎 𝑎 ∗ √𝑢

𝑒𝑓 = √(∆𝑎)2 = ∆𝑎 𝑑𝑓 1 ∆𝑎 = | | ∗ 𝑒𝑎 = |− 2 ∗ 𝑒𝑎 | = 0,58 𝑑𝑎 𝑎 ∗ √𝑢

𝑓 = (30,40 ± 0,58)[𝐻𝑧]; 1,9%