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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias.

Fenómenos colectivos. (Laboratorio)

Ondas estacionarias en una cuerda Profesor: Luis Quintanar – Delia Bello Alumnos: Urrutia Sánchez Gerardo Cantera Fernández Josué Gallegos Medina Thalia (Experimento 8) Semestre: 2010-1

Contents 1 Resum´ en.

2

2 Introducci´ on. 2.1 Objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Marco te´ orico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 2

3 Procedimiento 3 3.1 Dispositivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.2 Puntos de cuidado en el montaje del dispositivo y en las mediciones efectuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.3 Como se produjo y controlo el experimento. . . . . . . . . . . . . 4 3.4 La forma en que se tomaron y analizaron los datos experimentales: 5 4 An´ alisis y resultados

5

5 Conclusiones 5.1 Bibliograf´ıa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6

1

1

Resum´ en.

Al realizar este experimento, producimos ondas estacionarias gracias a un vibrador con frecuencias definidas en donde se sujetaba un hilo, en el extremo contrario tenia sujeta una masa variante para producir tensi´on, todo esto estaba montado en una base especial. Cuando el vibrador produc´ıa ondas en la cuerda, observamos los nodos que se formaban. Por medio de los valores hallados se encontraron las frecuencias experimentales, las cuales se compararon con frecuencias te´ oricas, hallando los errores porcentuales.

2 2.1

Introducci´ on. Objetivo.

Observar las ondas que se producen en una cuerda y obtener la relaci´on que hay entre los nodos, velocidad y amplitud. De igual manera estudiar la propagaci´on de ondas arm´ onicas transversales y en la forma en que se superponen para dar lugar a ondas estacionarias.

2.2

Marco te´ orico.

Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma amplitud y longitud de onda, un incidente que se propaga de izquierda a derecha y la otra que resulta de reflejarse esta en el extremo y se propaga de derecha a izquierda. Las ondas estacionarias no son ondas de propagaci´on si no distintos modos de vibraci´ on de una cuerda. La amplitud de la oscilaci´ on para cada punto depende de su posici´on, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Hay puntos que no vibran (nodos), que permanecen inm´oviles, estacionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud de vibraci´ on m´ axima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energ´ıa m´ axima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. La distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media longitud de onda. Se llaman nodos a los puntos que tienen una amplitud m´ınima, y la distancia entre dos nodos es media longitud de onda λ/2. Nuestra cuerda ten´ıa una L fija, esta cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibraci´ on, cada una con una frecuencia caracter´ıstica, estas frecuencias se calculan f´ acilmente, en primer lugar los extremos de la cuerda deben ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos, el primer modo de vibraci´on ser´a aquel en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda

2

L = λ/2 Para el segundo modo de vibraci´on -un nodo en el centro-, la longitud de la cuerda ser´ a igual a una longitud de onda, L = λ Para el tercer modo, L = λ/2, y as´ı sucesivamente. Podemos proceder al rev´es y variar las longitudes de onda, manteniendo la longitud de la cuerda fija, para obtener diferentes modos de vibraci´on. Se producir´ an nodos para una cuerda de longitud L cuando λ de la onda tenga los valores dados por la f´ormula: 2L (1) n Como la frecuencia y la longitud de onda est´an relacionadas con la velocidad de propagaci´ on, para hallar las frecuencias que puede tener la onda empleamos la relaci´ on λ = vT Densidad lineal de la cuerda λs =

m l

(2)

T = mg

(3)

µ= Tenci´ on de la cuerda

Fue necesario tomar en cuenta estas relaciones, para verificar la velocidad con la que nuestra honda se est´a propagando y as´ı observar la eficiencia del oscilador mec´ anico. La velocidad de onda estar´a dada por √ T v= (4) µ

3

Procedimiento

3.1

Dispositivo

3.2

Puntos de cuidado en el montaje del dispositivo y en las mediciones efectuadas

El cuidado del equipo de laboratorio es importante, cabe mencionar que el vibrador tiene un dispositivo de seguridad el cual debe retirarse antes de hacer funcionar el aparato. De igual manera procurar que las pesas est´en bien sujetas al dispositivo, para evitar que se caigan.

3

calor y fluidos/8/disp.jpg

Figure 1: Aqui se muestra el dispositivo utilizado

3.3

Como se produjo y controlo el experimento.

El experimento se produjo con ayuda de un vibrador mec´anico, un oscilador el cual define frecuencias definidas, una cuerda la cual uno de sus extremos est´a atada al vibrador para que esta cuerda oscile y en el otro extremo estuvo atado a las pesas las cuales estuvimos variando durante la pr´actica. Como ya hab´ıamos mencionado, manipulamos el oscilador que producir´a la frecuencia adecuada para formar varios nodos (1, 2,3. . . ..) De esta manera podemos variar las longitudes de onda, manteniendo la longitud de la cuerda fija para as´ı obtener diferentes modos de vibraci´on.

4

3.4

La forma en que se tomaron y analizaron los datos experimentales:

Los datos los fuimos tomando con ayuda del oscilador y contando el numero de nodos que se formaban en la cuerda. Fue necesario comprobar la eficacia del vibrador, ya que al mandar la se˜ nal con el oscilador y el trabajo mec´anico provocan perdida de energ´ıa, lo hicimos mediante la densidad lineal.

4

An´ alisis y resultados

Masa de la cuerda es m = 0.00085kg Longitud de la cuerda es l = 1.93m Densidad lineal de la cuerda aplicando la ec (2) µ = 4.4x10− 4 A continuaci´ on mostraremos las siguientes tablas, las cuales incluyen el numero de nodos, frecuencia, velocidad obtenida con la ec(4) y la tenci´on con la ec (3) asociadas a cada masa. De igual forma mostraremos las graficas correspondientes a estas tablas. Observaremos tambi´en una relaci´on lineal entre la pendiente y la tensi´on, la grafica tambi´en se encuentra incluida.

5

Nota: La incertidumbre asociada a cada una de las masas es de 5𝑥10−4 𝐾𝑔, es la misma incertidumbre que se utilizara en las graficas, no la anotamos por comodidad de escritura. **Masa .1968Kg

Numero de nodos Frecuencia(Hz) 1 18.8 2 31.1 3 57.7 4 69.5 5 91.5 6 111.3 7 129.3 8 146.7 **Masa .25Kg

Velocidad m/s Tensión (N) 66 1.9 66 1.9 66 1.9 66 1.9 66 1.9 66 1.9 66 1.9 66 1.9

Numero de nodos Frecuencia (Hz) 1 19.6 2 38.7 3 62.5 4 83 5 100.6 6 117.9 7 144.3 8 164.9

Velocidad m/s Tensión (N) 74.6 2.4 74.6 2.4 74.6 2.4 74.6 2.4 74.6 2.4 74.6 2.4 74.6 2.4 74.6 2.4

**Masa .2988Kg Numero de nodos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frecuencia(Hz) Velocidad m/s Tensión (N) 21.8 81.6 2.9 44.7 81.6 2.9 65.3 81.6 2.9 88.5 81.6 2.9 113.4 81.6 2.9 133.4 81.6 2.9 162 81.6 2.9 184.3 81.6 2.9 208.3 81.6 2.9 227.3 81.6 2.9

***Masa .3235Kg

Numero de nodos Frecuencia (Hz) Velocidad m/s Tensión(N) 1 25.5 84.8 3.1 2 45 84.8 3.1 3 71 84.8 3.1 4 95 84.8 3.1 5 119.6 84.8 3.1 6 143.7 84.8 3.1 7 165.4 84.8 3.1 8 214.5 84.8 3.1 9 239.9 84.8 3.1 10 259.8 84.8 3.1

**Masa .3729kg Numero de nodos Frecuencia (Hz) Velocidad m/s Tensión(N) 1 26.2 92.8 3.6 2 48.6 92.8 3.6 3 75 92.8 3.6 4 100 92.8 3.6 5 128.9 92.8 3.6 6 159.2 92.8 3.6 7 179 92.8 3.6 8 202.3 92.8 3.6 9 229.7 92.8 3.6 10 255.6 92.8 3.6

**Masa .4472kg

Numero de nodos Frecuencia(Hz) Velocidad m/s Tensión(N) 1 28.6 99.7 4.4 2 55.5 99.7 4.4 3 84 99.7 4.4 4 112.6 99.7 4.4 5 134.6 99.7 4.4 6 167 99.7 4.4 7 195.5 99.7 4.4 8 220.8 99.7 4.4 9 250.1 99.7 4.4

A continuación mostraremos las tablas correspondientes a los ajustes de nuestras graficas. La ecuación tiene una forma lineal 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 + 𝑎, donde 𝑏 es la pendiente o razón de cambio, y a el punto donde la gráfica cruza al eje “x”, es decir, el valor que tiene la función en 𝑥 = 0 o mejor dicho nuestro primer valor cuando inician las mediciones. En las tablas mostramos la ecuación 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑓 donde 𝑓 es la frecuencia que esta variando, a la cual le agregaremos las incertidumbres de las masas de la siguiente manera. 𝑦 = 𝑎 ± 5𝑥10−4 + (𝑏 ± 𝑎 ± 5𝑥10−4 )𝑓 Para el caso de la última tabla. La cual muestra la tensión vs numero de nodos 𝑦 = 𝑎 ± 5𝑥10−4 + (𝑏 ± 𝑎 ± 5𝑥10−4 )𝑇 Donde T es la tensión que esta variando. En estos modelos que proponemos, se muestra el comportamiento de la onda cuando se aumenta la frecuencia y la tensión. Este comportamiento se ve reflejado en el numero de nodos que se van a producir En las siguientes tablas mostramos los valores de a y b para cada masa utilizada en el experimento, cabe mencionar que ya citamos las incertidumbres asociadas a estas masas, por comodidad no las citamos en las tablas. La columna que dice “standard error”, es el error asociado a cada valor de la ecuación. Si este error se acerca a 1 la confiabilidad de nuestro modelo seria mala, pero observamos que el error tiende a cero, lo que verifica la confiabilidad de nuestro modelo. m=0.1968 kg Adj. R-Square 0.99 a b

Valor Standard Error 0.13 0.15 0.05 0.0012

m=0.25 kg Adj. R-Square 0.99 a b

Valor Standard Error 0.06 0.08 0.04 8.60406E-4

m=0.2988 kg Adj. R-Square 0.99 a b

Valor Standard Error 0.12 0.05 0.04 4.17814E-4

m=0.3235 kg Adj. R-Square 0.99 Valor Standard Error 0.39 0.18 0.03 0.0011

a b

m=0.3729 kg Adj. R-Square 0.99 Valor Standard Error 0.03 0.06 0.03 4.31779E-4

a b

m=0.4472 kg Adj. R-Square 0.99 Nodos Nodos

Valor Standard Error -0.01 0.04 0.03 3.11751E-4

a b

Ecuación que se ajusta a la grafica de tensión contra nodos.

Tensión vs Pend. Adj. R-Square 0.758 Pendiente Pendiente

a b

Valor Standard Error 0.0642 0.00542 -0.00701 0.00172

5

Conclusiones

Al relacionar el n´ umero de nodos con la frecuencia, pudimos obtener gr´aficos lineales, los cuales nos proporcionar´on una serie de pendientes positivas que posteriormente fueron graficadas contra la tensi´on. La pendiente que se obtubo a partir de la gr´afica de tensi´on vs pendiente y fue negativa, es decir, la ecuaci´on lineal va tomando valores cercanos al cero conforme al aumento de la tensi´on. La interpretaci´ on que le damos a este resultado es la siguiente: Las pendientes que graficamos contra la tensi´on estan relacionadas con la frecuencia y el n´ umero de nodos, entonces si las pendientes obtenidas disminuyen cuando se grafican contra la tensi´on, vamos a tener un descenso en el n´ umero de nodos lo cual tiene sentido, ya que si aumentamos la tensi´on en nuestra cuerda el oscilador mec´ anico no tendra la capacidad de generar ondas.Lo mismo se puede observar con la tensi´ on, ya que cuando esta aumenta, el n´ umero de nodos disminuye.

5.1

Bibliograf´ıa:

Robert Resnick F´ısica parte 1 , compa˜ n´ıa editorial continental S.A DE CV , M´exico 1991, segunda edici´ on , capitulo 21 la ondas estacionarias pp. (473-478) Serway , Raymond A. y Jewett, Jhon W , MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO tercera edici´on capitulo 19 ondas pp (583-585) Paul G.Hewitt , F´ısica Conceptual, 1996editorial TRILLAS, S.A de C.V . M´exico DF, tercera edici´ on parte 3 ondas estacionarias, capitulo 15 pp (319-320) Paul E.Tippens Conceptos y aplicaciones M´exico: Mc Graw Hill 1994 Ondas estacionarias capitulo 16 pp (563-5566)

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