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MODULO 15 “CÁLCULO EN FENÓMENOS NATURALES Y PROCESOS SOCIALES”

PREPARATORIA ABIERTA-NUPLES

Identifica en la siguiente expresión al integrando y a la constante de integración.

R:

[Integrando a] [constante f]

Dadas las siguientes relaciones, identifica cuáles representan una función: R1=[(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)] R2=[(1,1)(2,4)(3,9)(4,16)(5,25)] R3=[(1,−1)(1,1)(4,−2)(4,2)(9,−3)(9,3)] R4=[(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)] R5= [(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)] R:

R1, R2 y R4

¿Cuál es el punto P[2, f(2)] donde existe una recta tangente a la función f(x)= x2 + 2x + 3? R:

P(2, 11)

Encuentra el punto P[1, f(1/2)] donde existe una recta tangente a la función f(x)= 2x2 + 3x R:

P(1, 2)

Tomando en cuenta que f(x) = x2 y g(x) = x, encuentra la derivada de h(x) utilizando la derivada de un producto de las funciones f(x) y g(x) R:

h’(x) = 3x2

Tomando en cuenta que f(x) = (x2 +2) y g(x) = (x – 1), encuentra la derivada de h(x) donde h(x) es el producto de la f(x) con g(x). R:

3x2 – 2x + 2

¿Cuál es la regla para derivar la función h(x) si es el producto de f(x) y g(x) y éstas últimas son funciones derivables? R:

h’(x) = f(x) g’(x) + g(x) f ’(x)

Selecciona cuales de las siguientes condiciones se deben de cumplir para que una función f(x) sea derivable en un intervalo cerrado [a, b] y que además también deba ser derivable en un intervalo abierto (a, b).

R:

1 y 3.

A continuación se te presentan las funciones continuas f(x) = 2x + 3 y g(x) = x + 1. Tómalas en cuenta y encuentra el límite de lim [f(x) + g(x)] cuando x = 1 si es que existe. R:

𝐥𝐢𝐦 𝟕, el límite existe 𝒙→𝟏

Se desea integrar:

6 ∫ 𝑑𝑥 𝑥+1 Indica la fórmula que permite resolverla y proporciona el resultado.

R:

F4 : 6 ln ( x + 1 ) + C

Fórmulas de integración

F1 F2 F3 F4

∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑘 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 = ∫

𝑥𝑛+1 𝑛+1

+ 𝐶 ; n≠1

𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 𝑥

¿Cómo se representa la tasa de variación instantánea de y por unidad de variación de x en y = f(x)? R:

𝒅𝒚 𝒅𝒙

¿Cuál es la fórmula correcta para calcular la derivada de f(x) = x3/5? R:

𝐝𝐱 𝐧 𝐝𝐱

= nxn-1

Deriva la función f(x) = 2x5 – 7x6 + 5x4 – 9x + 1 y selecciona la opción que contiene el resultado f’(x) = R:

10x4 – 42x5 + 20x3 - 9

Calcula la derivada de f(x) = x (x2 – 3) R:

3x2 - 3

Observa la siguiente función y = 3x2 – 5x + 4 y determina la razón de cambio de y con respecto a x. R:

6x - 5

¿Cuál es la sustitución de variable apropiada para realizar estas integrales? P1: R:

∫ 3𝑥( 1 – 𝑥 2 )3 𝑑𝑥

P2:

∫

cos 2𝑥 (4 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥)²

𝑑𝑥

[P1: u = 1 – x2] [P2: u = 4 + sen 2x]

La derivada de la función f(x) = e2x es f’(x) = 2 e2x y la derivada de la función g(x) = sen 3x es g’(x) = 3 cos 3x. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde con la derivada de la función h(x) = f(x) g(x)? R:

h’(x) = (e2x) (3 cos 3x) + (sen 3x) (2 e2x)

¿Es diferenciable en x = 2 la función siguiente? x – 2 si x ≠ 2

f(x) =

2 R:

si x ≠ 2

No, porque no existe f(2)

¿Cuál es la derivada de f(x) = R:

𝒇(𝒙) =

𝑥2 𝑥−1

?

𝒙𝟐 −𝟐𝒙 (𝒙−𝟏)𝟐

Localiza la pendiente de f(x) = 2x – 5 en el punto (2, 1). R:

2

Un rectángulo tiene la base fija x = 10 cm, pero la altura y es variable, creciendo a una velocidad de 5 cm/s. ¿A qué velocidad crece la diagonal del rectángulo cuando y = 20cm? R:

𝐝𝐃 𝐝𝐭

=

𝐲

𝐝𝐲

√𝐱 𝟐 +𝐲 𝟐 𝐝𝐭

= 4.47cm/s

Desde una plataforma de 1m de altura se lanza una pelota hacia arriba y alcanza una altura máxima de 12.025m en 1.5 segundos, ¿A qué velocidad se lanzó la pelota?, considera la aceleración de la gravedad en 9.8m/s2 R:

Vo = 9.8 x 1.5 = 14.7 m/s

Se deja caer un objeto desde un globo a 300 ft de altura sobre el suelo, entonces su altura a los t segundos es 300 – 16t2. Encuentra la velocidad en ft/s en t = 3 segundos. R:

-96

¿En cuál de los siguientes intervalos es decreciente la función de posición al tiempo t dada por s(t) = -0.05t2 + t? R:

(10, 20)

¿Cuál es la velocidad y la aceleración en función del tiempo de la siguiente función que representa la posición de un cuerpo que tiene movimiento rectilíneo en donde d(t) = 2t 2 + t metros? R:

v(t) = 4t + 1 m/s ; a(t) = 4 m/s2

Utilizando el límite de Fermat ¿cuál es el valor aproximado de la derivada de la función representada en la tabla de hoja de cálculo mostrada? Considerar dos cifras decimales.

R:

No se puede resolver porque no se conoce f(x)

¿Cuál es el resultado de calcular el siguiente límite?

lim(5 + 𝑥 2 )

𝑥→9

R:

86

Calcula los puntos críticos de la función f(x) = x2 + 5x + 6. R:

-

𝟓 𝟐

Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación x = -4t2 + 2t2 donde x representa metros y t segundos. Calcula la velocidad instantánea en m/s de la partícula en t = 2.5s. R:

6m/s

La función de velocidad al tiempo t (en minutos) de un vehículo eléctrico para niños que se mueve en una pista recta, está dada por la expresión: v(t) = 2t + 1. Si se sabe que el vehículo recorrió 20 metros en 2 min., ¿cuál es la función de posición al tiempo t del vehículo? R:

s(t) = t2 + t + 14

Utiliza el teorema fundamental del cálculo, para determinar el valor de f(t) = t3 con límites de: 𝑥 ∫1 𝑓(𝑡) R:

F’(x) = f(x) = x2

Utiliza la fórmula de sumatoria apropiada para encontrar el valor de la suma:

A = ∑3 i2 Considerando: i de 1 a 5

S1 ∑ k f(xi) = k ∑ f(xi) S2 ∑ f(xi) + g(xi) = ∑ f(xi) +∑ g(xi) S3 ∑ni=1 k = kn k= constante S4 ∑n i = n(n+1) i=1 2 n(n+1)(2n+1) S5 ∑n i2 = i=1

S6 ∑n i3 = i=1 R:

Con la formula S5 A=3

𝟓(𝟓+𝟏)(𝟐 𝐱 𝟓+𝟏) 𝟔

Determina la antiderivada general de la función f(x) = R:

6 n (n+1) 2 ( 2 )

4 𝑥5

-

3 𝑥4

-x-4 + x-3 + C

¿Cuál es la derivada de f(x) = cos (2x3 – 3x)? R:

-(6x2 – 3) sen (2x3 – 3x)

¿Cuánto vale la derivada en Q (3, 3) de la función y = R:

𝟏 𝟑

(3𝒙𝟐 ) -2/3 (6x); y’(3) = 0.667

3

√3𝑥 2 ?

Se tiene la gráfica de y = f(x) definida en el intervalo (0, 2).

Utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para determinar la función

𝑡

G(x) = ∫0 𝑓(𝑥)dx 2t R:

G(t) =

t+

𝒕𝟐 𝟐 𝟑 𝟐

;0≤t≤1 ; 1≤t≤2

Al obtener la integral o antiderivada ∫ 𝑦 2 (𝑦 2 − 3)𝑑𝑦 se obtiene: R:

𝟏 𝟓

𝒚𝟓 − 𝒚𝟑 + 𝒄

Utiliza la fórmula apropiada el área indicada por la integral:

3 2

A = ∫2

R:

𝑥−1

𝑑𝑥

F1 F2 F3 F4

Fórmulas de integración ∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑘 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑥𝑛 + 1 ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 = + 𝐶, 𝑛≠ 1 𝑛 + 1 𝑑𝑥 ∫ = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 𝑥

1.386

Vuelve explicita a la siguiente función implícita 2xy – x + y = 1, considerando x como variable independiente y evalúala para x = 2. R:

y=

(𝟏+𝒙) (𝟐𝒙+𝟏)

y = 0.6

¿Cuánta energía W se requiere emplear para comprimir 10 cm un resorte de constante K= 1000Nm? Información física: 1) La fuerza necesaria para deformar un resorte está dada por la ley de Hooke: F = - kx, donde k es la constante del resorte, x es el cambio de longitud. 2) 2. La energía requerida es igual al trabajo de deformación del resorte T = Fx, donde F es la fuerza aplicada, x es la distancia recorrida por dicha fuerza.

R:

𝟎.𝟏

W = ∫𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙 𝐝𝐱 = 5 N/m

La tabla presenta datos de la temperatura de una noche en la ciudad de Orizaba. ¿Cuál es la razón de cambio ΔT/ Δt promedio dela temperatura de la 1 a las 3 am? 1 2

A 1 (hrs) Temp (°C)

R:

ΔT/Δt =

B 0 4.0

(𝟑.𝟒−𝟒.𝟖) 𝟐

C 1 4.8

D 2 2.6

E 3 3.4

F 4 4.0

G 5 5.2

H 6 5.8

= -0.7

Si y = x2 – 4, ¿cuánto vale Dy cuando x varía de 1 a 1.1? R:

0.21

Se define la función y = f(u) como sigue: y = (2u4)1/3 donde u = x2 – 1. Determinar y’(x) usando la regla de la cadena. R:

𝟏 𝟑

(2u4)-2/3 (8u3) u’ ; u’(x) = 2x

;

𝟏

y’(x) = [2(x2 – 1)4]-2/3 [16x(x2 - 1)3] 𝟑

Obtén el valor de f[g(y)], tomando en cuenta los datos donde las funciones son: f(y) = y2 + y + 1 g(y) = y + 1 R:

y2 + 3y + 3

La tabla presenta la tasa de crecimiento poblacional en México entre 1895 y 1995. Con ayuda de Excel se obtuvo una expresión aproximada que permite calcular la tasa de crecimiento en función del año, es decir y = f(x), donde x = 0 corresponde a 1895 y el año 1935 corresponde con x = 4. Determina la velocidad de crecimiento poblacional (V) en 1935.

R:

V = -0.066 x2 + 0.55 x - 0.57 = 0.57

Utiliza la regla general de la potencia para determinar la integral:

x2

∫5 dx √x 3 − 3 R:

𝟓 𝟏𝟐

(𝐱 𝟑 - 3) -4/5 + C

¿Cuál de las siguientes formulas se utiliza para encontrar la antiderivada de una función f (x) = xn donde n y p son números racionales? R:

𝐱 𝐧+𝟏 𝐧+𝟏

¿Cuál de las siguientes funciones es continua en x = 3? R:

g(x) = x – 3

Identifica y ordena los pasos de la definición que permiten obtener y’(x) = 6x + 5 como derivada de la función y(x) = 3x2 + 5x

[1] y(x + Δx) = 3((x + Δx)2) + 5 (x + Δx) = 3x2 + 6xΔx +3 Δ2x + 5x + 5Δx [2]

𝑦 ( 𝑥 + 𝛥𝑥) – 𝑦(𝑥)

[3] lim

𝛥𝑥 𝑦 ( 𝑥 + 𝛥𝑥 )

𝑥→0

𝛥𝑥

= 6x + Δx + 5

= 6xΔx + 5Δx = 6x + 5

[4] y`(x) = lim (6𝑥 + 𝛥𝑥 + 5 ) = 6x + 5 + lim (𝛥𝑥) = 6x + 5 𝛥𝑥→0

[5]

𝛥𝑥→0

𝑦 ( 𝑥 + 𝛥𝑥) – 𝑦(𝑥) 𝛥𝑥

=

6𝑥 𝛥𝑥 + 𝛥2𝑥 + 5𝛥𝑥 𝛥𝑥

[6] y(x + Δx) = 3((x + Δx)2) + 5 (x + Δx) = 6x2 + 5xΔx

R:

1→5→2→4

Si $C(x) representa el costo marginal en pesos por la fabricación de zapatos de una fábrica y x representa el número de zapatos, encuentra el costo marginal cuando se fabrican 10 zapatos, tomando en cuenta que x = 10 y C(x) = 10 + 5x + 2x2. R:

$C’(x) = C’(10) = 45 pesos

En una función f(x) que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y x es cualquier número de [a, b] y F(x) está definida por F(x) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡’ ¿a qué es igual F´(x)? R:

F´(x) = f(x)

¿Cuál es la tasa variable instantánea de la h con respecto a x, y la de h con respecto a y, en h = x2+xy2? R:

𝒅𝒉 𝒅𝒙

= 𝟐𝒙 + 𝒚𝟐 ;

𝒅𝒉 𝒅𝒚

= 𝟐𝒙𝒚

¿Cuál es la antiderivada de la función f(x) = (x + 2)2? R:

𝟏

F(x) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝑪 𝟑

Si se conoce el desplazamiento que tiene un cuerpo en movimiento rectilíneo y se desea encontrar la aceleración que lleva en un tiempo dado. ¿Qué concepto se debe usar para encontrar su aceleración? R:

Segunda derivada

A continuación se muestran las gráficas de cinco relaciones. Responde las siguientes preguntas. ¿Cuáles de las gráficas mostradas representan a una función? R:

[2], [4] y [5]

En cuál de las relaciones se cumple que f(0) = 0? R:

[1] y [2]

¿Cuál de ellas representa una función biunívoca? R:

[1]

¿Cuál es la antiderivada de la función f(x) = x5? R:

F(x) =

𝒙𝟔 𝟔

+C

1

¿Cuál es el valor de ∫0 (𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 ? R:

F(x) = 1.33

Determina la expresión que permite calcular el área entre las funciones: y = - x2 + 3x + 6 y=3–x

R:

−𝟏

A = ∫−𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙

Clasifica la función de acuerdo a sus características como continua, derivable e integrable en el intervalo (0.5, 1.5) 1;0≤x -1

R:

1

La derivada de una función f(x) en el punto xo representa: el valor de cambio de la pendiente de la función f(x) en el punto xo ¿Cuál es la pendiente m de la curva f(x) = 2x2+ 3 en el punto x = −1? R:

4

¿Cuál es la pendiente m de la curva f(x) = 3x2 −2x en el punto x = 1? R:

m=6

1

Realiza los cálculos necesarios y encuentra el valor de f(x) = ∫0 𝑥√(𝑥 2 − 1)𝑑𝑥 R:

0.60

Una función f es continua en un número a si se satisfacen las tres condiciones siguientes. I) f está definida en un intervalo abierto que contiene a "a".

Dado lo anterior, analiza las siguientes gráficas de funciones y responde las preguntas que a continuación se presentan

¿En cuál de las funciones dadas NO SE CUMPLE la condición (II) para a=2?

R:

2

¿Cuál de las funciones dadas es continua en x=2?

R:

4

Determina el valor de ∫(𝑥 3 − 2𝑥)𝑑𝑥 R:

𝒙𝟒 𝟒

− 𝒙𝟐 + 𝑪

2

¿Cuál es el resultado de ∫1 (4𝑥 3 + 7)𝑑𝑥 utilizando el teorema fundamental del cálculo?

R:

[x4 + 7x]𝟐𝟏 = 22

Usa la gráfica para hallar el límite de 𝑓(𝑥)

=

|𝑥| 𝑥

cuando x tiende a

cero por la izquierda.

1

R:

¿Cuáles de la siguientes son las condiciones que debe tener una función f para que sea continua en un número a? 1. f(a) existe. 2. lím f(x) existe x → a. 3. lim f(x) L x → a+. 4. lim f(x) = f(a) x → a R:

1, 2 y 4.

Con ayuda de encuentra lim f(x) x--> 1

R:

3

la gráfica

Observa cada una de las gráficas de las funciones dadas y menciona para cuál(es) de las funciones dadas se cumple que el límite cuando x tiende a cero existe.

R:

2y3

¿Cuál es la ∆y, si y = 3x y x varía de 0 a 0.01? R:

0.03

Si x1 = 2.5 y x2 = 2.5101, ¿cuánto vale ∆ x? (incremento de x) R:

0.0101

El valor del incremento Dx debe ser igual a ____ para que se pueda calcular la derivada R:

Infinito

Localizar la función que corresponde a una derivada es el objetivo de calcular la ____ R:

Diferencial

La derivada de una función f es la pendiente de la _______a la gráfica de la función. R:

Recta tangente

La pendiente de una línea tangente que toca a una curva en un punto cualquiera es igual a la: R:

Derivada

Identifica la derivada de f(x) = k2, donde k es una constante. R:

0

¿A qué es igual la derivada de una función f(x) evaluada en el punto a, de una recta que es tangente a la función f(x) en el punto (a, b)? R:

Pendiente de la recta

Es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente. R:

Diferencial de una función

Identifica la ecuación de la recta tangente a la gráfica que se muestra a continuación.

R:

y-3=0

Tu asesor te pide que determines el siguiente límite:

𝐥𝐢𝐦

𝟏−𝒉

𝒉→𝟏 𝟏

− √𝒉

¿Cuál es la respuesta correcta para este caso? R:

2

¿Cuál es el límite de la función f(x) = 4, cuando el límite de x → 0? R:

4

Selecciona la opción que contiene la palabra que completa la siguiente idea: "una derivada representa con rigor un _____ particular para una función en ciertas condiciones de la variable independiente." R:

Incremento.

Determinar el valor de ∫(𝑥 3 − 2𝑥)𝑑𝑥 R:

𝒙𝟒 𝟒

− 𝒙𝟐 + 𝑪

0

2

Si se aplica el teorema fundamental del cálculo, ¿cuál es el valor de ∫1 𝑥 3 𝑑𝑥 ? R:

- 0.6

𝑉

La corriente eléctrica en un circuito es I (Ampere) está dada por I = donde V = 50 volts y R = 25 𝑅

Ohm, encuentra la tasa de cambio o variación de la corriente I con respecto a R. R:

𝒅𝑰 𝒅𝑹

= -0.08 ampere/ohm

Determina cuáles son los puntos de discontinuidad de la función f(x) = R:

-2, -4

𝟏 𝒙𝟐 −𝟒

Encuentra el siguiente límite: R:

𝟑

𝐥𝐢𝐦 √𝐱 𝟑 − 𝐱 − 𝟖 𝐱→𝟎

-2

1

¿Qué tipo de discontinuidad tiene la función f(x) = ? 𝑥

R:

No evitable

El volumen V de un cono circular recto de radio R y altura H está dado por la fórmula V = 2R2H. Se pide expresar la altura H como una función de V y R y evaluar H, para R = 1 cm y V = 3 cm3. R:

H = V/(2R2) ; H = 1.5 cm