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• Ciro Hildebrando Tafur Arevalo

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Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Ciencias Económicas

DUALIDAD, NUMEROS INDICES Y CAMBIOS EN EL BIENESTAR José A.Delfino

Córdoba, Agosto de 2002

1

Resumen

Este trabajo se asienta en diferentes enfoques realizados con el fin de obtener una expresión monetaria que mida los cambios en el bienestar económico provocados por cambios en los precios de los bienes o el ingreso monetario del consumidor. Presenta una medida exacta de esos cambios y su impacto sobre el bienestar empleando instrumentos analíticos que muestran las propiedades superiores de los índices Divisia. Comprueba también que los indicadores que miden los cambios en el nivel y el costo de vida no son otra cosa que expresiones relativas de la variación equivalente estimada en el espacio de los bienes y la variación compensatoria calculada en el de los precios. Muestra luego las relaciones que existen entre las funciones de agregación y las fórmulas de números índices y termina finalmente destacando las razones por las que se ha sugerido el empleo de funciones distancia cuando las funciones de preferencia no son homotéticas. Abstract

This paper reviews different aproaches in order to define a monetary expression of welfare changes corresponding to alternative equilbrium position of a consumer. It presents an exact measure of the monetary income and relative price changes and their impact on welfare using a line integral and showing its inmmediate transformation in a Divisia index and its dominant properties. It also underlines that the standard of living index is nothing more than the equivalent variation measured in relative terms in the goods space, while the cost of living index is a percentaje version of the compensating variation measured in the price space. Then it shows the precise relationship that exists between aggregation functions and index number formulaes and finally points out the failure of the Divisia index in the nonhomotetic case suggesting instead the use of the distance function.

2 Introducción

La medición de los cambios en el bienestar es una antigua preocupación de los economistas que ha dado lugar a numerosos trabajos destinados a cuantificarlos y a una gran varidad de enfoques, cuya vinculación quizás no ha sido expuesta de un modo sistemático. En todos los casos las contribuciones tratan de obtener una expresión monetaria que mida los cambios en el bienestar de un individuo correspondiente a dos situaciones alternativas de equilibrio en el consumo. El excedente del consumidor popularizado por Marshall en 1920, las variaciones compensatoria y equivalente propuestas por Hicks años más tarde y el enfoque funcional de la teoría económica de los números índices desarrollado por Konus constituyen quizás los trabajos pioneros en esa dirección. El objetivo de este trabajo es revisar esos conceptos con ayuda del enfoque dual, relacionarlos con los desarrollos relativamente modernos de la teoría económica de los números índices, destacar que se trata de aspectos parciales de un esquema de análisis más amplio y finalmente proponer una expresión analítica completa que relacione los cambios en el ingreso nominal de los consumidores y en el nivel y el costo de vida en forma porcentual y de una manera consistente. En todo su desarrollo se supone que el consumidor es tomador de precios en el mercado de bienes, tiene un orden de preferencias que satisface las condiciones de continuidad, montonicidad y cuasiconcavidad y su objetivo es maximizar la utilidad que puede alcanzar asignando su ingreso monetario limitado a la compra de conjuntos alternativos de bienes o alternativamente, la minimización del gasto que le permite alcanzar un cierto nivel de bienestar. Su orden de preferencias se representa por la función de utilidad directa, contínua U: Ωn -> Ω y cuya expresión simbólica es U = U(X), donde Ωn es el n – ésimo ortante positivo del espacio Euclideano y X = {X1, ..., Xn} ∈ Ωn representa una determinada combinación de bienes. El proceso de maximización del bienestar condicionado por el ingreso suele presentarse así: (1)

V(P / Y) = Max { U(X) | ∀ (P / Y)⋅X ≤ 1; X ∈ Ωn } = X(P /Y)

donde P = {P1, ..., Pn} ∈ Ω+n es un vector de precios estrictamente positivo, Y ∈ Ω+1 el ingreso monetario y (P / Y) ∈ Ω+n el vector de precios normalizados. La solución de este problema proporciona las funciones de demanda ordinarias o Marshallianas que se simbolizan como X = X(P / Y), tal que X : Ωn -> Ω1. Si esa solución es única, al reemplazar en la función objetivo se obtiene la función de utilidad indirecta V(P / Y) = U[ X(P / Y)]. Debido a los supuestos referidos a U, X es contínua y V contínua, no creciente y cuasiconvexa en Ωn. Diferenciando la función de utilidad directa y reemplazando por las condiciones de punto máximo del problema de optimización δU / δXi = λ(Pi / Y) se llega a esta expresión: (2)

dU n Pi = ∑ ⋅ dX i λ i=1 Y

que mide el valor monetario de los cambios en el bienestar, pues el miembro de la izquierda es el cambio en la utilidad total dU convertido a pesos con la utilidad marginal del ingreso λ. Haciendo lo mismo a partir de la la función de utilidad indirecta resulta: ∂X j ∂V(P / Y ) ⋅ ⋅ d(P / Y ) ∂X j ∂(Pi / Y ) i=1 j=1 n n

dV(P / Y ) = ∑ ∑

3 y si se reemplaza δV(P / Y) / δXj = Uj = λ(Pj / Y) y se considera que –Xi = Σj (Pj / Y)⋅ [ δXj / δ(Pi / Y)], finalmente se obtiene: (3)

n dV(P / Y ) = −∑ Xi ⋅ d(Pi / Y ) λ i=1

Como (2) y (3) son expresiones equivalentes dU / λ = dV / λ porque miden los cambios en el bienestar en el espacio de los bienes y de los precios es posible hacer: (4)

n

n

i=1

i=1

∑ (Pi / Y ) ⋅ dX i = −∑ X i ⋅ d(Pi / Y )

un resultado que suele presentarse así dY/Y = Σi=1 Pi⋅dXi / Y + Σi=1 Xi⋅dPi / Y y que indica que el cambio en el ingreso nominal es igual a la suma de un índice de nivel de vida, que mide los cambios en el consumo dXi valuados a los precios de un período dado Pi y de un índice de precios o de costo de vida, que pondera el cambio en los precios dPi por los componentes de una determinada canasta de bienes. Esto puede comprobarse reordenando la expresión anterior del modo siguiente: (5)

dY 1 n 1 n − ⋅ ∑ Xi ⋅ dPi = ⋅ ∑ Pi ⋅ dXi Y Y i=1 Y i=1

en la que se aprecia que el segundo miembro es un índice de bienestar o de nivel de vida, ya que estaría midiendo los cambios en el ingreso real definido por la diferencia entre las variaciones en el ingreso monetrario dY / Y y en el costo de vida Σi Xi ⋅dPi / Y, por ejemplo. Cambios en los precios, el ingreso nominal y el bienestar

El análisis anterior puede desarrollarse en varias direcciones si se tiene en cuenta que ambos miembros de (4) son integrales lineales definidas a lo largo de diferentes senderos de integración. Como la función de demanda directa obtenida en el proceso de optimización primal y empleada en la segunda de ellas depende de los precios y el ingreso, el miembro de la derecha puede interpretarse como la integral de un gradiente a lo largo de una curva simple (Apostol, 1970). En ese caso Σi=1 Xi⋅d(Pi / Y) = ∫C Σi=1 Xi (P / Y)⋅d(Pi / Y) y del mismo modo Σi=1 (Pi / Y)⋅dXi = ∫C Σi=1 (Pi / Y)⋅Xi⋅dXi, donde C es el sendero de integración. Por lo tanto, la expresión correcta derivada de (4) que mide los cambios en el ingreso es: (6)

1 dY

∫

0

Y

1 n

1 n

0 i=1

0 i=1

= ∫ [ ∑ (Pi / Y ) ⋅X i ⋅ dX i ] / Y + ∫ [ ∑ X i ⋅ (Pi / Y ) ⋅ d(Pi / Y )] / Y

y si Y no cambiara, se transformaría en esta otra: (7)

1 n

1 n

0 i=1

0 i=1

− ∫ [ ∑ (Pi / Y ) ⋅Xi ⋅ dX i ] / Y = ∫ [ ∑ Xi ⋅ (Pi / Y ) ⋅ d(Pi / Y )] / Y

que proporciona medidas alternativas de los cambios en la situación de equilibrio del consumidor y consecuentemente en su bienestar, provocadas por modificaciones en los precios e ingreso, aunque medidas sobre senderos de integración distintos. Examinando cualquiera de esas expresiones se aprecia que el problema de la medición de los cambios en el bienestar descansa en gran medida en las propiedades de las integrales lineales que lo cuantifican. Cuando esa integral es independiente del sendero

4 de integración existe un valor único de los cambios en el nivel o en el costo de vida asociados con un determinado cambio en las condiciones iniciales de precios e ingreso. Pero esto sólo ocurre cuando la función de agregación es homotética. En caso contrario, la integral lineal no es exacta, lo que significa que su valor no dependerá de los que tomen las variables en los puntos de equilibrio inicial y final sino del sendero de integración. Lo ciereto es que la consideración aislada de esos cambios en el espacio de los bienes o en el de los precios dio lugar a enfoques particuales de este esquema de análisis más amplio. El excedente del consumidor empleado por Dupuit en 1844 y popularizado por Marshall en 1920 habría sido el primer intento formal de asignar un valor monetario a los cambios en el bienestar de un consumidor en dos situaciones de equilibrio. Marshall lo definió como el “exceso de precio que aquel estaría dispuesto a pagar sobre el que actualmente paga para no quedarse sin consumidr un bien”. Gráficamente se mide por el área comprendida bajo una curva de demanda ordinaria y analíticamente se lo expresa así: (8a)

1

S = ∫PP0i X i (P, Y ) ⋅ dPi i

donde Xi = Xi (P, Y) es la demanda del bien, Pi su precio, P el vector de precios e Y el ingreso monetario. Una presentación menos usual es aquella que considera el efecto simultáneo del cambio en los precios de todos los bienes empleando esta integral lineal: . ∇V(P/Y ) ∇V(P / Y ) [ V(P / Y )1 − V(P / Y ) 0 ] S=∫ =∫ = (8b) λ λ C [∇V(P / Y )] ⋅ (P / Y ) C en la que las demandas ordinarias se reemplazaron empleando el teorema de Roy y donde λ es la utilidad marginal del ingreso y la última igualdad corresponde a funciones de utilidad homotéticas, porque sólo en este caso la utilidad marginal del ingreso es constante y por consiguiente puede extraerse del término de integración. Pero de acuerdo a la expresión (7) los cambios en el bienestar pueden también medirse empleando la siguiente expresión, que es dual a la anterior: (8c)

n

∇U( X) ∇V(P / Y ) =∫ λ C ∇U( X) ⋅ X C

S = ∫ ∑ Pi ⋅ dX i = ∫ C i=1

pues U(X) = V(P / Y) y porque el lema de lema de Wold permite demostrar que ∇U(X)⋅X = λ. Esta medida de los cambios en el bienestar es exacta si la función de utilidad es homotética. Las variaciones compensatoria y equivalente propúestas por Hicks constituyen formas alternativas de medir los cambios en el bienestar. La primera mide el ajuste en el ingreso monetario que es necesario para que un consumidor mantenga su nivel de utilidad cuando cambia uno o más precios del conjunto de bienes que consume en dos situaciones de equilibrio alternativas. La segunda calcula el ingreso adicional que tendría que recibir cuando cambia el precio de uno o más de los bienes que consume para conservar la utilidad que alcanzaría con su ingreso anterior y los precios nuevos, si debiera soportar los precios de la situación inicial. En ambos casos se miden empleando la función de gasto del consumidor, que suele presentarse así: (9a)

e(P, U0) = Min { P⋅X | U(X) ≥ U0; ∀ X ∈ Ωn } = X(P, U0)

donde U(X) y P satisfacen las condiciones expuestas en el punto anterior, U0 es el nivel de utilidad inicial y X(P, U0) el vector de demandas compensadas o Hicksianas, que constituye la solución de ese problema de optimización. La variación compensatoria puede entonces calcularse así:

5

(9b)

n

C = e (P1, U0 ) − e (P 0 , U0 ) = ∫ ∑ X i (P, U0 ) ⋅ dX i = ∫ ∇e(P, U0 ) C i=1

C

pues es la diferencia entre el gasto que permite alcanzar el bienestar U0 en las condiciones de precios iniciales P0 y finales P1. La segunda igualdad es una integral lineal que en este caso caso es independiente del sendero de integración porque la función de gasto es homotética y por consiguiente puede calcularse a partir de los valores correspondientes a las condiciones de equilibrio inicial y final. Pero como la función de gasto puede también representarse empleando de una función del tipo: (9c)

F(X, U0) Min { P⋅X | V(P) ≤ U0 ∀ P ∈ Ω1+ } = P(X, U0)⋅X

que en realidad es la valuación de una canasta de bienes X a los precios sombra P(X, U). Aplicando el lema de Shephard δF(X,U) / δXi = Pi(X, U) es posible calcular la variación compensatoria con la siguiente expresión alternativa: (9d)

n

C = F( X1, U0 ) − F( X 0 , U0 ) = ∫ ∑ Pi ( X, U0 ) ⋅ dPi = ∫ ∇F( X, U0 ) C i =1

C

Como la variación equivalente es la diferencia entre los gastos mínimos que corresponden a dos situaciones de precios distintas y para el nivel de utilidad de la posición final, vale decir E = e(P1, U1) - e(P0, U1) pueden formularse las mismas consideraciones que en el caso anterior, de lo que se sigue que tanto el excedente del consumidor como las variaciones compensatoria y equivalente son expresiones que permten medir los cambios en el bienestar en el espacio de bienes y precios simultáneamente. Números índices y cambios en el bienestar

Para obtener una expresión analítica completa que relacione los cambios en el ingreso nominal y en el costo y el nivel de vida en forma sintética y de una manera consistente es preciso multiplicar y dividir las integrales lineales de la expresión (6) por Pi y Xi respectivamente. En ese caso se obtiene un índice Divisa que desagrega los cambios en el ingreso nominal en sus dos componentes básicos: El primero es un índice de precios que mide los cambios en el costo de vida y el segundo otro de cantidades, que a su vez registra los cambios en el nivel de vida. La expresión analítica es ésta: (10)

1 dY

∫

0

Y

1 n

1 n

0 i=1

0 i=1

= ∫ ∑ [(Pi / Y ) ⋅Xi ] / Y ⋅ (dX i / Xi ) + ∫ ∑ [( X i ⋅ Pi ) / Y ] ⋅ (dPi / Pi )

un resultado que indica que si la función de utilidad es homotética los índices de costo y nivel de vida son invariantes, porque la solución de las integrales lineales no depende de los senderos de integración. El primer término del miembro de la derecha es el índice de nivel de vida, que suele simbolizarse como U(X1,X0;P0) y desarrollarse así: (11) 1 1 n (P / Y ) ⋅ X dX 1 n U ⋅ X dX 1 n U ⋅ X dX 1 n ∂ ln U i i i i =∫ ∑ i i =∫ ∑ +∫ ∑ i i U( X 1, X 0 ; P 0 ) = ∫ ∑ i d ln X i = ∫ ∇∂ ln U Y X i 0 i=1 λY X i 0 i=1 U X i 0 i=1 ∂ ln X i 0 0 i=1 teniendo en cuenta que Ui = λ(Pi / Y) y que U = Σi Ui⋅Xi = λ⋅Σi Pi⋅Xi = λY por el teorema de Euler. Como la función de utilidad indirecta es homogénea de grado –1 por las mismas razones expuestas antes se demuestra que el índice de costo de vida es igual a :

6

(12)

1 X i ⋅ Pi dPi 1 n Vi ⋅ Pi dPi 1 n Vi ⋅ Pi dPi 1 n ∂ ln V +∫ ∑ =∫ ∑ =∫ ∑ d ln Pi = ∫ ∇∂ ln V Y Pi 0 i=1 λY Pi 0 i=1 V Pi 0 i=1 ∂ ln Pi 0 i=1 0 1 n

P(P1, P 0 ; U 0 ) = ∫ ∑

pues en este caso Vi = λXi y –V = λ⋅Σi Pi⋅Xi. Reemplazando estos resultados en (10) resulta: (10a)

1

1

1

0

0

0

∫ d ln Y = ∫ ∇∂ ln U − ∫ ∇∂ ln V

o lo que es lo mismo: (10b)

Y 1 U( X1, Y 0 ) V(P1, Y 0 ) U( X1, Y 0 ) e(P1 ) / = = ⋅ Y 0 U( X 0 , Y 0 ) V(P 0 , Y 0 ) U( X 0 , Y 0 ) e(P 0 )

porque debido a la homogeneidad lineal de U resulta que V(P, Y) = 1 / e(P, U). Esta es una expresión analítica completa que relaciona los cambios en el ingreso nominal y en el costo y el nivel de vida en forma porcentual y de una manera consistente. Si el ingreso monetario se mantuviera, vale decir dY = 0 ambos indicadores proporcionarían medidas alternativas del cambio en el bienestar. En efecto, el desplazamiento hacia una superficie de indiferencia superior Ui provocado por una caída en los precios y el consecuente aumento en el ingreso real es captado por el índice de nivel de vida y constituye una versión porcentual de la variación equivalente, pues mide en el espacio de los bienes el cambio en el ingreso que a los precios de la situación inicial permite al consumidor alcanzar un nivel de utilidad superior. Simultáneamente, en el espacio de los precios el equilibrio se mueve hacia una superficie de utilidad indirecta Vi más cercana al origen, lo que también significa una mejora en el bienestar equivalente a la variación compensatoria medida sobre bases percentuales, pues muestra la suma de dinero que permitiría al consumidor mantener el nivel de utilidad anterior en la nueva situación de precios. Por lo tanto E es una expresión primal que computa cambios en el bienestar en el espacio de bienes y C un concepto dual que los mide en el de los precios. Teniendo en cuenta, sin embargo, que sólo un cambio en el ingreso real puede modificar la utilidad y que aquel puede provenir de variaciones en los precios o en el ingreso nominal, resulta evidente que ambos indicadores pueden emplearse en forma complementaria para medir los cambios en el bienestar. El índice de nivel de vida es el más apropiado para estimarlos en el espacio de los bienes mientras que el costo de vida estaría mejor diseñado para medirlos en el de los precios. Un cambio en la misma dirección, vale decir un aumento en el ingreso nominal y una caída en los precios tiene un doble impacto positivo sobre el bienestar, mientras que una variación de sentido contrario en éstos últimos requiere que el aumento en el bienestar provocado por ese mayor ingreso monetario estimado por el índice del nivel de vida sea corregido por el índice de precios, que en este caso capta el efecto negativo provocado por esos mayores precios. Los índices de la expresión anterior concuerdan con los de precios y cantidades empleados en el análisis económico. El segundo factor del miembro de la derecha es el indice económico de precios, que Samuelson y Swamy (1974) definen como “el cociente entre los gastos mínimos necesarios para alcanzar un nivel de utilidad determinado en dos situaciones de precios distintas”, concuerda con el de costo de vida originariamente propuesto por Konus (1924) y suele simbolizarse así: (13)

P(P1, P 0 ; U0 ) =

e (P1,U0 ) e (P 0 , U0 )

Si la función de utilidad fuera homotética el indicador sería invariante (vale decir independiente del nivel de utilidad seleccionado como punto de referencia) y por consiguiente sólo dependería de los precios y los parámetros de la función de agregación,

7 de modo que P(P1, P0; U0) = [e(P1)⋅U0] / [e(P0)⋅U0] = e(P1) / e(P0), expresión que concuerda con el índice de costo de vida obtenido en (24). El índice económico de cantidades se define a su vez como el “cociente entre los gastos mínimos necesarios para adquirir los conjuntos de bienes correspondientes a dos niveles de utilidad distintos y para una situación de precios de referencia idénticos” y se expresa simbólicamente así: (14)

Q(Q1, Q 0 ;P 0 ) =

e (P 0 , U1 ) e (P 0 , U0 )

y puede demostrarse que en el caso homotético se transforma en Q(Q1, Q0; P0)=U(X1)/U(X0).

Funciones de preferencia y números índices

Las fórmulas de los números índices que se obtienen agregando (10) dependen de la especificación de la función de utilidad subyacente, además de los valores que toman las variables en las condiciones de equilibrio inicial y final debido a que Xi = Xi(P / Y) y Pi/Y = Pi (X) son expresiones analíticas diferentes en tanto también lo sea aquella. La teoría económica de los números índices muestra que existen relaciones precisas entre estos indicadores y las funciones de preferencia, en el sentido de que cada una de éstas tiene asociada una determinada fórmula de números índices, y viceversa (Diewert, 1976). Si el orden del preferencias del consumidor estuviera representado por una función de utilidad translogarítmica como ln U = ln a0 + Σi ai ⋅ ln Xi + ½ Σi Σj bij⋅ ln X ln Xi⋅ ln Xj los n

0

índices serían: Y1 / Y 0 = ∏ ( X1i / Xi0 )½(si i =1

+ s1i )

n

0

⋅∏ (Pi1 / Pi0 )½(si

+ s1i )

i =1

mientras que si fuera del tipo

Cobb Douglas, donde U = Πi=1 Xiai o de Leontief, con la forma U = min (X1/a1, X2/a2,...,Xn/an) tendrían las formas que muestran las fórmulas del cuadro de abajo, siendo en todos los casos ai = Pij⋅Xij / Σi Pij⋅Xij para j = 0,1. (Esto último es así cuando la función de preferencias es linealmente homogénea; además, en el caso de las especificaciones de tipo Leontief o Cobb Douglas, j = 0). En otras palabras, esto significa que cuando la función de utilidad es Translogarítmica los cambios en el bienestar pueden medirse con índices de precios y cantidades de Tornqvist, que constituyen una aproximación discreta a los índices Divisia; si se tratara de una Cobb Douglas los índices asociados serían medias Geométricas y en el caso de funciones de Leontief los índices son del tipo Laspeyres. Cuadro 1 Funciones de preferencia e indices de precios y cantidades Indice

Precios Especificación

Ideal de Fisher

IPF = [(

Tornqvist Media Geométrica

Laspeyres

Valor

Cantidades Especificación

1,000

IQF = [(

0 1 n X1 IPT = ∏ ( i )½(s i + s i ) 0 i =1 X i

1,000

0 1 n X1 IQT = ∏ ( i )½(s i + s i ) 0 i =1 Xi

1,000

n P1 IPC = ∏ ( i )a i i =1 Pi0

0,958

n X1 IQC = ∏ ( i )a i i =1 Xi0

1,090

n P1 IPL = ∑ a i ⋅ ( i ) i =1 Pi0

1,168

n X1 IQL = ∑ a i ⋅ ( i ) i =1 Xi0

1,334

P1 ⋅ X 0 P0 ⋅ X0

)⋅(

P1 ⋅ X1 1 / 2 )] P 0 ⋅ X1

P1 ⋅ X 0 P0 ⋅ X 0

)⋅(

P1 ⋅ X1 1 / 2 )] P 0 ⋅ X1

Valor

1,000

8 En el Cuadro 1 se presentan los resultados obtenidos empleando el ejemplo de dos bienes utilizado por Vartia (1983) que supone un ingreso constante Y = 220 $, demandas iguales a Q1 = (P2 / P1)⋅[Y / (P1 + P2)] y Q2 = (P1 / P2)⋅[Y / (P1 + P2)] y precios P10 = 1, P11 = 1,1, P20 = 2 y P21 = 1,692. La relación Y1 / Y0 es igual a 1 y los cambios en los precios y las cantidades de acuerdo al índice ideal de Fisher también (analizado en Coelli, Rao y Battese, 2000), como se aprecia en la primera fila. Las líneas restantes muestran que sólo los índices de Tornqvist, que son exactos para una función de utilidad Translogarítmica, miden con precisión esos cambios. El indice Geométrico de cantidades que corresponde a una función de agregación Cobb Douglas exhibe un sesgo de casi un décimo y algo menos de la mitad el de precios, mientras que en el caso de los índices de Laspeyres que corresponden a funciones de tipo Leontief, esas discrepancias oscilan entre un tercio y un sexto. Funciones de preferencia no homotéticas

Los índices así obtenidos se limitan al caso de funciones de utilidad homotéticas y por lo tanto no son invariantes. Una forma de solucionar este problema es ponderando las dos combinaciones de equilibrio con los precios sombra de los bienes, como propuso originariamente Malmquist (1953). Este enfoque se basa en el empleo de la función distancia que puede definirse, bajo el supuesto de que el orden de preferencias del consumidor satisface las condiciones expuestas en el primer punto, del modo siguiente: (15)

F(X, U) = Max {λ ∈ Ω1+ | U(X / λ) ≥ U }

y teniendo en cuenta que F(X, U) es mayor, igual o menor que 0 en tanto U(X) sea menor, igual o mayor que 0, es posible definir implícitamente la función haciendo F(U, X) = 1 e invirtiendo en U. La función distancia indica la proporción en que debe reducirse un vector X para obtener un punto ubicado sobre la superficie de indiferencia U. También la función de gasto definida en (9a) es una función distancia, pues es posible demostrar que: (16)

e(P, U) = Max {λ ∈ Ω1+ | V(P / λ) ≤ U } = X(P, U)⋅P

y lo mismo que en el caso anterior, considerando que V es no decreciente en sus argumentos resulta que e(P, U) mayor, igual o menor que 1 si V(P) es mayor, igual o menor que U, por lo que V está implícitamente definida por e(P, U) = 1 y por lo tanto puede obtenerse invirtiendo esta última expresión en U. Empleando la función distancia Malmqvist (1953) probó que el índice Divisia es equivalente al valor que asume esta última en la situación de equilibrio final. Para ello se parte del índice de precios (12) reexpresado así P(P1, P0;U0) = ∫01 Σi=1 [Xi(t) / Y(t)]⋅ dPi(t). En primer lugar se divide el vector P(t) que corresponde a la situación de equilibrio final (y que se alcanza luego de una caída en los precios, por ejemplo) de modo que los valores resultantes permitan alcanzar el nivel de utilidad original V0, que es igual a U0, haciendo P’(t) / e(P, U0), donde P’(t) es un vector de precios ubicado sobre la superficie de indiferencia V0 (corresponde al punto a’ de la Figura 2, en tanto P(t) corresponde a b) y e(P, U0) es la función de gasto mínimo. Seguidamente se ajusta el ingreso de manera que Y(t) / e(P, U0) = Y(0) lo que a su vez hace que el vector de cantidades X(t) correspondiente a la situación de equilibrio final (y representado por b y B en el espacio de precios y cantidades) se desplace a X’(t), que corresponde a su vez a a’ y A’. Teniendo en cuenta luego que dP(t) = dP’(t)⋅e(P, U0) + P´(t)⋅de(P,U0), reemplazando 1 en P(P , P0;U0) y considerando que ∫01 Σi=1 Xi’(t)⋅dPi’(t) = 0 y ∫01 Σi=1 Xi’(t)⋅Pi’(t) = Y(t) resulta:

9

(17)

T

T

0

0

P' (P1, P 0 ;U0 ) = ∫ d e(P, U0 ) / e(P, U0 ) = ∫ d ln e(P, U0 ) = e [P(T ),U0 ]

pudiendo demostrarse de igual modo y por razones similares que: Q’(X1, X0; U0) = F[X(T), U0] donde P’ y Q’ representarían índices invariantes de costo y nivel de vida. Reemplazando estas expresiones en (10b) finalmente se obtiene: (18)

YT Y0

= f [ X(T ),U 0 ] ⋅ e [P(T ), U 0 ]

que es una expresión alternativa que permite medir los cambios en el bienestar de una manera consistente y general mediante el producto de los índices de nivel y costo de vida respectivamente. Como estos indicadores se calculan empleando funciones distancia que a su vez dependen de la fisonomía de la de utilidad de la que derivan, resulta obvio que si éstas fueran Translogarítmica, Cobb Douglas o Lentief los índices tendrían especificaciones similares a las consideradas antes. Sin embargo, sólo tienen interés las primeras, porque como las otras dos funciones son homotéticas proporcionan los resultados anteriores.

10 Referencias

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