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• Absalón Escalona Bustos

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS Departamento de Estadística

NUMEROS INDICE

Prof. Francisco Pradenas P. 1° Semestre de 2015 1

¿Qué es un NUMERO INDICE? Un número índice es una medida estadística que refleja los cambios o variaciones ocurridas en una o más variables, en un período de tiempo dado, y con respecto a un valor fijo elegido como referencia llamado período base. base

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Tipos de Números Indice Existen dos tipos de números índice:


Números índice simple.


Números índice compuesto.

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NUMEROS INDICE SIMPLE Un número índice simple obtiene los cambios ocurridos en una sola variable, X, en distintos períodos de tiempo y con respecto de un período base fijo.

Para calcularlo, se requiere previamente definir el período base el cual se mantiene hasta que se produzcan cambios importantes en el tiempo.

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NUMEROS INDICE SIMPLE Sean x0, x1, x2,..., xk un conjunto o una serie de datos observados en los instantes t0, t1, t2,..., tk, respectivamente, donde x0 es el valor observado de la serie en el período base t0.

El número índice simple en el instante ti, se obtiene dividiendo el valor xi por x0 y multiplicando el cuociente por 100. Se denota por It.

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NUMEROS INDICE SIMPLE

xt : valor observado de la serie en el instante t. x0 : valor observado de la serie en el período base. base. Notar que un número índice en el período base es igual a 100. 6

NUMEROS INDICE SIMPLE

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Tipos de Números Indice Simple
Número Indice Simple para Precios:

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Tipos de Números Indice Simple
Número Indice Simple para Cantidades:

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Variación Porcentual A partir de un número índice It obtenido para el período t, y otro número índice It’ obtenido en el período t’, podemos calcular la variación porcentual en el período t’ con respecto del período t, en la forma:

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EJEMPLO Los siguientes datos corresponden a la producción de un mineral (en miles de toneladas) durante los distintos meses del año anterior:

Mes (t) Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Producción (miles de toneladas) qt 16 14 18 15 16 17 20 18 16 13 15 17

Números Indice Simple para Cantidades IQt IQt (Enero = 100) (Marzo = 100) 100,0 ---87,5 ---112,5 100,0 93,8 83,3 100,0 88,9 106,3 94,4 125,0 111,1 112,5 100,0 100,0 88,9 81,3 72,2 93,75 83,3 106,25 94,4 11

EJEMPLO Consideremos los números índice anteriores para los meses de febrero y agosto, con base en enero.

¿Cuál es la variación porcentual de la producción del mineral en el mes de agosto respecto del mes de febrero?

12

EJEMPLO

En agosto, la producción del mineral aumento en un 28.6% respecto del mes de febrero. 13

NUMEROS INDICE COMPUESTO Un número índice compuesto obtiene a través de un solo valor, los cambios ocurridos en dos o más variables, X1,X2,...,Xn, en distintos períodos de tiempo y con respecto de un período base fijo. Existen dos compuesto:

tipos

de

números

índice


Números índice compuesto sin ponderar.
Números índice compuesto ponderado. 14

NUMEROS INDICE COMPUESTO SIN PONDERAR Un número índice compuesto sin ponderar es aquel que se obtiene cuando las variables X1,X2,...,Xn, tienen la misma ponderación o la misma importancia dentro del conjunto de variables. Para calcularlo, se requiere de k valores de cada una de las variables Xi. Denotaremos por xit el valor observado de Xi en el período t. 15

CALCULO DE UN NUMERO INDICE COMPUESTO SIN PONDERAR

Un número índice compuesto sin ponderar se puede calcular de dos formas:


Número índice promedio.
Número índice agregativo.

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Números Indice Promedio

Un número índice promedio permite medir la variación media o cambio promedio en el período t, y con respecto del período base, de un grupo de variables observables X1,X2,...,Xn.

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Números Indice Promedio Si Iit es un número índice simple para la variable Xi en el período t, entonces un número índice compuesto sin ponderar promedio se define en la forma:

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EJEMPLO Una compañía de seguros pagó los siguientes montos por concepto de indemnizaciones, (en millones de pesos) en cada uno de sus productos ofrecidos al cliente y en los meses indicados: indicados: Mes (t) Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Accidentes Individuales X1 2.23 3.12 3.56 4.28 4.67 2.67 5.32 4.98 2.67 3.51 3.79 4.22

Accidentes del Trabajo X2 33,87 26,32 30,32 20,05 22,23 31,02 31,13 29,44 26,14 27,88 22,95 27,25

Incendios X3 6,46 8,61 8,81 5,07 8,54 3,69 4,48 7,54 4,16 6,9 8,38 4,92

Seguros de Automóviles X4 10,36 9,48 11,61 12,05 11,48 8,43 11,97 10,89 10,32 11,87 11,3 10,04

Seguros de Vida X5 11,25 11,66 11,23 13,44 11,22 12,46 7,66 11,63 13,45 13,3 8,17 9,67

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EJEMPLO Supondremos que todos los productos ofrecidos tienen la misma importancia. importancia. NUMEROS INDICE SIMPLE I it (base = enero)

Mes (t) Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Accidentes Individuales X1 100,0 84,1 96,0 115,4 125,9 72,0 143,4 134,2 72,0 94,6 102,2 113,7

Accidentes del Trabajo X2 100,0 77,7 89,5 100,9 90,6 91,6 91,9 86,9 77,2 103,0 67,8 110,0

Incendios X3 100,0 133,3 136,4 78,5 100,2 57,1 69,3 116,7 64,4 106,8 129,7 76,2

Seguros de Automóviles X4 100,0 91,5 112,1 116,3 110,8 81,4 115,5 105,1 99,6 114,6 109,1 96,9

Seguros de Vida X5 100,0 103,6 99,8 119,5 99,7 110,8 68,1 103,4 119,6 118,2 72,6 86,0

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EJEMPLO NUMEROS INDICE SIMPLE I it (base = enero)

Mes (t) Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Accidentes Individuales X1 100,0 84,1 96,0 115,4 125,9 72,0 143,4 134,2 72,0 94,6 102,2 113,7

Accidentes del Trabajo X2 100,0 77,7 89,5 100,9 90,6 91,6 91,9 86,9 77,2 103,0 67,8 110,0

Incendios X3 100,0 133,3 136,4 78,5 100,2 57,1 69,3 116,7 64,4 106,8 129,7 76,2

Seguros de Automóviles X4 100,0 91,5 112,1 116,3 110,8 81,4 115,5 105,1 99,6 114,6 109,1 96,9

Seguros de Vida X5 100,0 103,6 99,8 119,5 99,7 110,8 68,1 103,4 119,6 118,2 72,6 86,0

Suma

Números Indice Promedio (St)

500,00 490,24 533,74 530,57 527,16 412,80 488,29 546,36 432,71 537,17 481,33 482,75

100,00 98,05 106,75 106,11 105,43 82,56 97,66 109,27 86,54 107,43 96,27 96,55

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Números Indice Agregativos

Un número índice agregativo permite medir la variación combinada o cambio combinado en el período t, y con respecto del período base, del total asociado a un grupo de variables observables X1,X2,...,Xn.

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Números Indice Agregativos Un número índice compuesto sin ponderar agregativo se define de la siguiente manera para el período t:

donde:

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EJEMPLO Consideremos el ejemplo anterior respecto de la compañía de seguros, tomando enero como período base: base: Mes (t) Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Accidentes Individuales X1 3,71 3,12 3,56 4,28 4,67 2,67 5,32 4,98 2,67 3,51 3,79 4,22

Accidentes del Trabajo X2 33,87 26,32 30,32 34,19 30,68 31,02 31,13 29,44 26,14 34,87 22,95 37,25

Incendios X3 6,46 8,61 8,81 5,07 6,47 3,69 4,48 7,54 4,16 6,90 8,38 4,92

Seguros de Automóviles X4 10,36 9,48 11,61 12,05 11,48 8,43 11,97 10,89 10,32 11,87 11,30 10,04

Seguros de Vida X5 11,25 11,66 11,23 13,44 11,22 12,46 7,66 11,63 13,45 13,30 8,17 9,67

Suma xit

Números Indice Agregativos (Bt)

65,65 59,19 65,53 69,03 64,52 58,27 60,56 64,48 56,74 70,45 54,59 66,10

100,00 90,16 99,82 105,15 98,28 88,76 92,25 98,22 86,43 107,31 83,15 100,69

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NUMEROS INDICE COMPUESTO PONDERADOS Un número índice compuesto ponderado es aquel que se obtiene cuando las variables X1,X2,...,Xn, tienen distinta ponderación o distinta importancia dentro del conjunto de variables. Para calcularlo, se requiere de k valores de cada una de las variables Xi como también de las ponderaciones de cada variable. Denotaremos por xit el valor observado de Xi en el período t. 25

CALCULO DE UN NUMERO INDICE COMPUESTO PONDERADO Un número índice compuesto ponderado corresponde a un número índice agregativo en donde el valor xit es ponderado por el factor wit. Podemos calcular alguno de los siguientes números índice compuesto ponderados:
Indice de Laspeyres.
Indice de Paasche. 26

Indice de Laspeyres Consideremos una canasta compuesta por n productos, y supongamos que en el período base se consumieron qi0 unidades del producto i adquiridos a un precio unitario de pi0 unidades monetarias. Entonces, el valor del consumo del producto i en el período base, denotado por vi0, está dado por:

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Indice de Laspeyres El valor del consumo de la canasta completa en el período base, denotado por vC0, está dado por:

Entonces, la proporción del valor del consumo del producto i en el período base y con respecto al valor de la canasta completa en este período, denotado por wio, está dada por:

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Indice de Laspeyres Esta proporción wio es el peso o ponderación del producto i de la canasta, durante el período base. La proporción anterior se aplica al precio relativo porcentual del producto i en el período t, definido por:

Esta operación da origen a la variación ponderada de precios del producto i en el período t, definida por: 29

Indice de Laspeyres

Estas variaciones ponderadas son aplicadas a cada producto de la canasta, sumando después los valores resultantes. 30

Indice de Laspeyres Lo anterior conduce a la variación total de precios de los productos de la canasta en el período t y con respecto al período base. Este resultado da origen al índice de precios de Laspeyres en el período t, denotado por IPLt, tal que:

31

Indice de Laspeyres

reemplazando el valor vc vc0 0 se obtiene la fórmula final para el índice de Laspeyres para precios, el cual tiene la forma: 32

Indice de Laspeyres

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EJEMPLO Supongamos que una canasta está compuesta por los siguientes productos alimenticios: alimenticios: papas, papas, arroz, arroz, lentejas y tomates. tomates. Los precios de estos productos y las cantidades consumidas durante el primer semestre de un año, fueron los siguientes en donde los precios están en $/kg y las cantidades consumidas están expresadas en kilógramos: kilógramos: Mes (t) Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Papas p1t 310 320 300 300 320 330

q1t 28 25 30 35 20 40

Arroz p2t 550 570 560 550 580 600

Lentejas q2t 10 12 8 13 9 14

p3t 850 870 810 880 860 810

q3t 5 6 5 4 5 7

Tomates p4t 450 440 470 410 440 420

q4t 35 40 30 25 35 40 34

EJEMPLO En este caso supondremos que los productos consumidos no tienen la misma importancia, por cuanto algunos de ellos pueden ser considerados como más necesarios que otros en la alimentación diaria de una persona. persona.

Consideremos como base el mes de enero. enero.

35

EJEMPLO

Mes (t) Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Papas p1t 310 320 300 300 320 330

q1t 28 25 30 35 20 40

Arroz p2t 550 570 560 550 580 600

Lentejas q2t 10 12 8 13 9 14

p3t 850 870 810 880 860 810

q3t 5 6 5 4 5 7

Tomates p4t 450 440 470 410 440 420

q4t 35 40 30 25 35 40

34180 34410 34500 32650 34460 33990

Indice de Laspeyres (IPL t) 100,0 100,7 100,9 95,5 100,8 99,4 36

EJEMPLO

IPLabril = 95.5

La variación de precios de los productos de la canasta en el mes de abril, disminuyó en un 4.5% respecto del mes de enero, suponiendo que en abril se consumió la misma cantidad de productos que en el mes de enero.

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EJEMPLO De los índices anteriores se puede obtener también la variación relativa de precios de la canasta de un cierto mes, respecto del mes inmediatamente anterior a través de la expresión: expresión:

¿En cuánto varió el precio de los artículos de la canasta en el mes de junio respecto del mes de mayo?

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EJEMPLO

El precio de los artículos de la canasta en el mes de junio respecto del mes de mayo, disminuyó en un 1. 4% 39

Indice de Paasche Este índice compuesto ponderado utiliza las siguientes ponderaciones:

donde:

40

Indice de Paasche El precio relativo porcentual del producto i en el período t es:

Aplicando la ponderación wit se tiene que:

41

Indice de Paasche Sumando este resultado para todos los productos de la canasta, es decir, desde 1 hasta n, se obtiene el índice de precios de Paasche en el período t, denotado por IPPt, dado por:

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Indice de Paasche

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EJEMPLO Consideremos nuevamente la canasta de productos anterior. anterior. A continuación se muestran los índices de precios de Paasche con base en el mes de enero: enero:

Mes (t) Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Papas p1t 310 320 300 300 320 330

q1t 28 25 30 35 20 40

Arroz p2t 550 570 560 550 580 600

Lentejas q2t 10 12 8 13 9 14

p3t 850 870 810 880 860 810

q3t 5 6 5 4 5 7

Tomates p4t 450 440 470 410 440 420

q4t 35 40 30 25 35 40

Indice de Paasche (IPPt) 34180 37660 31630 31420 31320 44070

34180 37450 31450 32650 31150 44050

100,00 100,56 100,57 96,23 100,55 100,05 44

EJEMPLO

IPPmayo = 100.55

La variación de precios de los productos de la canasta en el mes de mayo, aumento en un 0.55% respecto del mes de enero, y en moneda del mes de enero.

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