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• lina caamaño

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´ ntico Universidad del Atla ´ Topologıa general Notas de Clase ´rez Recuero Jonathan Pe ´ gicos 1.1: Espacios Topolo Iniciaremos esta secci´on con el concepto de topolog´ıa sobre un conjunto. Definici´ on 1.1: Sea X un conjunto y τ una colecci´on de subconjuntos de X. τ es una topolog´ıa sobre X si: i. ∅, X ∈ τ . ii. Si A1 , A2 ∈ τ entonces A1 ∩ A2 ∈ τ . iii. Si [A = {Aλ : λ ∈ Λ} es una subcolecci´on de elementos de τ entonces Aλ ∈ τ . λ∈Λ

Dicho a groso modo, una topolog´ıa es una colecci´on de subconjuntos de un conjunto la cual es cerrada bajo la intersecci´on finita y es cerrada bajo uniones arbitrarias. El prop´osito es generalizar algunas propiedades de los intervalos abiertos en la recta real, propiedades que en s´ı mismas nos permiten estudiar el concepto de continuidad de funciones. La definici´on anterior, como mostraremos posteriormente, la cumple la colecci´on que consiste de todos los subconjuntos de R que son uniones de intervalos abiertos. Por ejemplo, si tomamos dos conjuntos que sean uniones de intervalos abiertos y los intersectamos, obtendremos un conjunto que tambi´en es uni´on de intervalos abiertos. Tambi´en, si tenemos una cantidad indeterminada de conjuntos que son uniones de intervalos abiertos y los unimos, la uni´on, por supuesto, ser´a un conjunto que es uni´on de intervalos abiertos. Volvamos a nuestra discusi´on. A continuaci´on, daremos una lista de ejemplos sencillos de algunas colecciones de conjuntos que son o no son una topolog´ıa. Ejemplo 1.1.1 (Topolog´ıa trivial): Si X es cualquier conjunto, entonces τt = {∅, X} es una topolog´ıa sobre X.

Ejemplo 1.1.2 (Topolog´ıa discreta): Si X es cualquier conjunto, entonces τd = P(X) es una topolog´ıa sobre X, donde P(X) es la familia de todos los subconjuntos de X. Ejemplo 1.1.3: Si X = {0, 1} es un conjunto de dos elementos, entonces todas las topolog´ıas sobre X son: τt = {∅, {0, 1}}. τ0 = {∅, {0}, {0, 1}}. τ1 = {∅, {1}, {0, 1}}. τd = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}. Ejemplo 1.1.4: Si X = {0, 1, 2} es un conjunto de tres elementos, entonces τ = {∅, {1}, {0, 1}, {1, 2}, {0, 1, 2}} es una topolog´ıa sobre X. Ejemplo 1.1.5: Si X = {0, 1, 2} es un conjunto de tres elementos, entonces τ = {∅, {0, 1}, {1, 2}, {0, 1, 2}} NO es una topolog´ıa sobre X. Ejemplo 1.1.6: Si X = {0, 1, 2} es un conjunto de tres elementos, entonces τ = {∅, {1}, {2}, {0, 1, 2}} NO es una topolog´ıa sobre X. Ejemplo 1.1.7 (Topolog´ıa del punto incluido): Sea X es cualquier conjunto no vac´ıo, y p ∈ X. Entonces τp = {A ⊆ X : A = ∅ ∨ p ∈ A} es una topolog´ıa sobre X. Nota: La topolog´ıa del Ejemplo 1.1.4 y las topolog´ıas no triviales del Ejemplo 1.1.3 son ejemplos de topolog´ıa de punto incluido para conjuntos X particulares. Ejemplo 1.1.8 (Topolog´ıa del punto excluido): Sea X es cualquier conjunto no vac´ıo, y p ∈ X. Entonces τ p = {A ⊆ X : A = X ∨ p ∈ / A} es una topolog´ıa sobre X. Ejemplo 1.1.9 (Topolog´ıa del conjunto incluido): Sea X es cualquier conjunto no vac´ıo, y S ⊆ X. Entonces τS = {A ⊆ X : A = ∅ ∨ S ⊆ A} es una topolog´ıa sobre X.

Nota: Para cualquier conjunto X, τd = τ∅ y τt = τX . Ejemplo 1.1.10 (Topolog´ıa del conjunto excluido): Sea X es cualquier conjunto no vac´ıo, y S ⊆ X. Entonces τ S = {A ⊆ X : A = X ∨ S ∩ A = ∅} es una topolog´ıa sobre X. Ejemplo 1.1.11 (Topolog´ıa cofinita): Sea X es cualquier conjunto infinito. Entonces τcof = {A ⊆ X : A = ∅ ∨ Ac = X − A es finito} es una topolog´ıa sobre X. Nota: Si τ es una topolog´ıa sobre X, entonces al par (X, τ ) se le llama espacio topol´ ogico y a cada elemento de τ se le llama conjunto abierto. Ejercicios 1.1: 1. Considere X = R el conjunto de los n´ umeros reales. Muestre que la colecci´on τcol = {∅, R} ∪ {(a, ∞) : a ∈ R} es una topolog´ıa sobre R. La llamaremos la topolog´ıa de las colas a la derecha. Muestre que la colecci´on τ = {∅, R} ∪ {[a, ∞) : a ∈ R} NO es una topolog´ıa sobre R. 2. Sea p ∈ X. Muestre que la colecci´on τf = {A ⊆ X : p ∈ / A ∨ Ac es finito} es una topolog´ıa sobre X. 3. Sea N el conjunto de los n´ umeros naturales. Decimos que A ⊆ N pertenece a τdiv si dado n ∈ A, todo divisor de n pertenece tambi´en a A. Muestre que τdiv es una topolog´ıa sobre N. D´e ejemplos de conjuntos que sean abiertos y que no sean abiertos. ¿Qu´e abiertos contienen al 1? 4. Para cada n ∈ N sea An = {n, n + 1, ...}. Muestre que τcol = {∅} ∪ {An : n ∈ N}

es una topolog´ıa sobre N. D´e ejemplos de conjuntos que sean abiertos y que no sean abiertos. ¿Qu´e abiertos contienen al 1? 5. Sea X = {0, 1, 2, 3}. Muestre que τ = {∅, {0}, {0, 1}, X} es una topolog´ıa sobre X. 6. Sea X un conjunto y A y B subconjuntos no triviales de X. ¿Qu´e propiedades deben satisfacer A y B para que τ = {∅, A, B, X} sea una topolog´ıa? 7. Sea X = [−1, 1]. Muestre que τ = {A ⊆ X : 0 ∈ / A ∨ (−1, 1) ⊆ A} es una topolog´ıa sobre X. 8. Sean X = {0, 1, 2, 3, 4}, A1 = {0, 1, 2} y A2 = {2, 3, 4}. Construya la m´as peque˜ na topolog´ıa sobre X tal que A1 y A2 son abiertos. 9. Para cada n ∈ N sea An = {1, 2, ..., n}. Muestre que τ = {∅, N} ∪ {An : n ∈ N} es una topolog´ıa sobre N. D´e ejemplos de conjuntos que sean abiertos y que no sean abiertos. ¿Qu´e abiertos contienen al 1? 10. Un subconjunto P de R lo llamaremos preinductivo si satisface la condici´on x ∈ P ⇒ x + 1 ∈ P. Muestre que la colecci´on τ = {P ⊆ R : P es preinductivo} es una topolog´ıa sobre R. 1.2: Conjuntos cerrados Ya hemos abordado la definici´on de lo que entenderemos por conjuntos abiertos. Ahora estableceremos nuestra definici´on de conjuntos cerrados. Pudiera parecer natural pensar que un conjunto es cerrado si no es abierto, no obstante, esa idea no es acertada. Por ejemplo, si le dijeran que cierto intervalo en la recta real no es abierto, usted no se atrever´ıa a concluir apresuradamente que dicho intervalo es un intervalo cerrado. Del mismo modo, la noci´on de conjunto cerrado no es sencillamente no ser abierto. Por otro lado, si tienen cierto grado de dualidad los dos conceptos, como veremos a continuaci´on.

Definici´ on 1.2: Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y C ⊆ X. Decimos que C es un (sub)conjunto cerrado si X − C = C c ∈ τ . Ahora enunciaremos una manera de caracterizar los subconjuntos cerrados dentro de cierto espacio topol´ogico. Teorema 1.1: Si (X, τ ) es un espacio topol´ogico, entonces la colecci´on C de todos los subconjuntos cerrados de X satisface: i. ∅, X ∈ C (∅ y X son cerrados). ii. Si C1 , C2 ∈ C entonces C1 ∪ C2 ∈ C (la uni´on de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado). \ iii. Si A = {Cλ : λ ∈ Λ} es cualquier subcolecci´on de C entonces Cλ ∈ C λ∈Λ

(la intersecci´on arbitraria de cerrados es cerrado). Demostraci´on: i. Dado que ∅ y X son abiertos entonces sus complementos, X y ∅ respectivamente, son cerrados. ii. Si C1 y C2 son subconjuntos cerrados, entonces C1c , C2c ∈ τ y por tanto, como τ es una topolog´ıa, (C1 ∪ C2 )c = C1c ∩ C2c es abierto, luego C1 ∪ C2 es cerrado. iii. Sea A = {Cλ : λ ∈ Λ} una subcolecci´on de C, entonces para cualquier λ ∈ Λ se tiene que Cλc ∈ τ . Luego, como τ es una topolog´ıa, tenemos  \ c [ Cλ = Cλc λ∈Λ

es abierto. Por tanto,

\

λ∈Λ

Cλ es cerrado.

λ∈Λ

Daremos ahora la colecci´on de cerrados para cada uno de los espacios topol´ogicos introducidos anteriormente. Ejemplo 1.2.1 Si X es cualquier conjunto y τt = {∅, X} es su topolog´ıa

trivial, entonces la colecci´on de los subconjuntos cerrados en (X, τt ) est´a dada por C = {∅, X}. Ejemplo 1.2.2 Si X es cualquier conjunto y τd = P(X) es su topolog´ıa discreta, entonces la colecci´on de los subconjuntos cerrados en (X, τd ) es C = P(X). Ejemplo 1.2.3: Si X = {0, 1} es un conjunto de dos elementos, entonces para cada topolog´ıa sobre X se tiene τt = {∅, {0, 1}}, C = {∅, {0, 1}}. τ0 = {∅, {0}, {0, 1}}, C = {∅, {1}, {0, 1}}. τ1 = {∅, {1}, {0, 1}}, C = {∅, {0}, {0, 1}}. τd = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}, C = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}. Ejemplo 1.2.4: Sea X = {0, 1, 2} un conjunto de tres elementos, y considere sobre X la topolog´ıa τ = {∅, {1}, {0, 1}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. Entonces, la colecci´on de los subconjuntos cerrados en (X, τ ) es C = {∅, {0}, {2}, {0, 2}, {0, 1, 2}}. Ejemplo 1.2.5: Sea X es cualquier conjunto no vac´ıo y p ∈ X. Considere sobre X la topolog´ıa τp = {A ⊆ X : A = ∅ ∨ p ∈ A}. Entonces, la colecci´on de los subconjuntos cerrados en (X, τp ) es C = {C ⊆ X : C = X ∨ p ∈ / C}. Ejemplo 1.2.6: Sea X es cualquier conjunto no vac´ıo y p ∈ X. Considere sobre X la topolog´ıa τ p = {A ⊆ X : A = X ∨ p ∈ / A}. Entonces, la colecp ci´on de los subconjuntos cerrados en (X, τ ) es C = {C ⊆ X : C = ∅∨p ∈ C}. Ejemplo 1.2.7: Sea X es cualquier conjunto no vac´ıo y S ⊆ X. Considere sobre X la topolog´ıa τS = {A ⊆ X : A = ∅ ∨ S ⊆ A}. Entonces, la colecci´on de los subconjuntos cerrados en (X, τS ) es C = {C ⊆ X : C = X ∨S ∩C = ∅}. Ejemplo 1.2.8: Sea X es cualquier conjunto no vac´ıo y S ⊆ X. Considere sobre X la topolog´ıa τ S = {A ⊆ X : A = X ∨S ∩A = ∅}. Entonces, la colecci´on de los subconjuntos cerrados en (X, τ S ) es C = {C ⊆ X : C = ∅ ∨ S ⊆ C}.

Ejemplo 1.2.9: Sea X un conjunto infinito y considere su topolog´ıa cofinita τcof = {A ⊆ X : A = ∅ ∨ Ac es finito}. Entonces, la colecci´on de los subconjuntos cerrados en (X, τcof ) es C = {C ⊆ X : C = X ∨ C es finito}. Nota: Observe que el que un subconjunto en un espacio topol´ogico sea cerrado, no significa que sea no abierto. Existen conjuntos que son cerrados y abiertos, conjuntos que son cerrados y no abiertos, conjuntos que son abiertos y no cerrados y conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados. Ejercicios 1.2: 1. Considere el espacio topol´ogico (R, τcol ) donde τcol = {∅, R} ∪ {(a, ∞) : a ∈ R}. Caracterice los conjuntos cerrados de este espacio topol´ogico. 2. Sea p ∈ X y (X, τf ) el espacio topol´ogico donde τf = {A ⊆ R : p ∈ / A ∨ Ac es finito}. Caracterice los conjuntos cerrados de este espacio topol´ogico. 3. Considere el espacio topol´ogico (N, τdiv ), donde τdiv es la topolog´ıa del ejercicio 1.1.3. Caracterice los conjuntos cerrados de este espacio topol´ogico. 4. Considere el espacio (N, τcol ), donde τcol = {∅} ∪ {An : n ∈ N} con An = {n, n + 1, ...}. Caracterice los conjuntos cerrados de este espacio topol´ogico. 5. Sea X = {0, 1, 2, 3} y τ = {∅, {0}, {0, 1}, X}. Encuentre los subconjuntos cerrados en (X, τ ). 6. Considere el espacio (N, τ ), donde τ = {∅, N} ∪ {An : n ∈ N} con An = {1, 2, ..., n}. Caracterice los cerrados de este espacio topol´ogico. 7. Dar un ejemplo de un espacio topol´ogico no discreto y no trivial en el que coincidan las familias de abiertos y cerrados. 8. Sea X = {0, 1, 2, 3} y A = {0, 1}. Encontrar 5 topolog´ıas sobre X tales que A sea abierto y cerrado a la vez.

9. Muestre que la colecci´on C = {∅, R} ∪ {[a, ∞) : a ∈ R} satisface el Teorema 1 y muestre, por tanto, que existe una topolog´ıa sobre R tal que C es la colecci´on de cerrados. 10. Muestre que la colecci´on del ejercicio 1.1.10 satisface el Teorema 1 y muestre, por tanto que la colecci´on τ 0 = {P ⊆ R : P c es preinductivo} es tambi´en una topolog´ıa sobre R. 1.3: Orden entre dos topolog´ıas Como hemos visto antes, podemos definir m´as de una topolog´ıa sobre cierto conjunto dado. Queremos ahora establecer un orden parcial entre las topolog´ıas que pueden ser definidas sobre un conjunto. Definici´ on 1.3: Sea X un conjunto y τ1 , τ2 topolog´ıas sobre X. Decimos que τ1 es menos fina que τ2 si τ1 ⊆ τ2 . Decimos que τ1 es m´ as fina que τ2 si τ2 ⊆ τ1 . Decimos que τ1 y τ2 son no comparables si τ1 no es menos fina ni m´as fina que τ2 . Nota: Si τ1 es menos fina y m´as fina que τ2 entonces τ1 = τ2 , las topolog´ıas coinciden. El siguiente teorema establece que cualquier colecci´on de topolog´ıas sobre un conjunto tiene una cota superior y una cota inferior. Teorema 1.2: Sea X un conjunto y τ una topolog´ıa sobre X. Entonces τt ⊆ τ ⊆ τd . Demostraci´on: Como ∅, X ∈ τ , entonces τt ⊆ τ . Si A ∈ τ , como A ⊆ X entonces A ∈ P(X) = τd . Luego, τ ⊆ τd . El siguiente teorema es una versi´on sencilla de la siguiente proposici´on: la intersecci´on de cualquier colecci´on de topolog´ıas sobre un conjunto X es una topolog´ıa sobre X. Teorema 1.3: Sea X un conjunto y τ1 , τ2 topolog´ıas sobre X. Entonces

τ1 ∩ τ2 es una topolog´ıa sobre X. Demostraci´on: i. Como ∅, X ∈ τ1 y ∅, X ∈ τ2 , entonces ∅, X ∈ τ1 ∩ τ2 . ii. Sean A1 , A2 ∈ τ1 ∩ τ2 . Entonces, A1 , A2 ∈ τ1 y A1 , A2 ∈ τ2 . Luego, A1 ∩ A2 ∈ τ1 y A1 ∩ A2 ∈ τ2 , por tanto, A1 ∩ A2 ∈ τ1 ∩ τ2 . iii. Sea G una subcolecci´ τ2 . Entonces G es una[ subcolecci´on de [ on de τ1 ∩[ τ1 y de τ2 . Luego A ∈ τ1 y A ∈ τ2 . Por tanto, A ∈ τ1 ∩ τ2 . A∈G

A∈G

A∈G

Este u ´ltimo teorema de esta secci´on resuelve el problema de encontrar el ´ınfimo de una colecci´on de topolog´ıas. La presentaci´on en estas notas es la versi´on simplificada. Teorema 1.4: τ1 ∩ τ2 es la topolog´ıa m´as fina que es menos fina que τ1 y τ2 . Demostraci´on: Sea τ una topolog´ıa menos fina que τ1 y τ2 . Entonces, τ ⊆ τ1 y τ ⊆ τ2 . Luego, τ ⊆ τ1 ∩ τ2 . Esto es, τ es menos fina que τ1 ∩ τ2 . Nota: La uni´on de topolog´ıas no es, en general, una topolog´ıa. Por ejemplo, considere sobre X = {0, 1, 2} la topolog´ıa del conjunto {0, 1} excluido, τ {0,1} = {∅, {2}, {0, 1, 2}}, y la topolog´ıa del conjunto {1, 2} excluido, τ {1,2} = {∅, {0}, {0, 1, 2}}. La uni´on de estas dos topolog´ıas da como resultado la colecci´on {∅, {0}, {2}, {0, 1, 2}}, la cual claramente NO es una topolog´ıa. Ahora bien, el ejercicio 1.1.2 muestra un ejemplo de dos topolog´ıas cuya uni´on resulta ser una topolog´ıa. Ejercicios 1.3: 1. Sea S ⊆ X y p ∈ S. Pruebe que τS es menos fina que τp y que τ S es menos fina que τ p . 2. Sean S1 , S2 ⊆ X. Muestre que τS1 ∩ τS2 = τS1 ∪S2 y τ S1 ∩ τ S2 = τ S1 ∪S2 . 3. Muestre que si S1 ⊆ S2 entonces τS2 es menos fina que τS1 y que τ S2 es menos fina que τ S1 .

4. Sea X = R. Muestre que la topolog´ıa del ejercicio 1.1.1. no es comparable con la topolog´ıa cofinita sobre X. 5. Sea X = N. Muestre que la topolog´ıa del ejercicio 1.1.4. es menos fina que la topolog´ıa cofinita sobre X.