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MATEMATICAS FINANCIERAS CLASE 2 Valor del dinero en el tiempo. El dinero tiene un valor dependiendo del momento en que se reciba o entregue ¿por qué? Responda la siguiente pregunta: Un tío quiere regalarle dos millones de pesos, ¿usted prefiere recibirlos hoy o dentro de un año? Hoy: pérdida de poder adquisitivo inflación Hoy: arrepiente, quiebre, muera riesgo Hoy: podría invertir Costo de oportunidad Rentabilidad o rendimiento En Economía, la rentabilidad hace referencia al beneficio, lucro, utilidad o ganancia que se ha obtenido de un recuso o dinero invertido. La rentabilidad se considera también como la remuneración recibida por el dinero o el capital invertido. En el mundo de las finanzas se conoce también como los dividendos percibidos de un capital invertido en un negocio o empresa. La rentabilidad puede ser representada en forma relativa (en porcentaje) o en forma absoluta (en valores).

F Rentabilidad (%i)= −1 P Donde: F: es el valor futuro o final P: es el valor presente, principio o inicio Ejemplos: 1.

Un dólar cuesta hoy 3793 y hace un año costaba 3365 ¿Cuál es la rentabilidad de una persona que invirtió en esta moneda?

Rentabilidad ( %i )= 2.

3793 −1=0,127=12.7 % anual 3365

Una acción de Avianca taca cuesta hoy 205 y hace un año costaba 1635 ¿Cuál es la rentabilidad de una persona que invirtió en esta acción?

Rentabilidad ( %i )= 3.

205 −1=−0,874=−87.4 % anual pérdida 1635

Una acción de Almacenes EXITO cuesta hoy 10300 y hace un año costaba 17200 ¿Cuál es la rentabilidad de una persona que invirtió en esta acción?

Rentabilidad ( %i )= 4.

10300 −1=−0,401=−40,1 % pérdida 17200

Una propiedad está valorada hoy en 220 millones y hace un año costo 200 millones ¿Cuál es el índice de valorización?

Rentabilidad ( %i )=

220 −1=0,10=10 % anual 200

Diagrama de flujo de caja Es la representación gráfica de ingresos y egresos de una operación financiera durante un intervalo de tiempo.      

Operación financiera: Crédito o Inversión Ingresos: Entradas de efectivo Egresos: Salidas de efectivo Intervalo de tiempo: duración de la operación financiera en meses, trimestres años etc. Se inicia siempre desde cero Importante: demarcar inicio y fin de periodo

Ejemplo: 1.

Usted pide un crédito por un millón para pagarlo en 4 cuotas iguales en los meses 2, 4, 7 y 10 Dibuje el flujo de caja

100000 0

 

0

1

  2

 

 

3

4

x

Préstamo:

2.

 

 

5

6

X

 

 

 

8

9

x

10 x

cuotas

Usted abre una cuenta de ahorros con 100.000 y hace depósitos en los meses 4 y 7 de 50.000 c/u. Hace dos retiros iguales en los meses 5 y 10 Dibuje el flujo de caja

0 100000

Deposito:

 

 

 

 

 x

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

50000

x 10

50000

retiros:

Tipos de interés: Interés simple: es aquel en el cual los intereses devengados en un periodo no ganan intereses en el período siguiente. Es decir, el capital invertido o prestado no se incrementa con los intereses.

Ejemplo: Usted invierte $200 al 2% mensual simple durante 3 meses ¿Cuánto dinero tendrá al final del tercer mes? Mes 0: 200 P Mes 1: 200+200*0.02=200+4=204 P+Pi Mes 2: 204+200*0,02=204+4=208 P+Pi+Pi=P+2Pi Mes 3: 208+200*0,02=208+4=212 P+2Pi+Pi=P+3Pi

F=P+nPi F=P(1+¿) comportamiento lineal

En el mes n:

Cuanto tendré en el mes 30:

F=200 ( 1+ 30∗0,02 )=320

DESVENTAJAS: Desconoce el VDT, no es muy aplicado a las finanzas Interés compuesto: es aquel que al final del periodo capitaliza los intereses devengados en el periodo anterior, es decir el capital se incrementa con los intereses generados periodo tras periodo. Ejemplo: Usted invierte $200 al 2% mensual compuesto durante 3 meses ¿Cuánto dinero tendrá al final? Mes 0: 200 P Mes 1: 200+200*0.02=200+4=204 P+Pi = P(1+i) Mes 2: 204+204*0,02=204+4,08=208,08 1 P(1+i)+ P(1+i)i= P(1+i)(1+i)= P(1+i)^2 Mes3: 208,08+208,08*0.02=208,08+4,1616=212,2416 P(1+i)^3 En el mes n:

F=P(1+i)n funciónexponencial

En el mes 30:

F=200(1+0,02)30=362,2723 Nota: Tanto i como n deben tener el mismo período

MATEMATICAS FINANCIERAS CLASE 3 Interés compuesto: es aquel que al final del periodo capitaliza los intereses devengados en el periodo anterior. Matemáticamente:

F=P ( 1+i )

n

Nota: el interés (i), y el plazo (n) deben tener la misma periodicidad

Ejemplos: 1.

Cuanto debe invertir hoy para que en 5 años le entreguen 1.500.000 con una tasa del 0,4% mensual. P=? F = 1.500.000 i=0.4%=0.004 mes n=60 meses

F=P ( 1+i )n P=

F P=F (1+ i)−n n ( 1+i )

P=1.500 .000(1+ 0.004)−60 =1.180 .506 2.

Si usted deposito 1.500.000 hace 18 meses y hoy le entregan 1.750.000, ¿a que tasa mensual le recibieron su dinero?, ¿a qué tasa semestral? P=1.500.000 N=18 meses F=1.750.000 i=?

F=P ( 1+i )

n

1.750 .000=1.500 .000 ( 1+ imensual ) 1.750 .000/1.500.000=( 1+i )18 18 1.16666=( 1+i ) 18 18 18 √ 1.166666= √( 1+i )

18 meses

1

1.166666 18 =1+i 1.0086=1+ ii=0.0086 i=0.86 % mensual Nota: para despejar i se toma raíz enésima

1.750 .000=1.500 .000 ( 1+ i semestral )3 semestres i=0.05272=5.272% semestral 3.

Cuánto tiempo se requiere para que una inversión de 1.200.000 se convierta en 1.950.750, con una tasa de interés del 27,5% anual P=1.200.000 F=1950.750 I=27.5% anual N=?

F=P ( 1+i )

n

1.950 .750=1.200 .000 ( 1+ 0.275 )

n

1.950.750 = (1.275 )n 1.200.000 1.625625= (1.275 )n ln 1.625625=ln ( 1.275 )n propiedad ln A x =xlnA

ln 1.625625=n . ln1.275 n=

ln 1.625625 =2años ln 1.275 Nota: para despejar n se toma logaritmo

CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERES Tipos de Interés Es importante hacer una diferenciación entre los dos tipos de tasas de interés que se utilizan en las finanzas el nominal y el efectivo. La tasa de interés nominal es una tasa expresada generalmente en forma anual y genera intereses varias veces al año. La tasa de interés efectiva hace referencia a la tasa que se aplica verdaderamente a un monto de dinero en un periodo de tiempo. Modalidad de pago: Anticipada: cuando los intereses se liquidan en el momento de hacerse la inversión. Vencida: cuando la liquidación o el pago de los intereses se hace al vencimiento del período. Tasas equivalentes: dos tasas son equivalentes cuando ambas, operando en condiciones diferentes, producen el mismo resultado. Ej. Nominal tiene 2 periodos. La efectiva un solo periodo    

24% anual, semestre vencido: Es nominal 16% semestral, mes anticipado: Es nominal 24% anual: es efectiva 2% mensual: es efectiva

Convenciones: A: anual S: semestral T: trimestral B: bimestral M: mensual Q: quincenal D: diaria V: Vencida A: Anticipada (si aparece al final)     

24% A, SV 16% S, MA semestral mes anticipado 24% A 2% M 18% A, TA anual trimestre anticipado

Conversión de tasas de interés Inicialmente es importante diferenciar entre tasas nominales y tasas efectivas. Tenga presente que para convertir tasas se utiliza el concepto de tasas equivalentes. Los pasos para seguir en la conversión de una tasa son: Paso 1: Si es nominal (2 periodos) divida por la relación entre periodos 

24 % A , SV

24 % =12 % SV 2

 

16 % =2.6666 % MA 6 18 % 18 % A , TA =4.5 % TA 4 16 % S , MA

Paso 2: Si es anticipada (A), Vuélvala vencida (V)

iv=

ia 1−i a  

24 % 0.06 =6 %T A paso 2i v = =0.063829 T V 4 1−0.06 0.04 4 % M A paso 1 : NA paso 2 :i v = =0.0416666 M V 1−0.04 24 % A ,TA paso 1 :

Paso 3: Conviértala con: Diasdel i que busco

i Busco =(1+ iTengo ) Dias del ique tengo −1 Ejemplos: 

36% A, SV convertirlo a: mes, trimestre, año, quincena

36 % =18 % sv 2 Paso 2: na Paso 1:

i mensual=(1+18 % sv)

30 180

i trimestal=(1+18 % sv)

−1=0.027969mv=2.7969 %

90 180

−1=0.08627 tv=8.627 %

i anual= (1+18 % sv )

360 180

−1=0.3924=39.24 % av 15

i quincenal=( 1+18 % sv ) 180 −1=0.01388=1.388 % qv 

24% anual convertirla a: mes, 8 meses, 40 días

Paso 1: X Paso 2:24 % av paso 3 :imes=( 1+ 24 % anual ) i 8 meses=( 1+24 % anual ) i 40 días=( 1+24 % anual ) 

240 360

40 360

30 360

−1=0.01808 mv

−1=0.1542 8 MV

−1=0.02418 40 DV

2% MA convertir a año

Paso 1: X Paso 2:iv =

0.02 =0.020408 mv 1−0.02

360

i anual=(1+ 0.020408mv) 30 −1=0.274342av MATEMATICAS FINANCIERAS CLASE 4 Los pasos a seguir para convertir una tasa de interés son: Paso 1: Si es nominal (2 periodos) divida por la relación entre periodos Paso 2: Si es anticipada (A), Vuélvala vencida (V)

iv=

ia 1−i a

Paso 3: Conviértala con:

i Busco =(1+ iTengo )

Diasdel i que busco Dias del ique tengo

−1

Paso 4: Si la necesita anticipada:

i a=

iv 1+i v

Paso 5: Si la necesita nominal (2 periodos): Multiplique por la relación entre periodos

iv=

ia iv despejando ia:iv ( 1−ia ) =ia →iv−iv ia=ia→ iv=ia+iv ia→ iv=ia ( 1+iv ) →ia= 1−i a 1+iv

Ejemplos: 24% A, SV Convertir a MA

Paso 1:

24 % =12 % SV 2

Paso 2: X 30

Paso 3 :imensual=(1+ 12% SV ) 180 −1=0.01906 mv Paso 4 :ia=

0.01906 =0.0187 ma=1.87 % ma 1+0.01906

9% T, MA convertir a A, TV

Paso 1:

9% =3 % ma 3

Paso 2:

0.03 =0.030927 mv 1−0.03 90 30

Paso 3 :itrimestral=( 1+ 0.030927 mv ) −1=0.09568 tv Paso 4 : X Paso 5 :trimestres en el año 4=0.09568tv∗4=0.38272 atv=38.272 % atv

6% B. QV convertirlo a A. MA

Paso 1:

6% =1.5 % qv 4

Paso 2: X 30 15

Paso 3 :imensual=( 1+0.015 qv ) −1=0.030225mv Paso 4 :

0.030225 =0.029338 ma 1+0.030225

Paso 5 :a , mamultiplico por 12 :0.029338 ma∗12=0.35205 a ,ma=35.205% a , ma Nota: siempre iv>ia Ejemplos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Convertir el 45% AMV a: trimestre 11.68%, mes 3.75%, semestre 24.72%, bimestre 7.64% año 55.54% Convierta el 33% anual en: semestre 15.33%, mes 2.40%, trimestre 7.39%, bimestre 4.87% Convertir 26% AMV a trimestre 6.64% Convertir 3.5% mv a trimestre 10.87% Convertir 33% Anual a AMV 28.86% Usted tiene 3 opciones para un crédito: 36% ATA, 38% ATV y 38.5% AMV R/ opción 2 34% ATA hallar AMA R/ 35.01%,

Solución 6: Usted tiene 3 opciones para un crédito: 36% ATA, 38% ATV y 38.5% AMV 36% ATA convertir a mes

36 % =9 % ta 4 0.09 Paso 2:iv = =0.0989 tv 1−0.09 Paso 1:

30 90

paso 3 :imensual=(1+0.0989 tv) −1=0.03193 mv 38% ATV convertir a mes

Paso 1:

38 % =9.5 % tv 4

Paso 2: X

30

Paso 3 :imensual=(1+ 0.095 tv)90 −1=0.03071 mv 38.5% AMV convertir a mes

Paso 1:

38.5 % =3.2083 % mv=0.032083 mv 12

El más bajo es la opción 2

Solución 7: 34% ATA convertir a: AMA

Paso 1:

34 % =8.5 % ta 4

Paso 2:

0.085 =0.09289tv 1−0.085 30 90

Paso 3 :imensual=( 1+0.09289 tv ) −1=0.03005 mv Paso 4 :ia=

0.03005 mv =0.02917 ma 1+0.03005 mv

Paso 5 :a , mamultiplicar 120.02917 ma∗12=0.35008 a , ma

MATEMATICAS FINANCIERAS CLASE 5 El principio de equivalencia financiera establece que dos sumas de dinero invertidas en fechas distintas, son equivalentes cuando, analizados en un mismo momento o tiempo conservan la misma cuantía. Matemáticamente es:

∑ Ingresos=∑ Egresos

Presente n −n Futuro P=F (1+ i) F=P ( 1+i ) Cualquier t

Ejemplo: Se abre una cuenta de ahorros con $1.000.000. Luego de dos meses se retiran $500.000; tres meses después se consignan $200.000 y un mes después se retiran $300.000. Si la tasa de interés es del 12,56% efectivo anual, ¿cuál será el saldo de la cuenta al final del año? 1) Construir el flujo de caja 500.000

 

 

 

 

 

 

   

   

   

   

 X=?

 200m

 300M      

 

 

 

 

 

0

1

2

3

4

5

6

8

9

10

11

12

7

  13mes

1.000.000 2) Convertir la tasa: 12,56% AV convertir a mes P1: NO P2: NO

P3:

30 360

i mes=(1+ 0.1256 av) −1=1 % mv 3) Ing=Egr mes 12 Futuro=P∗( 1+i )n 500.000(1+0.01)10+ 300.000(1+ 0.01)6 + x (1+0.01)0=1.000 .000(1+0.01)12+200.000( 1+ 0.01)7 552311.06+ 318456.04+ x=1126825.03+ 214427.07 x=470.485 otra forma : Ing=Egr mes 0 Presente :P=F∗( 1+i )−n −2

−6

−12

500. 000 (1.01 ) +300.000 ( 1.01 ) + x ( 1.01 )

0

−5

=1.000.000 ( 1.01 ) +200.000 ( 1.01 ) x=470.485

otra forma : Ing=Egr mes 4 500.000(1.01)2+ 300.000(1.01)−2 + x (1.01)−8=1.000 .000(1.01)4 +200.000(1.01)−1 x =470485 Ejemplo 2: A usted le prestan $ 100 el día de hoy con el compromiso de cancelar $ 25 dentro de 4 meses, $ 50 dentro de 9 meses y una cuota final de $ 40 que se pagará posteriormente dependiendo de la tasa que se defina. Si la tasa se acuerda en 0.8% MV en qué momento se debe pagar la cuota de $ 40? 1) Construir el FC 100

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

25

50

n=? 13 mes

40

2) Convertir el interés: 0.8% MV 3)

Ing=Egr mes 0 ( despejar n ) 100(1+0.008)0=25(1.008)−4 +50(1.008)−9 + 40(1.008)−n 100=24.215+ 46.539+ 40(1.008)−n 100−24.215−46.539=40 (1.008)−n 29.246=40(1.008)−n 0.731=(1.008)−n ln 0.731=ln(1.008)−n ln 0.731 ln 0.731=−n ln 1.008 =−n−n=−39.32 n=39.32 meses ln 1.008 Ejemplo 3: Usted recibe un crédito por 5 millones para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales y una tasa del 18% anual. ¿Cuál es el valor de la cuota mensual?

1) Construir FC 5.000.000

 

 

 

 0

1

2 

X=?

X=?

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   12 X=?

30

2) Convertir la tasa: 18% AV P1: NO P2: NO P3: i mes=(1+ 0.18)360 −1=0.0138=1.38 % 3)

Ing=Egr mes 12 5.000.000 ( 1+0.0138 )12=x ( 1.0138 )11 + x ( 1.0138 )10 +… x (1.0138)0

MATEMATICAS FINANCIERAS CLASE 6

SERIE UNIFORME O ANUALIDADES Es un conjunto de pagos periódicos e iguales. Se clasifican en Vencidas anticipadas diferidas y perpetuas. Vencida: Es aquella en la que el pago se hace al final del periodo como el salario, las cuotas de un vehículo, o electrodoméstico etc. Anticipada: Es aquella en la que los pagos se realizan al principio del periodo como arrendamientos seguros y otros VALOR FUTURO: El Valor futuro se calcula con:

(1+i)n−1 F= A i

[

]

Donde: A: Valor del pago n: número de pagos i: tasa de interés El valor futuro se ubica sobre el último pago

(1+0.0138)12−1 0.0138 5893827.855=x [ 12.954 ] x=454980.36 12

Ing=Egre mes12 5.000 .000 ( 1.0138 ) =x

[

]

Ejemplo: Usted abrió una cuenta de ahorros con 100.000 además, realizo los siguientes movimientos: Depósitos de: 80.000 en el mes 2 y 50.000 entre los meses 4 y 7 (4,5,6,7) Retiros de 20.000 entre los meses 8 y 12 (8,9,10,11,12) Cuánto dinero podrá retirar al final del mes 14 si la tasa es del 0.5% mensual 1) FC

20 M

      0

   

   

1

   

2

   

3

   

4

5

80 M

   

   

6

7

   

   

8

9

 

 

   

10

11

 

   

 X= ?  

   

12

13

14

15

50 M

100.000 2) 0.5% mes

3) Ingresos= egresos mes 14 futuro

Ing=egr mes 14 20.000

[

F= A

[

(1+i )n−1 2 o más i

]

( 1+i )n ( 1+i )−n un solo pago

(1+0.005)5−1 (1 (1+0.005)2+ x( 1+ 0.005)0 =100.000(1.005)14+ 80.000(1.005)12 +50.000 0.005

[

]

Ejemplo: Usted tomo un préstamo de10.000.000 para pagarlo en 10 cuotas mensuales iguales debiendo cancelar la primera dentro de 4 meses y un pago adicional de 1.500.000 en el mes 15 sabiendo que la tasa es del 18% AMV. Determine el valor de los pagos

1) FC

10 millones

   

   

   

0

1

2

   

   

   

   

   

   

4

5

6

7

8

3

   

   

   

   

   

   

   

0

11

12

13

14

15

9

X=?

2) Convertir interés: P1: 3) Ing = Egr mes 15

18%/12=1.5% mv

10.000 .000 (1.015 )15= x

[

( 1.015 )10−1 ( 1.015 )2 +1.500 .000(1.015)0 0.015

]

12502320.67=x (11.026 )+ 1.500.000 12502320.67−1.500 .000 =x=997852.4 11.026

MATEMATICAS FINANCIERAS CLASE 7

VALOR PRESENTE El Valor presente se calcula con:

P= A P= A

[ [

(1+ i)n−1 −n × ( 1+i ) i

] ]

1− (1+i )−n i

Donde: A: Valor del pago n: número de pagos i: tasa de interés El valor presente se ubica un periodo antes del primer pago

Ejemplo: Usted tomo un préstamo de 5 millones para pagarlo en cuotas mensuales iguales por un año y medio, debiendo cancelar la primera dentro de 3 meses, si la tasa es del 18% Anual. Determine el valor de los pagos mensuales. 5.000.000

 

 

 

 

   

   

   

   

   

   

   

 

4

5

6

7

8

9

 

   

   

   

 

10

11

12

13

 

   

   

14

15

2 0

1

16 3

17

18

X= ? Convertir la tasa: 18% AV

30

P 1: NO P 2 :NO P3 :imes=(1+ 0.18 anual) 360 −1=1.388 %

(1+i)n−1 1−( 1+ i )−n F= A P=A 2 o más pagos i i

[

] [

]

( 1+i )n ( 1+i )−n un solo pago (1+ 0.01388)16−1 Ing=Egr mes 18 :5000000 ( 1+ 0.01388 ) =x 0.01388 18

[

]

6408081.33=x [ 17.7785 ] x=360439.54 Otra forma:

1−( 1+ 0.01388 )−16 Ing=Egr mes 0 :5000000 ( 1.01388 ) =x ( 1.01388 )−2 0.01388 0

[

]

5000000=13.8719 x x =360439.5

Ejemplo: (1 taller 2) Usted ahorró una misma cantidad de dinero al final de cada mes desde el mes de marzo hasta el mes de noviembre del año 1 más un ahorro adicional de $ 2.000.000 al principio del mes de mayo del año 1, con el fin de poder retirar $ 1.500.000 mensuales al principio de cada mes entre agosto 1 y diciembre 1

del año 2 y dejar el saldo en cero. Si la tasa de interés que le reconocen es del 9.6% anual mensual vencido durante todo el plazo, ¿cuál es el valor del ahorro mensual que usted debió realizar? 1.500.000 E

F

M

A

M

J

J

   

   

   

   

   

   

   

0

1

2

4

5

6

3

A

S

O

N

D

E

F

M

A

M

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

10

11

8

9

12

13

14

15

16

17

7

J

A

S

O

N

D

   

   

   

   

   

   

   

18

19

20

21

22

23

24

J

X=?

2.000.000 Convertir tasa: 9.6% anual mensual vencido

F= A

[

P1

9.6 % =0.8 %=0.008 12

(1+i)n−1 1−( 1+i )−n encima ultimo pago P= A un periodo antes del primer pago 2o mas i i

[

]

]

( 1+i )n ( 1+i )−n un solo pago 1−( 1+ 0.008 )−5 1− (1+0.008 )−9 −18 Ing=egr mes 0 :1500000 (1.008 ) =x ( 1.008 )−2+2000000 ( 1.008 )−4 0.008 0.008

[

]

[

]

(1+0.008)5−1 (1+0.008)9−1 1 13 20 Ing=egr mes 24 5 1500000 ( 1.008 ) =x ( 1.008 ) + 2000000 ( 1.008 ) 0.008 0.008

[

]

[

]

1−( 1+0.008 )−5 (1+0.008)9−1 −4 Ing=Egr mes 14 :1500000 ( 1.008 ) =x ( 1.008 )3 +2000000 ( 1.008 )10 0.008 0.008

[

]

[

MATEMATICAS FINANCIERAS CLASE 8

]

Anualidades con cambio en la tasa de interés Ejemplo: Financiar (pedir prestado)10.000.000 a dos años en cuotas mensuales iguales debiendo cancelar la primera dentro de 4 meses y dos pagos adicionales de 1.500.000 en los meses 12 y 24, sabiendo que la tasa es del 30% anual el primer año y del 35% anual de ahí en adelante 10.000.000

   

   

   

0

1

2

   

   

3

   

   

5 4

   

   

   

7

8

9

6

   

   

   

11

   

   

13

10

12

   

   

15

16

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18

19

20

17

   

   

   

22

    24

21

23

x=? 1.500.000

1.500.000

30% AV=2.21% mv Convertir la tasa: 30% AV P1:NO P2:NO P3:

F= A

[

35% AV=2.53% mv

imes=( 1.30 )

30 360

−1=2.21 % imes=( 1.35 )

30 360

−1=2.53 %

(1+i)n−1 1−( 1+i )−n encima ultimo pago P= A un periodo antes del primer pago 2o mas i i

]

[

]

( 1+i )n ( 1+i )−n un solo pago 12

Ing=Egre mes12 10.000.000 ( 1.0221 ) =x

[

(1+ 0.0221)9 −1 1−( 1+0.0253 )−12 ∗nada+ x ∗nada+1.500 .000 ( 1 0.0221 0.0253

12999320.74=x [ 9.8380 ] + x [ 10.2391 ] +1111424+1.500 .000 10387896.74=20.077 x x=517.398

]

[

]

Ejemplo: Una obligación (financiación-préstamo) costa de 15 pagos iguales por mes anticipado (principio del mes) con una tasa del 2% mensual, debe sustituirse por una serie equivalente de 15 pagos por mes vencido de 27.000 el primero debe hacerse dentro de 5 meses, con una tasa del 2% mensual durante los 5 primeros meses y del 2.5% mensual de ahí en adelante. Halle el valor de la primera anualidad X=? 2%mv

 

 

0

 

 

 

2 1

 

4 3

 

 

6

7

5

 

 

 

 

9

10

8

 

 

12

13

11

  Y= ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

X=?

   

   

   

   

   

0

1

2

3

4

   

   

5

   

   

   

7 6

   

9 8

   

   

11 10

   

   

   

13

14

15

12

   

   

16

17

   

   

18

19

   

   

   

   

   

20

21

22

23

24

(1+i)n−1 1−( 1+i )−n F= A encima ultimo pago P= A un periodo antes del primer pago 2o mas i i

[

[

]

]

( 1+i )n ( 1+i )−n un solo pago 1−( 1+0.025 )−14 ¿ egr mes 5 :grafica 2 : x (1+0.02 ) =27.000 +27.000 0.025

[

5

1.104 x=342654.62 x=310375.56 1−( 1+0.02 )−15 ¿ egr mes 0 grafico 1: x= y ( queda en−1 )∗( 1.02 )1 0.02

[

]

]

310375.56= y [ 12.8492 ] 1.02 y=23681

Ejemplo: (parecido10 taller 2) Para pagar una deuda (Préstamo) usted se compromete a desembolsar a una entidad que le cobra 2% mes vencido de interés una serie de pagos mensuales iguales $ 200.000 de principio de mes (inicio en cero) durante 24 meses, más pagos semestrales iguales vencidos de $ 500.000. Reemplace esta forma de pago por una forma equivalente que consta de cuotas trimestrales iguales vencidas, más cuotas extras semestrales anticipadas (inicio en cero) de valor el doble de las trimestrales y distribuidas durante los mismos dos años de plazo. ¿Cuánto dinero le prestaron? ¿Cuál es el valor de la cuota trimestral bajo esta nueva forma de pago? P=?

 

   

   

 

 

   

 

 

0

1 2

3

   

 

 

 

5

7

4

    8

 

 

 

 

   

9

 

 

 

 

11

6

   

   

 

13

10

 

14

 

 

 

 

  18

15

12

16

 

 

 

 

 

 

 

   200.00 0

19

21

22 23

24

17

    20

500.000 P=?

 

     

   

   

   

   

   

   

1

2

3

4

5

6

7

   

   

   

9

10

8

   

   

   

12

13

11

   

   

   

   

15

16

17

14

   

   

   

   

   

19

20

21

22

18

   

   

23 24

x 2x 180 30

90 30

Convertir elinteres :2 % mv i sem=( 1.02 ) −1=12.6 % itrim= (1.02 ) −1=6.12 % Recomendación :Ing=Egr mes 0 grafico 1

F= A

[

(1+i)n−1 1−( 1+i )−n encima ultimo pago P= A un periodo antes del primer pago 2o mas i i

]

[

]

( 1+i )n ( 1+i )−n un solo pago P=200. 000

[

1−( 1+0.02 )−24 1−( 1+ 0.126 )− 4 ( quedo en−1 )∗( 1.02 )1 +500.000 ( quedo en cero) 0.02 0.126

]

[

]

P=5358122 Ing=Egr mes 0 grafico 2 : P:5358122=x

[

1−( 1+0.0612 )−8 1−( 1+0.126 )−4 ∗ nada+2 x ( queda en−6 )( 1.126 )1 0.0612 0.126

]

[

]

Notas: 1. 2.

Cuotas de inicio de periodo o anticipadas inicio en cero y el VP queda en -1 *(1+i) Nunca usar tasas anticipadas en las formulas

Una deuda de $ 3.000.000 vence dentro de 2 años y otra de $4.500.000 vence dentro de 4 años. Si ambas deudas se van a pagar mediante un pago de $ 1.000.000 hoy y dos pagos iguales que se harán dentro de un año y dentro de 3 años respectivamente, cuál debe ser el valor de cada uno de los pagos iguales si la tasa acordada es 20% anual trimestral vencida? R/2.241.341

   

   

   

   

   

   

0

1

2

3

4

5 años

3 Mill

4.5 Mill

   

   x

   

   x

   

   

0

1

2

3

4

5 años

1.000.000 Tasa 20% ATV P1: 20%/4=5% P2:NO P3:

i anual=( 1+5 % )

360 90

−1=0.2155

Ing=Egr mes 0 3.000 .000 ( 1.2155 )−2 +4.500 .000 ( 1.2155 )−4 =1.000.000+ x ( 1.2155 )−1 + x ( 1.221 )−3 Cuánto tiempo tardara en triplicarse (3) un capital al 2.5% mensual? R/45 meses y en cuadruplicarse (4)? 3x X

F=P ( 1+i )n

3 x=x ( 1+0.025 )n 3x =( 1.025 )n x

3=( 1.025 )

n

ln 3=ln ( 1.025 )n ln 3=nln1.025 n=

ln 3 =44,49 ln 1.025

Un electrodoméstico cuesta 2.400.000 se da el 30% de cuota inicial y se desea financiar el resto en 3 pagos a 6, 10 y 15 meses, de tal manera que cada pago sea las ¾ partes del anterior, halle el valor de los pagos si la tasa es del 36.042% A.SV

Prestamo=2.400 .000−30 % ( 2.400.000 )=70 %∗2.400 .000=1.680 .000

   

   

0

   

1

   

2

3

    4

    5

    6

   

   

7

8

   

   

9

15 mese 10 11 12 13 14 s

X

   

   

   

   

   

3 x∗3 9 = x 4 4 16

3/4x

30

Tasa=36.042 a , sv p 1=

36.042% 180 =18.021 % sv p 3 .imes=( 1+18.021 % ) −1=0.028 2

Ing=Egr mes 15 1.680 .000∗( 1.028 )15=x ( 1.028 )9 +0.75 x ( 1.028 )5 +.5625 x Un artículo se adquiere por 585.000 y se financia así: cuota inicial del 30% y el resto en 18 cuotas mensuales iguales la primera dentro de 8 meses, y un último pago de 80.000 tres meses después de la última cuota, si la tasa es del 31% A.mv los siete primeros meses y del 9% Tv el tiempo restante. Halle el valor de la cuota R/32.155

P=70 %∗585000=409.500 31% amv

9% tv

   

   

   

   

   

   

   

   

   

0

1

2

3

4

5

6

7

8

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

9

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

2 0

2 1

2 2

2 3

2 4

2 5

2 6

2 7

2 8

2 9

3 0

31

X=?

80.000

30

Tasa:

31% 90 =2.583 % mv p 1 : no p 2 :no p 3 :imes=( 1.09 ) −1=2.914 % 12

Ing=Egr mes 7 409.500 ( 1.0258 )7 =80.000 ( 1.0291 )−21+ x

[

1−( 1+ 0.02194 )−18 ( queda en 7 )∗nada 0.02914

]

Usted abrió una cuenta de ahorros hace dos años cuando la tasa de interés era del 1.0% mes vencido y depositó sus excedentes de liquidez así: $ 200.000 al final de cada mes durante 18 meses que luego aumentó a $ 300.000 mensuales durante los últimos seis meses; ahorros trimestrales vencidos de $ 500.000 y ahorros extras de $800.000 al final de cada semestre. Hoy, cuando desea retirar sus ahorros se encuentra con un saldo inferior al que usted había calculado, pregunta por los intereses que le reconocieron y se encuentra con la sorpresa de que estos fueron disminuyendo a medida que transcurría el tiempo ya que el 1.0% se lo reconocieron sólo durante el primer año y luego durante el siguiente año le reconocieron el 0.8% mes vencido. Se pide hallar el saldo que puede retirar hoy 1%

   

   

   

1 0

   

   

   

   

   

4

5

6

7

3 2

   

0.8%

   

   

9

1 10 1

8

   

   

   

1 12 3

   

   

   

1 14 15 6

   

   

17 1 8

X=?

   

   

   

2 19 20 1

   

   

   

22 23 24

200.000 300.000

Tasa i mes=1 % isem=6.15 % i trim=3.03 %

imes=0.8 % i sem=4.9 % i trim=2.42 %

(1+i)n−1 1−( 1+i )−n F= A encima ultimo pago P= A un periodo antes del primer pago 2o mas i i

[

]

[

]

Ing=Egr mes 12 x ( 1.008 )

−12

+800.000

(1+ 0.01)12−1 1−( 1+ 0.008 )−6 1−( 1+0.008 )−6 =200.000 +200.000 +300.000 ( 0.01 0.008 0.008

[

[

[

]

]

(1+0.0615)2−1 1−( 1+0.049 )−2 +800.000 0.0615 0.049

[

]

[

]

Se desea reunir 500.000 para dentro de un año y 650.000 para dentro de año y medio para tal fin realizo depósitos mensuales iguales, si la cuenta paga el 28% nominal mensual, halle el valor de las cuotas R/55.505 500.000 650.000.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

28% nominal=2 periodos = 28% nominal mensual=A,mv 28%/12=2.33% mv Ing=egr mes 18 500.000 ( 1.0233 )6 +650.000∗nada=x

[

( 1.0233 )18−1 0.0233

]

Una cuenta de ahorros se inicia hoy con cuotas mensuales iguales; la última cuota se deposita en el mes 18. Se harán retiros mensuales iguales que sean el doble de la cantidad depositada. Si el primer retiro se hace en el mes 19 ¿durante cuánto tiempo se podrá retirar el dinero antes de agotarse el fondo si la tasa es del 3% mensual? R/ 16 meses. 2x n=?    

   

   

0

1

2

   

   

   

3

4

5

   

   

   

7

8

6

   

   

   

9

10 1 1

   

   

   

   

   

   

   

12

1 13 14 15 16 17 8

   

   

   

   

   

   

   

19 20 21 22 23 24 25

X=?

Ing=egr mes 0 x

[

1−( 1.03 )−n 1−( 1.03 )−19 ( queda en 18 )( 1.03 )−18=x ( queda en−1 ) ( 1.03 )1 0.03 0.03

]

[

1−( 1.03 )−n 1−( 1.03 )−19 −18 2x ( 1.03 ) =x ( 1.03 )1 0.03 0.03

[

]

[

39.15 x [ 1− (1.03 )−n ]=14.7535 x

]

]

]

[ 1− (1.03 )−n ]=14.7535 x /39.15 x [ 1− (1.03 )−n ]=0.3768 [ 1−0.3768 ] =( 1.03 )−n 0.6231= (1.03 )−n ln 0.6231=ln ( 1.03 )−n ln 0.6231=−n ln 1.03 n=

ln 0.6231 =16 ln 1.03

Un concesionario vende un automóvil en 24.000.000 exige una cuota inicial del 30% y el resto en 3 cuotas en los meses 4, 8 y 12 de tal forma que el segundo pago sea 200.000 pesos más que el primero y el tercer pago sea 100.000 más que el segundo. Si la tasa cobrada es del 19.40523% semestral ¿Cuál es el valor de los pagos? R/ primer pago $6.906.177 P=24.000.000-30%*24.000.000=70%*24.000.000=16.800.000

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

X

x+200000

    13

x+300.00

Ing=Egr 24.000 .000=7 .200.000+ x ( 1.03 )−4 + ( x +200.000 ) ( 1.03 )−8 + ( x +300.000 )( 1.03 )−12 −4

−8

−12

24.000 .000−7. 200.000=x ( 1.03 ) + ( x +200.000 ) ( 1.03 ) + ( x +300.000 ) (1.03 ) 16.800 .000=x ( 1.03 )−4 + ( x +200.000 ) ( 1.03 )−8 + ( x+ 300.000 )( 1.03 )−12