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UNIVERSIDAD DEL PACÍFICO Maestría en Economía 2016 6E0006 - Tópicos de Econometría Avanzada Profesor Diego Winkelried

Notas de clase

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Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

Estas notas presentan postulados y resultados sobre ecuaciones en diferencias y relaciones dinámicas entre variables determinísticas. Dominar estos conceptos faciltará comprender el planteamiento y el análisis de las propiedades de estimadores econométricos en modelos de series de tiempo. 1

Ecuaciones en diferencias

Una ecuación en diferencias (ED) es la relación matemática entre una variable que depende del tiempo t y sus cambios discretos o diferencias. La resolución de una ED implica encontrar una función exclusivamente del tiempo que la satisfaga, usualmente denominada trayectoria. Por convención, ∆x t = x t − x t −1 denota la primera diferencia de x t y ∆2x t denota las segundas diferencias, el resultado de aplicar el operador de diferencias ∆ dos veces ∆2x t ≡ ∆(∆x t ) = (x t − x t −1 ) − (x t −1 − x t −2 ) = x t − 2x t −1 +x t −2 . Una manera equivalente y más común de definir una ED es a través de la relación entre la variable x t y sus rezagos (x t −1 ,x t −2 , . . .). La equivalencia se debe a que el operador de diferencias de orden arbitrario n, ∆n = ∆ · ∆ · · · ∆ aplicado n veces, es lineal y por tanto ∆n x t es una combinación lineal de n rezagos. Ello, finalmente, implica que F (∆n x t ) = F (x t ,x t −1 , . . . ,x t −n ) para todo t. 1.1

Ecuaciones lineales de primer orden

Considere la ED lineal y de primer orden (es decir, con solo un rezago) x t − ax t −1 = w t ,

(1)

donde w t es una función arbitraria de t. Por simplicidad, nos enfocamos en el caso donde el coeficiente a es una constante. Este modelo es el punto de partida de una gran familia de modelos dinámicos en econometría. Para obtener una solución de (1), suponga que en algún momento τ el valor x t es conocido e igual a x τ . Más aún, suponga que τ ocurre en el “pasado” por lo que t > τ y x τ puede entenderse como una condición inicial. Puede explotarse la naturaleza recursiva de (1) para obtener x t a través de sustituciones sucesivas a partir del período τ (un procedimiento que es el equivalente a la integración en tiempo discreto):

Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

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Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

x τ +1 x τ +2 x τ +3 x τ +4 x τ +5

= ax τ +1 + w τ +2 = ax τ +2 + w τ +3 = ax τ +3 + w τ +4 = ax τ +4 + w τ +5

= = = = =

ax τ + w τ +1 a 2x τ + w τ +2 + aw τ +1 a 3x τ + w τ +3 + aw τ +2 + a 2w τ +1 a 4x τ + w τ +4 + aw τ +3 + a 2w τ +2 + a 3w τ +1 a 5x τ + w τ +5 + aw τ +4 + a 2w τ +3 + a 3w τ +2 + a 4w τ +1 ,

(2)

y así sucesivamente. Un patrón claro emerge de modo que la solución de la ecuación en diferencias es x t = at −τ x τ +

t X

at −j w j = at −τ x τ +

j=τ +1

t −τ X−1

a j w t −j .

(3)

j=0

Dado que t > τ y x τ es un valor observado en el pasado, (3) es una solución hacia atrás. Por otra parte, suponga que τ ocurre en el “futuro” de modo que t < τ y x τ corresponde a una condición terminal. Sea α = 1/a tal que (1) pueda ser reescrita como x t −1 = αx t − αw t . Sustituciones sucesivas desde τ hacia atrás dan como resultado: x τ −1 x τ −2 x τ −3 x τ −4 x τ −5

= = = = =

= αx τ −1 − αw τ −1 = αx τ −2 − αw τ −2 = αx τ −3 − αw τ −3 = αx τ −4 − αw τ −4

αx τ − αw τ α 2x τ − αw τ −1 − α 2w τ α 3x τ − αw τ −2 − α 2w τ −1 − α 3w τ α 4x τ − αw τ −3 − α 2w τ −2 − α 3w τ −1 − α 4w τ −1 α 5x τ − αw τ −4 − α 2w τ −3 − α 3w τ −2 − α 4w τ −1 − α 5w τ ,

(4)

y así sucesivamente. Un patrón claro emerge de modo que la solución de la ecuación en diferencias es x t = α τ −t x τ −

τ −1 X

τ −1 X

α j−t +1w j+1 = at −τ x τ −

j=t

at −j−1w j+1 = at −τ x τ −

j=t

τ −t X

a j w t +j .

(5)

j=1

Debido a que t < τ y x τ es un valor futuro, (5) es una solución hacia adelante. Un caso particular

Considere una versión simplificada de (1) con w t = w (una constante), x t − ax t −1 = w .

(6)

Utilizando la solución hacia atrás en (3) se obtiene (recuerde las propiedades de series geométricas finitas) x t = at −τ x τ +

t X

at −j w = at −τ x τ + wat

j=τ +1

!  a −τ −1 − a −t −1 w  −τ t w = x − a a + , τ 1−a 1−a 1 − a −1

(7)

mientras que al utilizar la solución hacia adelante (5) se consigue xt = a

t −τ

xτ −

τ −1 X

a

t −j−1

w =a

t −τ

x τ − wa

j=t

t

!  a −t −1 − a −τ −1 w  −τ t w a a + . = x − τ −1 1−a 1−a 1−a

(8)

La solución hacia atrás es idéntica a la solución hacia adelante y ambas toman la forma x t = C at +

w , 1−a

(9)

donde C es una constante (arbitraria) que depende del punto inicial o terminal. El comportamiento dinámico de x t se debe al término at . Luego, x t será estable si esta función converge conforme t → ∞. Claramente, limt →∞ at = ±∞ si | a | > 1 y limt →∞ at = 0 si | a | < 1. Luego, una condición suficiente para Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

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Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

la estabilidad de la trayectoria en (6) es | a | < 1. Esta condición es válida sea cual sea el valor de τ , confirmando así que la distinción entre las soluciones hacia atrás y hacia adelante no es relevante en este caso. La solución en (9) puede concebirse como la suma de dos funciones. El primer término x ct = C at es la solución complementaria u homogénea, y es fácil verificar que es la solución a la ecuación en diferencias homogénea x t − ax t −1 = 0, es decir la ecuación que resulta tras imponer w = 0. El segundo término, xpt = x ss = w/(1 − a) es la solución particular o no homogénea y puede comprobarse que corresponde al valor de x t tal que ∆x t = 0 o x t = x t −1 = x ss , un valor de “estado estacionario”. El coeficiente a es llamado frecuentemente la raíz de la ED. Ello debido a que puede conjeturarse que la solución complementaria tiene la forma x ct = C r t para algún C y algún r . Insertando esta conjetura en la ecuación homogénea se obtiene x ct − a x ct −1 = 0

→

Crr t −1 − aCr t −1 = 0

→

Cr t −1 (r − a) = 0 .

(10)

Para casos no triviales donde C , 0 y r , 0, esta ecuación es satisfecha si r = a. El polinomio P (r ) = r − a es la ecuación característica asociada con la ED, y el cero de este polinomio es la raíz. Dado que la dinámica de x t se debe a la solución complementaria, se suele decir que x t es estable si el módulo (o el valor absoluto) de la raíz de la ecuación en diferencias es menor que 1 (esto es, | r | = | a | < 1). Típicamente, el valor de τ utilizado para determinar C es τ = 0, es decir una condición inicial. Así,  w  t w xt = x0 − a + = (x 0 − x ss ) at + x ss . 1−a 1−a

(11)

El término en paréntesis es el desequilibrio inicial y la trayectoria de x t muestra cómo esta variable evoluciona desde el punto inicial x 0 hacia su valor de largo plazo x ss cuando | a | < 1, o por el contrario cómo esta variable se aleja del valor de equilibrio cuando | a | > 1. Es evidente que la magnitud de a determina la estabilidad de x t (| a | < 1 corresponde a trayectorias estables), mientras que el signo de a determina si la trayectoria es monotónica (a > 0) o fluctuante (a < 0). Un caso más general

En aplicaciones econométricas w t es una secuencia de números aleatorios que no puede ser predicha perfectamente. Ello hace que la distinción entre las soluciones hacia atrás y hacia adelante sea de importancia. Analizaremos la estabilidad de estas soluciones para valores extremos de τ . La única restricción impuesta es que w t sea una secuencia acotada. Es decir, existe una constante | c | < 1 tal que lims→∞ c s w t ± s = 0. Considere primero el pasado lejano τ → −∞. Si | a | < 1 el primer término de (3) desaparece, mientras que el segundo término posee un límite bien definido dado el supuesto que w t es acotada. Por tanto, si | a | < 1 la solución hacia atrás es estable y es igual a xt =

t X j=−∞

a

t −j

wj =

∞ X

a j w t −j

para

|a | < 1,

(12)

j=0

esto es, x t es un promedio ponderado de los rezagos de w t con pesos exponencialmente decrecientes. Por otro lado, considere el futuro lejano τ → ∞. Si | a | > 1, el primer término de (5) se vuelve cero, mientras que el segundo término converge dado el supuesto que w t es acotada. Luego, si | a | > 1 entonces la solución hacia adelante es estable y es igual a ! j−t +1 !j ∞ ∞ X X 1 1 xt = − w j+1 = − w t +j para |a | > 1. (13) a a j=t j=1 esto es, x t es un promedio ponderado de los adelantos de w t con pesos que decrecen exponencialmente. En resumen, para valores extremos de τ , la estabilidad de la solución particular depende del valor de la raíz a: si | a | < 1 la solución hacia atrás es estable, mientras que si | a | > 1 la solución hacia adelante es estable. La solución Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

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Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

complementaria en ambos casos desaparece, por lo que los límites de τ pueden interpretarse como condiciones que conllevan a C = 0. Ésta es una práctica usual en econometría de series de tiempo, donde los modelos poblacionales asumen historias infinitas. 1.2

Sistemas lineales

Para motivar la discusión, nos enfocamos primero en sistemas de ED lineales de primer orden con dos variables y coeficientes constantes. Luego, se muestra cómo este planteamiento es útil para analizar ED y sistemas de orden superior. El énfasis es sobre la estabilidad de las trayectorias resultantes de estos sistemas. Considere el sistema lineal de primer orden de dos variables con coeficientes constantes # # " #" # " " w1 x 1t −1 a 11 a 12 x 1t + = w2 x 2t −1 a 21 a 22 x 2t

(14)

o, en forma matricial, X t = AX t −1 + W ,

(15)

donde los vectores X t y W y la matriz A están implícitamente definidos. Considere además un sistema más sencillo que (15), con una matriz de sistema diagonal Λ, " # " #" # " # z 1t r1 0 z 1t −1 k1 = + o, en forma matricial, Z t = ΛZ t −1 + K , (16) z 2t 0 r2 z 2t −1 k2 donde los vectores Z t y K y la matriz Λ son definidos implícitamente. El sistema (16) es simplemente la colección de dos ecuaciones independientes, sin ningún tipo de retroalimentación entre las variables involucradas. Como tal, la solución de este sistema no es más que la colección de la solución de cada ecuación por separado. Utilizando los resultados en (9) y expresándolos en forma matricial se tiene que " #" # " # " # z 1t (r 1 ) t 0 C1 z 1p Zt = = + , (17) z 2t 0 (r 2 ) t C2 z 2p donde C 1 y C 2 son constantes arbitrarias y z 1p y z 2p son las soluciones particulares. Puede transformarse un sistema de la forma (15) a uno de la forma más sencilla (16) a través de la diagonalización de la matriz A. Una matriz cuadrada como A puede descomponerse como A = H ΛH −1 , donde Λ es la matriz diagonal cuyos elementos son los valores propios de A y H es una matriz no singular cuyas columnas recogen los vectores propios correspondientes. Si se define Z t = H −1X t y K = H −1W , se puede pasar de (15) a (16) para después recuperar las trayectorias de interés utilizando la igualdad X t = HZ t . Así,1 x 1t

= C 1H 11 (r 1 ) t + C 2H 12 (r 2 ) t + x 1p

x 2t

= C 1H 21 (r 1 ) t + C 2H 22 (r 2 ) t + x 2p

(18)

donde Hi j son los elementos de H , de modo que (H 11 ,H 21 ) 0 y (H 21 ,H 22 ) 0 son los vectores propios asociados con los valores propios r 1 y r 2 , respectivamente. Las trayectorias x 1t y x 2t son combinaciones lineales de z 1t y z 2t . Por ello, las soluciones complementarias de x 1t y x 2t son combinaciones lineales de las funciones (r 1 ) t and (r 2 ) t . Los coeficientes de estas combinaciones dependen de los vectores propios de A y de las constantes arbitrarias vinculadas con condiciones iniciales o terminales. Se concluye que toda la información sobre la dinámica del sistema se encuentra resumida en la matriz A, especialmente en sus valores (y vectores) propios. Ambos valores propios, r 1 y r 2 son las raíces del sistema, y de momento asumimos que son reales. Si ambas raíces son menores que 1 en valor absoluto, | r 1 | < 1 y | r 2 | < 1, entonces (r 1 ) t → 0 y (r 2 ) t → 0 conforme t → ∞ y 1 Note que la solución particular de (15) es X p = (I − A) −1W . Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

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Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

ambas trayectorias en (18) son estables, para todos los valores de C 1 y C 2 . El caso contrario ocurre cuando ambas raíces son mayores que 1 en valor absoluto, | r 1 | > 1 y | r 2 | > 1, de modo que (r 1 ) t → ±∞ y (r 2 ) t → ±∞ conforme t → ∞. Ambas trayectorias son en este caso inestables sin importar las condiciones iniciales. Un caso intermedio ocurre cuando | r 1 | < 1 y | r 2 | > 1, tal que (r 1 ) t → 0 pero (r 2 ) t → ±∞ conforme t → ∞. De (18) se observa que las trayectorias en X t son explosivas si C 2 , 0 y una senda de ensilladura (estable) se obtiene si C 2 = 0. Claramente, la estabilidad de las trayectorias dependerá de la condición inicial. Considere ahora √el caso de raíces complejas conjugadas de la forma r 1,2 = p ± qi, donde i es la unidad imaginaria i = −1. Puede lidiarse con la presencia de i utilizando la forma p polar de un número complejo p ± qi = ρ[ cos(θ ) ± isen(θ ) ], donde ρ es el módulo del par conjugado ρ = p 2 + q 2 y θ es el argumento del número complejo tan(θ ) = q/p. Luego, utilizando la fórmula de De Moivre’s (p ± qi) t = ρ t [ cos(θt ) ± i sen(θt ) ] ,

(19)

y el hecho de que los vectores propios tendrán elementos de la forma H 11 = α 1 + α 2i, H 12 = α 1 − α 2i, H 21 = β 1 + β 2i and H 22 = β 1 − β 2i, se obtienen las siguientes trayectorias: x 1t

= ρ t [ α 1 (C 1 + C 2 ) cos(θt ) + α 2 (C 2 − C 1 )sen(θt ) ] + x 1p

x 2t

= ρ t [ β 1 (C 1 + C 2 ) cos(θt ) + β 2 (C 2 − C 1 )sen(θt ) ] + x 2p

.

(20)

En ambos casos, el término entre corchetes es la suma de dos funciones periódicas por lo que las trayectorias mostrarán un movimiento sinusoidal. La estabilidad de (20) depende de ρ t y por tanto de la magnitud de ρ, el módulo de las raíces, que es siempre positivo. Cuando ρ < 1, las trayectorias mostrarán oscilaciones amortiguadas, si ρ > 1 las oscilaciones serán explosivas y finalmente si ρ = 1, las trayectorias exhibirán el comportamiento periódico de las funciones seno y coseno, sin converger ni divergir. Muchas variables

Considere el sistema de primer orden con n variables y coeficientes constantes       

x 1t x 2t x 3t .. . x nt

  a 11   a   21  =  a 31   ..   .   an1

a 12 a 22 a 32 .. .

a 13 a 23 a 33 .. .

an2 an3

· · · a 1n · · · a 2n · · · a 3n .. .. . . · · · ann

      

      

x 1t −1 x 2t −1 x 3t −1 .. . x nt −1

  w 1    w    2   +  w 3    ..    .    wn 

(21)

o, en forma matricial, X t = AX t −1 + W ,

(22)

Note que sin importar la dimensión del sistema, la representación matricial de (22) es idéntica a (15). Así, el análisis anterior sobre los valores y vectores propios A es válido en casos más generales. Las trayectorias de interés vienen dadas por X t = HZ t , donde H es la matriz que recoge en sus columnas los n vectores propios de A y    Z t =    

z 1t z 2t z 3t .. . znt

  (r 1 ) t   0    =  0   ..   .   0

0 (r 2 ) t 0 .. .

0 0 (r 3 ) t .. .

0

0

··· ··· ··· .. .

0 0 0 .. .

      · · · (r n ) t 

      

C1 C2 C3 .. .

  z 1p   z   2p  +  z 3p   ..   . Cn   znp

    ,   

(23)

donde (para i = 1, 2, . . . ,n) r i son los valores propios de A y Ci son constantes arbitrarias. Se desprende que las soluciones complementarias de las variables del sistema serán combinaciones lineales de los términos (r 1 ) t , (r 2 ) t , . . . , (r n ) t . Si algunas de estas raíces son complejas conjugadas, las combinaciones lineales son sobre términos de la forma (r i ) t y, por pares, ρ it cos(θ i t ) y ρ it sen(θ i t ) como (20). Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

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¿Cómo puede establecerse la estabilidad del sistema (22)? Los valores propios de A son calculados tras resolver la ecuación característica P (r ) = | A − rI | = 0. Si n = 2 esta ecuación se reduce a r 2 − tr(A)r + det(A) = 0 y por consiguiente, # " q 1 2 r 1,2 = (24) tr(A) ± tr(A) − 4 det(A) . 2 Cuando n > 2, los cálculos pueden ser tediosos. No obstante, puede concluirse que el módulo de todos los valores propios de A son menores que 1 si se satisfacen las siguientes condiciones suficientes: (1)

Pn

i=1

|aii | < n,

(2) | det(A)| < 1, y Pn Pn (3) h=1 |aih | < 1 o h=1 |ahi | < 1 para todo i = 1, 2, . . . ,n . Una matriz que satisfaga estas condiciones es secuencialmente estable, lo que implica que la serie geométrica P∞ j −1 converge. Estas condiciones corresponden a la versión matricial de | a | < 1. j=0 A = (I n − A) Ecuaciones lineales de orden superior

Con fines ilustrativos, considere la ED lineal de segundo orden x t − a 1x t −1 − a 2x t −2 = w .

(25)

Al introducir una variable auxiliar, esta ED puede expresarse como un sistema lineal de primer orden. Sea yt = x t −1 de modo que la ED original puede ser escrita como x t − a 1x t −1 − a 2yt −1 = w. Concatenar estas dos ecuaciones da como resultado #" # " # " # " a1 a2 x t −1 w xt = + o, en forma matricial, X t = AX t −1 + W . (26) 1 0 yt −1 0 yt La matriz A es llamada en este contexto matriz adjunta de la ED (companion matrix). Dado que se ha conseguido un sistema de dos variables se concluye que la solución complementaria de la ED (25) es la combinación lineal de dos términos, o bien basados en raíces reales o basados en un par de raíces complejas conjugadas. Las condiciones suficientes de estabilidad son (1) | a 1 | < 2, (2) | a 2 | < 1, y (3) | a 1 | + | a 2 | < 1. Note además que la ecuación característica de este sistema (y, por tanto, el polinomio característico de la ED de segundo orden) es r 2 − a 1r − a 2 = 0 ,

(27)

y nos recuerda a la ecuación homogénea asociada con (25), esto es cuando w = 0. El análisis puede ser generalizado fácilmente. Considere la ED lineal de orden n x t − a 1x t −1 − a 2x t −2 − a 3x t −3 − · · · − an−1x t −n+1 − an x t −n = w .

(28)

Bajo la misma lógica de párrafos anteriores, la forma adjunta de la ED es        

xt x t −1 x t −2 .. . x t −n+2 x t −n+1

  a 1 a 2   1 0     0 1 ..  =  ... .      0 0   0 0 

a3 0 0 .. . 0 0

· · · an−1 an   x t −1  ··· 0 0   x t −2  ··· 0 0   x t −3  .. ..   . .. . . .   ..   .. . 0 0   x t −n+1  ··· 1 0   x t −n

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  w       0    0   +  ..    .    0    0 

(29)

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de modo que, nuevamente, se puede reescribir una ecuación de orden superior en un sistema de primer orden X t = AX t −1 + W . Es sencillo verificar que el polinomio característico de la matriz adjunta A es r n − a 1r n−1 − a 2r n−2 − a 3r n−3 − · · · − an−1r − an = 0 ,

(30)

guardando evidentes similitudes con la ecuación homogénea de (28). Las condiciones suficientes de estabilidad son P en este caso (1) | a 1 | < n, (2) | an | < 1, y (3) ni=1 | ai | < 1. Finalmente, el mismo principio puede utilizarse para sistemas de orden superior. Considere un sistema lineal de n variables y de orden p X t = A1X t −1 + A2X t −2 + A3X t −3 + · · · + Ap−1X t −p+1 + Ap X t −p + W ,

(31)

que en econometría se conoce como un Vector Autoregresivo. Tras concatenar varios vectores y matrices se llega a la forma adjunta   A1 A2 A3 · · · Ap−1 Ap   X t −1   W   X t    I n 0n 0n · · · 0n  0n   X t −2   0n×1       X t −1   0n   X t −3   0n×1   X t −2   0n I n 0n · · · 0n   +  .  .. . . . . .. ..   . (32)  =  ...  .. . . . . .   ..   ..  .           X t −p+2   0n 0n 0n . . . 0n 0n   X t −p+1   0n×1     X t −p+1   0 0 0n · · · I n 0n   X t −p   0n×1  n  n ˜ . Cada matrix Ai es de dimensión n × n, I n es una matriz identidad de orden n y o compactamente X˜ t = A˜X˜ t −1 + W 0n denota a la matriz nula de dimensión n × n (llena de ceros). Luego, la matriz adjunta A˜ es de dimensión np × np ˜ son de dimensión np × 1. y los vectores X˜ t y W 2

El operador de rezago

Sea x t una sequencia de números reales o de variables aleatorias. El operador de rezago L se define como Lx t = x t −1 .

(33)

En palabras, la aplicación del operador de rezago a una secuencia x t define otra secuencia yt igual a yt = x t −1 . Aplicaciones sucesivas de este operador (rezagos de orden superior) equivalen a elevar L a un número entero arbitrario, por ejemplo L2x t = L(Lx t ) = Lx t −1 = x t −2 o, de modo más general, Lk x t = x t −k ,

(34)

donde k es un número entero. Si k = 0 entonces L0 = 1 (L0x t = x t ) mientras que si k < 0 el operador de rezago es en realidad un operador de adelanto, por ejemplo L−m x t = x t +m para m > 0. Trivialmente, el operador de rezago aplicado a una constante da como resultado esa misma constante, La = a. Además, el operador de rezago es commutativo y distributivo. Para dos constantes a y b, L(ax t + byt ) = L(ax t ) + L(byt ) = a(Lx t ) + b (Lyt ) = ax t −1 + byt −1 .

(35)

A pesar de que L es un operador, puede ser manipulado convenientemente como una variable algebráica. En este punto, es útil definir polinomios de L que pueden ser de orden finito o infinito. Así, si B(L) = b0 + b1 L + b2 L2 + · · · + bq Lq ,

(36)

entonces B(L)x t = b0x t + b1x t −1 + b2x t −2 + · · · + bq x t −q . El operador de diferencias es un caso particular de esta formulación, ∆x t = (1−L)x t = x t −x t −1 , al igual que el operador de segundas diferencas, ∆2 = (1−L) 2 = 1−2L+L2 por lo que ∆2x t = (1 − L) 2x t = x t − 2x t −1 + x t −2 . De hecho, uno de los mayores beneficios de utilizar el operador de rezago es que provee una notación práctica y compacta para manipular estos polinomios. Defina B(L) como arriba y sea A(L) = a 0 + a 1 L + a 2 L2 + · · · + ap Lp , donde sin pérdida de generalidad p ≤ q ≤ ∞. El álgebra de polinomios de L es muy cercana al álgebra de polinomios estándares: Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

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Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

• Adición: Si C (L) = A(L) + B(L) entonces C (L) = c 0 + c 1 L + c 2 L2 + · · · + c q Lq donde c j = a j + b j para j ≤ p y c j = b j para p < j ≤ q. • Multiplicación: Si C (L) = A(L) · B(L) = B(L) · A(L), un polinomio conocido como la convolución de A(L) y B(L) (ver el ejercicio E2, p. 13), entonces C (L) = (a 0 + a 1 L + a 2 L2 + · · · + ap Lp )(b0 + b1 L + b2 L2 + · · · + bq Lq ) = a 0b0 + (a 1b0 + a 0b1 )L + (a 0b2 + a 1b1 + a 2b0 )L2 + · · · = c 0 + c 1 L + c 2 L2 + · · · + cp+q Lp+q . • Inversión: Se define [A(L)]−1 como un polinomio de L tal que [A(L)]−1 · A(L) = 1 (ver el ejercicio E4, p. 13). Así, se define la división entre dos polinomios como C (L) = B(L)/A(L) = B(L) · [A(L)]−1 = [A(L)]−1 · B(L). 2.1

Ecuaciones en diferencias de primer order

Puede utilizarse el operador de rezago para analizar la ED en (1) x t − ax t −1 = w t

→

(1 − aL)x t = w t .

Despejando x t se tiene ! 1 xt = wt . 1 − aL

(37)

(38)

Si | a | < 1 el polinomio 1/(1 − aL) puede ser expandido utilizando series geométricas como ∞

X 1 = 1 + aL + a 2 L2 + a 3 L3 + · · · = a j Lj , 1 − aL j=0

(39)

que es la inversa de A(L) = 1 − aL (ver el ejercicio E3, p. 13). Luego, la solución de la ED viene dada por xt =

∞ X j=0

a j Lj wt =

∞ X

a j w t −j .

(40)

j=0

Ésta es la solución hacia atrás que se obtuvo anteriormente mediante sustituciones sucesivas, ver ecuación (12). Note que se utiliza C = 0 para la solución complementaria (la condición inicial ocurre en τ → −∞). Por su parte, si | a | > 1 el polinomio 1/(1 −aL) no puede expresarse como (39). Sea α = 1/a de forma que | α | < 1. Entonces, ! !j ∞ X 1 αL−1 1 −1 2 −2 3 −3 =− = −(αL + α L + α L + · · · ) = − L−j . (41) 1 − aL a 1 − αL−1 j=1 La solución de la ED es en este caso !j !j ∞ ∞ X X 1 1 −j L wt = − w t +j . xt = − a a j=1 j=1

(42)

Esta expresión equivale a la solución hacia adelante obtenida mediante sustituciones sucesivas en (13), tras imponer C = 0 para la solución complementaria (la condición terminal ocurre en τ → ∞). 2.2

Ecuaciones en diferencias de segundo orden

En seguida se ilustra el uso del operador de rezago para obtener la solución particular de la DE de segundo orden x t − a 1x t −1 − a 2x t −2 = w t

→

Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

(1 − a 1 L − a 2 L2 )x t = w t .

(43) 8

Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

El polinomio A(L) = 1 − a 1 L − a 2 L2 puede ser factorizado como A(L) = (1 − r 1 L)(1 − r 2 L), donde r 1 y r 2 son las raíces de la ecuación característica, es decir aquellos valores que resuelven (27) y satisfacen r 1 + r 2 = a 1 y r 1r 2 = a 2 . Note que si se define A(z) = 1 − a 1z − a 2z 2 , los valores de z que satisfacen A(z) = 0 vienen dados por los recíprocos de estas raíces, z 1 = 1/r 1 and z 2 = 1/r 2 . La estabilidad de una ecuación dinámica usualmente se frasea de dos modos alternativos. Primero, se tienen proposiciones como las utilizadas anteriormente: “el valor absoluto o módulo de las raíces r que resuelven (27) es menor que uno” que es equivalente a decir que “las raíces r que resuelven (27) se encuentran dentro del círculo unitario”. Segundo, una versión más común en la literatura econométrica se refiere a A(z), de modo que la condición de estabilidad pasa a ser “el valor absoluto o módulo de las raíces z que resuelven A(z) = 0 es mayor que uno” o equivalentemente “las raíces z que resuelven A(z) = 0 se encuentran fuera del círculo unitario” ¡Esté atento a estas diferencias semánticas pues son una fuente de confusión común! Asuma que r 1 , r 2 .2 Resolviendo para x t reditúa ! ! 1 1 xt = wt . 1 − r 1L 1 − r 2L El polinomio en L en la ecuación anterior puede ser expresado, utilizando fracciones parciales, como ! ! ! 1 1 r1 r2 1 = , − 1 − r 1L 1 − r 2L r 1 − r 2 1 − r 1L 1 − r 2L

(44)

(45)

dando así dos polinomios 1/(1 − r 1 L) y 1/(1 − r 2 L) que pueden ser expandidos con el uso de series geométricas. Considere el caso de raíces reales. Si | r 1 | < 1 y | r 2 | < 1 se obtiene la solución hacia atrás, ver (39), ∞ ∞ ∞  r1 X j j r2 X j j 1 X  j+1 xt = r 1L wt − r 2L wt = r 1 − r 2j+1 w t −j . r 1 − r 2 j=0 r 1 − r 2 j=0 r 1 − r 2 j=0

Si | r 1 | > 1 y | r 2 | > 1 se tiene que, por la ecuación (41), ! ! L−1 r2 1 1 r1 −L−1 , + − = r 1 − r 2 1 − r 1L 1 − r 2L r 1 − r 2 1 − (1/r 1 )L−1 1 − (1/r 2 )L−1 por lo que se obtiene la solución hacia adelante, !j !j !j !j ∞ ∞ ∞  1 X 1 1 X 1 1 X  1 1  −j −j xt = w t +j . L wt − L wt = − r 1 − r 2 j=1 r 2 r 1 − r 2 j=1 r 1 r 1 − r 2 j=1  r 2 r 1    En el caso intermedio donde | r 1 | < 1 y | r 2 | > 1, se tiene que ! ! 1 r1 r2 1 r1 L−1 − = + , r 1 − r 2 1 − r 1L 1 − r 2L r 1 − r 2 1 − r 1 L 1 − (1/r 2 )L−1 y se obtiene una solución de ensilladura con un componente hacia atrás y uno hacia adelante: !j ∞ ∞ r1 X r2 X 1 j xt = (r 1 ) w t −j + w t +j . r 1 − r 2 j=0 r 1 − r 2 j=1 r 2

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

Cuando las raíces son complejas conjugadas, evocamos a la fórmula de De Moivre’s (r 1 ) s = ρ s [ cos(θs) + isen(θs) ]

y

(r 2 ) s = ρ s [ cos(θs) − isen(θs) ] .

(51)

2iρsen(θ ), r 1j+1 − r 2j+1

Luego r 1 − r 2 = = 2iρ j+1 sen(θ (j + 1)) y (r 2 ) −j − (r 1 ) −j = −2iρ −j sen(θ j). Reemplazando estos hallazgos en las soluciones obtenidas anterioremente da como resultado !j ∞ ∞ X X 1 sen(θ j) j sen(θ (j + 1)) xt = ρ w t −j si ρ < 1 , y x t = − w t +j si ρ > 1 . (52) sen(θ ) ρ sen(θ ) j=0 j=1 2 El caso donde r 1 = r 2 es cualitativamente similar pero requiere un poco más de manipulación algebráica. Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

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Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

2.3

Ecuaciones en diferencias de orden superior

El análisis anterior provee una base para evaluar ecuaciones en diferencias de orden superior. Considere (28) con un término no homogéneo que depende de t, x t − a 1x t −1 − a 2x t −2 − · · · − an x t −n = w t

→

(1 − a 1 L − a 2 L2 − · · · − an Ln )x t = w t .

(53)

El polinomio A(L) en la ecuación anterior puede factorizarse como A(L) = (1 − r 1 L)(1 − r 2 L) · · · (1 − r n L), de modo que resolviendo para x t da como resultado ! ! ! 1 1 1 xt = ··· wt . (54) 1 − r 1L 1 − r 2L 1 − rn L Se requiere expandir los polinomios 1/(1 −r i L) para i = 1, 2, . . . ,n, lo que puede hacerse utilizando las expansiones en (39) para componentes estables hacia atrás (| r i | < 1) y en (41) para componentes estables hacia adelante (| r i | > 1). Alternativamente, [A(L)]−1 puede expandirse utilizando fracciones parciales. Por simplicidad, asuma que | r j | < 1 para todo j. Se establece la igualdad ! ! ! 1 C2 Cn 1 1 C1 + +···+ (55) ··· = 1 − r 1z 1 − r 2z 1 − rn z 1 − r 1z 1 − r 2z 1 − rn z obteniéndose así la solución hacia atrás xt =

∞ X ∞ X n n X X * Ci r j + L j w t = * Ci r j + w t −j . i i j=0 , i=1 j=0 , i=1

(56)

El objetivo es encontrar los valores de C 1 ,C 2 , . . . ,Cn que satisfagan la descomposición (55). Tomando el denominador común del lado derecho de (55) se tiene 1 = C 1 (1 − r 2z)(1 − r 3z) · · · (1 − r n z) + C 2 (1 − r 1z)(1 − r 3z) · · · (1 − r n z) + · · · · · · + Cn (1 − r 1z)(1 − r 3z) · · · (1 − r n−1z) . (57) Esta igualdad se debe cumplir para todo valor de z. Así, si z = 1/r 1 (57) se reduce a 1 = C 1r 1n−1 (r 1 − r 2 )(r 1 − r 3 ) · · · (r 1 − r n ) ,

(58)

de donde se resuelve el valor de C 1 en las fracciones parciales. En general, usando z = 1/r i se tiene r in−1 h,i (r i − r h )

Ci = Q 2.4

para

i = 1, 2, . . . ,n .

(59)

Sistemas

Las operaciones con el operador de rezago se generalizan trivialmente a sistemas. Considere el sistema de primer orden con n variables Z t = ΛZ t −1 + K t

→

(I n − ΛL)Z t = K t ,

(60)

donde Λ es una matriz diagonal. La solución particular es Z t = (I n − ΛL) −1K t , o más explícitamente      

z 1t z 2t .. . znt

  (1 − r 1 L) −1   0  =  ..   .   0  

0 ··· 0 (1 − r 2 L) −1 · · · 0 .. .. .. . . . 0 · · · (1 − r n L) −1

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     

     

k 1t k 2t .. . knt

  r j k 1t −j 1  X ∞  j  =  r 2k 2t −j ..   .  j=0  j   r n knt −j

     

(61)

10

Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

donde se ha asumido implícitamente que | r i | < 1 para todo i. De otro modo, para algún | r i | > 1 la expansión relevante involucra términos adelantados de kit . La resolución de un sistema diagonal es sencilla. Para un sistema más general de la forma (15) el paso previo implica diagonalizar A, de manera que r i corresponde a su i-ésimo valor propio, y utilizar la relación Z t = H −1X t para recuperar X t . Luego, ∞ X

X t = HZ t = H

j

Λ K t −j =

j=0

∞ X

j

H Λ H W t −j = −1

j=0

∞ X

AjW t −j ,

(62)

j=0

es una expresión válida si A es secuencialmente estable. El resultado en (62) es el equivalente matricial de (40). Los sistemas de orden superior pueden analizarse de modo análogo, utilizando la forma adjunta discutida en la sección 1.2, ecuación (32). 3

Multiplicadores dinámicos

Para finalizar estas notas introducimos algunos conceptos que describen la relación dinámica entre dos variables. Suponga que yt = δ 0x t + δ 1x t −1 + δ 2x t −2 + · · · + δm x t −m ,

(63)

donde m puede ser finito o m → ∞. Esta ecuación constituye un modelo de rezagos distribuidos. En términos del operador de rezago esta relación puede ser escrita como yt = D (L)x t

donde

D(L) = δ 0 + δ 1 L + δ 2 L2 + · · · + δm Lm .

(64)

Los coeficientes δ j miden el efecto que cambios en x t tendrán sobre valores futuros de yt , o alternativamente, los efectos que cambios en el pasado en x t han tenido sobre yt : ∂yt +j ∂yt = = δj . ∂x t ∂x t −j

(65)

La colección de los coeficientes del polinomio D(L), es decir {δ 0 ,δ 1 ,δ 2 , . . .} que contienen los efectos marginales de cambios en x t en distintos períodos, es denominada función de respuesta al impulso o, en corto, función de impulso-respuesta. El efecto inmediato de un cambio de x t sobre yt es llamado efecto de impacto y viene dado por µ0 =

∂yt = δ0 . ∂x t

(66)

Por su parte, los multiplicadores intermedios miden el efecto acumulado de un cambio en x t , s períodos en adelante,

µs =

s X ∂yt +j j=0

∂x t

= δ 0 + δ 1 + δ 2 + · · · + δs =

s X

δj .

(67)

j=0

(es decir, son los impulsos-respuestas acumulados) mientras que el multiplicador de largo plazo o multiplicador total mide el efecto total, descontando todo tipo de relación dinámica, de un cambio en x t sobre yt µ ∞ = lim

s→∞

s X ∂yt +j j=0

∂x t

= δ0 + δ1 + δ2 + · · · =

∞ X

δj .

(68)

j=0

Note que si m en (63) es finito, ello implica que δ j = 0 para j > m y la definición del multiplicador total en (68) es igualmente válida. Una manera alternativa de interpretar µ ∞ es como el efecto que un cambio en el valor de largo Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

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Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

plazo de x t tiene sobre el valor de largo plazo de yt , en el contexto de un equilibrio estático. En efecto, si existiera un valor t ∗ tal que para t > t ∗ las variables convergen a sus valores de equilibrio yt = yt −1 = y¯ y x t = x t −1 = x, ¯ la ecuación dinámica (63) colapsaría a y¯ = (δ 0 + δ 1 + δ 2 + · · · + δm )x¯ = µ ∞x¯

dando así

∂y¯ = µ∞ . ∂x¯

(69)

Note que dada la definición del polinomio en D(L), una manera más compacta de encontrar el multiplicador total es evaluando D (L) en L = 1, µ ∞ = δ 0 + δ 1 + δ 2 + · · · = D(1) .

(70)

Este resultado ilustra otro uso común del operador de rezago. Al evaluarse éste en L = 1 puede pensarse en una situación estacionaria en donde ∆x t = (1 − L)x t = 0 o alternativamente x t = Lx t −1 = x t −1 . Considere una reparametrización útil de (63). Primero sume y reste δ 0x t −1 al lado derecho de esta ecuación; luego, sume y reste (δ 0 + δ 1 )x t −2 ; seguidamente, sume y reste (δ 0 + δ 1 + δ 2 )x t −3 y así sucesivamente. Se obtiene yt = δ 0 ∆x t + (δ 0 + δ 1 )x t −1 + δ 2x t −2 + δ 3x t −3 + · · · + δm x t −m = δ 0 ∆x t + (δ 0 + δ 1 )∆x t −1 + (δ 0 + δ 1 + δ 2 )x t −2 + δ 3x t −3 + · · · + δm x t −m = δ 0 ∆x t + (δ 0 + δ 1 )∆x t −1 + (δ 0 + δ 1 + δ 2 )∆x t −2 + (δ 0 + δ 1 + δ 2 + δ 3 )x t −3 + · · · + δm x t −m .. . = δ 0 ∆x t + (δ 0 + δ 1 )∆x t −1 + (δ 0 + δ 1 + δ 2 )∆x t −2 + (δ 0 + δ 1 + δ 2 + δ 3 )∆x t −3 + · · · · · · + (δ 0 + δ 1 + δ 2 + · · · + δm )x t −m o, compactamente, yt = µ ∞x t −m +

m−1 X

µ j ∆x t −j ,

(71)

j=0

expresando así la relación dinámica entre yt y x t en términos del impacto, los multiplicadores intermedios y el multiplicador total (en lugar de los impulsos-respuestas δ j ). Ver el ejercicio E6 (p. 14) para representaciones alternativas. Finalmente, una medida sobre la persistencia en cómo cambios en x t se trasladan hacia yt es el rezago medio definido como P∞ j=0 jδ j , (72) RM = P∞ j=0 δ j es decir, la suma ponderada de los rezagos j con pesos dados por los efectos marginales δ j . En término del polinomio D(L) note que el rezago medio puede expresarse como RM =

0δ 0 + 1δ 1 + 2δ 2 + 3δ 3 + · · · D 0 (1) = , δ 0 + δ 1 + δ 2 + 3δ 3 + · · · D(1)

(73)

donde D 0 (L) = δ 1 +2δ 2 L +3δ 3 L2 +· · · +δmmLm−1 es la primera derivada de D(L) y D 0 (1) es este polinomio evaluado en L = 1. Los conceptos de multiplicadores dinámicos y rezago medio pueden ser aplicados trivialmente a modelos autoregresivos de rezagos distribuidos yt = a 1yt −1 + a 2yt −2 + · · · + ap yt −p + b0x t + b1x t −1 + b2x t −2 + · · · + bq x t −q , Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

(74) 12

Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

toda vez que éstos puedan ser escritos como (63). Utilizando polinomios de L, (74) equivale a A(L)yt = B(L)x t ,

(75)

donde A(L) = 1 − a 1 L − a 2 L2 − · · · − ap Lp

y B(L) = b0 + b1 L + b2 L2 + · · · + bq Lq .

(76)

Si todas las raíces de A(z) = 0 se encuentran fuera del círculo unitario, entonces [A(L)]−1 puede ser expandida geométricamente como en (59), redituando un modelo de infinitos rezagos distribuidos, yt =

B(L) x t = D(L)x t = δ 0x t + δ 1x t −1 + δ 2x t −2 + δ 3x t −3 + · · · . A(L)

(77)

El polinomio D(L) = B(L)/A(L) es conocido como función de transferencia y sus coeficientes, como se mencionó, son de utilidad para el cálculo de multiplicadores dinámicos. De la relación A(L)D(L) = B(L) puede deducirse los valores de δi , un punto que se discutirá con detalle luego (en particular, en el ejercicio E19, p. 40). Asimismo, note que el multiplicador total es igual a µ ∞ = D(1) =

B(1) b0 + b1 + b2 + · · · + bq = , A(1) 1 − a 1 − a 2 − · · · − ap

(78)

mientras que el rezago medio es RM =

b1 + 2b2 + · · · + qbq a 1 + 2a 2 + · · · + pap D 0 (1) B 0 (1) A0 (1) = − = + . D(1) B(1) A(1) b 0 + b 1 + b 2 + · · · + bq 1 − a 1 − a 2 − · · · − a p

(79)

Ejercicios E1

Estabilidad

Considere la ED de segundo orden x t = µ + a 1x t −1 + a 2x t −2 muestre que si | a 1 | < 1 − a 2 y a 2 > −1, entonces la solución hacia atrás de x t es estable. E2

Convolución

Considere dos secuencias de números reales {a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3 , . . .} y {b0 ,b1 ,b2 ,b3 , . . .}. La convolución de las secuencias {ai } y {bi } es una tercera secuencia {c i } cuyo término típico satisface c i = a 0bi + a 1bi−1 + a 2bi−2 + · · · + ai−1b2 + ai b1 . Sean A(L) = a 0 +a 1 L+a 2 L2 +a 3 L3 +· · · y B(L) = b0 +b1 L+b2 L2 +b3 L3 +· · · dos polinomios en el operador de rezago. Muestre que los coeficientes del polinomio C (L) = A(L)B(L) corresponden a la convolución de los coeficientes de A(L) con los coeficientes de B(L). E3

Expansión geométrica

Considere A(L) = 1 − aL donde | a | < 1. Verifique que A∗ (L) = 1 + aL + a 2 L2 + a 3 L3 + · · · es el polinomio inverso de A(L). Es decir, compruebe que A(L)A∗ (L) = A∗ (L)A(L) = 1. E4

Inversión

Considere un polinomio en L de grado p, ϕ(L) = 1 − ϕ 1 L − ϕ 2 L2 − · · · − ϕp−1 Lp−1 − ϕp Lp . Sea ψ (L) el polinomio inverso de orden infinito ψ (L) = ψ 0 + ψ 1 L + ψ 2 L + ψ 3 L3 + · · · . Utilizando la definición ψ (L)ϕ(L) = 1, muestre que ψ 0 = 1, ψ 1 = ϕ 1 , ψ 2 = ϕ 2 + ϕ 12 y que en general los coeficientes ψi satisfacen la recursión ψi − ϕ 1ψi−1 − ϕ 2ψi−2 − · · · − ϕp−1ψi−p+1 − ϕpψi−p = 0 . Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

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Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

E5

Valor presente

El valor presente de una variable yt se define como Vt = yt + βyt +1 + β 2yt +2 + β 3yt +3 + · · · donde β < 1 es un factor de descuento constante. • Considere el modelo de infinitos rezagos distribuidos yt = δ 0x t + δ 1x t −1 + δ 2x t −2 + δ 3x t −3 + · · · Muestre que ∂Vt /∂x t = D(β ). • Considere la ecuación dinámica yt = ayt −1 + x t . Muestre que ∂Vt /∂x t = 1/(1 − aβ ), que es una expresión válida incluso para a = 1. E6

Reparametrizaciones

Considere la ecuación (63), yt = D (L)x t donde D(L) = δ 0 + δ 1 L + δ 2 L2 + · · · + δm Lm . Manipule el polinomio D (L) para que tome las siguientes formas: • D(L) = D (1)Lm + A(L)(1 − L), • D(L) = D (1) + B(L)(1 − L), • D(L) = D (1)L + C (L)(1 − L). Es decir, encuentre los polinomios A(L), B(L) y C (L) en las distintas parametrizaciones de la ecuación (63). La primera formulación fue discutida en la p. 12, la segunda se conoce en econometría como la descomposición de Beveridge-Nelson, y la tercera está estrechamente vinculada con la representación en el ejercicio E7. E7

Corrección de errores

Considere el modelo autoregresivo con rezagos distribuidos yt = µ + a 1yt −1 + a 2yt −2 + b0x t + b1x t −1 + b2x t −2 . Muestre que este modelo puede ser puesto en la forma de correción de errores ∆yt = α 0 (yt −1 − θx t −1 − δ ) + α 1 ∆yt −1 + β 0 ∆x t + β 1 ∆x t −1 . En concreto, encuentre los coeficientes α y β como función de los coeficientes a y b. El término “error” en el nombre de este modelo se refiere a et = yt − θx t − δ . Encuentre θ y δ y trate de brindar una interpretación a la variable et , sobre todo cómo afecta la evolución de yt . E8

Corrección de errores II

Este ejercicio constituye una generalización del ejercicio anterior. Considere el modelo autoregresivo con rezagos distribuidos yt = c +

p X i=1

ahyt −h +

q X

bh x t −h + εt ,

h=0

que puede ser escrito de modo más compacto como A(L)yt = c + B(L)x t + εt para dos polinomios en el operador de rezago, A(L) y B(L). Como es sabido, el multiplicador total (M) y el rezago medio (R) se definen como Pq Pq Pq b hbh hah B 0 (1) A0 (1) B(1) h=0 h h=0 h=1 = and R= − = Pq + . M= Pp Pp A(1) 1 − B(1) A(1) b a 1 − a h h h h=0 h=1 h=1 Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

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Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

La forma de corrección de errores de este modelo es A(L) † ∆yt = −ϕ( yt −1 − θx t −1 − µ ) + B(L) † ∆x t + εt , donde los coeficientes de los polinomios A(L) † y B(L) † y los parámetros ϕ, θ y µ, dependen de los coeficientes de A(L) y B(L). Encuentre estas cantidades y encuentre expresiones alternativas para R y M, en función de los parámetros del modelo de corrección de errores. Ayuda: Un polinomio D(L) de grado r puede ser escrito como D(L) = D(1) + D ∗ (L)(1 − L), donde D ∗ (L) es un polinomio de grado r − 1 y donde se verifica que D 0 (1) = −D ∗ (1). Más aún, se tiene una representación alterantiva D(L) = D (1)L + D † (L)(1 − L), donde D † (L) = D(1) + D ∗ (L) tal que −D ∗ (1) = D(1) − D † (1). E9

Ajuste parcial

Suponga que x t representa el nivel deseado de una variable económica yt . En el período t, los agentes deben elegir p un nivel planeado yt que no esté muy alejado del nivel deseado, ni que implique un cambio muy marcado respecto al último valor de la variable en cuestión, dada la existencia de costos de ajuste. p

p

• Encuentre el nivel planeado yt en función de x t e yt −1 , si yt es elegido para minimizar la función de costos p

p

C = (yt − x t ) 2 + α (yt − yt −1 ) 2

para

α > 0. p

• Suponga que el nivel observado yt es igual al planeado más un error, yt = yt + εt . Muestre que yt puede ser expresado como una suma infinita de los rezagos de x t y de εt . • Interprete la función de costos alternativa p

p

C = (yt − x t ) 2 + α (yt − yt −1 − ϕ∆x t ) 2

para

α > 0, ϕ > 0 .

p

Asumiendo nuevamente que yt = yt + εt , muestre que ∆yt puede ser expresado como una función de ∆x t , yt −1 − x t −1 y εt . Interprete sus resultados. E10

Expectativas adaptativas

La expectativa zt de una variable x t , satisface la recursión zt +1 = γzt + (1 − γ )x t

donde

0 ≤ γ < 1.

A su vez, la variable yt se determina como yt = βzt +1 + δw t . Encuentre los coeficientes a, b y c de las siguientes representaciones: ∞ ∞ X X • yt = a j x t −j + c j w t −j . j=0

j=0

• yt = a 1yt −1 + a 2yt −2 + b0x t + b1x t −1 + b2x t −2 + c 0w t + c 1w t −1 + c 2w t −2 . E11

Multiplicadores dinámicos

Encuentre la función de impulso-respuesta, los multiplicadores dinámicos y el multiplicador total de los modelos yt = µ + ayt −1 + bx t

e

yt = µ + ayt −1 + x t − bx t −1 ,

donde | a | < 1.

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Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

?1 Optimización dinámica Considere el siguiente problema de optimización dinámica: En el momento t, se requiere encontrar una trayectoria yt +h para h = 0, 1, 2, . . . que minimice la función de costos cuadrática ∞ X f g C0 = E * β h (yt +h − x t +h ) 2 + α (yt +h − yt +h−1 ) 2 | F t + . ,h=0 -

La función de costos genera pérdidas si yt +h se aleja de un valor referencial x t +h , y cuando yt +h cambia de manera abrupta (un “costo de ajuste”). El escalar 0 < β < 1 es el factor de descuento que pondera pérdidas futuras en comparación con pérdidas presentes, y α ≥ 0 mide la importancia relativa de las dos fuentes de pérdida. El operador E( z | F t ) es la expectativa de la variable aleatoria z condicional al conjunto de información hasta el período t. Para fines del análisis de este problema, F t = {yt −1 ,yt −2 , . . . ,x t ,x t −1 ,x t −2 , . . .}. Asimismo, desde la perspectiva del problema de optimización, la secuencia {yt ,yt +1 ,yt +2 , . . .} puede ser considerada determinística (son variables de elección), mientras que {x t +1 ,x t +2 ,x t +3 , . . .} corresponde a una secuencia aleatoria. • Considere una función de costos alternativa: C=

∞ X

f g β h (yt +h − zt +h ) 2 + α (yt +h − yt +h−1 ) 2 ,

h=0

donde zt +h = E( x t +h | F t ) . Muestre que las condiciones de primer orden de minimizar C0 respecto a yt +h son idénticas a las condiciones de primer orden de minimizar C respecto a yt +h . Éste es el principio de equivalencia a la certidumbre (certainty equivalence) y permite basar el análisis en la función más simple C. • Muestre que las condiciones de primer orden (las ecuaciones de Euler) pueden escribirse, utilizando el operador de rezagos, como (1 − µ 1 L)(1 − µ 2 L−1 )yt +h = C 0zt +h , donde µ 1 y µ 2 son números positivos menores que 1, y C 0 es una constante por determinar. • Luego, muestre que la solución del problema de optimización tiene la forma yt = C 1yt −1 + C 2

∞ X

(C 3 ) h E( x t +h | F t ) .

h=0

donde C 1 , C 2 y C 3 son constantes que debe determinar. • Suponga que (1 − ρL)x t = εt , donde | ρ | < 1 y εt es una variable aleatoria con las siguientes propiedades: E( εt +h | F t ) = 0 para h > 0 y E( εt −h | F t ) = εt −h para h ≥ 0 . Con ello, muestre que E( x t +h | F t ) = ρ h x t y, por tanto, yt = C 1yt −1 + C 4x t , donde C 4 es una constante por determinar. Ayuda: Adelante h períodos la ecuación que define x t , resuelva para x t +h , tome expectativas condicionales y utilice las propiedades estocásticas de εt . • Suponga ahora que x t es gobernado por la siguiente ecuación dinámica: (1 − θL)∆x t = εt , donde | θ | < 1 y εt es una variable aleatoria que satisface las propiedades arriba descritas. Muestre que en este caso E( x t +h | F t ) = x t + (θ + θ 2 + · · · + θ h )∆x t y por tanto yt − yt −1 = C 5 (yt −1 − x t −1 ) + C 6 ∆x t , donde C 5 y C 6 son constantes por determinar. Interprete la dinámica de yt proveniente de esta solución. Derechos reservados © 2016, Diego Winkelried Prohibida su reproducción y distribución fuera de la Universidad del Pacífico

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Notas de Clase 1 - Ecuaciones en diferencias y modelos dinámicos

?2 Diseño de filtros En estadística de series de tiempo, filtro es sinónimo de promedio móvil. Un filtro centrado de orden m es definido por el polinomio Θ(L) = θ −m Lm + · · · + θ −2 L2 + θ −1 L + θ 0 + θ 1 L−1 + θ 2 L−2 + · · · + θm L−m , y contiene 2m + 1 términos. La serie filtrada yt∗ = Θ(L)yt es yt∗ = θ −myt −m + · · · + θ −2yt −2 + θ −1yt −1 + θ 0yt + θ 1yt +1 + θ 2yt +2 + · · · + θmyt +m . e involucra valores pasados y futuros de la serie original (de ahí el hecho que el filtro sea centrado). Si, además, el filtro es simétrico, θ h = θ −h , se tiene que yt∗ = θ 0yt + θ 1 (yt −1 + yt +1 ) + θ 2 (yt −2 + yt +2 ) + · · · + θm (yt −m + yt +m ) . Los filtros son utilizados en econometría para extraer ciertos componentes de una serie de tiempo. Por ejemplo, si yt = Tt + εt , donde Tt es una tendencia y εt es un ruido, la serie filtrada puede expresarse como yt∗ = Tt∗ + εt∗ , donde Tt∗ = Θ(L)Tt y εt∗ = Θ(L)εt . Así, si lo que se desea es aproximar Tt a partir de la serie ruidosa yt , es deseable que la aplicación del filtro Θ(L) dé como resultado Tt∗ ' Tt y εt∗ ' 0. A continuación, discutimos algunos aspectos para el diseño de este tipo de filtros. • Considere que εt es una variable iid de media cero y varianza σ 2 . La varianza V( εt ) = σ 2 no depende de t, y la variable no se encuentra correlacionada con sus valores futuros o pasados, C( εt ,εs ) = 0, para todo t , s. La razón de varianzas es R = V( εt∗ )/V( εt ) = V( εt∗ )/σ 2 . Exprese R en función de los coeficientes del filtro {θ −m , . . . ,θ −2 , ,θ −1 ,θ 0 ,θ 1 ,θ 2 , . . . ,θm }, y establezca qué condición deben cumplir estos coeficientes para que R < 1. Bajo esta condición, la serie filtrada yt∗ es “menos ruidosa” que la serie original yt . • El filtro preserva constantes si, para una constante c, se cumple que Θ(L)c = c. Muestre que si la suma de los coeficientes del filtro {θ −m , . . . ,θ −2 , ,θ −1 ,θ 0 ,θ 1 ,θ 2 , . . . ,θm } es igual a uno, entonces el filtro preserva constantes. • Asimismo, un filtro preserva una tendencia lineal si Θ(L)t = t, donde L±k t = t ∓ k. Muestre que un filtro simétrico cuyos coeficientes suman uno preserva tendencias lineales. • En general, un filtro preserva una tendencia de orden p, si Θ(L)t p = t p ¿Qué condiciones deben satisfacer los coeficientes del filtro para que éste preserve una tendencia de orden p? Con estos resultados, muestre que: – Si Θ(L)t p = t p , entonces Θ(L)t s = t s para cualquier s < p. – Si Θ(L)t p = t p , entonces Θ(L)t p+1 = t p+1 si el filtro es simétrico. • Un filtro simétrico muy utilizado en la literatura de desestacionalización de una serie de tiempo es: θ h = θ −h =

1 2m

para h = 0, 1, . . . ,m − 1

y

θm = θ −m =

1 . 4m

Verifique que este filtro reduce ruidos (es decir, R < 1) y preserva tendencias lineales ¿El filtro preserva tendencias cuadráticas, p = 2?

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