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• César Enrique Juárez García

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ZACATEPEC DEPARTAMENTO DE INGENIERIA QUÍMICA Y BIOQUIMICA

Operaciones Unitarias I Grupo BQC-9325

Curso Enero-Junio 2007

OPERACIONES UNITARIAS I

O OB BJJE ET TIIV VO O C Coom mpprreennddeerr llooss ffuunnddaam meennttooss ddee llaa ttrraannssffeerreenncciiaa ddee ccaannttiiddaadd ddee m meeccáánniiccaa ddee fflluuiiddooss,, rreellaacciioonnáánnddoollooss yy moovviim miieennttoo yy ddee llaa m aapplliiccáánnddoollooss aa llaass ooppeerraacciioonneess uunniittaarriiaass eenn llaass qquuee ééssttooss ssee vveenn iinnvvoolluuccrraaddooss

ESTAS NOTAS NO PRETENDEN SER UN REEMPLAZO A LOS LIBROS DE TEXTO RECOMENDADOS, EN SU LUGAR REPRESENTAN UNA GUIA PARA EL ESTUDIANTE EN SU INTRODUCCIÓN A LA MATERIA DE OPERACIONES UNITARIAS I, DE LA CARRERA DE INGENIERIA BIOQUÍMICA IMPARTIDA EN EL INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ZACATEPEC. LOS TEMAS ABORDADOS SON EXTRAIDOS DE LAS FUENTES CITADAS Y POSIBLEMENTE AMPLIADOS PARA MEJOR COMPRENSIÓN DE LOS CONCEPTOS. EL CONTENIDO TEMÁTICO DE LAS NOTAS ES MAS AMPLIO QUE EL MARCADO POR EL PROGRAMA DE ESTUDIO, SIN EMBARGO LOS TEMAS ADICIONALES REPRESENTAN UN COMPLEMENTO QUE CONTRIBUYEN A UNA MEJOR COMPRENSIÓN DEL OBJETIVO DE LA MATERIA.

ES RESPONSABILIDAD DEL ESTUDIANTE EL REMITIRSE A LOS LIBROS DE TEXTO SUGERIDOS Y CORROBORAR QUE LA INFORMACIÓN CONTENIDA NO TENGA ERRORES (PARTICULARMENTE LAS ECUACIONES) QUE PUDIERON INTRODUCIRSE DURANTE LA EDICIÓN DE LAS MISMAS.

LA EVALUACIÓN DEL CURSO SERÁ DE ACUERDO A COMO LO ESTIPULA EL REGLAMENTO DE NUESTRA INSTITUCIÓN. EN PARTICULAR SE ESTABLECERÁ QUE: ¾ ¾ ¾ ¾

SE PODRÁ REALIZAR HASTA TRES EXAMENES DE REGULARIZACIÓN. COMO MÁXIMO DOS EXÁMENES EXTRAORDINARIOS. PARA TENER DERECHO A LOS EXAMENES DE REGULARIZACIÓN Y EXTRAORDINARIOS SE EXIGE 80% DE ASISTENCIA GLOBAL AL CURSO. ALUMNOS NO INSCRITOS NO TENDRÁN DERECHO A EXAMEN.

DR. JESUS PORCAYO-CALDERON

OPERACIONES UNITARIAS I

TEMARIO CONSIDERACIONES PRELIMINARES...............................................1 UNIDAD I (VISCOSIDAD).......................................................................3 1.1 Procesos de Transferencia. Definición, Tipos, Gradientes y Parámetros................................................................3 1.2 Ley de Newton de la Viscosidad. Deducción, Definición y Unidades.......................................................................5 1.3 Régimen de un Fluido (Experimento de Reynolds)...................................................................................................7 1.4 Fluidos Newtonianos, No-Newtonianos y Modelos Reológicos.................................................................................9 Viscosidad Aparente. .....................................................................................................................................................16 Efecto de la Temperatura. ..............................................................................................................................................17 Otros modelos reológicos:..............................................................................................................................................18 1.5 Estimación de Viscosidad en Gases ..........................................................................................................................19 • Método de las Propiedades Críticas .......................................................................................................................19 • Gases Puros a baja presión. Método de Stiel y Thodos ..........................................................................................21 • Mezcla de gases a baja presión. Método de Wilke y Saxena ..................................................................................21 • Mezcla de gases a alta presión. Método de Dean y Stiel........................................................................................21 • Gases puros a baja presión. Método de Reichenberg .............................................................................................21 • Gases Puros a alta presión. Método de Stiel y Thodos ...........................................................................................22 1.6 Estimación de Viscosidad en Líquidos .....................................................................................................................24 • Teoría de Eyring.....................................................................................................................................................24 • Líquidos Puros. Método de Velzen ........................................................................................................................25 • Mezcla de líquidos. Método de Kendall y Monroe ................................................................................................26 • Mezcla de líquidos no-hidrocarburos .....................................................................................................................26 EJERCICIOS ...................................................................................................................................................................29 TAREAS ...........................................................................................................................................................................30

UNIDAD II (ANÁLISIS EN FLUJO LAMINAR) ................................31 2.1 Ecuación General del Balance de Cantidad de Movimiento ..................................................................................31 2.2 Obtención de Perfiles de Velocidad y de Esfuerzo Cortante en un Sistema de Flujo ..........................................33 2.2.1 Análisis de una Película Descendente...................................................................................................................33 2.2.2 Análisis del Flujo en un Ducto Circular. ..............................................................................................................36 2.2.3 Análisis del Flujo Entre Dos Cilindros Concéntricos. ..........................................................................................39 2.3 Ecuaciones de Variación............................................................................................................................................43 2.3.1 Repaso Sobre Notación Vectorial .........................................................................................................................43 2.3.2 Ecuación de Continuidad......................................................................................................................................47 2.3.3 Ecuación General de Cantidad de Movimiento ....................................................................................................48 2.3.4 Flujo tangencial entre dos cilindros concéntricos ................................................................................................51 2.3.5 Viscosímetro de Stormer .......................................................................................................................................52

DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I EJERCICIOS ...................................................................................................................................................................53 TAREAS ...........................................................................................................................................................................55 ANEXOS...........................................................................................................................................................................56 LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Y LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS Y ESFERICAS. ......................................................................................................................................56 COMPONENTES DEL TENSOR ESFUERZO DE CORTE EN COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS Y ESFERICAS. ..................................................................................................................................................................59

UNIDAD III (ANÁLISIS EN FLUJO TURBULENTO) ......................61 Capa Límite. .....................................................................................................................................................................61 3.1 Ecuación de Von-Karman para Tubos Lisos...........................................................................................................64 3.1.1 Análisis en Flujo Laminar.....................................................................................................................................64 3.1.2 Cálculo del esfuerzo de corte ................................................................................................................................65 3.3 Análisis dimensional. Teorema Pi de Buckingham .................................................................................................66 3.4 Factor de fricción para flujo en conducciones .........................................................................................................69 EJERCICIOS ...................................................................................................................................................................78 TAREAS ...........................................................................................................................................................................79

UNIDAD IV (LA ECUACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA Y SUS APLICACIONES) ....................................................................................80 4.1 Establecimiento de la Ecuación General de Energía Mecánica .............................................................................80 4.2 Ecuación de la energía para flujo incompresible isotérmico..................................................................................82 4.2.1 Cálculo de las pérdidas por fricción.....................................................................................................................82 4.2.2 Cálculo de potencia requerida en bombas............................................................................................................83 4.2.2 Cálculo de la velocidad de vaciado de un tanque.................................................................................................87 4.2.3 Cálculos en tuberías que se ramifican ..................................................................................................................88 4.3 Ecuación de la energía, para flujo compresible isotérmico ....................................................................................88 4.3.1 Clasificación de bombas .......................................................................................................................................89 4.4 Medidores de Flujo ....................................................................................................................................................90 4.4.1 Venturímetro .........................................................................................................................................................91 4.4.2 Tubo de Pitot.........................................................................................................................................................92 4.4.3 Placa de orificio....................................................................................................................................................93 4.4.4 Rotámetro..............................................................................................................................................................95 EJERCICIOS ...................................................................................................................................................................97 TAREAS ...........................................................................................................................................................................99 ANEXOS.........................................................................................................................................................................100 What is Pumping Head? ..............................................................................................................................................100

DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I

UNIDAD V (FLUJO DE LECHOS EMPACADOS Y FLUIDIZACIÓN)...................................................................................103 5.1 Flujo en lechos empacados ......................................................................................................................................103 5.1.1 Tipos de empaques. .............................................................................................................................................103 5.1.2 Ecuación de Ergun..............................................................................................................................................103 5.2 Fluidización. .............................................................................................................................................................103 5.2.1 Características generales....................................................................................................................................103 5.2.2 Parámetros (Velocidad crítica, fracción de huecos, altura del lecho fluidizado)...............................................103 5.2.3 Problemas de aplicación.....................................................................................................................................103

BIBLIOGRAFIA Welty, Wicks y Wilson Fundamentos de Transferencia de Momentum, Calor y Masa Ed. Limusa Foust A. S. and Wenzel L. A. Principios de Operaciones Unitarias Ed. CECSA Perry and Chilton Manual del Ingeniero Químico Ed. McGraw-Hill Benett C. D. and Meyrs J. E. Momentum, Heat and Mass Transfer Ed. McGraw-Hill Geankoplis Christie J. Procesos de Transporte y Operaciones Unitarias Ed. CECSA

McNaughtun Kenneth Bombas Ed. McGraw-Hill Greene Richard W. Vávulas Ed. McGraw-Hill Brown Operaciones Unitarias Ed. McGraw-Hill Leva Max Fluidización Kunni Fluidización

DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I)

CONSIDERACIONES PRELIMINARES La Ingeniería Química tratan con el cambio de sustancias (gases, líquidos, sólidos) por medio de procesos físicos, químicos y biológicos para propósitos industriales. 1 Esta definición muestra que la ingeniería química es un campo muy amplio y diverso. La pregunta surge al cuestionarse: Puede una sola disciplina científica tratar un campo tan amplio?. La primer respuesta se dio en 1915 por Arthur D. Little cuando acuño el termino "Operación Unitaria":

Cualquier proceso químico, realizado a cualquier escala, se puede resolver en una serie coordinada que se puede denominar "Acciones Unitarias", como pulverización, mezclado, calentamiento, absorción, condensación, lixiviación y así otras más. El número de estas Operaciones Unitarias básicas no es muy grande y relativamente pocas de ellas están involucradas en algún proceso particular. La complejidad de la ingeniería química se debe a la variedad de condiciones como temperatura, presión, etc., bajo las cuales se deben realizar las acciones unitarias en diferentes procesos, y por las limitaciones impuestas por el carácter físico y químico de las sustancias reaccionantes, tal como los materiales de construcción y diseño de aparatos. (A.D. Little: Report to the Corporation of M.I.T., as published in the AIChE Silver Anniversary Volume, p.7) La introducción y definición del término "Operación Unitaria" por Arthur D. Little, fue el primer paso en el intento de reducir la variedad de procesos técnicos a las leyes fundamentales de matemáticas, física, química, y mecánica. Al mismo tiempo, impulsó el desarrollo para reemplazar el conocimiento empírico por modelos matemáticos que den una descripción aproximada de los procesos reales. La tabla I muestra un resumen de las operaciones unitarias más importantes. Note que las operaciones unitarias que involucran cambios químicos son referidas como "Procesos Unitarios", término acuñado por R.N. Shreve. El posterior desarrollo del concepto de "Operaciones Unitarias" mostró que los procesos de abstracción se pueden realizar analizando las operaciones unitarias en términos de principios fundamentales como balances de masa y energía, equilibrio de fases, transporte de momentum, energía y masa. El inicio de esta era se atribuye a la publicación del libro "Transport Phenomena" de Bird, Stewart y Lightfoot en 1960. La tabla II muestra un resumen de estos principios fundamentales y su relación con las diferentes clases de operaciones unitarias.

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Esta sección fue tomada de http://chemengineer.mininco.com/library/weekly/aa033098.htm DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) Tabla 1.I Operaciones Unitarias. Operaciones Físicas

Unitarias Basadas en mecánica y mecánica de fluidos. Basadas en la transferencia de masa y calor

Operaciones Químicas

Basadas en electricidad y magnetismo Unitarias Sistemas homogéneos (gas, líquido)

Sistemas heterogéneos (gas-líquido, gas-sólido, gas-líquido-sólido)

Operaciones Biológicas

Unitarias Sistemas heterogéneos

Trituración, Molienda, Tamizado, Sedimentación, Filtración, Separación por membranas, Flotación, Centrifugación, Mezclado, Sinterización Absorción de gases, Destilación, Extracción, Adsorción, Intercambio iónico, Permeación, Cristalización, Secado, Evaporación Precipitación eléctrica, Electrofiltración, Electroforesis, Separación magnética Mezclado ideal (p.e., reactores de mezclado continuo), Flujo continuo (p.e., reactores de flujo pistón), Reactores con dispersión axial Mezclado ideal (p.e., reactores de mezclado continuo, lecho fluidizado), Flujo continuo (p.e., reactores de flujo pistón, lecho fijo), Reactores con dispersión axial Reactores ideales de mezclado continuo, Reactores de flujo pistón, Lecho fijo, Fermentadores Air-lift, Procesos de lodos activados, Biofiltación, Biolavadores

Tabla 1.II Análisis de las Operaciones Unitarias Usando Principios Fundamentales. Operaciones Físicas

Unitarias Basadas en mecánica y mecánica de fluidos. Basadas en la transferencia de masa y calor Basadas en magnetismo

Operaciones Químicas

electricidad

Unitarias Sistemas homogéneos

Sistemas heterogéneos

Operaciones Biológicas

Unitarias Sistemas heterogéneos

y

Transferencia de momentum Transferencia de energía Transferencia de masa Equilibrio de fases Transferencia de calor Transferencia de momentum Procesos electroestáticos Procesos electrodinámicos Transferencia de masa Transferencia de calor Transferencia de momentum Equilibrio químico Cinética química Transferencia de calor Transferencia de momentum Equilibrio químico Cinética química Transferencia de masa Transferencia de calor Transferencia de momentum Biocinética Transferencia de masa Transferencia de calor Transferencia de momentum

Como podrá observarse de acuerdo al temario de este curso, el contenido de la materia OU-I nos envía al estudio de los fenómenos de transporte, en particular a la transferencia de momentum.

DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I)

UNIDAD I (Viscosidad) 1.1 Procesos de Transferencia. Definición, Tipos, Gradientes y Parámetros 2 Los fenómenos de transporte se refieren a la transferencia de momentum, calor y masa de un punto del universo a otro. Las ecuaciones de transporte son ecuaciones dimensionales e involucran varios términos. Para que se sostenga la igualdad en cada término de la ecuación, cada término debe ser dimensionalmente homogéneo. El desarrollo de las ecuaciones de transporte implican varios tipos de notaciones, las más importantes de ellas son: ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

Cantidades Escalares. Representadas por letras ordinarias o letras griegas, p.e., s, F, φ, μ, etc. Vectores. Son representados por letras ordinarias en negrillas, p.e., v, w, A, etc. Tensores. Se representaran por letras griegas en negrillas, p.e., τ, Δ. Valores Absolutos. Los valores absolutos de cantidades escalares y las magnitudes de los vectores se designarán por la notación ⏐⏐, p.e., ⏐-5⏐o⏐v⏐. Cantidades Especiales. Se designaran por el superíndice * arriba del símbolo, p.e., p*. Valores Promedio. Se indicará con la notación < >, p.e., , , , etc.

Desarrollo de Ecuaciones Los fenómenos de transporte tratan con la transferencia de ciertas cantidades (momentum, masa y energía) de un punto del sistema a otro. Los tres mecanismos básicos de transporte involucrados en un proceso, son: ¾ Radiación. La transferencia por radiación se debe al movimiento de ondas. ¾ Convección. La convección ocurre por movimiento de todo el conjunto de la materia (bulk motion). ¾ Difusión Molecular. Este mecanismo de transporte se debe a la existencia de gradientes. Hablando en particular a este último mecanismo, podemos ejemplificar que: ¾ ¾ ¾

En la presencia de un gradiente de velocidad ocurre la transferencia se momentum. La transferencia de calor ocurre por un gradiente de temperatura, y La transferencia de masa por un gradiente de concentraciones.

Estos tipos de difusión molecular se pueden describir por leyes fenomenológicas (modelos matemáticos). Cada una de estas leyes se reducen al producto del coeficiente de transporte apropiado y su gradiente. ¾ ¾ ¾

Segunda Ley de Newton. Define la viscosidad (coeficiente de transporte por la transferencia de momentum). Ley de Fourier. Define la conductividad térmica (coeficiente de transporte por la transferencia de calor). Ley de Fick. Define la difusividad (coeficiente de transporte por la transferencia de masa).

El momentum, calor y masa, son cantidades que se conservan. Es decir obedecen la ley de la conservación en un sistema: ⎧Cantidad ⎫ ⎪ que ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ entra ⎬ ⎪ ⎪ el ⎪ ⎪ ⎪⎩ sistema ⎪⎭

⎧Cantidad ⎫ ⎧Cantidad ⎫ ⎧ Cantidad ⎫ ⎪ que ⎪ ⎪ generada ⎪ ⎪acumulada ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ en ⎨ sale ⎬ + ⎨ en ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪ del ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ el el ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ sistema ⎪⎭ ⎪⎩ sistema ⎪⎭ ⎪⎩ sistema ⎪⎭

La ecuación anterior se puede representar en función del tiempo, con lo que se obtendrían velocidades:

2

Transport Phenomena for Engineers, Author: Louis Theodore, Ed. International Textbook Company (1971), pp 4-9. DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I)

⎧Vel. de entrada ⎫ ⎧ Vel. de salida ⎫ ⎧Vel. de generación⎫ ⎧Vel. de acumulación ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨de la Cantidad ⎬ − ⎨de la Cantidad ⎬ + ⎨ de la Cantidad ⎬ = ⎨ de la Cantidad ⎬ ⎪ en el Sistema ⎪ ⎪ en el Sistema ⎪ ⎪ en el Sistema ⎪ ⎪ en el Sistema ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ La ley de la conservación a un nivel macroscópico, microscópico o molecular. Se ilustrarán las diferencias de estos niveles con el siguiente ejemplo. Considere un sistema en el cual fluye un fluido a través de un tubo cilíndrico.

Definamos el sistema como el fluido contenido en el tubo entre los puntos 1 y 2 en cualquier instante (tiempo). ¾

La aproximación macroscópica, se aplica cuando se esta interesado en determinar los cambios que ocurren a la entrada y salida del sistema. La ecuación resultante describiría los cambios globales que ocurren en el sistema sin tomar en cuenta las variaciones internas en el sistema. Este tipo de aproximaciones se aplica generalmente en Operaciones Unitarias.

¾

La aproximación microscópica, se emplea cuando se requiere información detallada referente al comportamiento dentro del sistema. En este caso la ley de la conservación de aplica a elementos diferenciales en el sistema. La ecuación resultante se expande vía una integración para describir el comportamiento del sistema entero. Esta es la aproximación de los Fenómeno de Transporte.

¾

La aproximación molecular, involucra la aplicación de la ley de la conservación a moléculas individuales. Esto conduce al estudio de la mecánica estadística y cuántica.

De lo explicado anteriormente se puede concluir que los análisis que se tratarán en este curso corresponderán a aproximaciones microscópica. Condiciones iniciales y frontera. Para poder resolver las ecuaciones diferenciales (derivadas de la aplicación de ley de la conservación a aproximaciones microscópicas), es necesario especificar las condiciones iniciales y/o frontera para el sistema. Esta información surge de la descripción del problema o la situación física. ¾

El número de condiciones frontera que se deben especificar es la suma de la derivada de orden más alto por cada variable independiente que aparezca en la ecuación diferencial. Un valor de la solución en la frontera del sistema es una condición frontera.

¾

El número de condiciones iniciales que se deben especificar es el orden de la derivada de tiempo más alta que aparece en la ecuación diferencial. Esta condición es usada solamente si el tiempo es una variable. El valor de la solución al tiempo igual a cero es una condición inicial.

Por ejemplo la ecuación siguiente requiere dos condiciones frontera. La ecuación siguiente requiere una condición inicial. Y la ecuación siguiente requiere una condición inicial y dos condiciones frontera.

DR. J. PORCAYO-CALDERON

d 2v y dz 2

=0

dT = 0 ; t = tiempo dt ∂ 2C A ∂C A =D ∂t ∂y 2

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) Solución de ecuaciones. El procedimiento general que se debe seguir para resolver problemas en fenómenos de transporte, requiere primeramente la transformación de la palabra ecuación en expresiones matemáticas, y su solución. El procedimiento sugerido es como sigue: ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

Dibuje un diagrama que represente el sistema físico. Liste todas las variables y dimensiones pertinentes sobre el diagrama. Seleccione el sistema de coordenadas más conveniente. Obtenga las ecuaciones matemáticas que describan el comportamiento del sistema. Esta información se puede “extraer” de las ecuaciones de transporte. Especifique las condiciones iniciales y frontera. Resuelva las ecuaciones. Cheque si la solución satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales y frontera.

1.2 Ley de Newton de la Viscosidad. Deducción, Definición y Unidades 3 El análisis siguiente se realizará de acuerdo al esquemático de la figura siguiente:

3

•

Considere un fluido comprendido entre dos placas infinitas horizontales paralelas separadas por una distancia h.

•

El fluido fluye solo en la dirección y, y en flujo estable.

•

Una fuerza F se aplica en la placa superior en z = h, esta fuerza es de magnitud suficiente para mantener la placa en movimiento a una velocidad vy = Vh.

•

Si la densidad del fluido es constante, y el flujo es isotérmico y laminar en cualquier punto, entonces el gradiente de velocidad lineal (representado en un plano de dos dimensiones) resultante es el representado por la figura siguiente.

Transport Phenomena for Engineers, Author: Louis Theodore, Ed. International Textbook Company (1971), pp 67-72. DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) •

La fuerza aplicada por unidad de área para mantener en movimiento a la placa superior a una velocidad Vh, es proporcional al gradiente de velocidad.

•

La ecuación anterior se puede escribir en forma general como:

•

El término diferencia (Δ) se puede sustituir por la notación de ancho de diferencial (dz).

•

Reemplazando el signo de proporcionalidad por una constante de proporcionalidad (-μ):

•

El término μ es el coeficiente de viscosidad, o la viscosidad del fluido. El término F/A es un esfuerzo de corte ya que F es ejercida en forma paralela a la dirección del movimiento. Entonces esta fuerza aplicada puede representarse como:

Vh F α A h vy Δ F α A Δz dv y F α A dz ⎛ dv y F = μ ⎜⎜ − A ⎝ dz

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ dv y ⎞

⎟ τ zy = μ ⎜⎜ − ⎟ ⎝ dz ⎠

En la ecuación anterior, el subíndice y indica la dirección Dirección transferencia del movimiento, y el subíndice z la dirección de la momentum transferencia del momentum.

τz y

Dirección del movimiento

El signo menos, es debido a que el momentum es transferido en la dirección negativa de z como consecuencia de un gradiente de velocidad positivo. Entonces se puede establecer que todo aquel fluido cuyo esfuerzo de corte se describe por la ecuación anterior se define como un fluido newtoniano. Unidades 4. Las unidades de los términos de la ley de Newton son las siguientes: CGS

τzy μ νy z 1 dina = gm-cm/s

dina/cm2

MKS Newton/m2

INGLES lbm/s2-ft

gm/cm-s

kgm/m-s

lbm/ft-s

cm/s

m/s

ft/s

cm

m

ft

2

Las unidades de la viscosidad, en el sistema cgs, reciben en nombre poise. Dado que esta unidad es demasiado grande, la viscosidad se expresa generalmente en centipoise (cp = 1/100 poice).

1 poise = 1

g ; cm - s

1 cp = 0.01 poise

En el sistema ingles la viscosidad tiene unidades de lbm/ft-s. Para convertir la viscosidad medida en centipoise al sistema ingles se viscosidad [lbm/ft-s] = (centipoise) * (6.72 x 10-4) multiplica por 6.72 x 10-4. Algunas ocasiones se expresa la transferencia de momentum en unidades de Kgf ó lbf, para hacer esto posible es necesario introducir una constante en la ecuación de la segunda ley de Newton:

4

τ zy =

μ ⎛⎜ dv y ⎞⎟ −

g c ⎜⎝

dz ⎟⎠

Fenómenos de Transporte, Bird, Steward, Lightfoot. DR. J. PORCAYO-CALDERON

6

OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) En este caso las unidades serían:

τzy μ νy z gc

kgf/m2

lbf/ft2

kgm/m-s

lbm/ft-s

m/s

ft/s

m

ft

9.8067 kgm-m/kgf-s

2

32.2 lbm-ft/lbf-s2

Donde kgm-m/kgf-s2 = newton/kgf A menudo es conveniente dividir la viscosidad del fluido por su densidad (v = μ/ρ) obteniendo un coeficiente cinemático de la viscosidad. Esta viscosidad cinemática es una medida de la resistencia del fluido de la transición de flujo laminar a turbulento. Es decir, mide la resistencia del fluido a efectos de variables de flujo como la velocidad. La viscosidad cinemática la indica la velocidad de difusión de momentum y tiene unidades de cm2/s (1 stoke = 1 cm2/s). ¾

Los fluidos con baja viscosidad cinemática soportan turbulencia rápidamente que aquellos fluidos con alta viscosidad cinemática.

¾

Para un fluido newtoniano la viscosidad es una propiedad de estado ya que es una función de la presión, temperatura, y composición.

EJEMPLO 1. 1 Calcular la densidad de flujo de C.M. en estado estacionario, τyx, en kgf/m2, cuando la velocidad de la lamina inferior, en la dirección positiva del eje x, es 0.3 m/s, la distancia entre las láminas es 0.0003 m, y la viscosidad del fluido es de 0.7 cp. SOLUCION. Primero se convertirán las unidades de la viscosidad a kgm/m-s:

μ = 0.7cp

dv x Δv x 0.3m / s = =− = −1000 s −1 dy Δy 0.0003m

Como el perfil de velocidades es lineal, entonces el gradiente de velocidad será: Por tanto el esfuerzo de corte o densidad de flujo de cantidad de movimiento es: τ yx =

kg m poise g / cm − s kg 100cm = 0.0007 100cp poise 1000 g m m−s

2 kg f kg m 1 kg f − s ⎛ 1000 ⎞ ⎟⎟ = 0.0007 ⎜⎜ − ⎜ ⎟ = 0.07 2 g c ⎝ dy ⎠ m − s 9.8067 kg m − m ⎝ s ⎠ m

μ ⎛ dv x ⎞

1.3 Régimen de un Fluido (Experimento de Reynolds) 5 Existen dos clases principales de flujo viscoso, laminar y turbulento.

5

¾

Flujo laminar es un flujo ordenado que ocurre cuando las capas adyacentes de fluido resbalan unas sobre otras, la mezcla entre capas se presenta solo a nivel molecular. La fuerza dominante para la transferencia de momentun son las fuerzas viscosas.

¾

Flujo turbulento es un flujo desordenado en el cual se transfieren pequeños paquetes de partículas de fluido de una capa a otra. La fuerza dominante para la transferencia de momentun son las fuerzas inerciales.

Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa. Welty, Wicks y Wilson, Ed. Limusa. Pag 203. DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) La existencia de los dos tipos de flujo fue descrito cualitativamente por Reynolds en 1883. En su experimento clásico hizo que fluyera agua, a una velocidad controlada, a través de un tubo transparente. En un punto del tubo introdujo un colorante cuya gravedad específica era la misma del agua y observó el patrón de flujo a flujos cada vez mayores.

El análisis de lo anterior arrojó las siguiente conclusiones: ¾

A velocidades de flujo pequeñas el patrón formado por el colorante era regular y formaba una sola línea de color.

¾

A velocidades de flujo altas el patrón formado por el colorante se dispersaba en la sección transversal del tubo debido al movimiento irregular del fluido.

¾

A velocidades de flujo intermedias el patrón formado por el colorante tendía a perder su comportamiento lineal. Es un comportamiento entre laminar y turbulento.

La diferencia de apariencia en ambos patrones se debía a la naturaleza ordenada del flujo laminar, y al carácter fluctuante del flujo turbulento, respectivamente. La naturaleza del tipo de flujo (en tubería) es una función de la velocidad del fluido, diámetro del tubo, densidad y viscosidad del fluido, el cual se relaciona por medio de un parámetro adimensional denominado número de Reynolds:

Re =

Dρv

μ

Para flujo en tuberías se ha encontrado que el régimen de flujo puede definirse por el valor adimensional Número de Reynolds con base a las siguientes reglas generales: ¾ ¾ ¾

Re < 2100-2300 Flujo laminar. Re = 2100-4000 Zona de transición de flujo laminar a turbulento Re > 4000 Flujo turbulento completamente desarrollado.

DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) 1.4 Fluidos Newtonianos, No-Newtonianos y Modelos Reológicos 67 Para propósitos de este curso, los fluidos se pueden dividir en tres grupos de acuerdo a su comportamiento de flujo: 1.

Fluidos Newtonianos. Un fluido Newtoniano está definido por la segunda ley de Newton, y es aquel que al graficar su esfuerzo de corte contra su velocidad de corte da una línea recta que pasa por el origen y cuya pendiente es la viscosidad del fluido a cierta temperatura y presión. La viscosidad de un fluido newtoniano es dependiente solamente de la temperatura pero no de la velocidad de corte y el tiempo. (Agua, leche, soluciones de azúcar, aceite mineral). El modelo reológico que los define es: ⎛ dv y ⎞

⎟ = μγ τ zy = μ ⎜⎜ − ⎟ ⎝ dz ⎠

Donde: τzy = esfuerzo de corte μ = viscosidad. ⎛ dv y ⎞ ⎟ ⎜− ⎜ dz ⎟ = γ = gradiente de velocidad o velocidad de corte ⎠ ⎝ 2.

Fluidos No-Newtonianos Independientes del Tiempo. La viscosidad de este tipo de fluidos es dependiente de la temperatura y de la velocidad de corte, y como su nombre lo indica son ésta no depende del tiempo. Dependiendo de cómo cambia la viscosidad con la velocidad de corte, el comportamiento de flujo estos se subclasifican en: Su i) Peudoplásticos (Esfuerzo-Adelgazantes). viscosidad disminuye al incrementar la velocidad de corte. (Pinturas, shampoos, lechadas, jugos concentrados de fruta). ii) Dilatantes (Esfuerzo-Espesantes). Su viscosidad incrementa al aumentar la velocidad de corte. (Arena húmeda, suspensiones concentradas de almidón). El comportamiento de estos fluidos es representado por el modelo de Ostwald-de Wale o Ley de la Potencia: ⎛ dv y ⎞

n

⎟ = mγ n τ zy = m⎜⎜ − ⎟ dz ⎠ ⎝

Donde: n = índice de comportamiento de flujo o grado de desviación del comportamiento newtoniano. m = índice de consistencia, es equivalente a μ. Para fluidos pseudoplásticos n < 1. Para fluidos dilatantes n > 1. Cuando n = 1, la ecuación anterior se reduce a la ley de Newton de la viscosidad

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Transfer Operations. R.A. Greenkorn and D.P. Kessler, Ed. McGraw-Hill, pp176. Fenómenos de Transporte. Bird, Steward, Lightfoot, pp 1-10. DR. J. PORCAYO-CALDERON

9

OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) Para este tipo de fluidos, la determinación de m y n se realiza linearizando la expresión anterior. Esto de logra aplicando logaritmos con lo que se obtiene:

⎛ dv y log(τ zy ) = n log⎜⎜ ⎝ dz

⎞ ⎟⎟ + log m ⎠

Podemos observar que esta expresión es una línea recta, de forma tal que la graficar los datos como se indica, de la pendiente de la recta obtendremos el valor de n y de la ordenada al origen el valor de m. iii) Plásticos de Bingham. Estos fluidos no fluyen hasta que el esfuerzo aplicado alcanza un punto de cedencia, y entonces a esfuerzos más altos que el esfuerzo de cedencia, la gráfica de esfuerzo de corte contra gradiente de velocidad representa una línea recta (comportamiento newtoniano). (Pasta de tomate, pasta de dientes, crema de manos, ketchups, grasas). La relación entre el esfuerzo de corte y el gradiente de velocidad para este tipo de materiales se representa por el modelo de Bingham: ⎛ dv y ⎞

⎟ = τ o + mγ τ zy = τ o + m⎜⎜ − ⎟ ⎝ dz ⎠

Donde:

τo = esfuerzo de cedencia. iv) Fluidos Hershey-Bulkley. El comportamiento de estos fluidos es del tipo llamado cuasiplástico o mixto. El modelo reológico que describe este comportamiento esta descrito por la siguiente ecuación, llamada también Modelo Generalizado el cual describe todos los comportamientos de flujo antes citados: n

τ zy

⎛ dv y ⎞ ⎟ = τ o + mγ n = τ o + m⎜⎜ − ⎟ dz ⎠ ⎝

Otro modelo propuesto es el Modelo de Casson el cual se adapta a la mayoría de las suspensiones: ⎛ dv y ⎞

⎟ τ zy = m⎜⎜ − ⎟ ⎝ dz ⎠

1/ 2

1

+ τ 10 / 2 = mγ n + τ o 2

En general se puede decir que el comportamiento reológico de cualquier fluido independiente del tiempo se puede expresar por medio de los modelos H-B o Casson.

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10

OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) En este caso para poder determinar los valores de m, n y τo, primero debemos conocer el valor de τo. Para ello tenemos tres casos: ¾

El valor de τo sea dado por enunciado del problema.

¾

Que el valor de τo sea determinado por extrapolación de los datos experimentales.

¾

Que el valor de τo sea determinado empleando el modelo de Casson.

En este último caso, debemos graficar los datos τ-γ como se indica en el gráfico, y de la ordena al origen obtenemos el valor de τo.

Determinado reordenamos logaritmos:

el

este valor, modelo y

⎛ dv y log(τ zy − τ o ) = n log⎜⎜ ⎝ dz

entonces aplicando

⎞ ⎟⎟ + log m ⎠

La expresión resultante es una línea recta, de forma tal que la graficar los datos como se indica, de la pendiente de la recta obtendremos el valor de n y de la ordenada al origen el valor de m.

En la figura siguiente se muestra una representación gráfica del comportamiento reológico de los fluidos newtonianos y no-newtonianos independientes del tiempo descritos anteriormente.

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11

3.

OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) Fluidos No-Newtonianos Dependientes del Tiempo. La viscosidad de este tipo de fluidos depende de la temperatura, velocidad de corte y tiempo. Dependiendo de cómo cambia la viscosidad éstos se caracterizan como: ¾

Tixotrópicos (Tiempo-Adelgazantes). Muestran una disminución gradual en su viscosidad aparente en función del tiempo al aplicarles repentinamente un esfuerzo cortante (Yogurt, pinturas).

¾

Reopécticos (Tiempo-Espesantes). Muestran un incremento en su viscosidad aparente respecto al tiempo al aplicarles repentinamente un esfuerzo cortante.

En el caso de los fluidos independientes del tiempo al aplicarle una velocidad de corte, el esfuerzo de corte desarrollado es constante a cualquier tiempo, sin embargo para el caso de los fluidos reopécticos y tixotrópicos, su comportamiento es como se ilustra:

Una clasificación adicional que podemos tomar en consideración es la de los fluidos viscoelásticos. ¾

Fluidos Viscoelásticos. Los fluidos viscoelásticos tienen una recuperación de la deformación o vuelven a su estado inicial cuando se deja de aplicar un esfuerzo (En los fluidos puramente viscosos, el esfuerzo y la deformación se relajan inmediatamente). El modelo reológico que describe el comportamiento de este tipo de fluidos está definido por la siguiente ecuación:

τ +λ

dv dτ = −μ dt dz

Donde λ es el término elástico, y un término de comportamiento dependiente del tiempo, algunos señalan que este tipo de fluidos tienen memoria ya que "recuerdan" que les sucedió (es decir qué esfuerzo se le aplicó y cuanto se elongó para volver a su estado inicial. Un ejemplo de este tipo de fluidos es el cemento pegamento). Algunas características particulares de este tipo de fluidos son 8: ¾

8

Rebobinado elástico

http://wwwce1.kat.lth.se/staff/ulf_b/b5_rheo.htm DR. J. PORCAYO-CALDERON

12

OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) ¾

Aumento del jet

¾

Auto vaciado

¾

Efecto Weissenberg

Determinación de los Parámetros Reológicos. Los ejemplos siguientes ilustrarán los procedimientos de obtención de los parámetros reológicos a partir de datos de esfuerzo de corte y velocidad de corte o gradiente de velocidad. EJEMPLO 1. 2 (Heldman2-1).Los siguiente resultados experimentales para puré de banana a 120 °F se obtuvieron en un viscosímetro de cilindro coaxial. Esfuerzo de Corte Gradiente de Velocidad (Vel. -1 corte ) [s ] [dinas/cm2] 0.001 0.00106 0.0015 0.00122 0.002 0.00137 0.003 0.00162 0.004 0.0018 0.005 0.00201 0.006 0.0021 0.007 0.00221 i) En función de la relación velocidad de corte-esfuerzo de corte, determine el comportamiento reológico. ii) De acuerdo a su respuesta, determine los parámetros reológicos del modelo propuesto.

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13

0.002

2

Esfuerzo de corte [dinas/cm ]

OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) SOLUCION. Al graficar los datos se observa que 0.0025 el esfuerzo de corte es prácticamente cero a gradiente de velocidad (velocidad de corte) cero.

0.0015

0.001

0.0005

0 0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

Velocidad de corte o gradiente de velocidad [1/sec]

Por tanto, se puede asumir que el modelo reológico que se ajusta a los valores experimentales corresponde a un fluido pseudoplástico de acuerdo a la siguiente expresión:

τ yx

n

⎛ dv ⎞ log τ yx = n log⎜⎜ − x ⎟⎟ + log(m) ⎝ dy ⎠

Aplicando logaritmos a la expresión anterior se obtiene: Observando que la ecuación resultante es similar a la ecuación general de una línea recta. donde:

⎛ dx ⎞ = m⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ dy ⎠

y = ax + b

y = log τ yx

a=n

⎛ dv ⎞ x = log⎜⎜ − x ⎟⎟ ⎝ dy ⎠

b = log m

De lo anterior se puede observar que el tratamiento del modelo reológico de esta manera, nos puede proporcionar los valores del coeficiente de consistencia (m) y del índice de comportamiento de flujo (n). Por tanto tomando logaritmos a los valores experimentales y graficando éstos de acuerdo a la ecuación de la recta, obtenemos el siguiente gráfico: Grad. Veloc. Ó Vel. corte [s-1]

Esfuerzo de Corte [dinas/cm2]

Log Vel Corte

Log Esfuerzo Corte

0.001 0.0015 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007

0.00106 0.00122 0.00137 0.00162 0.0018 0.00201 0.0021 0.00221

-3 -2.82390874 -2.69897 -2.52287875 -2.39794001 -2.30103 -2.22184875 -2.15490196

-2.97469413 -2.91364017 -2.86327943 -2.79048499 -2.74472749 -2.69680394 -2.67778071 -2.65560773

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14

OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) -2.6 -3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

•

0

•

2

LOG (Esfuerzo de corte [dinas/cm ])

-2.65 -2.7

De la pendiente de la recta se obtiene que el valor del n es 0.387. El valor de la ordenada al origen es – 1.8153 = log m, por tanto el valor de m es 0.0153.

-2.75 -2.8

y = 0.3874x - 1.8153 R2 = 0.9982

Por tanto el modelo reológico que describe al puré de banana es:

-2.85

⎛ dv x ⎝ dy

τ yx = 0.0153⎜⎜ −

-2.9

⎞ ⎟⎟ ⎠

0.387

= 0.0153γ 0.387

-2.95 -3 LOG (Velocidad de corte o gradiente de velocidad [1/sec])

EJEMPLO 1. 3 (Reoeje1). Considere el conjunto de datos de velocidad de corte y esfuerzo cortante dados en la tabla siguiente:

i) ii)

Velocidad de Corte [sec-1]

Esfuerzo de Corte [Pa]

0.001 0.002 0.003 0.005 0.008 0.012

0.00000278 0.00000906 0.000018 0.0000429 0.0000954 0.00019

Identifique el comportamiento reológico del fluido. Determine los parámetros reológicos de acuerdo al inciso anterior.

SOLUCION. Se grafica la velocidad de corte contra el esfuerzo de corte, obteniendo el siguiente gráfico:

0.0002 0.00018 0.00016

⎛ dx ⎞

n

0.00014 Esfuerzo de Corte (Pa)

De acuerdo al gráfico se puede asumir que el comportamiento del fluido corresponde a un fluido dilatante de acuerdo a la siguiente expresión:

0.00012 0.0001 0.00008 0.00006

τ yx = m⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ dy ⎠

0.00004 0.00002 0 0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

Velocidad de Corte (s-1)

Aplicando logaritmos a la expresión anterior se obtiene:

⎛ dv ⎞ logτ yx = n log⎜⎜ − x ⎟⎟ + log(m) ⎝ dy ⎠

Observando que la ecuación resultante es similar a la ecuación general de una línea recta.

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y = ax + b

15

OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) donde: ⎛ dv ⎞ x = log⎜⎜ − x ⎟⎟ ⎝ dy ⎠

y = logτ yx

a=n

b = log(m)

De lo anterior se puede observar que el tratamiento de esta manera del modelo reológico, nos puede proporcionar los valores del coeficiente de consistencia (m) y del índice de comportamiento de flujo (n). Por tanto tomando logaritmos a los valores experimentales y graficando éstos de acuerdo a la ecuación de la recta, obtenemos el siguiente gráfico:

-2.9

Log Esfuerzo de Corte

-3.1

-2.7

-2.5

Vel. corte [sec-1]

Esfuerzo de Corte [Pa]

0.001 0.002 0.003 0.005 0.008 0.012

0.00000278 0.00000906 0.000018 0.0000429 0.0000954 0.00019

-2.3

-2.1

y = 1.7002x - 0.4553 R2 = 1

-1.9

-1.7

Log Vel Corte -3 -2.69897 -2.52287875 -2.30103 -2.09691001 -1.92081875

Log Esfuerzo Corte -5.5559552 -5.04431225 -4.74472749 -4.36754271 -4.02045163 -3.7212464

-3 -1.5

-3.5

•

-4

•

De la pendiente de la recta se obtiene que el valor del n es 1.7002. El valor de la ordenada al origen es –0.4553, por tanto el valor de m es 0.3505 Pa-sn

-4.5

Por tanto el modelo reológico es: -5

-5.5

⎛ dv x ⎝ dy

τ yx = 0.3505⎜⎜ −

⎞ ⎟⎟ ⎠

1.7002

-6

Log Velocidad de Corte

Viscosidad Aparente. La relación τ/γ se considera la viscosidad aparente del fluido. De acuerdo a un análisis de la tendencia de los modelos reológicos se observa que ésta varía con la velocidad de corte.

¾ ¾

La viscosidad aparente límite es la viscosidad aparente medida cuando la velocidad de corte se aproxima al infinito (γ→∞). Las constantes de flujo o parámetros reológicos no son función de la velocidad de corte sino son propiedades del fluido.

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16

OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) Efecto de la Temperatura. Un parámetro ambiental que influye considerablemente en la viscosidad o cualquier parámetro reológico, es la temperatura. El modelo más utilizado para considerar este efecto es el uso de la ecuación de Arrhenius: Donde:

k=

k = constante de velocidad de reacción. E = energía de activación. A = constante de integración referida como factor de frecuencia. T = temperatura absoluta.

E − Ae RT

Para nuestra aplicación particular, cualquier parámetro reológico se puede utilizar como la constante de velocidad de reacción para determinar la energía de activación del flujo viscoso.

μ = Ae

Para obtener el valor de la energía de activación, la ecuación anterior se grafica de la siguiente manera:

ln μ = −

−

E RT

E + ln A RT

EJEMPLO 1. 4 (Heldman2.2)El coeficiente de consistencia para puré de durazno varía con la temperatura de acuerdo a los siguientes datos. Temperatura m [°F] [dinas-secn/cm2] 40 130 77 90 130 45 140 38 Desarrolle una relación entre la temperatura y el parámetro reológico usando la ecuación tipo Arrhenius. SOLUCION. Se grafica ln m contra 1/T, obteniendo el gráfico siguiente. •

5.5

Donde de la pendiente de la recta se tiene que: E − = 3669.7 R

y = 3699.7x - 2.4786 5

2

R = 0.9866

•

De la ordenada al origen se tiene: ln A = −2.4786

ln m

4.5

-E/R 4

•

De donde: A = 0.08386 3.5

•

Por tanto la relación es: m

3669.7 = 0.08386e T

3 0.00165

0.0017

0.00175

0.0018

0.00185

0.0019

0.00195

0.002

0.00205

1/T

Donde T está definida en °R.

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) En el gráfico siguiente se muestran los valores 140 experimentales del índice de consistencia y junto con los 120 que predice el modelo calculado. Datos Experimentales

Indice de Consistencia

100

80 Datos Modelo 60

40

20

0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

Temperatura [°F]

Otros modelos reológicos: ¾

Modelo de Eyring. Modelo de dos parámetros derivado de la teoría cinética de los líquidos, y predice el comportamiento pseudoplástico para valores finitos de τ, y tiende asintóticamente a la ley de la viscosidad de Newton cuando τ tiende a cero ( en este caso μ=A/B): ⎛

1

τ zy = A arcsen h⎜⎜ − ⎝ B ¾

Modelo de Ellis. Modelo de tres parámetros positivos ajustables. Si alfa mayor que 1, el modelo tiende a la ley de Newton para valores bajos de τzy. Si alfa menor que 1, la ley de Newton se establece para valores elevados de τzy. El modelo presenta gran flexibilidad y en el están comprendidas, casos particulares, la ley de Newton (para ϕ1 = 0), y la ley de la potencia (para ϕ0 = 0). −

¾

dv y ⎞ ⎟ dz ⎟⎠

dv y

= ⎛⎜ ϕ 0 + ϕ 1 τ zy dz ⎝

α −1 ⎞

α ⎟ τ zy = ϕ oτ zy + ϕ 1τ zy ⎠

Modelo de Reiner-Philippoff. Modelo de tres parámetros positivos ajustables. Este modelo incluye la observación de que el comportamiento Newtoniano se presenta tanto a valores muy bajos como muy elevados del gradiente de velocidad. La curva resultante muestra dos puntos de inflexión. ⎛ ⎜ dv y ⎜ 1 − =⎜ μ dz 0 − μ∞ ⎜μ + ⎜ ∞ 1+ τ τ zy s ⎝

(

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)2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ τ zy ⎟ ⎟ ⎠

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) 1.5 Estimación de Viscosidad en Gases 910 El comportamiento general de la viscosidad de un líquido y un gas es completamente opuesto, es decir, la viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con la temperatura, mientras que la de un líquido disminuye. A continuación se describen brevemente algunos métodos empleados para estimar la viscosidad en gases: • Método de las Propiedades Críticas Cuando se carece de datos experimentales, la viscosidad puede estimarse por métodos empíricos, utilizando otros datos de las sustancia en cuestión. Las correlaciones se basan en el análisis de un gran número de datos experimentales de diferentes fluidos, mediante la aplicación del principio de los estados correspondientes. En este caso se obtienen representaciones gráficas (figura 1.3-1, del BSL) de la viscosidad reducida (que es la viscosidad a una determinada temperatura y presión dividida por la viscosidad correspondiente al punto crítico) contra temperatura reducida, Tr = T / Tc, y presión reducida, Pr = P / Pc: La viscosidad crítica puede calcularse conociendo los valores críticos de P-V-T a partir de las ecuaciones:

μ c = 61.6(MTC )1 / 2 (V ´c )−2 / 3 ó μ c = 7.7 M 1 / 2 Pc2 / 3Tc−1 / 6 Donde μc está expresada en micropoise, Pc en atmósferas, Tc en K y V´c en cm3/g-mol. M representa el peso molecular.

Figura 1.1. Viscosidad reducida en función de la temperatura reducida, para distintos valores de presión reducida.

EJEMPLO 1. 5 Calcular la viscosidad del N2 a 50°C y 854 atm, siendo M = 28 g/g-mol, Pc = 33.5 atm y Tc = 126.2K. SOLUCION. Primeramente se calcula la viscosidad crítica de acuerdo a la ecuación:

μc = 7.7 M 1 / 2 Pc2 / 3Tc−1 / 6 = 7.7(28)0.5 (33.5) 3 (126.2) 2

= 189μpoise = 0.000189 La temperatura y presión reducida son:

Tr =

De la figura correspondiente con estos valores se lee que la viscosidad reducida es igual a 2.39. Por tanto el valor buscado es:

9

−1 6

g cm − s

T 273.2 + 50 P 854 = = 2.56 ; Pr = = = 25.5 126.2 Tc Pc 33.5 ⎛ μ ⎞ g ⎟ = 0.000189(2.39 ) = 0.000452 ⎟ cm − s ⎝ μc ⎠

μ = μ c ⎜⎜

Fenómenos de Transporte. Bird, Steward, Lightfoot, Capítulo I. Perry´s Chemical Engineers´ Handbook, Seventh Edition.

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) El valor experimental reportado es 0.000455 g/cm-s. Para calcular la viscosidad de una mezcla de n componentes, mediante la figura 1.3-1 del BSL, se utilizan las propiedades pseudocríticas definidas empíricamente por las ecuaciones: n

Pc´ = ∑ xi Pci i =1

n

Tc´ = ∑ xi Tci i =1

n

μ c´ = ∑ xi μ ci i =1

Este método no es muy exacto si las sustancias que forman la mezcla tienen distinta constitución química o sus propiedades críticas difieren notablemente. También se puede usar la gráfica siguiente donde la viscosidad (μ#) representa la relación de la viscosidad desconocida (μ) a una determinada temperatura y presión a la viscosidad (μo) a la misma temperatura pero a presión atmosférica.

EJEMPLO 1. 6 La viscosidad del CO2 a 45.3 atm y 40.3°C es 0.00018 poise. Estimar el valor de la viscosidad a 114.6 atm y 40.3°C usando la segunda gráfica de esta sección. Considere Pc = 72.9 atm y Tc = 304.2K

Figura 1.2. Viscosidad reducida en función de la presión reducida, y temperatura reducida. SOLUCION. Primeramente habrá de calcular la T 273.2 + 40.3 P 45.3 = 1.03 ; Pr = = = 0.622 viscosidad a 1 atm de presión. La temperatura y presión Tr = T = 304.2 Pc 72.9 c reducida, considerando la primer presión (45.3 atm) es: De la figura se obtiene μ# = 1.12. Por tanto la viscosidad a 1 atm de presión es:

μo =

Ahora se procede a estimar la viscosidad a 114.6 atm. Para ello se determina la presión reducida (la temperatura reducida es la misma). Con estos valores, de la figura se obtiene μ# = 3.7. Por tanto la viscosidad a 114.6 atm de presión y 40.3°C:

μ 0.00018 g = = 0.000161 1,12 cm − s μ# Pr =

114.6 = 1.57 72.9

μ = μ # μ o = 3.7(0.000161) = 0.0006

g cm − s

El valor experimental reportado es de 0.00058 g/cm-s.

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) • Gases Puros a baja presión. Método de Stiel y NM 0.5 Pc2 / 3 μ 0 . 00046 = v Thodos Tc1 / 6 Para predecir la viscosidad de vapores de hidrocarburos puros a baja presión (debajo de Tr = 0.6), el método de Stiel y Thodos es el más exacto. N = 0.00034Tr0.94 para Tr ≤ 1.5 Sólo se requiere el peso molecular, la temperatura y presión crítica. Las unidades de la temperatura están N = 0.0001778(4.58Tr − 1.67 )0.65 para Tr > 1.5 en K, la presión en Pa, y la viscosidad en cp. EJEMPLO 1. 7 Estime la viscosidad del vapor de propano a 101.3 kPa y 80°C. Si la temperatura y presión crítica es de 96.7°C y 4.246 Mpa, respectivamente y el peso molecular del propano es de 44.1. SOLUCION. Primeramente se determina el valor de la temperatura reducida para saber que ecuación para N se usará:

Tr =

80 + 273.1 = 0.955 96.7 + 273.1

N = 0.00034Tr0.94 = 0.00034(0.955)0.94 = 0.0003255

Por tanto: y: μ v = 0.00046

NM 0.5 Pc2 / 3 Tc1 / 6

= 0.00046

(0.0003255)(44.1) 0.5 (4,246,000)2 / 3 369.81 / 6

= 0.0097cp

El valor experimental reportado es de 0.0095 cp. •

Mezcla de gases a baja presión. Método de Wilke y Saxena Wilke ha propuesto una formula empírica para determinar la viscosidad de mezclas gaseosas de componentes múltiples a baja densidad (para Tr abajo de 0.6):

n

μ mezcla = ∑

i =1

xi μi n

∑ x jφij

j =1

M ⎞ 1 ⎛⎜ φ ij = 1+ i ⎟ M j ⎟⎠ 8 ⎜⎝

−1 / 2 ⎡

⎛ ⎢1 + ⎜ μ i ⎢ ⎜μj ⎣⎢ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1/ 2

⎛M j ⎜ ⎜M ⎝ i

1/ 4 ⎤

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

⎥ ⎥ ⎦⎥

Donde xi, xj son fracciones molares, Mi, Mj son los pesos moleculares, y μi, μj son las viscosidades de las especies i y j que contiene la mezcla. Nótese que cuando i = j, φij = 1. • Mezcla de gases a alta presión. Método de Dean y Stiel Para mezcla de gaseosas de hidrocarburos e hidrocarburos a alta presión (no aplicable a gases que no son hidrocarburos) arriba de Tr = 0.6, los valores de viscosidad obtenidos a baja presión se corrigen por la presión por el método de Dean y Stiel dado en la siguiente ecuación: ⎛ ⎜ ⎝

μ = ⎜ 5 * 10 −8

M 0.5 Pc2 / 3 Tc1 / 6

[exp(1.439 ρ

) − exp(− 1.11ρ 1r .858 )]⎟⎟ + μ o ⎞

r

⎠

La presión y temperatura crítica están en Pa y K, la viscosidad en cp. La viscosidad con subíndice cero es la viscosidad del gas o mezcla de gases determinada de acuerdo a los métodos anteriores considerando baja presión. • Gases puros a baja presión. Método de Reichenberg Para gases polares a baja presión (no hidrocarburos) la viscosidad se puede estimar por el método de Reichenberg dado por:

μ=

ATr

[1 + 0.36Tr (Tr − 1)]1 / 6

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21

OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I)

Para compuestos orgánicos: A=

M 1 / 2Tc ∑ ni C i

Para gases inorgánicos: ⎡ M 1 / 2 Pc2 / 3 ⎤ A = 1.6104 * 10 −10 ⎢ ⎥ 1/ 6 ⎣⎢ Tc ⎦⎥

Las viscosidades se dan en Pa-s (1000 cp = 1 Pa-s) con la Tc = K y Pc = Pa. Los valores de C (contribución de grupos) para compuestos orgánicos se dan en la tabla 1.III. • Gases Puros a alta presión. Método de Stiel y Thodos Para gases polares y no-polares (no hidrocarburos) a alta presión, este método depende de la densidad reducida como un factor de corrección para la viscosidad determinada como gas a baja presión (μo). Las expresiones a emplear dependen de la densidad reducida de acuerdo a:

(μ − μ )B = 1.656 * 10 ρ ≤ 0.9 ⇒ (μ − μ )B = 6.07 * 10 (9.045 ρ + 0.63) ≤ 2.2 ⇒ log{4 − log[(μ − μ )10 B ]}= 0.6439 − 0.1005 ρ ≤ 2.6 ⇒ log{4 − log[(μ − μ )10 B ]} = 0.6439 − 0.1005 ρ

ρ r ≤ 0.1 ⇒ 0.1 ≤ ρ r 0. 9 ≤ ρ r

2.2 ≤ ρ r

−7

o

1.111 r

−9

o

o

7

o

7

r

1.739

r

r

(

− 4.75 * 10 − 4 ρ r3 − 10.65

)

2

B = 2173.424Tc1 / 6 M −1 / 2 Pc−2 / 3

Una extensión a este método para gases no-polares es el propuesto por Jossi: 0.1 < ρ r < 3.0 ⇒

[(μ − μ )B10 o

7

]

+1

1/ 4

= 1.023 + 0.23364 ρ r + 0.58533 ρ r2 − 0.40758 ρ r3 + 0.093324 ρ r4

En todos los cases las viscosidades están en Pa-s, con Tc en K y Pc en Pa.

DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) Tabla 1.III. Valores de contribución de grupos. 11

Grupo

Contribución Ci x 10-8 m-s-K/kg 0.904 0.647 0.267 -0.153 0.768 0.553 0.178 0.741 0.524 0.691 0.116 0.023 0.590 0.359 0.446 1.006 1.283 0.796 0.359 1.202 1.402 1.865 1.341 0.971 0.368 0.497 1.813 0.886

11

Perry´s Chemical Engineers´ Handbook, Seventh Edition DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) 1.6 Estimación de Viscosidad en Líquidos

• Teoría de Eyring 12 En un líquido puro en reposo sus moléculas están en movimiento constante, pero debido a su compacto “empacamiento” este movimiento se debe prácticamente a la vibración de cada molécula dentro de una “jaula” o retícula formada por las moléculas más próximas. Esta jaula está representada por una barrera de energía potencial de altura ΔGo++/Ñ, la teoría de Eyring supone que un fluido en reposo sufre reordenaciones continuas donde una molécula escapa de una jaula a un hueco adyacente. De esta manera las moléculas se mueven dando saltos de longitud a y frecuencia molecular k, donde k esta dada por la ecuación de velocidad: KT − ΔGo+ + / RT e h Donde K y h son las constantes de Boltzmann y Plank, R es la constante molar de los gases, y ΔGo++ es la energía libre de activación molar del fluido en reposo. k=

Si el fluido fluye con un gradiente de velocidad dvx/dy, la frecuencia de las reordenaciones moleculares aumenta. Este efecto se explica teniendo en cuenta que la barrera de energía potencial se distorsiona a causa del esfuerzo aplicado, τ, tal que:

⎛ a ⎞⎛ τ yxV ´ ⎞⎟ − ΔG + + = −ΔGo+ + ± ⎜ ⎟⎜⎜ ⎝ δ ⎠⎝ 2 ⎟⎠

Donde V´ es el volumen molar del líquido, ±(a/δ)τxyV´/2 es el trabajo transmitido a las moléculas que se mueven hacia la cima de las barreras de energía (“+” si se mueven a favor del esfuerzo cortante aplicado o “-“ si es contra). Llamando kf a la frecuencia de saltos hacia delante y kb a la de los saltos hacia atrás, se tiene que:

KT −ΔGo+ + / RT aτ yxV ´/ 2δRT e e h KT −ΔGo+ + / RT −aτ yxV ´/ 2δRT kb = e e h

kf =

La velocidad neta con que las moléculas de la capa A se ponen delante de las de la capa B, es el camino recorrido en un salto “a” por la frecuencia neta de los saltos hacia delante (kf - kb):

(

v xA − v xB = a k f − k b

Dado que el perfil de velocidad es lineal en la pequeñísima distancia δ comprendida entre las capas A y B, entonces: Sustituyendo las expresiones para kf y kb, se obtiene:

−

dv x a ⎛ KT − ΔGo+ + / RT = ⎜ e δ⎝ h dy =

)

− aτ V ´/ 2δRT ⎞ ⎞⎛ aτ xyV ´/ 2δRT − e xy ⎟⎜ e ⎟ ⎠ ⎠⎝

a ⎛ KT − ΔGo+ + / RT e ⎜ δ⎝ h

Este modelo predice el flujo no-newtoniano de los líquidos en general (esta ecuación tiene la misma forma del modelo de Eyring). Si el término del seno hiperbólico es pequeño comparado con la unidad, entonces la ecuación anterior concuerda con la ley de Newton donde la viscosidad es: 12

(

dv x a = k f − kb dy δ

−

)

μ=

aτ xyV ´ ⎞ ⎞⎛⎜ ⎟ ⎟⎜ 2 senh 2δRT ⎟⎠ ⎠⎝

δ Ñh a V´

++ e ΔGo / RT

Fenómenos de Transporte. Bird, Steward, Lightfoot, pp 1-10. DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) Donde Ñ representa el número de Avogadro. Generalmente el término (δ/a) es la unidad. La expresión anterior también se ha correlacionado con la temperatura normal de ebullición, obteniéndose la siguiente expresión:

μ=

Ñh 3.8Tb / T e V´

Ambas expresiones indican que la viscosidad disminuye exponencialmente con la temperatura, lo cual está de acuerdo con el comportamiento observado con la mayoría de los líquidos. Estas ecuaciones no son muy exactas (hasta 30% de error) pero son útiles para una estimación aproximada. No es recomendable su aplicación para moléculas lineales muy largas, p.e. n-C20H42. • Líquidos Puros. Método de Velzen 13 La estimación de la viscosidad de hidrocarburos puros y nohidrocarburos puros, se puede realizar por medio de la siguiente expresión la cual depende de la contribución de grupos para el cálculo de la constante B y To.

⎛1 1 ⎞ ⎟ − 3.0 log μ = B⎜⎜ − ⎟ ⎝ T To ⎠

La viscosidad se da en Pa-s. Si se elimina el término –3.0 las unidades de la viscosidad son cp. T es la temperatura en K. N o = N + ∑ ΔN i To se calcula por las ecuaciones siguientes, i o de acuerdo al valor de N (número de N o ≤ 20 ⇒ T = 28.86 + 37.439 N o − 1.3547 N o 2 + 0.02076 N o3 o carbones ajustados) que incluye los 0 o términos de N (número de carbones reales) N > 20 ⇒ To = 8.164 N + 238.59 y la contribución de grupos tomada de la tabla 1.IV. B es calculado de acuerdo a la siguiente B = Ba + ∑ ΔBi expresión, usando Ba como se indica el cual i depende del valor de No y la contribución N o ≤ 20 ⇒ B = 24.79 + 66.885 N o − 1.3173 N o 2 − 0.00377 N o3 a de grupos de la tabla 1.IV. o N > 20 ⇒ Ba = 530.59 + 13.74 N o No se sugiere el uso de este método para el primer miembro de una serie homóloga o para temperaturas arriba del punto normal de ebullición (Tr ≈ 0.75) EJEMPLO 1.1 Estime la viscosidad del cis-1,4-dimetilciclohexano a 0°C. SOLUCION. Primeramente se determina la contribución de grupos, en este caso el compuesto esta formado por dos grupos metilo y un grupo ciclohexano, por tanto de la tabla 2.II:

Grupo Ciclohexanos n-alcanos

# de grupos (ni) 1 2

ΔNi 1.48 0

ΔBi (*) -272.85+25.041No 0

(*) Como N< 17, se usan estos datos

N o = N + ∑ ΔN i = 8 + (1)(1.48) + (2)(0) = 9.48

El valor de No es (este compuesto tiene 8 carbones en su estructura, N = 8): De acuerdo al valor de No, la ecuación de To a emplear es:

i

To = 28.86 + 37.439 N o − 1.3547 N o 2 + 0.02076 N o3 = = 28.86 + 37.439(9.48) − 1.3547(9.48) 2 + (0.2076)(9.48) 3 = 279.72

Para calcular B, se requiere conocer el valor de B = 24.79 + 66.885 N o − 1.3173 N o 2 − 0.00377 N o3 = a Ba : = 24.79 + 66.885(9.48) − 1.3173(9.48) 2 − 0.00377(9.48) 3 = 537.26 13

Perry´s Chemical Engineers´Handbook, Seventh Edition. DR. J. PORCAYO-CALDERON

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Por tanto en valor de B, es:

OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) B = Ba + ∑ ΔBi = 537.26 + (1)[− 272.85 + 25.041(9.48)] = 501.8 i

El valor estimado de la viscosidad es:

⎛1 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 log μ = B⎜⎜ − ⎟⎟ − 3.0 = 501.8⎜ − ⎟ − 3.0 = −2.9569 ⎝ 273.15 279.72 ⎠ ⎝ T To ⎠ μ = 0.001104 Pa − s = 1.104cp

El valor experimental a 0°C es 1.224 cp.

14 15

• Mezcla de líquidos. Método de Kendall y Monroe 14 Para estimar la viscosidad de mezclas de hidrocarburos definidos, se recomienda la siguiente expresión que depende solamente de las viscosidades de los componentes puros a la temperatura y presión de la mezcla:

μ m = ⎜⎜ ∑ xi μ i1 / 3 ⎟⎟

• Mezcla de líquidos no-hidrocarburos 15 El Technical Data Manual recomienda la expresión:

ln μ m = ∑ x i ln μ i

⎛

⎞

n

⎝ i −1

3

⎠

i

Perry´s Chemical Engineers´Handbook, Seventh Edition. Perry´s Chemical Engineers´Handbook, Seventh Edition. DR. J. PORCAYO-CALDERON

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) Tabla 1.IV. Valores de contribución de grupos para la predicción de viscosidades de líquidos. 16

Estructuras o grupos funcionales

16

ΔNi

ΔBi

Consideraciones

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) Valores de contribución de grupos para la predicción de viscosidades de líquidos (continuación).

Estructuras o grupos funcionales

ΔNi

ΔBi

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Consideraciones

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I) EJERCICIOS

1.

En la tabla siguiente se muestran los valores de velocidad de corte (dvy/dx) y esfuerzo cortante (τxy) para un producto lácteo fermentado con un contenido de grasa de 0.5% determinados a 15°C (Datos extraídos de: http://wwwce1.kat.lth.se/staff/ulf_b/b5_rheo.htm). Datos reológicos del producto lácteo fermentado con 0.5% de grasa dvy/dx [s-1]

18

37

71

136

290

570

τxy [Pa]

4.4

5.5

7.11

8.91

12.65

17.29

a) Grafique estos datos e indique a que modelo reológico se ajustan los datos experimentales. b) Asumiendo que los datos experimentales de ajustan a un modelo Hershey-Bulkley determine los parámetros y modelo reológicos considerando un esfuerzo de cedencia de 2 Pa. c) Asumiendo que los datos experimentales de ajustan a un plástico de Bingham determine los parámetros y modelo reológicos considerando un esfuerzo de cedencia de 2 Pa. d) Asumiendo que los datos experimentales se ajustan al modelo de Ostwald-de Wale, determine los parámetros y modelo reológicos necesarios para predecir el comportamiento del fluido. e) De acuerdo a la correlación de los datos experimentales, indique que parámetros o parámetro reológico es más sensible de error. γ [1/s] 13.7 7 4.4 2.42 0.36 0.16

τ [dinas/cm2] 1,380 900 740 528 256 225

2.

(Charm63). Una muestra de chocolate fue evaluada en un viscosímetro coaxial de espacio estrecho. Los datos de τ y γ se presentan en la tabla siguiente. Determine las constantes de flujo para el chocolate.

3.

Predecir la viscosidad del oxígeno, nitrógeno y metano moleculares, a la presión atmosférica y 20°C. Expresar todos los resultados en cp. Compare sus resultados con los valores experimentales que se indican en el capítulo 1 del texto “Fenómenos de Transporte” de Bird, Steward and Lighfoot.

4.

Se conocen los siguientes datos de la viscosidad de las mezclas de hidrógeno y freón-12 (diclorofluorometano) a 25°C y 1 atm. Calcular y comparar los resultados obtenidos mediante las ecuaciones siguientes, para las tres presiones intermedias, utilizando los datos de la viscosidad de los componentes puros. X1 Fracción molar de H2 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 n

μ mezcla = ∑

i =1

xi μi n

∑ x jφij

μ [g/cm-s] 0.000124 0.000128 0.0001319 0.0001351 0.0000884

M ⎞ 1 ⎛⎜ φ ij = 1+ i ⎟ ⎜ M j ⎟⎠ 8⎝

−1 / 2 ⎡

j =1

⎛ ⎢1 + ⎜ μ i ⎢ ⎜μj ⎢⎣ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1/ 2

⎛M j ⎜ ⎜M ⎝ i

1/ 4 ⎤

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

⎥ ⎥ ⎥⎦

5.

Estimar la viscosidad del N2 a 20°C y 67 atm, utilizando (a) el gráfico de viscosidades reducidas contra temperatura reducida y μc = 0.00018 poise, (b) el gráfico de viscosidades reducidas contra presión reducida y μo = 0.000175 poise. Expresar los resultados en kgm/m-s. (Faltan datos de Tc y Pc )

6.

Estime la viscosidad de los vapores del alcohol isopropílico a 251°C y presión atmosférica.

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OPERACIONES UNITARIAS I (UNIDAD I)

TAREAS

Se establecerán en clases.

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