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• Alberto Ezequiel León Tamayo

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• Acero
• El módulo de Young
• Concreto reforzado
• Deformación (ingeniería)

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CLASE No 3. RELACION ESFUERZO-DEFORMACIÓN EN CONCRETO CONFINADO. MODELO DE MANDER ET AL. Posgrado Ingeniería, UNAM Mario E. Rodríguez Febrero 12, 2014

Figura 1Curvas esfuerzo-deformación del concreto sin confinar y confinado. Los esfuerzos y deformaciones en el concreto que se muestran en la Fig 1 se expresan de manera adimensional mediante: y

fc   f 'cc

x

εc   εcc

(1) 

(2)

La expresión para la curva esfuerzo-deformación del concreto confinado es: y

xr r 1 x

(3)

r

Ec Ec  Esec

(4)

Esec 

f´cc εcc

(5)

1   

  f'  εcc  0.002 1  5 cc  1  f 'c  

(6)

  7.94 f 'l f' f´cc   2.254 1   2 l  1.254  f'c f'c  

(7)

Parámetro f’l en una sección circular El parámetro f’l es el esfuerzo lateral de confinamiento efectivo dado por el refuerzo transversal, y es función del esfuerzo lateral de confinamiento máximo en una sección circular, fl, definido como: fl 

2 f yh Asp D' s

(8)

Además: ρs 

4 Asp sD'

(9)

(8) y (9) 1 fl  ρs f yh 2

(10)

El parámetro f’l es una fracción de fl y es igual a: f 'l  K e fl

(11)

Donde para una sección circular se considera Ke=0.95 Parámetro f’l en una sección rectangular En una sección rectangular es posible tener cuantías de refuerzo transversal diferentes en ambas direcciones principales, ρx y ρy, por lo que hay expresiones de confinamiento para cada dirección.

2   

Figura 2 En la sección de la Fig 2, si Asx es el área total del refuerzo transversal en la dirección x , y si bc y dc son las dimensiones a ejes del refuerzo transversal en las direcciones x y y, respectivamente, se tiene: ρx 

Asx bc Asx  bc d c s d c s

(12)

Similarmente ρy 

Asy

(13)

bc s

En una sección rectangular el esfuerzo lateral máximo de confinamiento en la dirección x se encuentra empleando el equilibrio de la fuerza máxima del refuerzo transversal, Asx fyh, y la fuerza de confinamiento flx s dc lo que lleva a: f lx 

Asx f yh  ρx f yh (14) sd c

Similarmente f ly  ρ y f yh

(15)

Los valores flx y fly se convierten a valores de confinamiento efectivo, lo que se debe a la menor eficiencia de confinamiento de un refuerzo transversal rectangular respecto a uno circular, como muestra la Figura 3, lo que lleva a los confinamientos efectivos f’lx y f’ly: f 'lx  K e ρx f yh

(16)

3   

f 'ly  K e ρ y f yh

(17)

Donde Ke es igual a 0.75 para secciones rectangulares y 0.6 para secciones rectangulares de muros.

Figura 3. Confinamiento efectivo en columnas La deformación última del concreto en compresión correspondiente a la fractura del refuerzo transversal, εcu, es (Priestley et al., 1996) εcu  0.004 

1.4ρs f yh εsu f 'cc

(18)

Donde εsu es la deformación última del acero de refuerzo transversal y ρs está dado por la ec (9) en secciones circulares y es igual a ρx+ρy en secciones rectangulares.

4   

CLASE No 4. ACERO DE REFUERZO EN ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO Posgrado Ingeniería, UNAM Mario E. Rodríguez Febrero 14, 2014

INTRODUCCIÓN En estructuras de concreto reforzado es relevante conocer el comportamiento del acero de refuerzo, dado que es parte fundamental en la respuesta de un elemento de concreto reforzado a todo tipo de acción particularmente en el caso de acciones sísmicas. En lo que sigue se evalúa este comportamiento tanto en el estado monotonico de cargas como en el caso cíclico típico de acciones sísmicas. Es necesario hacer énfasis en reconocer la variabilidad de las propiedades mecánicas del acero de refuerzo, lo que también se evalúa en esta sección.

CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN DE ACEROS DE REFUERZO Es común que en los procedimientos de diseño de estructuras de concreto se considere que la curva esfuerzo-deformación del acero de refuerzo es del tipo elastoplástico, es decir se ignora las características reales de la curva esfuerzo-deformación del acero. . Este es el caso del ACI 318-11. En esta normativa, para el diseño por capacidad de elementos de concreto reforzado en zonas sísmicas se considera un incremento de la capacidad resistente a fluencia del acero, para lo cual se emplea el factor 1.25, con el fin de tomar en cuenta dos factores, la relación de la resistencia a fluencia medida a la especificada, así como el incremento de resistencia debido al endurecimiento por deformación. Como se comenta más adelante, este factor podría estar subestimado.

1   

CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN MONOTÓNICA TÍPICA DE ACEROS DE REFUERZO La Fig 1 muestra una curva esfuerzo-deformación típica de aceros de refuerzo considerando un comportamiento monotónico. Las zonas de esta curva son las siguientes: 0

s

y

    , donde  es la deformación de s

1) Zona elástica: ocurre en el intervalo

la barra de refuerzo. Si el módulo de elasticidad del acero es Es, el esfuerzo en este

  

s



Es

fs

intervalo de deformaciones es

(1)

, en el que 

h s

h s

s

y

2) Zona de fluencia: ocurre en el intervalo     

es la

deformación del acero correspondiente al inicio de la zona de endurecimiento por deformación (Fig 1). El esfuerzo en esta zona se evalúa como

fy

fs



(2)

 

3) Zona de endurecimiento por deformación: en el modelo que aquí se emplea se u s

considera que la deformación última, 

, es la correspondiente a la ruptura de la

barra, y en modelo simplista que aquí se emplea se considera que corresponde al 2   

u fs

. Esta zona se ubica en el intervalo

hay una zona descendente de la curva

u s

s

    . En realidad a partir de

h s



u fs

esfuerzo máximo alcanzado en la barra,

esfuerzo-deformación,; sin embargo, aquí se considera que esta zona no es de importancia. La zona de endurecimiento por deformación se define mediante la expresión (Mander, 1984): P

u fs

fy

s

u s

h s

     ︶       u s

fy

fs

 ︵ 

 

(3) 

h s

s

, con lo que se obtiene



h

Es

fs s dd

y haciendo   

s

El parámetro P propuesto por Mander (1984) se define diferenciando la Ec 3 respecto a 

    

(4) 

Donde Esh representa la pendiente de la curva al inicio de la zona de endurecimiento por deformación. Con las Ecs (3) y (4) se obtiene h

h

u fs



sfy

  u s

Es

P 

(5)

Aun cuando la Ec (5) lleva a una buena correlación entre resultados experimentales y analíticos (Mander, 1984), un inconveniente del empleo de Esh es que variaciones pequeñas de valores experimentales que se empleen pueden llevar a cambios importantes en los valores de P, por lo que es más sencillo y con mejor precisión emplear los datos de un ︶ , con lo cual empleando la Ec 3 se obtiene: 1

s

,h 1

1

      u

P

u s

1 h s

u s

h s

g l



hfy fs

g l

ufs fs

︵ 

h fs

punto de la curva esfuerzo-deformación en la zona de endurecimiento por deformación

(6)

s

La inspección de las Ecs que definen fs en los diferentes intervalos de  indican que hay cinco parámetros básicos que permiten definir fs y son: fy , fsu , εsh, εsu, Es, y P . Como P y Esh

3   

están relacionados, se podría usar Esh ; sin embargo, por las razones arriba mencionadas se sugiere emplear P definido con la Ec (6). VALORES TIPICOS DE LOS PARÁMETROS QUE DEFINEN LA CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN DE BARRAS DE REFUERZO PRODUCIDOS EN MEXICO Rodríguez y Botero (1996) estudiaron un total de 100 probetas de barras de refuerzo, obtenidas de manera aleatoria del mercado nacional en 1993, con el fin de obtener los valores de los parámetros aquí descritos que permiten definir la curva esfuerzodeformación monotonica. La Tabla 1 muestra los estadísticos encontrados para las barras: Tabla 1. ESTADÍSTICOS DE BARRAS ENSAYADAS f y (kg/cm²) X S V

4591 288 0.0630

 sh 0.0075 0.0052 0.6870

f su (kg/cm²) 7465 250 0.0340

 su 0.1289 0.0229 0.1780

 suu 0.1754 0.0618 0.3520

P 3.421 0.366 0.1070

 

En la Tabla 1 los parámetros X, S y V corresponden a la media, desviación estándar y coeficiente de variación, respectivamente, el parámetro εsuu corresponde a la fractura del refuerzo. CURVAS ESFUERZO-DEFORMACIÓN EN BARRAS DE REFUERZO SOMETIDAS A CARGA MONOTONICA EN COMPRESIÓN SIN PANDEO (BARRAS CORTAS) Generalmente se considera que la curva esfuerzo-deformación de una barra corta en compresión es igual y con signo opuesto a la curva en tracción. Dodd y Restrepo (1995) han mostrado que en realidad las curvas monotónicas esfuerzo-deformación en tensión y compresión son en realidad prácticamente iguales si el esfuerzo y deformación se consideran en las llamadas coordenadas naturales, las cuales toman en cuenta la geometría instantánea de la barra bajo cargas axiales. Estas coordenadas son diferentes a las 4   

comúnmente empleadas, las que aquí denominamos coordenadas ingenieriles.

Estas

coordenadas se describen a continuación.



 

lo o l l l d

l





lo





(7)

 





lo

P Ao 1 lo

El esfuerzo de ingeniería, σ, y la deformación de ingeniería, ε, se definen como:

 

 

(8)

 

l

lo

donde

es la longitud inicial del elemento, l es la longitud instantánea del elemento,  

es el cambio de longitud del elemento, P es la carga axial, y Ao es área inicial del elemento. '

l lo

︵ ︶    

lo

 

n l

l

´

ll d

La deformación en las coordenadas naturales,  , se define como (Dodd y Restrepo, 1995): (9)

1 n l ´

y la deformación natural e ingenieril se relacionan con:   ︵ ︶     (10) El concepto de esfuerzo en coordenadas naturales describe mejor el esfuerzo actuante en un

´

 

PA

elemento. Este esfuerzo, σ´, está relacionado con el área instantánea, A, y se define como:  

 

(11)

Los esfuerzos en coordenadas naturales y de ingeniería se relacionan mediante (Dodd y

1



´

Restrepo, 1995):



︵

   ︶

 

(12)

Considerando que las curvas en tracción y compresión son iguales y opuestas en el sistema de coordenadas naturales, (Dodd y Restrepo, 1995) han mostrado que en las coordenadas de ingeniería, el esfuerzo en tracción, σs, y la deformación en tensión, εs, corresponden al esfuerzo en compresión, σsc, y deformación en compresión, εsc, respectivamente, y se 2

 ︶     s

s

 ︵

c s



1

pueden relacionar mediante: (13) 5   

s

     

1

(14)

s



c s

  

12000

10000

 (kg/cm²)

8000

6000

4000

Tensión Compresión experimental

2000

compresión teórico

0 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

 in/in

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

 

ACEROS DE REFUERZO PRODUCIDOS EN MEXICO En México se producen dos tipos de acero, equivalentes a los de la Norma ASTM, ASTM 615 y ASTM 706. El primero corresponde a la norma Mexicana NMX-B-506CANACERO-2011, y se produce con valores especificados de fy iguales a 4,200 y 5,200 kg/cm2. El segundo tipo de acero, que se considera soldable, es el que sigue la Norma NMX-B-457-CANACERO-2013, y se produce con valores de fy iguales a 4,200 y 5,600 kg/cm2. Además de la soldabilidad, una ventaja de este último acero respecto al de la norma Mexicana NMX-B-506-CANACERO-2011, es que el alargamiento mínimo especificado por la norma NMX-B-457-CANACERO-2013 es mayor, en algunos casos en 50%, que los valores especificados por la norma NMX-B-506-CANACERO-2011, es decir se esperaría una mejor respuesta sísmica del elemento estructural.

6   

REFERENCIAS Rodríguez, M, Botero, J.C.(1995). "Comportamiento sísmico de estructuras considerando propiedades mecánicas de aceros de refuerzo mexicanos". Revista Ingeniería Sísmica, Sociedad Mexicana de Ingeniería Sismica. 1995, No 49, pp 39-50. . Rodriguez, M., Botero, J.C "Aspectos del comportamiento sísmico de estructuras de concreto reforzado considerando las propiedades mecanicas de aceros de refuerzo producidos en Mexico". Publicación de la series del Instituto de Ingeniería, No 575, Enero 1996. . Rodriguez, M y Botero, JC "Comportamiento de barras de refuerzo sometidas a cargas monotonicas y ciclicas reversibles incluyendo pandeo". Publicación de la series del Instituto de Ingeniería, No 610, Noviembre 1998. . Rodríguez, M, Botero, J.C. (1997) “Evaluación del comportamiento de barras de acero de refuerzo sometidas a cargas monotónicas y ciclicas reversibles incluyendo pandeo”. Revista Ingeniería Sísmica, Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica Vol 56, 9-27 Norma Mexicana NMX-B-506-CANACERO-2011, “Industria Siderurgica-Varilla corrugada de acero para refuerzo de concreto- Especificaciones y método de prueba. Norma Mexicana NMX-B-457-CANACERO-2013, “Industria Siderurgica-Varilla corrugada de acero de baja aleación para refuerzo de concreto- Especificaciones y método de prueba”. Dodd, L. L., and Restrepo-Posada, J. I. (1995). ‘‘Model for predicting cyclic behavior of reinforcing steel.’’ J. Struct. Engrg., ASCE, 121(3), 433–445.

7   

CLASE N0 5. RELACIONES ESFUERZO DEFORMACIÓN PARA ACERO DE PRESFUERZO Y DE ALTA RESISTENCIA Mario Rodriguez, Miguel Torres Posgrado de Ingeniería, UNAM 18-02-14

Las relaciones esfuerzo deformación del acero de alta resistencia tipo Grado100 tiene semejanza con el correspondiente al de las barras de pretensado de alta resistencia fabricado con los requisitos de la norma ASTM A722 (ASTM A 22-2003). Las relaciones esfuerzo – deformación de este tipo de acero, así como del acero de prefuerzo (Norma ASTM A-416) se pueden representar por la función modificada Ramberg-Osgood descrita más adelante. La ecuación Ramberg-Osgood describe la relación no lineal entre el esfuerzo y la deformación, esto es la curva esfuerzo-deformación y es especialmente útil para representar la curva del acero debido a que presenta endurecimiento por deformación plástica con una suave transición elasto-plástica. La forma original de la ecuación para la deformación es la siguiente. =

+

donde : es la deformación : es el esfuerzo : es el módulo de Young : son constantes que dependen del tipo de material y describen el endurecimiento del material La expresión anterior presenta una modificación , Fig 1, introduciendo un nuevo parámetro que relaciona , y el esfuerzo de fluencia . =

+

1

Usualmente en materiales como el acero de alta resistencia el factor

es supuesto igual

a 0.002. σ σo

E

α σo E

ε

σo E

Figura 1. La función modificada Ramberg Osgood Mattock (1979) encontró que la función propuesta por Ramberg y Osgood (1943) describe la relación Esfuerzo-deformación del acero de alta resistencia empleado en el concreto pretensado.

fs ( εsu , fsu )

( εym , fym ) Ep

fo

Es

0.002

εs

εym

Figura 2. Relación esfuerzo deformación del acero de alta resistencia y de la barra de presfuerzo La Figura 2 muestra la relación entre el esfuerzo y la deformación monotónica para el acero de alta resistencia y para las barras empleadas en elementos pretensados. Una forma modificada de la ecuación Ramberg-Osgood está dado por la siguiente expresión. =

+

1− (1 + (

) )

/

2

donde: = 1−

/ , factor constante

, módulo de Young (ksi o MPa) e igual 29000 ksi (200 GPa) , módulo pos-elástico, igual cero para el acero Grade 100 , esfuerzo a deformación cero de la línea con pendiente ( , ,)

pasando por el punto

, esfuerzo (en ksi o MPa) , resistencia última a tracción del acero, intervalo de variación 1.15

a 1.25

, esfuerzo de fluencia especificado 0.2% - fy=100 ksi (690MPa) , esfuerzo de fluencia medido a 0.2% de deformación- intervalo esperado 100 a 115 ksi (690 a 794 MPa) , potencia de la ec. R-O determinado mediante iteraciones (adimensional)

o por otros métodos

, deformación unitaria , deformación asociada a

,

≥ 0.06

, deformación de fluencia al 0.2% obtenido mediante

+ 0.002

La función descrita tiene una pendiente inicial y tiende a cuando la deformación . La potencia controla la “suavidad” de la curva de transición entre la zona tiende a elástica y la zona de endurecimiento por deformación. Sin embargo, se necesita que la función pase por el punto ( , ) para un único valor de . La mayor dificultad para obtener la curva la función R-O el calcular la potencia , dado que no hay una solución cerrada se debe emplear una solución numérica. Restrepo(**) ha propuesto una expresión empírica para calcular la potencia para el acero Grado 100 y está dado por la siguiente expresión. = 15.6

− 42.2

+

+ 29.5

3

Skogman et al (1988) y Davalapura yTadros (1992) presentan unaexpresión para la predicción de la curva esfuerzo–deformación para algunos tipos de acero de pretensado.

=

1−

+

/

1+ Donde fps es el esfuerzo correspondiente a la deformación ps, E, Q, K y R son constantes para definir una curva adecuada, y fpy es el esfuerzo a 1% de deformación. El esfuerzo fpy se obtiene de resultados experimentales o con los estándares mínimos especificados por ASTM. Por ejemplo ASTMA-416 especifica que el mínimo fpy para Grado 270, acero de baja relación debe ser igual a 0.9 del esfuerzo de ruptura fpu, i.e. 0.9(270)=243 ksi (1676 MPa). Devalapura y Tadros et al (1992) proponen una expresión para aceros de baja relajación Grado 270 Ksi que se muestra a continuación, el cual predice la curva esfuerzodeformación con errores del orden de 1% respecto a valores experimentales, ver Fig 3:

Figura 3 Curva esfuerzo-deformación para torones de presfuerzo

4

=

+

/

1+

≤

Donde − −

=

=( − ) = / , es el esfuerzo correspondiente a la intersección de las líneas correspondientes a la línea con pendiente elástica E y la línea con pendiente poselástica . Una aproximación razonable para calcular es 1.04 . En la notación de Tadros et al (1992) se emplean los siguientes parámetros , esfuerzo en refuerzo pretensado en flexión última , resistencia a tracción especificada de tendones de pretensado , resistencia especificada de fluencia de tendones de pretensado , esfuerzo en refuerzo pretensado en flexión última , , , , , , , constantes empleadas en la fórmula , deformación en tendones pretensados en flexión última , deformación última en tendón pretensado

5

Referencias Skogman, CB., Tadros, M. K. y Grasmick, R., “ Flexural Strength of Prestressed Concrete Members”, PCI JOURNAL, V. 33, No5, September- October 1988,pp.9 6-123. Devalapura R., Tadros M., “Stress-Strain Modeling of 270 ksi Low-Relaxation Prestressing Strands”, PCI Journal, March-April 1992 Mattock, A.H., “Flexural Strength of Prestressed Concrete Section by Programmable Calculator,” PCI Journal, V. 24, No 1, 1979, pp. 32-54. ASTM A722 (2003), Standard Specification for Uncoated High-Strength Steel Bars for Prestressing Concrete”, ASTM Ramberg, W. and Osgood, W. R., “ Description of stress-strain curves by three parameters” . Technical Note No.902, National Advisory Commmittee for Aeronautics, Washington DC., 1943.

6

FLEX XIÓN EN ELEMEN NTOS DE E CONCRE ETO REF FORZADO O Mario Rodriguez Posgraado Ingenierria-UNAM 18-02--14

HIPO OTESIS BAS SICAS La ressistencia a flexión f en elementos e de d concreto reforzado sse basa en el empleo ddel llamad do bloque eq quivalente, con c el cual see pretende reepresentar laa verdadera ddistribución de esfuerrzos en la zo ona en comprresión de un na sección enn flexión. L La Fig 1 mueestra el ensaaye del esp pécimen en laboratorio estudiado e po or Mattock, Kriz y Hoggnestad (19661) para definnir el refeerido bloque equivalentee. Los valorres de las fueerzas P1 y P2 en la Fig 1 se aplicarron de maanera que el eje neutro, o fibra de deeformación nnula, se ubiqque en el exxtremo inferiior del esp pécimen. Po or equilibrio o se podía co onocer la fueerza resultannte en comppresión, C, y la ubicacción de estaa fuerza en la sección, ver Fig 1,, los que see igualaron a los valorres definid dos como k1 k3 f’c bc y (1-k2)c , respectivamentee.

Figura 1. Ensaye dee espécimen n por Mattockk, Kriz y Hoognestad (19961)

1   

La Fig gura 2 mueestra la posiible distribu ución no linneal de esfuuerzos en laa sección y su representación con un bloquee equivalentte, se debe observar quue los parám metros k1 y k3 definee la fuerza en n compresió ón C y el parrámetro k2 ddefine la possición de estta fuerza enn el bloquee equivalentee.

Fiigura 2. Disttribuciones de d esfuerzo nno lineal y reectangular

oque equivaalente tiene un esfuerzzo constantee igual a 00.85f’c, y uuna Notar que el blo profun ndidad a: a= β1c

(1)

verem mos que depende del valo or de f’c.

c b 'c f k3 k1

b a

´c f 5 8 . 0

Del eq quilibrio de fuerzas f de am mbas distribu ucione se obbtiene 

   

De don nde

ac

5 8 . 0

k3 k1



 

 

 

 

(3) (

(2)

 

1



5 8 . 0

k3 k1

Combinando (1) y (2)

De la Fig F 2 2   

a

5 . 0

c k2 

   

 

(4)

Combinando (1) y (4): 5 . 0



1

k2



(5)

Las ecs (3) y (5) sugiere que si seleccionamos un valor apropiado para β1 que satisfaga estas ecs, ese valor de β1 sería la solución a emplear. Esto lo pudieron hacer Mattock et al (1961) del ensaye de espécimen descrito, para lo cual graficaron los valores medidos de k1 k3, y de k2, contra f’c, como muestra la Fig 3:

Figura 3. Calibración de parámetro β1 por Mattock et al. (1961)

El valor seleccionado para β1 se definió como: β1 = 0.85 para 170 ≤f’c ≤ 280 kg/cm2 3   



︵

2 m c / g k

0 0 'c4 f 1 5 0 . 1

1

 

︶ para 280 0 ≤f’c ≤560 kkg/cm2

β1 =0.65 para 560 0 ≤f’c

ENERALES S Y REQUIISITOS DE DISEÑO P POR FLEXIIÓN PRINCIPIOS GE

Desdee el ACI 318 8-2002 se caambiaron loss criterios trradicionales de diseño ppor flexión, en los cu uales se emp pleaba la deenominada cuantía c balannceada, la ccual actualm mente ya no lo emplea el ACI 318. Esta modificación m no fue inclluida en lass NTC de E Estructuras de D de 2004, y recién se incorporará i een la próxim ma versión dee esta normaa Concrreto para el DF El cam mbio princip pal llevado a cabo porr el ACI 318-02 fue ell introducir los concepttos “secciones controladas por co ompresión” y “seccionees controladdas por traccción”, con uuna transicción entre estos e dos casos. c Adem más, se intrrodujo el pparámetro εt , igual a la deform mación del acero a de reffuerzo en traacción más aalejado, verr Fig 4, estoo reconocienndo que el refuerzo en tracción pueede estar en varias capass y no en sóllo una.

Figuraa 4 Distribucción de deforrmaciones y deformaciónn de tracciónn neta en unna sección

4   

a) Caso Secciones controladas por compresión Se refiere a secciones donde el valor de la deformación del acero extremo, εt , es igual o menor que la deformación controlada por compresión de este refuerzo y la deformación máxima del concreto en compresión es 0.003. Para el caso de acero de fy 4200 kg/cm2, se define el límite de la deformación controlada por compresión del refuerzo extremo como 0.002. b) Secciones controladas por tracción Se refiere a secciones donde εt es igual o mayor que 0.005 y la deformación máxima del concreto en compresión es 0.003 c) Zona de transición Secciones con valores de εt entre el límite de deformación controlada por compresión y 0.005 pertenecen a una zona de transición entre secciones controladas por compresión y por tracción.

REFERENCIAS Mattock, A., Kriz, L., y Hognestad E., “Rectangular Concrete Stress Distribution in Ultimate Strength Design”, ACI Journal , Vol 57, No 8, 1961, pp 875-926

5   

CLASE No 7. DISEÑO POR FLEXIÓN. Segunda parte

Posgrado de Ingeniería, UNAM Mario Rodríguez 20-02-14

DEFORMACIONES Y MOMENTO RESISTENTE EN EL LIMITE DE SECCIONES CONTROLADAS POR COMPRESION

a) Deformaciones

b)Bloque equivalente

Figura 1. Deformaciones y fuerzas internas en una sección de CR sometida a flexión. Empleo del bloque equivalente del ACI 318

En este límite εs= εy = 0.002 (acero fy=4200 kg/cm2) Por definición εcu =0.003, de la compatibilidad de deformaciones y de triángulos semejantes:

c=0.6 d

2 0 0 . 0 d 3 0 0 . 0

3 0 0c . 0





(1) 1 

 

de la definición de a: a= β1 c

(2)

de (1) y (2): a= 0.6 β1 d

(3)

Cálculo de fuerzas internas

b

'c f 5 8 . 0

1

c

 

fy As



d

 ︶

d b

' f 1





︵ 

6 . 0

b a

1 5 . 0



'c f 5 8 . 0

F c Fc T

Fc= fuerza en el concreto

 

(4)

 

(5)

Parámetro jd



a2

d

d j 

(6)

De (3) y (6) 3 . 0 1

d

d j

︶  



1

︵

 

(7)

 

 

(8)

1 5 . 0

3 5 1 . 0

n



d j Fc

M

Momento nominal resistente Mn:    

De (4), (7) y (8):

 

21

︵

1

n

2 d b 'c f

M



︶

(9)

Cuantía de acero, ρ , para este caso: Considerando T=Fc, é igualando (4) y (5):

  0.51

1 f 'c fy

(10)

2   

DEFORMACIONES Y MOMENTO RESISTENTE SECCIONES CONTROLADAS POR TRACCION

EN

EL

LIMITE

DE

En este límite, εs= 0.005 Empleando triángulos semejantes en el diagrama de deformaciones de la Fig 1ª: a= 0.375 β1 d

(11)

Con un procedimiento similar al empleado en el caso anterior: 1

c

(12)

8 8 1 . 0 1

d

︶



(13)

1

︵

d b

' f

9 1 3 . 0

d Fc j





De (8), (12) y (13): 21

8 9 5 0 . 0

 

︶

1

︵

9 1 3 . 0

n

2 d b 'c f

M



(14)

Igualando (5) y (12):

  0.319

1 f 'c

(15)

fy

CASO εt =0.00376 Con el procedimiento de caso anterior Del perfil de deformaciones c= 0.444 d a=0.444 β1 d Fc=0.377 β1 f’c b d

(16)

Haciendo As fy igual a Fc: As fy = 0.377 β1 f’c b d

  0.377

1 f 'c fy

(17)

3   

Definición de condición de deformación balanceada: Esta condición existe en una sección transversal cuando el refuerzo en tracción alcanza la deformación unitaria correspondiente a fy al mismo tiempo que el concreto en compresión alcanza su deformación unitaria supuesta de 0.003 (sección 10.3.2 ACI 318-11). Lo anterior lleva a que en el límite de las secciones controladas por compresión se alcanza la condición de deformación balanceada. Empleando entonces la ec (10) para la cuantía asociada a este caso, y llamándola por conveniencia ρb, y dividiendo el valor de ρ de la ec (17) entre este valor definido de ρb se tiene:

  0.75 b Este resultado muestra que el límite 0.75 ρb lleva a que la deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, εt , en el estado de resistencia nominal sea igual a 0.00376. Esta es la base para que el ACI 318-11 en su sección 10.3.5 especifique que “en elementos no presforzados en flexión y elementos no presforzados con carga axial mayorada de compresión menor de 0.10Agf’c, εt en el estado de resistencia nominal no debe ser menor de 0.004”.

Definición de Resistencia de Diseño (Sección 9.3del ACI 318)

Con base en las definiciones dadas de secciones controladas por compresión, controladas por tracción , y secciones en transición, el ACI 318 define que la resistencia de diseño, R, es igual a la resistencia nominal, Rn, multiplicada por el factor  . En secciones controladas por compresión,  es igual a 0.75 en elementos con refuerzo en espiral y 0.6 en otros casos. En secciones controladas por tracción  es igual a 0.9. En secciones en transición se permite emplear una variación lineal desde el caso del límite de secciones controladas por compresión hasta el valor de  0.9, cuando el valor de εt aumente desde el límite de deformación unitaria controlada por compresión hasta el valor 0.005.

4   

COMENTARIOS A LOS RESULTADOS ENCONTRADOS

a) Relación Mn / (f'c b d2) 0.35

Mn / (f'c b d2)

0.30 Seccion_Lim_Traccion Seccion_Lim_Comp

0.25

0.20

0.15 0

200

400

600

f'c (kg/cm2)

Figura 2.Momento nominal adimensional. Casos límites de secciones controladas por compresión y por tracción, fy=4,200 kg/cm2

b) Valor de Mn 250 Seccion_Lim_Traccion Seccion_Lim_Comp

Mn (t-m)

200

150

100

50 0

200

400

600

f'c (kg/cm2)

Figura 3. Momento nominal con dimensiones. Casos límites de secciones controladas por compresión y por tracción, fy=4,200 kg/cm2. Sección b=30 cm, d=65 cm 5   

Se aprecia la tendencia de que para aumento de la resistencia del concreto puede aumentar la resistencia a flexión nominal de la sección de manera considerable. c) Valor de ρ 5% Seccion_Lim_Traccion Seccion_Lim_Comp



4%

3%

2%

1% 0

200

400

600

f'c (kg/cm2)

Figura 4. Cuantías de refuerzo para los casos límites de secciones controladas por compresión y por tracción, fy=4,200 kg/cm2. d) Valor de ρ con el parámetro εt.

ρ fy / (β1 f'c)

0.6

0.4

0.2 0.000

0.002

0.004

0.006

εt Figura 5. Variación de ρ con el parámetro εt.

6   

La Fig 5 muestra cómo el aumento de ρ lleva a menor capacidad de deformación del acero de refuerzo en tracción, por lo que se emplea el límite de 0.004 para εt. y ya no se emplea el concepto de cuantía balanceada, sino el concepto arriba enunciado. El objeto del empleo de este valor de εt es el garantizar una capacidad de deformación mínima de una sección en flexión. La Fig 6 muestra los mismos resultados de la Fig 5 pero para el caso particular fy=4200 kg/cm2, f’c= 300 kg/cm2.

4%

ρ 

3%

2%

1% 0.000

0.002

0.004

0.006

εt Figura 6. Variación de ρ con el parámetro εt. Caso fy=4200 kg/cm2, f’c= 300 kg/cm2

7   

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO POR FLEXION EN EL DF ANTES DE 2004

La Figura 7 muestra el bloque equivalente empleado el DF antes de 2004:

Figura 7. Criterio para el bloque equivalente según la normativa anterior a 2004 para el DF

La fuerza Fc se consideraba igual a:

d b

* f

c

(18)

c

4 . 0



1



d



8 . 0

d Fc j



(19)

Para el caso de εs= εy =0.002, balanceada:

de la compatibilidad se tiene la condición de falla

c=cb=0.6d reemplazando en (19) jd=0.76d

(20)

El momento resistente nominal de acuerdo con el Reglamento anterior del DF, MDF, es entonces con (18) y (20): c

1

F D



2 d b

* f

5 6 3 . 0

M



(21)

LLamando MACIb a la condición del momento nominal resistente para el caso límite de deformación en el refuerzo cuando la sección es controlada por compresión, εt=0.002, condición de falla balanceada, se tiene de la ec (9) 8   

21

3 5 1 . 0

  1

︵

1 5 . 0

b I C A

2 d b 'c f

M



︶ (22)

5 6 3 . 0 1





b I C



5 6 1 . 0 1 5 . 0

F D

M MA

De (21) y (22), y por simplicidad haciendo f*c=f’c: se tiene: (23)

La ec (23) se ha graficado en la Fig 8, se aprecia que el momento MDF subestima la resistencia a flexión de una sección cuando aumenta la resistencia del concreto, lo que obligó en 2004 al cambio actual de la normativa para el DF en este tema.

MDF / MACI

1.00

0.95

0.90 0

200

400

600

f'c (kg/cm2)

Figura 8. Variación de la relación MDF / MACIb en función de f’c.

9   

CLASE No 8. DISEÑO POR FLEXIÓN. Tercera parte

Posgrado de Ingeniería, UNAM Mario Rodríguez 25-02-14

DISEÑO DE SECCIONES SIN REFUERZO EN COMPRESIÓN EMPLEANDO EL BLOQUE EQUIVALENTE DEL ACI La Fig 1 muestra el concepto del bloque equivalente del ACI

Figura 1 . Bloque equivalente del ACI

La Fig 2 muestra la variación de εt versus ρ en una sección rectangular con solo refuerzo en tracción, se considera f’c=300 kg/cm2, fy=4200 kg/cm2 , se observa que en todos los casos de la Figura se puede considerar εs ≥ εy.

1   

0.006

εt

0.004

0.002

0.000 0%

1%

2%

3%

4%

ρ Figura 2 Caso f’c=300 kg/cm2, fy=4200 kg/cm2

La ec (10) de la clase 7 representa la condición de falla balanceada. La Fig 3 muestra los valor de ρ para los casos 0.5 ρb ,0.75 ρb y ρb, para fy=4200 kg/cm2 y variando f’c. Para los casos de diseño de trabes en flexión en zonas sísmicas, el ACI 318-11 en su sección 21.5.2.1 especifica que el límite superior de ρ es 0.025 y debe además ser mayor que 14/fy. Estos límites se han graficado con líneas continuas en la Fig 3.

6% Seccion_Lim_Compr 0.75ρb



4%

Cuantia minima

2%

Cuantia máxima. Cap_21_ACI318 0.5 ρb

0% 0

200

400

600

f'c (kg/cm2)

Figura 3. Casos 0.5 ρb , 0.75 ρb y ρb para el caso fy=4200 kg/cm2, y límites del Capítulo 21 del ACI 318-11 2   

Aceptando la condición de fluencia y la la hipótesis aproximada de un comportamiento elastoplástico del acero de refuerzo, la fuerza actuante en el refuerzo sería As fy. El momento nominal resistente seria:

a M n  As f y (d  ) 2

(1)

Del equilibrio de fuerzas 0.85 f 'c a b  As f y a

(2)

As f y 0.85 f 'c b

Combinado (1) y (2): M n  As f y ( d  0.59

As f y f 'c b

)

Introduciendo el parámetro ρ=As/(bd) y simplificando se obtiene fy fy Mn   (1  0.59  ) bd 2 f 'c f 'c f 'c

(3)

En (3) se aprecia que el valor adimensional de Mn queda en función del parámetro 

fy f 'c

Esto facilita el generar ayudas de diseño. Por ejemplo, los resultados de (3) se han graficado en la Fig 4 para los valores probables del referido parámetro.

3   

Mn / (f'c b d2)

0.6

0.4

0.2

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

ρ fy / f'c Figura 4. Momento resistente nominal adimensional en función de 

fy f 'c

4   

DISEÑO DE SECCIONES CON ACERO EN COMPRESIÓN

b a



'c f 5 8 . 0

Fc

La Fig 5 muestra una sección con un área de refuerzo en tracción As y en compresión A’s, así como la distribución de deformaciones y fuerzas actuantes en la sección. Como en el caso de la sección sin acero en compresión:  

 

(4)

c



fy 's A

' F

Para el cómputo de la fuerza en el acero en compresión F’c, aceptamos para ε’s un valor igual a εy. El valor de este parámetro se valuará posteriormente para revisar si esta hipótesis es correcta, por tanto:    

 

(5)

La fuerza en As , suponiendo nuevamente la fluencia de este acero, lo que se revisará, es igual a

fy As

T



(6)

En el equilibrio de fuerzas se obtiene 

y f As

y f 's A

b a

'c f 5 8 . 0



De donde 



b fya

'c 'sf A 5 8



. As0

a 

   

 

(7)

5   

Figura 5. Sección con aceros de refuerzo en tracción y compresión, deformaciones en la sección, y fuerzas actuantes.

Se verifica la hipótesis de fluencia de los aceros de refuerzo en tracción y compresión. De triangulos semejantes de la Fig 5, la deformación en el acero en compresión es:

' d

a



1



a



3 0 0 . 0

' d c c



3 0 0 . 0

's



 

 

(8)

y la deformación para el acero en tracción es: 1



a da



3 0 0 . 0

c



c

d

3 0 0 . 0

s

 



(9) 6 

 

Por lo tanto la condición a revisar para el acero en compresión es: 

fy



s

a

1



' f

fyEs

' d

a

3 0 0 . 0

i S



(10)

La condición a revisar para el acero en tracción es: 



fy



fs



fyEs

a da

1

3 0 0 . 0

i S



(11)

En el caso que estas condiciones se cumplan, tomando momentos respecto al acero en tracción se tiene: a M n  0.85 f 'c ab (d  )  As' f y (d  d ') 2

(12)

Si esas condiciones no se cumplen, del equilibrio de fuerzas se obtiene:

'sb f a 's'c A f 5 8 fs. As0

a 



(13)

De las ecs (8) y (9)

fy o



fy o

Es ' d 1a

1





Es a da

3 0 0 . 0

s

Es

fs



a



3 0 0 . 0

Es

s



's

' f



 

 

 

(14)

 

 

(15)

Con lo que se obtiene: a M n  0.85 f 'c ab (d  )  As' f 's (d  d ') 2

(16)

Se debe observar que los casos de deformaciones límites de secciones controladas por compresión o por tracción pueden ocurrir tanto en el caso de vigas sin refuerzo en compresión como se ha visto, como en el caso de vigas doblemente armadas.

7   

CLASE No 9. RELACIONES MOMENTO-CURVATURA

Posgrado de Ingeniería, UNAM

Comportamiento de elementos de concreto reforzado Clave 68082, Grupo T011 Mario Rodríguez 06-03-14

La curvatura φ se define como la inversa del radio de curvatura, R, ó la rotación por unidad de longitud del elemento:



1 R

(1)

Considerando el perfil de deformaciones de la sección con una curvatura φ se tiene:



c



s

c d c

(2)

(3)

Es decir la curvatura se pude expresar en función de la deformación en compresión de la fibra extrema o de la deformación en tracción del refuerzo más alejado del eje neutro.

1   

c

Figuraa 1 Curvatura en una seccción de elem mento de conncreto reforzzado Otra forma fo útil de expresar la curvatura dee una secciónn es:



c   s d

(4) (

Relaciión entre mo omento y currvatura De la teoría t de flex xión elásticaa se tiene:

M



 Ec I

(5) (

Done Ec es el mód dulo elástico del concreto o e I es el m momento de innercia de la sección. La relació ón expresadaa en (5) se muestra m en la Fig 2.

2   

Figura 2. Pendiente inicial de la relación momento-curvatura Empleando el diagrama momento-curvatura , la curvatura de fluencia, ϕy, se define como, ver Fig 2: y   ' y

M ACI M 'y

(6)

donde ϕ’y se obtiene del diagrama momento-curvatura cuando ocurre la primera fluencia del refuerzo longitudinal, la cual ocurre para el momento M’y. El momento MACI es el calculado con el criterio del ACI haciendo el factor de reducción de resistencia φ=1 y empleando las propiedades medidas de los materiales. Es deseable en lugar de MACI emplear la probable capacidad máxima en flexión de la sección, Mpr, la cual se estudiará posteriormente La Fig 3, del libro del Park y Paulay (1975) muestra valores de la relación ϕu / ϕy donde ϕu es la curvatura última del concreto no confinado (εcmax=0.003), y en este caso ϕy es igual al valor ϕ’y. Estos resultados permiten mostrar que para una cuantía dada en tracción, el aumento de acero en compresión hace la sección más dúctil.

3   

. Figura 3 Variación V dee ϕu / ϕy en función de ρ y ρ’.

DESPLAZAMIEN NTOS Y RO OTACIONES S EN ELEM MENTOS DE E CR Un caaso práctico o de aplicación de ressultados moomento-curvvatura es ell cómputo de desplaazamientos y rotaciones debido a fllexión en ellementos de CR. La Figg 4 muestra la colum mna de un pueente donde la l altura del centro de m masa, o puntoo de aplicacióón de la fuerrza sísmicca horizontall, está a una distancia L de d la base. E En esta Fig sse muestran los momenttos en la altura a de collumna, así como c el diag grama idealizzado de curvvaturas, así como el perrfil de dessplazamietno os laterales en e la column na Rotaciión plástica θp Si en la l Fig 2 paraa el último punto de la cu urva le asociiamos la currvatura últim ma ϕu, se pueede expressar: u   y   p

(7)

Conoccemos ϕy y de d acuerdo con c (7) es necesario n connocer ϕp parra poder connocer ϕu .De la teoría área-momen nto se obtien ne  p  LP  p

(8)

De (7)) y (8)

4   

 p  LP (u   y )

(9)

Figura 4. Curvaturas y perfil de desplazamientos inelásticos en una columna de puente

La longitud plástica Lp en columnas de CR es igual a (Priestley et al., 1996) LP  0.08L  0.022 f ye dbl  0.044 f ye dbl

(10)

donde fye está en MPa y se recomienda hacerlo igual a 1.1 fy. Desplazamiento plástico ΔP Este desplazamiento se calcula con la rotación plástica θp y considerando la contribución elástica paraΔ≥ Δy debido al incremento de MACI al valor Mu correspondiente al valor φu, lo que ocurre cuando Mu≥MACI . En el caso elastoplástico este incremento elástico es cero. Se tiene:  Mu   1 y  LP (u   y )  L  0.5 L p   M ACI 

p  

(11)

El factor de ductilidad de desplazamiento, μΔ, es igual a:  

u y

(12)

además u  y  p

(13) 5 

 

Combinando (11) a (13) y empleando la relación φy/Δy=3/L2, , se obtiene  

Lp   Mu L  3 P (   1)  1  0.5  M ACI L L  

(14)

12 10

μ∆

8 6 4 2 0 0

5

10

15

20

μφ

Figura 5. Aplicación de la ec (14) para Mu/MACI=1.1, LP/L=0.25

6   

CLASE No 10. RELACIONES MOMENTO-CURVATURA. PARTE II

Posgrado de Ingeniería, UNAM

Comportamiento de elementos de concreto reforzado Clave 68082, Grupo T011 Mario Rodríguez 11-03-14 RIGIDECES Y CURVATURAS DE FLUENCIA EN COLUMNAS Curvatura de fluencia en una Columna Rectangular (sección b x h)

Figura 1. Curvatura de fluencia en una sección rectangular Si definimos como fluencia de la sección cuando εs=εy , la curvatura de fluencia es, Fig 1:

y 

y d c

(1)

La que también se puede escribir como

y h h  y d c

(2)

1   

Al término

y 

y h la llamamos curvatura adimensional, Φy, es decir: y

y h y

(3)

h , lo que sugiere que si c no d c cambia de manera significativa en la fluencia, el valor de Φy sería aproximadamente constante. Esto ha sido empleado por Priestley (2003) quien propone para columnas rectangulares la expresión aproximada:

Combinando las ecs (2) y (3) se aprecia que Φy es igual a

 y  2.1

(4)

De (3) y (4):

y 

2.1  y h

(5)

Curvatura de fluencia en una Columna Circular (de diámetro D)

Priestley (2003) siguiendo un procedimiento similar al mostrado para la columna rectangular propone:

y 

2.25  y D

(6)

Curvatura de fluencia en un muro rectangular de longitud lw (Priestley, 2003):

y 

2.0  y lw

(7)

Se debe mencionar que en columnas con cargas axiales altas del orden de P/(Ag f’c)≥0.2 , es posible que el acero en tracción no fluya y el concreto alcance su resistencia a compresión definiendo la curvatura de fluencia asociada a la la falla en compresión del concreto, la que de manera burda ocurre cuando la fibra extrema del concreto en compresión alcanza el valor 0.002. Curvatura de fluencia empleando el momento nominal Mn

En la Fig 2 de la clase 9 se mostró que la curvatura de fluencia era:

2   

y   ' y

M ACI M 'y

(8)

El valor de  ' y ocurre cuando el refuerzo llega a la fluencia o cuando la fibra extrema del concreto en compresión alcanza el valor aproximado de 0.002, lo que ocurra primero. Si generalizamos el valor del momento nominal MACI y lo reemplazamos por Mn, denominado este término resistencia a flexión nominal, se obtiene: y   ' y

Mn M 'y

(9)

Se ha propuesto (Priestley, 2003) que Mn se defina cuando la fibra extrema del concreto en compresión alcanza el valor 0.004 o el refuerzo en tracción alcance la deformación 0.015, lo que ocurra primero.

Cómputo de rigideces efectivas en columnas de CR

Podemos escribir (Fig 2 de clase 9 haciendo Mn =MACI ): y 

Mn EI

(10)

Si Ig es el momento de inercia de la sección bruta, empleando (10) se puede escribir: Mn EI  EI g y E I g

(11)

Una aplicación de la ec (11) se muestra en la Fig 2.

3   

Figura 2 Rigidez efectiva en columnas de sección circular (Priestley, 2003)

CURVATURA ULTIMA u

Figura 3. Definición de curvatura última. Criterio fractura refuerzo transversal En este criterio de curvatura última la deformación última del concreto en compresión, εcu, se define cuando se fractura el refuerzo transversal, para lo cual:  cu  0.004 

1.4  s f yh  su f 'cc

(12)

4   

Donde εsu es la deformación del acero de refuerzo cuando alcanza su resistencia máxima en tracción, f’cc es la resistencia en compresión del concreto confinado, fyh es el esfuerzo de fluencia del refuerzo transversal, y ρs es la cuantía volumétrica del refuerzo transversal, para columnas circulares: s 

4 Asp D' s

(13)

En columnas rectangulares s   x   y

(14)

Criterio simplificado de modo de falla de pandeo del refuerzo longitudinal

Como se verá posteriormente, el pandeo de una barra de refuerzo depende no solo del valor de la fuerza en compresión en la barra crítica, sino también de la magnitud de deformación máxima en tracción alcanzada en la barra en el semi-ciclo anterior a la incursión de fuerzas de compresión en la barra. Debido a la complejidad del problema, Priestley (2000) ha sugerido que para evitar el pandeo de una barra con confinamiento de una sección dúctil, la deformación máxima en tracción en el semi-ciclo previo al pandeo, εsm, debe ser igual a:  sm  0.6  su

(15)

Referencias 1. Priestley M.J.N., (2003) “Myths and Fallacies in Earthquake Engineering. Revisited”, The Maller Milne Lecture 2003, IUSS Press , Istituto Universitario di Studi Superiori di Pavia, Italia 2. Priestley M.J.N., (2000), “Performance Based Seismic Design” ,paper 2831, 12 World Conference in Earthquake Engineering

5   

CLASE No 11. RELACIONES MOMENTOCURVATURA.CAPACIDAD DE CURVATURA. PARTE III

Posgrado de Ingeniería, UNAM

Comportamiento de elementos de concreto reforzado Clave 68082, Grupo T011 Mario Rodríguez 19-03-14

DISEÑO SÍSMICO DE ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO CONSIDERANDO EL MODO DE FALLA DE PANDEO DEL ACERO DE REFUERZO LONGITUDINAL DEFINICION DE DEFORMACIONES DE CONCRETO Y DEL ACERO EN EL PANDEO DE LA BARRA DE REFUERZO LONGITUDINAL El problema del pandeo de barras de refuerzo sometidas a acciones del tipo sísmico ha sido estudiado por Rodriguez et al. (1999). Estos autores propusieron un modelo de predicción de pandeo de barras sometidas a cargas cíclicas reversibles. En este modelo la deformación asociada al pandeo, εp*, se define con el siguiente procedimiento. La Fig 1 muestra los dos últimos semiciclos de carga correspondientes al inicio del pandeo de la barra. Inicialmente en estos semiciclos, la barra alcanza en tracción la deformación máxima εst , antes de empezar el semiciclo de descarga, para el cual ocurre el pandeo para la deformación εsc, Fig 1. Según Rodriguez et al. (1999), εp* se expresa como: ε p* = ε o + ε sc

(1)

donde εo se define en la Fig 1. Rodriguez et al. (1999) ensayaron con cargas cíclicas reversibles un grupo de barras de refuerzo con diferentes relaciones s/db, hasta llegar al pandeo de estas barras. Para los ciclos de carga correspondientes al inicio del pandeo de las barras, estos autores obtuvieron valores para εp* con la ec (1) y mediciones de εo y εsc obtenidas en estos ensayes. Los resultados experimentales encontrados se muestran en la Fig 2. Esta figura también muestra con líneas continuas, los valores de deformaciones axiales en barras versus s/db, cuando se inicia el pandeo de la barra bajo carga de compresión monotónica empleando la teoría del módulo reducido (Rodriguez et al., 1999). En esta figura k es el parámetro que permite encontrar la longitud efectiva de pandeo de una 1

barra, que para el caso de una barra de refuerzo sería ks. Se observa que esta predicción podría ser útil para obtener el valor de εp* en una barra de refuerzo longitudinal en una columna de concreto si se pudiera conocer los valores del parámetro k.

Esfuerzo

(fm+, ε+m)

Deformación

(fm−, ε−m)

(fp, εp)

εo εst 80 9

εsc .

ε∗p

.

.

Figura 1 Curva esfuerzo-deformación que ilustran los parámetros que definen el pandeo de una barra de acero sometida a cargas cíclica reversible (Rodríguez et al, 1999)

0.12

Ensayes cíclicos reversibles (ciclos asimétricos) Ensayes cíclicos reversibles (ciclos simétricos) caso especial

0.1 0.08

ε p*

K=1.0 0.06

K=0.75

0.04

K=0.5

0.02 0 0

2

4

6

8

10

12

14

s/db

Figura 2 Parámetro εp* versus s/db (Rodriguez et al, 1999)

2

MODIFICACIÓN EN 2013 AL PROCEDIMIENTO DE RODRIGUEZ ET AL. (1999). Es conveniente, para fines de diseño, que en la definición de εp*, en lugar del parámetro εo se emplee el parámetro εst (Rodriguez et al., 2013). Si se procede de esta manera se obtiene: ε p* = ε st + ε sc

(2)

Con el empleo de la ec (2) y las mediciones correspondientes a los mismos ensayos cuyos resultados se muestran en la Figura 2, se obtuvieron los valores que se muestran en la Fig 3. Los resultados de esta figura indican que la predicción del parámetro εp* podría hacerse de manera razonable empleando las curvas continuas de la Fig 3 (que son las mismas mostradas en la Fig 2) y un valor apropiado para k.

Ensayes cíclicos reversibles (cilcos asimétricos) Ensayes cíclicos reversibles (ciclos simétricos) caso especial

0.12 0.1

ε p*

0.08

K=1.0

K=0.75

0.06

K=0.5

0.04 0.02 0 0

2

4

6

8

10

12

14

s/db

Figura 3 Parámetro εp* modificado versus s/db COMPARACION DE PREDICCION DEL PANDEO DE BARRAS EN MUROS ESTRUCTURALES CON EL PROCEDIMIENTO DE RODRIGUEZ ET AL. Y RESULTADOS EXPERIMENTALES Ensayes de un muro rectangular y uno en forma de T por Thomsen y Wallace (2004) Los especímenes ensayados por Thomsen y Wallace (2004) se muestran en las Figs 4 y 5. La Fig 6 muestra la geometría y dimensiones de los muros

3

1219 19

152

152

572

152

152

19

102

64

8 barras #3 (Ø=9.6 mm)

barras #2 (Ø=6.4mm) @ 190 mm

Estribos (Ø=4.8 mm) @ 76 mm

Figura 4 Dimensiones y detalles del refuerzo del muro RW1 (dimensiones en mm)

19

152

152

1219 572

152

152

19 64

152

102

8 barras #3 (Ø=9.5 mm)

152 barras #2 (Ø=6.4mm) @ 190 mm

Estribos (Ø=4.8 mm) @ 76 mm

barras #2 (Ø=6.4mm) @ 190 mm

1219 572

Estribos (Ø=4.8 mm) @ 76 mm

152

8 barras #3 (Ø=9.5 mm)

152 19

102

Figura 5 Dimensiones y detalles del refuerzo en el muro TW1 (dimensiones en mm)

4

1219

1219

1219

102 3658

102

(a) Muros RW1 y RW2

3658

(b) Muros TW1 y TW2

Figura 6 Geometría y dimensiones de los especímenes ensayados (dimensiones en mm) Materiales de los especímenes La resistencia a compresión especificada para el concreto (f´c) en los especímenes RW1 y TW1 fueron 25.7 MPa y 26.5 MPa, respectivamente, y en las fechas de ensayes de estos especímenes las resistencias medidas en cilindros fueron 31.7 MPa y 34 MPa, respectivamente, Tabla 1. Para el acero de refuerzo se emplearon dos tipos. Para el refuerzo horizontal y vertical de los muros el acero empleado fue del tipo ASTM 615, con resistencia de fluencia especificada (fy) igual a 414 MPa, y esfuerzo de fluencia medido igual a 434 MPa (Tabla 1). Para el refuerzo transversal en los elementos de borde se empleó alambre, con características similares a las de los aceros tipo ASTM 615 (Thomsen y Wallace, 2004). Los parámetros ݂෡௖ y ݂෡௬ son las resistencias medidas de compresión del concreto y de tracción del acero respectivamente.

5

Tabla 1.Propiedades de materiales ESPECIMEN

݂௖ᇱ

݂෡௖

݂௬

݂෡௬

MPa

MPa

MPa

MPa

RW1

25.7

31.7

414

434

TW1

26.5

34

414

434

Diseño de los especímenes En el diseño de los especímenes se emplearon los requisitos de elementos de refuerzo en bordes de muro del Capítulo 21 del ACI-318-95 (ACI 318, 1995), Thomsen y Wallace (2004). Esto requisitos son similares a los especificados por las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto para el DF (NTCC, 2004) para elementos de refuerzo en muros estructurales diseñados para un comportamiento sísmico, Q, igual a 3, sección 6.5.2 de las NTCC (2004). Los especímenes fueron diseñados para una demanda de distorsión global, Dr, igual a 0.015, parámetro que se define como Dr =

δ hw

(3)

donde δ es el desplazamiento lateral relativo a la base del nivel azotea. De acuerdo con los mencionados requisitos de diseño del ACI-318 y NTCC (2004), para lograr la distorsión objetivo Dr igual a 0.015, fue necesario confinar el concreto en los bordes de los muros, con la relación volumétrica de refuerzo transversal requerido por el Capítulo 21 del ACI-318-95, lo que se logró con estribos en los bordes de los muros. Los detalles de refuerzo horizontal y vertical de los muros, así como de los estribos en los bordes de éstos, para los especímenes RW1 y TW1 se muestran en las Figs 4 y 5, respectivamente. Predicción de curvaturas últimas en los especímenes ensayados Se obtuvieron las relaciones momento-curvatura de las secciones típicas de los muros RW1 y TW1, para lo cual se empleó el programa BIAX (Wallace, 1989). Para evaluar aspectos relevantes del comportamiento sísmico de muros estructurales es necesario conocer el valor de la curvatura última, ϕu, la cual se define como la curvatura que alcanza la sección cuando los muros alcanzan la deformación de diseño Dr. Como se ha comentado, para los casos en estudio Dr fue igual a 0.015. Con este valor y la ec (3) es posible obtener el 6

desplazamiento lateral esperado para el sismo de diseño medido en el extremo superior de los muros, δu, con lo cual se obtiene δu = 55 mm. La curvatura ϕu se obtuvo con el siguiente procedimiento. El desplazamiento lateral se define como: δu =δ y + δ p

(4)

donde δy es el desplazamiento de fluencia, y δp es el desplazamiento plástico, los cuales se definen como: δy =

φ y hw 2

δ p =(

3

(5)

M max − 1) δ y + Lp (φu − φ y ) (hw − 0.5Lp ) M ACI

(6) donde Mmax es el momento resistente máximo que se puede calcular para la sección crítica del muro. Se puede obtener con el momento máximo calculado con las relaciones momento-curvatura de la sección del muro. MACI es la resistencia a flexión de diseño del muro, la cual se puede obtener con uno de los dos siguientes criterios: a) Con el empleo del bloque de esfuerzos del ACI-318, considerando un factor de reducción de resistencia igual a 1, las propiedades medias de los materiales y εc=0.003, donde εc es la deformación de la fibra extrema en compresión de la sección. b) Con el valor del momento en el diagrama momento-curvatura calculado, correspondiente a εc=0.003. La curvatura de fluencia, ϕy, se define como: φy = φ ' y

M ACI M 'y

(7)

donde ϕ’y se obtiene del diagrama momento-curvatura cuando ocurre la primera fluencia del refuerzo longitudinal, la cual ocurre para el momento M’y. Con las ecs (4) a (7), el valor δu = 55 mm, el valor hw = 3,658 mm, los valores de Mu y MACI para los especímenes, anteriormente comentados, así como considerando Lp= 0.5 lw, permitió obtener para ϕu el valor 2.3x10-5 mm-1. Diagramas momento-curvatura y perfil de deformaciones para los muros RW1 y TW1 La Fig. 7 (a) muestra el diagrama momento-curvatura calculado para la sección del muro rectangular RW1, en el cual se indica el valor calculado de ϕu anteriormente comentado; además, en este diagrama se observa un círculo negro, el cual permite identificar el punto 7

del diagrama donde ocurre la deformación εc igual a 0.003. La Fig. 7(b) muestra el perfil de deformaciones calculado para la condición de curvatura última, ϕu, en la que se aprecia que el valor máximo de εc para esta curvatura es moderado. Además, se aprecia que la profundidad de la zona de la sección en compresión es pequeña, es decir la cantidad de confinamiento que se requeriría en el borde del muro sería también moderada. Como se sabe, de acuerdo con el ACI 318-11, así como con las NTCC (2004), para considerar que un muro es dúctil se requiere confinar la zona en compresión del concreto en la región donde εc es mayor que 0.003. Esto llevaría en el caso del muro RW1, a que la profundidad de la zona en compresión que es necesario confinar sea sólo 77 mm, dimensión incluso menor que la del espesor del muro, valor pequeño como se puede apreciar también en la Fig 7(b). 1219

1400 1200

φu=0.000023 mm-1

Momento (kN-m)

1000 800

SECCIÓN DEL MURO RW1 205

εc =0.003 εst =0.014

600

Tensión

εst =0.023

RW1

200 0

φu=0.000023 mm-1

P=0.1Ag f'c

400

0

0.00002

0.00004

0.00006

0.00008

Compresión

0.0001

εc =0.0048

DEFORMACIONES

Curvatura (1/mm)

(a)

(b)

Figura 7 Muro RW1. Relación M-Ф calculada, sección típica de muro y perfil de deformaciones (dimensiones en mm) El escenario es diferente, y menos favorable, en el caso de los especímenes con sección “T”. La Fig 8 (a) muestra diagramas momento-curvatura calculados para la sección del muro con sección “T”, TW1, para los casos de patín en tracción y patín en compresión. Además, en estos diagramas se indica el valor anteriormente calculado para ϕu. También estos diagramas muestran, con un círculo negro, en que parte del diagrama ocurre la deformación εc igual a 0.003. Los resultados del perfil de deformaciones para el muro TW1, Fig 8 (b), muestran que cuando el patín está en tracción, la zona en compresión del concreto no sólo tiene una profundidad importante, sino también la deformación máxima para εc es bastante mayor que para el caso del muro rectangular RW1 anteriormente comentado. Para este caso, la zona en compresión en el alma que es necesario confinar es 970 mm, lo que representa 80% de la longitud del muro. Por el contrario, cuando el patín está en compresión, la deformación εc es bastante pequeña, menor que 0.003, Fig 8(b), e incluso menor que la correspondiente al caso del muro rectangular RW1, Fig 7(b). Es decir, el caso más desfavorable de capacidad de deformación en un muro de sección “T” ocurre cuando el patín se encuentra en tracción y el alma en compresión. Esta característica es relevante en el comportamiento sísmico de un muro estructural con sección transversal del tipo “T”.

8

1400

ε c = 0 .0 0 3

Momento (kN-m)

φ u = 0 .0 0 0 0 2 3

T

1200 1000

C

800

400

0

0 .0 0 0 0 2

S E C C IÓ N D E L M U R O T W 1

T

T e n s ió n C o m p re sió n 1104

P = 0 .0 9 A g f'c

ε c = 0 .0 2 9 ε s t = 0 .0 0 2 3

200

1219

C

ε c = 0 .0 0 3 ε st = 0 .0 7 4

ε c = 0 .0 0 1 5 ε st = 0 .0 3

600

0

m m -1

ε s t = 0 .0 0 2 2

TW 1

0 .0 0 0 0 4

0 .0 0 0 0 6

C u rv a tu ra (1 /m m )

0 .0 0 0 0 8

φ u = 0 .0 0 0 0 2 3

0 .0 0 0 1

m m -1 14°

ε c = 0 .0 2 5 D E F O R M A C IO N E S (P a tín e n te n s ió n )

C o m p re sió n T e n sió n 58

2 0°

φ u = 0 .0 0 0 0 2 3

m m -1

ε s t = 0 .0 3 ε c = 0 .0 0 1 5 D E F O R M A C IO N E S (P a tín e n c o m p re s ió n )

(a)

(b)

Figura 8 Muro TW1. Relaciones M-Ф calculadas, sección típica de muro y perfil de deformaciones (dimensiones en mm) Predicción de deformaciones en el concreto y en el acero cuando ocurre el pandeo de las barras de refuerzo longitudinal en los especímenes ensayados y comparativa con resultados experimentales Las Figs 9 y 10 muestran los resultados obtenidos con el programa Ruaumoko (Carr, 2010) para las curvas histeréticas esfuerzo-deformación de las barras de refuerzo longitudinal más críticas, en este caso ubicadas en el extremo de los elementos de borde de los muros ensayados RW1 y TW1, respectivamente. En el artículo de Rodriguez et al. (2013) se muestra las bases analíticas empleadas para encontrar estos resultados. Estas bases analíticas se basan en el trabajo de Panagiotou et al. (2012). En particular, en estas figuras es de interés los dos últimos semiciclos, correspondientes al ciclo donde en el ensaye se observó el inicio del pandeo. Las Figs 9 y 10 muestran con marcadores en forma de rombo y círculo los valores de εst y εsc, respectivamente, correspondientes al ciclo observado de pandeo en la barra crítica del muro. Como indica la ec (2), con estos valores es posible conocer el parámetro εp*. Si se procede de esta manera, para los casos de los especímenes RW1 y TW1, se obtiene los valores para εp* mostrados en la Fig 11. Nuevamente, esta figura muestra que un procedimiento de predicción razonable del parámetro εp*, en muros de concreto reforzado, es el empleo de un valor apropiado del parámetro de longitud efectiva k y las curvas continuas de la Fig 11, las cuales son las mismas curvas continuas de las Figs 2 y 3. Esto muestra la relevancia del parámetro s/db. 9

600 400

ESFUERZO (MPa)

εst=0.015

Deformación máxima en tracción Inicio del pandeo

200 0 -200 -400 -600 -0.020

s/db=8

εsc=-0.005 -0.015

-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

DEFORMACIÓN (mm/mm)

Figura 9 Curvas calculadas esfuerzo-deformación del acero de refuerzo longitudinal más crítico en el espécimen RW1

600

εst=0.012

Deformación máxima en tracción Inicio del pandeo

ESFUERZO (MPa)

400

C

200 T

0 -200 -400 -600 -0.02

s/db=8

εsc=-0.006

C

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

DEFORMACIÓN (mm/mm)

Figura 10 Curvas calculadas esfuerzo-deformación del acero de refuerzo longitudinal más crítico en el espécimen TW1

10

0.12

s/db=8

RW1

0.1

TW1

ε p*

0.08

K=1.0

0.06

K=0.75

0.04

K=0.5

0.02 0 0

2

4

6

8

10

12

14

s/db Figura 11 Valores de εp* modificado obtenidos para los especímenes RW1 y TW1, y curvas de predicción de pandeo REFERENCIAS

ACI Committee 318 (ACI 318, 2011), “Building Code Requirements for Reinforced Concrete (ACI 318-08)”. American Concrete Institute, Farmington Hills, MI. Carr, A. (2010), RUAUMOKO, Computer Program Library, University of Canterbury, Department of Civil Engineering Gaceta Oficial del Distrito Federal (2004), Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto. Reglamento de Construcciones del Distrito Federal. México DF. Panagiotou, M., Restrepo, J.I., Schoettler, M. y Kim, G. (2012). Nonlinear Cyclic Truss Model for Reinforced Concrete Walls, ACI Structural Journal, 109:2, 205-214 Rodriguez M, Botero, JC, y Villa, J (1999). Cyclic Stress-Strain Behavior of Reinforcing Steel Including the Effect of Buckling. Journal of Structural Engineering, ASCE, 125: 6, 605-612. Thomsen, J. H. y Wallace, J. (2004). Displacement-Based Design of Slender Reinforced Concrete Structural Walls-Experimental Verification, Journal of Structural Engineering, ASCE, 130:4, 618-630 Wallace, J.W. (1992). BIAX-Computer program for the analysis of reinforced concrete and reinforced masonry sections, Rep. No CU/CEE-92/4, Clarkson University, Postdam, NY, USA. 11