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• Ricardo Peña M

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´ CURSO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III SEMESTRE 2012-I

1. El espacio euclideano n-dimensional ´ n. Sea n ∈ N\{0}. El espacio euclideano n-dimensional es 1.1. Definicio Rn = {(a1 , . . . , an )|a1 , . . . , an ∈ R}. ´ n. Denotamos a un elemento de Rn por ~a = (a1 , . . . , an ). 1.2. Notacio Los que m´as usaremos son: R = R1 , R2 el plano, R3 el espacio. Verlos como vectores.

2. Estructura algebraica La suma + : Rn × Rn → Rn se define de la siguiente manera: para ~a = (a1 , . . . , an ) y ~b = (b1 , . . . , bn ) en Rn , ~a + ~b := (a1 + b1 , . . . , an + bn ). ´ n. Definimos ~0 ∈ Rn como 2.1. Definicio ~0 := (0, . . . , 0). 2.2. Lema. • ∀~a, ~b ∈ Rn , ~a + ~b = ~b + ~a. • ∀~a, ~b, ~c ∈ Rn , (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c). • ∀~a ∈ Rn , ~0 + ~a = ~a. • ∀~a ∈ Rn ∃~b ∈ Rn tal que ~a + ~b = ~0. ´ n. El elemento ~0 es el u 2.3. Observacio ´nico elemento de Rn que se comporta como n neutro para la suma: si ~a ∈ R es tal que para todo ~b ∈ Rn se tiene que ~a + ~b = ~b, entonces ~a = ~0. Para cada ~a ∈ Rn existe exactamente un elemento ~b ∈ Rn tal que ~a + ~b = ~0. A dicho elemento lo denotamos por −~a. c Semestre 2012-I, . Permission to copy for private use granted.

1

2 ´ n. Podemos resumir las propiedades anteriores para la suma vectorial 2.4. Observacio en la afirmaci´on: (Rn , +) es un grupo abeliano. Tenemos asimismo un producto escalar · : R × Rn → Rn definido, para λ ∈ R y ~a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn como λ · ~a := (λa1 , . . . , λan ) 2.5. Lema. • ∀~a ∈ Rn , 1 · ~a = ~a. • ∀λ, µ ∈ R y ~a ∈ Rn , (λ + µ) · ~a = λ · ~a + µ · ~a. • ∀λ ∈ R y ~a, ~b ∈ Rn , λ · (~a + ~b) = λ · ~a + λ · ~b. ´ n. Podemos resumir diciendo que (Rn , +, ·) es un R-espacio vectorial. 2.6. Observacio ´ n. Normalmente escribimos λ · ~a = λ~a. 2.7. Notacio

3. Estructura geom´etrica ´ n. El producto punto 3.1. Definicio ~a = (a1 , . . . , an ), ~b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn ,

•

: Rn × Rn → R est´a definido por, para todo

~a •~b :=

n X

ai b i .

i=1

´ n. ~a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn . Definimos la magnitud de ~a como 3.2. Definicio q √ k ~a k= ~a • ~a = a21 + a22 + · · · + a2n . 3.3. Lema. • ∀~a, ~b ∈ Rn , ~a •~b = ~b • ~a. • ∀α, β ∈ R, ~a, ~b, ~c ∈ Rn , (α~a + β~b) • ~c = α(~a • ~c) + β(~b • ~c). • ∀~a ∈ Rn , k ~a k≥ 0. • ∀~a ∈ Rn , k ~a k= 0 ⇔ ~a = ~0. 3.4. Teorema. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Para todo ~a, ~b ∈ Rn , |~a •~b| ≤k ~a k k ~b k . La igualdad se da si y solo si uno de los vectores es m´ ultiplo escalar del otro.

3 Dem . Si ~b = 0, entonces ambos lados de la desigualdad son cero. Supongamos entonces que ~b 6= 0. Tenemos 2 0 ≤ k ~b k2 ~a − (~a •~b)~b = (k ~b k2 ~a − (~a •~b)~b) • (k ~b k2 ~a − (~a •~b)~b) = k ~b k4 k ~a k2 − k ~b k2 (~a •~b)2 − k ~b k2 (~a •~b)2 + k ~b k2 (~a •~b)2 =k ~b k4 k ~a k2 − k ~b k2 (~a •~b)2 . Esto es k ~b k2 (~a •~b)2 ≤k ~b k4 k ~a k2 . Como ~b 6= 0, tenemos que k ~b k2 > 0. Al dividir la desigualdad anterior entre k ~b k2 obtenemos (~a •~b)2 ≤k ~b k2 k ~a k2 . Si sacamos ra´ız cuadrada obtenemos |~a •~b| ≤k ~a kk ~b k. Supongamos que ~b = λ~a con λ ∈ R. Entonces |~a •~b| = |~a • λ~a| = |λ| k a k2 =k ~a kk λ~a k=k ~a kk ~b k . En el sentido contrario supongamos la igualdad. El c´alculo que hicimos al principio de la demostraci´on nos dice entonces que k ~b k2 ~a − (~a •~b)~b = 0. Esto es k ~b k2 ~a = (~a •~b)~b. Si ~b = 0, entonces ~b = 0~a. Si ~b 6= 0, entonces ~a =

~a •~b ~ b. k ~b k2

´ n. Para ~a, ~b ∈ Rn \{~0} definimos el ´angulo entre ~a y ~b como el u 3.5. Definicio ´nico n´ umero θ con 0 ≤ θ ≤ π tal que cos θ =

~a •~b k ~a kk ~b k

3.6. Teorema. (Desigualdad del tri´ angulo) Para todo ~a, ~b ∈ Rn , k ~a + ~b k≤k ~a k + k ~b k . Se da la igualdad si y solo si uno de los vectores es un m´ ultiplo escalar no negativo del otro.

4 Dem . k ~a + ~b k2 = (~a + ~b) • (~a + ~b) =k ~a k2 +2(~a •~b)+ k ~b k2 ≤k ~a k2 +2 k ~a kk ~b k + k ~b k2 . Esto es k ~a + ~b k2 ≤ (k ~a k + k ~b k)2 . Si sacamos ra´ız cuadrada obtenemos k ~a + ~b k≤k ~a k + k ~b k. El c´alculo anterior indica que se da la igualdad precisamente cuando ~a •~b =k ~a kk ~b k . Esto sucede exactamente cuando uno de los vectores es un m´ ultiplo escalar del otro. Sin ~ p´erdida de generalidad supongamos que b = λ~a con λ ∈ R. Si ~a = 0, entonces ~b = 0 y podemos tomar λ = 1. Si ~a 6= 0, entonces 0 ≤k ~a kk ~b k= ~a •~b = ~a • λ~a = λ k ~a k2 , con lo que λ ≥ 0.

4. Estructura topol´ogica de Rn ´ n. Sean ~a ∈ Rn , r ∈ R. Definimos la bola (abierta) con centro ~a y radio 4.1. Definicio r como el conjunto Br (~a) = {~x ∈ Rn | k ~x − ~a k< r}. Definimos la bola cerrada con centro ~a y radio r como el conjunto B r (~a) = {~x ∈ Rn | k ~x − ~a k≤ r} ´ n. Sea A ⊆ Rn . Decimos que A es abierto en Rn si satisface la condici´ 4.2. Definicio on ∀~a ∈ A∃r > 0 tal que Br (~a) ⊆ A. ´ n. Sea C ⊆ Rn . Decimos que C es cerrado en Rn si Rn \C es abierto en 4.3. Definicio Rn . 4.4. Lema. Para todo ~a ∈ Rn y r > 0, Br (~a) es un abierto de Rn . Dem . Sea ~b ∈ Br (~a). Entonces k ~b − ~a k< r. Sea s = r− k ~b − ~a k. Entonces s > 0. Si ~x ∈ Bs (~b) entonces k ~x − ~a k≤k ~x − ~b k + k ~b − ~a k< (r− k ~b − ~a k)+ k ~b − ~a k= r Concluimos que ~x ∈ Br (~a).

5 4.5. Lema. Para todo ~a ∈ Rn , r ≥ 0, B r (~a) es cerrado en Rn . Dem . Sean ~a ∈ Rn y r > 0. Queremos demostrar que Rn \B r (~a) es abierto. Sea ~b ∈ Rn \B r (~a). Entonces k ~b − ~a k> r. Sea s :=k ~b − ~a k −r. Entonces s > 0. Queremos demostrar que Bs (~b) ⊆ Rn \B r (~a). Sea ~c ∈ Bs (~b). Entonces k ~c − ~b k< s. Entonces k ~c − ~a k≥k ~b − ~a k − k ~c − ~b k>k ~b − ~a k −s = r. Por lo tanto, Bs (~b) ⊆ Rn \B r (~a) y, entonces, B r (~a) es cerrado en Rn . 4.6. Teorema. En Rn tenemos las siguientes propiedades. 1. La uni´on arbitraria de conjuntos abiertos es un abierto. 2. La intersecci´on finita de conjuntos abiertos es un abierto. 3. La intersecci´on arbitraria de conjuntos cerrados es un cerrado. 4. La uni´on finita de conjuntos cerrados es un cerrado. Dem . 1. Sea {Ui }i∈I una familia de conjuntos abiertos de Rn . Veamos que [

Ui

i∈I

S es abierto. Sea ~a ∈ i∈I Ui . Entonces existe i ∈ I tal queS a ∈ Ui . Como Ui es abierto de n R , existe r > 0 tal que Br (~a) ⊆ Ui . Entonces Br (~a) ⊆ i∈I Ui , con lo que este u ´ltimo conjunto es abierto. 2. Basta con demostrar que la intersecci´on de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto (el resultado para cualquier n´ umero finito de subconjuntos abiertos de Rn es una simple aplicaci´on de inducci´on). Sean U, V subconjuntos abiertos de Rn . Sea ~a ∈ U ∩ V . Por lo tanto ~a ∈ U y ~a ∈ V . Como U es abierto existe r1 > 0 tal que Br1 (~a) ⊆ U . Como V es abierto, existe r2 > 0 tal que Br (~a) ⊆ V . Sea r := min r1 , r2 . Entonces r > 0. Adem´as Br (~a) ⊆ Br1 (~a) ⊆ U y Br (~a) ⊆ Br2 (~a) ⊆ V . Por lo tanto Br (~a) ⊆ U ∩ V . Concluimos que U ∩ V es abierto. Las demostraciones de 3 y 4 se siguen de 1 y 2 respectivamente y se dejan como ejercicio.

6 ´ n. A ⊆ Rn . Definimos el interior de A como el conjunto 4.7. Definicio [ A◦ = int A = B. B⊆A B abierto

Definimos la cerradura de A como el conjunto \ A=

C.

A⊆C C cerrado

´ n. A◦ es el conjunto abierto m´as grande contenido en A. 4.8. Observacio A es el conjunto cerrado m´as peque˜ no que contiene a A. 4.9. Lema. A ⊆ Rn . A◦ = {~x ∈ Rn |∃r > 0 tal que Br (~x) ⊆ A}. Dem . Sea ~x ∈ A◦ . Entonces ~x ∈

[

B.

B⊆A B abierto

Por lo tanto existe B ⊆ A con B abierto en Rn tal que ~x ∈ B. Como B es abierto, por lo tanto exits r > 0 tal que Br (~x) ⊆ B ⊆ A. Por lo tanto A◦ ⊆ {~x ∈ Rn |∃r > 0 tal que Br (~x) ⊆ A}. La contenci´on en el sentido contrario es clara porque Br (~x) es un abierto que contiene a ~x cuando r > 0. ´ n. A ⊆ Rn , ~b ∈ Rn . Decimos que ~b es un punto frontera de A si para 4.10. Definicio todo r > 0 se tiene que Br (~b) ∩ A 6= ∅ y Br (~b) ∩ (Rn \A) 6= ∅. Definimos la frontera de A como el conjunto ∂A = {~b ∈ Rn |~b es punto forntera de A}. ´ n. ∀A ⊆ Rn , ∂A = ∂(Rn \A). 4.11. Observacio 4.12. Teorema. A ⊆ Rn . A = A ∪ ∂A. Dem . Sea ~b ∈ Rn \(A ∪ ∂A). Para toda r > 0, ~b ∈ Br (~b) ∩ (Rn \A). Como ~b ∈ / ∂A debe ~ ~ existir entonces una r > 0 tal que Br (b) ∩ A = ∅. Para cualquier ~x ∈ Br (b) existe s > 0 tal que Bs (~x) ⊆ Br (~b). Por lo tanto Bs (~x) ∩ A = ∅, con lo que Br (~b) ∩ (A ∪ ∂A) = ∅. Concluimos que A ∪ ∂A es cerrado en Rn . Como A ⊆ A ∪ ∂A, tenemos que A ⊆ A ∪ ∂A. En el sentido contrario, sea b ∈ Rn \A. Como Rn \A es abierto, existe r > 0 tal que Br (~b) ⊆ Rn \A. Esto implica que Br (~b) ∩ A = ∅. Entonces ~b ∈ / ∂A. Por lo tanto ∂A ⊆ A. Se sigue que A ∪ ∂A ⊆ A

7 4.13. Teorema. A ⊆ Rn . ∂A = A ∩ Rn \A. Dem . Tenemos que A ∩ Rn \A = (A ∪ ∂A) ∩ ((Rn \A) ∪ ∂(Rn \A)) = (A ∪ ∂A) ∩ ((Rn \A) ∪ ∂A) = ∂A ∪ (A ∩ (Rn \A)) = ∂A.

´ n. A ⊆ Rn . 4.14. Observacio 1. A es abierto en Rn si y solo si A = int A. 2. A es cerrado en Rn si y solo si A = A. ´ n. A ⊆ Rn , ~x ∈ Rn . Decimos que ~x es un punto de acumulaci´on de A 4.15. Definicio si para todo r > 0 se tiene que (Br (~x)\{~x}) ∩ A 6= ∅. Definimos A0 = {~x ∈ Rn |~x es un punto de acumulaci´on de A} ´ n. X ⊆ Rn . Decimos que X es compacto si para cualquier familia de 4.16. Definicio S abiertos hAi ii∈I de Rn tales que X ⊆ i∈I Ai , existen n ∈ N y j1 , . . . , jn ∈ I tales que X ⊆ Aj1 ∪ · · · ∪ Ajn . 4.17. Lema. a, b ∈ R, a ≤ b. El intervalo [a, b] es compacto en R. 4.18. Teorema. (Heine-Borel) Todo rect´angulo cerrado en Rn es compacto. Dem . Sean a1 , . . . , an , b1 , . . . bn ∈ R con ai ≤ bi para toda i ∈ {1, . . . , n}. Sea C = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn |ai ≤ xi ≤ bi para todo i}. S Supongamos que C no es compacto. Entonces existe una cubierta abierta C ⊆ i∈I Ai que no admite subcubierta finita de C. Expresamos a C como la uni´on de 2n subrect´angulos cada uno de los cuales tiene en el factor i al intervalo [ai , 21 (bi +ai )] o al intervalo [ 12 (bi +ai )]. Existe al menos uno de estos subrect´angulos que no puede ser cubierto con un n´ umero finito de abiertos de la cubierta abierta de C. Digamos que tal rect´angulo es C1 = [a11 , b11 ] × · · · × [a1n , b1n ]. Al rect´angulo C1 le aplicamos el mismo razonamiento para obtener el rect´angulo C2 = [a21 , b21 ] × · · · × [a2n , b2n ] que no puede cubrirse con un n´ umero finito de abiertos de la cubierta. Si continuamos el procedimiento obtenemos una sucesi´on anidada de rect´angulos C ⊇ C1 ⊇ C 2 ⊃ · · · ⊃ Ck ⊃ . . .

8 Veamos que la intersecci´on de dichos rect´angulos contiene exactamente un punto. Para cada i ∈ {1, . . . , n} tenemos ai ≤ a1i ≤ a2i ≤ · · · ≤ b2i ≤ b1i ≤ bi y limk→∞ (bki − aki ) = 0. Existe un u ´nicoTxi tal que para todo k, aki ≤ xi ≤ bki . Entonces ~x = (x1 , . . . , xn ) es el u ´nico elemento de k Ck . Como ~x ∈ C, existe j ∈ I tal que ~x ∈ Aj . Como Aj es abierto, podemos encontrar δ > 0 tal que Bδ (~x) ⊆ Aj . Como ~x pertenence a todos los subrect´angulos, un argumento de distancia mete a uno de dichos rect´angulos en Bδ (~x) ⊆ Aj , lo que es una contradicci´on. 4.19. Lema. C ⊆ Rn . C compacto ⇒ C cerrado. Dem . Supongamos que existe ~a ∈ ∂C\C. Consideremos la familia de abiertos hB 1 k~x−~ak (~x)i~x∈C . 2

Como ~a ∈ / C, para toda ~x ∈ C, x ∈ C. Esto es

1 2

k ~x − ~a k> 0, con lo que ~x ∈ B 1 k~x−~ak (~x) para toda

C⊆

2

[

B 1 k~x−~ak (~x). 2

~ x∈C

Veamos que esta cubierta no tiene una subcubierta finita. Tomemos y1 , . . . , yk ∈ C. Sea ε = min{ 12 k ~y1 − ~a k, . . . , 21 k ~yk − ~a k}. Como ~a ∈ ∂C, existe ~z ∈ C tal que k ~z − ~a k< ε. Para cualquier i ∈ {1, . . . , n} k ~a − ~yi k≤k ~a − ~z k + k ~z − ~yi k< ε+ k ~z − ~yi k≤

1 k ~a − ~yi k + k ~z − ~yi k . 2

Entonces 1 k ~a − ~yi k, 2 S con lo que ~z ∈ / B 1 k~a−~yi k (~yi ). Obtenemos que C 6⊆ ni=1 B 1 k~a−~yi k (~yi ). Concluimos que C 2 2 no es compacto. k ~z − ~yi k>

4.20. Corolario. A, C ⊆ Rn , C compacto, A ⊆ C. A es cerrado en Rn si y solo si A es compacto. S Dem . Supongamos que A es cerrado y tomemos A ⊆ i∈I Bi una cubierta abierta de A. S Entonces C ⊆ A ∪ (Rn \A) ⊆ i Bi ∪ (Rn \A), con lo que tenemos una cubierta abierta de C. Como C es compacto existen i1 , . . . , ik ∈ I tales que C ⊆ B1 ∪ · · · ∪ Bk ∪ (Rn \A). Entonces A ⊆ B1 ∪ · · · ∪ Bk . Esto es, A es compacto. Si A es compacto, entonces ya sabemos que es cerrado.

9 ´ n. A ⊆ Rn . Decimos que A es acotado si existen ~x ∈ Rn y r ∈ R tales 4.21. Definicio que A ⊆ Br (~x). 4.22. Lema. C ⊆ Rn . Si C es compacto, entonces C es acotado. Dem . Supongamos que C no es acotado. Para cada n ∈ N\{0} sea Un := Bn (~0). Tenemos que [ Rn = Un , n≥1

{Un }∞ n=1

con lo que es una cubierta abierta de C. Como C no es acotado, tal cubierta no admite una subcubierta finita de C. Entonces C no es compacto. ´ n. Si A es acotado podemos encontrar un rect´angulo cerrado C tal que 4.23. Observacio A ⊆ C. 4.24. Teorema. A ⊆ Rn . A es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Dem . Si A es compacto entonces ya sabemos que es cerrado y acotado. Supongamos ahora que A es cerrado y acotado. Como A es acotado existe un rect´angulo cerrado C tal que A ⊆ C. Como C es compacto por Heine-Borel y A es cerrado, concluimos que A es compacto. ´ n. X ⊆ Rn . Decimos que X es conexo si para cualesquiera abiertos 4.25. Definicio n A1 , A2 de R tales que X ⊆ A1 ∪A2 y X ∩A1 6= ∅, X ∩A2 6= ∅, se tiene que A1 ∩A2 ∩X 6= ∅. Si X no es conexo decimos que X es disconexo. 4.26. Lema. ~x, ~y ∈ Rn con ~x 6= ~y . {~x, ~y } es disconexo. 4.27. Lema. [0, 1] ⊆ R es conexo.

5. Bolzano-Weierstrass 5.1. Teorema. Si A ⊆ Rn es un conjunto infinito acotado, entonces A tiene un punto de acumulaci´on en Rn . Dem . Sea A ⊆ Rn un conjunto acotado sin puntos de acumulaci´on. Veamos que A es finito. Como A es acotado existe un rect´angulo cerrado R ⊆ Rn tal que A ⊆ R. Como A no tiene puntos de acumulaci´on tenemos que para cada ~x ∈ R existe r~x > 0 tal que (Br~x (~x)\{~x}) ∩ A = ∅. Entonces R⊆

[

Br~x (~x).

~ x∈R

Como R es compacto, existen ~x1 . . . , ~x` ∈ R tales que R ⊆ Br~x1 (~x1 ) ∪ · · · ∪ Br~x` (~x` ).

10 Entonces A ⊆ Br~x1 (~x1 ) ∪ · · · ∪ Br~x` (~x` ). Como para cada j ∈ {1, . . . , `} se tiene que A ∩ (Br~xj (~xj )\{~xj }) = ∅, tenemos que A ⊆ {~x1 , . . . , ~x` }, con lo que A es finito. ´ n. Para todo compacto K ⊆ Rn y todo abierto U ⊆ R con K ⊆ U , existe 5.2. Proposicio ε > 0 tal que para todo ~x ∈ K se tiene que Bε (~x) ⊆ U . Dem . Como K ⊆ U y U es abierto, para cada ~x ∈ K existe r~x > 0 tal que Br~x (~x) ⊆ U . Entonces [ K⊆ B 1 r~x (~x). 2

~ x∈K

Como K es compacto existen ~x1 , . . . , ~x` ∈ K tales que K ⊆ B 1 r~x (~x1 ) ∪ · · · ∪ B 1 r~x (~x` ). 2

1

1

2

`

Sea ε := min 2 r~x1 , . . . , 12 r~x` . Veamos que para todo ~a ∈ K se tiene que Bε (~a) ⊆ U . Si ~a ∈ K, entonces existe ~xj tal que ~a ∈ B 1 r~x (~xj ). Para cualquier ~b ∈ Bε (~a) tenemos 2 j que 1 k ~b − ~xj k≤k ~b − ~a k + k ~a − ~xj k< ε + r~xj ≤ r~xj . 2 Entonces ~b ∈ Br (~xj ) ⊆ U .

~ xj

6. Normas ´ n. V R-espacio vectorial. Una norma para V es una funci´on 6.1. Definicio k · k: V → R tal que 1. k ~x k> 0 si ~x 6= 0. 2. k λ~x k= |λ| k ~x k para todo ~x, λ ∈ R. 3. k ~x + ~y k≤k ~x k + k ~y k. k · k1 : Rn → R, (x1 , . . . , xn ) 7→ |x1 | + · · · + |xn | k · k∞ : Rn → R, (x1 , . . . , xn ) 7→ max{|x1 |, . . . , |xn |} Ejercicios: 1. Demuestra que se satisfacen las siguientes condiciones para todo ~a, ~b ∈ R: (a) 2 k ~a k2 +2 k ~b k2 =k ~a − ~b k2 + k ~a + ~b k2 .

11 (b) k ~a + ~b k k ~a − ~b k≤k ~a k2 + k ~b k2 . (c) 4~a •~b =k ~a + ~b k2 − k ~a − ~b k2 . Interpreta geom´etricamente estos resultados. 2. Demuestra la identidad de Lagrange: Para todo n ∈ N\{0} y todo a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R !2 ! n ! n n X X X X ai b i = a2i b2i − (ai bj − aj bi )2 . i=1

i=1

i=1

i 0 existe N = N (ε) ∈ N tal que la bola abierta Bε (~a) contiene a todos los t´erminos de la sucesi´on ~am tales que m ≥ N . A dicho punto ~a se le conoce como l´ımite de la sucesi´on y escribimos: ~a = lim ~am m→∞

o sucintamente

~a = lim ~am .

A las sucesiones que no convergen, se les conoce como divergentes. ´ n. Si ~a = lim ~am , ~b = lim ~am , entonces ~a = ~b. 8.2. Proposicio Dem . Sea ε > 0. Como lim ~am = ~a, existe N1 ∈ N tal que para todo m ≥ N1 , k ~am −~a k< ε/2. Como ~b = lim ~am , existe N2 ∈ N tal que para todo m ≥ N2 , k ~am − ~b k< ε/2. Sea m = max{N1 , N2 }, entonces ε ε k ~a − ~b k≤k ~a − ~am k + k ~am − ~b k< + = ε. 2 2 Como esto sucede para todo ε > 0, tenemos que ~a = ~b. ´ n. Cualquier subsucesi´on {~aml } de una sucesi´on convergente {~am } con8.3. Proposicio verge y liml→∞ ~aml = limm→∞ ~am . Dem . Sea ε > 0. Como {~am } es convergente, existe N ∈ N tal que ~am ∈ Bε (~a) para toda m ≥ N . Sea L tal que mL ≥ M . Por lo tanto, para toda l ≥ L se tiene que ml ≥ mL ≥ N . Entonces ~aml ∈ Bε (~a). (1)

(n)

´ n. Una sucesi´on {~am = (am , . . . , am )} en Rn converge si y s´olo si 8.4. Proposicio (i) todas y cada una de las sucesiones coordenadas {~am } son convergentes en R para toda i ∈ {1, . . . , n}.

14 (i)

Dem . ⇐) Sea ε > 0. Sup´ongase que las sucesiones {am } son convergentes en R y sean (i) a(i) los l´ımites correspondientes. Por lo tanto existen mi ∈ N tales que |a(i) − ak | < √εn para toda k ≥ mi . Sea ~a := (a(1) , . . . , a(n) ) ∈ Rn . Sea M = max{m1 , . . . , mn }. Entonces para cualquier m ≥ M tenemos que v s u n 2 uX ε (i) 2 (i) t √ ||~a − ~am || = · n = ε. (a − am ) < n i=1 ⇒) Supongamos que limm→∞ ~am = ~a y sea ε > 0. Existe entonces M ∈ N tal que para todo m > M se tiene que k~am − ~ak < ε. Sea i ∈ {1, . . . , n}. Para m ≥ M tenemos entonces que (i) |a(i) am − ~ak < ε. m − a | ≤ k~ (i)

Entonces limm→∞ am = a(i) . 8.5. Corolario. Sean {~am }, {~bm } sucesiones en Rn que convergen respectivamente a ~a y ~b, y sea λ ∈ R. La sucesi´on {~am + λ~bm } converge y lo hace a ~a + λ~b. En consecuencia, la familia de todas las sucesiones convergentes en Rn es un R-espacio vectorial. ´ n. Una sucesi´on {~am } en Rn se dice de Cauchy, si para toda ε > 0 existe 8.6. Definicio una K := K(ε) ∈ N tal que ||am − ak || < ε para todas m, k ≥ K. 8.7. Teorema. Criterio de convergencia de Cauchy. Para cualquier sucesi´on {~am } en Rn , las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. {~am } es convergente. 2. {~am } es de Cauchy. Dem . 1) → 2) Sup´ongase que lim ~am = ~a y dada ε > 0, sea K ∈ N tal que ||~a −~am || < 21 ε para toda m ≥ K. As´ı: ||~am − ~ak || ≤ ||~am − ~a|| + ||~a − ~ak || < ε, para cualesquiera m, k ≥ K. 2) → 1) Sea ε > 0 y K = K(ε) ∈ N tal que ||~am − ~ak || < ε, para m, k ≥ K. De las desigualdades: v u n uX (i) (i) t (am − a(i) )2 < ε, |a(i) − a | ≤ m k k i=1

se sigue que cada una de las sucesiones coordenadas {ain } es de Cauchy en R y por ende, ´ n 8.4, la sucesi´on {~am } es convergente en Rn . convergente. Por la Proposicio

15 ´ n. Cualquier sucesi´on convergente en Rn es acotada. 8.8. Proposicio Dem . Sea {~am } una sucesi´on en Rn tal que lim ~am = ~a. Sean ε = 1. Entonces existe N ∈ N tal que ~am ∈ B1 (~a) para toda m ≥ N . Sea r := max{||a|| + 1, ||a1 ||, . . . , ||am−1 ||}. Cualquier bola con radio r0 > r contiene a toda la sucesi´on {~am }. ´ n. Sea A ⊂ Rn . El conjunto A es cerrado si y s´olo si A contiene al 8.9. Proposicio l´ımite ~a de cualquier sucesi´on convergente {~am } tal que ~am ∈ A para toda m ∈ N. Dem . ⇐) Sea ~a ∈ ∂A. Para toda m ∈ N\{0} tenemos que B 1 (~a) ∩ A 6= ∅, con lo m que podemos tomar am ∈ B 1 (~a) ∩ A. Construimos as´ı una sucesi´on convergente {~am }, m integrada u ´nicamente por elementos de A. Por hip´otesis ~a ∈ A y A¯ := A ∪ ∂A = A. →) Sup´ongase ahora que A es cerrado. Si existe m tal que ~a = a~m , entonces ~a ∈ A. Sup´ongase entonces que ~am 6= ~a para toda m ∈ N. Para toda ε > 0 existe N tal que para todo m ≥ N , k~am − ~ak < ε. Como ~am ∈ A, tenemos que Bε (~a) ∩ A 6= ∅. Entonces ~a ∈ ∂A ⊆ A (porque A es cerrado). Concluimos que ~a ∈ A. 8.10. Teorema. (Bolzano-Weierstrass) Cualquier sucesi´on acotada en Rn tiene una subsucesi´on convergente. Dem . Sea A := {~am } una sucesi´on acotada en Rn . El conjunto A es cerrado y acotado, es decir, compacto. Sea ε := 1 > 0. La familia de bolas abiertas B1 (~x) tal que ~x ∈ A forma una cubierta abierta de A. En consecuencia, es posible extraer una subcubierta finita B1 (~x1 ), . . . , B1 (~xk ). Como {~am } es una sucesi´on en A, un n´ umero infinito de elementos de la sucesi´on deben estar contenidos en alguna bola, e.g. B1 (~ xi ). Tomemos m1 tal que ~am1 = ~xi Sea A1 = {am |m > m1 } ∩ B1 (~am1 ). Repetimos el argumento anterior con ε = 12 y con A1 en lugar de A para obtener un punto am2 ∈ B1 (~am1 ) con m2 > m1 tal que umero infinito de m ∈ N. am ∈ B1 (~am1 ) ∩ B 1 (~am2 ) para un n´ 2 Obtenemos recursivamente m1 < m2 < · · · < m` < · · · tales que para toda ` ∈ N ~am`+1 ∈

` \

B 1 (ami ). `

i=1

No es dif´ıcil ver que entonces {~am` } es una sucesi´on de Cauchy y, por lo tanto, una subsucesi´on convergente de {~am }.

9. L´ımites y funciones de varias variables ´ n. A lo largo de este curso utilizaremos: 9.1. Definicio • funciones vectoriales de una variable real t ∈ R 7→ (x1 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn ,

16 • funciones escalares de variable vectorial (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm 7→ F (x1 , . . . , xm ) ∈ R, • funciones vectoriales de variable vectorial (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm 7→ (f1 (x1 , . . . , xm ), . . . , fn (x1 , . . . , xm )) ∈ Rn . Despu´es de haber estudiado la forma en que un conjunto discreto (como es una sucesi´on en Rn ), nos interesa ahora examinar el caso continuo. Para ello, necesitamos una definici´on: ´ n. Sean F : D → Rm , D ⊆ Rn una funci´on y ~a ∈ Rn cualquier punto de 9.2. Definicio acumulaci´on de D. Diremos que ~b ∈ Rm es el l´ımite de F conforme ~x tiende a ~a, si y s´olo si para toda ε > 0 existe δ := δ(ε) > 0 tal que F (~x) ∈ Bε (~b) si ~x ∈ Bδ (~a) \ {~a} ∩ D. En este caso escribimos lim F (~x) = ~b. ~ x→~a

Para lidiar con los l´ımites de varias variables, necesitaremos de las siguientes desigualdades: 9.3. Lema. Si ~x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn entonces: |xj | ≤ ||~x|| ≤

√ n max{ |xj | },

para toda j ∈ {1, . . . , n}. 9.4. Ejemplo. ¿Existe el l´ımite de F conforme (x, y) → (0, 0)? S´ı es as´ı, calc´ ulelo: • F (x, y) =

x2

xy . + y2

´ n: Aproxim´emonos al origen a lo largo de la recta y = cx, donde c ∈ R. Solucio De este modo cx2 c c = lim = . 2 2 2 2 x→0 x + c x x→0 1 + c 1 + c2

lim F (x, cx) = lim

x→0

Como el l´ımite depende de la pendiente de la recta con la que nos aproximamos a (0, 0), el l´ımite no existe.

17 xy 2 . x2 + y 4 ´ n: Obs´erevese que a lo largo de y = cx Solucio

• F (x, y) =

c2 x 3 = 0, x→0 x2 + c2 x4 lim

y a lo largo de la familia de par´abolas y = cx2 c2 x 5 = 0; x→0 x2 + c2 x8 lim

sin embargo, a lo largo de x = y 2 1 y4 = . 4 y→0 2y 2 lim

Por lo tanto, el l´ımite no existe. sen(x + y) . x+y ´ n: A lo largo de y = x tenemos F (x, x) = sen(2x)/2x cuyo l´ımite es 1 Solucio conforme x → 0. En consecuencia, si el l´ımite existe, debe ser 1. p Sea ε > 0. Tenemos que encontrar δ > 0 tal que x2 + y 2 < δ implique sen(x + y) x + y − 1 < ε.

• F (x, y) =

Del c´alculo de una variable sabemos que dada ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < |x + y| < δ implica que |[sen(x + y)/(x + y)] − 1| < ε. En particular, si δ  1 entonces δ 2 < δ y nuestra u ´ltima implicaci´on sigue siendo v´alida para aquellas (x, y) tales que |x + y| ≤ |x| + |y| < δ 2 . Si |x|  1, |y|  1 entonces x2 + y 2 < |x| + |y| < δ 2 y el resultado sigue. 9.5. Teorema. Sea F : D ⊆ Rm → Rn una funci´on y ~a ∈ D un punto de acumulaci´ on de D ( i.e. Br (~a) \ {~a} ∩ D 6= ∅ para toda r > 0). El l´ımite de F (~x) conforme ~x → ~a es ~b si y s´olo si lim F (~xk ) = ~b para toda sucesi´on {~xk } ⊂ D \ {~a} que converge a ~a. Dem . →) Para toda ε > 0 existe δ := δ(ε) tal que si 0 < ||~xk − ~a|| < δ entonces ||F (xk ) − ~b|| < ε. Como ~xk → ~a conforme k → ∞, tomemos N (δ(ε)) tal que ~xk ∈ Bδ (~a) \ {~a} para toda k ≥ N . ⇐) Sup´ongase que existe ε > 0 tal que, para toda δ > 0 existen puntos ~x ∈ D tales que 0 < ||~x − ~a|| < δ y ||F (~x) − ~b|| ≥ ε. Sea δk := 1/k y el´ıjase para cada k, ~xk ∈ D tal que 0 < ||~xk −~a|| < δk y ||F (~xk ) −~b|| ≥ ε. Por construcci´on lim ~xk = ~a pero lim F (~xk ) 6= ~b o bien no existe

18 Naturalmente, tenemos: 9.6. Corolario. lim~x→~a F (~x) = ~b si y s´olo si lim~x→~a Fi (~x) = bi para toda i ∈ {1, . . . , n}. ´ n. Si F : D → R2 donde D ⊂ R2 y (a1 , a2 ) ∈ R2 es un punto de acu9.7. Definicio mulaci´on de D, diremos que limx1 →a1 F (x1 , x2 ) = g(x2 ) uniformemente en x2 para toda x2 ∈ Bδ (a2 ) si y s´olo si, para toda x2 ∈ Bδ (a2 ) y para cada ε > 0, existe δ1 (ε) > 0, que no depende de x2 , tal que F (x1 , x2 ) ∈ Bε (g(x2 )) si x1 ∈ Bδ1 (a1 ) \ {a1 }. ´ n. Si lim(x1 ,x2 )→(a1 ,a2 ) F (~x) = ~b existe y si para alguna δ0 > 0, 9.8. Proposicio lim F (x1 , x2 ) = g(x2 )

x1 →a1

uniformemente en x2 para toda x2 ∈ Bδ0 (a2 ), entonces lim (x1 ,x2 )→(a1 ,a2 )

F (x1 , x2 ) = lim ( lim F (x1 , x2 )). x2 →a2 x1 →a1

A este l´ımite se le conoce como l´ımite iterado. Dem . Sea ε > 0. Como lim~x→~a F (~x) = ~b existe δ1 > 0 tal que k~x − ~ak < δ1 implica que ε kF (~x) − ~bk < . 2 Como limx1 →a1 F (x1 , x2 ) = g(x2 ) uniformemente en x2 para todo x2 ∈ Bδ0 (a2 ), existe δ2 > 0 tal que para todo x2 ∈ Bδ0 (a2 ) y para todo x1 se tiene que si |x1 − a1 | < δ2 , entonces ε kF (x1 , x2 ) − g(x2 )k < . 2 √ Sea δ = min{δ0 , δ1 / 2, δ2 }. √ Sea x2 ∈ Bδ (a2 ). Tomemos x1 ∈ Bδ (a1 ). Entonces k(x1 , x2 ) − ~ak < 2δ ≤ δ1 . Concluimos que ε kF (~x) − ~bk < . 2 Entonces ε ε kg(x2 ) − ~bk ≤ kg(x2 ) − F (x1 , x2 )k + kF (x1 , x2 ) − ~bk < + = ε. 2 2 Esto es  lim

x2 →a2

 lim F (~x)

x1 →a1

= ~b.

19 9.9. Ejemplo. Sea F : R2 \ {~0} → R definida por F (x1 , x2 ) = (x21 − x22 )/(x21 + x22 ). Si nos aproximamos por la recta x2 = x1 entonces F (x1 , x1 ) = 0; sin embargo, al aproximarnos a lo largo de x2 = x21 tenemos la expresi´on (x21 − x41 )/(x21 + x42 ) cuyo l´ımite conforme x1 → 0 es 1. 9.10. Ejemplo. Sea F : {~x ∈ R2 | x1 6= 0} → R definida por F (x1 , x2 ) = x21 +x22 sen(1/x1 ). Muestre que lim~x→~0 F (~x) existe, pero que limx1 →0 F (~x) no, a menos que x2 = 0. 9.11. Ejemplo. Analice el comportamiento de F (~x) := (x1 |x2 |)/x2 para x2 6= 0.

10. Continuidad. ´ n. Si F : D ⊆ Rn → Rm y ~a ∈ D, entonces F es continua en ~a si y s´olo 10.1. Definicio si para toda ε > 0 existe δ := δ(ε) > 0 tal que ||F (~x) − F (~a)|| < ε

si ~x ∈ D tal que

||~x − ~a|| < δ

o de manera equivalente F (~x) ∈ Bε (F (~a))

si ~x ∈ Bδ (~a) ∩ D.

´ n. Si F : D ⊆ Rn → Rm y ~a ∈ D un punto de acumulaci´on de D, 10.2. Proposicio entonces F es continua en ~a si y s´olo si lim~x→~a F (~x) = F (~a). Si ~a es un punto aislado de D entonces F es continua en ~a. 10.3. Lema. La funci´on F : D ⊆ Rn → Rm es continua en ~a ∈ D si y s´olo si todos y cada una de las componentes de F, F1 , F2 , . . . , Fm : D → R son continuas en ~a. 10.4. Lema. Si F : D ⊆ Rn → R es continua en ~a ∈ D y F (~a) > 0 entonces existe δ > 0 tal que F (~x) > 0 para toda ~x ∈ Bδ (~a) ∩ D. 10.5. Ejemplo. Si f, g : [0, 1] → R son continuas en [0, 1] entonces f (x) = g(x) para toda x ∈ [0, 1] si y s´olo si f (x) = g(x) para toda x ∈ [0, 1] ∩ Q.

11. Im´agenes directas e inversas. Siguiendo la notaci´on del libro de Hans Sagan [AC], p. 234, tenemos: ´ n. Sea F : D(F ) ⊆ X → I(F ) ⊆ Y una funci´on entre conjuntos, donde 11.1. Definicio hemos escrito D(F ) para el dominio de F e I(F ) para su imagen. Definimos: F∗ (A) := {F (x) | x ∈ A}

para A ⊂ X,

y lo llamamos la imagen directa de A bajo F . Asimismo F ∗ (B) := {x | F (x) ∈ B} al cual llamamos la imagen inversa de B bajo F .

para B ⊂ Y,

20 ´ n. Bajo los supuestos de la definici´on anterior, tenemos: 11.2. Proposicio F ∗ (F∗ (A)) ⊇ A ∩ D(F ) F∗ (F ∗ (B)) = B ∩ I(F ) ⊆ B. Registramos tambi´en que F ∗ (F∗ (A)) = A ∩ D(F )

si F es 1 − 1.

´ n. Si F : D(F ) ⊆ X → I(F ) ⊆ Y es una funci´on, entonces 11.3. Proposicio F ∗ (∅) = ∅.

(i) F∗ (∅) = ∅, (ii)

F∗ (A) = ∅ ⇔ A ∩ D(F ) = ∅ F ∗ (B) = ∅ ⇔ B ∩ I(F ) = ∅,

(iii) Si A1 ⊆ A2 ⊆ X, B1 ⊆ B2 ⊆ Y entonces F∗ (A1 ) ⊆ F∗ (A2 ),

F ∗ (B1 ) ⊆ F ∗ (B2 ).

(iv) Si Λ, M son conjuntos de ´ındices y Aλ ⊆ X, Bµ ⊆ Y para toda λ ∈ Λ, µ ∈ M , entonces ! ! [ [ [ [ F∗ Aλ = F∗ (Aλ ), F∗ Bµ = F ∗ (Bµ ). λ∈Λ

µ∈M

λ∈Λ

µ∈M

´ n. 11.4. Proposicio (i) Si F : D(F ) ⊆ X → I(F ) ⊆ Y es una funci´on, Λ es alg´ un conjunto de ´ındices y Aλ ⊆ X para toda λ ∈ Λ, entonces ! \ \ F∗ Aλ ⊆ F∗ (Aλ ). λ∈Λ

λ∈Λ

(ii) Si A1 , A2 ⊆ X entonces F∗ (A1 \ A2 ) ⊆ F∗ (A1 ). (iii) Si M es alg´ un conjunto de ´ındices y Bµ ⊆ Y para toda µ ∈ M , entonces ! \ \ F∗ Bµ = F ∗ (Bµ ). µ∈M

µ∈M

(iv) Si B1 , B2 ⊆ Y entonces F ∗ (B1 \ B2 ) = F ∗ (B1 ) \ F ∗ (B2 ).

21 Dem . (i) Sea y ∈ F∗ (∩λ Aλ ). Por definici´on y = F (x) tal que x ∈ Aλ para toda λ ∈ Λ y por consiguiente, y = F (x) ∈ F∗ (Aλ ) tambi´en para toda λ. Esta u ´ltima condici´on concluye la prueba. Para ver que la contenci´on inversa no es v´alida: sean F : R → R dada por x 7→ x2 y A1 := (−1, 0) y A2 := (0, 1). Tenemos A1 ∩ A2 = ∅ y por ende, F∗ (A1 ∩ A2 ) = ∅; sin embargo F∗ (Ai ) = (0, 1). Es decir F∗ (A1 ∩ A2 ) ⊂ F∗ (A1 ) ∩ F∗ (A2 ). (ii) Sea y ∈ F∗ (A1 \ A2 ). Por definici´on y = F (x) para alguna x ∈ A1 y x ∈ / A2 . ´ Unicamente podemos afirmar que y = F (x) ∈ F∗ (A1 ), ya que si F, A1 , A2 son como en el inciso anterior, entonces x ∈ (−1, 0) s´ı cumple con que F (x) ∈ F∗ (A2 ). (iii) Tenemos ∩µ Bµ ⊆ Bµ , por lo tanto F ∗ (∩Bµ ) ⊂ F ∗ (Bµ ) para toda µ ∈ M . As´ı F ∗ (∩Bµ ) ⊆ ∩F ∗ (Bµ ). Rec´ıprocamente, sea x ∈ ∩µ F ∗ (Bµ ). Se tiene que x ∈ F ∗ (Bµ ) para toda µ ∈ M y esto implica que F (x) ∈ Bµ para toda µ. Por lo tanto F (x) ∈ ∩µ Bµ lo que significa que x ∈ F ∗ (∩Bµ ). (iv) Finalmente, sea x ∈ F ∗ (B1 \ B2 ). Esto ocurre si y s´olo si F (x) ∈ B1 y F (x) ∈ / B2 ; esto equivale a que x ∈ F ∗ (B1 ) y x ∈ / F ∗ (B2 ) o si y s´olo si x ∈ F ∗ (B1 ) \ F ∗ (B2 ). En particular, obs´ervese que haciendo B1 = Y tenemos F ∗ (B2c ) = D(F ) \ F ∗ (B2 ).

1−1

11.5. Corolario. Si F : D(F ) ⊆ X −→ Y entonces ! \ \ F∗ Aλ = F∗ (Aλ ) Λ

Λ

F∗ (A1 \ A2 ) = F∗ (A1 ) \ F∗ (A2 ). 1−1

Dem . Consid´erese F : D(F ) −→ I(F ) y sea F −1 : I(F ) → D(F ) la inversa. Dado que y = F (x) si y s´olo si x = F −1 (y), tenemos para cualquier A ⊆ X: (F −1 )∗ (A) := { y | F −1 (y) ∈ A } = { F (x) | x ∈ A } =: F∗ (A). Por lo tanto ! (F −1 )∗

\ λ∈Λ

(F

−1 ∗

Aλ

=

\

(F −1 )∗ (Aλ )

λ∈Λ −1 ∗

) (A1 \ A2 ) = (F

) (A1 ) \ (F −1 )∗ (A2 ).

22

12. Composici´on de funciones ´ n. Sean F : D(F ) ⊆ Rn → Rp y G : D(G) ⊂ Rp → Rm funciones. Si 12.1. Definicio F ∗ (D(G)) 6= ∅ entonces a la funci´on G ◦ F : D(G ◦ F ) → Rm , donde D(G ◦ F ) := F ∗ (D(G)) ⊂ Rn , definida por (G ◦ F )(~x) := G(F (~x)) se le conoce como la composici´on de G y F . Nota: Si A ⊆ Rn , B ⊆ Rm son cualesquiera subconjuntos, entonces G∗ (F∗ (A)) : = {G(y) | y ∈ F∗ (A)} = {G(y) | y ∈ {F (x) | x ∈ A}} = {G(F (x)) | x ∈ A} = (G ◦ F )∗ (A). ∗ ∗ F (G (B)) : = {x | F (x) ∈ G∗ (B)} = {x | F (x) ∈ {y | G(y) ∈ B}} = {x | G(F (x)) ∈ B} = (G ◦ F )∗ (B). ´ n. Si F : D(F ) ⊂ Rn → Rp es continua en ~a y G : D(G) ⊂ Rp → Rm 12.2. Proposicio es continua en ~b := F (~a) ∈ D(G) entonces G ◦ F : D(G ◦ F ) → Rm es continua en ~a. Dem . Para toda ε > 0 existen δ1 > 0 tal que G∗ (Bδ1 (~b)) ⊆ Bε (G(~b)) y δ > 0 tal que F∗ (Bδ (~a)) ⊆ Bδ1 (F (~a)) = Bδ1 (~b). Pero (G ◦ F )∗ (Bδ (~a)) = G∗ (F∗ (Bδ (~a))) ⊆ G∗ (Bδ1 (~b)) ⊆ Bε (G(~b)).

13. Caracterizaci´on global de las funciones continuas 13.1. Teorema. F : D ⊆ Rm → Rn es continua en D si y s´olo si para todo subconjunto abierto B ⊂ Rn existe un abierto B1 ⊆ Rm tal que F ∗ (B) = B1 ∩ D, o de manera equivalente, para todo subconjunto cerrado H ⊆ Rn existe un cerrado H1 ⊆ Rm tal que F ∗ (H) = H1 ∩ D. (Si sustituimos D por cualquier subconjunto A ⊂ D, entonces obtenemos un criterio para la continuidad de F |A ).

23 Dem . (i) Sup´ongase que F es continua en D y que B ⊆ Rn es abierto. Si F ∗ (B) = ∅ entonces ya terminamos, porque ∅ es abierto. Por lo tanto, podemos suponer que F ∗ (B) 6= ∅. Para todo ~a ∈ F ∗ (B) ⊆ D, tenemos que F (~a) ∈ B y, como B es abierto, existe ε > 0 tal que Bε (F (~a)) ⊂ B. Como F es continua en ~a, existe δ := δ(ε, ~a) > 0 tal que F∗ (Bδ (~a)) ⊆ Bε (F (~a)) ⊂ B, es decir, Bδ (~a) ∩ D ⊂ F ∗ (B).

(1)

Def´ınase: B1 :=

[

Bδ(ε,~a) (~a).

~a∈F ∗ (G)

Este conjunto es abierto, dado que es la uni´on arbitraria de conjuntos abiertos. Si ~x ∈ F ∗ (B) entonces ~x ∈ B1 y por consiguiente F ∗ (B) ⊆ B1 . Dado que F ∗ (B) ⊂ D tenemos F ∗ (B) ⊆ B1 ∩ D. Rec´ıprocamente, si ~x ∈ B1 ∩ D entonces ~x ∈ Bδ (~a) para alguna ~a ∈ F ∗ (B) y por (1) ~x ∈ F ∗ (B). Por lo tanto B1 ∩ D ⊆ F ∗ (B). (ii) Sup´ongase que para todo abierto B ⊆ Rn , existe un abierto B1 ⊆ Rm tal que F ∗ (B) = B1 ∩ D. Sea ~a ∈ D. Para toda ε > 0, B := Bε (F (~a)) es un abierto de Rn y ~a ∈ F ∗ (B). Por hip´otesis, existe un subconjunto abierto B1 ⊆ Rm tal que F ∗ (B) = B1 ∩ D y dado que ~a ∈ B1 y ´este es abierto, existe δ := δ(ε) > 0 tal que Bδ (~a) ⊆ B1 . Dado que Bδ (~a) ∩ D ⊆ B1 ∩ D = F ∗ (B) tenemos F∗ (Bδ (~a) ⊆ B = Bε (F (~a)), lo que significa que F es continua en ~a. Como ´este era arbitrario, F debe ser continua en D.

14. Funciones abiertas ´ n. La funci´on F : D ⊂ Rm → Rn es abierta si y s´olo para todo abierto 14.1. Definicio A ⊆ Rm existe un abierto A1 ⊆ Rn tal que F∗ (A) = A1 ∩ I(F ). ´ n. Si F : D ⊂ Rm → Rn es una funci´on abierta e inyectiva entonces 14.2. Proposicio −1 la inversa F : I(F ) → D existe y es continua. Dem . Por la inyectividad tenemos que F −1 : I(F ) ⊆ Rn → D existe y as´ı: (F −1 )∗ (A) = F∗ (A) Si A ⊂ Rm es abierto entonces existe un abierto A1 ⊂ Rn tal que F∗ (A) = A1 ∩ I(F ) = A1 ∩ D(F −1 ). Por lo tanto: (F −1 )∗ (A) = F∗ (A) = A1 ∩ D(F −1 ), y F −1 es continua en I(F ).

24 Obs´ervese que F no tiene porque ser necesariamente continua.

15. La imagen continua de un conjunto compacto 15.1. Teorema. Si K ⊆ Rm es compacto y F : K → Rn es continua en K, entonces F∗ (K) es compacto. Dem . Sea Ω := { Ωα | α ∈ A } una cubierta abierta de F∗ (K). Dado que F es continua en K, para cada α ∈ A existe un abierto Bα ⊂ Rm tal que F ∗ (Ωα ) = Bα ∩ K. Si ~x ∈ K entonces F (~x) ∈ F∗ (K) y en consecuencia, existe α0 ∈ A tal que F (~x) ∈ Ωα0 . Por lo tanto ~x ∈ Bα0 y la familia B := {Bα | α ∈ A} forma una cubierta abierta de K. Podemos extraer una colecci´on finita: Bα1 , . . . , Bαk , la cual sigue cubriendo a K. Para cada F (~x) ∈ F∗ (K) tenemos que ~x ∈ Bαj para alguna j ∈ {1, 2, . . . , k} y por lo tanto F (~x) ∈ Ωαj . Pero esto implica que {Ωα1 , . . . , Ωαk } forma una subcubierta finita de F∗ (K). ´ n. Si F : K ⊂ Rm → R es continua en el compacto K, entonces F 15.2. Proposicio alcanza su m´aximo y su m´ınimo en K. Dem . Por el teorema anterior, F∗ (K) es un subconjunto compacto en R lo que equivale a que sea cerrado y acotado. Existen por lo tanto, dos puntos frontera F (~xM ) y F (~xm ) en F∗ (K) que satisfacen F (~xm ) ≤ F (~x) ≤ F (~xM ), para todo ~x ∈ K.

16. Conjuntos conexos y la imagen continua de un conjunto conexo Partiremos del siguiente resultado, ya probado en clase: 16.1. Lema. [0, 1] ⊂ R es conexo. Para probar dos proposiciones: ´ n. Rn es conexo. 16.2. Proposicio

25 ´ n. Rn y ∅ son los u 16.3. Proposicio ´nicos subconjuntos de Rn que son abiertos y cerrados. Dem. de 16.2: Sup´ongase que Rn es inconexo y sean A, B ⊂ Rn abiertos que lo desconectan. Es decir: A ∩ Rn 6= ∅ y B ∩ Rn 6= ∅ Rn ⊆ A ∪ B A∩B =∅ Sean ~a ∈ A ∩ Rn = A y ~b ∈ B ∩ Rn = B y consid´erese los siguientes conjuntos: A1 : = {t ∈ R | (1 − t)~a + t~b ∈ A} B1 : = {t ∈ R | (1 − t)~a + t~b ∈ B}. Afirmamos que A1 , B1 son subconjuntos abiertos de R. Para ver esto, obs´ervese que la funci´on F : R → Rn dada por F (t) := (1 − t)~a + t~b es continua: sea t0 ∈ R tenemos que ||F (t) − F (t0 )|| = ||(1 − t)~a + t~b − (1 − t0 )~a − t0~b|| = ||(t0 − t)(~a − ~b)|| = |t0 − t| · ||~a − ~b|| < ε basta con definir δ := ε/||~a − ~b||. Tenemos que A1 = F ∗ (A), B1 = F ∗ (B) y que 0 ∈ A1 y 1 ∈ B1 . Por lo tanto A1 ∩ [0, 1] 6= ∅ y B1 ∩ [0, 1] 6= ∅. Por otro lado, como A ∪ B = Rn tenemos A1 ∪ B1 = F ∗ (A) ∪ F ∗ (B) = F ∗ (Rn ∩ I(F )) = R. Por u ´ltimo, como A ∩ B = ∅ se observa que A1 ∩ B1 = F ∗ (A) ∩ F ∗ (B) = ∅. Por lo tanto, A1 , B1 desconectan a [0, 1]. Dem. de 16.3: Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y cerrado. Entonces Ac := R \ A es cerrado y a la vez es abierto (porque A es abierto y cerrado, respectivamente). Los dos conjuntos abiertos A y Ac verifican lo siguiente: A ∪ Ac = Rn A ∩ Ac = ∅. Como Rn es conexo debe ocurrir que A = ∅ o que Ac = ∅, es decir, A = ∅ o A = Rn .

26 Tenemos el siguiente resultado: 16.4. Teorema. Si F : D ⊆ Rm → R es continua y D es conexo, entonces F∗ (D) es conexo. Dem . Sup´ongase que F∗ (D) no es conexo y sean A, B ⊂ R subconjuntos abiertos tales que: A ∩ F∗ (D) 6= ∅ y B ∩ F∗ (D) 6= ∅ F∗ (D) ⊆ A ∪ B A ∩ B = ∅. Dado que F es continua, existen abiertos A1 , B1 ⊆ Rm tales que F ∗ (A) = A1 ∩ D y F ∗ (B) = B1 ∩ D. Por lo anterior: A1 ∩ D = 6 ∅ y B1 ∩ D = 6 ∅ D ⊆ A1 ∪ B1 A1 ∩ B1 = ∅; es decir, A1 , B1 desconectan a D.

17. Continuidad uniforme. ´ n. La funci´on F : D ⊆ Rm → Rn es uniformemente continua en D si y 17.1. Definicio s´olo si, para toda ε > 0 existe δ := δ(ε) > 0 tal que ||F (~x1 ) − F (~x2 )|| < ε para cualesquiera ~x1 , ~x2 ∈ D con ||~x1 − ~x2 || < δ. Negando esta definici´on obtenemos que F : D ⊆ Rm → Rn no es uniformemente continua en D si y s´olo si existe ε > 0 tal que para toda δ > 0 existen dos elementos ~x1 , ~x2 ∈ D tales que ||~x1 − ~x2 || < δ y ||F (~x1 ) − F (~x2 )|| ≥ ε. (1) (2) Haciendo δk := 1/k obtenemos dos sucesiones {~xk }, {~xk } en D para las cuales (1) (2) (1) (2) ||~xk − ~xk || < 1/k y ||F (~xk ) − F (~xk )|| ≥ ε: ´ n. La funci´on F : D ⊂ Rm → Rn no es uniformemente continua en D 17.2. Proposicio (1) (2) si y s´olo si existe una ε > 0 y dos sucesiones {~xk }, {~xk } en D para toda k ∈ N tales (1) (2) (1) (2) que ||~xk − ~xk || < 1/k y ||F (~xk ) − F (~xk )|| ≥ ε ´ n. Si K ⊆ Rm es compacto y F : K → Rn es continua en K, entonces 17.3. Proposicio F es uniformemente continua en K.

27 Dem . Sup´ongase, s.p.g., que K contiene una infinidad de elementos (de lo contrario, la proposici´on es trivial) y que F no es uniformemente continua en K. Por la proposici´on (1) (2) (1) (2) anterior, existe alguna ε > 0 y sucesiones {~xk }, {~xk } en K tales que ||~xk − ~xk || < 1/k y (1) (2) ||F (~xk ) − F (~xk )|| ≥ ε, para toda k ∈ N. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, tenemos subsucesiones con(1) (2) vergentes {~xk` }, {~xk` } (primero tomamos una subsucesi´on convergente de la primera, de la subsucesi´on que resulta de la segunda tomamos una subsucesi´on convergente, de esta manera obtenemos subsucesiones convergentes de las dos sucesiones originales con los mismos sub´ındices) tales que (1)

(1)

(2)

(2)

lim ~xk` = ~x0 ∈ K y lim ~xk` = ~x0 ∈ K.

`→∞

`→∞

Por lo tanto, para alguna L(ε) ∈ N tenemos: ε ε (2) (2) (1) (1) ||~x0 − ~xk` || < , ||~x0 − ~xk` || < 3 3 para toda ` ≥ L(ε). Adem´as, por construcci´on: (2)

(1)

||~xkn − ~xk` ||
0 tal que (1)

(2)

(1)

(1)

(1)

(2)

||F (~xk` ) − F (~xk` )|| ≤ ||F (~xk` ) − F (~x0 )|| + ||F (~x0 ) − F (~xk` )|| < ε (1)

(1)

(2)

(1)

si ||~xk` − ~x0 || < δ(ε) y ||~xk` − ~x0 || < δ(ε); pero esto se puede lograr para ` lo suficientemente grande. Pero esto es una contradicci´on y por ende, F es uniformemente continua en K.

´ lculo Diferencial e Integral 3. Curso de Ca Tarea: L´ımites y continuidad. Responda los siguientes ejercicios justificando detalladamente sus respuestas. No abuse de los argumentos intuitivos. 1. Sea F : R2 \ {(0, 0)} → R3 definida por: xy F1 (x, y) := p , x2 + y 2 ( x2 + y 2 si x, y ∈ Q, F2 (x, y) := 0 en otro caso 1 . F3 (x, y) := (x2 + y 2 ) sin 2 x + y2 ¿Existe lim~x→(0,0) F (~x)? En caso de que su respuesta sea afirmativa, encu´entrelo. 2. Sea F : R → R una funci´on con la propiedad de que F (x + y) = F (x)F (y) para cualesquiera x, y ∈ R. (a) Muestre que si F (x0 ) = 0 para alguna x0 ∈ R, entonces F (x) = 0 para toda x ∈ R. (b) Muestre que si F es continua en x = 0 entonces es continua en todo R. (c) ¿Conoce alguna funci´on que satisfaga estas condiciones? ¿Es la u ´nica? 3. Sea F : R2 → R2 definida como: F (x, y) := (x cos(y), x sin(y)), y consid´erese el conjunto: A :={(x, 0) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1} ∪ {(1, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 2π} ∪ {(x, 2π) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1} ∪ {(0, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 2π}. Encuentre F∗ (A) e interprete geom´etricamente. 4. Decimos que una funci´on F : D ⊆ Rm → Rn es abierta, si para cada abierto A ⊂ Rm existe un abierto A1 ⊂ Rn tal que: F∗ (A) = A1 ∩ I(F ). Demuestre que si F : D ⊆ Rm → Rn es abierta e inyectiva, entonces la funci´on inversa existe y es continua. N´otese que F no necesariamente es continua. ¿Puede dar un ejemplo donde esto ocurra?

5. Muestre que la funci´on F : R2 → R3 dada por F1 (x, y) := x + y, F2 (x, y) := x − y, F3 (x, y) := x2 es inyectiva y abierta; pero no transforma abiertos de R2 en abiertos de R3 . 6. Pruebe que si F : K → Rn es continua en el compacto K ⊂ Rm , entonces la funci´on ||F || : K → R definida por ~x 7→ ||F (~x)|| alcanza su m´aximo y su m´ınimo en K. 7. Sea F : D → R donde D := { (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 x2 · · · xn = 1 } con n > 1 y n

1X F (~x) := xk . n k=1 Muestre que F no alcanza su m´aximo en D. ¿Qu´e conclusiones puede obtener sobre D? 8. Decimos que una funci´on F : D ⊆ Rm → Rn satisface globalmente una condici´on de Lipschitz en D si y s´olo si existe alguna constante L > 0 tal que: ||F (~x) − F (~y )|| ≤ L||~x − ~y ||

para cualesquiera ~x, ~y ∈ D.

Si 0 < L < 1 entonces diremos que F es una contracci´on en D. Demuestre lo siguiente: (i) Si F satisface globalmente una condici´on de Lipschitz en D, entonces F es uniformemente continua en D. (ii) Sea C ⊆ Rm un conjunto cerrado. Si F : C → C es una contracci´on en C, entonces existe un u ´nico ~x0 ∈ C tal que F (~x0 ) = ~x0 . Se acostumbra enunciar este resultado diciendo que una contracci´on en un subconjunto cerrado posee un u ´nico punto fijo.

References [AC]

Sagan, H.; Advanced Calculus; Houghton Mifflin Co., Boston 1974.

18. Derivadas de funciones I → Rn , con I ⊆ R un intervalo En esta secci´on I ⊆ R es un intevalo abierto (a, b) con a < b, incluyendo los posibles valores a = −∞, b = +∞. ´ n. Una funci´on af´ın T : R → Rn es una funci´on tal que existen ~v , ~u ∈ Rn 18.1. Definicio tales que para toda t ∈ R, T (t) = t~v + ~u.

30 ´ n. Sean f : I → Rn funci´on, t0 ∈ I y T : R → Rn una funci´on af´ın. 18.2. Definicio Decimos T es una mejor aproximaci´ on af´ın de f cerca de t0 si y solo si f (t0 ) = T (t0 )

y

lim

t→t0

f (t) − T (t) = 0. t − t0

18.3. Ejemplo. Sean g : (a, b) → R una funci´on y t0 ∈ (a, b). Definimos f : R → R2 tal que f (t) = (t, g(t)) para todo t ∈ (a, b). Supongamos que f tiene una mejor aproximaci´on af´ın T : R → R2 cerca de t0 , con T (t) = ~u + t~v . Calculemos ~u = (u1 , u2 ) y ~v = (v1 , v2 ). Como f (t0 ) = T (t0 ), entonces (t0 , g(t0 )) = ~u + t0~v , de donde obtenemos las ecuaciones (

u1 = t0 (1 − v1 )

(2)

u2 = g(t0 ) − t0 v2 . Entonces f (t) − T (t) = (t − u1 − tv1 , g(t) − u2 − tv2 ). Al sustituir los valores obtenidos en (2), tenemos que f (t) − T (t) = (t − t0 (1 − v1 ) − tv1 , g(t) − g(t0 ) + t0 v2 − tv2 ) = ((t − t0 )(1 − v1 ), g(t) − g(t0 ) − (t − t0 )v2 ). Entonces

f (t) − T (t) = t − t0



g(t) − g(t0 ) 1 − v1 , − v2 t − t0



Como el l´ımite del cociente anterior es cero conforme t tiende a t0 , concluimos que v1 = 1 y que g tiene derivada en t0 con v2 = g 0 (t0 ). Entonces ~u = (0, g(t0 ) − tg 0 (t0 ))

y

~v = (1, g 0 (t0 )).

Rec´ıprocamente, si g es derivable en t0 , entonces no es dif´ıcil ver que con ~u y ~v definidos arriba, se tiene que t 7→ ~u + t~v es una mejor aproximaci´on af´ın de f cerca de t0 . 18.4. Teorema. f : I → Rn funci´on, t0 ∈ I, T1 , T2 funciones afines. Si T1 y T2 son mejores aproximaciones afines de f en t0 , entonces T1 = T2 . Dem . Supongamos que T1 (t) = t~v1 + ~u1 y T2 (t) = t~v2 + ~u2 . El hecho de que T1 (t0 ) = f (t0 ) = T2 (t0 ) nos dice que t0~v1 + ~u1 = t0~v2 + ~u2 , o bien que ~u1 = t0 (~v2 − ~v1 ) + ~u2 .

31 Adem´as tenemos que 0 = lim

t→t0

f (t) − T2 (t) f (t) − T1 (t) T1 (t) − T2 (t) t~v1 + ~u1 − (t~v2 + ~u2 ) − lim = lim = lim . t→t0 t→t0 t→t0 t − t0 t → t0 t → t0 t − t0

Si sustituimos el valor que obtuvimos antes para u1 en esta u ´ltima expresi´on obtenemos que t~v1 + t0 (~v2 − ~v1 ) + ~u2 − (t~v2 + ~u2 ) t~v1 + ~u1 − (t~v2 + ~u2 ) = lim t→t0 t→t0 t − t0 t − t0 t(~v1 − ~v2 ) + t0 (~v2 − ~v1 ) (t − t0 )(~v1 − ~v2 ) = lim = lim = ~v1 − ~v2 . t→t0 t→t0 t − t0 t − t0

0 = lim

Entonces v1 = v2 . Entonces se sigue de manera inmediata, de la expresi´on de ~u1 que obtuvimos arriba, que ~u1 = ~u2 . Entonces T1 = T2 . Cuando ya sabemos que T (t) = t~v + ~u y que T (t0 ) = f (t0 ), entonces podemos escribir T (t) = t~v + ~u = f (t0 ) − T (t0 ) + t~v + ~u = f (t0 ) − t0~v − ~u + t~v + ~u = f (t0 ) + (t − t0 )~v . ´ n. f : I → Rn funci´on, t0 ∈ I. Si existe la mejor aproximaci´on af´ın 18.5. Definicio T (t) = f (t0 )+(t−t0 )~v de f en t0 , decimos que f es diferenciable en t0 y el vector ~v ∈ Rn es llamado la derivada (o derivada total, primera derivada, vector velocidad) de f en t0 . En tal caso escribimos ~v = f 0 (t0 ) (otras notaciones son

df (t0 ), (Df )(t0 ), Df (t0 ), f˙(t0 )); dt

decimos que ||f 0 (t0 )|| es la rapidez de f en t0 . Cuando para todo t ∈ I existe f 0 (g), decimos que f es diferenciable en I. La ecuaci´on relevante cuando T es la mejor aproximaci´on af´ın de f en t0 es T (t) = f (t0 ) + f 0 (t0 )(t − t0 ). 18.6. Teorema. f : I → Rn funci´on, t0 ∈ I. f es diferenciable en el punto t0 si y solo si cada funci´on coordenada fj de f es diferenciable en el punto t0 , en cuyo caso f 0 (t0 ) = (f10 (t0 ), . . . , fn0 (t0 )). Dem . Supongamos primero que cada fj es diferenciable en t0 . Definimos T : R → Rn tal que para cada t ∈ R, T (t) = f (t0 ) + (t − t0 )(f10 (t0 ), . . . , fn0 (t0 )).

32 Debemos ver que T es la mejor aproximaci´on af´ın de f en t0 . Es claro que T (t0 ) = f (t0 ). Por otro lado debemos calcular lim

t→t0

f (t) − f (t0 ) − (t − t0 )(f10 (t0 ), . . . , fn0 (t0 )) f (t) − T (t) = lim t→t0 t − t0 t − t0   f (t) − f (t0 ) 0 0 = lim − (f1 (t0 ), . . . , fn (t0 )) t→t0 t − t0    f1 (t) − f1 (t0 ) fn (t) − fn (t0 ) 0 0 = lim ,..., − (f1 (t0 ), . . . , fn (t0 )) t→t0 t − t0 t − t0   f1 (t) − f1 (t0 ) fn (t) − fn (t0 ) 0 0 − f1 (t0 ), . . . , − fn (t0 ) = lim t→t0 t − t0 t − t0   f1 (t) − f1 (t0 ) fn (t) − fn (t0 ) 0 0 = lim − f1 (t0 ), . . . , lim − fn (t0 ) t→t0 t→t0 t − t0 t − t0 = ~0,

con lo que T es la mejor aproximaci´on af´ın de f en t0 . Entonces f es diferenciable en t0 . Supongamos ahora que f es diferenciable en t0 . Sea T : R → Rn , t 7→ f (t0 ) + (t − t0 )~v la mejor aproximaci´on af´ın de f en t0 con ~v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn . Entonces ~0 = lim f (t) − T (t) = lim f (t) − f (t0 ) − (t − t0 )~v t→t0 t→t0 t − t0 t − t0   fn (t) − fn (t0 ) f1 (t) − f1 (t0 ) = lim − v1 , · · · , − vn . t→t0 t − t0 t − t0 Entonces el l´ımite conforme t tiende a t0 de cada variable es cero, es decir, para toda i ∈ {1, . . . , n}   fi (t) − fi (t0 ) − vi = 0. lim t→t0 t − t0 Entonces cada fi es diferenciable en t0 y vi = fi0 (t0 ). 18.7. Lema. f diferenciable en t0

+3

f continua en t0 .

Dem . Supongamos f diferenciable en t0 . Sea T la mejor aproximaci´on af´ın de f en t0 . Entonces existe δ > 0 tal que para todo t ∈ I, 0 < |t − t0 | < δ implica

f (t) − T (t)

t − t0 < 1, o bien, k f (t) − T (t) k< |t − t0 | Entonces para tales t |t − t0 | > kf (t) − T (t)k = kf (t) − f (t0 ) + T (t0 ) − T (t)k = kf (t) − f (t0 ) + (t0 − t)~v k ≥ kf (t) − f (t0 )k − |t − t0 |k~v k.

33 Entonces kf (t) − f (t0 )k ≤ |t − t0 |(1 + k~v k). Como el lado derecho tiende a cero conforme t tiende a t0 , entonces f es continua en t0 . 18.8. Ejemplo. a ∈ R, a > 0, f : R → R2 , f (t) = (a cos t, a sen t). f 0 (t0 ) = (−a sen t0 , a cos t0 ). Caso particular t0 = π/6. Calculemos f (t) • f 0 (t). Calculemos la rapidez. ´ n. Si f : R → Rn es diferenciable en t0 y f 0 (t0 ) 6= 0, entonces decimos 18.9. Definicio que la gr´afica de de la funci´on af´ın T (t) = f (t0 ) + (t − t0 )f 0 (t0 ) es la recta tangente a la imagen de f en f (t0 ). 18.10. Ejemplo. Sea f = (f1 , f2 ) cualquier parametrizaci´on difreneciable del c´ırculo unitario. Entonces f (t) • f 0 (t) = 0. Solo hay dos posibilidades, que la recta tangente sea perpendicular al radio o que la definici´on no aplique porque f 0 (t0 ) = 0. Por ejemplo f (t) = (− sen πt3 , cos πt3 ) en t = 0. Para un demostraci´on formal supongamos que la parametrizaci´on est´a dada por f = (f1 , f2 ) : I → R2 . Entonces tenemos que f12 (t) + f22 (t) = 1. Al deriviar ambos lados con respecto a t obtenemos f (t) • f 0 (t) = 0. 18.11. Ejemplo. f (t) = (t2 , t|t|) en t = 0. 18.12. Ejemplo. f (t) = (cos t, sen 2t) en t = π/2, t = 3π/2. 18.13. Ejemplo. Una part´ıcula viaja en una trayectoria tal que su posici´on al tiempo t est´a dada por f (t) = (cos t, sen t, t). Cuando t0 = 13π/6 escapa de la trayectoria por la tangente el l´ınea recta a velocidad constante. ¿D´onde est´a la part´ıcula al tiempo t1 = 5π/2? (a) f (0) = (1, 0, 0). √ (b) f (t0 ) = ( 3/2, 1/2, 13π/6). √

(c) T (t) = (

3 1 13π , , 6 ) 2 2

+ ( −1 , 2

√

3 , 1)(t 2

−

√ √ (d) T (t1 ) = 16 (3 3 − π, 3 + π 3, 15π). ´ n. 18.14. Reglas de diferenciacio

13π ). 6

34 18.15. Teorema. f, g : I → Rn funciones diferenciables y h : I → R diferenciable. Entonces 1. (f + g)0 = f 0 + g 0 ; 2. (hf )0 = h0 f + hf 0 ; 3. (f • g)0 = f 0 • g + f • g 0 . ´ n. g : I → Rn funci´on diferenciable en I, λ ∈ R. Si para toda t ∈ I, 18.16. Proposicio ||g(t)|| = λ, entonces para toda t ∈ I, g(t) • g 0 (t) = 0. 18.17. Teorema. I, J ⊆ R intervalos abiertos. h : J → I diferenciable, f : I → Rn diferenciable. Entonces (f ◦ h)0 = (f 0 ◦ h)h0 . ´ n. 18.18. Aceleracio ´ n. f : I → Rn diferenciable en I tal que f 0 : I → Rn es diferenciable en 18.19. Definicio I. Decimos que f 00 = (f 0 )0 es la segunda derivada de f o que es la aceleraci´ on de f . 18.20. Ejemplo. f (t) = (−a sen t, a cos t). Observar la direcci´on de la aceleraci´on. 18.21. Ejemplo. g(t) = (1, 3t2 ). Velocidad. Aceleraci´on.

19. Longitud de arco Permitimos I = [a, b]. ´ n. Una curva parametrizada en Rn es una funci´on f : I → Rn que 19.1. Definicio es continua. Sea f : I → Rn una curva parametrizada. Sean a, b ∈ I con a < b. Para cualquier partici´on P = {t0 , . . . , tm } del intervalo [a, b] definimos S(f, P ) =

m X

||f (ti ) − f (ti−1 )||.

i=1

´ n. a, b ∈ R, a < b. f : [a, b] → Rn una curva parametrizada. Decimos 19.2. Definicio que la longitud de arco de f de a a b est´a definida si el conjunto {S(f, P )|P partici´on de [a, b]} es acotado superiormente. En tal caso, decimos que f es rectificable en [a, b] y definimos la longitud de arco de f en [a, b] como el n´ umero L(f ; a, b) = sup{S(f, P )|P partici´on de [a, b]}.

35 19.3. Ejemplo. ~u, ~v ∈ Rn , a, b ∈ R, a < b. f : R → Rn tal que f (t) = t~v + ~u. Calcular L(f ; a, b). 19.4. Teorema. a, b, c, d ∈ R, a < b, c < d. f : [a, b] → Rn curva parametrizada rectificable. γ : [c, d] → [a, b] estrictamente creciente, continua y suprayectiva. Entonces f ◦ γ : [c, d] → Rn es una curva parametrizada rectificable y L(f ; a, b) = L(f ◦ γ; c, d) Dem . La demostraci´on usual que induce una biyecci´on entre las particiones de [a, b] y las de [c, d] utilizando γ, y la correspondiente consecuencia de que todos los n´ umeros que aparecen como aproximaciones a la longitud de arco de un lado aparecen del otro. 19.5. Teorema. I intervalo abierto, a, b ∈ I, a < b. f : I → Rn curva parametrizable diferenciable en I, con f 0 continua en I. Entonces f es rectificable en [a, b] y Z L(f ; a, b) =

b

||f 0 (t)||dt.

a

Dem . Sea ε > 0. Sea f = (f1 , . . . , fn ). Entonces f 0 = (f10 , . . . , fn0 ). Como f 0 es continua en I, por lo tanto f10 , . . . , fn0 son uniformemente continuas en [a, b]. Entonces existe δ > 0 tal que para todo x, y ∈ [a, b] |x − y| < δ ⇒ |f`0 (x) − f`0 (y)|
0 tal que Bδ (~x0 ) ⊆ A y definimos g : (−δ, δ) → R tal que para cualquier s con |s| < δ, g(s) = f (~x0 + s~u). Observamos que como f alcanza un m´ınimo local en ~x0 , entonces g alcanza un m´ınimo local en 0. Por lo tanto g 0 (0) = 0. Pero g 0 (0) = (grad f )(~x0 ) •~u = k(grad f )(~x0 )k > 0.

´ n. f : A → R funci´on diferenciable en A, ~x0 ∈ A. Decimos que ~x0 es 23.21. Definicio un punto cr´ıtico de f si f 0 (~x0 ) es la funci´on constante cero. 23.22. Ejemplo. f (x1 , x2 ) = 1 − x21 − x22 . M´aximo local en (0, 0) que tambi´en es un m´aximo global. 23.23. Ejemplo. g(x, y) = y 2 − x2 . (0, 0) el u ´nico punto cr´ıtico. No es un valor extremo local. ´ n. f : A → R funci´on diferenciable en A, ~x0 ∈ A. Decimos que 23.24. Definicio (~x0 , f (~x0 )) es un punto silla de la funci´on f si y solo si ~x0 es un punto cr´ıtico de la funci´on f y f (~x0 ) no es un valor extremo local. 23.25. Ejemplo. Sean ~u, ~v , ~z ∈ R3 con {~u, ~v } linealmente independiente. Calcule la distancia del origen ~0 al plano {~z + α~u + β~v |α, β ∈ R}. El resultado debe ser s k~zk −

(~v •~v )(~u •~z)2 + (~u •~u)(~v •~z)2 − 2(~u •~v )(~u •~z)(~v •~z) (~u •~u)(~v •~v ) − (~u •~v )2

El teorema que queremos generalizar es

71 23.26. Teorema. I ⊆ R intervalo abierto, g : I → R dos veces diferenciable en I, t0 ∈ I un punto cr´ıtico de g tal que g 00 es continua en t0 . Entonces 1. Si g 00 (t0 ) > 0 entonces g tiene un m´ınimo local en t0 . 2. Si g 00 (t0 ) < 0 entonces g tiene un m´aximo local en t0 . ´ ticas. 23.27. Formas cuadra ´ n. Una forma cuadr´atica es una funci´on h : Rm → R tal que existe una 23.28. Definicio matriz m × m sim´etrica con entradas reales H = (cij )i,j tal que para toda ~x ∈ Rm h(~x) = ~xT H~x. ´ n. h : Rm → R una forma cuadr´atica. 23.29. Definicio 1. Si para todo ~x ∈ Rm \{~0}, h(~x) > 0 decimos que h es positiva definida. 2. Si para todo ~x ∈ Rm \{~0}, h(~x) < 0 decimos que h es negativa definida. 3. Si existen ~x, ~y ∈ Rm tales que h(~x) < 0 y h(~y ) > 0 decimos que h es indefinida. 4. Si h no satisface ninguno de los puntos anteriores decimos que h es semidefinida. ´ n. Utilizamos la misma terminolog´ıa para referirnos a matrices m×m 23.30. Observacio sim´etricas H de acuerdo al comportamiento de la f´orma cuadr´atica que determinan. 23.31. Ejemplo. La matriz identidad I es positiva definida. La matriz −I es negativa definida. La matriz   2 0 0 3 es positiva definida. La matriz 

2 0 0 −3



es indefinida. La matriz 

0 0 0 1



es semidefinida. 23.32. Teorema. H matriz sim´etrica m × m con entradas en R. Si H tiene en la diagonal una entrada positiva y una entrada negativa, entonces H es indefinida. Dem . ~eiT H~ei = Hii .

72 23.33. Ejemplo. La matriz



1 −5 −5 2



es indefinida aunque todas sus entradas en la diagonal son positivas. 23.34. Teorema. Sea

 H=

a b b d



Entonces H es 1. positiva definida si |H| > 0 y a > 0; 2. negativa definida si |H| > 0 y a < 0; 3. indefinida si |H| < 0; 4. semidefinida si |H| = 0. Dem . Sea h : R2 → R la f´orma cuadr´atica determinada por H, esto es, para cualquier (x, y) ∈ R2 h(x, y) = ax2 + 2bxy + dy 2 . Supongamos primero que a 6= 0. Entonces   1 2 2 2 (ax + by) + (ad − b )y . h(x, y) = a Analizar caso por caso. ´ n. Los cuatro casos del teorema cubren todos los casos porque si 23.35. Observacio a = 0 tenemos que |H| = −b2 ≤ 0. 23.36. Teorema. Sea

 H=

a b b d



Entonces H es 1. positiva definida si todos los valores propios son positivos; 2. negativa definida si todos los valores propios son negativos; 3. indefinida si hay un valor propio de cada signo; 4. semidefinida si hay un valor propio 0.

73 Dem . Debemos buscar las ra´ıces del polinomio a−x b = (a − x)(d − x) − b2 = x2 − (a + d)x + ad − b2 . b d−x Las soluciones est´an dadas por p p a + d ± (a − d)2 + 4b2 a + d ± (a + d)2 − 4(ad − b2 ) = x= 2 2 23.37. El criterio de la segunda derivada. 23.38. Teorema. f : A → R funci´on, ~x0 ∈ A. Supongamos que f es dos veces diferenciable en una vecindad de ~x0 , y que ~x0 es un punto cr´ıtico de f . Entonces 1. f tiene un m´aximo local en ~x0 si f 00 (~x0 ) es negativa definida. 2. f tiene un m´ınimo local en ~x0 si f 00 (~x0 ) es positiva definida. 3. f tiene un punto silla en ~x0 si f 00 (~x0 ) es indefinida. 4. f 00 (~x0 ) no da suficiente informaci´on para determinar si hay un extremo local o un punto silla en ~x0 si es semidefinida. Dem . Por el Teorema de Taylor de orden dos tenemos que 1 f (~x) = f (~x0 ) + f 00 (~x∗ )(~x − ~x0 ) 2 en una vecindad suficientemente peque˜ na de ~x0 y con ~x∗ un punto en el segmento de recta que une ~x0 con ~x. Supongamos que f 00 (~x0 ) es negativa definida, podemos tomar la vecindad de ~x0 suficientemente peque˜ na de tal forma que para cualquier ~x∗ en la vecindad 00 ∗ f (~x ) es negativa definida. Esto nos dice que f alcanza un m´aximo local en ~x0 . El argumento es similar para el caso en que f 00 (~x0 ) es negativa definida o indefinida. Veremos en los ejemplos que f 00 (~x0 ) no nos da suficiente informaci´on. 23.39. Ejemplo. f (x, y) = 1 − x2 − y 2 . 23.40. Ejemplo. g(x, y) = 3 − 2x + x2 + 4y 2 .    2 2 2 2 23.41. Ejemplo. f (x, y) = x + (y + 1) x + (y − 1) . 23.42. Ejemplo. f (x, y, z) = 1 − 2x + 3x2 − xy + xz − z 2 + 4z + y 2 + 2yz. 23.43. Ejemplo. f (x, y) = x4 + y 4 . 23.44. Ejemplo. f (x, y) = x4 − y 4 .

74 23.45. Teorema. f : A → R funci´on, ~x0 ∈ A. Supongamos que f es dos veces diferenciable en una vecindad de ~x0 , y que ~x0 es un punto cr´ıtico de f . Entonces 1. f tiene un m´aximo local en ~x0 todos los valores propios de f 00 (~x0 ) son positivos. 2. f tiene un m´ınimo local en ~x0 todos los valores propios de f 00 (~x0 ) son negativos. 3. f tiene un punto silla en ~x0 si f 00 (~x0 ) tiene tanto valores propios positivos como negativos. 4. f 00 (~x0 ) no da suficiente informaci´on para determinar si hay un extremo local o un punto silla en ~x0 si el rango de f 00 (~x0 ) es menor que m y todos los valores propios de f 00 (~x0 ) son del mismo signo. Dem . Sea H una matriz sim´etrica m × m con entradas en R. Dogma de fe: existe una matriz m × m ortogonal Q tal que QHQT es una matriz diagonal D (Q es ortogonal si Q−1 = QT ) y las entradas en la diagonal son los valores propios. Entonces H = QT DQ. La forma cuadr´atica determinada por H es entonces ~x 7→ (Q~x)T D(Q~x).

23.46. Ejemplo. a

24. M´as teoremas de Taylor 24.1. Teorema. (Teorema de Taylor de primer orden.) f : A → R funci´on, ~x0 ∈ A, f diferenciable en ~x0 = (c1 , . . . , cm ). Existe δ > 0 tal que para todo ~x ∈ Bδ (~x0 ) se tiene que f (~x) = f (~x0 ) +

m X ∂f (~x0 )(xi − ci ) + R1 (~x). ∂x i i=1

donde lim

~ x→~ x0

R1 (~x) = 0. k~x − ~x0 k

24.2. Teorema. (Teorema de Taylor de orden 2.) f : A → R funci´on con derivadas parciales continuas de tercer orden, ~x0 = (c1 , . . . , cm ) ∈ A. Entonces existe δ > 0 tal que para toda ~x ∈ Bδ (~x0 ), m X ∂f 1 X ∂ 2f (~x0 )(xi − ci ) + (xi − ci )(xj − cj ) + R2 (~x) f (~x) = f (~x0 ) + ∂xi 2 0≤i,j≤m ∂xj ∂xi i=1

donde lim

~ x→~ x0

R2 (~x) = 0. k~x − ~x0 k2

75 Dem . Sea ~h ∈ Rm . Entonces m

X ∂f d f (~x0 + t~h) = (~x0 + t~h)hi . dt ∂x i i=1 Integramos ambos lados de la ecuaci´on con respecto a t desde 0 hasta 1 para obtener Z 1X m m Z 1 X ∂f ∂f ~ ~ (~x0 + th)hi dt = (~x0 + t~h)hi dt. f (~x0 + th) − f (~x0 ) = ∂x ∂x i i 0 i=1 i=1 0 Integramos por partes con u = ∂f /∂xi (~x0 + t~h)hi y v = t − 1 para obtener Z 0

1

∂f (~x + t~h)hi dt = ∂xi 0

Es decir Z 0

1

Z

1

0

1 m X ∂ 2f ∂f (1 − t) (~x0 − t~h)hi hj dt + (t − 1) (~x0 + t~h)hi . ∂x ∂x ∂x j i i j=1 0

∂f (~x + t~h)hi dt = ∂xi 0

1

Z

(1 − t) 0

Entonces f (~x0 + t~h) − f (~x0 ) = con R1 (~x0 + t~h) =

XZ i,j

0

m X ∂ 2f ∂f (~x0 − t~h)hi hj dt + (~x0 )hi . ∂x ∂x ∂x j i i j=1 m X ∂f (~x0 )hi + R1 (~x0 + t~h) ∂x i i=1

1

(1 − t)

∂ 2f (~x − t~h)hi hj dt. ∂xj ∂xi 0

Ahora integramos por partes la integral en la expresi´on de R1 con u=

∂ 2f (t − 1)2 (~x0 + t~h)hi hj , v = − ∂xj ∂xi 2

para obtener 1

∂ 2f (~x0 − t~h)hi hj dt = ∂x ∂x j i 0 1 m Z 1 X (t − 1)2 ∂ 2 f (t − 1)2 ∂ 3f ~ − (~x0 + th)hi hj + (~x0 + t~h)hi hj hk dt = 2 ∂xj ∂xi 2 ∂x ∂x ∂x i j i k=1 0 0 Z m 1 X 1 ∂ 2f (t − 1)2 ∂ 3f (~x0 )hi hj + (~x0 + t~h)hi hj hk dt. 2 ∂xj ∂xi 2 ∂x i ∂xj ∂xi 0 k=1 Z

(1 − t)

Esto es X 1 X ∂ 2f R1 (~x0 + t~h) = (~x0 + t~h)hi hj + 2 i,j ∂xj ∂xi i,j,k

Z 0

1

(t − 1)2 ∂ 3f (~x + t~h)hi hj hk dt. 2 ∂xi ∂xj ∂xi 0

76 Con esto obtenemos f (~x0 + t~h) = f (~x0 ) +

m X 1 X ∂ 2f ∂f (~x0 )hi + (~x0 + t~h)hi hj + R2 (~x0 + t~h) ∂x 2 ∂x ∂x i j i i,j i=1

con R2 (~x0 + t~h) =

XZ i,j,k

1

0

(t − 1)2 ∂ 3f (~x + t~h)hi hj hk dt. 2 ∂xi ∂xj ∂xi 0

Como lo que se integra en R2 son funciones continuas en t, existe una constante M y ~h suficientemente peque˜ na tenemos que |R(~x0 + t~h)| ≤ k~hk3 M. Entonces

|R(~x0 + t~h)| ≤ k~hkM, k~hk2

con lo que R2 (~x0 + t~h) = 0. ~h→~0 k~hk2 lim

Recordemos el segundo teorema del valor medio para integrales: 24.3. Teorema. a, b ∈ R, a < b. f, g : [a, b] → R continuas con g ≥ 0. Existe c ∈ [a, b] tal que Z b Z b g(x)dx. f (x)g(x)dx = f (c) a

a

24.4. Corolario. Bajo las condiciones del Teorema, para ~x suficientemente cercanas a ~x0 existen ~cijk en el segmento de recta que une ~x0 con ~x tales que R2 (~x0 ) =

1 X ∂ 3f (~cijk )(xi − ci )(xj − cj )(xk − ck ). 3! i,j,k ∂xk ∂xj ∂xk

24.5. Valores extremos condicionados. 24.6. Teorema. f, g : A → R funciones diferenciables en A, ~x0 ∈ A, g(~x0 ) = c0 y (grad g)(~x0 ) 6= 0, S = {~x ∈ A|g(~x) = c0 }. Si f |S tiene un m´aximo o m´ınimo local en ~x0 , entonces existe λ ∈ R tal que (grad f )(x0 ) = λ(grad g)(~x0 ).

77 Dem . Sea I un intevalo abierto con 0 ∈ I y sea h : I → S diferenciable con h(0) = ~x0 . Como f |S tiene un m´aximo o un m´ınimo local en ~x0 tenemos que f ◦ h tiene un m´ınimo local en 0. Entonces 0 = (f ◦ h)0 (0) = (grad f )(~x0 ) • h0 (0). Esto nos dice que (grad f )(~x0 ) es perpendicular a todos los vectores que son perpendiculares a (grad g)(~x0 ). Como este u ´ltimo vector es no cero, existe λ ∈ R tal que (grad f )(x0 ) = λ(grad g)(~x0 ). 24.7. Ejemplo. f (x, y) = x2 + y 2 , g(x, y) = y − x − 1, restricci´on g(x, y) = 0. Respuesta: m´ınimo en (− 21 , 21 ) 24.8. Ejemplo. f (x, y) = x2 − y 2 , g(x, y) = x2 + y 2 − 1, g(x, y) = 0. M´ınimos (0, ±1), m´aximos (±1, 0). 24.9. Maximizar f√(x, y, z) =√ x + z sujeto a x2 + y 2 + z 2 = 1. M´aximo √ √ Ejemplo. (1/ 2, 0, 1/ 2), m´ınimo (−1/ 2, 0, −1/ 2). 24.10. Ejemplo. Encuentra la caja rectangular con volumen p m´aximo p sujeto p a la condici´on 2 de que el a´rea de su superficie sea 10 m . La soluci´on es ( 5/3, 5/3, 5/3). 1. Encuentra todos los puntos cr´ıticos de las siguientes funciones y determina su naturaleza: (a) f (x, y) = x2 − 6x + 2y 2 + 10. (b) f (x, y) = xy − x + y + 2. (c) f (x) = x sen y. (d) f (x) = (x2 − 1)ey . (e) f (x, y) = (x2 − 1)(y 2 − 1). (f) f (x, y) = x2 y 2 . xyex . (g) f (x, y) = 1 + y2 (h) f (x, y) = x senh y. (k) f (x, y) = x cosh(xy). 2. Encuentra los puntos en la superficie z = 2xy + 3. Encuentra los puntos de la gr´afica de la funci´on

1 4

1 xy

que est´an m´as cerca del origen. que est´an m´as cercanos al origen.

4. Encuentra los puntos cr´ıticos de la funci´on f : Rm → R dada por f (~x) = k~xk2 e−k~xk . Despu´es encuentra los valores extremos y los puntos en que se obtienen. Haz lo mismo para la funci´on f (~x) = k~xke−k~xk .

78 5. Sean ~c ∈ Rm y b ∈ R. Sea f : Rm → R dada por f (~x) = ~x •~c + b. Sea g : Rm → R tal que g(~x) es la distancia del punto (~x, f (~x)) ∈ Rm+1 al origen de Rm+1 . Demuestra −b que el u ´nico punto cr´ıtico de g es ~c. 1 + k~ck2 6. Decimos que una funci´on f : Rm → R es c´ oncava hacia arriba si para todo ~x, ~y ∈ m R   1 ~x + ~y ≤ (f (~x) + f (~y )). f 2 2 (a) Demuestra que una funci´on f dos veces diferenciable es c´oncava hacia arriba si f 00 (~x) es positiva definida para todo ~x ∈ Rm . (b) Si f 00 (~x) es positiva definida para todo ~x, demuestra que la gr´afica de z = f (~x) est´a por arriba de la gr´afica de la funci´on tangente z = T (~x) en cualquier punto ~x0 . 7. Sea H una matriz sim´etrica m × m y sea h la forma cuadr´atica determinada por H. (a) Demuestra que (∇h)(~x) es igual al doble de L(~x), donde L es la funci´on lineal cuya matriz es H. (b) Demuestra que el hessiano de h es 2H (en cualquier punto). 8. Sea H una matriz sim´etrica m×m y sea ~z ∈ Rm un vector fijo. Definimos f : Rm → R mediante f (~x) = ~xT H~x − 2~x •~z. (a) Demuestra que ~x es un punto cr´ıtico de f si y solo si H~x = ~z. (b) Demuestra que el hessiano de f es 2H (en cualquier punto). 9. Sea g el polinomio cuadr´atico g(x, y) = ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f, en donde a, b, c, d, e y f son n´ umeros reales fijos. (a) Calcula las derivadas totales primera y segunda de g. (b) Demuestra que g se puede escibir de la forma g(~x) = ~xT A~x + ~x •~z + k, en donde A es una matriz sim´etrica 2 × 2, ~z es un vector fijo en R2 y k es un n´ umero real fijo.     a b 0 a b 10. Sea A = positiva definida. Demuestra que B =  b c 0  es positiva b c 0 0 α definida si y solo si α > 0.

79 11. Debe doblarse una larga placa de metal de 12 cm de ancho para formar una canaleta cuyo corte trasversal forme un trapezoide: ^

@

b

bf 

o

α

/

a

Encuentra los valores de a, b, α que maximizan el ´area del corte trasversal (y, por lo tanto, el volumen de la canaleta). 12. Mismo ejercicio que el anterior pero en donde el corte trasversal es de la forma: O

b @



af

α

13. Encuentra los valores extremos de f sujetos a las restricciones dadas: (a) f (x, y) = x3 − xy 2 , x2 + y 2 = 1. (b) f (x, y) = x2 + y 2 , x3 − xy 2 = 1. (c) f (x, y) = 2x + 3y, x2 − 2xy + 2y 2 = 1. (d) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , 3x − y + 2z = 14. (e) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , (x − y)2 = 1, xyz = 1. 14. Encuentra el punto en x2 − xy + y 2 = 1 que se encuentra m´as cerca del origen. 15. Encuentra el punto en z 2 = (x − 2)2 + (y − 3)2 que se encuentra m´as cerca del punto (1, 1, 1). 16. Encuentra el punto en la intersecci´on de (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 12)2 = 4 y x − 2y + z = 5 que se encuentra m´as cercano al origen. Encuentra el punto en la intersecci´on que se encuentra m´as lejos del origen. 17. Encuentra el punto en y 2 = 1 + x2 y el punto en 2y = x para los cuales la distancia entre ellos es m´ınima. 18. Encuentra las dimensiones del paralelep´ıpedo rectangular de volumen m´aximo que tiene sus aristas paralelas a los ejes y que puede inscribirse en el elipsoide x2 +

y2 z2 + . 4 9

80 19. Utiliza los multiplicadores de Lagrange para encontrar las dimensiones relativas que maximizan el volumen de una caja sin tapa donde la suma de las ´areas de las caras es constante.