• Author / Uploaded
• Ŀȅṇĩŋ Ro

• Categories
• Derivado
• Ecuación diferencial parcial
• Función (Matemáticas)
• Logaritmo
• Curva

Citation preview

SEMANA N° 1

CURSO: CALCULO III Tema :

FUNCIONES Y DERIVADAS DE VARIAS VARIABLES

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Las funciones de dos variables se pueden visualizar por medio de curvas de nivel, que enlazan puntos donde la función toma un valor determinado. La presión atmosférica a una hora dada es una función de longitud y latitud y se mide en milibares. Aquí las curvas de nivel se llaman isobaras y las que se presentan unen puntos que tenían la misma presión. Las curvas marcadas 1028, por ejemplo, conectan puntos con presión de 1028mb. EJEMPLOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES En muchos casos, encontramos funciones que dependen de dos variables. 1. El volumen de un cilindro circular recto está dada por la siguiente formula  . r 2 .h donde

h es su altura y r es el radio de la base circular, es decir para determinar el volumen de un cilindro debemos conocer los valores de su altura y radio, por eso podemos decir que el volumen de un cilindro depende de los valores de su altura y radio. En otras palabras podemos expresar el volumen del cilindro como una función de dos variables h y r , a las cuales llamaremos variables independientes. Dicha función puede quedar representada como V (r, h)   . r 2 . h . Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

2. Para determinar el área de un rectángulo es necesario conocer su largo ( l ) y ancho ( a ) , es decir el área del rectángulo depende del largo y ancho. Es decir podemos representar el área de un rectángulo mediante la siguiente función A(l , a)  l . a 3. Dados dos números cualesquiera, x e y su media aritmética es el número intermedio entre ambos, es decir:

En general, dados n números x1 , x 2 , M ( x1 , x 2 ,

x y 2 , x n , su media aritmética es el número: , xn ) 

x1  x 2 

 xn

n

La media aritmética es, pues, una función M ( x1 , x 2 ,

, x n ) de n variables.

4. Dados dos números positivos x e y , su media geométrica es : g ( x, y)  x y .

En general, dados n números positivos x1 , x 2 , como:

G ( x1 , x 2 ,

, x n )  x1 x 2 

, x n , su media geométrica se define

 x n  ( x1 x 2

1 n

xn ) .

5. Supongamos que tenemos una placa metálica de grandes dimensiones. La temperatura(en grados centígrados) de placa es función de las coordenadas década uno de sus puntos y viene dada por (Figura 1): T ( x, y)  500  0.6 x 2  1.5 y 2

6. La media de tiempo que un cliente espera en una cola para ser atendido viene dada por : g ( x, y ) 

1 , y  x, x y

donde y es la razón media de llegada, expresada como el número de clientes por unidad de tiempo y x es la razón media de servicio, expresada en las mismas unidades. (Figura 2)

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

Figura 1

Figura 2

Empezaremos nuestro estudio con las funciones de dos variables.

Definición Una función f de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenado de números reales ( x , y ) de un conjunto D un número real único que se denota por f ( x , y ) . El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma f , es decir,  f ( x , y ) ( x, y)  D . A menudo, se escribe z  f ( x , y ) para hacer explícito el valor que toma f en el punto ( x , y ) . Las variables x e y son variables independientes y z es la variable dependiente

GRÁFICAS Un modo de representar el comportamiento de una función de dos variables es considerar su gráfica.

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

A continuación se ilustran algunas funciones de varias variables hechas por computador con sus respectivos dominios.

f ( x, y)  1  ( x 2  y 2 )

Figura

f ( x, y)  1  ( x 2  y 2 )  x 2  y 2

Figura Las gráficas presentadas a continuación tienen como dominio R 2 .

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

Para el caso de las funciones con n (n  3) variables, el concepto de dominio se mantiene pero la gráfica de las funciones ya no se puede visualizar.

La formalización de lo dicho anteriormente, se describe a continuación

f

:

D  Rn



( x1 , x2 ,..., xn ) 

R z  f ( x1 , x2 ,..., xn )

A los números reales x1 , x2 , x3 , ... , xn se les llama variables independientes y forman lo que se llama la n  ada ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) , que es un punto que pertenece al dominio de f , mientras que la imagen correspondiente z  f ( x1 , x 2 , x 3 ,..., x n ) se le llama variable dependiente y pertenece al rango de f .

El dominio y rango también se pueden describir como sigue: Para el dominio

D f  {x  x1 , x2 ,..., xn   R n /  z  R  z  f ( x1 , x2 ,..., xn )}

y para el rango

R f  {z  R /  x  ( x1 , x2 ,..., xn )  R n  z  f ( x)}

Nota.- Para el caso n  3 , solo se puede visualizar su dominio.

Valor de una función de varias variables Para determinar el valor de una función z  f ( x1 , x2 , x3 , ... , xn ) sustituimos los valores de las variables independientes x1 , x2 , x3 , ... , xn en la regla de correspondencia de la función.

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

Ejemplo: Dada la función V (r , h)   . r 2 . h ; deseamos calcular el valor del volumen del cilindro cuando su altura es 5 y su radio es 9; entonces debemos sustituir en la regla de correspondencia V (9,5)   . (9) 2 . 5  405 . Obteniendo un volumen de 405 u 3 OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES: Empezaremos nuestro estudio recordando para el caso de una función de una variable y después generalizaremos al caso de varias variables. 1. Si f (x) es un cociente, este no existe si el denominador se hace cero, por lo que se deben eliminar del dominio aquellos valores x en lo que esto sucede. 2. Si f (x) es una raíz cuadrada, está existirá sólo si el radicando es mayor o igual que cero. 3. Si f (x) es un logaritmo natural, está existirá si su argumento es mayor que cero.

Ejemplos: 1. Hallar el dominio de la función: f ( x) 

1 x2

Solución:¿Cuándo existe y  f ( x) ? y existe si x  2 . Por lo tanto D f   ,2   2,  R  {2}

2. Hallar el dominio de la función: f ( x)  x  1 Solución:¿Cuándo existe y  f ( x) ? Si x  1  0 , es decir, x  1. Por lo tanto D f  [1,  

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

3. Hallar el dominio de la función: f ( x)  ln( x  1) Solución: ¿Cuándo existe y  f ( x) ? Si x  1  0 es decir: x  1 .Por lo tanto D f  1,  

Ahora, para determinar el dominio de una función real de varias variables, utilizamos los mismos criterios de las funciones de una variable; es decir excluyendo los valores que conducen a números complejos o a la división entre cero. EJEMPLOS 1. Hallar el dominio de la función: f ( x, y ) 

1 x  y2 2

Solución: ¿Cuándo existe z  f ( x, y) ?; z existe sí x 2  y 2  0 . Por lo tanto D f  R 2  {(0,0)} Gráfica del dominio

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

2. Hallar el dominio de la función: f ( x, y)  ln( x  y) Solución Como la función es un logaritmo natural, entonces x  y  0 . Por lo tanto el dominio de la función es D f  {( x, y)  R 2 / x  y  0} y su gráfica es

3. Hallar el dominio de la función: f ( x, y)  y 2  x Solución: Como la función es una raíz cuadrada, entonces y 2  x  0 . Por lo tanto el dominio de la función es D f  {( x, y)  R 2 / y 2  x  0} Gráfica del dominio

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

4. Hallar el dominio de la función: f ( x, y)  1  x 2  y 2 Solución: Como la función es una raíz cuadrada, entonces 1  x 2  y 2  0 . Por lo tanto el dominio de la función es D f  {( x, y)  R 2 / x 2  y 2  1} y su gráfica es

5. Hallar el dominio de la función: f ( x, y)  ln x . y  Solución: Como la función es un logaritmo, entonces

x . y  0 . Por lo tanto el dominio de la

función es D f  {( x, y)  R 2 / x. y  0} y su gráfica es

6. Hallar el dominio de la función: f ( x, y, z )  ln 1  x 2  y 2  z  Solución: Como la función es un logaritmo, entonces 1  x 2  y 2  z  0 . Por lo tanto el dominio de la función es D f  ( x, y, z )  R3 / 1  x 2  y 2  z  0 Gráfica del dominio:

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

7. Hallar el dominio de la función: f ( x, y, z )  1  x 2  y 2  z 2 Solución: Como la función es una raíz cuadrada, entonces 1  x 2  y 2  z 2  0 . Por lo tanto el dominio de la función es D f  {( x, y, z )  R 3 / 1  x 2  y 2  z 2  0} Gráfica del dominio: esfera unitaria

8. Hallar el dominio de la f ( x, y, z )  1  x 2  y 2 . Solución Como la función es una raíz cuadrada, entonces 1  x2  y 2  0 . Por lo tanto el dominio de la función es D f  {( x, y, z )  R 3 / 1  x 2  y 2  0} el cual es un cilindro de radio 1.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5

1 0.5

0

0

-0.5

-0.5 -1

Working Adult – Cajamarca

-1

Facultad De Ingeniería

SEMINARIO DE PROBLEMAS I.

Hallar y Representar gráficamente el dominio de las siguientes funciones

1 x. y

1.

f ( x, y ) 

2.

f ( x, y)  ln( x 2  y)

3.

f ( x, y ) 

4.

f ( x, y ) 

5.

f ( x, y ) 

6.

f ( x, y)  x 2  y

7.

f ( x, y)  ln(36  4 x2  9 y 2 )

8.

f ( x, y)   xy ln ( y  4 x 2 )

9.

f ( x, y)  ln( x ln( x  y))

10. f ( x, y ) 

1 y x x2  y x 2  y 2  16

1 1  x2  y 2

ln( x  2 y ) y  2x

11. f ( x, y, z)  ln x  ln y  ln z 12. f ( x, y, z ) 

z x y

13. f ( x, y, z ) 

1 ln(1  x  y 2  z 2 )

2

2

14. f ( x, y, z)  ln( xyz) 15. f ( x, y, z )  ( x  y) z  2 16. f ( x, y, z)  ln(4  x 2  y 2 )  z 17. f ( x, y, z ) 

Working Adult – Cajamarca

x yz x yz

Facultad De Ingeniería

II.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1.

Una lata de refresco se construye con un costado lateral de estaño y una tapa y fondo de aluminio. Dado que el costo es de 1.8 centavos por unidad cuadrada de la tapa, 1 centavo por unidad cuadrada del fondo y 2.3 centavos por unidad cuadrada del costado, determine la función de costo C (r , h) donde r es el radio de la lata y h es su altura

2.

Costo de producción. Una caja rectangular abierta por arriba tiene x pies de longitud, y pies de ancho y z pies de alto. Construir la base cuesta $0.75 por pie cuadrado y construir los lados $0.40 por pie cuadrado. Expresar el costo C de construcción de la caja en función de x, y, z .

3.

Modelo de construcción. Se elabora una caja rectangular cerrada con tres tipos de materiales de modo que contenga un volumen de 16 pies3. El material para la tapa y el fondo cuesta $0.18 por pie cuadrado, el material para las partes delantera y trasera cuesta $0.16 por pie cuadrado, y el material para las otras dos caras cuesta $0.12 por pie cuadrado. (a) Obtenga un modelo matemático que exprese el costo total del material como una función de las dimensiones, las partes delanteras y trasera. a) Determine el dominio de la función. b) ¿Cuál es el costo del material si las dimensiones de las partes delantera y trasera son 2 pie y 4 pie, donde 4 pie es la altura de la caja?

4.

Un sólido rectangular del primer octante, con tres caras en los ejes planos coordenados, tiene un vértice en el origen y el vértice opuesto en el punto ( x, y, z ) en el plano x  3 y  2 z  6 . a) Obtenga un modelo matemático que exprese el volumen de la caja como una función de las dimensiones de la base. Determine el dominio de la función. b) ¿Cuál es el volumen si la base es un cuadrado de lado 1.25 unidades?

5.

a) Obtenga un modelo matemático que exprese el área total de la superficie del sólido del ejercicio 3, como una función de las dimensiones de la base. Determine el dominio de la función. b) ¿Cuál es el área total de la superficie si la base es un cuadrado de lado 1.25 unidades?

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

6.

Volumen. Un tanque de propano se construye soldando hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. Expresar el volumen V del tanque en función de r y h , donde r es el radio del cilindro y de los hemisferios, y h es la longitud del cilindro.

7.

Un cono circular recto de base r cm se encuentra inscrito en una esfera de R cm de radio. Calcular el volumen del cono en función de los radios mencionados.

8.

Una tapa cónica descansa sobre la parte superior de un cilindro circular. Si la altura de la tapa es dos tercios de la altura del cilindro, exprese el volumen del sólido como una función de las variables indicadas.

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta ¿Cómo afectaría al valor de una función un cambio en una de sus variables independientes? Se puede contestar esta pregunta considerando cada una de las variables independientes por separado. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico podría repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, mientras mantiene constante las otras variables como temperatura y presión. Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función f respecto a una de sus variables independientes se puede utilizar un procedimiento similar. A este proceso se le llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f con respecto a la variable elegida. DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Definición Se llama derivada parcial de una función z  f ( x, y ) con respecto a la variable independiente x al siguiente límite, si existe y es finito: z f ( x   x, y )  f ( x, y )  lim  x  x 0 x

(1)

el cual se calcula suponiendo y constante. Se llama derivada parcial de una función z  f ( x, y ) con respecto a la variable independiente y al siguiente límite, si existe y es finito: z f ( x, y  y )  f ( x, y )  lim  y  y 0 y

(2)

el cual se calcula suponiendo x constante.

Notación de las derivadas parciales Si z  f ( x, y ) , entonces sus derivadas parciales respecto a x y y se expresan, se respectivamente, en las formas siguientes: z f    f x ( x, y )  f ( x, y )  Dx [ f ( x, y )]  D1 f ( x, y ) x x x

z f    f y ( x, y )  f ( x, y )  D y [ f ( x, y )]  D2 f ( x, y ) y y y Ejemplo 1.- Aplique la definición de derivada parcial para calcular D1 f ( x, y ) y D2 f ( x, y ) si f ( x, y )  3x 2  2 xy  y 2 . Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

Solución f ( x  x, y )  f ( x, y ) x 2 3( x  x )  2( x  x )y  y 2  ( 3x 2  2 xy  y 2 )  lim x  0 x 2 2 3x  6 xx  3( x )  2 xy  2 yx  y 2  3x 2  2 xy  y 2  lim x 0 x 2 6 xx  3( x )  2 yx  lim  lim 6 x  3x  2 y x 0 x  0 x  6x  2 y

D1 f ( x, y )  lim

x  0

D2 f ( x, y )  lim

y  0

f ( x, y  y )  f ( x, y ) y

3 x 2  2 x( y  y )  ( y  y )2  ( 3x 2  2 xy  y 2 ) y  0 y

 lim

3x 2  2 xy  2 xy  y 2  2 yy  ( y )2  3x 2  2 xy  y 2 y  0 y

 lim

2 xy  2 yy  ( y )2 y  0 y  lim ( 2 x  2 y  y )  2 x  2 y  lim

y  0

Ejemplo 2.- Calcular D1 f ( x, y ) y D2 f ( x, y ) si f ( x, y )  2 x 2 y  xy 2  x  5 y Solución f ( x  x, y )  f ( x, y ) x 0 x ( 2( x  x )2 y  ( x  x )y 2  ( x  x )  5 y )  ( 2 x 2 y  xy 2  x  5 y )  lim x 0 x 2 2 4 xyx  2( x )  y x  x  lim  lim 4 xy  2x  y 2  1 x 0 x 0 x 2  4 xy  y  1

D1 f ( x, y )  lim

En forma similar que D2 f ( x, y )  2 x 2  2 xy  5 . Nota Para calcular las derivadas parciales, todo lo que debe hacer es recordar que según la ecuación (1) la derivada parcial con respecto a x es justamente la derivada ordinaria de f con respecto a x manteniendo fija la variable y . Por lo tanto, se encuentra la regla siguiente.

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

REGLA PARA DETERMINAR LAS DERIVADAS PARCIALES DE z  f ( x, y ) 1. Para determinar f x , conservar a y constante y derivar f ( x, y) con respecto a x . 2. Para determinar f y , conservar a x constante y derivar f ( x, y) con respecto a y . 2

2

Ejemplo 1 Dada la función z definida por z  ( x  y )e Solución

x y

. Hallar

 z y

y

 z x

.

z x y 2 2 x y 2 3 x y  2 xe  ( x  y )(  ye )  ( 2 x  x y  y )e x z x y 2 2 x y 3 2 x y  2 ye  ( x  y )(  xe )  ( 2 y  x  xy )e y

Ejemplo 2 Hallar y evaluar las derivadas parciales de f ( x, y)  xe

2

x y

. Hallar f x , f y y evaluar

a cada en el punto (1,ln 2) . Solución Como f x ( x, y)  xe f x (1,ln 2)  e

ln 2

f y (1,ln 2)  e

( 2 xy)  e

(2ln 2)  e

Como f y ( x, y)  xe ln 2

2

x y

2

x y

ln 2

2

2

x y

. La derivada parcial de f con respecto a x en (1,ln 2) es

 4ln 2  2 . 2

3 x y

(x )  x e

. La derivada parcial de f con respecto a y en (1,ln 2) es

 2.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES Para dar una interpretación geométrica de las derivadas parciales, recuerde que la ecuación z  f ( x, y) representa una superficie S (que es la gráfica de f ). Sí f (a, b)  c , entonces el punto P(a, b, c) está definido sobre S. Si hace y  b entonces z  f ( x, b) representa la curva intersección C1 (en otras palabras la curva C1 es la traza de S en el plano y  b ). Por consiguiente f x (a, b)  lim

 x 0

f (a   x, b)  f (a, b) x

representa la pendiente de la curva intersección C2 (en otras palabras la curva C2 es la traza de S en el plano x  a ). Ver figura

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

2

2

Ejemplo 1 Si f ( x, y)  4  x  2 y , determine f x (1,1) y f y (1,1) , e intérprete estos valores. Solución Las derivadas parciales de f con respecto a x e y son f x ( x, y )   2 x

f y ( x, y )   4 y

f x (1,1)  2

f y (1,1)  4 2

2

La gráfica de f es el paraboloide f ( x, y)  4  x  2 y y el plano vertical y  1 lo corta en la 2

parábola z  2  x , y  1 (al igual que en el análisis anterior, es C1 en la figura 2 ). La pendiente de la tangente de esta parábola en el punto (1,1,1) es f x (1,1)  2 . De la misma manera, la curva C2 que se forma cuando el plano x  1 corta al paraboloide es la parábola 2

z  3  2 y , x  1 y la pendiente de la tangente de esta parábola en el punto (1,1,1) es f y (1,1)  4 (ver figura 3).

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

Figura 2

Figura 3

Derivadas parciales de una función de tres o más variables También se puede definir las derivadas parciales mediante funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si f es una función de tres variables x , y y z , entonces su derivada parcial con respecto a x se define como

f x ( x, y, z )  lim

h 0

f ( x  h, y, z )  f ( x, y, z ) h

y se determina considerando a y y a z como constantes y derivando f ( x, y, z) con respecto a x . Si w  f ( x, y, z ) , entonces f x ( x, y, z)   w  x se puede interpretar como la razón de cambio de w con respecto a x cuando y y z se mantiene constantes. En general, si u es una función de n variables, u  f ( x1 , x2 , , xn ) , su derivada parcial con respecto a la i -ésima variable xi es f ( x1 , x2 , u  lim  xi h 0

y también

, xi 1 , xi  h, xi 1 , , xn )  f ( x1 , h

, xi ,

, xn )

u f   f x  fi i  xi  xi

Ejemplo 2 Dada la función f definida por f ( x, y, z )  e en el punto P 1,1,1 .

3 4 5 x y z

. Hallar sus derivadas parciales

Solución 3 4 5 f x y z 2 4 5 e ( 3x y z )  3e x ( 1,1,1 ) ( 1,1,1 )

f z

e

3 4 5 x y z

3

4 4

Working Adult – Cajamarca

e ( 1,1,1 )

3 4 5 x y z

3

3 5

 4e

(4x y z ) ( 1,1,1 )

 5e

(5 x y z )

( 1,1,1)

f y

( 1,1,1)

Facultad De Ingeniería

PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE Se llama plano tangente a una superficie en un punto P( x0 , y0 , z0 ) de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P( x0 , y0 , z0 ) . Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación z  f  x, y  , entonces la ecuación del plano tangente en un punto P( x0 , y0 , z0 ) de la superficie viene definido por la ecuación:

f f ( x0 , y0 )( x  x0 )  ( x , y )( y  y0 )  ( z  z0 )  0 x y 0 0 2

2

Ejemplo 1 Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación z  5  2 x  y en el punto

P 1,1, 2  . Solución

Hallamos las derivadas parciales:

z z  4 x (1,1,2)  4;  2 y (1,1,2)  2 x (1,1,2) y (1,1,2)

Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,1,2) es: z  8  4 x  2 y .

2

2

Ejemplo 2 Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación z  3x  y  2 en el punto

P  1, 2 , 9  . Solución Hallamos las derivadas parciales:

z z  6 x ( 1,2,9)  6;  2 y ( 1,2,9)  4 x ( 1,2,9) y ( 1,2,9)

Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(-1,2,9) es: z  4 y  6 x  5 .

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

Nota Hasta ahora las superficies en el espacio se han representado principalmente por medio de ecuaciones de la forma z  f  x, y  . Sin embargo, en el desarrollo que sigue, es conveniente utilizar la representación más general F ( x, y, z)  0 . Una superficie S dada por z  f  x, y  , se puede convertir a la forma general definiendo F como F ( x, y, z)  f ( x, y)  z Puesto que f ( x, y)  z  0 , se puede considerar S como la superficie de nivel de F dada por

F ( x, y, z )  0

(Ecuación alternativa de la superficie S )

Es así, que enunciamos el siguiente teorema TEOREMA Ecuación del plano tangente Si F es diferenciable en ( x0 , y0 , z0 ) , entonces una ecuación del plano tangente a la superficie dada por F ( x, y, z)  0 en ( x0 , y0 , z0 ) es Fx ( x0 , y0 , z0 )( x  x0 )  Fy ( x0 , y0 , z0 )( y  y0 )  Fz ( x0 , y0 , z0 )( z  z0 )  0

2

2

2

Ejemplo 3 Hallar una ecuación del plano tangente al hiperboloide z  2 x  2 y  12 en el punto (1, 1,4) Solución 2 2 2 Empezamos expresando la ecuación de la superficie como z  2 x  2 y  12  0 . Después, considerando 2

2

2

F ( x, y, z )  z  2 x  2 y  12

Se tiene Fx ( x, y, z )  4 x

,

Fy ( x, y, z )  4 y

, Fz ( x, y, z )  2 z .

En el punto (1, 1,4) las derivadas parciales son Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

Fx (1, 1,4)  4

,

Fy (1, 1,4)  4

, Fz (1, 1,4)  8.

Por tanto, la ecuación del plano tangente en (1, 1,4) es 4( x  1)  4( y  1)  8( z  4)  0  x  y  2 z  6  0

RECTA NORMAL Definición La recta normal a la superficie S : F ( x, y, z)  0 en el punto p ( x0 , y0 , z0 ) S es la 0

recta que pasa a través del punto

p y sigue la dirección del vector normal 0

F ( x0 , y0 , z0 ) F ( x0 , y0 , z0 ) F ( x0 , y0 , z0 ) , , ) al plano tangente a la x y z superficie S en el punto p 0 y su ecuación simétrica de la recta normal a S en p0 ( x0 , y0 , z0 ) es N  F ( x0 , y0 , z0 )  (

Ln :

( x  x0 ) ( y  y0 ) ( z  z0 ) .   Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )

Ejemplo 4 Hallar la ecuación del plano tangente y de la normal a la superficie 3/2 3/2 3/2 x  y  z  17 en el punto (4,4,1) . Solución 3/2 3/2 3/2 Sea F ( x, y, z)  x  y  z  17 donde la normal del plano tangente a la superficie es N (

F F F 3 x 3 y 3 z , , )( , , ) x y z 2 2 2

3 2

en el punto (4,4,1) se tiene N  (2, 2,1) . Luego la ecuación del plano tangente es P : 2 x  2 y  z  17 y la recta normal es LN : (4,4,1)  t (2,2,1) / t  R.

Ejemplo 5

Hallar una ecuación del plano tangente y la recta en el punto dado x  y  z  xyz  6 en el punto (1,2, 1) 3

3

3

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

Solución 3 3 3 Sea F ( x, y, z)  x  y  z  xyz  6 . Entonces la normal del plano tangente a la superficie es: N (

F F F 2 2 2 , , )  (3x  yz,3 y  xz,3z  xy ) x y z

la cual evaluado en el punto (1,2, 1) es (1,11,5) . Luego, la ecuación del plano es 1( x  1)  11( x  2)  5( z  1)  0 y la recta normal LN : (1,2,1)  t (1,11,5) / t  R . DERIVADAS PARCIALES DE ÓRDENES SUPERIORES Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z  f  x; y  a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden. Se usan las siguientes notaciones: 2

2

  z   z  x  x  x 2

;

  z   z  ; y  x  y x

2

  z   z ;   x  y  x y

2

  z   z   y   y  y 2

A continuación se presenta un resultado muy importante sobre las derivadas parciales mixtas.

TEOREMA DE CLAIRUT Suponga que f se define en un disco D que contiene el punto (a, b) . Si tanto la función f xy y f yx son continuas en D entonces f xy (a, b)  f yx (a, b)

Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores. Ejemplo.-

Calcular

las

derivadas

parciales

de

segundo

orden

de

la

función:

2

f ( x, y )  sen( x y )

Solución Hallamos las derivadas parciales de primer orden:

f f  2 xy cos( x 2 y) ;  x 2 cos( x 2 y) x y Así las segundas derivadas son: 2 f  2 y cos( x 2 y )  4 x 2 y 2 sin( x 2 y ) ; 2 x

2 f   x 4 sin( x 2 y ) 2 y

2 f 2 f  2 x cos( x 2 y )  2 x3 y sin( x 2 y ) ;  2 x cos( x 2 y )  2 x3 y sin( x 2 y ) . xy yx Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería

SEMINARIO DE PROBLEMAS I.

Calcula todas las derivadas parciales de primer orden de las funciones siguientes: a) f ( x, y)  sin(3x)cos(3 y)

h) f ( x, y)  ( x2  y 2 )ln( x2  y 2 )

b) f ( x, y)  ln(1  xy)

i)

f (u, v)  (2u 2  3v 2 ) exp(u 2  v 2 )

j)

f (r, s, t )  (1  r 2  s 2  t 2 )e rst

c) f ( x, y)  x  x y  x y  xy  y 4

3

2

2

3

4

d) f ( x, y)  e e

2 xy

e) f ( x, y ) 

k) f ( x, y, z )  3x 2 y  5xyz  10 yz 2

xy x  y2

l)

2

f) f ( x, y)  Ln( x  y ) 2

2

f ( x, y, z)  sen( x  2 y  3z)

m) w  x 2  y 2  z 2

x cos ( x y ) g) f ( x, y)  e

II.

Calcula, todas las derivadas parciales de segundo orden de las funciones siguientes a) f ( x, y)  x  y  xy b)

III.

f ( x, y)  sen( xy )

e) f ( x, y)  ln( x  y) f) f ( x, y)  arctan( y / x)

c) f ( x, y)  x 2 y  cos y  ysenx

g) f ( x, y)  e x  x ln y  y ln x

d) f ( x, y)  xe y  y  1

h) f ( x, y)  x cos y  ye x

Calcular el plano tangente y la recta normal en los puntos que se indican: a) z  exp( x2  y 2 ) ; P(0,0,1) xy b) z  e  sin( x 2 y) ; P(0, 0,1) 2xy c) z  2 en el punto (1, 0,0) x  y2  d) z  sin( xy) en el punto (1, ,1) 2 4 e) z  arctg ( xy ) ; P(1,1,1)

 f) z  x3  x3 y 4 en el punto (1, 1,0) g) z 2  50  x2  y 2 ; P(4, 3,5) h) z  3x  y  2 ; P(1, 2,9) 2 2 i) 4 x  y  16 z  0 ; P(2, 4, 2) 2

2

j) z  1  x 2  y 2 el punto (a, b, c) , donde c  1  a 2  b2 . k) x

32

l) z 

 y3 2  z 3 2  17 en el punto (4, 4,1) . x 2  y 2  xy en el punto (3, 4, 7) .

3 3 3 m) x  y  z  xyz  6 ; P (1, 2, 1) . 4 3 2 3 n) 3x  4 y z  4 xyz  4 xz  1  0 ; P (1,1,1) .

o) 4  x 2  y 2  z 2  x  y  z en el punto (2,3, 6) . p) ( z  x ) xyz  y  5 en el punto (1,1, 2) . 2

2

5

Working Adult – Cajamarca

Facultad De Ingeniería