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Método de Newton Raphson

I. MARCO TEORICO Método de Newton-Raphson Es uno de los métodos más usados en la ingeniería por llegar al resultado del problema planteado de forma muy rápida. Se basa en trazar rectas tangentes que “toman la forma” de la función por medio de su primera derivada. Supóngase una función f (x) a la que se desea calcular su raíz. Evaluando un valor x1 cercano a la raíz en la función y trazando una recta tangente al punto x1, f(x1) se obtiene un nuevo valor x2 que es mucho más cercano a la raíz que x1.

Raíz

Para encontrar el valor de x2, se tomará la ecuación de la recta,

f (x2 )  f (x1 )  m(x2  x1 ) Incógnita

Se supone que f (x2) sea igual a 0 para que x2 sea una raíz de f (x)

 f (x1 )  m(x2  x1 ) Pero en el punto x1, f (x1) la pendiente m puede tomarse como f ’ (x1) por ser la mejor aproximación a la pendiente en dicho punto.

 f (x1 )  f '(x1 )( x2  x1 ) f (x1 ) x2  x1   f '(x1 ) Y despejando x2.

x2  x1 

f (x1 ) f '(x ) 1 2

Método de Newton Raphson

Si buscamos una mejor aproximación a la raíz utilizando este nuevo valor x2

x3  x2 

f (x2 ) f '(x2 )

Si nuevamente se busca otra aproximación que es cada vez más cercana a la raíz,

x4  x3 

f (x3 ) f '(x3 )

Entonces podemos generalizar la ecuación de la siguiente manera,

xk 1  xk 

f (xk ) f '(xk )

kZ



que es la ecuación de Newton-Raphson.

Inconvenientes ¿Qué pasa en un punto crítico?

Raíz

Se sabe por cálculo diferencial que un punto crítico es aquel valor de x que hace que la primera derivada de una función sea 0 (f ‘ (x) = 0).

x2  x1 

f (x1 ) f ' (x1 )



x2  x1 

f (x1 ) 0

El método de Newton-Raphson se indetermina en los puntos críticos por haber una división por cero. En un punto crítico, este método es ineficaz porque la recta tangente nunca cruza el eje de las abscisas y no se obtiene un nuevo valor de x. 3

Método de Newton Raphson

Si al resolver una ecuación, llegamos a un punto crítico, o que la primera derivada de la función f ‘ (x) se aproxime a cero, se sugiere intentar un nuevo valor mayor o menor (sumando o restando una unidad) o intentar un valor cercano a la raíz. El método de Newton-Raphson además, resulta poco conveniente cuando se tenga una función f (x) cuya primera derivada sea muy complicada obtener. Otro inconveniente, es cuando se resuelva una función con raíces reales repetidas, como la siguiente:

f (x) = x

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En las raíces que son repetidas, dicha raíz puede ser también un punto crítico o un punto de inflexión, donde el método de Newton-Raphson es ineficaz. Como se puede notar en el gráfico anterior, la raíz también es un punto de inflexión. Naturalmente, este método funciona para obtener las raíces reales de las funciones, más no raíces complejas. Las raíces complejas nunca cruzan el eje de las abscisas y su comportamiento en las funciones produce puntos críticos o puntos de inflexión en dichas funciones. Cuando se tenga una función que presente alguno de estos inconvenientes descritos, se sugiere emplear otro método numérico, como Secante o Müller.

Algoritmo para encontrar raíces 1. Tomar una primera aproximación (x1)* cercana a la raíz. Si puede, haga un bosquejo de f(x). Esto es para evitar los puntos críticos y resolver más rápido el problema. 2. Obtenga la primera derivada de la función (f ‘ (x)). 3. Evalúe x1 en la función f(x) y en la primera derivada f ‘ (x). 4. Sustituya los valores de x1, f(x1), f ‘ (x1) en la ecuación de Newton-Raphson para encontrar una nueva aproximación x2.

x2  x1 

f (x1 ) f '(x1 )

*En muchos libros de Métodos Numéricos en lugar de x1 utilizan la notación x0 como la primera aproximación a la raíz, siendo exactamente lo mismo en este texto.

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Método de Newton-Raphson

5. Si x2 se aproxima a x1 en las cifras decimales o tolerancia deseadas, entonces tomar x2 como el valor de la raíz. Si no, volver a aplicar los pasos 3, 4 y 5 usando ahora el valor de x2 y encontrar una nueva aproximación, hasta que se llegue a un resultado con la tolerancia deseada. A cada una de las repeticiones del algoritmo se le llama Iteración.

Algunos ejemplos Los métodos numéricos se caracterizan porque tener algo en común: se tienen que realizar muchos cálculos aritméticos para resolver problemas haciendo tedioso el aplicarlos. En este documento se utilizó una hoja de cálculo de MS Excel para hacer los cálculos y encontrar las raíces de las ecuaciones propuestas. Es recomendable que al aplicar algún método numérico se utilice alguna hoja de cálculo, un programa o paquete de programación (como Matlab o Scilab), o utilizar una calculadora. a) Aproxime el valor de

hasta 5 decimales. Utilice x1 = 1

La incógnita es el valor positivo de la raíz cuadrada de 2. Por tanto se puede expresar como x= Elevando al cuadrado, se tiene que x2 = 2 Por lo que es igual esto a, 2

f (x) = x – 2 = 0 Derivando con respecto a x, f ‘ (x) = 2x Para comenzar los cálculos, se debe empezar con un “valor inicial” de x, que es x1 para obtener la nueva aproximación a la raíz. Con un bosquejo de la gráfica de la función, se puede ver claramente que la raíz positiva está entre el 1 y el 2.

2

f (x) = x - 2

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Método de Newton-Raphson

Utilizando el valor de x1 propuesto por el problema, en la siguiente tabla se muestran las iteraciones que fueron realizadas, con sus respectivos valores de f (x) y de f ‘ (x) calculados. Aproximación x 1 f (x) -1 f ' (x) 2

Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración 4 Iteración 5 1.5 1.41666667 1.41421569 1.41421356 1.41421356 0.25 0.00694444 6.0073E-06 4.5106E-12 0 3 2.83333333 2.82843137 2.82842712 2.82842712

El problema pide aproximar el valor de la hasta 5 decimales, refiriéndose a que 5 decimales sean constantes. En la iteración 4 se llega a las cifras decimales que requiere el problema, por lo que se toma ese valor (  1.41421) como la solución del problema. Se puede comprobar que este valor es muy aproximado al que se obtiene en una calculadora. 3

2

b) Obtenga la raíz real del siguiente polinomio: 4x - 10x + x - 1 = 0. Considere una -5 tolerancia de 1 x 10 En la mayoría de los problemas de libro el valor de x1 ya se nos proporciona. Pero en este problema no se nos da el valor de x1. Sin embargo, el valor de x1 se puede obtener fácilmente evaluando en el polinomio varios valores de x usando divisiones sintéticas. Las divisiones sintéticas realizadas evaluando x = 1, x = 2, x = 3 se muestran a continuación: 4 -10

1

-1

4 -10

1

-1

4 -6

-6 -5

-5 -6

8 -2

-4 -3

-6 -7

4

4

4 -10 12 4 2

1 6 7

-1 21 20

Se nota claramente que hay un cambio de signo (de negativo a positivo) entre los valores 2 y 3, por lo que entre estos dos valores hay una raíz. Cualquiera de los dos valores puede ser x1. Se escogió 2 como x1. La función y su respectiva primera derivada, son las siguientes:

f (x)  4x3 10x2  x 1  0 f '(x)  12x 2  20x  1 Una tolerancia de 1 x 10-5 implica que 5 decimales sean precisos, en otras palabras, que no cambien dichas cifras decimales entre una iteración y otra. Las iteraciones que se realizaron con sus respectivos resultados de x, f (x) y f ‘ (x) se muestran en la tabla siguiente: Aproximación Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración 4 Iteración 5 x 3 2.59183673 2.45549494 2.43973283 2.43952885 2.43952882 f (x) 20 4.05953302 0.38212977 0.00482053 8.02E-07 1.9984E-14 f ' (x) 49 29.7746772 24.2435659 23.6328986 23.6250351 23.6250338 En la iteración 5 se satisface la tolerancia requerida por el problema. Y se obtiene que la raíz real del polinomio es x = 2.43952

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Método de Newton-Raphson

c) Encuentre el valor de n que satisfaga la siguiente ecuación:

n4 n  192

Para resolver este problema por el método de Newton-Raphson se puede aplicar directamente con la función tal y como está, pero el obtener su primera derivada sería más complicado. Para facilitar los cálculos se toman logaritmos de ambas partes de la ecuación,

 

ln n4 n  ln192 Aplicando propiedades de los logaritmos,

ln(n)  n ln 4  ln192 Por lo que se puede expresar como una función de la variable n, que es mucho más sencilla de derivar que la ecuación original.

f (n)  ln(n)  ln 4n  ln192  0 Derivando con respecto a n,

f ' (n) 

1

 ln 4

n Para empezar el cálculo de la nueva aproximación, se restringirá el uso de n = 0 porque la función logaritmo no está definida para este valor de n. Y se tomará n1 = 1 por ser un valor pequeño y sencillo de calcular en la función y en su derivada. Las iteraciones realizadas con sus respectivos resultados se muestran en la tabla siguiente:

n f (n) f ' (n)

Aproximación Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 1 2.62226466 2.99463958 2.99999907 -3.87120101 -0.65822634 -0.00921952 -1.5996E-06 2.386294361 1.76764412 1.72022436 1.7196278

Iteración 4 3 -4.7962E-14 1.71962769

Iteración 5 3 0 1.71962769

Sustituyendo n = 3 en la ecuación original n4  192, se comprueba que satisface la ecuación y por tanto, es la raíz de la ecuación. n

II. OBJETIVOS  El objetivo de este informe es aplicar un método aprendido en clase, y plasmarlo en un problema de aplicación en la realidad; es este caso nos enfocamos en la ley de gases ideales para hallar el volumen molar.  El enfocarnos en el estudio de técnicas numéricas que son importantes para aplicaciones prácticas, ya que con frecuencia los ingenieros no pueden resolver un problema usando técnicas analíticas.  Demostrar la aplicación del método de Newton en un problema de la ingeniería química, además de demostrar la eficiencia de este método cuando se va emplear un gran número de cálculos.

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Método de Newton-Raphson

III. PROCEDIMIENTO La ley de los gases ideales está dada por: 𝒑𝑽 = 𝒏𝑹𝑻 …ecuación (1) Donde: p: presión Absoluta ; V: volumen ; n: número de moles R: constante universal de los gases ; T: Temperatura Absoluta Esta ecuación se utiliza ampliamente por los ingenieros y científicos, sólo es exacta en un rango limitado de presión y temperatura y es adecuada solo para algunos gases. Otra ecuación de estado alternativa para los gases está dada por: (𝑝 +

𝑎𝑛2 ) (𝑉 𝑉2

− 𝑛𝑏) = 𝑛𝑅𝑇  Ecuación de Van der Waals

Donde. a y b : constantes empíricas que dependen del gas 𝑉 𝑛

: Volumen molar (𝑣)

Ecuación de Van der Waals en función al volumen molar: 𝒂 (𝒑 + 𝟐) (𝒗 − 𝒃) = 𝑹𝑻…. Ecuación (2) 𝒗

Un proyecto de diseño en ingeniería química requiere que se calcule exactamente el volumen molar (v) del dióxido de carbono y del oxígeno para diferentes combinaciones de temperatura y presión, de tal forma que los recipientes que contengan dichos gases se puedan seleccionar apropiadamente. También es importante examinar qué tan bien se apega cada gas a la ley de los gases ideales, comparando el volumen molar calculado con las ecuaciones (1) y (2) . Se proporcionan los siguientes datos: R = 0.082054 L atm/(mol K) a = 3.592 b = 0.04267  bióxido de carbono a = 1.360 b = 0.03183  oxígeno Las presiones de diseño de interés son de 1, 10 y 100 atmósferas para combinaciones de temperatura de 300, 500 y 700 K. Usando la ecuación de gases ideales dando como número de moles 1 (n=1) podemos calcular los volúmenes molares de ambos gases. Por ejemplo, si p = 1 atm y T = 300 K

Estos cálculos se repiten para todas las combinaciones de presión y de temperatura que se presentan en la tabla

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Método de Newton-Raphson

Estos cálculos son hallados mediante la ley de gases ideales y pueden ser usados con volumen molar inicial (𝑣𝑖 ). Ahora para hallar el volumen molar con la ecuación de Van der Waals podemos usar cualquiera de los métodos numéricos para la determinación de raíces de ecuaciones. 𝑭(𝒗) = (𝒑 +

𝒂 ) (𝒗 − 𝒃) − 𝑹𝑻 𝒗𝟐

La ecuación que resulta es una función del volumen molar. Por tanto, se puede expresar: 𝐹(𝑣) = 𝑝𝑣 3 − (𝑝𝑏 + 𝑅𝑇)𝑣 2 + 𝑎𝑣 − 𝑎𝑏 Observamos que hallar la derivada de F(v) no es complicada , entonces es conveniente y eficiente usar el método de Newton-Raphson. La derivada de F´(v) respecto a v está dada por: 𝐹´(𝑣) = 3𝑝𝑣 2 − 2(𝑝𝑏 + 𝑅𝑇)𝑣 + 𝑎 El método de Newton-Raphson se describe mediante la ecuación: 𝑣𝑖+1 = 𝑣𝑖 −

𝐹(𝑣𝑖 ) 𝐹(𝑣𝑖 )

Esta ecuación se utiliza para estimar la raíz. Y usando como valor inicial el valor hallado mediante la ley de gases ideales después de algunas iteraciones obtendremos las aproximaciones necesarias de acuerdo al número de iteraciones pedidas. 9

Método de Newton-Raphson

IV. EJERCICIO DE APLICACIÓN Utilizando la ecuación de estado para gases reales de Van der Waals, calcule el volumen molar (v) que ocuparía n-butano en las condiciones siguientes. Para Y (5): p = 12 atm T = 400 °K 𝐿 . 𝑎𝑡𝑚 R = 0.082 𝑚𝑜𝑙 .°𝐾 Constantes de Van der Waals: a = 13.6844 b = 0.11639

𝐿2 .𝑎𝑡𝑚 𝑚𝑜𝑙 2 𝐿 𝑚𝑜𝑙

La función del volumen y su respectiva primera derivada, después de sustituir los valores de p, T, a, b y R en ellas, son:

Ecuación de Van der Waals:

𝒇(𝒗) = (𝒑 +

𝒂 ) (𝒗 − 𝒃) − 𝑹𝑻 𝒗𝟐

𝑎𝑣 𝑎𝑏 − − 𝑅𝑇 = 0 𝑣2 𝑣2 Multiplicamos 𝒙 𝒗𝟐 para eliminar los denominadores y obtener un polinomio: 𝑎𝑣 𝑎𝑏 𝑓(𝑣) = 𝑣 2 𝑥(𝑝𝑣 − 𝑝𝑏 + 2 − 2 − 𝑅𝑇) = (𝑣 2 )𝑥0 𝑣 𝑣 𝑓(𝑣) = 𝑝𝑣 3 − (𝑝𝑏 + 𝑅𝑇)𝑣 2 + 𝑎𝑣 − 𝑎𝑏 = 0 𝑓(𝑣) = (12)𝑣 3 − [(12)(0.11639) + (0.082)(400)]𝑣 2 + (13.6844)𝑣 − (13.6844)(0.11639) 𝑓(𝑣) = 𝑝𝑣 − 𝑝𝑏 +

𝒇(𝒗) = 𝟏𝟐𝒗𝟑 − (𝟑𝟒. 𝟏𝟗𝟔𝟔)𝒗𝟐 + 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟒𝟒𝒗 − 𝟏. 𝟓𝟗𝟐𝟕𝟐𝟕𝟑𝟏𝟔 Derivando la ecuación general obtenemos: 𝑓′(𝑣) = 3𝑝𝑣 2 − 2(𝑝𝑏 + 𝑅𝑇)𝑣 + 𝑎 = 0

𝒇(𝒗) = 𝟑(𝟏𝟐)𝒗𝟐 − (𝟔𝟖. 𝟑𝟗𝟑𝟑𝟔)𝒗 + 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟒𝟒 De acuerdo a la ecuación de los gases ideales despejamos el volumen molar (v):

PV

= nRT

Dónde:

𝒗=

𝑽 𝒏

𝑽 𝑹𝑻 = 𝒏 𝑷 Reemplazando los valores iniciales del ejercicio: 𝑽 𝒏

=

𝑹𝑻 𝑷

=

(𝟎.𝟎𝟖𝟐)(𝟒𝟎𝟎)

𝒗𝟎 = 𝟐. 𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑

(𝟏𝟐)

POR EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON Fórmula General:

𝑽𝒊+𝟏 =

𝒇(𝑽𝟎 ) 𝒇′(𝑽𝟎 ) 10

Método de Newton-Raphson

2° Iteración: 𝒗𝟏 = 𝟐. 𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 −

𝟏𝟐(𝟐. 𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑)𝟑 − 𝟑𝟒. 𝟏𝟗𝟔𝟔𝟖(𝟐. 𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑)𝟐 + 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟒𝟒(𝟐. 𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑) − 𝟏. 𝟓𝟗𝟐𝟕𝟐𝟕𝟑𝟏𝟔 𝟑𝟔(𝟐. 𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑)𝟐 − 𝟔𝟖. 𝟑𝟗𝟑𝟑𝟔(𝟐. 𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑) + 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟒𝟒

𝒗𝟏 = 𝟐. 𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 −

𝟐𝟓. 𝟑𝟕𝟔𝟓𝟒𝟕𝟖𝟖 𝟗𝟓. 𝟕𝟎𝟐𝟓𝟒𝟗𝟑𝟑

𝒗𝟏 = 𝟐. 𝟒𝟔𝟖𝟏𝟕𝟐𝟕𝟏 2° Iteración: 𝒗𝟐 = 𝟐. 𝟒𝟔𝟖𝟏𝟕 −

𝟏𝟐(𝟐. 𝟒𝟔𝟖𝟏𝟕)𝟑 − 𝟑𝟒. 𝟏𝟗𝟔𝟔𝟖(𝟐. 𝟒𝟔𝟖𝟏𝟕)𝟐 + 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟒𝟒(𝟐. 𝟒𝟔𝟖𝟏𝟕) − 𝟏. 𝟓𝟗𝟐𝟕𝟐𝟕𝟑𝟏𝟔 𝟑𝟔(𝟐. 𝟒𝟔𝟖𝟏𝟕)𝟐 − 𝟔𝟖. 𝟑𝟗𝟑𝟑𝟔(𝟐. 𝟒𝟔𝟖𝟏𝟕) + 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟒𝟒

𝒗𝟐 = 𝟐. 𝟒𝟔𝟏𝟖𝟕 −

𝟒. 𝟐𝟗𝟎𝟒𝟐𝟑𝟕𝟐 𝟔𝟒. 𝟏𝟖𝟓𝟑𝟐𝟗𝟗𝟕

𝒗𝟐 = 𝟐. 𝟒𝟎𝟏𝟑𝟐𝟖𝟒𝟎 3° Iteración: 𝒗𝟑 = 𝟐. 𝟒𝟎𝟏𝟑𝟐 −

𝟏𝟐(𝟐. 𝟒𝟎𝟏𝟑𝟐)𝟑 − 𝟑𝟒. 𝟏𝟗𝟔𝟔𝟖(𝟐. 𝟒𝟎𝟏𝟑𝟐)𝟐 + 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟒𝟒(𝟐. 𝟒𝟎𝟏𝟑𝟐) − 𝟏. 𝟓𝟗𝟐𝟕𝟐𝟕𝟑𝟏𝟔 𝟑𝟔(𝟐. 𝟒𝟎𝟏𝟑𝟐)𝟐 − 𝟔𝟖. 𝟑𝟗𝟑𝟑𝟔(𝟐. 𝟒𝟎𝟏𝟑𝟐) + 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟒𝟒

𝒗𝟑 = 𝟐. 𝟒𝟎𝟏𝟑𝟐 −

𝟎. 𝟐𝟒𝟎𝟔𝟑𝟒𝟔𝟐 𝟓𝟕. 𝟎𝟑𝟗𝟎𝟗𝟑𝟔𝟓

𝒗𝟑 = 𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟎𝟗𝟔𝟒 4° Iteración: 𝒗𝟒 = 𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏 −

𝟏𝟐(𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏)𝟑 − 𝟑𝟒. 𝟏𝟗𝟔𝟔𝟖(𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏)𝟐 + 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟒𝟒(𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏) − 𝟏. 𝟓𝟗𝟐𝟕𝟐𝟕𝟑𝟏𝟔 𝟑𝟔(𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏)𝟐 − 𝟔𝟖. 𝟑𝟗𝟑𝟑𝟔(𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏) + 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟒𝟒

𝒗𝟒 = 𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏 −

𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 𝟓𝟔. 𝟓𝟗𝟕𝟏𝟓𝟑𝟐𝟑

𝒗𝟒 = 𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟎𝟗𝟑𝟐𝟐 5° Iteración: 𝒗𝟓 = 𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏 −

𝟏𝟐(𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏)𝟑 − 𝟑𝟒. 𝟏𝟗𝟔𝟔𝟖(𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏)𝟐 + 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟒𝟒(𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏) − 𝟏. 𝟓𝟗𝟐𝟕𝟐𝟕𝟑𝟏𝟔 𝟑𝟔(𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏)𝟐 − 𝟔𝟖. 𝟑𝟗𝟑𝟑𝟔(𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏) + 𝟏𝟑. 𝟔𝟖𝟒𝟒

𝒗𝟓 = 𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟏𝟏 −

𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 𝟓𝟔. 𝟓𝟗𝟕𝟏𝟓𝟑𝟐𝟎

𝒗𝟓 = 𝟐. 𝟑𝟗𝟕𝟎𝟗𝟑

Por lo que el volumen molar del n-butano a dichas condiciones es:

𝑣 = 2.397093 𝐿/𝑚𝑜𝑙 La tabla siguiente muestra los valores obtenidos en cada iteración. Gas ideal 1° Iteración 2° Iteración 3° Iteración 4° Iteración

5° Iteración

v

2.733333333

2.46817271

2.4013284

2.39710964

2.39709322

2.39709322

f(v)

25.37654788

4.29042372

0.24063462

0.000092906

0.00000001

0

f'(v)

95.70254933

64.18532997

57.03909365

56.59886362

56.59715323

56.5971532

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Método de Newton-Raphson

V. CONCLUSIONES  Se logró aplicar satisfactoriamente el método de Newton – Raphson, el cual nos permitió calcular el volumen molar a partir de la Ley de Gases. 

VI. BIBLIOGRAFIA  CHAPRA, STEVEN C; RAYMOND CANALE P (2007) “MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS”, QUINTA EDICIÓN, MCGRAW HILL, MÉXICO D.F, PP 124-139, 142-167.  M ATHEWS , J OHN H; F INK , K URTIS D (2000) “MÉTODOS NUMÉRICOS CON MATLAB”, T ERCERA EDICION , P RENTICE H ALL , S ANTAFÉ DE B OGOTÁ , PP 661-673.  C ORREA Z, F RANCISCO J (2010) “M ÉTODOS NUMÉRICOS ”, P RIMERA EDITORIAL U NIVERSIDAD EAFIT, M EDELLÍN , C AP 3.

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F ONDO

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