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• Lizveth Salazar

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Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica ANALISIS NUMERICO PRACTICA 7: “METODO DE BISECCION”

Objetivo: Estudiar el método de Bisección utilizado para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales de manera analítica y a través de un programa elaborado en Matlab.

Introducción:

Es uno de los métodos más usados en ingeniería por llegar al resultado del problema planteado de forma muy rápida. Se basa en trazar rectas tangentes que “toman la forma” de la función por medio de su primera derivada. Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo. Supongamos

que

tenemos

la

aproximación

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto punto

que

será

nuestra

siguiente

a

la

raíz

de

; ésta cruza al eje aproximación

a

la

,

en un raíz

.

Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos

Y despejamos

:

:

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

, si

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia. También observe que en el caso de que , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso

mismo es una raíz de

Desarrollo: Ejemplos de aplicación

 Manera analítica:

!

a) Aproximar la raíz de f(x)= valor inicial 3 F(xa)=-0.1 F¨(xa)=25 X1=1- [(-0.1)/2]=1.05 Ea=

* 100| =4.7619%

F(x1)=-7.375x10-3 F´(x1)=1.7075 X2=1.05-[-7.7375x10-3/1.7075]=1.054531 Ea=

* 100| =0.4296%

F(x2)=3.032651x10-4 F¨(x2)=1.681734 X3=1.054531-[3.032651x10-4/1.681734]=1.0543506 Ea=

* 100| =0.017%

La raiz es : 1.0543506

 Código desarrollado en Matlab

, hasta que Ea < 0.1% con un

                                      

% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales % método de newton raphson clear all;

% Limpia la memoria

clc;

% Limpia la ventana de comandos

% Ingresar la función, valor inicialy porcentaje de error. fprintf('\nCálculo de la raíz de una ecuación por el método de newton raphson\n\n'); Y=input('Dame la función : ','s'); y=input('Dame la primera derivada de la funcion : ','s'); Xa=input('Dame el punto inicial : '); error=input('Dame el porciento del error : '); % evaluacion de las funcion y su derivada en el punto inicial x=Xa; Ya=eval(Y);

% f(Xa)

x=Xa; Yb=eval(y);

% f(Xb)

% Se realizan los cálculos para determinar la raíz en la siguiente sección. fprintf('\n\n') disp(' F(Xb)

N

Xa F(Xr)

Xr Error

F(Xa) ');

disp('|---|-----------------|-------------------|------------------|------------------|--------------------|-----------'); Xant=Xa; % X anterior N=1;

% Contador de Iteraciones

while N