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Proyecto – Análisis Numérico Manizales Colombia

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Por

Carlos Garcés

Manizales

Tabla de Contenidos Resumen-Notación..................................................................5 Introducción............................................................................6 Metodología............................................................................8 Resultados.............................................................................10 Conclusiones.........................................................................12 Referencias............................................................................13

Resumen Con las ecuaciones de estado (EoS, equation of state) se obtiene un domo de temperatura (T) vs Factor de compresibilidad (z) y también uno de temperatura (T) vs volumen especifico (v), gracias a que las EoS relacionan la presión, temperatura y volumen especifico de una sustancia, de esta forma también se deben tener en cuenta algunos parámetros que son reemplazados en una ecuación general para hallar la EoS de Redlich-Kwong que fue la propuesta. Se usó un método numérico para ecuaciones no lineales para llegar a los domos que fue el Newton-Raphson para una sola variable con el que se encontraron las raíces, para cada domo también se le realizó su respectiva gráfica y la sustancia que se tomó de referencia fue el etano.

Notación R T Tr P z v Tc Pc

: constante universal de los gases : temperatura : temperatura reducida : presión de saturación : factor de compresibilidad : volumen : temperatura crítica : presión crítica

Introducción Los métodos numéricos son procesos iterativos cuyo fin es solucionar sistemas de ecuaciones tanto lineales, como sistemas de ecuaciones no lineales, existe gran variedad de métodos y cada uno tiene una ventaja que prima sobre el resto, como también hay aquellos que son bastante restringidos al momento de su implementación, en este caso resolveremos ecuaciones no lineales mediante el siguiente método. Método de Newton-Raphson Es un algoritmo usado para encontrar ceros o raíces de una función. El método numérico de Newton fue descrito por Sir Isaac Newton en “De analysi per aequationes numero terminorum infinitas” ('Sobre el análisis mediante ecuaciones con un número infinito de términos', escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum. El trabajo realizado por Isaac Newton, fue realizado contemporáneamente por el matemático inglés Joseph Raphson, que consistía también en encontrar las raíces a partir de la derivación de las funciones, éste trabajo no fue tan popular, pero más sin embargo mucho después se le reconoció y por esto el método contiene su nombre, Raphson fue una de las pocas personas a las que Newton le permitía ver sus trabajos, entonces, a partir de estudios de él, Raphson lo perfeccionó. Este se puede considerar como uno de los métodos más implementados, aunque este cuenta con una desventaja, puesto que este método es incapaz de calcular múltiples raíces. El método sólo requiere de un valor estimado, y consiste en hallar la derivada en ese primer valor estimado, y luego ir restimando este valor hasta que llegue a una convergencia dada por el usuario, dicha convergencia es, que el error relativo sea menor a una tolerancia establecida por el usuario. La ecuación de NewtonRaphson es la siguiente: x i+1=x i−

f ( xi ) f ' (x i)

Donde el x i es el valor estimado, y el x i+1 el valor restimado. Para el cálculo de la presión saturada usaremos la ecuación de Antoine (2.2). Louis Charles Antoine fue un ingeniero de la armada francesa que nació en 1825, entre muchos descubrimientos, sobre sale la ecuación de Antoine, llamada así ser él su inventor, fue un estudiante de la escuela marina ingresado en 1842, allí creció y formó su conocimiento, donde realizó avances tecnológicos a los astilleros de Lorient, un pequeño municipio francés; fue entre otros un gran investigador en física aplicada.

Para la generación del domo, se usó la ecuación de estado Redlich-Kwong, ésta es más precisa que la ecuación de Van der Waals y fue formulada por Otto Redlich y Joseph Neng Shun Kowngen en 1949, esta ecuación ha recibido constantes modificaciones a través de los años para mejorar su precisión. Otto Redlich fue un químico físico e ingeniero austriaco nacido en 1896 y conocido más que todo por su actuación en la ecuación de estado Redlich -Kwong, participó en la primera guerra mundial como artillero en el frente italiano. Logró sobrevivir a dicha masacre y en 1919 empezó sus estudios como químico. Luego, en 1938 abandonó Austria dado que en ese entonces el país era gobernado por la Alemania Nazi, encontrando refugio en EEUU, sobreviviendo también a dicha guerra, y muriendo en 1978. Joseph Neng Shun Kowngen fue un ingeniero químico nacido en China en el año de 1916, también conocido por contribuir en la ecuación de estado antes mencionada, también emigrado a EEUU cuando era niño, estudió en la universidad de Stanford obteniendo su licenciatura en 1937, trabajó en la famosa empresa 3M, desde 1942 a 1944, más adelante conociendo a Redlich cuando ambos trabajaban en Shell, y así presentando su ecuación de estado, murió en 1998.

Metodología Inicialmente se tiene la ecuación [1] que es un modelo que describe el movimiento amortiguado y forzado de un sistema masa resorte m

d2 x dx dx +a + kr ( x )=F0 sin ⁡(ωt) 2 dt dt dt

| |

[1]

Donde: x = Desplazamiento respecto a la posición de equilibrio (x=0). m = La masa del sistema. t = Es el tiempo. a= Es una constante de amortiguamiento. Para hallar la gráfica de T =T ( z ) y de T =T (v ) del etano con la ecuación de estado usando los parámetros de Redlich-Kwong (2.1), fue necesario hacer uso de la ecuación de Antoine (ecuación 2.2) Parámetros para la ecuación de Redlich-Kwong. Obtenida de [1] Tabla4-6, pág. 4.19. B' =

bP ' δP ' θP ' P 2 ' nP δ= θ= ϵ =ϵ n= (2.1) RT RT RT RT ( RT )2

( )

Otros parámetros a tener en cuenta para encontrar la EoS de Redlich-Kwong de las ecuaciones (2.1). δ =b ; ϵ=0 ; θ=

a T 0.50

; n=b ; (2.1.2)

Para hallar Tr usamos Tr= Donde

T Tc

90.35 ° K < T