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GUÍA SAP2000

MURO DE CONTENCIÓN EN VOLADIZO

™

PARTE 1

CÁLCULO MANUAL Alex Henrry Palomino Encinas Cajamarca – Perú.

Guía SAP2000 – Muro de Contención © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™ © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™ © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™ © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™ © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™ © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™ © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™

© 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™

El presente documento tiene la finalidad de ilustrar el procedimiento de análisis y diseño de un muro de contención en voladizo mediante el uso de software comercial de CSI, SAP2000. Se calculan las cargas de presión lateral ejercidas por el suelo usando la teoría de Rankine para luego proceder con el dimensionamiento preliminar de los espesores de la pantalla y cimentación del muro; luego, se realiza el modelado y posterior análisis y diseño manual y con software.

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La Figura 1 muestra el planteamiento del problema cuya solución pretende la construcción de un muro de contención con longitud, 𝐿 = 7.40 𝑚.

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Figura 1. El planteamiento de diseño de la pantalla del muro considerará la variación de la presión lateral y el efecto en la base del mismo considerando una capacidad de 𝐾𝑔 soporte neta del suelo de 𝑞𝑠 = 1.324 2 . 𝑐𝑚

Las características del concreto a usar de acuerdo con las exigencias del ACI serán las que se indiquen a continuación: •

Nombre del Material:

f’c = 280 Kg/cm2

•

Resistencia a la Compresión:

𝒇′𝒄 = 𝟐𝟖𝟎 𝒄𝒎𝟐

•

Fluencia del Acero de Refuerzo: 𝒇𝒚 = 𝟒𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐

𝑲𝒈

𝑲𝒈

Poisson Ratio:

𝒗 = 𝟎. 𝟐𝟎

•

Módulo de Elasticidad:

𝑬𝒄 = 𝟐𝟓𝟐𝟔𝟕𝟏. 𝟑𝟐𝟖 𝒄𝒎𝟐

•

Módulo de Corte:

𝑮𝒄 = 𝟏𝟓𝟕𝟗𝟏𝟗. 𝟓𝟖 𝒄𝒎𝟐

•

𝑲𝒈

𝑲𝒈

Adicionalmente, el ángulo de fricción, 𝛿, entre el concreto del muro y la arena saturada es de 37°. Los factores de seguridad, 𝐹𝑆, para volteo y momento serán menores o iguales a 1.50.

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Presiones laterales y verticales Las presiones laterales calculadas con la aplicación de la teoría de Rankine tienen la siguiente formulación matemática: © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™

𝑃ℎ = 𝛾𝑠 ∙ ℎ𝑠 ∙ 𝑘𝑠 Donde, 𝛾𝑠 , es el peso volumétrico del suelo, ℎ𝑠 , es la potencia o espesor del estrato y 𝑘𝑠 , representa un coeficiente característico del estrato de suelo exclusivo para el cálculo de la presión lateral que ejerce el suelo. De acuerdo con las condiciones del problema, la fluencia o cedencia del talud se asemejará a una cuña triangular que se deslizará hacia la izquierda, produciendo un efecto denominado empuje activo. Las presiones activas máximas producidas por los sólidos del suelo en los puntos que se indican en la Figura 2, teniendo en cuenta que la densidad del agua es equivalente a 9.81 KN/m3, son respectivamente:

Figura 2. a) Estrato 1 𝑃𝐵 = (17.20)(1.50)(0.333) = 8.5914

𝐾𝑁 𝑚2

b) Interfaz entre el Estrato 1 y 2 𝑃𝐵(1,2) = (17.20)(1.50)(0.283) = 7.3014

𝐾𝑁 𝑚2

c) Estrato 2 𝑃𝐶 = 𝑃𝐵 + (20.4 − 9.81)(3.50)(0.283) = 17.790795

4

𝐾𝑁 𝑚2

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De igual manera, la presión lateral ejercida por la sobrecarga, 𝑞, se obtiene mediante la siguiente expresión: 𝑃ℎ−𝑞 = 𝑞 ∙ 𝑘𝑠 © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™

Por consiguiente a) Estrato 1 𝑃𝐴𝐵−𝑞 = (19.15)(0.333) = 6.37695

𝐾𝑁 𝑚2

𝑃𝐵𝐶−𝑞 = (19.15)(0.283) = 5.41945

𝐾𝑁 𝑚2

b) Estrato 2

Finalmente, la presión ejercida por el agua desde el nivel mostrado es igual a: 𝑃ℎ−𝑤 = 𝛾𝑤 ∙ ℎ𝑤 Donde, 𝛾𝑤 , es la densidad del agua y ℎ𝑤 , la profundidad de cálculo de la presión de poro. Por lo tanto, 𝑃𝐶−𝑤 = (9.81)(3.50) = 34.335

𝐾𝑁 𝑚2

La Figura 3 muestra el resumen detallado de todos los cálculos realizados.

Figura 3.

La presión vertical será calculada a la altura del talud. Su cálculo es similar al de un recipiente que contiene dos fluidos. 5

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La expresión que describe la presión vertical ejercida por el suelo se muestra a continuación: 𝑛

𝑃𝑣 = [∑ 𝑃𝑣𝑖 ] + 𝑃𝑣𝑞 + 𝑃𝑣𝑤

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𝑖=1

Donde, 𝑃𝑣 , representa la presión vertical total a la profundidad total del talud, 𝑃𝑣𝑖 , es la presión vertical de los sólidos del suelo en el estrato, 𝑖, a una profundidad determinada, 𝑃𝑣𝑞 , la presión vertical producida por la sobrecarga y 𝑃𝑣𝑤 , la presión de poro vertical. De acuerdo con ello, las presiones verticales producidas por los sólidos del suelo serán: Estrato 1: 𝑃𝑣1 = (17.20)(1.50) = 25.80

𝐾𝑁 𝑚2

Estrato 2: 𝑃𝑣2 = (20.4 − 9.81)(3.50) = 37.065

𝐾𝑁 𝑚2

Luego, 2

∑ 𝑃𝑣𝑖 = 𝑃𝑣1 + 𝑃𝑣2 = 25.80 + 37.065 = 62.865 𝑖=1

𝐾𝑁 𝑚2

La presión vertical producida por la sobrecarga, 𝑞, es 𝑃𝑣𝑞 = 𝑞 = 19.15

𝐾𝑁 𝑚2

Y la presión vertical, 𝑃𝑣𝑤 , ejercida por el agua, 𝑃𝑣𝑤 = (9.81)(3.50) = 34.335

𝐾𝑁 𝑚2

Finalmente, la presión total, 𝑃𝑣 , a la profundidad de 5.00 mts es: 𝑃𝑣 = 62.865 + 19.15 + 34.335 ∴ 𝑷𝒗 = 𝟏𝟏𝟔. 𝟑𝟓

𝑲𝑵 𝑲𝒈 = 𝟏𝟏𝟖𝟎𝟒. 𝟑𝟗𝟖 𝟐 𝟐 𝒎 𝒎

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Dimensionamiento Preliminar El dimensionamiento preliminar de la pantalla y cimentación del muro consiste en comparar la capacidad a cortante que tienen los elementos con el producido por el empuje y presión vertical bajo estados de esfuerzos últimos. Esto es, que se debe cumplir la siguiente inecuación: © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™

𝜙𝑉𝑐 ≥ 𝑉𝑢 Donde, 𝜙𝑉𝑐 , es la capacidad a cortante del concreto en elementos sometidos a flexión y, 𝑉𝑢 , es el cortante total máximo amplificado producido por el empuje lateral y vertical. Teniendo en cuenta esta descripción, 2𝜙√𝑓𝑐′ 𝑏𝑑 ≥ 𝑉𝑢 Donde, 𝑏, en este caso particular representa una longitud representativa de cálculo asociado con el muro (longitud unitaria o longitud) y, 𝑑, el peralte efectivo del elemento sometido a flexión. Despejando, 𝑑, la inecuación queda de la siguiente manera 𝑑≥

𝑉𝑢 2𝜙√𝑓𝑐′ 𝑏

a) Dimensionamiento de la Pantalla El primer elemento que se dimensiona es la pantalla, ya que será la responsable de cargar la presión lateral ejercida por el suelo para evitar de alguna manera la fluencia del talud. Vamos a calcular el cortante total, 𝑉𝑇 , ejercido por el empuje lateral denotándolo de la manera como se muestra a continuación y bajo la aclaración de que el ancho, 𝑏, de cálculo para el muro será de 30cm. 1 1 𝐸1 = 𝑃𝐵 ℎ1.5 𝑏 = (8.5914)(1.50)(0.30) = 1.9331 𝐾𝑁 2 2 𝐸2 = 𝑃𝐵(1,2) ℎ3.5 𝑏 = (7.3014)(3.50)(0.30) = 7.6665 𝐾𝑁 1 1 𝐸3 = 𝑃𝐶 ℎ3.5 𝑏 = (17.790795)(3.50)(0.30) = 9.3402 𝐾𝑁 2 2 𝐸4 = 𝑃𝐴𝐵−𝑞 ℎ1.5 𝑏 = (6.37695)(1.50)(0.30) = 2.8696 𝐾𝑁 𝐸5 = 𝑃𝐵𝐶−𝑞 ℎ3.5 𝑏 = (5.41945)(3.50)(0.30) = 5.6904 𝐾𝑁 1 1 𝐸6 = 𝑃𝐶−𝑤 ℎ3.5 𝑏 = (34.335)(3.50)(0.30) = 18.0259 𝐾𝑁 2 2 7

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La fuerza cortante total, 𝑉𝑇 , será igual a: 6

𝑉𝑇 = ∑ 𝐸𝑖 = 45.5256 𝐾𝑁 𝑖=1

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El cortante de diseño, 𝑉𝑢 , es 𝑉𝑢 = 1.6𝑉𝑇 = 1.6(45.5256) 𝑉𝑢 = 72.8410 𝐾𝑁 = 7427.7151 𝐾𝑔 El peralte efectivo de la pantalla sería igual a 𝑑≥

7427.7151 2(0.75)√280×0.0703069626(30)

= 37.2019 𝑐𝑚

Para un recubrimiento de 5cm y un diámetro tentativo del refuerzo de 𝜙5/8", el espesor de la pantalla sería igual a: 𝑡𝑤 = 𝑑 + 5 +

𝑑𝑏 1.5875 = 37.2019 + 5 + = 42.996 𝑐𝑚 ≈ 43𝑐𝑚 2 2

Quedando para construcción un espesor, 𝑡𝑤 , para la pantalla de 45cm. Finalmente, el peralte efectivo de cálculo será 𝑑 = 𝑡𝑤 − 5 −

𝑑𝑏 1.5875 = 45 − 5 − 2 2

𝒅 = 𝟑𝟗. 𝟐𝟎𝟔𝟐𝟓 𝒄𝒎 Adicionalmente, el momento total generado por el empuje lateral en la base de la pantalla se calculará de la manera como se muestra en la Figura 4.

Figura 4.

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La expresión matemática que describe el momento flector total en la base de la pantalla es: 𝑛 © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™

𝑀𝑇 = ∑ 𝐸𝑖 ℎ𝑖 𝑖=1

𝑀1 = (1.9331)(4.0) = 7.7323 𝐾𝑁 − 𝑚 𝑀2 = (7.6665)(1.75) = 13.4163 𝐾𝑁 − 𝑚 𝑀3 = (9.3402)(1.17) = 10.8969 𝐾𝑁 − 𝑚 𝑀4 = (2.8696)(4.25) = 12.1959 𝐾𝑁 − 𝑚 𝑀5 = (5.6904)(1.75) = 9.9582 𝐾𝑁 − 𝑚 𝑀6 = (18.0259)(1.17) = 21.0302 𝐾𝑁 − 𝑚 𝑀𝑇 = 75.2298 𝐾𝑁 − 𝑚 = 7671.3033 𝐾𝑔 − 𝑚

b) Dimensionamiento de la Cimentación El dimensionamiento de la cimentación implica la verificación de los F.S. a volteo y deslizamiento, ambos mayores o iguales a 1.50. La Figura 5 muestra el D.C.L de los momentos actuantes producidos por la presión lateral y vertical.

Figura 5. El momento, 𝑀𝑣 , es calculado mediante la siguiente expresión: 1 𝑀𝑣 = 𝑃𝑣 𝑏𝐵22 2 9

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Sabemos que, 𝐹𝑆𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒𝑜 ≥ 1.50, entonces: 𝐹𝑆𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒𝑜 =

𝑀𝑣 ≥ 1.50 𝑀𝑇

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Resolviendo la inecuación, se obtiene 3𝑀𝑇 𝐵2 ≥ √ 𝑃𝑣 𝑏 Por consiguiente, 3(7671.3033) 𝐵2 ≥ √ = 2.549 𝑚 (11804.398)(0.30) ∴ 𝑩𝟐 = 𝟐. 𝟔𝟎 𝒎 Luego, 𝐵1 , es calculado mediante el criterio de que la carga vertical total en la cimentación debe ubicarse lo más centrada posible respecto a su Centro Geométrico, C.G., o en su defecto quedar justo en el tercio central del C.G.

Figura 6. La Figura 6 muestra las cargas verticales actuantes sobre la cimentación. Nuestro trabajo ahora es determinar la ubicación 𝑥 de la carga vertical total, 𝑄𝑉𝑇 , respecto del punto “o”. La carga, 𝑄𝑐 , del concreto de la pantalla es igual a: 1 𝑄𝑐 = (0.30 + 0.45)(5)(0.30)(2400) = 1350 𝐾𝑔 2 10

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La carga, 𝑄𝑣 , del suelo 𝑄𝑣 = (11804.398)(2.60)(0.30) = 9207.4304 𝐾𝑔 La ubicación, 𝑥, de la carga, 𝑄𝑉𝑇 , sería igual a: © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™

𝑥=

(1.30)(9207.4304) − (1350)(0.1875) = 1.1577 𝑚 9207.4304 + 1350

La Figura 7 muestra las dos alternativas de cimentación que se tendrían.

Figura 7. Es lógico pensar que de las dos alternativas la primera produciría un espesor de cimentación mayor que el segundo ya que la presión de contacto cercano al intradós del muro es gráficamente mayor. La expresión de Navier que permite determinar las presiones de contacto es: 𝑞𝑚á𝑥,𝑚𝑖𝑛 =

𝑄𝑉𝑇 𝑒𝑥 (1 ± 6 ) 𝑏𝐵 𝐵

Donde, 𝐵, representa el ancho de la cimentación. A continuación, se presentan los cálculos de las presiones de contacto para las dos alternativas: a) Alternativa 1

𝑞𝑚á𝑥,𝑚𝑖𝑛

10557.4304 8.27 𝐾𝑔 (1 − 6 ) = 0.9661 2 (30)(305) 305 𝑐𝑚 = 10557.4304 8.27 𝐾𝑔 (1 + 6 ) = 1.3415 2 { (30)(305) 305 𝑐𝑚 11

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b) Alternativa 2

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𝑞𝑚á𝑥,𝑚𝑖𝑛

10557.4304 70.77 𝐾𝑔 (1 − 6 ) = 0.0102 2 (30)(430) 430 𝑐𝑚 = 10557.4304 70.77 𝐾𝑔 (1 + 6 ) = 1.6266 2 { (30)(430) 430 𝑐𝑚

Para ambas condiciones se puede observar que la presión de contacto producida en el suelo sobrepasa la capacidad de soporte admisible del suelo, razón por la que se deberá incrementar el ancho de la cimentación. La Figura 8 muestra el resultado de la optimización de anchos de la cimentación para ambas alternativas ya presentadas.

Figura 8. La expresión que determina el valor de la presión de contacto a la distancia 𝑑 indicada en la Figura 9 se muestra a continuación: a) Alternativa 1 𝑞𝑚á𝑥 − 𝑞𝑚𝑖𝑛 𝑞𝑑 = (𝑡𝑤 + 𝑑) ( ) + 𝑞𝑚𝑖𝑛 𝐵 b) Alternativa 2 𝑞𝑚á𝑥 − 𝑞𝑚𝑖𝑛 𝑞𝑑 = (𝐿𝑣 + 𝑡𝑤 + 𝑑) ( ) + 𝑞𝑚𝑖𝑛 𝐵

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Basándonos en las ecuaciones dadas al inicio de este apartado, el esfuerzo del concreto de la cimentación quedaría de la siguiente forma: 𝜎𝑣 = 2𝜙√𝑓𝑐′ © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™

El esfuerzo último en la cimentación es aquel que se obtiene de amplificar las cargas por sus respectivos coeficientes de Mayoración. La combinación de carga que genera la mayor presión de contacto en el producida por las cargas es: 𝑈 = 1.2(𝐷 + 𝐹) + 1.6𝐿 El peso del concreto y de los sólidos del suelo son cargas permanentes y entrar en la categoría del Tipo Dead, D, el peso del agua que produce la presión lateral de poro es del Tipo Fluido, F, mientras que la sobrecarga es del Tipo Live, L. De acuerdo con ello y con las cargas ya calculadas, la carga vertical de diseño sería 𝑈𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 = 1.2(1350) = 1620 𝐾𝑔 𝑈𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜−1 = 1.2(7879.7549) = 9455.7059 𝐾𝑔 𝑈𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜−2 = 1.2(8474.4534) = 10169.3441 𝐾𝑔 𝑈𝑠/𝑐−1 = 1.6(1152.4414) = 2483.9062 𝐾𝑔 𝑈𝑠/𝑐−2 = 1.6(1669.6068) = 2671.3709 𝐾𝑔 La ubicación de la carga vertical total de diseño, 𝑄𝑣𝑢 , y las presiones de contacto pueden apreciarse en la Figura 9.

Figura 9. 13

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De aquí, la capacidad a esfuerzo cortante del concreto de la cimentación sería igual a: 𝜎𝑣 = 2(0.75)√280×0.0703069626 = 6.6553 © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™

𝐾𝑔 𝑐𝑚2

Luego, resolviendo las ecuaciones de la página 12, las distancias, 𝑑, bajo las cuales el esfuerzo cortante último de diseño, 𝜎𝑢 , es al menos menor o igual a 𝜎𝑣 , son los que se muestran respectivamente en la Figura 10. El espesor de diseño para cada alternativa se calculó para un recubrimiento, 𝑟 = 5𝑐𝑚, y un diámetro base de refuerzo, 𝑑𝑏 = 1.5875𝑐𝑚 [𝜙5/8"], cuya expresión de cálculo fue la siguiente: ℎ𝑧 = 𝑑 + 𝑟 +

𝑑𝑏 [𝑐𝑚] 2

Figura 10. Conocidas las dimensiones del muro de contención para ambas alternativas, se debe revisar la condición de deslizamiento estático del muro, asegurándonos de que la cimentación genere el suficiente rozamiento para evitar el movimiento lateral bajo las condiciones de carga expuestas. La Figura 11 muestra la representación gráfica del ángulo de fricción entre el suelo y la cimentación. Mediante el planteamiento de la función tangente se puede establecer lo siguiente: tan 𝛿 =

𝑓 𝑁

Que mediante despeje de, 𝑓, la expresión de la fuerza de fricción que se opone al deslizamiento lateral es: 𝒇 = 𝑵 𝐭𝐚𝐧 𝜹 Donde, 𝑁, representa el valor de la reacción vertical del suelo producida por las cargas verticales. Se debe verificar que 𝐹𝑆𝑠𝑙𝑖𝑐𝑒

𝑓 = ≥ 1.50, 𝐸𝑇 14

6

𝐸𝑇 = ∑ 𝐸𝑖 𝑖=1

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Los pesos verticales del suelo y de la pantalla son ya conocidos, siendo el único dato faltante para dicha verificación el peso de la cimentación. Por consiguiente: 𝑃𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = { © 2017 Alex Henrry Palomino Encinas®™

𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 1: (2400)(3.10)(0.55)(0.30) = 1227.60 𝐾𝑔 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 2: (2400)(4.05)(0.60)(0.30) = 1749.60 𝐾𝑔

Por lo tanto, la reacción del suelo igual al peso completo del muro y del suelo es: 𝑃𝑇 = 𝑁 = {

𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 1: 11962.0964 𝐾𝑔 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 2: 13192.3603 𝐾𝑔

La fuerza de fricción calculada de acuerdo con lo indicado es 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 1: 11962.0964× tan 37° = 9014.0862 𝐾𝑔 𝑓={ 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 2: 13192.3603× tan 37° = 9941.1565 𝐾𝑔

Figura 11. De la Figura 4, el empuje lateral total, 𝐸𝑇 , es de 4642.3293 Kg y por consiguiente, los factores de seguridad para ambas alternativas son respectivamente.

𝐹𝑆𝑠𝑙𝑖𝑐𝑒

9014.0862 = 1.94 ≥ 1.50 = {4642.3293 9941.1565 = 2.14 ≥ 1.50 4642.3293

Condición que establece la culminación de la fase de dimensionamiento y cálculo preliminar del muro de contención, quedando de esta manera listo para su diseño.

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