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• Álvaro Cari Uluri

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MOVIMIENTO EN EL PLANO (MOVIMIENTO DE PROYECTILES) I. Objetivos  Determinar experimentalmente la velocidad de un disparo a través de un lanzamiento horizontal.  Predecir el alcance horizontal de un disparo efectuado desde una altura bajo un cierto ángulo sobre un terreno horizontal.  Estudiar la dependencia del alcance horizontal y el ángulo de disparo. II. Fundamento Teórico Para predecir donde el proyectil hace impacto en el piso cuando es disparado desde una mesa bajo un cierto ángulo, es necesario primero determinar la velocidad inicial del disparo. Esta velocidad se la puede determinar efectuando un disparo horizontal desde el borde de la mesa, midiendo los alcances verticales y horizontales de la trayectoria del proyectil. Luego ésta velocidad puede ser empleada para calcular donde hará impacto el proyectil disparado bajo un cierto ángulo. Velocidad inicial de un lanzamiento horizontal Para el disparo horizontal de un proyectil desde una cierta altura, por ejemplo desde una mesa, como muestra la figura 1, la velocidad inicial horizontal es constante a lo largo de toda la trayectoria sera: v0 

x t

(1)

FIGURA 1 El alcance horizontal “x” del proyectil está dado por: x  v 0t , donde “t” es el tiempo durante el cual se encuentra en el aire (tiempo de vuelo).

Notar que en nuestro estudio se desprecian los efectos de la resistencia del aire durante el movimiento del proyectil. La distancia vertical recorrida por el proyectil en el tiempo “t” está dada por: y

1 2 gt 2

(2)

Por lo tanto la velocidad inicial del disparo puede ser determinada midiendo las distancias horizontal “x” y vertical “y”. Despejando de (1) y (2) el tiempo “t” e igualando ambas expresiones se obtiene: x 2 2y  v 02 g



v0  x

g 2y 0

(3)

Velocidad inicial de un disparo efectuado bajo un cierto ángulo Para predecir el alcance horizontal “x” del disparo de un proyectil efectuado bajo un cierto ángulo  sobre un terreno horizontal (como el que se muestra en la figura 2), se debe encontrar el tiempo de vuelo analizando el movimiento vertical, para el cual se cumple la siguiente ecuación: y  y 0  ( v 0 sin )t 

1 2 gt 2

(4)

en donde y 0 es la altura inicial del proyectil, que en este caso es igual a cero ( y 0 0) y la coordenada “y”, es la posición del proyectil cuando toca el suelo, que también en este caso es igual a cero (y=0).



Reemplazando estas condiciones se obtiene que el tiempo de vuelo del proyectil es: t

2 v 0 sin  g

(5)

FIGURA 2 El alcance horizontal esta dado por:

x  ( v 0 cos )t

(6)

Despejando de (6) “t” y reemplazando en (4), se obtiene: gx 2 y  y 0  x tan   2 (7) 2 v 0 cos  Conociendo los valores de  , “x” y “y”, de la ecuación (7) se determina v 0 : v0 

gx 2 ( x tan   y )2 cos 2 

(8)

Para el caso en que el proyectil sea disparado según un cierto ángulo, pero desde una cierta altura, por ejemplo sobre una mesa (como muestra la figura 3), el tiempo de vuelo se determina a partir de la ecuación de posición para el movimiento vertical: y  y 0  ( v 0 sin )t 

1 2 gt 2

(9)

Donde y 0 es la altura inicial del proyectil y la coordenada “y” es la posición del proyectil cuando toca el piso, por tanto es y  0. Cuando y  0, se tiene: 0  y 0  ( v 0 sin )t 

1 2 gt 2

(10)

entonces, tiempo de vuelo t se encuentra resolviendo la ecuación de segundo grado dada por (10). El alcance horizontal está dado por: x  ( v 0 cos )t

y

donde t es el tiempo de vuelo determinado a partir de la ecuación (10)

x

FIGURA 3 II. Procedimiento Determinar la velocidad inicial del proyectil o Para esta parte del experimento, primeramente se puso el lanzador sobre una mesa, para que exista una altura. o Luego se puso el proyectil dentro del lanzador y se hizo una prueba, para ver donde aproximadamente podía caer el proyectil, cuando se ubico el punto de impacto sobre el piso, se coloco un papel blanco y encima un papel carbónico; así se podrá marcar el lugar del impacto. o Se efectuó cinco disparos que cayeron dentro de los papeles colocados en el piso, después de los cinco disparos medimos la distancia desde la proyección que se hizo en el piso desde el lanzador, hasta los puntos en los que cayeron los proyectiles. Se anotó los valores en la tabla 1. Disparo efectuado bajo un cierto ángulo desde una altura o Para esta parte se hizo lo mismo que en la parte A, pero esta vez se anotó los valores en la tabla 3, las distancias de cada disparo. o Con las hojas y el papel carbónico se pudo medir la distancia horizontal de la trayectoria de los proyectiles, lanzados para cada ángulo cuatro veces. III. Análisis de datos  DATOS PARTE A) DETERMINAR LA VELOCIDAD INICIAL DEL PROYECTIL Los datos obtenidos en el laboratorio nos servirán para elaborar la tabla1, y estos también nos servirán para la construcción de la gráfica posteriormente, donde la altura es igual a 107.0cm : TABLA 1 N 1 2 3 4

X (cm) 174.6 174.7 175.1 175.7

5 De la tabla anterior obtenemos

x

175.9

que es el promedio de las distancias : x

= 223 cm

La desviación cuadrática media se puede calcular con los datos de la tabla 1, el resultado es: Xprom  X N ( N  1)

Esx  Esx  0

en la tabla 2 obtenemos los valores de la sumatoria: TABLA 2 X (cm) 223.0 223.5 222.5 223.5 222.5

(Xi – X media)2 (223.0-223)2 =0 cm2 (223.5-223)2 =0.25 cm2 (222.5-223)2 =0.25 cm2 (223.5-223)2 =0.25 cm2 (222.5-223)2 =0.25 cm2

Ahora tenemos:

 (x

i

 x ) 2 = 1cm2

y

N=5

entonces: s

1cm 2  5

0.2cm 2  0.447cm

Para determinar x hacemos: x 

S N 1

entonces: x 

0.447cm 0.447cm   0.224cm 2 5 1

Por lo tanto tenemos:

x =  0.224 cm

Para determinar la velocidad inicial: sabemos que la gravedad es de 981cm s 2 , y de la ecuación:

g 2y

v0  x

donde: y = 105.61 cm. tenemos: v0  223cm

981cm s 2  223cm 4.64s 2  480.59 cm s 2(105.61cm)

Para calcular el tiempo de vuelo :

x

t v v

0

Reemplazando los valores ya obtenidos :

t

v



223  0.464 s 480.59

 DATOS PARTE C) DISPARO EFECTUADO BAJO UN CIERTO ANGULO DESDE UNA ALTURA Los datos obtenidos en el laboratorio sirvieron para elaborar la tabla 3, y estos también sirvió para la construcción de la gráfica posteriormente :

TABLA 3 ángulo X (cm) X (cm) X (cm) X (cm) X prom 15º 206.1 206.3 206.5 206.6 206.4 30º 222.3 223.5 223.8 224.2 223.4 45º 217.4 217.7 218.4 218.4 217.9 60º 171.5 171.7 171.9 172.0 171.7 80º 60.8 61.5 62.1 62.6 61.7 Debemos construir la tabla 4 con los calculos que haremos con respecto del tiempo de vuelo de cada disparo.

v0 sin   v02 sin 2   2 g t g

(+)

;

x  ( v 0 cos )t (++)

Realizamos el análisis: Para 20º: t

480.59 cm s sin 20º  ( 480.59 cm s ) 2 sin 2 20  2(981cm s 2 ) = 0.34s 981cm s 2

Para 30º: t

480.59 cm s sin 30º  (480.59 cm s ) 2 sin 2 30  2(981cm s 2 ) = 0.49s 981cm s 2

Para 40º: t

480.59 cm s sin 40º  ( 480.59 cm s ) 2 sin 2 40  2(981cm s 2 ) = 0.63s 981cm s 2

Para 50º: t

480.59 cm s sin 50º  (480.59 cm s) 2 sin 2 50  2(981cm s 2 ) = 0.75s 981cm s 2

Para 60º: t

480.59 cm s sin 60º  ( 480.59 cm s ) 2 sin 2 60  2(981cm s 2 ) = 0.85 s 981cm s 2

Con la segunda ecuación :

Para 20º:

x  ( 480.59 cm s cos 20º )0.34 s =153.55 cm

Para 30º: x  ( 480.59 cm s cos 30º )0.49 s =203.94 cm

Para 40º:

x  ( 480.59 cm s cos 40º )0.63s =231.94 cm

Para 50º: x  ( 480.59 cm s cos 50º )0.75s = 231.69 cm

Para 60º:

x  (480.59 cm s cos 60º )0.85s = 204.25 cm

La siguiente tabla resume los valores obtenidos correspondientes al tiempo de vuelo y alcance horizontal : (+) : Representa el tiempo de vuelo (++) : Representa el alcance horizontal TABLA 4 ángulo 20º 30º 40º 50º 60º

(+) 0.34s 0,49s 0,63s 0,75s 0,85s

(++) 153.55cm 203.94cm 231.94cm 231.69cm 204.25cm

 GRAFICO Los valores de la tabla son representados en el siguiente gráfico de la distancia en funcion del ángulo .

Y Y =-30.5 +11.8A - 0.131A^2 240

220

200

180

160 X 10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

La grafica representa una parábola, que significa que la función que gobierna los puntos encontrados es polinomial de segundo grado, lo que quiere decir que nuestra ecuación tendría que ser : y = a + bx +cx 2, donde a es una constante. Para nuestro caso la ecuación es la siguiente: y = -30.5 + 11.8A-0.131A 2 en este caso solo se pondrá la ecuación sin procedimiento ya que no sabemos ajustar este tipo de curvas, pero de conocimientos de geometría se conoce como es la función. Ahora, según este gráfico el ángulo para el cual se obtiene el alcance máximo es para casi los 70°, ya que es en ese punto que se completa la parábola, aunque si solo tomamos en cuenta los datos que analizamos seria que en el ángulo que se llega al alcance máximo es en los 60°. IV. Conclusiones Los cálculos del experimento dieron un resultado favorable, ya que no hay muchos errores en la realización del mismo. Aunque no hicimos el experimento los datos estaban tomados bien, porque se pudo comprobar que la teoría se cumple y que gran parte de los conceptos y formulas se utilizan en el procedimiento para analizar los datos, lo cual nos lleva a que la teoría se complementa con la practica.

Y al parecer cumplimos en su mayoría con los objetivos trazados. V. Bibliografía FÍSICA

tomo 1

cuarta edición

SERWAY