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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUAL PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

 

INTEGRANTES:  APAZA QUISPE, Thalia Melania  CONDORI TICONA, Wilson  QUISPE TINTAYA, Cristian Boris  MAMANI CUTISACA, Edilberto  CONDORI PACORICONA, Ely Docente: Ing. Yasmani T. Vitulas Quille

Puno-2016 DINÁMICA 

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ÍNDICE

ÍNDICE ......................................................................................................................................... 2  ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................................................ 3  ÍNDICE DE ECUACIONES ....................................................................................................... 3  OBJETIVOS ................................................................................................................................ 4  INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 5  MOVIMIENTO RELATIVO EN UN PLANO ............................................................................ 6  1 

2 

ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO .................................................................... 6  1.1 

POSICIÓN ................................................................................................................... 6 

1.2 

DESPLAZAMIENTO .................................................................................................. 8 

1.3 

VELOCIDAD ................................................................................................................ 9 

MOVIMIENTO RELATIVO DE UN PLANO ..................... ¡Error! Marcador no definido.  2.1 

DEFINICIÓN ................................................................. ¡Error! Marcador no definido. 

INTERPRETACIÓN ................................................................................................................. 17  EJEMPLOS ............................................................................................................................... 20  CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 28  BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................... 29 

DINÁMICA 

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ÍNDICE DE FIGURAS FIGURA 1 MOVIMIENTO RELATIVO EN UNA BARRA (HIBBELER, 2010) ........................................................ 7  FIGURA 2 MOVIMIENTO RELATIVO. (BEER, JOHNSTON, & CORNWELL, 2010) .......................................... 7  FIGURA 3 MOVIMIENTO PLANO GENERAL (HIBBELER, 2010) ...................................................................... 9  FIGURA 4 DESPLAZAMIENTO RELATIVO (HIBBELER, 2010) ......................................................................... 9  FIGURA 5 MOVIMIENTO PLANO GENERAL (HIBBELER, 2010) .................................................................... 11  FIGURA 6 TRASLACIÓN (HIBBELER, 2010) ................................................................................................ 11  FIGURA 7 ROTACIÓN ALREDEDOR DEL PUNTO BASE A (HIBBELER, 2010) ............................................... 11  FIGURA 8 SUMA DE VELOCIDADES (HIBBELER, 2010) .............................................................................. 12  FIGURA 9 (HIBBELER, 2010) ...................................................................................................................... 13  FIGURA 10 (HIBBELER, 2010) ................................................................................................................... 13  FIGURA 11 (HIBBELER, 2010) ................................................................................................................... 14  FIGURA 12 (RILEY & STURGES, 1996) ...................................................................................................... 15 

ÍNDICE DE ECUACIONES ECUACIÓN 1 ECUACIÓN DE POSICIÓN (HIBBELER, 2010) (BEER, JOHNSTON, & CORNWELL, 2010) ....... 8  ECUACIÓN 2 ECUACIÓN DE DESPLAZAMIENTO (HIBBELER, 2010).............................................................. 8  ECUACIÓN 3 DERIVADA CON RESPECTO AL TIEMPO DE LA ECUACION DE POSICIÓN .................................. 9  ECUACIÓN 4 ECUACION DE VELOCIDAD RELATIVA (HIBBELER, 2010) ..................................................... 10  ECUACIÓN 5 ECUACION DE LA VELOCIDAD RELATIVA DICHO DE OTRA MANERA (HIBBELER, 2010)......... 12  ECUACIÓN 6 DERIVADA CON RESPECTO A T DE LA ECUACIÓN DE POSICIÓN (BEER, JOHNSTON, & CORNWELL, 2010) ............................................................................................................................ 14  ECUACIÓN 7 ECUACIÓN DE VELOCIDAD RELATIVA (BEER, JOHNSTON, & CORNWELL, 2010) ................. 14  ECUACIÓN 8 (RILEY & STURGES, 1996) ................................................................................................... 15  ECUACIÓN 9 (RILEY & STURGES, 1996) ................................................................................................... 15  ECUACIÓN 10 (RILEY & STURGES, 1996) ................................................................................................. 15  ECUACIÓN 11 (BEER, JOHNSTON, & CORNWELL, 2010) .......................................................................... 16 

                     

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OBJETIVOS



Entender los conceptos de movimiento relativo en un plano.



Identificar el movimiento relativo en nuestra vida cotidiana.



Lograr un mejor aprendizaje con los ejemplos resueltos.

                                   

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INTRODUCCIÓN El presente trabajo que ponemos a vuestras manos, tiene el interés de saber y conocer acerca del movimiento relativo en un plano, dado que este tema nos invita a sumergirnos e invadir a un mundo más amplio del Movimiento. En este recorrido nos espera el análisis del movimiento relativo en un plano, donde antes solíamos utilizar solo en un sistema de referencia para describir el movimiento de una partícula, siempre considerábamos que el sistema de referencia estaba unido a la tierra y era fijo, ahora veremos situaciones en donde es necesario utilizar de manera simultánea varios sistemas de referencia. Entenderemos que la selección de un sistema de referencia fijo es arbitrario, ya que podemos elegir y considerarlo como fijo, en cambio los demás sistemas de referencia que no se unan rígidamente a este se describirán en ese caso como sistemas de referencia “móviles”. Un claro ejemplo de este tema es cuando quiere aterrizar un helicóptero sobre un barco que está en movimiento, en ese caso el piloto tendrá que tomar en cuenta el movimiento relativo de dicho barco. Ese objetivo esperamos alcanzar con el presente trabajo de investigación que ponemos en sus manos. Esperando que en ella encuentre

contenidos

que

le

guste

y

le

atraiga.

Generando

pensamientos y emociones a nuestros compañeros de ingeniería Civil.

DINÁMICA 

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MOVIMIENTO RELATIVO EN UN PLANO Generalmente se utiliza un sistema de referencia unida a la Tierra considerada fija. Ahora se analizaran situaciones en las que es conveniente utilizar de manera simultánea varios sistemas de referencia. Si uno de los sistemas de referencia está unido a la Tierra, se denominará sistema de referencia fijo, y los otros sistemas de referencia sistemas de referencia en movimiento. No obstante, debe entenderse que la selección de sistema de referencia fijo es puramente arbitraria. Cualquier sistema de referencia puede designarse como “fijo”; todo los demás sistemas de referencia que no se una rígidamente a este sistema de referencia se describirán en ese caso como “móviles”. (Beer, Johnston, & Cornwell, 2010)

1 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO El movimiento plano general de un cuerpo rígido se describe como una combinación de traslación y rotación. Para ver estos movimientos componentes por separado utilizaremos un análisis de movimiento relativo que implica dos conjuntos de ejes de coordenadas.

1.1 POSICIÓN Según Hibbeler (2010) considera un sistema de coordenadas están fijos y miden la posición absoluta de dos puntos

y

,

que en el

cuerpo, representado aquí como una barra, Figura 1. Se hará que el origen de los sistemas de coordenadas ’, ’ coincidan con el punto base seleccionada, el cual por lo general tiene un movimiento conocido. Los ejes de este sistema de coordenadas se trasladan con respecto al marco fijo pero no giran con la barra.

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Figura 1 Movimiento relativo en una barra (Hibbeler, 2010)

El vector posición de posición relativa

especifica la ubicación del punto base /

localiza el punto

y el vector

con respecto al punto .

En cambio, Beer, Johnston & Cornwell (2010) considera a dichos vectores como dos partículas A y B que se mueven en el espacio (¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.; los vectores

y

definen sus posiciones en cualquier instante dado con respecto a un sistema de referencia fijo

.

  Figura 2 Movimiento Relativo. (Beer, Johnston, & Cornwell, 2010)

DINÁMICA 

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Considere ahora un sistema de ejes. Mientras el origen de estos ejes se mueve, su orientación permanece invariable; el sistema de referencia ´ ´ ´

está en traslación con respecto a

. El vector

/

que une A y

B define la posición de B relativa al sistema de referencia móvil

´ ´ ´

(o, en forma breve, la posición de B relativa a A). (Beer, Johnston, & Cornwell, 2010) En la (Figura 2) se advierte que el vector de posición es la suma del vector de posición posición

/

de la partícula B

de la partícula A y del vector de

de B relativa a A.

Por lo tanto ambos autores mediante la adición vectorial, deducen la posición de

con respecto a A con la siguiente ecuación: /

Ecuación 1 Ecuación de posición (Hibbeler, 2010) (Beer, Johnston, & Cornwell, 2010)

 

1.2 DESPLAZAMIENTO Durante un instante de tiempo desplazamientos

y

, los puntos

y

experimenta los

como se muestra en la Figura 3. Si

consideramos el movimiento plano general por sus partes componentes entonces toda la barra primero se traslada una cantidad que

, el punto base, se mueve a su posición final y el punto

Figura 4. La barra gira entonces alrededor de

que

de modo

una cantidad

’ experimenta un desplazamiento relativo

posición final

, Debido a la rotación sobre

desplazamiento de

,

/ /

a

de modo

se mueve a su /

∗

y el

es (Hibbeler, 2010) d

d

/



Ecuación 2 Ecuación de desplazamiento (Hibbeler, 2010)

: Debido a la traslación y rotación d : Debido a la traslación de A d

DINÁMICA 

/

’,

: Debido a la rotación alrededor de A

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Figura 3 Movimiento plano general (Hibbeler, 2010)

Figura 4 Desplazamiento relativo (Hibbeler, 2010)

1.3 VELOCIDAD Para determinar la relación entre las velocidades de los puntos

y

es

necesario considerar la derivada con respecto al tiempo de la ecuación de posición o simplemente dividir la ecuación de desplazamiento entre (Hibbeler, 2010). De esto resulta d

d

/



Ecuación 3 Derivada con respecto al tiempo de la ecuacion de posición

DINÁMICA 

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Los términos

se mide con respecto a los ejes fijos ,

y

y representa las velocidades absolutas de los puntos

y

,

respectivamente. Como el desplazamiento relativo lo provoca una rotación, la magnitud del tercer término es /



, donde

/

/

/

/



/

es la velocidad angular del cuerpo en el

instante considerado. Denotaremos este término como la velocidad relativa

/

, puesto que representa la velocidad de

con respecto a

medida por un observado fijo en los ejes trasladantes ’, ’. Dicho de otra manera, parece la barra moverse como si girara con una velocidad angular

con respecto al eje

consiguiente, la magnitud de perpendicular a

/

/

es

/

’ que pasa por /

. Por

y su dirección es

. (Hibbeler, 2010) Por consiguiente, tenemos /



Ecuación 4 Ecuacion de Velocidad Relativa (Hibbeler, 2010)

Donde: : Velocidad del punto B : Velocidad del punto A /

: Velocidad de B con respecto a A

Lo que esta ecuación establece es que la velocidad de

, Figura 5, se

determina al considerar que toda la barra se traslada con una velocidad de

, Figura 6 y que gira alrededor de A con una velocidad angular

,

Figura 7. La adición vectorial de estos dos efectos, aplicada a B, como

resulta

DINÁMICA 

, como se muestra en la Figura 8. (Hibbeler, 2010)

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Figura 5 Movimiento plano general (Hibbeler, 2010)

Figura 6 Traslación (Hibbeler, 2010)

Figura 7 Rotación alrededor del punto base A (Hibbeler, 2010)

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Figura 8 Suma de Velocidades (Hibbeler, 2010)

Como la velocidad relativa

representa el efecto del movimiento

/

circular, alrededor de A, este término puede expresarse por medio del producto vectorial

/

/

(Hibbeler, 2010). Por consiguiente,

para su aplicación mediante un análisis vectorial cartesiano, también podemos escribir la Ecuación 4 como /



Ecuación 5 Ecuacion de la velocidad relativa dicho de otra manera (Hibbeler, 2010)

Donde: : Velocidad del punto B : Velocidad del punto A : Velocidad angular del cuerpo /

: Vector de posición dirigido de A a B

La ecuación de velocidad Ecuación 4 o Ecuación 5 puede usarse de una manera práctica para estudiar el movimiento plano general de un cuerpo rígido el cual esta o conectado por pasador a, o en contacto con otros cuerpos en movimiento. Cuando se aplica esta ecuación, los puntos

y

en general deben seleccionarse, como puntos en el cuerpo que están conectados por medio de un pasador a otros cuerpos, o como puntos en contacto con cuerpos adyacentes que tienen un movimiento conocido. Por ejemplo, el punto

en el eslabón

es la Figura 9 debe moverse a

lo largo de una trayectoria horizontal, mientras que el punto B lo hace en una trayectoria circular. Por consiguiente pueden establecerse las DINÁMICA 

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direcciones de

y

puesto que siempre son tangentes a sus

trayectorias de movimiento, Figura 10 . En el caso de la rueda mostrada en la Figura 11 , la cual rueda sin deslizarse, el punto A en ella puede seleccionarse en el suelo. Aquí, la velocidad de A es cero (momentáneamente) puesto que el suelo no se mueve. Además, el centro de la rueda, B, se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal de modo que

es horizontal. (Hibbeler, 2010)

Figura 9 (Hibbeler, 2010)

Figura 10 (Hibbeler, 2010)

DINÁMICA 

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Figura 11 (Hibbeler, 2010)

Por otro lado, Beer, Jhonston & Cornwell (2010) derivan la ecuación de posicion (Ecuación 1) con respecto a t dentro del sistema de referencia fijo, y utilizar puntos para indicar derivadas respecto al tiempo, se tiene ´

´

´

Ecuación 6 Derivada con respecto a t de la ecuación de Posición (Beer, Johnston, & Cornwell, 2010)

Las derivadas ´ y ´ representan, respectivamente, las velocidades y

de las partículas A y B. Como

´ ´ ´

está en traslación, la derivada

´ representa la razón de cambio de referencia

´ ´ ´,

así como respecto al sistema de referencia fijo. Por lo

tanto, esta derivada define la velocidad referencia

´ ´ ´

con respecto al sistema de

/

de B relativa al sistema de

(o en forma breve, la velocidad

/

de B relativa a A)

(Beer, Johnston, & Cornwell, 2010). Se escribe:



/

Ecuación 7 Ecuación de velocidad relativa (Beer, Johnston, & Cornwell, 2010)

1.4 ACELERACIÓN Dos puntos separados que se muevan con movimiento curvilíneo plano tienen movimientos que pueden relacionarse de igual manera. La diferencia escriba en que ahora, evidentemente, el movimiento relativo,

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al igual que los movimientos individuales, deberán describirse mediante vectores. (Riley & Sturges, 1996) La relación entre las posiciones de los puntos y su posición relativa se obtendrá a partir de la regla de adición de vectores (Figura 12 ).

Figura 12 (Riley & Sturges, 1996) /

/

/

Ecuación 8 (Riley & Sturges, 1996)

Donde

/

es la posición del punto Q relativa a la posición del punto P.

Derivando la Ecuación 8 respecto al tiempo tenemos. /

Ecuación 9 (Riley & Sturges, 1996) /

Ecuación 10 (Riley & Sturges, 1996)

Es decir, la velocidad del punto Q medida con relación al punto P es la diferencia entre las velocidades absolutas (velocidades medidas respecto a un sistema fijo de coordenadas) de los puntos Q y P. Análogamente, la aceleración del punto Q medida con relación al punto Q medida con relación al punto P es la diferencia entre las aceleraciones absolutas de los puntos Q y P. (Riley & Sturges, 1996) Los distintos términos de estas ecuaciones se pueden escribir en cualquier sistema de coordenadas conveniente: cartesianas, polares, normal/tangencial. No obstante, todas las componentes se han de

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convertir a un sistema de coordenadas común (corriente al cartesiano rectangular) antes de sumarlas. (Riley & Sturges, 1996) Por otra parte, Beer Jhonston & Cornwell (2010) derivan la ecuación de velocidad (Ecuación 7) con respecto a t, y utilizar la derivada ′ definir la aceleración

/

de B relativa al sistema de referencia

en forma breve, la aceleración

/



/

para

´ ´ ´

(o,

de B relativa a A. Se escribe:

/

Ecuación 11 (Beer, Johnston, & Cornwell, 2010)

El movimiento de B con respecto al sistema de referencia fijo

se

denomina movimiento absoluto de B. las ecuaciones que se obtuvieron en esta sección muestran que el movimiento absoluto de B puede obtenerse combinando el movimiento de A y el movimiento relativo de B con respecto al sistema de referencia móvil unido a A. la ecuación (Ecuación 7), por ejemplo, expresa que la velocidad absoluta

de la

partícula B puede obtenerse al sumar vectorialmente la velocidad de A y la velocidad de B relativa al sistema de referencia

´ ´ ´.

La ecuación (Ecuación 11) expresa una propiedad similar en términos de las aceleraciones. Sin embargo, se debe recordar que el sistema de referencia

´ ´ ´

está en traslación; esto es, mientras se mueve con A,

mantiene la misma orientación. Como se verá después, será necesario utilizar relaciones diferentes en el caso de un sistema de referencia en rotación.

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INTERPRETACIÓN El movimiento es relativo porque depende del punto de referencia desde donde se mide;

como es el caso del avión con que vuela con una

velocidad, pero la tierra hace una rotación es un claro ejemplo. El teorema de charles lo relaciona con la rotación y la traslación de un cuerpo rígido: es el caso de la tierra, la cual hace una rotación en su propio eje y una traslación alrededor del sol. Lo principal de dicho anteriormente es medir la posición, velocidad y aceleración con respecto a cada uno del observador o de un punto. Por lo general se hace dos conjuntos de ejes de coordenadas; el sistema de coordenadas ,

y ’, ’. Para facilitar la resolución de problemas.

También el movimiento relativo; al movimiento de una partícula en movimiento respecto de otra que también se encuentra en movimiento. Según Riley: “Dos puntos separados que se mueven con movimiento curvilíneo plano tienen movimientos que pueden relacionarse…” Es decir que dos cuerpos en los cuales uno esté en reposo y otro en movimiento continuo (puede ser

que un observador este dentro de un tren,

automóvil, avión, etc.), ambos miran fijamente a un objeto o a una partícula, y se pueda notar que para cada cuerpo tiene una velocidad respecto a cada quien que lo esté observando, y la pregunta es cómo hallamos esas velocidades. Para ello, usaremos la relación vectorial con respecto a cada observador que esté fijamente en la mira. “…Un automóvil que alcanza lentamente parece moverse hacia atrás cuando usted lo rebaza… En general si dos observadores miden la velocidad de un cuerpo, obtienen diferentes resultados, si un observador mueve con relación con el otro” (Young, F, S: 2009) Es decir que todo depende del lugar de los observadores, porque al ponerse en posición del observador que está en reposo o en tierra podemos

tener una velocidad de

la partícula. En cambio, si nos

ponemos en lugar del otro observador vemos que se pude tener una velocidad pero no igual a la del observador en reposo. DINÁMICA 

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El movimiento siempre es un concepto relativo porque debe referirse a un sistema de o de referencial particular escogido por el observador. Puesto que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante relacionar las observaciones realizadas por aquellos. (Cárdenas: 2012) EJEMPLO. Una partícula se encuentra en movimiento en un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo; en caso contrario, la partícula está en reposo en dicho referencial. De estas definiciones, vemos que tanto el concepto de movimiento como el de reposo son relativos. Así, el pasajero que está sentado en un vagón de ferrocarril se encuentra en reposo con respecto al vagón; pero como el tren se mueve con respecto a la Tierra, el pasajero se encuentra en movimiento con respecto a los árboles que observa desde el tren. A su vez, esos árboles están en reposo respecto de la Tierra, pero en movimiento respecto del pasajero del tren. MOVIMIENTO RELATIVO Decimos que un movimiento es relativo cuando un objeto se mueve, tiene movimiento si cambia de posición a través del tiempo. El movimiento es relativo porque depende del punto de referencia desde donde se mide. Un ejemplo, es la persona y el tren. Si la persona está en el andén y se utiliza a sí mismo como punto de referencia. El tren se mueve. Si la persona está en el tren y se utiliza a sí mismo como punto de referencia. El andén se mueve. No existe ningún punto de referencia absoluto, por lo tanto todo movimiento es relativo. (López, M. S. :2012) Para describir el estado de movimiento de un cuerpo es necesario establecer un marco de referencia, pues tanto el reposo como el movimiento tienen un carácter relativo. Por ejemplo, si nos encontramos parados en la calle, consideramos a los árboles y edificios en estado de reposo con respecto a nosotros; en cambio, para nosotros mismos, las personas que viajan en un automóvil guardan un estado de movimiento. Pero si viajamos en el coche, podemos considerar que las personas y DINÁMICA 

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los objetos que van con nosotros permanecen en reposo y que los árboles y edificios son los que se mueven. Así un mismo cuerpo puede estar en reposo o movimiento con respecto el marco de referencia que se considere; por lo tanto, al analizar y describir el movimiento de un cuerpo, es necesario especificar una relación con que otros objetos se requiere el movimiento. Estos constituyen el marco de referencia.

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EJEMPLOS

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CONCLUSIONES En el presente trabajo se pretende analizar cómo ha cambiado nuestra visión sobre cómo se mueven los objetos en el Universo. Poder imaginar y ver algunos ejemplos de nuestra vida cotidiana, y muy importante buscar leyes que regulan el movimiento. Un ejemplo claro en nuestra vida cotidiana del movimiento relativo es cuando viajamos en autobús, sentados, podemos afirmar que el conductor del autobús no se mueve, ya que no cambia su posición respecto a nosotros. Un observador sentado en el banco de un parque, que vea pasar el autobús por la carretera diría, en cambio, que el conductor del autobús estaba en movimiento. El observador externo veía al conductor en movimiento porque cambia su posición respecto a él. Según el ejemplo se puede apreciar que la posición, velocidad y aceleración relativa nos dicen que el movimiento se percibe de maneras distintas en función del lugar de donde se esté observando. Debemos entender que el movimiento siempre es un concepto relativo porque debe referirse a un sistema de referencia o referencial particular escogido por el observador. El sistema de referencia es muy importante para entender con claridad qué es el movimiento relativo. Este movimiento es algo normal en nuestras vidas que algunas veces no nos ponemos a pensar en él, ya que hay objetos a nuestro alrededor que están en movimiento y no nos percatamos de ello.

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BIBLIOGRAFÍA   Beer, F. P., Johnston, E. R., & Cornwell, P. J. (2010). Mecanica vectorial para ingenieros  Dinamica. Mexico: Mc Graw Hill.  Cárdenas, L. (17 de setiembre de 2012). Movimiento absoluto y relativo. Obtenido de  Movimiento absoluto y relativo:  http://cienciaseneducacionsecundaria236.blogspot.pe/2012/09/movimiento‐ absoluto‐y‐relativo.html  Hibbeler, R. C. (2010). Ingenieria Mecanica Dinamica. (L. M. Castillo, Ed.) México: Pearson  Educación.  López, M. S. (25 de octubre de 2012). Movimiento Relativo. Obtenido de Movimiento Relativo:  https://plus.google.com/115450707404069741310  Riley, W. F., & Sturges, L. D. (1996). Ingeníera Mecánica Dinámica. España: Reverte, S. A.  Young, F. S. (2009). Física Universitaria. México: Pearson Educación.   

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