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• apuatau9462

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CAPÍTULO MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE MOVIMIENTO PERIODICO.- Es un tipo de movimiento que se repite en cierto tiempo por Ejemplo El movimiento de rotación de la tierra alrededor del sol. MOVIMIENTO OSCILATPRIO:- El movimiento oscilatorio es periódico además debe ser de ida y vuelta, como ejemplo se tiene el movimiento de un péndulo. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. Es aquel movimiento periódico y oscilatorio ademas tiene como trayectoria una línea recta.

R

R

R

Sol B A

MOVIMIENTO

C

MOV. OSCILATORIO

PERIÓDICO

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Un cuerpo fijado al externo libre de un resorte desarrolla movimiento armónico simple (MAS) ya que el movimiento de esta masa es periódica, oscilatoria y tiene como trayectoria una línea recta.

1

m

a) b)

m

c) m

A

A

C

O

B

ELEMENTOS DEL MAS 1. Periodo (T).- Es el tiempo que demora la partícula en dar una oscilación completa. 2. Frecuencia (f).- Es el número de oscilaciones en cada unidad de tiempo, definiendo matemáticamente por:

f 

nrovueltas tiempo

f 

1 T

Hz

3. Elongación (x).- Es la distancia entre el punto de equilibrio y cualquier punto excepto extremos del movimiento. 4. Amplitud (A).- Es la distancia entre el punto de equilibrio y el extremo.

m

m

C

D

m X

0

X

A

m

m

E

B

A

La fuerza de restauración de este sistema se expresa por fuerza restauradora. FR = -KX Por otro lado la fuerza que produce el desplazamiento es:

2

F = m.a. FR = F  - KX = m.a 

a

kx dv d 2 x , Reemplazando  0; a   m dt dt 2

d 2x k  x0 dt 2 m

si

w2 

k m

Ecuación diferencial del MAS.

d 2x  w2 x  0 2 dt La solución de la  Ecuación diferencial X = A sen ( wt + α)

 X  ASen (wt   )  POSICION LA VELOCIDAD DEL MAS:

v

dx d  ASen ( wt   ) dt dt

v  Aw Cos(wt   ) v  A w 1  sen2 (wt   )

v  w A2  A2 sen 2 (wt   ) v  w A2  X 2

Si X = A  la velocidad mínima y eso resulta igual a cero (en los extremos) Si X 0  v  w A2  0 V = WA  Velocidad Máxima.

3

LA ACELERACIÓN DEL movimiento se determina por:

a

d ( A w Cos( wt   )) dv a dt dt

a  Aw 2 ( sen( wt   ))  a   w2 x amax  AW 2  Aceleración máxima.

Si x = A

Si x = 0  la aceleración es mínima. a = 0 SUPERPOSICIÓN DE MAS a) Igual frecuencia e igual dirección. Sean los movimientos. X1 = A1 sen (w1T + α1) X2 = A2 sen (w2T + α2) w1 = w2 El MAS resultante será X = X1 + X2 = A1Sen (w t +α1) + A2Sen (w t +α2). Desarrollando se tiene: X = A Sen (wt +α) otro MAS. A=

A12  A22  2 A1 A2 Cos

   2  1 α = tan g 1 

A1 Sen1  A2 Sen 2 A1 Cos1  A2Cos 2



b) Igual dirección pero diferente frecuencia. Sean los movimientos X1 = A1 Sen(w1t+α1)

4

X2 = A2 Sen(w2t+α2) W 1 ≠ w2 Por conveniencia sean 1   2  0 ( parten del mismo punto) A1 = A2 = A

 X  X1  X 2  A(senw t  Senw t ) SI : Sen a + Sen b = 2 Cos

1 1 (b-a) sen (b+a) 2 2

1 1 X  2 ACos ( w2  w1 )t.Sen ( w1  w2 )t 2 2 1 Donde A = 2 A Cos (W2  W1 )t  Cte. Es la amplitud 2 w

1 ( w1  w2 ) 2 A

X

wt

Ax

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c) Direcciones Perpendiculares igual frecuencia. Sean los movimientos descritos por: X = A sen(wt) Y = B sen(wt + α) 1º Si α = 0  Y = B Sen wt X B Y B  X  A A

Y

B X A

Es una recta con pendiente positiva.

2º Si   

y  BSen(wt   )  B(sen wt Cos  Coswt Sen )

X y   B   A

y   BSen wt

y

B X A

Si    2



y  B Sen wt  

2







y  B ( senw . Cos   Cos wt Sen  ) 2 2 y  B Cos wt y 2  B 2Cos 2 wt y 2  B 2 (1  Sen 2 wt )  X2  y 2  B 2 1  2  A   y2 X2  1  B2 A2

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X2 X2 + 1 A2 B2 es una elipse. Si A = B (Amplitudes iguales ) es una circunferencia. d) Direcciones perpendiculares y diferentes frecuencias. x = A Sen (w1.t)

y = B Sen (w2t)

En este caso el MAS resultante, se puede encontrar con cierta facilidad gráficamente

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